方晓柯《自动控制原理电子教案》第二章 数学模型

设
，
，则
两者结合起来，就有:
L f1t f2 t L f1t L f2 t F1s F2 s
2.微分定理
设
，则
。
式中： ——函数 在 时刻的值，即初始值。
同样，可得 的各阶导数的拉氏变换是：
L
d 2 f (t)
dt 2
s2F (s) sf (0)
f (0)
L
d
3f dt
有预告的能力。 （2）增加系统的阻尼比。 （3）强化噪声。既然对输入有预测能力，那么对噪声也能预测。
因而微分环节常用来改善控制系统的动态性能。
3.积分环节： G s 1
s
特点：
（1）输出量取决于输入量对 时间的积累。
（2）输出相对于输入有明显 的滞后，有滞后作用。
4.一阶微分环节： G(s) Ts 1
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数 为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是 时间的函数，则称为线性时变系统。线性系统的特点是具有线性 性质，即遵循叠加原理。
在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用 阶常系数线性
微为分方，x程则c 来单t 描输述入其、运单动输特出性阶。系设统系常统系的数输线入性量微为分方，xr程系t有统如的下输的出一量
3.建模方法：
分析法 本课研究 实验法 系统辨识课研究
4.常用数学模型
微分方程 传递函数 频率特性 状态方程
5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径
求解
观察
线性微分方程
时间响应
性能指标
拉氏变换 传递函数
拉氏反变换 估算
估算
S=jω 频率特性 计算 频率响应
2.1 线性系统的微分方程
微分方程的列写的步骤：
1
3.单位速度函数的拉氏变换 又称单位斜坡函数，其数学表达式为：
1 s2
4.单位加速度函数的拉氏变换
5.指数函数
的拉氏变换
6.正弦函数与余弦函数的拉氏变换
Fs
Fs
1 sa
三.拉氏变换的主要定理
1.叠加定理
拉氏变换服从线性函数的齐次性和叠加性。
（1）齐次性
设
，则
式中： ——常数。
（2）叠加性
c1 t
Im 2
c2 t
Re
z z -2
2 -1
Baidu Nhomakorabea
0 1
t
c1(t)
L1[ s(s
8s 4 1)(s
] 2)
2
4et
6e2t
c2 (t)
L1[ s(s
3s 4 1)(s
] 2)
2
et
e2t
2.3.4 典型环节的传递函数
1.比例环节： Gs K
2.微分环节： G s s
特点: （1）输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势,
3.积分定理
设
，则
式中:
——积分
。 在 时刻的值。
当初始条件为零时，
对多重积分是
L
当初始条件为零时，
4.初值定理 它表明原函数在
时的数值。
即原函数的初值等于 乘以象函数的终值。
5.终值定理
设
，并且 存在，则
即原函数的终值等于 乘以象函数的初值。
2.2.2 拉氏反变换 拉氏反变换的公式为：
式中： ——表示拉普拉斯反变换的符号 求解拉氏反变换的方法：部分分式法
第2章 控制系统的数学模型
2.1 控制系统的运动微分方程 2.2 拉氏变换与反变换 2.3 传递函数 2.4 系统方框图及其化简 2.5 信号流图与梅逊公式
重点： 1.拉氏变换的定义与常见函数的拉氏变换。 2.传递函数的概念、典型环节的传递函数。 3.系统框图的建立、化简。 4.梅逊公式的应用。
难点： 实际物理系统，特别是机械系统微分方程的列写。
Rs
Es
Es RsBs
Bs
注意：只有相同量纲的量才能比较。
3.引出点：表示同一信号向不同方向传递。
Rs Rs
注：同一位置引出的
Rs
信号不仅量纲相
同，数值也相等。
2.4.2 框图的建立
1.框图的建立步骤
方程个数比中间变量多1个
(1)根据系统遵循的定律，建立系统的微分方程；
(2)在零初始条件下对微分方程进行拉氏变换，并根据因果关系
式中， ， ，…， 是
的根，称为 的极点。按照这些根的
性质，可分为以下几种情况来研究。
1. 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换
F s
Bs As
b0sm b1sm1
s p1s p2
bm1s
s pn
bm
A1 A2
An
n
Aj
s p1 s p2
s pn j1 s p j
实常数。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，
所以总是:
≤
2.2 拉氏变换与反变换
2.2.1 拉氏变换
一.拉氏变换的定义： 有一个以时间 为自变量的实变函数 ，且 当 ≥ 时，则 的拉氏变换为：
t时 0
f t 0
L
式中： 是复变数，
（σ、ω 均为实数），
原函数
象函数 表示进行拉普拉斯变换的符号。
j
0
j 影响了自由响应的振荡情况，决定了系统在规定时间内接
近稳态的情况。
2.零点影响各模态在响应中所占比重。
例 具有相同极点不同零点的两个系统
8s 4 G1(s) (s 1)(s 2)
G2
(s)
(s
3,s分别4 求零初始条件下的单位阶跃响应。
1)(s 2)
解： 两个系统的极点为-1、-2，c零t点分别为：-0.5、-1.3。
A1 A2 s A3 s s2 s 1
1
s
s s2 s 1
查拉氏变换表得：
2.2.3 应用拉氏变换解线性微分方程 应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：
(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为 的代数方程；
(2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
(3) 用拉氏反变换得到微分方程的时域解。
注意：
（1）在任一有限区间内， 为分段函数，只能有有限个间断点。
（2）当时间 ∞， f t Meat 。
二.几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数的拉氏变换
2.单位脉冲函数δ(t) 的拉氏变换
≤≤
单位脉冲函数的性质：
t
f
t dt
f
0
单位脉冲函数
L t
t est dt
e st
0
t 0
般形式 ：
a0
d
n xc t
dt n
a1
d n1xc t
dt n1
a2
d n2 xc t
dt n2
an1
dxc t
dt
an
xc
t
b0
d
m xr t
dt m
b1
d m1xr t
dt m1
bm1
dxr t
dt
bm
xr
t
式中：a0， a，1 … ， 和a n ，b0，…b1 ， ——b由m系统结构参数决定的
8.延时环节： G s es
2.4 系统的传递函数方框图及其化简
方框图（框图）：以图形描述系统信号传递关系的数学模型。
2.4.1 框图的构成要素
1.方框： 表示对信号进行数学变换。
Rs Gs Cs
Cs GsRs
2.比较点： 表示对两个或两个以上信号进行加减运算。
“+”表示相加，“-”表示相减。
5.惯性环节：
G(s) 1 Ts 1
6.二阶微分环节： Gs T 2s2 2Ts 1
7.振荡环节：
G(s)
s2
n2 2ns n2
T 2s2
1
2Ts
1
阻尼比
n
无阻尼振荡频率
（1）当0< <1时，输出为一振荡过程，称为振荡环节。
（2）当 ≥1时，输出为一指数上升曲线而不振荡，这时不是
振荡环节。
bm1s bm an1s an
nm
2. 传递函数的性质：
Gs
Cs Rs
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s bm an1s an
（1）传递函数是s的函数，其中分子表示了系统与外界的联系，分
母反映了系统本身的固有特性。
（2）若输入给定，则系统的响应为：ct L C s L Gs RS
)
Ri (t )
ur
(t)
uc (t)
1 c
i (t )dt
i(t) R
ur(t)
L
C uc(t)
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t dt
)
uc
(t)
ur
(t)
分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程的 系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。
1.数学模型： 描述系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。
2.建立数学模型的目的：
●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工 作（或基础工作）。
●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动 的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。 因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各 种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规 律。
零状态响应
（3）n≥m，因为实际系统或元件总存在惯性。
（4）传递函数可以有量纲，也可以没有；
（5）物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递 函数。
2.3.2 传递函数的零点(zero) 和极点(pole)
1.传递函数可写为如下形式：
首1型
m
Gs
Cs Rs
k
s s
z1 s p1 s
z2 p2
s zm s pn
k
s
i 1
n
s
zi
pj
j 1
式中zi称为零点；pj称为极点；k称为传递系数或根轨迹增益。
S平面
j
零、极点分布图：
0
2.传递函数也可分解为如下形式：
m
( i s 1)
G(s) K
i 1
n
s (Tj s 1)
j 1
K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。
1.确定系统的输入、输出变量； 2.从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量 所遵循的物理定理写出各微分方程； 3.消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；
4.变换成标准形式。
2.1.1机械系统
例： 图为机械位移系统。
解: 阻尼器的阻尼力:
F1(t)
f
dy(t) dt
k
F
弹簧弹性力: F2(t) ky(t)
尾1型
2.3.3 零点和极点对系统性能的影响
系统特征方程的根
1. 极点决定系统的稳定性。
稳定性、快速性、准确性
当 t 时，如果自由响应收敛于0，那么系统是稳定的。
系统极点的形式： p j j j j S平面
必落在复平面的左半平 面
当 j 时0，系统是稳定的。
j 越大，系统消除误差的速度越快，快速性越好。
式中，A是j 待定系数，它是 s 处p的j 留数，其求法如下：
Aj Fs s p j sp j
再根据拉氏变换的叠加定理，求原函数。
例1：求
的原函数。
解:首先将 的分母因式分解，则有：
（2.37）
LFs
2.含有共轭复数极点时的拉氏反变换
例2: 已知
,求 。
解：
Fs s 1
s(s2 s 1)
1.方框的串联等效
2.3 控制系统的传递函数
2.3.1 传递函数的概念 1 .定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换 C s与 输入
量的拉氏变换 R之比s，称为传递函数 。G s
G(s) C(s) R(s)
Rs Gs Cs
Cs GsRs
一般系统的传递函数为：
Gs
Cs Rs
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
绘出相应的框图；
输入 中间变量 输出
(3）按照信号的传递过程，依次将各框图连接起来，系统输入量 置于左端，输出量置于右端，便得到系统的框图。
例1 绘出RC电路的框图。
i(t) R
ui(t)
C
解:
（1）根据电路遵循的定律，列写微分方程：
ui t Rit uo t
uo
t
1 C
i
t
dt
（2）对上式进行拉氏变换，并绘出相应框图:
Ui s RI s Uo s
Ui s Ui s Uo s 1
R
Uo s
uo(t)
I s
U
o
s
1 Cs
I
s
I s
1 Uo s
Cs
（3）将上述各框图按照信号的传递方向连接起来，即构成
RC网络的框图:
输入 中间变量 输出
Ui s Ui sUo s 1 I s
R
Uo s
1 Uo s
Cs
反馈线
2.4.3 框图的等效变换法则
通常将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一 查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 。
部分分式法 在控制理论中，常遇到的象函数是 的有理分式:
为了将 写成部分分式，首先将 的分母因式分解，则有:
F s
b0 s m b1s m1
s p1 s p2
bm1s
s pn
bm
m
m
d
2 y(t) dt 2
F t
F1 (t )
F2 (t)
f
y(t)
整理得:
d 2 y(t) dy(t) m dt 2 f dt ky(t) F (t)
2.1.2 电系统
例： 如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网 络微分方程。
解:
L
di(t ) dt
uc
(t
(t)
3
s3F
(s)
s
2
f
(0)
sf
(0)
f (0)
……
L
d
nf dt
(t
n
)
s n F (s) s n1 f
(0) sn2 f (0)
f
n1(0)
式中： ， ，…， ——原函数各阶导数在 时刻的值。 如果函数 及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始件）， 则 各阶导数的拉氏变换为: