偏微分方程期末考试试题(06)
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
偏微分方程数学考试试题
偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程：
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题：
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。
3. 对于给定的偏微分方程，尝试通过变量分离的方法求解。
证明解的唯一性。
4. 考虑一维热传导方程：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。
解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。
5. 讨论偏微分方程的数值解法，比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。
6. 推导一维波动方程的解，并给出波动方程的初边值问题求解方法。
7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式，并解释其中
每一个参数的物理意义。
8. 推导热传导方程的一维解，并讨论热源对温度分布的影响。
以上就是本次数学考试试题，请同学们认真作答，加油！。
偏微分试卷
浙江大学2005-2006学年夏季学期《 偏微分方程 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭卷 ， 允许带__无_____入场 考试时间：2006年7月3日,所需时间：120分钟，任课老师：__ _____ _考生姓名： _____学号： 专业： ________一．(15%) 用特征线方法求解下列初值问题⎩⎨⎧+∞<<∞-==>+∞<<∞-=-+x x x u x x u t x u u u t xx xt tt ,8)0,( ,sin 4)0,(0, ,032二.（20%) 设函数),(t x u 为定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≥==><<=-0)0,( ,43s i n 31)0,( 0 ,0),2( ,1),0(0,20 ,45sin 4x u x x u t t u t u t x x u u t x xx ttππ的解。
(1). 求)(x w w =使得函数w u v -=满足下列形式的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧==≥==><<=-)()0,(v ),()0,( 0 ,0),2(v ,0),0(0,20 ,04x x x x v t t t v t x v v t x xx tt ψϕππ 并求出函数)(x ϕ和)(x ψ; (2). 求出原定解问题的解),(t x u 。
三．(25%) 求解下列定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥=-=><<=+- 0 ,0)0,( 0 ,0),(),( ,0),0(0,0 ,23sin 2ππππx x u t t u t u t u t x x te u u u x xx xx t四．(20%)已知函数)exp(2x -的Fourier 变换是)4exp(2λπ-。
试用Fourier 变换求解下列初值问题⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=+-),()0,(0, ,04x x x u t x u u u xx t ϕ 五．（12%) 求解下列半无界定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧==≥=>>=-xx u x x u t t u t x u u t x xx tt 2)0,( ,cos )0,(0t , ),0(0,0 ,04 六. (8%) 问: 常数a 取何值时, 定解问题⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤==<<<<=- 0 ,0)2,()0,(20 ,0),( ),0(20 ,0 ,2πππx x u x u t t u t u t x xt u a u xx tt 有解, 试求出该解。
偏微分方程数值解法期末考试题答案
偏微分⽅程数值解法期末考试题答案期末考试试题答案及评分标准学年学期：专业：数学与应⽤数学班级：数学课程：偏微分⽅程数值解法教学⼤纲：《偏微分⽅程数值解法》教学⼤纲（⾃编，2006）使⽤教材：《偏微分⽅程数值解法》教材作者：陆⾦甫、关治出版社：清华⼤学出版社⼀、判断题（每⼩题1分，共10分） 1、（O ） 2、（O ） 3、（X ） 4、（X ） 5、（O ） 6、（O ） 7、（O ） 8、（X ）9、（X ） 10、（O ）⼆、选择题（每⼩题2分，共10分） 11、（D ） 12、（A ） 13、（C ） 14、（B ）15、（C ）三、填空题（每⼩题2分，共20分）16、22222212nx x x +++ 17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) 19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者A/b 22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')23、22221[()]2()()[()]0a s b s s c s '''-+= 24()i xv e d λλλ+∞-∞25、1(,)(,)j n j n u x t u x t τ+-四、计算题：（每⼩题12分，共36分）26、写成对流⽅程0u ua t x+=（,0x R t ∈>）的有限差分⽅程（两层显⽰格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式/h λτ=为⽹格⽐。
解：在点(,)j n x t 处，差分⽅程为110n n n nj jj ju u u u ahτ++--+=（0,1,2,j =±±，0,1,2,n =）（8分）便于计算的形式为11()n n n n j j j j u u a u u λ++=--，/h λτ= （4分）27、写出扩散⽅程22u ua t x=的有限差分⽅程（中⼼差分格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式，2/h µτ=为⽹格⽐。
偏微分方程期末考试试题(06)
课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程()()()()()22222,,0,0,,0t u u a x t t x u x x u x x ϕψ⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩的通解. 三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解()()()2,0,,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x xu x x ⎧=>-∞<<+∞⎪=⎨⎪=⎩ 四、（10分）计算积分()32x J x dx -⎰. 五、（15分）设1,1≥≥n m ，证明()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ⎰⎰--=++11111六、（15分）用分离变量法求解()()()()()20,0,0,00,,00,0,,0tt xx t u a u x l t u x u x xu t u l t ⎧-=<<>⎪==⎨⎪==⎩ 七、（10分）解固有值问题()()()''0,''0y y l x l y l y l λ+=-<<⎧⎪⎨-==⎪⎩ 八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、解：波动方程：()222,u a u f t x t∂=∆+∂热传导方程：()2,ua u f t x t∂=∆+∂ 位势方程：()u f x ∆= ……………………….5分 其中()12,,,n x x x x =，a 为常数，(),f t x 及()f x 为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，而与时间t 无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
最新偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程(双曲型方程)U tt -a 2U xx 二f (x,t)(一)初值问题(柯西问题)< 2 U tt—a U xx = f(x,t)1、一维情形Ut t^a(x)(1) 解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，* 2 * 2 U tt—a U xx =o U tt —a U xx = f (x,t)(i) J U t^=<p (x)(n) «U tm = 0i U t t z0= V (x)i U t t 仝=0其中，问题(I )的解由达朗贝尔公式 给出：④(x —at)+®(x +at)1 /烈 u(x,t)( )d22a 2 、)t由齐次化原理，问题(n)的解为：u (x,t ) W(x,t ； )d .W tt -&昵=0其中，W(x,y,z,t;.)是下述初值问题的解：W t 二=0 Wtf f(x,)从而问题(n)的解为:f ( , )d d综上所述，原初值问题的解为：U (x,t 」(x—at)"x at)丄22a(2) 依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：① 依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：［x-at , x+at ］;利用达朗贝尔公式得W(x,t;) 1 2ax 亠a(t _ .)[X -a(t 亠)(,)dx ，( )d 去t X a(t T) 0 x 」(t_)f(，)d d②决定区域：区间［x1，X2】的决定区域为：{(x,t)|捲• at込x込X2-at}SM4 a tS -M4 ar iat尸r,,t ——)乳dV r③影响区域：区间［为，乂2］的影响区域为：{(x,t)|捲一at 乞x 乞x 2 at } ④特征线：x=x °_at (3)解的验证：见课本 P10, P14< 2U tt —a (U xx +U yy +U zz) = f (X,y, z,t)2、三维情形」uy=®(x, y,z)Ut(x,y,z)(1)解法(球面平均法)：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,其中，问题(I )的解由泊松公式给出:t由齐次化原理，问题(n)的解为： U(x, y,z,t) W(x, y,z,t ； )df2W tt -a 2(W xx+W yy +W zz) = 0 其中，W(x,y,z,t;i)是下述初值问题的解：<W t 斗=0W t tf (x, y, z,)利用泊松公式得 W(x, y,乙t; J 一 --------------- ,―,—,— dS4；1花趴_厂 r 」=a(t4从而问题(n )的解为：1丄)U(x,y,z,"苻」dV综上所述，原初值问题的解为:- 2 U tt—a (U xx +U yy +U zz ) =0(I)如7 =纨人y,z)U t 7=屮(x,y,z)‘U t —a 2(U xx +U yy + U zz )(n) < u t m = 0U t t±=0f (x,y, z,t)U(x,y, z,t)SaMdS右 JOS（2） 依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：① 依赖区域（球面）：点（x 0,y 0，z ）,t ）的依赖区域为（x —x 。
偏微分方程考试题及答案
偏微分方程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 偏微分方程的一般形式是什么？A. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)答案：B2. 以下哪个方程不是线性偏微分方程？A. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 1 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)D. \( u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)答案：D3. 波动方程的解通常表示为两个函数的和，这两个函数分别是？A. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x-ct) \)B. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x+ct) \)C. \( f(x-ct) \) 和 \( g(x+ct) \)D. \( f(x+ct) \) 和 \( h(x-ct) \)答案：A4. 拉普拉斯方程的解是调和函数，以下哪个条件不是调和函数必须满足的？A. \( \Delta u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \) D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 1 \)答案：D5. 以下哪个条件不是偏微分方程解的存在性和唯一性定理所要求的？A. 初始条件B. 边界条件C. 系数的连续性D. 变量的离散性答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 偏微分方程 \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) 是一个 ________ 方程。
北京师范大学期末考试试卷-偏微分方程
北京师范大学2015～2016学年第一学期期末考试试卷（A 卷）课程名称：偏微分方程任课老师姓名：保继光卷面总分：100分考试时长：120分钟考试类别：闭卷 开卷 其他 院（系）：专业：年级：姓名：学号：题号一二三(1)三(2)四(1)四(2)总分得分阅卷老师（签字）：一.填空题(36分):以各种现实情境和科学情境为背景的偏微分方程是形式多样的.我们可以根据阶数和线性性将它们分类.如:Monge-Amp`e re 方程det D 2u =f (x )是(1)阶(2)线性方程;极小曲面方程(1+u 2y )u xx −2u x u y u xy +(1+u 2x )u yy =0是(3)阶(4)线性方程.二阶线性方程是学习的重点.围绕(初)边值问题和Cauchy 问题解的(5),即解的存在性、(6)和稳定性,我们主要讨论了(7)、热传导方程、(8),它们依次是椭圆型、(9)型、双曲型方程最简单、最典型的代表.积分变换法和分离变量法是求解定解问题,证明这三类方程解存在性的重要方法;能量积分或极值原理是研究解唯一性和稳定性的有效手段.特别要注意的是:热传导方程(10)问题的解是不唯一的.Cauchy-Kovalevskaya 定理给出了一阶偏微分方程初值问题幂级数解的(11).我们可以用“特征线织成曲面”的方法求解u x =u y +(y −x )u −e xy ,u (0,y )=y.它对应的特征方程组初值问题是(12).2二.简答题(24分):1.叙述一阶偏微分方程初值问题u t +u x =f (x,t ),−∞<x <∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <∞的Duhamel(齐次化)原理.2.写出二维Laplace 方程和它的基本解,以及上半平面的Green 函数.3.写出Rellich 方程u xxt +u =f (x,t )关于x 进行Fourier 变换后的常微分方程.4.具体写出一个(不是C 2的)C 0下调和函数的实例,并描述一下Perron 方法？三.计算题(30分):1.化简二阶线性偏微分方程u xx =u xy ,并求出它的通解.2.用分离变量法求解热传导方程的初边值问题u t=u xx ,0<x <1,t >0,u (0,t )=t,u (1,t )=0,t ≥0,u (x,0)=0,0≤x ≤1.四.证明题(10分):1.设x 0∈R ,t 0>0,a 是一个正常数,u (x,t )在平面三角形区域|x −x 0|≤a (t 0−t )中满足弦振动方程u tt =a 2u xx .证明:E (t ):=12∫x 0+a (t 0−t )x 0−a (t 0−t )(u 2t (x,t )+a 2u 2x (x,t ))dx 关于t 在[0,t 0]上单调不增.2*.设单位圆B 1={(x,y )∈R 2:x 2+y 2<1}.若u ∈C 1(B 1)满足一阶偏微分方程xu x +2yu y =−u,(x,y )∈B 1.试证在B 1上u ≡0.。
华南理工大学期末考试数学物理方程卷a及答(08[1]6
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ìï dU (l, t) í dt
=
-a2l 2U (l, t) ,
ïî U (l, 0) = F(l).
U (l, t) = F(l)e-a2l2t .
ò u(x, t) = sin x *
1
e = -
x2 4 a2t
1
+¥
sin
x
e
-
(
x-x 4a2
) t
2
d
x
=
sin xe-a2t .
2a p t
òò ìDu = 0,
í î
u |G =
(x, y, z) Î f (x, y, z)
W
的解可表示为（
u( M 0
)
=
-
G
f (x, y, z) ¶G dS ）。 ¶n
8. 贝塞尔方程 x2 y¢¢ + xy¢ + ( x2 - 5) y = 0 的通解是（ y( x) = AJ (x) + BJ ( x) ）。
wn
分别为（
np l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
np l
）。
3.
表达波动方程初值问题
ìíutt îu(
= x,
a2uxx , -¥ 0) = j (x),
< ut
x < +¥,t (x,0) =y
>0 ( x)
的解的达朗贝尔公式是
ò （ u(x,t) = j ( x - at) + j (x + at) + 1
=
¥ m=1
4J 2 (mm(0) )
偏微分试卷
0 < ������ < π, ������ > 1
������ > 0, ������ > 0
0 < ������ < 2, ������ > 0
d ������ ������ (������)](������), d������ [
2
������ [������ (������ − ������)](������) = ei������������ ������ [������ (������)](������).
2Байду номын сангаас
������������ |������=0 = e������
������ > 0, ������ > 0 ������������ |������=0 = 2
0 < ������ < 2, ������ > 0
0 < ������ < 2, 0 < ������ < 1
2
2 2012–2013 学年冬学期
一、 (20 分) 用行波法求解下题： ⎧ ������ 2 ������ − 2 ������ 2 ������ − 3 ������ 2 ������ + 4 ������������ + 4 ������������ = 0 ⎪ ������������2 ������������������������ ������������ ������������ ������������2 ⎨ ������������ ⎪������| = 0, = 2������e������ ������������ |������=0 ⎩ ������=0 二、 (15 分) 用延拓法求解以下半无边界弦振动问题： ⎧ ������ 2 ������ − ������ 2 ������ = 0, ⎪ ������������2 ������������2 ⎪ ⎨������|������=0 = ������ ⎪ ������������ ⎪������|������=0 = ������2 , =1 ������������ |������=0 ⎩ 三、 (25 分) (1) 求方程的解 ������(������)： ⎧ ������ 2 ������ − ������ 2 ������ = 2 0 < ������ < 2, ������ > 0 ⎪ ������������2 ������������2 ⎨ ������������ ⎪������| = 0, =1 ������=0 ������������ |������=2 ⎩ (2) 根据上一问答案，用变量分离法求下列非齐次边界条件方程的解： ������ 2 ������ ������ 2 ������ ⎧ ⎪ 2 − 2 =2 ������������ ⎪ ������������ ⎪ ������������ ⎨������|������=0 = 0, |������=2 = 1 ������������ ⎪ ������������ ⎪ ������| = −������2 , =0 ⎪ ������������ |������=0 ⎩ ������=0 lim������→+∞ |������(������, ������)| = 0. ⎧ ������������ − ������ 2 ������ − ������������ = 0 0 < ������ < ������, ������ > 0 ⎪ ������������ ������������2 ⎪ ⎨������|������=0 = 0, ������|������=������ = 0 ������ > 0 ⎪ π������ ⎪������|������=0 = sin ������ ⎩ 五、 (20 分) 利用 Fourier 变换相关知识求解下列各问： (1) 试直接写出 ������ −1 [e−������|������| ] 的表达式.
黑龙江科技学院考试试题偏微分方程期末考试试题(07)
二、解：解：首先将方程化成 SL 型方程，方程两端同时乘以 ex ，有
( ) ex y ' '+ 3lex y = 0
此方程为 SL 型方程，所以 ln ³ 0 ，又因为两端出现的是第一类边界条件，所以无零 固有值。 设l = k2 > 0，
方程 y ''+ y '+ 3l y = 0 的特征方程为 k2 + k + 3l = 0 ，有 k = -1± 1-12l 2
y y
''+ y '+ 3l y = 0
(0) = y (1) = 0
(0 < x < 1)
三、（10 分）写出二阶线性偏微分方程的分类和标准式。 四、（15 分）求半无界弦的自由振动问题
ìutt = a2uxx (t > 0, x > 0)
ï
íu (t, 0) = 0 ïîu (0, x) = j ( x) , ut (0, x) = f ( x)
ìx íîh
= =
xy ，其中 y
y
¹
0，J
=
y 0
由链式法则
x = y ¹0
1
ux = yux
uy = xux + uh
uxx = y2ux
uxy = ux + xyuxx + yuxh
uyy = x2uxx + 2xuxh + uhh 代入原方程得 h 2uhh +huh = 0 ，因为h = y ¹ 0 ，有huhh + uh = 0
pn-1
(a
)
-
pn+1
华中师大偏微分方程试卷
华中师范大学 2006 –2007ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学年第二学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
3u 6 u 3u 2u 4u 6u u 6u 9u u u u 3u 0
即
16 u 4u 0 ，
故原方程的标准型为
u
1 u 0. 4
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2. 求解 Cauchy 问题：
(1) (2)
由边界条件可知
X (0)T (t ) 0,
于是
X (1)T (t ) 0.
(3)
X (0) X (1) 0.
下面解特征值问题(1), (3). 情形 1.
0, 则(1)的通解为：
X ( x) c1e
x
c2 e
x
.
代入边界条件(3)得： c1 c 2 0 ，这时特征值问题（1） ， （3）只有平凡解. 情形 2.
其中 Ak a k c k , Bk bk c k . 作级数
偏微分方程习题及答案
偏微分方程习题及答案【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x） 10、（o）二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）三、填空题（每小题2分，共20分）?2?216、2?2??x1?x2?2?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed? 25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题：（每小题12分，共36分）?u?u?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。
解：在点(xj,tn)处，差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）便于计算的形式为?1nnn???/h （4分） un?u?a?(u?ujjj?1j)，?u?2u?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。
偏微分方程应用考试试题
偏微分方程应用考试试题题目一：1. 一个热传导问题：矩形金属板的热传导方程为∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)，其中 u(x,y,t) 表示温度分布， x，y 为空间变量， t 为时间变量, α 是一个正常数。
如果矩形板的边界满足以下条件:u(0,y,t) = 100, u(L,y,t) = 200, 0 ≤ y ≤ H, 0 ≤ t，(1)∂u/∂y(x,0,t) = 0，∂u/∂y(x,H,t) = 0，0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t，(2)u(x,y,0) = 0，0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ H，(3)其中 L 和 H 是正常数。
(a) 在给定的边界条件和初始条件下，求出热传导问题的解 u(x,y,t)。
(b) 求出 u(x,y,t) 在 y = H/2 处的时间变化情况。
(c) 使用有限差分方法求出 u(x,y,t) 的近似解。
2. 一个扩散问题：一维扩散方程为∂u/∂t = D * ∂²u/∂x²，其中 u(x,t) 表示某物质在空间 x 处的浓度分布，时间 t 为时间变量， D 是该物质的扩散系数。
如果在给定边界条件和初始条件下，扩散问题的解为：u(x,t) = A * exp(-α² * D * t) * sin(α * x + φ),其中 A，α 和φ 是常数。
(a) 求解上述扩散问题的边界条件和初始条件。
(b) 给定某初始条件，在一定时间范围内，描述u(x,t) 的变化情况。
题目二：1. 一个波动方程问题：一维波动方程为∂²u/∂t² = c² * ∂²u/∂x²，其中 u(x,t) 表示波动的振幅， x 为空间变量，t 为时间变量, c 是波速。
如果波动问题的解为：u(x,t) = A * sin(k * x - ω * t + φ),其中 A，k，ω 和φ 是常数。
数学物理方程期末考试题及答案
数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。
答案：\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程，也称为________方程。
答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。
答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。
答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。
答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。
答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。
在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。
一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。
12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。
答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。
它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。
偏微分方程练习题
偏微分方程练习题(2014年12月)11.1设Ω⊂R n是一个开集,分别写出C∞0(Ω)、C m(Ω)(m为非负整数)、C m(Ω)(m为非负整数)、L p(Ω)(1≤p<∞)、L ploc (Ω)(1≤p<∞)代表的函数空间的定义并给出这些空间两两之间的包含关系(至少写出三个关系).1.2分别写出柯西不等式和带ε的柯西不等式并严格证明(ε为正常数).1.3分别写出Young’s不等式和带ε的Young’s不等式并严格证明(ε为正常数).1.4设a,b>0,0<p<+∞,证明(a+b)p≤max{1,2p−1}(a p+b p).22.1设Ω⊂R n是一个有界开集,多重指标α=(α1,···,αn),|α|=α1+···+αn.设u∈L1loc (Ω),写出u的α阶弱偏导数Dαu(假定存在)的定义.并且用自己的语言简要说明弱偏导数和经典分析中的偏导数之间的区别和联系.2.2设Ω=(0,2)⊂R,u(x)={x,0<x≤1; 1,1<x<2,及v(x)={1,0<x≤1; 0,1<x<2.请用定义验证v(x)是u(x)的一阶弱导数. 33.1设Ω=B(0;4)为R n中球心是坐标原点半径为4的开球体,f=f(r)(r=√x21+···+x2n)是径向对称函数,请化简积分∫Ωf(x)dx(用ωn表示n维单位球体的体积).3.2设Ω⊂R n为有界区域,f(x)=(f1(x),···,f n(x))是定义在Ω中的向量值光滑函数,g(x)是定义在Ω中的光滑函数,请写出微分算子div f、∇g及∆g的定义.3.3设Ω⊂R n为有界光滑区域,ν是∂Ω的单位外法线向量,f(x)=(f1(x),···,f n(x))是定义在Ω中的向量值函数,f i∈C1(Ω)∩C(¯Ω)(i=1,···,n),请写出散度定理的内容(不需要证明). 3.4证明分部积分公式(经典分析中分部积分公式的高维形式)：设Ω⊂R n为有界光滑区域, f,g∈C1(Ω)∩C(¯Ω),则∫Ωf∂g∂x idx=−∫Ωg∂f∂x idx+∫∂Ωfgνi dS,1这里νi 是∂Ω的单位外法线向量ν的第i (1≤i ≤n )个分量,dS 表示曲面积分.3.5证明第一格林公式：设Ω⊂R n 为有界光滑区域,f,g ∈C 2(Ω)∩C 1(¯Ω),则∫Ωf ∆gdx +∫Ω∇f ∇gdx =∫∂Ωf ∂g ∂νdS,这里ν是∂Ω的单位外法线向量,dS 表示曲面积分.3.6证明第二格林公式：设Ω⊂R n 为有界光滑区域,f,g ∈C 2(Ω)∩C 1(¯Ω),则∫Ω(f ∆g −g ∆f )dx =∫∂Ω(f ∂g ∂ν−g ∂f ∂ν)dS,这里ν是Ω的单位外法线向量,dS 表示曲面积分.3.7假定对任意的f ∈C ∞0(B (0;1))成立不等式∫B (0;1)|f (x )|p dx ≤C (n,p )∫B (0;1)|∇f (x )|p dx,1≤p <+∞,请用Rescaling 技术证明：对任意的f ∈C ∞0(B (x 0;r ))成立不等式∫B (x 0;r )|f (x )|p dx ≤C (n,p )r p ∫B (x 0;r )|∇f (x )|p dx,1≤p <+∞,这里B (x 0;r )是球心为x 0半径为r 的开球体,C (n,p )是一个仅与n,p 有关的正常数.44.1设ωn 表示n 维单位球体的体积,请写出n (n ≥3)维Laplace 方程的基本解Γ(x,ξ),x ∈R n 是自变量,ξ∈R n 是参变量.并且证明:∀ξ∈R n ,Γ(x,ξ)∈L 1loc (R n )以及∆x Γ(x,ξ)=0,x =ξ.4.2设u ∈C 2(Ω),−∆u =0,证明u 满足平均值性质:∀B (x ;r )⊂⊂Ω,成立u (x )=1|∂B (x ;r )|∫∂B (x ;r )u (y )dS y =1|B (x ;r )|∫B (x ;r )u (y )dy,这里|∂B (x ;r )|和|B (x ;r )|分别表示∂B (x ;r )的面积和B (x ;r )的体积.4.3设Ω⊂R n 为有界连通开集,u ∈C 2(Ω)∩C (¯Ω)满足−∆u (x )=0,∀x ∈Ω,证明u 满足强极值原理:如果u 在Ω中取到最大值或最小值,则u 必是常值函数.4.4设Ω⊂R n 为有界连通开集,u ∈C 2(Ω)∩C (¯Ω)是Derichlet 边值问题{−∆u (x )=0,x ∈Ω;u (x )=g (x ),x ∈∂Ω,的解.如果g (x )≥0,∀x ∈∂Ω,则u 在Ω中恒正或恒等于零.4.5设u ∈C 2(B (0;r ))满足−∆u (x )=0,u (x )≥0,∀x ∈B (0;r )⊂R n .则∀x ∈B (0;r ),成立Harnack 不等式r n −2(r −|x |)(r +|x |)n −1u (0)≤u (x )≤r n −2(r +|x |)(r −|x |)n −1u (0).2并且据此结论证明:如果v ∈C 2(R n )满足−∆v (x )=0,v (x )≥0,∀x ∈R n ,则v 必是常值函数(Liouville’s 定理).4.6设Ω⊂R n 为有界连通开集,u ∈C 2(Ω)∩C (¯Ω)满足−∆u (x )+c (x )u (x )≤0,∀x ∈Ω,其中c (x )是Ω上非负有界函数,请叙述强极值原理.并且举例说明当c (x )不是Ω上非负函数时,强极值原理不成立.4.7设ΩR =R n \B (0;R ),R >0,u ∈C 2(ΩR )∩C (ΩR )满足−∆u (x )+c (x )u (x )=0,x ∈ΩR ,u (x )=g (x ),x ∈∂B (0;R ),lim |x |→∞u (x )=0.证明:如果c (x )≥0,n ≥3,则存在一个正常数C 使得|u (x )|≤C |x |2−n ,∀x ∈ΩR .4.8设Ω⊂R n 为有界光滑区域,u ∈C 2(Ω)∩C 1(¯Ω)满足{−∆u (x )+c (x )u (x )=f (x ),x ∈Ω;u (x )=0,x ∈∂Ω,这里c (x )≥0,∀x ∈Ω及f ∈L 2(Ω).证明:存在一个仅与n,Ω有关的正常数C 使得∫Ω|∇u (x )|2dx +2∫Ωc (x )|u (x )|2dx ≤C ∫Ω|f (x )|2dx.并且据此能量估计证明:如果f ≡0,则u ≡0.4.9设Ω⊂R n 为有界光滑区域,如果0=u ∈C 2(Ω)∩C 1(¯Ω)满足{−∆u (x )=λu (x ),x ∈Ω;u (x )=0,x ∈∂Ω,这里λ∈C (复数集),则称λ为特征值,u 称为相应于λ的特征函数.证明λ>0以及相应于不同特征值的特征函数一定按照L 2内积正交.55.1请写出热方程∂t u −∆u =0的基本解Γ(x,t ;ξ,τ),(x,t )∈R n ×R 是自变量,(ξ,τ)∈R n ×R 是参变量.并且证明:∀(ξ,τ)∈R n ×R ,t >τ时,∫R n Γ(x,t ;ξ,τ)dx =1以及∂t Γ(x,t ;ξ,τ)−∆x Γ(x,t ;ξ,τ)=0,x ∈R n .5.2请从数学上严格解释热量传递(热传导)具有无限传播速度性质.注意：不能仅用文字描述，至少要写出一个数学表达式并通过这个表达式来分析.5.3利用延拓方法求解下列初边值问题∂t u =∂xx u (x ),0<x <l,u (0,t )=u (l,t )=0,t ≥0,u (x,0)=φ(x ),0≤x ≤l,3这里φ∈C ([0,l ]),φ(0)=φ(l )=0.5.4设Ω⊂R n 为有界开集,T >0,u ∈C 2,1(ΩT )∩C (ΩT )满足∂t u (x,t )−∆u (x,t )≤0,∀(x,t )∈ΩT ,请叙述弱极值原理并给出严格证明.5.5设Ω⊂R n 为有界开集,T >0,u ∈C 2,1(ΩT )∩C (ΩT )满足∂t u (x,t )−∆u (x,t )+c (x,t )u (x,t )≤0,∀(x,t )∈ΩT ,其中c (x,t )是ΩT 上非负有界函数,请叙述弱极值原理并给出严格证明.5.6设E (t )在[a,b ]上可导,u (t ),v (t )∈C ([a,b ]).假定E ′(t )≤u (t )E (t )+v (t ),∀t ∈[a,b ],证明(Gronwall 不等式)E (t )≤E (a )e ∫ta u (τ)dτ+∫t a v (τ)e ∫t τu (s )ds dτ,∀t ∈[a,b ].5.7设Ω⊂R n 为有界光滑区域,T >0,如果u ∈C 2,1(ΩT )满足∂t u (x,t )−∆u (x,t )=f (x,t ),(x,t )∈ΩT ,u (x,0)=φ(x ),x ∈Ω,u (x,t )=0,(x,t )∈∂Ω×(0,T ),或∂t u (x,t )−∆u (x,t )=f (x,t ),(x,t )∈ΩT ,u (x,0)=φ(x ),x ∈Ω,∂u (x,t )∂ν=0,(x,t )∈∂Ω×(0,T ),这里ν是∂Ω的单位外法线向量.证明:∀t ∈[0,T ],成立能量不等式∫Ω|∇u (x,t )|2dx +2∫t 0∫Ω|∇u (x,τ)|2dxdτ≤e T (∫Ω|φ(x )|2dx +∫t 0∫Ω|f (x,τ)|2dxdτ).并且据此能量估计证明:如果f ≡0,φ≡0,则u ≡0.4。
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黑龙江科技学院考试试题第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程()()()()()22222,,0,0,,0t u u a x t t xu x x u x x ϕψ⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩的通解. 三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解()()()2,0,,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x xu x x ⎧=>-∞<<+∞⎪=⎨⎪=⎩ 四、（10分）计算积分()32x J x dx -⎰. 五、（15分）设1,1≥≥n m ，证明()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ⎰⎰--=++11111六、（15分）用分离变量法求解()()()()()20,0,0,00,,00,0,,0tt xx t u a u x l t u x u x xu t u l t ⎧-=<<>⎪==⎨⎪==⎩ 七、（10分）解固有值问题()()()''0,''0y y l x l y l y l λ+=-<<⎧⎪⎨-==⎪⎩ 八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.黑龙江科技学院考试试题答案第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、解：波动方程：()222,u a u f t x t∂=∆+∂热传导方程：()2,ua u f t x t∂=∆+∂ 位势方程：()u f x ∆= ……………………….5分 其中()12,,,n x x x x =，a 为常数，(),f t x 及()f x 为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，而与时间t 无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。
……………………….15分二、解：首先判别方程的类型，20a ∆=> ………………………2分即此方程在整个全平面上都是双曲型的。
特征方程为：()()2220dx a dt -=()()22200dx a dt dx adt -=⇒=特征曲线为12x at c x at c -=⎧⎨+=⎩ ………………………6分做变量替换，令x atx at ξη=-⎧⎨=+⎩，由链式法则得 0u ξη=通解()()()()u f g f x at g x at ξη=+=-++ ……………………….10分三、解：()()()[]()⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξφϕϕ2121, ……………………….5分()()()[]⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξcos 21sin sin 21,()()[]at x at x a at x --++=sin sin 21cos sin ……………………….10分at x aat x sin cos 1cos sin += ……………………….15分四、解：由分部积分法及微分关系()1'v v v v x J x J -=，有()()()()341413122114x J x dx x x J dx x x J x x J dx -------==-⎰⎰⎰3232111044'x J x J dx x J x J dx ---=-=--⎰⎰ ……………………….5分 3210048x J x J xJ dx =--+⎰ ……………………….8分 ()()()321084x x J x x J x C =-+-+……………………….10分五、证明：()()()11100''m m n n n n x p x dx x xp x p x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ……………………….5分 ()()()()()111111010101m mmm n n n n xp x m x p x dx x p x mx p x dx +---=-+-+⎰⎰……….10分()()()111101mm n n m x p x dx m x p x dx --=-++⎰⎰……….15分移项有 ()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ⎰⎰--=++111101六、解： 设()()()t T x X t x u =,分离变量λ-=''=''X X T a T 2代入方程组得()()⎪⎩⎪⎨⎧=+''===+''00002T a T l X X X X λλ………..3分解固有值问题()()⎩⎨⎧===+''000l X X X X λ得 2][l n n πλ= 3,2,1=n ； ()x ln x X n πsin =………..6分 将2][ln n πλ=代入02=+''T a T λ得 ()t lan D t l a n C t T n n n ππsin cos +=………..9分所以()x ln t l a n D t l a n C t x u n n n πππsin ]sin cos [,+= 叠加得原解()()x ln t l a n D t l a n C t x u t x u n n n n n πππsin ]sin cos[,,11+==∑∑∞=∞= 代入初值条件()()()0221sin0,0,11=+==∑∑∞=∞=x ln C x u x u n n n n π()x x l n D l a n x u n n t ==∑∞=ππsin 0,1得系数 0=n C()an l xdx l n x l a n lD n l n 2221021sin 2πππ+-=⋅=⎰………..13分所以得原问题的解()()x ln t l a n an l t x u n n πππsin sin21,12221∑∞=+-=………..2分 七、解：题中方程是斯-刘方程，其中()()()1,0,1k x q x x ρ≡≡≡，又题中两端边界条件都是第二类，故0λ≥，而且有零固有值0λ=，相应固有函数为()1y x ≡。
当0λ>时，设()20λμμ=>，方程的通解为()cos sin y x A x B x μμ=+……….3分将此式代入边界条件，并消去公因子μ，得sin cos 0sin cos 0A l B l A l B l μμμμ+=⎫⎬-+=⎭（1）为使A,B 不全为0，必须系数行列式sin cos sin 20sin cos lll l lμμμμμ==-故()22,,1,2,22n n n n n n l l ππμλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭……….7分把n μ代入（1）有sincos 022n n A B ππ+= 这个方程的一个非零解是 cos sin 22n n A B ππ==-，与n λ相应固有函数为()()coscos sin sin 2222cos2n n n x n n xy x l ln x l lπππππ=-+=……….10分八、Sturm-Liouville 定理：若()()(),,k x q x x ρ满足：在[],a b 上()()(),',k x k x x ρ连续；当(),x a b ∈时，()()()0,0,0k x x q x ρ>>≥，而,a b 至多是()()k x x ρ及的一级零点；()q x 在(),a b 上连续，而在端点至多有一级极点。
则S-L 固有值问题()()()()0,,d dy k x q x y x y a x b dx dx a b λρ⎧⎡⎤-+=<<⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪⎩两端点加五种边界条件之任一……….2分的固有值和固有函数有下列重要性质：1、可数性：存在可数无穷多个固有值12n λλλ，lim n n λ→∞=+∞。
与每一个固有值相应的线性无关的固有函数有且只有一个。
……….4分2、非负性：0n λ≥，有零固有值的充要条件是：()0q x ≡，且,a b 两端都不取第一、三类边界条件，这时相应的固有函数为常数。
………6分3、正交性：设m n λλ≠是任意两个不同固有值，则相应的固有函数()m y x 和()n y x 在[],a b 上带权()x ρ正交，即有()()()0bmnax y x y x dx ρ=⎰……….8分4、固有函数系(){}n y x 是完备的。
……….10分。