数集、确界理解篇

【区间与邻域】

1、有限区间：指形如的区间

无限区间：指形如 的区间

2、点a的δ邻域 ， 简记为

3、点a的δ左邻域 ， 简记为

4、点a的δ右邻域 ，简记为

5、点a的空心δ邻域 ， 简记为

6、∞邻域

+∞邻域

-∞邻域

注：∞，+∞，-∞邻域是存在于无穷远处（即要多远有多远）的无穷开区间

上述定义方法值得探究

定义：任意M大于零，使x大于M恒成立

通俗地说，不论你给一个怎么样的M，x都会比它大

按这种定义操作：

先取一个M，x就比这个M大；

再取一个更大的M，x还是比这个M大；

…………

不断取更大的M，可x的值还是比M大

在这个过程中，M越取越大，x就越接近正无穷

这一定义用有限的语言，阐述了一个无限的过程，量化了什么叫无穷大。

这是极限定义的一种思想。

【界与确界】

1、若 ，则称S有上界，M为S的一个上界，

且若 ，则称M为S的上确界。

2、若 , 则称S有下界，L为S的一个下界，

且若 ，则称L为S的上确界。

3、S既有上界，又有下界，则称S为有界集，反之，则为无界集。

4、确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；

若S有下界，则S必有下确界。5、设A,B，S为非空数集，

（1）若 ，则A有上确界，B有下确界，且

sup A ≤ inf B

（2）若 ，则:

（3）定义，则：

（4）