九年级数学三等分角问题
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。
三大难题的提出传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
用数学语言表达就是：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。
比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。
这三大难题在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
貌似简单其实难从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。
也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。
可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。
可是谁也想不出解决问题的办法。
三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。
后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
辽宁省沈阳市南昌中学2023-2024学年下学期2月开学限时作业训练九年级数学试题
辽宁省沈阳市南昌中学2023-2024学年下学期2月开学限时作业训练九年级数学试题一、单选题1．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则8-℃表示气温为（ ） A ．零上8℃B ．零下8℃C ．零上2℃D ．零下2℃2．下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算结果正确的是（ ） A ．2235a a a += B ．()3236ab a b -=-C ．339a a a ⋅=D ．()22224a b a b +=+5．关于一元二次方程220x x --=的根的情况，下列判断正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有且只有一个实数根D ．没有实数根6．解分式方程233x x=-时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（ ） A ．xB ．3x -C ．()3x x -D ．()3x x +-7．关于一次函数1y kx =+的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．0k <B ．过点 0,1C ．y 随x 的增大而减小D ．当0x >时，0y <8．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，那么可列方程为（ ） A ．()103530x x +-= B ．()310530x x +-= C ．305103x x-+= D ．305310x x-+= 9．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若144∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．14︒B ．16︒C ．24︒D ．26︒10．如图，在ABC V 中，AB AC =，36BAC ∠=︒，以点C 为圆心，以BC 为半径作弧交AC于点D ，再分别以B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线CP 交AB 于点E ，连接DE ．以下结论不正确．．．的是（ ）A ．36BCE ∠=︒B ．BC AE = C．BE AC =D．AEC BEC S S =△△二、填空题11．因式分解：34m m -=．12．如图，已知A ，B 的坐标分别为()1,2，()3,0，将OAB △沿x 轴正方向平移，使B 平移到点E ，得到DCE △，若4OE =，则点C 的坐标为 ．13．一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为．14．如图，在ABCD Y 中，边AB 在x 轴上，边AD 交y 轴于点E ．反比例函数()0ky x x=＞的图象恰好经过点D ，与对角线DB 交于点F ．若2314DBC AE ED DF FB S ===V ，，，则k 的值为15．如图，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使DPG DAC ∠∠=，且过D 作DG PG ⊥，连接CG ，则CG 最小值为．三、解答题16．（1）计算：()011()1tan602π-+++-︒；（2）先化简，再求值：2223339x x x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x 17．为丰富学生课余生活，展示青少年美育学习成效，推动美育教育大发展．惠农区教体局组织开展了“百米长卷绘盛世 笔墨丹青寄未来”绘画活动，某学校为绘画小组购买某种品牌的A 、B 两种型号的颜料，若购买1盒A 种型号的颜料和2盒B 种型号的颜料需用56元；若购买2盒A 种型号的颜料和1盒B 种型号的颜料需用64元． (1)求每盒A 种型号的颜料和每盒B 种型号的颜料各多少元；(2)某中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A 种型号的颜料？18．中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：请你根据图中的信息，解答下列问题：(1)扇形统计图中a＝%，并补全条形统计图．(2)在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是个、个．(3)该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？19．某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过“快团团”APP进行团购拼单购买，线下可以到实体店购买．具体费用标准如下：①线上销售方式：一律七折销售；②线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠9元；购买水蜜桃x千克，所需费用y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)水蜜桃标价为________元/千克；(2)求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式；(3)若想购买20千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？20．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm ）（参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈，sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan220.40︒≈） 21．如图，AB 是O e 的直径，点C ，点D 在O e 上，»»AC CD=，AD 与BC 相交于点E ，AF 与O e 相切于点A ，与BC 延长线相交于点F ．（1）求证：AE AF =．（2）若12EF =，3sin 5ABF ∠=，求O e 的半径．22．根据以下素材，探索完成任务．跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点是某小型跳台滑雪训练轴，过轴，建立平面直角坐标系，图中的的823．下面是数学小组对一道习题的探究，请仔细阅读，并完成任务．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图1所示的图形，其中，四边形ABCD 是长方形，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，并且ACG AGC ∠=∠，GAF F ∠=∠．你能证明13ECB ACB ∠=∠吗？小明：经过分析，得出结论：点G 是线段EF 的中点，且2EF AC =；小丽：你的结论正确，若把条件“G 是CF 上一点，并且ACG AGC ∠=∠，GAF F ∠=∠”去掉，并把你的结论当成已知条件，也能完成三等分角的证明，有异曲同工之妙． 任务一：请你根据小丽的思路，写出证明过程．已知：四边形ABCD 是矩形，F 是DA 延长线上一点，点G 是EF 的中点，且2EF AC =．求证：13ECB ACB ∠=∠．任务二：如图2，在矩形ABCD 中，对角线AC 的延长线与CBE ∠的平分线交于点F ，若12BF AC =，4CF =，求BF 的长．任务三：如图3所示，在ABC V 中，90C ∠=︒，12AC =，点P 在线段BC 上，点D 在线段AC 上，2CD =，3PDC PAC ∠=∠，求ADP △的面积．。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
古希腊三个著名问题之一的三等分角
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则EG=GF=GA=BA，从中得到：∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4．10．多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示．用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R 落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上．在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角)．欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B 点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B 为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃．只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。
苏科版-数学-九年级上册-知识拓展 “三等分角仪”的制作原理是什么？
初中-数学-打印版
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“三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．
数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．
在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个角分成三等分．
把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图中阴影部分的形状，使AB 与半圆的半径CB 、CD
相等，PB 垂直于AD （即PB 与半圆相切，切点为B ）．这便做成了一个“三等分角仪”．
如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使PB 通过角的顶点P ，使A 点落在角的PM 边上，使角的另一边与半圆相切于E 点．最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ，则∠MPB ＝∠BPC ＝∠CPN ．
证明：连结CE ，则CE ⊥PN ．
∵Rt △PAB ≌Rt △PCB ≌Rt △PCE ，
∴∠APB ＝∠BPC ＝∠CPE ＝13
∠MPN ． 注：在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；
（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．。
三等分角
题目：三等分任意角地点：北京师大二附中 主讲人：徐超主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。
下面我们就有请徐超先生。
徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。
在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。
那么我从历史讲起。
三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。
先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。
什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。
那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法. 最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法. 用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点. 一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”. 直至1837 年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann ）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径r 1时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19 世纪出现的伽罗华理论. 尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意. 数学家Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1. 只用直尺及生锈圆规作正五边形2. 生锈圆规作图，已知两点A、B ，找出一点C使得AB BC CA.3. 已知两点A、B ，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4. 尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达. 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！ . 五种基本作图： 初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3. 做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线 下面介绍几种常见的尺规作图方法： ⑴ 轨迹交点法： 解作图题的一种常见方法 . 解作图题常归结到确定某一个点的位置 . 如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改 变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点 交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法例 1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇 相等，到两条高速公路 m 、 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应修建在什么位置？分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点 P 应满足两个条件，一是在线段 AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 P 应是它们的交点 .解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE ；⑵ 作线段 AB 的垂直平分线 FG ；则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C 1 ， C 2 就是发射塔的位置 .例 2】 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 （4 ， 0） ， O 是坐标原点，在直线 y x 3上求一点 P ，使 AOP是等腰三角形，这样的 P 点有几个？解析】 首先要清楚点 P 需满足两个条件，一是点 P 在 y x 3上；二是 AOP 必须是等腰三角形 .其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当 OA OP 时，以 O 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线有两个点 P 1、 P 2； 当 OA AP 时，以 A 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线无交点；当 PO PA 时，作 OA 的垂直平分线，. 这个利用轨迹的A 、B 的距离必须C2G与直线有一交点 P 3，所以总计这样的 P 点有 3个.分析】 设⊙M 是符合条件的圆，即其半径为 r ，并与 ⊙O 及⊙O '外切，显然，点 M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以 O 为圆心以 R r 为半径的圆上， 又在以 O'为圆心以 R' r 为半径的圆上， 因此所求圆的圆 心的位置可确定 . 若⊙O 与⊙O'相距为 b ，当 2r b 时，该题无解，当 2r b 有唯一解；当 2r b 时， 有两解 .解析】 以当⊙O 与 ⊙O '相距为 b ，2r b 时为例：⑴ 作线段 OA R r ， O' B R' r .⑵ 分别以 O ， O '为圆心，以 R r ， R' r 为半径作圆，两圆交于 M 1,M 2 两点. ⑶ 连接 OM 1 ， OM 2 ，分别交以 R 为半径的 ⊙O 于 D 、C 两点. ⑷ 分别以 M 1，M 2 为圆心，以 r 为半径作圆 . ∴⊙M 1,⊙M 2 即为所求 .思考】若将例 3 改为： “设⊙O 与⊙O '相离，半径分别为 R 与 R' ，求作半径为 r (r R)的圆，使其与 ⊙O 内切，与 ⊙O'外切. ”又该怎么作图？⑵ 代数作图法： 解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然 后根据线段长的表达式设计作图步骤 . 用这种方法作图称为代数作图法 .【例 4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周(已知圆心).【分析】 设半径为 1. 可算出其内接正方形边长为 2 ，也就是说用这个长度去等分圆周 .我们的任务就是做出这 个长度 . 六等分圆周时会出现一个 3的长度 .设法构造斜边为 3 ，一直角边为 1的直角三角形， 2 的 长度自然就出来了 .【解析】 具 体做法：⑴ 随便画一个圆 . 设半径为 1.⑵ 先六等分圆周 . 这时隔了一个等分点的两个等分点距离为例 3】 设⊙O 与 ⊙O '相离，半径分别为 R 与 R'，求作半径为 r 的圆，使其与 ⊙O 及⊙O'外切 .rMDO' O R'RrCMAB⑶ 以这个距离为半径， 分别以两个相对的等分点为圆心， 同向作弧， 交于一点 .（ “两个相对的等分点其实就是直径的两端点啦！ 两弧交点与 “两个相对的等分点 ”形成的是一个底为 2，腰为 3 的等腰三 角形. 可算出顶点距圆心距离就是 2 .） ⑷ 以 2 的长度等分圆周就可以啦！例 5】 求作一正方形，使其面积等于已知 ABC 的面积 .分析】 设 ABC 的底边长为 a ，高为 h ，关键是在于求出正方形的边长 x ，使得 x 2 1 ah ，所以 x 是 1a 与h 的22 比例中项 .解析】 已知：在 ABC 中，底边长为 a ，这个底边上的高为 h ，求作：正方形 DEFG ，使得： S 正方形 DEFG S ABC作法：⑴ 作线段 MD 1 a ；2⑵ 在 MD 的延长线上取一点 N ，使得 DN h ；⑶ 取 MN 中点 O ，以 O 为圆心， OM 为半径作 ⊙O ； ⑷ 过 D 作 DE MN ，交⊙O 于 E ， ⑸ 以 DE 为一边作正方形 DEFG . 正方形 DEFG 即为所求 .分析】 先利用代数方法求出点 M 与圆心 O 的距离 d ，再以 O 为圆心， d 为半径作圆，此圆与直线 l 的交点即 为所求 .解析】 ⑴ 作Rt OAB ，使得： A 90 ，OA r ， AB a .例 6】 在已知直线 l 上求作一点 M ，使得过 M 作已知半径为 r 的 ⊙O 的切线，其切线长为a.a⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.M1，M2 即为所求.若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的⊙O的切线，其切线长为 a.⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.例7】已知：直线a、b、c，且a∥b∥c.求作：正ABC ，使得A、 B 、C三点分别在直线a、b、c上.ab分析】假设ABC是正三角形，且顶点 A 、 B 、C三点分别在直线a、b、c上.作AD b于D，将ABD绕A点逆时针旋转60 后，置于ACD'的位置，此时点D' 的位置可以确定.从而点C也可以确定. 再作BAC 60 ， B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.解析】作法：⑴ 在直线a上取一点A，过A作AD b于点 D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形ADD ' ；⑶ 过D'作D'C AD ' ，交直线 c 于C；⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D'在AC异侧）.⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC .ABC 即为所求.例8】已知：如图，P 为AOB 角平分线OM 上一点.求作：PCD ，使得P 90 ，PC PD，且C在OA上，D在OB上.解析】 ⑴ 过 P 作 PE OB 于 E .⑵ 过 P 作直线 l ∥OB ;⑶ 在直线 l 上取一点 M ，使得 PM PE （或 PM ' PE ）；⑷ 过M （或M'）作MC l （或 M'C l ），交OA 于C （或C'）点；⑸ 连接PC （或PC' ），过 P 作PD PC （或PD' PC'）交OB 于D （或 D'）点. 连接 PD,CD （或 PD',C'D'）.则 PCD （或 PC'D'）即为所求 .⑷ 位似法作图： 利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的 图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出 满足全部的条件 .【例 9】 已知：一锐角 ABC .求作:一正方形 DEFG ，使得 D 、 E 在BC 边上， F 在AC 边上， G 在AB 边上.分析】 先放弃一个顶点 F 在 AC 边上的条件， 作出与正方形 DEFG 位似的正方形 D 'E 'F ' G' ，然后利用位似变换将正方形 D'E'F 'G '放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .解析】 作 法：⑴ 在 AB 边上任取一点 G'，过 G'作G'D' BC 于 D'⑵ 以G'D '为一边作正方形 D'E'F'G'，且使 E'在 BD '的延长线上 . ⑶ 作直线 BF'交 AC 于 F .⑷ 过F 分别作 FG ∥F'G'交 AB 于G ；作 FE ∥F'E'交BC 于E . ⑸ 过G 作GD ∥G'D'交 BC 于 D . 则四边形 DEFG 即为所求 .A⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过ABC的底边BC上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC的面积.分析】因为中线AM 平分ABC的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ平分ABC的面积，在AMC 中先割去AMP ，再补上ANP .只要NM ∥ AP ，则AMP 和AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了. 所以PN 就平分了ABC的面积.解析】作法：⑴ 取BC中点M ，连接AM ,AP;⑵ 过M 作MN∥AP交AB于N；⑶ 过P、N 作直线l . 直线l 即为所求.例11】如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.解析】⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点O ' ，则经过点O，O'的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条. 设⑴中的直线l 交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P ，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.例12】（07江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AC BC，那么称点C 为线段AB的黄金分AB AC割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2 ，如果S1 S2，那么称直线S S1 l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在△ABC 中，若点 D 为AB边上的黄金分割点（如图 2 ），则直线CD是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现： 过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ，再过点 D 作直线 DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线 EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图 4 ，点 E 是 ABCD 的边 AB 的黄金分割点， 过点 E 作 EF ∥ AD ，交 DC 于点 F ，显然直线EF 是 ABCD 的黄金分割线．请你画一条 ABCD 的黄金分割线， 使它不经过 ABCD 各边黄金分割 点．解析】 ⑴ 直线 CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：设 △ ABC 的边 AB 上的高为 h ．1112 BD h ， S △ABC 2AB h ，S △ ADC ADS △BDC BDS△ ABCABS △ ADC AD又∵点 D 为边 AB 的黄金分割点，∴AD BDS △ ADC S △ BDC ． AB ADS△ ABC S △ ADC∴直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线．⑵ ∵ 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， 此时 S 1 S 2 1S ，即 S1 S2 ，2 S S 1 ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵ DF ∥ CE ，∴ △DEC 和 △FCE 的公共边 CE 上的高也相等，设直线 EF 与CD 交于点 G ，∴ S △ DGE S △ FGC ． ∴ S △ ADCS四边形 AFGDS △ FGCS四边形 AFGDS△ DGES△ AEF ，∴直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；A C B图 11 S△ADC2 AD h ，S△ BDCS△ DECS△FCE又∵S△ ADC S △ BDC S△ AEFS四边形BEFCS△ ABC，∴S△ ADCS△ ABCS△ AEF图2图3图4S△ BDCS四边形 BEFC ．答案图 1) 答案图 2)画法一：如答图1，取EF中点G ，再过点G作一直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN ，再过点 F 作FM∥NE交AB于点M，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。
三等分角的问题
三等分角的问题一、研究动机：古代数学几何作图有三大难题，一是化圆为方，一是倍立方体，另一个则是三等分角，其中又以三等分角看起来最为容易。
可是这三大难题难倒了数学家好几个世纪，现代数学证明了用几何原本所规定的标尺作图法，是无法解出这三道难题，但是如果不限于标尺作图的话，是否可以把这三道问题解决呢？于是便开始了我们的研究路程。
二、研究目的：在这三道问题中，我们选择三等分角来进行研究。
三等分角顾名思义是把一个任意角分成三个相等的角，虽然有些特殊角很容易，比如直角，但其他的角度就无法适用。
现在我们利用所有可以采用的工具来作图，以便把我们想要的角分成三个等分，其中包括我们常用可以量刻度的直尺和圆规。
三、研究设备器材：直尺、圆规、三角板、木板、雕刻刀四、研究过程或方法：我们分三个方向来进行：1.拜近来科技的发达，透过因特网，寻找所有别人已经发现三等分角的方法，再重新整理一遍。
2.利用学校及附近的图书馆，找寻有关于三等分角的几何书籍，以资参考。
3.将国中所教到的几何观念以及所找到的数据，做出三等分角的方法。
最后将所有找到以及做出的八种方法详细整理与证明。
五、研究结果：这次研究总共找出了八种将一个角分成三分之一的方法，兹将这八种方法详列如后：∫是任意數1.标度尺(一)在一根直尺上，标出P、R两点，两点间距离是2∫，在∠AOB的一边上截取一点B，使OB =2∫，再从OB的中点C做两条直线，一线垂直OA，另一线则平行OA，移动尺使O 点在尺的边上，而P 、R 两点分别在所做的垂直及并行线上，沿着尺画线，就可把角AOB 三等分。
证明:以M 表PR 的中点，则∵∠PCR 为直角 ∴OC MC MR PM ====∫ ∵CR 平行OA∴∠AOR =∠MRC = ∠MCR = 21∠PMC =21∠MOC ∴∠AOR =31∠AOB2.标度尺(二)做一半圆，圆心O ，A 、B 在圆周上，使得∠AOB 为圆心角，在直尺上标记P 、R 两点，距离与半径等长，现移动直尺，让P 、R 分别落在BO 及圆周上，而A 在直尺边上，则∠RPO =31∠AOB证明：A BOC PRMBAPRO∠RPO = ∠ROP =21∠ARO = 21∠RAO 又∠AOB = ∠RAO + ∠RPO∴ ∠RPO =31∠AOB3.三连器利用上面的方法可做出种简单的三等分角的工具，如下图：OE 、OF 、CD 代表三根木条，OE = OF ，F 可沿着CD 中的沟槽移动。
三等分角教案
数学活动—三等分角教案教学任务分析教学流程安排教学过程设计一、课题引入：尺规作图三等分角是古希腊数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解（借助坐标系可证明60°角不可以用尺规作图三等分）.若将条件放宽，可以将一给定角三等分. 例如通过折纸的方法，或使用其它工具，或者可以配合其他曲线使用.尺规作图三等分任意角是古希腊几何作图三大难题之一，通过史料介绍，可以激发学生的好奇心和探究欲.二、 课题探究问题1：如何三等分直角？1. 量角器2. 含30°角的三角尺3. 折纸操作步骤：（1） 长方形纸片命名为ABCD ；（2） 将纸片对折，使得AD 与BC 重合，折痕为EF ；（3） 翻折左上角，使折痕通过点B ，且点A 落在EF 上，折痕记为BN ；（4） △ABM 为以长方形的宽为一边的等边三角形，射线BM ，BN即为∠ABC 的三等分线.小结：你能概括一下数学活动的过程吗？希望学生通过问题1的解决，了解用折纸的方法解决问题的原理，以及思路：折纸的原理就是全等变换，另外，折之前先通过草图分析点或线的性质，进而折出相应的点或线.同时，经历观察思考、动手操作、实践检验和推理证明的数学活动过程，积累数学活动经验.动手操作是难点，给学生留出足够的动手时间.证明过程中用到本章所学全等的相关知识，增强应用意识.导入：其它行业用到的工具. 问题2：勾尺三等分任意锐角 阅读材料：勾尺的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度．．=PQ=QR=RS ，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以PQ ⊥MN ）． （1）请根据下面的操作步骤，利用手中的勾尺三等分任意锐角ABC ∠.第一步：画直线DE 使DE ∥BC ，且这两条平行线的距离等于PQ ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在DE 上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在ABC ∠的BA 边上；第三步：标记此时点Q 和点P 所在位置，作射线BQ 和射线BP ．BAC（2）证明ABC ∠的三等分线是射线BQ 和射线BP ．问题2的导入，让学生了解不同行业运用工具解决问题，让学生有意识设计工具解决问题，增强应用意识. 通过阅读材料，完成操作过程，培养学生的阅读理解能力.动手操作依然是难点，通过操作勾尺，提高动手操作能力.组内互助，完成操作过程. 在帮助同伴的同时，体验成功的乐趣，收获更加深刻的理解. 最后，运用本章所学的全等及相关知识给出证明，一方面，发展学生严谨的逻辑思维；另一方面，增强学生的应用意识.。
角的三等分
角的三等分历史
• 公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境， 发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之 宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆， 藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请 著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城 市。亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅 中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了 一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。 国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主 再派人从南门取回居室。一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室， 和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是 两段路一样远的。过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为 她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有 河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了， 当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎 样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？
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研 究 步 骤
而三等分则不然。弦的三等分并不 是弧的三等分（如图）
弧的三等分与线段的三等分点的连线应该不是平行的。于是我们又开始 研究弧、弦与圆心角的关系。可是他们之间并不存在，或者只有很复杂 的关系，所以并不能通过弦与圆心角来画出弧的三等分。 但是我们又想到了π。π约等于三，所以在圆上，可以粗略地把圆周三 等分（如图）
A B
这样，只要求出所求角度与360°的关系， 再把圆规的半径缩小到同一倍数，也能近似 的三等分一个角。但是，这个方法受许多限 制，比如在缩小倍数时不能保证完全精确， 使本已近似的结果误差更大。有时倍数也不 能太复杂。所以，只有特殊角的三等分可以 用这种办法的。
尺规三大作图问题.
尺规三大作图问题尺规作图是我们熟知的内容。
尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。
直尺和圆规所能的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、圆点、作一条直线与一个圆的交点。
公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。
于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。
数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。
尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。
所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。
于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。
但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。
于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。
正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
另类做法：总述：人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.三等分任意角★作法一三等分角问题尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法二帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法三帕普斯(Pappus，约公元320年)方法对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA★作法四玫瑰线方法交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA立方倍积★作法一倍立方问题倍立方问题柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边。
九年级数学全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题22 等腰三角形(含解析)
等腰三角形一.选择题1. 1.（2019•浙江衢州•3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。
借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。
这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（）A. 60°B. 65°C. 75°D. 8 0°【答案】D【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，∴∠DCE=∠DEC=2x，∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，∵∠BDE=75°，∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，即x+180°-4x+75°=180°，解得：x=25°，∠CDE=180°-4x=80°.故答案为：D.【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.2. （2019•湖南长沙•3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B ＝30°，从而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，故选：B．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．3. （2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．4. （2019•湖南怀化•4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．5. （2019•湖南邵阳•3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC ＝∠C＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．∵AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠ADF＝∠ADC＝72°，∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．6. （2019•湖南岳阳•3分）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角（或等角）的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题；由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题；由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C.D是真命题，即可得出答案．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B．同角（或等角）的余角相等；真命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10.二.填空题1. （2019•湖南怀化•4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为36°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2. （2019•湖南邵阳•3分）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．【分析】作BH⊥y轴于H，如图，利用等边三角形的性质得到OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，再计算出BH，从而得到B点坐标为（2，2），然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点B′的坐标．【解答】解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等边三角形的性质．3. （2019•湖北天门•3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．4(2019，四川成都，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A 的坐标为（5，0），点B 在x 轴的上方，△OAB 的面积为215，则△OAB 内部（不含边界）的整点的个数为.【解析】此题考查了三角形最值问题如图，已知OA =3，要使△AOB 的面积为215，则△OAB 的高度应为3（如图），当B 点在3 y 这条线段上移动时，点2B 处是以OA 为底的等腰三角形是包含的整点最多，在距离2B 的无穷远处始终会有4个整点，故整点个数有4个5.（2019▪贵州毕节▪5分）如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接A D ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为 34° ．【分析】根据三角形的内角和得出∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD ＝∠ADB ＝（180°﹣∠B ）÷2＝70°，进而根据角的和差得出∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝34°．【解答】解：∵∠B ＝40°，∠C ＝36°， ∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝104° ∵AB ＝BD∴∠BAD ＝∠ADB ＝（180°﹣∠B ）÷2＝70°， ∴∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝34°故答案为：34°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．6. （2019•南京•2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．【分析】作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出＝＝，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出＝＝，NE＝x，BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．【解答】解：作AM⊥BC于E，如图所示：∵CD平分∠ACB，∴＝＝，设AC＝2x，则BC＝3x，∵MN是BC的垂直平分线，∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，∴MN∥AE，∴＝＝，∴NE＝x，∴BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，即52﹣（x）2＝（2x）2﹣（x）2，解得：x＝，∴AC＝2x ＝；故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7. （2019•江苏苏州•3分）如图，一块含有45︒角的直角三角板，外框的一条直角边长为10cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，则图中阴影部分的面积为_______cm（结果保留根号）【解答】14162+【解析】如右图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边由题意：2,2CD AC==∴()5222CD=-+=422-∴()()22=52422S--阴影=14162=+8.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接B D.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为2．D【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝＝2∴BC＝＝2【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．9. （2019•湖北武汉•3分）如图，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为21°．【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE ＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．【解答】解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°；故答案为：21°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．10. （2019•湖北武汉•3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝P A，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF（SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D.E.O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴∠AGC＝60°＝∠APG，∴∠APE＝60°，∴∠EPC＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝P A，连接EF，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝AC，∵∠P AE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB，∴∠P AE＝∠ECF，在△APE和△ECF中∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D.E.O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．11. （2019•甘肃武威•4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．12 ( 2019甘肃省兰州市) （5分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝400，则∠B＝___________. 【答案】700．【考点】等腰三角形性质.【考察能力】空间想象能力.【难度】容易【解析】∵AB＝AC，∠A＝400，∴∠B＝∠C＝700.13 (2019甘肃省陇南市)（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．三.解答题1. （2019•湖北十堰•8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BA C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵∠CDE＝∠BA C．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴＝，即＝＝∴DE＝4，x＝，∴AC＝3x＝14，∴⊙O的半径为7．【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．2. （2019•湖北十堰•12分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．（2）可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，P B．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．【解答】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△AEF∽△BCE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，P B．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3 （2019•湖南长沙•10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．【分析】（1）令y＝0，可得ax（x+6）＝0，则A点坐标可求出；（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE，则CE＝DE；②设OE＝m，由CE2＝OE•AE，可得，由∠CAE＝∠OBE可得，则，综合整理代入可求出的值．【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A.B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE•AE，∴（m﹣t）2＝m•（m+6），∴①，∵∠CAE＝∠CBD，∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：，即：，∴②，由①②得，整理得：t2+18t+36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36，∴．【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．4 （2019•甘肃武威•10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC ＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5. （2019•广西贵港•10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D ⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB ＝，求线段P A+PF的最小值．（结果保留根号）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CF A′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出P A+PF＝P A+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．数学【解答】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴P A+PF的最小值为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6. （2019•湖北天门•10分）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，D C．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：AB+AC＝AD；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．【分析】（1）在AD上截取AE＝AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE＝AC，则AB+AC＝AD；（2）延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD＝AD，证得AB+AC＝；（3）延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND＝AD，∠N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由AN＝AB+AC，求出的值．【解答】解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝A D．（2）AB+AC＝A D．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥A D．∴AM＝，即AB+BM＝，∴AB+AC＝；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，∴＝．【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．7. （2019•湖北武汉•8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝D C．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BG C．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝A B．【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；（3）作平行四边形AEMB即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出图形是解题的关键．8 （2019•湖北孝感•8分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．【分析】由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，数学在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．9 （2019•湖南衡阳•12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．（3）证明DE＝AC即可解决问题．（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），数学∴t＝3，∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴P A＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
有关三等分角的综述
有关三等分角的综述作者：孙兴波来源：《中学教学参考·理科版》2010年第06期三等分角是历史最为长久、流传最为广泛的一个几何作图问题.所谓三等分角问题,就是说任意给定一个角,作图工具仅限于直尺和圆规,问能不能将这个角三等分.一、简单说明三等分角是不可能的下面我们给出三等分角问题的代数方程:设已知角的三分之一为α,则已知角的为3α,我们取它的余弦(或正弦).根据平面三角学的三倍角公式有cos3α=4cos3α-3cosα.令2cos3α=m,2cosα=x,我们得到:x2-3x-m=0.容易看到,这就是三等分角问题的代数方程,这个方程的根x,一旦能用尺规作图作出来,则∠α的大小就可以用尺规作出来.然而,这个代数方程对于任意给定的已知角,它的根x并不能表示成“可作图几何量”,因此三等分角问题用尺规作图法是不能解决的.二、解决方法正是因为这个用平面解析几何无法解决,但又看似“简单”的问题,就使得许多数学家和业余数学爱好者不断地研究它,希望能够解决它.而对这个问题的研究只能沿如下两个方面进行:求近似的作图方法和借助其他的作图工具.(一)求近似的作图方法(这就要求有较高的精确度)1952年,德国画家杜勒(Albrecht.Durer)提出“三等分角”的一个近似解法:给定∠AOB,以O为圆心,OA为半径作弧得扇形OAB;在AB上取点C,使AC∶BC=2∶1;取点E,使BE=BD;点F为EC的三等分点,EF∶FC=1∶2;在圆弧上取点G,使BG=BF,则∠BOG≈13∠AOB.以∠BOG作为∠AOB的三等分角近似程度有多大呢?不妨设OA=1,∠AOB=3α,则AB=2sin32α,AC=23AB,BC=13AB.故AC•BC=29AB2=89sin232α.延长DC交圆O于D′,则CD′=CD+2cos32α.由圆幂定理得CD•CD′=AC•BC,即CD(CD+2cos32α)=89sin232α.CD=cos232α+89sin232α-cos32α.=43sin232α+2cos232α-2cos32αcos232α+89sin232α.BG=BF=BC+23CE=BC+23(BE-BC)=13BC+23BE.设∠BOG=β,则sinβ2=BG/2=BC/6+BE/3-23sin232a-2cos3a21-三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大.但是,对于60度角大约只差1″,对于90度角大约只差18″.(二)突破作图工具的限制,借助其他的作图工具1.用新的思想方法(1)尼科梅德斯的蚌线构造一条蚌线要从一条直线L和一点P开始.过P画射线与L相交.在每条这样的射线上,以L为界向外截出一段固定的长度a并取点.那么这些点的轨迹便形成蚌线.蚌线的极坐标方程是:r=a+bsecθ.三等分已知角P可采用如下办法:取∠P为直角三角形△QPR的一个锐角.以P为极点,QR 为固定线L画一条蚌线,使得它由L向外截出的固定长度等于斜边长PQ的两倍2h.过R点作RS⊥QR并交蚌线于S点.现∠QPT即为∠QPR的三分之一(T为PS与QR的交点).证明:令M为TS的中点,则RM=h,这是因为△SRT为直角三角形,其斜边中点到各顶点等距离.现因MS=MR=h,所以∠1=∠2=k°.而∠3是△SMR的一个外角,从而∠3=2k°.又因MR=PR=h,又有∠3=∠4=2k°.∵PQ与RS共面,且同垂直于QR,∴PQ∥RS.∴∠2=∠5=k°.这样一来,∠QPR=3k°,而13∠QPR=k°=∠5.由此,∠QPR被三等分.(2)希皮亚斯(Hippias,约公元前5世纪)的割圆曲线设ABCD是正方形,弧BED是以A为圆心的四分之一圆弧,如果圆的半径从AB位置,同时以匀速绕A转动到AD,同时直线BC也以匀速向AD位置作平行移动,转动的半径和作平行移动的直线最终都同时和AD相重合.它们的交点的轨迹(如图中的曲线BFNG)就称为割圆曲线.它显然有以下性质:∠BAD∠EAD=它的极坐标方程为:r=2θa/(πsinθ)(a为正方形的边长).设已知角为∠DAX,以顶角A为圆心,在正方形ABCD内作圆弧BD,并在圆弧内作割圆曲线BFG,设AX交割圆曲线于F.将FH三等分,使PH=13FH,作PN∥AD,交割圆曲线于N,过A点作直线AN,交圆弧BD于M.又作NK垂直AD于K.因为所以即∠DAM=13∠DAX.除这两种以外还其他的很多方法.但值得注意的是希腊数学家都是从运动的观点来认识这两条曲线的.2.改变机械工具阿基米德的滑动传杆装置:假设我们要三等分的角为∠AOB,如图,延长∠AOB的边AO,令AO表示以∠AOB的顶点O 为圆心的圆的半径.∵∠AOB是△OBD的外角,∴z=y+x.同理,∠BCO是△COD的外角,∴x=y+y,即z=3y.由此,y是∠AOB大小的13,从而∠AOB已被三等分.值得注意的是,无论是新的想法,还是新的工具,他们都有一个非常重要的共同点:都是从运动的观点来考虑问题、分析问题、解决问题.这一点思想正是笛卡尔《解析几何学》的主要思想(方程与几何图形相结合起来,从运动的观点看).参考文献[1](美)T.帕帕斯著,张远南,张昶译.数学趣闻集锦[M].上海:上海教育出版社,1998.[2]张卿.妙趣横生的数学难题[M].天津:天津人民出版社,1980.11.[3]王志雄.数学美食城[M].北京:民主与建设出版社,2000.1.[4]袁小明,胡炳生,周焕山.数学思想发展简史[M].上海:上海出版社,1991.[5](美)H.伊夫斯著,欧阳绛译.数学史概论[M].太原:山西人民出版社,1986.3.(责任编辑金铃)。
数学 三等分角问题的解决
选修3-6 三等分角与数域扩充
3.1 尺规作图问题的代数化
3.1 尺规作图问题的代数化
co1sα 3
3.4 整系数方程的有理根
3.4 整系数方程的有理根
回到问题当中去，有如下命题：
3.5 数域与开平方
3.5.1 数域
数差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。
3.7.1 一元三次方程的根系关系
3.7.2 三等分角问题的解决
“在此键入引文。”
–Johnny Appleseed
谢谢！
常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q。
3.5.2 几个重要定理
我们已经知道，有理数域Q对四则运算封闭。四则运算是不能将有理数域Q 扩充的，而尺规作图又可以开平方，于是我们可以通过开平方来将数域扩充。
3.5.2 几个重要定理
所有可用尺规作出的数都是代数数。
3.5.2 几个重要定理
3.7 三等分角问题的解决
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。
纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。
然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。
找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。
用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。
但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。
一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。
数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。
二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。
旺策尔三等分角结论译文
旺策尔三等分角结论译文摘要：1.旺策尔三等分角结论的背景与意义2.旺策尔三等分角结论的证明过程3.旺策尔三等分角结论在实际应用中的案例分析4.旺策尔三等分角结论对数学领域的影响5.结论总结与启示正文：【一、旺策尔三等分角结论的背景与意义】旺策尔三等分角结论，又称旺策尔定理，是数学领域中一个具有重要意义的研究成果。
这个结论是由德国数学家约瑟夫·旺策尔在19世纪末20世纪初提出的，它为数学、物理等学科的研究提供了一种全新的分析方法。
通过这个结论，我们可以更加便捷地处理和分析三角形的角度问题。
【二、旺策尔三等分角结论的证明过程】旺策尔三等分角结论的证明过程较为复杂，涉及到了微积分、线性代数等知识。
简要概括证明过程如下：1.假设三角形ABC的三个内角A、B、C满足A+B+C=180°，我们需要证明存在一个线性变换，将三角形ABC变换为一个等边三角形。
2.通过对A、B、C求导，得到它们的动态变化规律。
3.利用线性变换的性质，将动态变化的A、B、C变换为新的角度，使得新的角度之和仍为180°。
4.证明经过线性变换后的三角形ABC"、B"C"、A"C"为一个等边三角形。
【三、旺策尔三等分角结论在实际应用中的案例分析】旺策尔三等分角结论在实际应用中具有很高的价值。
以下是一个典型案例分析：假设我们已知一个直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，我们需要求解这个三角形的面积。
根据旺策尔三等分角结论，我们可以将这个直角三角形分割为两个等腰三角形，进而求解面积。
【四、旺策尔三等分角结论对数学领域的影响】旺策尔三等分角结论的提出，极大地推动了数学领域的发展。
它为后来的数学家研究三角形及其他多边形提供了新的思路和方法。
同时，旺策尔三等分角结论在物理学、地理学等领域也具有广泛的应用。
【五、结论总结与启示】旺策尔三等分角结论是数学领域的一个重要研究成果，它丰富了我们对三角形及其他多边形性质的认识。
[九年级数学]反比例函数图象与三等分角
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反比例函数图象与三等分角历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.任取一锐角∠POH ，过点P 作OH 的平行线，过点O 作直线，两线相交于点M,OM 交PH 于点Q ，并使QM=20P ，设N 为QM 的中点.∵NP=NM ＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.∴∠MOH ＝31∠POH. 问题在于，如何确定线段QM 两端点的位置，并且保证O ，Q ，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?帕普斯(Pappus ，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边OA 与y ＝x1的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R.分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，Q ，连接OM 得到∠MOB.(1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上?(2)你能说明∠MOB ＝31∠AOB 的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?解：(1)设P 、R 两点的坐标分别为P(a 1，11a ),R(a 2, 21a )，则Q(a 1，21a )，M(a 2, 11a ）. 设直线OM 的关系式为y ＝kx.∵当x ＝a 2时，y=11a∴11a =ka 2,∴k=211a a .∴y=211a a x. 当x=a 1时，y=21a ∴Q(a 1，21a )在直线OM 上. (2)∵四边形PQRM 是矩形.∴PC=21PR=CM.∴∠2＝2∠3. ∵PC=OP ，∴∠1＝∠2，∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，即∠MOB=31∠AOB. (3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.。
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“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” .下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角“的方法（如图），将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x
轴上、边OA 与函数1y x
=
的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到得到∠MOB ，则13MOB AOB ∠=∠.
要明白帕普斯的方法，请你研究以下问题：
（1）设1(,)P a a 、1(,)R b b ，求直线OM 相对应
的函数解析式（用含a,b 的代数式表示）.
（2）分别过P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直
线相交于点Q ，请说明Q 点在直线OM 上，据此证明13
MOB AOB ∠=∠. （3）应用上述方法得到结论，你如何三等分一个
钝角（用文字简要说明）.
解：（1）设直线OM 的函数关系式为
)1,(),1,(,b
b R a a P kx y =． 则),1,(a b M ∴ab
b a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x ab
y 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab
y 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）
∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=2
1PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ．
∵PR=2OP ，∴PS=OP=2
1PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ．
∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠SOB=3
1∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可．
方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．
方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角
利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．
方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角。