导数复习讲义
导数复习讲义
高中数学复习讲义 导数及其应用【知识图解】第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数. 【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim→h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。
2．已知32'()(1)f x x x f =+, 则=)2('f 。
3．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x xxy ,则当2'=y 时,=x __________。
4．已知a x x a x f =)(,则=)1('f ______________。
5．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。
解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切线b a +⨯=+⨯∴12132，得b=2又由c +⨯+=12122，得1-=c 【范例导析】例1．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+分析：利用导数的四则运算求导数。
点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。
例2． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
导数的概念及基本运算复习ppt课件
【思维总结】 对于未给出切点的题目，要求切线方程，先 设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．
跟踪训练
2．对于本题函数 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2,4)的切线方程．
解：∵y′＝x2， ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________． 答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指 导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个 新 的 函 数 ， 我 们 把 这 一 新 函 数 叫 做 f(x) 在 开 区 间 (a ， b) 内 的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.
导数讲义
导数讲义一、导数的概念1．切线的斜率 如图5—1所示，曲线)(x f y =在其上一点),(00y x P 处的切线PT 是割线PQ 当动点Q 沿此曲线无限接近于点P 时的极限位置．由于割线PQ 的斜率为0)()(x x x f x f k --=，因此当0x x →时如果k 的极限存在，则极限=k 00)()(limx x x f x f x x --→ ………………..（1） 即为切线PT 的斜率．2、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→ (2)存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '． 令),()(,000x f x x f y x x x -∆+=∆∆+=则(2)式可改写为).()()(lim lim00000x f x x f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆=000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ (3)所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比xy∆∆的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数)(0x f '则为f 在0x 处关于x 的变化率． 若(2)(或(3))式极限不存在，则称f 在点0x 处不可导．3、倒数的几何意义：由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是).)((000x x x f y y -'=-由解析几何知道，若切线斜率为k ，则法线斜率为.1k -从而过点P 的法线方程为).()(1000x x x f y y -'-=-二、常用的求导公式(1)(C )'=0, (2)n nx x n n ,)(1-='为正整数； (3);sin )(cos ,cos )(sin x x x x -='=' (4)(tan x )'=sec 2x , (cot x )'=-csc 2x , (5)),0,1,0(log 1)(log >≠>='x a a e x x a a 特别xx 1)(ln ='. (6)(a x )'=a x ln a ,特别的(e x )'=e x , (7) 211)(arcsin x x -='， 211)(a r c c o s x x --=' 211)(arctan x x +='， 211)cot arc (x x +-='.三、导数的运算法则1．、设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ',(3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ', (4)2)(vv u v u vu '-'='. 2、复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为：y '(x )=f '(u )⋅g '(x ).证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 此时有xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([ xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim)()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ). 简要证明:x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(l i ml i m 00x g u f xu u y x u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆.四、导数的应用 1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .反之，设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，如果)(x f 在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内)(x f ' （或()f x ' ）恒成立。
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
第一节++导数的概念及其运算讲义-2025届高三数学一轮复习
第一节 导数的概念及其运算【课标要求】了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想。
体会极限思想。
通过函数图象直观理解导数的几何意义,能根据导数定义求函数y=c,y=x ,x y x y x y ===,,32的导数,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(f(ax+b) 的导数。
会使用导数公式表.教学目标：1.了解导数的概念,理解导数的几何意义；2.掌握基本初等函数的导数，能够用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，理解简单的复合函数的导数。
教学重点：导数的运算及导数的几何意义。
教学难点：正确求导及曲线切线的理解教学过程：环节1：知识检测2.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)1．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________℃/h.D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)环节2：知识梳理1.函数的平均变化率及其意义（1）函数y=f(x)在区间[]21x x 的平均变化率： 平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212（2）函数y ＝f (x )的平均变化率反映了函数f (x )在区间[]21x x 上的变化快慢， （3）函数y ＝f (x )的图象在点A(()()()()2211,,,x f x B x f x A 割线的斜率，是曲线倾斜程度的“数量化”。
高二导数讲义
导数【知识归纳】1.导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 处有增量 , 那么函数y 相应地有增量 =f （x + ）－f （x ）, 比值 叫做函数y=f （x ）在x 到x + 之间的平均变化率, 即 = 。
如果当 时, 有极限, 我们就说函数y=f(x)在点x 处可导, 并把这个极限叫做f （x ）在点x 处的导数, 记作f ’（x ）或y ’| 。
即f （x 0）=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明: （1）函数f （x ）在点x 处可导, 是指 时, 有极限。
如果 不存在极限, 就说函数在点x 处不可导, 或说无导数。
（2） 是自变量x 在x 处的改变量, 时, 而 是函数值的改变量, 可以是零。
由导数的定义可知, 求函数y=f （x ）在点x 处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限, 得导数f ’(x )= 。
2.导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x , f （x ））处的切线的斜率。
也就是说, 曲线y=f （x ）在点p （x , f （x ））处的切线的斜率是f ’（x ）。
相应地, 切线方程为y －y =f/（x ）（x －x ）。
3.几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4.两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (法则2: 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即：若C 为常数, .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:法则3：两个函数的商的导数, 等于分子的导数与分母的积, 减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方： ‘= （v 0）。
演示版导数复习课件.ppt
原函数的单调性
原函数与其导函数的单调性 无关系.
原函数的极值点
原函数图象上点的切线的斜
.精品课件.
14
练习: 设 f x是 函 数 f(x) 的 导 函
数 ,y=/(x) 的 图 象 如 左 图 所 示 , 则
C y=(x)的图象最y 有可能
的是( y
)
2
O1
x
y
O
1
2 x
(A)
(B)
y
y
1
O
2x
B A .0
2.函数 f
x
B
s.i3n
4
Hale Waihona Puke C1 . x ,则f
D.
1
(
)
A.0
B . -1
C. 2 1
2
D . .精品课件.
2 1 2
6
3.已知f x x2 2xf 1, 则
f 1 ( -2 ) f 0 ( -4 )
4.曲线y x3 3x2 6x 10
的切线中,斜率最小的切线方程 .
.精品课件.
4
6:函数的和差积商的导数
cf x cf x
f x gx f x gx
f xgx f xgx f xgx
f x gx
'
f 'xgx f xg'x g x 2.精品课件.
(gx 0)
5
s 课堂练习: 1.直线运动的物体位移
与时间 t的关系是 s 3t t2则它的初
速度为（ B） 2 3 2t
变式引申
可导函数f( x )、g( x )定义域为R且
恒大于零，f xgx f xgx 0
则当a<x<b时有 ( )
导数复习讲义
- 1 - 一、导数的概念与运算★知识点归纳1、导数：对于函数()f x ，如果当x ∆无限趋近于0时，平均变化率()()xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆00无限趋近于一个常数A ，那么常数A 称为函数()f x 在x =0x 处的导数.记作'0()f x A =或0'|x x y A ==. 一般地，这一过程可表示为：0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆＝A . 2、导函数：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的任一点处都可导，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数.3、导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆. 说明： （1）切点既在曲线上，又在切线上.（2）切线方程为：/000()()y y f x x x -=- （00()y f x =）.二、导数的运算4、基本初等函数的求导公式：（1）常函数的导数：0'=C (C 为常数)（2）幂函数的导数：1()x x ααα-'=（3）指数函数的导数： x x e e =)'( ; a a a x x ln )'(= (01)a a >≠，（4）对数函数的导数： x x 1)'(ln =; (log )'a x==ax ln 1 (01)a a >≠， （5）三角函数的导数：x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=.（6）可得：211()x x '=-，'=. 导数的四则运算法则：（1）)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． （2）[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+.（3）)0)(()()()()()(])()([2≠'-'='x v x v x v x u x v x u x v x u . (4) [()][()]C f x C f x ''⋅=⋅ 例1、求下列函数导数: （1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）2sin y x = （4）1cos 3y x =例2、求下列函数的导数：（1）x x x x f ln 42)(2--= (2) sin x y e x =(3) 2cos x y x=（4）ln x y e x = 三、曲线的切线问题例3、（1）曲线2y 21x x =-+在点（2,2）处的切线方程为（ ）A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+（2）过点)16,0(A 作曲线x x y C 3:3-=的切线,则此切线方程为________________.- 2 - (设切点坐标，求切点处斜率，然后列出点斜式切线方程，把A 坐标代入点斜式求得切点横坐标，最后代入点斜式切线方程即得答案)点评：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率.相应地，切线方程为：/000()()y y f x x x -=- （00()y f x =）.对于切线问题，一般要找切点，求导数，得斜率.要注意切点既在曲线上，又在切线上.求切线方程的两个类型：（1）求过曲线上一点（切点）的切线方程，直接套公式即可.（2）求过曲线外一点（非切点）的切线方程，可采用假设“切点法”来求.例4、设函数()b f x ax x=-，曲线)(x f y =在点(2,(2))P f 处的切线方程为74120x y --=. 求()y f x =的解析式；练习：1、已知函数/2()3f x x =，则()f x 的值一定是（ ）A. 3x x +B. 3xC. 3x c + (c 为常数)D. 3x c +(c 为常数)2、若32()32,'(1)4f x ax x f =++-=，则a 等于（ ） A. 193 B. 163 C. 133 D. 1033、下列算式正确的是 （ ） A.211'1x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B.21(log )'ln2x x = C.3(3)'3log x x e =⋅ D.2(cos )'2sin x x x x =-4、已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ．3 C ．12D ．1参考答案：例3（1）C （2）y=9x+16 例4：1-4 CDBB。
导数的概念及运算课件-2025届高三数学一轮复习
；
（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；
（ⅲ）
()
()
′()()−()′()
'＝
（g（x）≠0）.
[()]2
②简单复合函数的导数：由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一
定为切点.
目录
｜解题技法｜
求切点坐标的思路
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先函数的导数，再让导数
等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
目录
当堂检测
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点
目录
二、导数的几何意义及应用
目录
二、导数的几何意义及应用
导数的综合复习PPT教学课件
• 阴极方程式： 2H+ + 2e- = H2 。
•
总化学方程 式：
电解
2NaCl 2H2O
Cl 2
H2
;
2NaOH
•
总离子方程式:2Cl
电解 2H2O Cl 2
H2
2OH
.
• (3)电解前向溶液中滴加酚酞，通电后现象为： • _阴__极__附__近__的__溶液无色变为红色 ，两极极板上
阳离子放电能力（得电子能力）逐渐增强
（2）电解池阳极
（Fe Cu Ag等金属）> S2-> I－ > Br－> Cl－> OH－ > 含氧酸根
阴离子放电（失电子）能力：逐渐减弱
电解的基本规律
举例
电解
类型 物质类别 实例
电极反应
水
含氧酸
H2SO4
电
强碱
NaOH
解 活泼金属的 Na2SO4
含氧酸盐
溶
无氧酸
说法正确的是 D
A.电解稀硫酸溶液，实质上是电解水，故溶 液pH不变 B.电解稀氢氧化钠溶液，要消耗OH－，故溶 液pH减小 C.电解硫酸钠溶液，在阴极上和阳极上析出 产物的物质的量之比为1:2 D.电解氯化铜溶液，在阴极上和阳极上析出 产物的物质的量之比为1:1
2008年化学科(江苏卷)考试说明
a ln a (2)若 a 0且 a 1, (a x ) ' x
e (3)(e x )' x
1
( 4)若 a
0且a
1
1, (lo g a
x
)'
x
ln
a
(5)(lnx) '
x
导数讲义
导数一、基本概念 1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn x nx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
导数概念及几何意义意义-2023届高三数学二轮复习讲义
目录4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1 4.2 导数的几何意义 .. (14)4.1 导数的概念及运算【知识点一】一、导数的基本概念 1．函数的平均变化率：2．函数的瞬时变化率、函数的导数：3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．()y f x =AB 00(,())A x f x 00(,())B x x f x x +∆+∆00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆B A AB A AD AD A 000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆AD ()y f x =00(,())x f x 0()f x '二：导数公式，为正整数(0,)αα≠∈Q ，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．()y f x =()y f x ''=y c =0y '=n y x =()n +∈N 1n y nx -'=n y x α=1y x αα-'=αx y a =(0,1)a a >≠ln x y a a '=log a y x =(0,1,0)a a x >≠>1ln y x a'=sin y x =cos y x '=cos y x =sin y x '=-e a e e π2.7182818284e =()x x e e '=【典型例题】考点一： 导数的基本概念例1．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则((0))f f =_____；函数()f x 在1x =处的导数'(1)f =_____．练1．已知函数()f x 在0x x =处可导,则000(3)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆_____0'()f x ．练2．设函数2()24f x x =-的图像上一点(1,2)以及邻近一点(1,2)x y +∆+∆,则yx∆∆等于__________．考点二： 导数公式及其应用例1．求下列函数的导数: 3x ,13x ,21x练1．求下列函数的导数: x ,3log x ,cos x练2．下列结论不正确的是 A ．若3y =,则'0y = B ．若3x y =,则1'3x y x -=-⋅C ．若y x =-则'2y x=D ．若3y x =,则'3y =【知识点二：导数的四则运算法则】（1）函数和（或差）的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则(()())()()f x g x f x g x '''±=±,即两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数和（或差）． （2）函数积的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数．（3）函数的商的求导法则: 设()f x ,()g x 是可导的,()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f xg x f x f x g x g x g x ''-'=． 特别是当()1f x ≡时,有21()[]()()g x g x g x ''=-．【典型例题】例1．求下列函数的导数:（1）()3sin=;f x x x（2）()ln x=;f x e x（3）()sin xf x=;x（4）()tanf x x=．例2．2=+-的导数为()(2)()f x x a x aA．22x a2()+ 2()x a-B．22 C．22x a+3() 3()x a-D．22练习1．求下列函数的导数:2xx e 1ln x211x x ++练习2．求下列函数的导数: （1）()e sin x f x x -=；（2）2()()ln f x x x x =-； （3）2()()e x f x x ax a -=-+⋅;（4）()3ln x f x x =．【知识点三：复合函数求导】一般地,对于两个函数()y f u =和()u g x =,如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数．那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数,记(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数(),y f u =()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅ （注：'x y 表示y 对x 的导数,'u y 表示y 对u 的导数）【典型例题】例1．（1）函数2sin y x =的导数是_____．（2）函数2412x y e +=的导数是_____．（3）函数2(1cos )y x =-的导数是_____．（4)设3121y x =+,则y '=_____．2'2cos y x x =练习1．求下列复合函数的导数:（1）2()ln(5)f x x =+；（2）10(35)()x f x x +=；（3）1()ln()1xf x x+=-．【小试牛刀】1．已知函数()f x 在1x =处可导,则0(1)(1)__________lim3x f x f x∆→+∆-=∆．2．求下列函数的导数: （1）ln y x = （2）53y x = （3）2x y =3．求下列函数导数值： （1）()f x x =,求(1)f ',1()2f '（2）()sin f x x =,求π()4f '（3）2()log f x x =,求1()2f '4．求下列函数的导数: （1）2()2ln f x x x =+（2）3()x f x x e =+【巩固练习——基础篇】1．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在13t t ==到的平均速度为v ，在2t =的舒适速度为2v ，2v v 和关系为A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定2. 已知函数()f x 和()g x 在区间[]a b ，上的图像如图所示，纳闷下列说法正确的是A ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率B ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b之间的平均变化率C ．对于任意0()x a b ∈，，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率D ．存在0()x a b ∈，，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率3．求下列函数在给定点的导数 （1）34=16y x x =， (2) sin =2y x x π=， (3)cos =2y x x π=，4．已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则________．21()sin 23cos 2f x x x =+()f x ()f x ()f x '()6f π'=t 4t 3t 2100t 1tOV5．求下列函数的导数:（1）()sin cos 22x xf x x =-（2）()sin(21)x f x e x =+6．求下列函数的导数: （1）()sin(ln )f x x =;（2）43()(21)f x x +【巩固练习——提高篇】1．某堆雪在融化过程中,其体积V （单位:3m ）与融化时间t （单位:h ）近似满足函数关系:31()(10)10V t H t =-（H 为常数）,其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /)v h ．那么瞬时融化速度等于3(m /)v h 的时刻是图中的A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．03．设函数，其中，则导数的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有A ．B ．C ．D ．5．已知是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若<，则，的大小关系为A ．<B ．=C ．≤D ．≥6．求下列函数的导数:()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----(1)f '=99!-100!-98!-()32sin 3cos tan 3f x x x θθθ=++5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f '[]22-，23⎡⎤⎣⎦，32⎡⎤⎣⎦22⎡⎤⎣⎦()f x ()g x R ()f x '()g x '()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''+<a x b <<()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g x f a g a >()f x '()()0xf x f x ->a b a b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b（1）1()sin tan ln cos f x x x x x=++； （2）2()cos(ln(1))f x x =+；（3）121()()xf x e x a x=++．7．已知1()sin cos f x x x =+,记21()'()f x f x =,32()'()f x f x =,…,1()'()(,2)n n f x f x n N n *-=∈≥,则122018()()()_________222f f f πππ+++=．4.2 导数的几何意义【课前诊断】成绩（满分10分）：_____ 完成情况: 优/中/差1．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．3． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;4．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;313y x =1=x 1π4-π45π4【知识点一：切线的求法】1、曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-； （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=-，可得切线方程． 2、求曲线=()y f x 的切线方程的类型及方法（1）已知切点00(,)P x y ，求=()y f x 过点P 的切线方程：求出切线的斜率0()f x '，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，通过方程0()k f x '=解得0x ，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，利用导数求得切线斜率0()f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得0x ，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由0()k f x '=求出切点坐标00(,)x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．【典型例题】考点一：导数的几何意义例1．若过曲线上的点的切线的斜率为, 则点的坐标是．例2． 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;练习1．已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；练习2． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;()ln f x x x =P 2P ______例1．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．例2．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．练习1．曲线在点处的切线方程是 A ． B ． C ． D ．练习2．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ．若0a =，求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；练习3．已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-,求,a b 的值;e ()1xf x x =-0=x 10--=x y 10++=x y 210--=x y 210++=x y 313y x =1=x 1π4-π45π42()1xf x x =+(1,(1))f 1x =12y =1+=x y 1-=x y例1．曲线在点处的切线经过点,则．例2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．练习1． 已知函数ln ()xf x ax x=-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值;考点四： 切线证明例1．已知函数()e (sin cos )x f x x x =+．（切线斜率）（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线．练1．已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠．()e x f x =00(,())x f x (1,0)P 0=x ______（Ⅱ）当0a >时,设211()32ax g x e ax x a =--,求证:曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线．例2．已知函数32()f x x ax =-．（3a >）（切线个数） （Ⅱ）求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．练2．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R ．（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3．已知函数()1e 1x x x f x --+=．（公切线问题）（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =练3．已知函数()ln,()x==．f x xg x e（Ⅲ）判断曲线()f x与()g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．【小试牛刀】1．若曲线的某一切线与直线垂直,则切线坐标为．2．已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程; 23122y x x =+-134y x =-+______()y f x =(0,(0))f1．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;2．已知函数321()3f x ax x bx c =+++． 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；3. 已知函数().xe f x x= （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=,求0x 的值;1．已知函数()ln sin(1)f x x a x =-⋅-,其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-,求a 的值;2．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（切线斜率） （Ⅱ）当1b >时，函数()f x 与直线y x =-相切，求b 的值；3．已知函数()ln 1a f x x x =--．（Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线,求实数a 的取值范围;5．已知函数2()(0)f x ax bx a=->和()lng x x=的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（公切线问题）（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e-，求,a b的值；（Ⅱ）已知a b=，求切点P的坐标．。
《导数期末复习》课件
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某点的切线斜率。
详细描述
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。如果函数在某点可导，那么 该点的切线斜率就是该点的导数值。切线与x轴的夹角正切值即为导数值。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的。
详细描述
导数和切线斜率是密切相关的概念。如果函数在某点可导，那么该点的导数值就 是该点切线的斜率。因此，导数和切线斜率是等价的，它们都表示函数在该点的 变化趋势。
导数在工程学中的应用
总结词
导数在工程学中用于优化设计、控制过程和提高效率。
详细描述
在工程领域，导数可以用于优化设计，例如找到使结构 强度最大化的最优形状或尺寸；在控制工程中，导数可 以帮助我们找到使系统状态达到最优的控制策略；在机 械工程中，导数可以用于分析机器的运动状态和效率。
VS
详细描述
在物理学中，导数可以用来描述物体运动 的速度和加速度。速度是描述物体位置变 化的快慢，而加速度是描述物体速度变化 的快慢。导数可以用来计算物体在某一时 刻的速度和加速度，从而更好地理解物体 的运动状态。
曲线的切线斜率与加速度
总结词
导数可以用来计算曲线的切线斜率，而切线 斜率与加速度有密切关系。
隐函数求导法则
总结词
掌握隐函数求导法则是学习导数的难 点之一。
详细描述
隐函数求导法则是学习导数的难点之 一，需要理解隐函数的定义和性质， 掌握隐函数求导的方法和技巧，以便 更好地解决与隐函数相关的问题。
03
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过求导判断函数的单调性，进而解决实际问题。
详细描述
02
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
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高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。
同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。
1．重视导数的实际背景。
导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。
这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。
2．深刻理解导数概念。
概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。
在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。
3．强化导数在函数问题中的应用意识。
导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。
4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。
在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。
5．加强“导数”的实践应用。
导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。
6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。
定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。
第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。
2．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。
3．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 32π±。
4．已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。
5．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。
解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数b a +⨯=+⨯∴12132，得b=2又由c +⨯+=12122，得1-=c 【范例导析】例1．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y = ③()(cos sin )xf x e x x =⋅+分析：利用导数的四则运算求导数。
解：①法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x ∴ 26102y x x '=++法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322-+x x +)1(+x )34(+x26102x x =++ ② 231212332----+-=xx xx y∴ 252232123233---+-+='x x x x y③()f x '=e －x（cos x +sin x ）+e －x（－sin x +cos x ）=2e －xcos x ,点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。
例2． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
解： 切线与直线34+=x y 平行， 斜率为4又切线在点0x 的斜率为0320(10)31x x x x y x x x ==''=+-=+∵ 41320=+x ∴10±=x∴⎩⎨⎧-==8100y x 或⎩⎨⎧-=-=12100y x∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412+=+x y 即124-=x y 或84-=x y点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。
变题：求曲线32y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程。
答案：20,5410x y x y +-=--=点评：本题中“过点(1,1)A 的切线”与“在点(1,1)A 的切线”的含义是不同的，后者是以A 为切点，只有一条切线，而前者不一定以A 为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。
【反馈演练】1．一物体做直线运动的方程为21s t t =-+，s 的单位是,m t 的单位是s ，该物体在3秒末的瞬时速度是5/m s 。
2．设生产x 个单位产品的总成本函数是2()88x C x =+，则生产8个单位产品时，边际成本是2 。
3．已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为 （1） 。
（1）f （x ）=（x －1）2+3（x －1） （2）f （x ）=2（x －1）（3）f （x ）=2（x －1）2（4）f （x ）=x －14．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为430x y --=。
5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 3 。
6．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是 y ＝4x －4 ． 7． 求下列函数的导数：(1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3))1ln(2x x y ++=(4)11-+=x x e e y (5)x x x x y sin cos ++= (6)xx xy cos sin 2cos -=解：（１）34182-+='x x y , (2)x x x x y cos sin 22+=';(3)211xy +=', (4)2)1(2--='x x e e y ; (5)2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x y +--+--=', (6)x x y cos sin -='. 8 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积 解： 设直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，'21y x =+，由题意得10'|1x k y ===,得直线1l 的方程为2y x =-122111l l k k ⊥∴=-=- 211,1x x +=-=-令得,212,2x y x x y =-=+-=-将代入得2l ∴与该曲线的切点坐标为(1,2),A --由直线方程的点斜式得直线2l 的方程为：3y x =--（Ⅱ）由直线1l 的方程为2y x =-,令0=2y x =得:由直线2l 的方程为3y x =--，令0=3y x =-得: 由23y x y x =-⎧⎨=--⎩得：52y =-设由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积为S ，则：1525[2(3)]224s =⋅-⋅--=第2课 导数的应用A【考点导读】1． 通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。
2． 结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。
【基础练习】1．若函数()f x mx n =+是R 上的单调函数，则,m n 应满足的条件是 0,m n R ≠∈ 。
2．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。
3．用导数确定函数()sin ([0,2])f x x x π=∈的单调减区间是3[,]22ππ。
4．函数1()sin ,([0,2])2f x x x x π=+∈的最大值是π，最小值是0。
5．函数2()xf x x e =⋅的单调递增区间是 (-∞,-2)与(0,+ ∞) 。
【范例导析】例1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 。
解：当－1≤x <0时，()f x '>0，当0<x ≤1时，()f x '<0，所以当x ＝0时，f （x ）取得最大值为2。
点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数3()f x x =。
例2． 求下列函数单调区间：（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）x x y ln 22-= 解：（1）∵232--='x x y )1)(23(-+=x x ∴)32,(--∞∈x ),1(∞+ 时0>'y)1,32(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+↑ )1,32(-↓ （2）221x x y +=' ∴ )0,(-∞，),0(∞+↑（3）221x k y -= ∴ ),(k x --∞∈),(∞+k 0>'y ， ),0()0,(k k x -∈0<'y∴ ),(k --∞，↑∞+),(k )0,(k -，),0(k ↓（4）x x x x y 14142-=-='定义域为),0(∞+ )21,0(∈x 0<'y ↓ ),21(∞+∈x0>'y ↑点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。