工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第3章(倪光正主编教材)
华北电力大学 崔翔教授 工程电磁场ppt课件
dR dr
1 Q
d 2Q
d 2
n2
其中，n2为分离常数，偏微分方程转化为下列两个常微分方程
2
d2R
d 2
dR
d
n2R
0
和
当n＝0时, R()=A10+A20ln；
d2Q n2Q 0
d 2
Q()=B10+B20
当n 0时, R()=A1nn+A2n-n； Q()=B1ncosn+ B2nsinn 27
❖ 极化强度：介质极化后每单位体积内电偶极矩的矢量和，即
P lim p
V 0 V
8
❖ 大多数介质在电场作用下 产生极化时，其电极化强 度P与介质中的合成电场强 度E成正比，即
P = e0E
❖ 体积元dV内的等效电偶极子 的电偶极矩∑p = P(r)dV，它 在远区P点处产生的电位应为
d
P R 4 0 R 2
(r ' )dS '
(r) S'
4 0R
体电荷的电位：
(r')dV '
(r) V'
4 0R
4
4. 电场线和等位面
E 线的定义:线上任一点的切线方向与该点的电场强度方向 一致。
E Exex Eyey Ezez dl exdx eydy ezdz
E dl 0
dx dy dz Ex Ey Ez
σ p P en
p P
10
❖ 在引入极化电荷密度描述的基础上，类比于自由电荷产生的
电场，极化电荷在真空中所产生的电场，可分别通过电位 和场强E表示为
r
1
4 0
V
P rdV
r r
工程电磁场原理倪光正第一章
工程电磁场数值分析方法简
05
介
有限差分法
差分原理
将电磁场连续域问题离散 化，用差分方程近似代替 微分方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解 差分方程，得到电磁场数 值解。
差分格式
构造差分格式，将微分方 程转化为差分方程。
有限元法
有限元原理
将连续域划分为有限个单元，每个单元内用 插值函数表示未知量。
有限元方程
根据变分原理或加权余量法建立有限元方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解有限元方程，得到 电磁场数值解。
边界元法
边界元原理
将微分方程边值问题转化为边界积分方程问题。
边界元方程
根据格林公式和边界条件建立边界元方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解边界元方程，得到电磁场数值解。
各种数值分析方法的比较与选用
工程电磁场原理倪光 正第一章
目录
• 绪论 • 静电场的基本概念和性质 • 恒定电场的基本概念和性质 • 时变电磁场的基本概念和性质 • 工程电磁场数值分析方法简介
01
绪论
电磁场理论的重要性
01 电磁场是物质存在的基本形式之一
电磁场与物质相互作用，是物质存在的基本形式 之一，对于理解物质的本质和相互作用机制具有 重要意义。
研究任务
工程电磁场的研究任务包括揭示电磁场的本质和 规律，探索新的电磁现象和应用，以及解决工程 实际中的电磁问题。
电磁场理论的发展历史
01
静电学和静磁学阶段
早期人们主要研究静电和静磁现象，建立了库仑定律和安培定律等基本
定律。
02 03
电磁感应和电磁波阶段
19世纪初，法拉第发现了电磁感应现象，揭示了电与磁之间的联系。随 后，麦克斯韦建立了完整的电磁波理论，预言了电磁波的存在，并阐明 了光是一种电磁波。
华北电力大学工程电磁场课件5月13日
a b b a bd , q q q qq d a d
2
（2）点电荷在球壳外＋导体球不接地情况：
D P r -q r
a
q
o q
b d
q q q P 4πεa 4πεa 4πεd a q q q d P与a无关
4．电轴法
电轴：截面面积忽略不计的（无限）长直带电圆柱导线。
y D y Q D
1
b
o
P ( x, y) e2 + x - (-b,0)
2
1
P ( x, y) e1 + (b,0)
EP E P EP
x
e 1 e 2 2 0 1 2 0 2
2 2
2
图 一对线电荷()的电场 （P85，图2-25）
y
D
y
Q
D
1
b
o
P ( x, y)
e2 + x - (-b,0)
2
1
P ( x, y) e1 + (b,0) x
导体
介质0
o
0
0
(a)线电荷对无限大接地平面
(b) 线电荷的镜象
图 线电荷的镜象 图 一对线电荷()的电场 （P85，图2-25）
例2-10：图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料 组成，介质的分界面与极板平行。设电容器外施电压为U0， 试求：(1)两绝缘材料中的电场强度；(2)极板上的电荷面密 度。
y
2U 0 E1 1 d 2 2 d1
r1 d1 d2 r2
U0
o
【华北电力 工程电磁场】1.1.1引言 - 引言
0.028f1/2 0.088
2021/2/23 Tuesday
华北电力大学电气与电子工程学院
29
0.2 工程电磁场课学些什么内容
2021/2/23 Tuesday
华北电力大学电气与电子工程学院
30
数学工具：矢量分析与场论
基本原理：
静电场的基本原理
恒定电场的基本原理
华北电力大学电气与电子工程学院
17
电场脉冲模拟器
2021/2/23 Tuesday
华北电力大学电气与电子工程学院
18
开阔地试验
2021/2/23 Tuesday
华北电力大学电气与电子工程学院
19
磁悬浮分析
For 1 cm levitation:
Drive:
Current 1320 A Freq 400 kHz
32
1、认真听课，积极答问。
2、死记硬，毫无意义。
3、梳理思路，总结经验。
4、开阔眼界，扩展知识。
5、适量练习，熟练掌握。
6、重视数学，终身受益。 考核方式：
实验成绩10%＋平时成绩20％＋期末考试成绩70%
期末考试形式：暂定开卷
2021/2/23 Tuesday
Coil:
Radius 1.0 cm Wire 0.89 mm
Copper Ball: Diameter 1 cm Mass 4.66 g
2021/2/23 Tuesday
Ref: W.Brisley & B. S. Thornton: Brit. J. Appl. Phys., v.14, p.682, 1962
华北电力大学电气与电子工程学院
工程电磁场教案国家精品课华北电力学院崔翔第2章(第二部分)
x, y A1nchmn x A2nshmn xB1n cos mn y B2n sin mn y n1 A1n cos mn x A2n sin mn xB1nchmn y B2nshmn y n1 A10 A20 xB10 B20 y
最后，可根据给定的定解条件，通过傅里叶级数展开方法，确定各个待定常数。
一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时，分离变量法往往
是一种简便而有效的方法。 直角坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为(x，y)，满足拉普拉斯方程：
2 x,
y
2 x2
2 y 2
0
设电位函数有分离变量形式，即 (x，y) =X(x)Y(y)
代入拉普拉斯方程，整理得
1 d2 X 1 d2Y X dx 2 Y dy 2
崔翔
第8页
2020-4-22
《电磁场》讲稿（2）-B
En
40 n
,
Cn
40 n
sh
1 nb
,
n 2k 1 (k 0,1,2,...)
崔翔
第1页
2020-4-22
图 D 法向分量的边界条件3．边Βιβλιοθήκη 条件《电磁场》讲稿（2）-B
介质分界面上的边界条件：
跨越分界面的一狭小的矩形回路 l 如图所示，且令 l2→0 而 l1 足够地短。求电场 强度在 l 上的环量，有
E dl E1 dl E2 dl E1t l1 E2t l1 0
使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为r2，则空气层中电场
崔翔
第3页
2020-4-22
《电磁场》讲稿（2）-B
强度 E1 将为绝缘材料中电场强度 E2 的 r2 倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容 器的损坏。
工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第5章(第一部分)
第五章 动态电磁场与电磁波5．1 动态电磁场时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作用和相互耦合的时变电磁场通常被称为动态电磁场。
当动态电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波。
1．动态电磁场的有关方程描述动态电磁场的麦克斯韦方程组为tc ∂∂+=⨯∇D J H t∂∂-=⨯∇B E 0=•∇Bρ=•∇D媒质特性的构成方程组为E D ε=H B μ=E J γ=一般而言，反映媒质特性的三个参数ε、μ和γ与动态电磁场的工作频率有关。
如在200MHz 以下时，水的相对介电常数约为80，而在光频时则减小到1.75。
本书假设它们在一定频率范围内均为常数。
2．动态电磁场的边界条件类似于静态和准静态电磁场中边界条件的推导，只要∂D /∂t 和∂B /∂t 在媒质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件相同。
事实上，在动态电磁场中，媒质分界面上的∂D /∂t 和∂B /∂t 均为有限量。
不同媒质分界面上的动态电磁场的边界条件为：H 2t -H 1t = K s ， e n ⨯( H 2 - H 1) = KE 1t =E 2t ， e n ⨯( E 2 - E 1) = 0B 1n =B 2n ， e n ⋅ ( B 2 - B 1) =0D 2n -D 1n = σ ， e n ⋅ ( D 2 - D 1) =σ在理想导体内，∞→γ且J c 是有限的，可知E ＝0。
再由-∂B /∂t =∇⨯E =0可见，在理想导体内也不存在随时间变化的磁场。
在理想导体(设为媒质1)与介质(设为媒质2)交界面上的边界条件为 H t = K s ， e n ⨯H = KE t = 0 ， e n ⨯E = 0B n = 0 ， e n ⋅ B =0D n = σ ， e n ⋅ D =σ式中，规定的交界面上e n 的指向为理想导体表面的外法线方向，且e s =e n ⨯e t 。
上述边界条件表明，电力线垂直于理想导体表面，而磁力线沿着理想导体表面分布。
工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第2章(第二部分)
工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第2章(第二部分)2．4 电介质中的电场1．电位移矢量 由高斯定理，得()P E P •∇-=+=•∇ρεερρ001整理得 ▽•(ε0E + P )= ρ定义电位移矢量： D =ε0E + P = ε0(1+χe )E = ε E其中， ε = ε0(1+χe )= εr ε0， εr =ε /ε0 =(1+χe )2．介电常数上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。
从而电介质中电场问题可简洁地归结为场量D 、E 或位函数ϕ 的定解问题。
例1：同轴电缆其长度L 远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为a 和b 。
其间充满介电常数为ε的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源U 0相联接。
试求：(1)介质中的电场强度E ；(2)介质中E max 位于哪里？其值多大？[解]：（1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为+τ 和-τ。
由应用高斯定理，得L L 2D d Sτρρ=π=•⎰S D即 ρρτe D π=2所以 ρερτεe D E π==2 (a < ρ < b )由因为 a b 2d E d U ba l 0ln ετρρπ==•=⎰⎰l E 则 abU ln 20ετπ=得 ρρe E ab U 0ln= (a < ρ < b )(2)最大场强位于内导体表面(ρ = a )，其值为ρe E ab a U 0lnmax =图 同轴电缆的图 E 切向分量3．边界条件介质分界面上的边界条件：跨越分界面的一狭小的矩形回路l 如图所示，且令 ∆l 2→0而 ∆l 1足够地短。
求电场强度在l 上的环量，有0d d d 12112111=∆+∆-=•+•=•⎰⎰⎰∆∆l E l E t t l l ll El El E即 E 1t = E 2t 或 e n ⨯(E 2-E 1) = 0上式表明，在介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。
工程电磁场原理(教师手册)
“电磁场”课程的地位与作用：
● “电磁场”课程内容是电气信息类专业本科生所应具备知识结构的必 要组成部分——电气信息类各专业主要课程的核心内容都是电磁现象在特 定范围、条件下的体现，因此，分析电磁现象的定性过程和定量方法是电 气信息类各专业学生掌握专业知识和技能的基础； ● 近代科学技术发展进程表明，电磁场理论是众多交叉学科的生长点 和新兴边缘学科发展的基础； ● 教学实践证明，本课程不仅将为电气信息类学生专业课的学习提供 必须的知识基础，而且将增强学生面向工程实际的适应能力和创造能力， 关系到学生基本素质培养的终极目标。
q ( r ′) C
（2）电荷体密度 ρ(r′,t)：
ρ ( r ′ ) = lim
σ ( r ′ ) =： （4）电荷线密度 τ(r′,t)：
Δ q ( r ′ ) dq ( r ′ ) = C/m 3 ΔV ′ → 0 Δ V ′ dV ′
二、引言
1. 什么是场？
● 物理概念上的描述：“在遍及一个被界定的或无限扩展的空间 内，存在着某种必须予以重视、研究的效应”。例如，温度场
T(x,y,z,t)、重力场F(x,y,z,t)，以及电场E(x,y,z,t)、磁场 B(x,y,z,t)等对应于相应物理效应客观存在的物理场；
● 数学意义上的描述：“给定区域内各点数值的集合，并由此规定 了该区域内某一特定量的特性”。
• • • • • • • • • • • • • • 浦东国际机场磁悬浮线（EMS型磁浮列车）和日本山梨磁悬浮试验线（EDS型磁浮列车）； 电磁探测（应用于油、气、矿藏、地层结构探测和气象预测等遥感、遥测技术）； 电子束曝光、离子束注入技术（大规模集成电路芯片制造）； 现代战争中的电磁技术（导弹防御系统、隐身飞机、巡航导弹、GPS系统、信息干扰等）； 广播、电视、移动电话、微波通信和光纤通信等； 电磁热加工技术（感应加热、微波加热和微波炉等)； 生物医学工程中的电磁技术（核磁共振CT、X线透视和肿瘤热疗法等）； 超导储能技术； 高能量密度的百万kW级汽轮、水轮发电机设计、制造（优化）技术； 1000kV超高电压电力系统及其装置的设计、制造（优化）技术； 磁流体发电技术； 纳米微晶磁性材料的应用； 卫星太阳能发电站； …………………………………
工程电磁场-3
对上式第一项体积分应用散度定理, 把真空当作 P 0 的特殊电介质
2013-8-7
华北电力大学电气与电子工程学院
6
工程电磁场
S1 +S1 S1
主讲人： 王泽忠
qP P e n dS P e n dS P e n dS
e n E2 E1 为 P 点沿分界面切线方向的
一个矢量， e 可以取为任意的切线方向， 所以，根据上式必然有
0
e n E2 E1 0
2013-8-7
E 2 t E1t
26
华北电力大学电气与电子工程学院
工程电磁场
如图，围绕分界面上一点 P 做一个小圆柱形闭合曲面。
D 线从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。
0 E 线从正电荷（包括极化电荷）发出，
终止于负电荷（包括自由电荷和极化电荷） 。
P 线从负极化电荷发出，终止于正极化电荷。
2013-8-7
华北电力大学电气与电子工程学院
16
工程电磁场
表 材料名称 相对介电常数 r 空气 水 聚乙烯 沥青 石蜡 1.000537 79.63 2.6 0.2 2.7 0.1 2.0～2.5
D2 n D1n
若分界面上 0 ，则
2013-8-7
华北电力大学电气与电子工程学院
29
工程电磁场
en
主讲人： 王泽忠
D2 D1 0
D2 n D1n
这就是电位移矢量法向分量分界面条件。 若将第一种电介质换成导体，则有
E1 0 ；
D1 0
导体表面静电场的边界条件为
2013-8-7
工程电磁场教案国家精品课华北电力学院崔翔第1章
工程电磁场教案国家精品课华北电力学院崔翔第1章1．电磁学与电磁场理论电磁学：麦克斯韦方程组的积分形式。
它概括了全部已有的宏观电磁现象的实验事实，给出了用积重量描述宏观电磁场的全部规律。
电磁场理论：麦克斯韦方程组的微分形式。
是在电磁学的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的差不多规律及其运算方法的理论，是用数学方法描述空间任意一点、任意时刻电磁现象变化规律的理论。
2．在电气工程与电子工程中的地位电路理论和电磁场理论是电气工程与电子工程学科基础课程。
电路理论：提供了运算由集总元件联接起来的网络和系统行为的方法和理论。
电磁场理论：提供了解决所有电气工程与电子工程问题的全然运算方法和理论，如集总元件伏安关系的建立和难以用电路理论解决的电磁问题等。
电气工程领域：能量的转换、传输、分配和利用，旋转电机、变压器、输电线路与电缆、电容器、电抗器、开关设备、互感器等。
电子工程领域：信息的发送、传输、接收与转换，电波设备、天线、雷达、卫星、光纤、遥感、遥测、遥控等。
其他工程领域：电磁兼容、生物电磁场、无损电磁探伤、磁悬浮、超导等。
电磁场理论是明白得、进展和实现一切与电磁现象与电磁效应相关技术必不可少的知识本源。
3．课程的特色与学习方法建议课程学时：48学时。
课程的特色：体系完整、逻辑性强、内容抽象。
教材的特色：电气工程与电子工程相结合、理论与工程的结合，突出理论应用、提高学习爱好。
学习方法建议：注重物理概念，强调数学方法，培养抽象思维能力，通过例题和习题充分明白得电磁场理论。
第一章 电磁场的数学物理基础1．1 电磁场物理模型的构成1．源量点电荷：q 、单位：C 。
电荷体密度：ρ、单位：C/m 3。
电荷面密度：σ、单位：C/m 2。
电荷线密度：τ、单位：C/m 。
假如上述各种电荷的分布规律，那么对应的q 、ρ、σ 和τ 都应是的空间坐标变量的函数。
又假设电荷平均分布，那么意味着这些源量都将是某个的常量。
电流：i 、单位：A 。
工程电磁场 倪光正第3章静态电磁场Ⅱ：恒定电流的电场和磁场
例 3.1 一接地系统
i
2
土壤 J线
1 a
接地体
等位面
[解] 15106 S/m钢
2102 S/m土 壤
1 895950
2 8 0
3.良导体与理想介质 ( 2 0 ) 分界面上的边界条件
1
+
+
+
+
J c1
+
+ E2t + 2 +
2 0 J1n J2n 0
U
E2n E2
E线
E2t
J c1n 0 J c2n 0
2I
R半球
接地器
I
1
a
屏蔽室接地电阻（深度 20 m） 返回 下页
高压大厅网状接地电阻（深度1米）
返回 上页
3.2.3 跨步电压
I
o
a 土壤
~r
E dl
AB
r
r
I
o
a 土壤
~r E dl
r
I dr
rb r 2
I
r
1 b
1 r
r b
bI r2
U 0 (安全电压)
AB r
r
bI
(3) 推广到其他学科，即可籍以用电测法求得非电 量的相似解答。
3.2.2 接地电阻
1.基本概念
接地——将电气设备的某一部分与大地在电气上相联结。 接地器——埋于地中的导体系统 ( 球、棒、网及其组合 ) 。 接地的工程意义：
• 保护性接地 • 工作接地
ⅰ 电子电路中 ⅱ 电力工程中
A
o
B
短路点
第3章 静态电磁场Ⅱ： 恒定电流的电场和磁场
工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第2章(第二部分)
2．4 电介质中的电场1．电位移矢量 由高斯定理，得()P E P •∇-=+=•∇ρεερρ001整理得 ▽•(ε0E + P )= ρ定义电位移矢量： D =ε0E + P = ε0(1+χe )E = ε E其中， ε = ε0(1+χe )= εr ε0， εr =ε /ε0 =(1+χe )2．介电常数上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。
从而电介质中电场问题可简洁地归结为场量D 、E 或位函数ϕ 的定解问题。
例1：同轴电缆其长度L 远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为a 和b 。
其间充满介电常数为ε的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源U 0相联接。
试求：(1)介质中的电场强度E ；(2)介质中E max 位于哪里？其值多大？[解]：（1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为+τ 和-τ。
由应用高斯定理，得L L 2D d Sτρρ=π=•⎰S D即 ρρτe D π=2所以 ρερτεe D E π==2 (a < ρ < b )由因为 a b 2d E d U ba l 0ln ετρρπ==•=⎰⎰l E 则 abU ln 20ετπ=得 ρρe E ab U 0ln= (a < ρ < b )(2)最大场强位于内导体表面(ρ = a )，其值为ρe E ab a U 0lnmax =图 同轴电缆的电场 图 E 切向分量的边界条件图 D 法向分量的边界条件3．边界条件介质分界面上的边界条件：跨越分界面的一狭小的矩形回路l 如图所示，且令 ∆l 2→0而 ∆l 1足够地短。
求电场强度在l 上的环量，有0d d d 12112111=∆+∆-=•+•=•⎰⎰⎰∆∆l E l E t t l l ll El El E即 E 1t = E 2t 或 e n ⨯(E 2-E 1) = 0上式表明，在介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。
跨越分界面的一个扁平圆柱体S 如图所示，令两个底面∆S 足够小且平行于分界面，圆柱面高度 ∆l →0。
工程电磁场 第3章
b E dl
b
（3-3）
电位参考点选取的一般原则是：① 电位的 表达式要有意义，如在点电荷产生的电场中不 能选取点电荷所在处为电位参考点，以及在均 匀电场中不能选取无穷远处作为电位参考点 （否则空间中多数位置处的电位为无穷大而失 去实际意义）等；② 同一问题只能选取一个 电位参考点。一般地，若电荷分布在有限区域 内，则可选取无穷远处为电位参考点；若电荷 不是分布在有限区域内，则应根据实际情况将 参考点选在有限区域内。
2
2 1 2
1
2
d R cos 2
2 d d R R 2R cos 2 2
d R cos 2
d R R R cos R 2 2
介质可分为无极性介质和有极性介质。不 论是无极性介质还是有极性介质，在外电场作 用下，每一个分子的束缚电荷都形成电偶极子， 从而介质处于被极化状态，介质内含有大量的 电偶极子，对外呈现带电现象。这样，介质中 的场强变为场源电荷（自由电荷）与介质中束 缚电荷产生的场强的叠加，从而改变原来的场 分布，其总的效应是使介质中的场强被削弱。
类似于自由空间中自由体电荷分布产生的电 位， 极化介质外任一点的电位应为介质内所有束缚 电荷在该点产生的宏观电位， 尽管两者产生电位的 性质不同。 为了计算这个宏观电位， 引入一个新的物理量 —极化强度 P ：
1 P lim V 0 V
p
i 1
n
i
C
m2
（3-23）
这样，将式（3-21）中的 p 用 PdV 代之，即 得极化介质内体积元 dV 内的电偶极矩在介质外 任一点 p 处产生的电位微元为
（3-25）
式中 V 为极化介质的体积， an 为包围体积 V 的封闭面 S 上的面积微元矢量 dS 的外法向单位 矢量。将式（3-25）和式（3-7b）相比较可知， 体积分中的 ( P) 相当于一种体电荷密度； 面积 分中的 (P an ) 相当于一种面电荷密度。为此，前 者称为束缚体电荷密度，记为 p ；后者称为束缚 面电荷密度，记为 ps ，即
工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第2章(第二部分)
《电磁场》讲稿（2）-B尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量，但沿轴向单位长电荷分布( 线密度) 是相同的，圆柱导体表面为等位面。
若设想圆柱导体表面与线电荷对应的等位面重合，即可以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷，如图所示。
为表述方便，成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴，这种方法称为电轴法。
yy- D +Da ao xa- + aob bxh hdh h(a) 同半径两线输电线系统(b) 电轴法图示图电轴法设圆柱导体半径为a，间距为2h，电轴间距为2b。
三者之间的关系为b 2 a2h例1：半径为 a 的传输线平行于地面，传输线轴心对地高度为h，对地电位为U0，如图所示。
试求：(1) 大地上方传输线的电场；(2) 场域最大电场场强的位置及其数值。
[ 解] ：(1) 首先，由电轴法确定电轴的位置，得xb 2 a2hDa大地上方任意场点P 处的电位为22 2x b y2ln ln2 220 x b y1 012hAU0由传输线表面点 A 的电位U0，得ob (h a)A U ln =>2 b (h a)0 ln20U 0b (hb (ha)a)图传输线的电场大地上方任意场点P 处的电位为1ln b bU 0 (h a) ln x x b b 22 2 y 2 y 2 (h a)(2) 显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点A 处，有崔 翔 第 16 页 2013-4-4《电磁场》讲稿（ 2）-BE A E maxe n nx y h 0 a xx yh 0 a h a2x2bUb h a P( x, y)2ba h bln 1 a+D Ahb两半径不同的圆柱导体电场：如图所示，设两平行长直 y2圆柱导体半径分别为 a 1 和a 2，对于图（a ）其轴心距 d = h 1 +h 2，ob对于图（b ）其轴心距为 d = h 2 - h 1( 设 a 2 > a 1) 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 静态电磁场II ：恒定电流的电场和磁场3．1 恒定电场的基本方程与场的特性1．恒定电场由麦克斯韦组的磁场旋度方程，对于导电媒质中的传导电流密度J c ，有c J H =⨯∇上式两边取散度，得c =•∇J又由麦克斯韦组的另一旋度方程=⨯∇E而导电媒质的构成方程为E J γ=c由此可见，导电媒质中(电源区域外)恒定电场具有无散无旋场。
仿照静电场的处理，引入标量电位函数ϕ(r )作为辅助场量，即令E = -∇ϕ ，可得电位ϕ满足拉普拉斯方程，即∇2ϕ = 0例1：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为U 0。
试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。
[解]：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位ϕ，其边值问题为：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∈=∂∂⋅=∇==0022220,01,,U Dz θφφϕϕφρφϕρφρϕ积分，得ϕ =C 1φ + C 2由边界条件，得θ1U C =， 02=C图 扇形导电片中的恒定电流场故导电片内的电位 φθϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0U电流密度分布为φφρθγθφφργϕγγe e E J 00U U -=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅-=∇-== 对于图示厚度为t 的导电片两端面的电阻为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⋅-=•==⎰⎰a b t td U U d U I U R baS0ln γθρρθγφφe e SJ2．电功率在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。
该元电流管中的电流密度J 可认为是均匀的，其两端面分别为两个等位面。
在电场力作用下，dt 时间内有dq 电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为dW = dU ⨯ dq于是外电源提供的电功率为()()EJdV d d dI dU dtdqdU dt dW dP =•⨯•=⨯=⨯==S J l E 故电功率体密度γγ22d d J E EJ V P p ==== 或写成一般形式p = E •J3．不同媒质分界面上的边界条件 两种不同导电媒质分界面上的边界条件：类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的边界条件为J 1n = J 2n 或 e n ⋅(J 2-J 1)=0 E 1t = E 2t 或 e n ⨯(E 2-E 1)=0对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律2121tg tg γγαα= 图 电功率的推导良导体与不良导体分界面上的边界条件：当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设γ1 >>γ2，由折射定律可知，只要α1 ≠ 90︒，就有α2 ≈ 0。
这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(α2≈0)。
换句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表面可近似看作为等位面。
导体与理想介质分界面上的边界条件：此时，由于J c2n = 0，必然有J c1n = 0；且E 1t = E 2t ，电场强度的切向分量连续。
应指出的是，虽然E 1n =J c1n /γ1= 0，但E 2n ≠ 0，其结果将使导体外表面处的电场强度E 2，与导体表面不相垂直，如图所示。
然而，分量E 2t 与E 2n 相比是极其微小的，因而在研究导体外表面附近的电场时，可以略去E 2t 分量的影响。
即近似为静电场中导体的边界条件。
也就是说，当分析载有恒定电流的导体外部电场时，可以应用静电场分析方法。
两种有损电介质分界面上的边界条件： 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有n n E E 2211γγ=同时，还有σεε=-n n E E 1122联立求解，得分界面上自由电荷面密度为图 由良导体(γ1)到不良导体(γ2)的电流流向图 输电线电场示意图2图两种有损电介质的分界面2n J 2212112γγγεγεσ-=由此可见，只有当两种媒质参数满足2112γεγε=条件时，其上表面自由电荷才为零，即σ=0。
例2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。
其介电常数和电导率分别为ε1，γ1和ε2，γ2，厚度分别为d 1和d 2，外施恒定电压U 0，忽略边缘效应。
试求：(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。
[解]：(1) 忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件2211E E γγ=又有电压关系02211U d E d E =+联立求解两式，得1221021d d U E γγγ+=， 1221012d d U E γγγ+=(2)两非理想介质中的电场能量密度分别为211211e E w ε=， 222212e E w ε= 相应的单位体积中的功率损耗分别为2111E p γ=， 2222E p γ=(3)分界面上的自由电荷面密度为0122121122212112U d d J γγγεγεγγγεγεσ+-=-=3．2 恒定电场与静电场的比拟1．静电比拟法将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较，可以看出，两者有如下表的对应关系。
图 非理想介质的平板电容器中的恒定电流场21显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位ϕ、电场强度E 和电流密度J c 的分布将分别与静电场中的电位ϕ、电场强度E 和电位移矢量D 的分布相一致。
如果场中两种媒质分区均匀，当恒定电场与静电场两者边界条件相似，且两者对应的电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：2121εεγγ= 则两种场在分界面上的J c 线与对应的D 线折射情况相同。
根据以上相似原理，就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用于另一种场。
这就是静电比拟法。
由静电比拟法，有εγ=C G 因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。
即⎰⎰⎰⎰••=••==lSlS d d d d UI G lE SE l E SJγc⎰⎰⎰⎰••=••==lSlSd d d d Uq C lE SE lE SD ε例1：内外导体半径分别为a 和b 的同轴电缆，如图所示导体间外施电压U 0。
试求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。
图 同轴电缆中的泄漏电流[解]：（1）解法一：恒定电场分析法电场强度E 和泄漏电流密度J c 均只有径向分量，作一半径为ρ的同轴单位圆柱面，且令单位长泄漏电流为I ，则πρ2I J c =， πργ2I E =内外导体间电压为ab I E U U baln 2d 0AB γρπ===⎰ 由此可知泄漏电流密度为ρργe J ab U ln0c =()b a <<ρ电缆的单位长绝缘电阻为abI U R ln 210γπ===（2）解法二：静电比拟法在同轴电缆分析中，已求得电场强度为ρ0abU e E lnρ=()b a <<ρ故泄漏电流密度ρab U e E Jc lnργγ==()b a <<ρ同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为ab C G R ln 2111γγεπ=⋅==2．接地电阻接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。
计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。
下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。
由镜象法得：⎰∞====a 2a21dr r 2i i 1i u G 1R πγγπ3．跨步电压电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。
此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。
当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。
对于如图所示的半球形接地器，由镜象法，地面上任意点P 的电位为()r 2Idr r 2I d r2γγϕπ=π=•=⎰⎰∞∞Pr E r 如图绘出了地面电位分布。
设人的跨步距离为b ，在距半球中心距离r 点的跨步电压为2rbr r 2Ibr 1b r 12I dr r 2I d U γγγπ≈⎪⎭⎫ ⎝⎛--π=π=•=⎰⎰-BAAB l E 设U 0为人体安全的临界跨步电压（通常小于50~70V ），可以确定危险区半径r 0为02U Ibr γπ=3．3 恒定磁场的基本方程与场的特性1．恒定磁场的基本方程由麦克斯韦方程组，描述恒定磁场的基本方程为c J H =⨯∇0=•∇B(a) 电流线J 的分布 (b) 镜象法图示图 半球形接地器γ土壤 γ土壤aai2iγ土壤ao brIJϕA B aIγπ2 rP图 跨步电压与危险区的分析r E 22rIγπ=I 图 环量⎰•ll B d 与激磁电流I 间关系说明图媒质的构成方程为 H B μ=2．恒定磁场的有旋性在自由空间中，由基本方程可以得出，在恒定磁场问题磁感应强度矢量B 与传导电流密度J c 之间的关系为c 0J B μ=⨯∇上式表明，源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线与电流源之间相互交链的基本特征。
利用斯托克斯定理，得安培环路定律：∑⎰⎰==•=•n1k k 0S0lI d d μμS J l B c式中，电流I k 正负，取决于电流方向与积分回路绕行方向是否符合右手定则。
当方向相符时为正；反之取负值。
如图，有：)(321lI I Id -+=•⎰μl B3．恒定磁场的无散性基本方程还表明了恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零，具有无散(无源)性。
磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。
4．矢量磁位的引入由亥姆霍兹定理，磁感应强度B (r )应为)()()(r A r r B ⨯∇+-∇=ϕ式中()⎰'=''-'•∇'π=V 0V d 41r r r B r )(ϕ ()()⎰⎰⎰''''π=''-π=''-'⨯∇'π=V c 0V c 0V V d R4V d 4V d 41J r r J r r r B r A μμ 式中A 称为矢量磁位。
在SI 单位制中，矢量磁位的单位是韦伯/米(Wb/m )。
需要说明的是矢量磁位A 不是一个物理量，不能被测量，仅是一个为简化计算引入的数学上的辅助矢量函数。
对于不同形式的电流源，有：体电流J c ： ()⎰'''π=V0V d R4r J r A c μ)(面电流K ： ()⎰'π='')(S 0dS R4r K r A μ 线电流I ： ⎰π='')(l 0Rd 4I l r A μ5．磁感应强度表达式上段讨论表明，自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数A 的旋度。
若已知J c (r )，可以先计算矢量磁位A ，然后再通过计算A 旋度计算磁感应强度B 。