对面积曲面积分的计算法

∫∫ xyzdS = ∫∫
Σ Σ1
+ ∫∫ + ∫∫
Σ2 Σ3
∫∫
Σ4
Σ Σ 由于在 Σ1 ，2 ，3 上 f ( x, y, z ) = xyz 均为零，
所以
∫∫
Σ1
= ∫∫ = ∫∫ = 0
Σ2 Σ3
Σ 4 上 z = 1 x y dS = 1 + z x 2 + z y 2 dσ = 3dσ， 在 ，
所以
1 ∫∫ z dS Σ = ∫∫
D
1 a x y
2 2 2
a a x y
2 2 2
dσ （极坐标）
= ∫∫
D
a a dσ = ∫∫ 2 2 rdrdθ a2 x2 y 2 a r D
2π a2 h2 0 0
＝a ∫ dθ ∫
r 1 a 2 2 a 2 h2 dr = 2π a[ ln(a r )]0 = 2π a ln 2 2 a r 2 h
∫∫
Σ
f ( x , y , z )dS
曲面面积元素 积分曲面
称 为 函 数 f ( x , y , z ) 在 曲 面 Σ上 的
对面积的曲面积分(第一类曲面积分) 对面积的曲面积分(第一类曲面积分) 曲面积分
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分 化为二重积分
∫∫ f ( x, y, z )dS
例2 计算 ∫∫ xyzdS ，其中 Σ 是三个坐标面和
Σ
平面 x + y + z = 1 围成的四面体的整个边界曲面。
z
1
O
Dxy
1
y
1
x
解 边界曲面 Σ 由四块组成：Σ = Σ1 + Σ 2 + Σ3 + Σ 4 他们的表达式分别是 x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 于是
=∫
R
0
1 Z H arctan |0 dy R R 1 R y
2 2
H = arctan R
∫
0
dy
而
∫
R
1 R2 y 2
0
dy = lim R1 π = R 2
R1 > R 0
∫
R1
1 R2 y2
dy
（R1 <R ）
= lim arcsin
R1 > R
所以
dS π H ∫∫ x 2 + y 2 + z 2 = 2 arctan R Σ
Σ
？
( x , y , z ) 在 Σ上 变 化
∫∫ f ( x , y, z )dS
Σ
用切平面小块 dA 来代替dS ，而
曲面积分元素为
dσ dA = cos γ
dA
γ
dσ
dσ ds = = 1 + z x 2 ( x , y ) + z y 2 ( x, y ) d σ cos γ
第一型曲面积分化为二重积分的公式为
2 f x ( y, z ) , y, z 1 + x y + xz2 dσ
∫∫
∑
∫
Dyz
∑ : y = y ( x, z )
∫∫
∑
f ( x, y, z )ds =
∫
Dxz
2 f x, y ( x, z ) , z 1 + y x + y z2 dσ
例1
1 dS ，其中 Σ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 计算 ∫∫ z Σ
被平面 z = h(0 < h < a) 截出的顶部。
z
a
∑
h
O
Dxy
a
y
a
x
解 Σ 的方程为 z = a 2 x 2 y 2 ，它在xoy面上的
2 2 2 2 投影区域D为 x + y ≤ a h ， Σ 的曲面面积元素
为
dS = 1 + z x 2 + z y 2 dσ = a a2 x2 y 2 dσ
又 Σ 4 在xoy面上的投影区域D为 x = 0, y = 0, x + y = 1 围成的三角形
所以
∫∫ xyzdS
Σ
= ∫∫ xyzdS = ∫∫ xy (1 x y ) 3dσ
Σ4 D 1 1 x
= 3 ∫ xdx ∫
0 1
0
y (1 x y )dy
y 2 y 3 1 x = 3 ∫ x[(1 x) ]0 dx 0 2 3 3 1 (1 x ) = 3∫ x dx 0 6 3 1 = ( x 3 x 2 + 3 x3 x 4 )dx 6 ∫0 3 = 120
第五节 对面积曲面积分的计算法
几何形体上的积分 重积分
∫ f ( P )dg
G
∫∫
D
f ( x , y )dσ ;
∫∫∫ f ( x , y, z )dv
对弧长的曲线积分
∫
L
f ( x , y )ds;
∫
Γ
f ( x , y , z )ds
f ( x , y , z ) 在 Σ上 连 续 ，
有
当G为一光滑曲面 Σ ， 被积函数 为一光滑曲面
又 xy = 有 于是
y R y
2 2
, xz = 0
2
dS = 1 + z x + z y dydz =
2
R R y
2
2
2
dydz
dS 1 = ∫∫ 2 ∫∫ x2 + y 2 + z 2 D R + z 2 Σ = ∫∫
D
R R y
2
源自文库dydz
R R2 y2 R R2 y2
R
dy ∫
H
0
1 dz 2 2 R +z
例3
dS 计算 ∫∫ 2 2 2 ，其中 Σ 为圆柱面 x +y +z Σ
x 2 + y 2 = R 2 介于平面z =0和z =H(H>0)且在第一
卦限的部分。 解 由于 Σ 不能表示成z=z(x,y)的形式
2 2 现写成 x = R y ，这样就需投影到yoz面上，
投影区域D为矩形 0 ≤ y ≤ R, 0 ≤ z ≤ H
∫∫
Σ
f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z ( x, y )) 1 + z x 2 ( x, y ) + z y 2 ( x, y )dσ
D
如果曲面 Σ 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出， 也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz 面上的二重积分。
∑ : x = x ( y, z ) f ( x, y, z )ds =