导数的定义及几何意义

导 数

一.知识梳理

1．导数的概念及几何意义. 2．求导的基本方法

①定义法：()x f '=()()x

x f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx (n ∈N) ; )v (u '±=v u '±' 3．导数的应用

①求曲线切线的斜率及方程；

②研究函数的单调性、极值、最值； ③研究函数的图象形态、性状；

④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用． 二．基础训练

1.(04湖北高考)函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( ) A.0>a B.0≥a C.a<0 D.0≤a

2．（04江苏高考）函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，

-上的最大值、最小值分别是 （ ）

A.1，-1

B.1，-17

C.3，-17

D.9，-19 3.(05南通示范高中联考)a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有 A 0个根 B 1个根 C 2个根 D 3个根

4. (05南通四县市联考)设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断:

①f(x)在(-2,0)上是减函数

②x=-1时, f(x)取得极小值;

③x=1时, f(x)取得极小值;

④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数其中正确的是

A ①②

B ②③

C ③④

D ②③④

5.(05宿迁三模) 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是

A -3 B-1 C1 D3 6．（05湘.19）设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．

(I)用t 表示a ，b ，c ；

(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．

q x () = -2⋅cos x ()

三．典型例题

例1. （05全国Ⅱ. 21）设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2

-x+a ． （I ）求f(x)的极值；

（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点．

例2(05苏州一模)已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．

1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；

2)若0

例3 （03天津高考）已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

①a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。 ②若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

导数巩固练习

1.(05苏,锡，常,镇一模)已知函数f(x) =2x 3-

2

1x 2

+m (m 为常数)图象上点A 处的切线与直线x-y+3=0的夹角为450,则点A 的横坐标为 ( )

A .0

B .1

C .0或61 D. 1或61

2.(05南通一模)已知函数f(x) =x 3+bx 2

+cx+d 在区间[-1,2]上是单调减函数,那么 ( )

A. 有最大值215

B. 有最大值-215

C. 有最小值215

D.有最小值-2

15

3．（04苏州一模）若函数

()a x x x f --=33

在区间[]3,0上的最大值，最小值分别为M ，N ，则M-N 的值为 ( )

A.2

B.4

C.18

D.20

4．(04徐州一模)抛物线y=1

2

x 2+x+2与圆x 2+y 2=r 2(r>0)的一个交点为P ，且

它们在交点P 处的切线互相垂直，则r 的一个值是 ( )

5.(05重庆高考)曲线y=x 3在点(a,a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴,直线x=a 所围

成的三角形的面积为

1

,则a=

(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间．

8．已知函数f(x)=x 3+(b-1)x 2+cx(b 、c 为常数).

(I) 若f(x)在x=1和x=3处取的极值,试求b 、c 的值；

(II) 若f(x)在x ∈(-∞,x 1)、(x 2,+∞)上单调递增且在x ∈(x 1,x 2)上单调递减,又满足x 2-x 1＞1,求证：b 2＞2(b+2c)；

(III)在(2)的条件下,若t ＜x 1，试比较t 2+bt+c 与x 1的大小,并加以证明.

参考答案

基础训练:

1.C

2.C

3.B

4.C

5.A

6.解: (I)因为函数f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)=0， g(t)=0。

f(t)=0，即t 3+at=0。因为t≠0,所以a=-t 2

; g(t)=0，即bt 2+c=0，所以c=ab ．

又因为f(x),g(x)在点(t ，0)处有相同的切线，所以)(x f ' =)(x g '． 而)(x f '=3x 2+a, )(x g '=2bx ，所以3t 2+a=2bt ． 将a=-t 2，代入上式得b=t ， ,因此c=ab=-t 3, 故a=-t 2，b=t ，c=-t 3。．

(Ⅱ)y= f(x)-g(x)=x 3- tx 2- t 2x +t 3 y '=3x 2-2tx-t 2=(3x+t)(x-t)．

当y '= (3x+t)(x-t)<0时，函数y= f(x)-g(x)单调递减．

由y '<0，若t>0，则-3t

t

.

由题意，函数y= f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，则(-l ，3)⊂( -3

t

，t)

或 (-l ，3)⊂ (t ，-3t

)

所以t≥3或-3

t

≥3．即t≤-9或t≥3.

又当-9

例1．分析：历经多年的高考命题实践，对“导数”的考查已从“导数”的简单应用，如求曲线切线的斜率、研究函数的单调性、极值、最值，拓展到利用导数研究不等式、函数图象的性态、方程根的分布与个数等问题，问题(Ⅱ)即是利用导数研究函数图象性态的问题， (Ⅱ)也可等价变形为一个方程根的分布（个数）问题：“当a 在什么范围内取值时，方程f(x)=0有且仅有一个根”。

解：(I) )(x f '=3x 2-2x-1．

若)(x f '=0，则x=-3

1

或1，

当x 变化时，)(x f '，f(x)变化情况如下表：