正多边形的性质

24.6 正多边形与圆

第2课时 正多边形的性质

1．进一步了解正多边形的有关概念；

2．理解并掌握正多边形与圆之间的关系，并能运用其进行相关的计算(重点，难点)．

一、情境导入

如图，要拧开一个边长为6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？

二、合作探究

探究点：正多边形的性质 【类型一】 求正多边形的中心角 已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．

解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，可知正多边形的边数为5，则其中心角为360°÷5＝72°.故填72.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】 正多边形的有关计算

已知正六边形ABCDEF 的半径是R ，求正六边形的边长a 和面积S .

解：作半径OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，则∠AOH ＝180°6＝30°，∴AH ＝12

R ，∴a ＝2AH ＝R .．设OH =r ，由勾股定理可得r 2＝R 2－(12R )2，∴r ＝32R ，∴S ＝12·a ·r ×6＝12·R ·32R ·6＝332R 2. 方法总结：熟练掌握多边形的相关概念以及等边三角形与圆的有关计算．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

【类型三】 与正多边形有关的探究题

如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (2，0)，正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过(2014，3)的正六边形的顶点是( )

A ．C 或E

B ．B 或D

C ．A 或E

D ．B 或F

解析：∵点A (1，0)，B (2，0)，∴OA ＝1，OB ＝2，∴正六边形的边长AB ＝1，∴当点D 第一次落在x 轴上时，OD ＝2＋1＋1＝4，∴此时点D 的坐标为(4，0)．如图①所示，当滚动到A ′D ⊥x 轴时，E 、F 、A 的对应点分别是E ′、F ′、A ′，连接A ′D ，过点F ′，E ′作F ′G ⊥A ′D ，E ′H ⊥A ′D ，∵六边形ABCDEF 是正

六边形，∴∠A ′F ′G ＝30°，∴A ′G ＝12A ′F ′＝12，同理可得HD ＝12

，∴A ′D ＝2，∴在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是2.如图①，∵D (2，0)，∴A ′(2，2)，OD ＝2.

∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点(2，2)开始到点(2014，3)正好滚动2012个单位长度．∵20126

＝335…2，∴恰好滚动335周多2个，如图②所示，点F ′的纵坐标为3，∴会过点(2014，3)的是点F ，当点D 在(2014，0)位置时，则E 点在(2015，0)位置，此时B 点在D 点的正上方，DB ＝3，所以B 点符合题意．综上所示，经过(2014，3)的正六边形的顶点是B 或F .故选D.

方法总结：本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A ′点的坐标是解答此题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．正多边形的有关概念

中心、半径、边心距、中心角

2．正多边形的性质

正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形有n 条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心. 如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问

题.