2009-数一真题大全及答案

齐次方程 y + ay + by = x 满足条件 y (0) = 2, y(0) = 0 的解为 y =
。
【答案】 y = −xex + x + 2
【解析】由常系数线性齐次微分方程 y + ay + by = 0 的通解为 y = (C1 + C2 x) ex 可知
y1 = ex ， y2 = xex 为其线性无关解。代入齐次方程，有 y1+ ay1 + by1 = (1+ a + b)ex = 0 1+ a + b = 0 y2 + ay2 + by2 = [2 + a + (a +1+ b)x]ex = 0 2 + a = 0 从而可见 a = −2,b = 1。
lim
n→
an
=
0 ，则
( A) 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n =1
n=1
( B ) 当 bn 发散时， anbn 发散.
n =1
n=1
( )C 当 bn 收敛时， an2bn2 收敛.
n=1
n=1
【答案】C 【解析】 方法一：
( D) 当 bn 发散时， an2bn2 发散.
xds =
2
x
1+ 4x2 dx = 1
2 1+ 4x2d 1+ 4x2
L
0
80
( ) = 1 2 1+ 4x2 3 2 = 13
83
06
（12）设 = ( x, y, z) x2 + y2 + z2 1 ，则 z2dxdydz =
。
【答案】 4 15
【解析】
方法一：
z2dxdydz =
( ) T = T = 2 ,
T 的非零特征值为 2.
(14)设 X1, X 2, , X m 为来自二项分布总体 B (n, p) 的简单随机样本，X 和 S 2 分别为样本均
值和样本方差。若 X + kS 2 为 np2 的无偏估计量，则 k = 【答案】 −1 【解析】 X + kS2 为 np2 的无偏估计
2
d
d
1 2 sin 2 cos2 d
0
0
0
=
2
d
cos2 d (− cos ) 1 4d
0
0
0
= 2 − cos3 1d = 4 3 0 5 15
方法二：由轮换对称性可知 z2dxdydz = x2dxdydz = y2dxdydz
( ) 所以， z2dxdydz = 1
1
从而，当 n N1 + N2 时，有 an2bn2 bn ，则由正项级数的比较判别法可知 an2bn2 收敛。 n=1
（5）设
1
,
2
,
3
是
3
维向量空间
R
3
的一组基，则由基
1
,
1 2
2
,
1 3
3
到基
1 + 2 ,2 + 3,3 + 1 的过渡矩阵为
1 0 1
(
A)
2
2
0
.
0 3 3
1 2 0
矩阵
O B
A O
的伴随矩阵为
(
A)
O 2 A*
3B* .
O
(
B
)
O 3 A*
2B* .
O
(
C
)
O 2B*
【答案】B
3A*
O
.
(
D
)
O 3B*
2 A*
O
.
【解析】根据 CC = C E ，若 C = C C−1,C−1 = 1 C C
分块矩阵
0 B
A
0
的行列式
（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为
PY
=
0
=
PY
= 1
=
1 2
，记
FZ
(z)
为随机变量
Z
=
XY
的分布函数，则函数
FZ
(z)
的间断点个数为
( A) 0.
( B) 1.
(C ) 2.
( D) 3.
【答案】 B
【解析】
FZ (z) = P( XY z) = P( XY z Y = 0)P(Y = 0) + P(XY z Y = 1)P(Y = 1) = 1 [P( XY z Y = 0) + P(XY z Y = 1)]
( A) a = 1,b = − 1 .
6
(C ) a = −1,b = − 1 .
6 【答案】 A
( B) a =1,b = 1 .
6
( D) a = −1,b = 1 .
6
【解析】 f (x) = x − sin ax, g(x) = x2 ln(1− bx) 为等价无穷小，则
lim
x→0
f (x) g(x)
微分方程为 y ''− 2y '+ y = x
设特解 y* = Ax + B 代入， y ' = A, A = 1
−2A + Ax + B = x −2 + B = 0, B = 2
特解 y* = x + 2
y = (c1 + c2x)ex + x + 2
把 y(0) = 2 ， y '(0) = 0 代入，得 c1 = 0,c2 = −1
−
+ −
x
0.3
(
x
)
+
0.35
x
−1 2
dx
=
0.3
+ −
x( x) dx + 0.35
+ −
x
x
−1 2
dx
而
+ x( x) dx = 0 ，
−
+ −
x
x
−1 2
dx
x −1 = u 2 + (2u +1) (u) du = 2
2
−
所以 EX = 0 + 0.35 2 = 0.7 。
2009 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当 x → 0 时， f ( x) = x − sin ax 与 g ( x) = x2 ln (1− bx) 等价无穷小，则
0 B
A =（−1）22 A B = 2 3 = 6 ，即分块矩阵可逆 0
0
B
A
0
0
=
B
A0
0
B
A
−1
0
0
=
6
A−1
B−1 0
=
6
0 1 A A
1 B
B
0
0
= 6
1 2
A
1 3
B 0
=
0 3 A
2B
0
故答案为 B。
（7）设随机变量
X
的分布函数为
F
(x)
=
0.3 ( x)
奇函数，所以 I2 = I4 = 0 ;
D1, D3 两区域关于 y 轴对称，而 f (−x, y) = y cos(−x) = y cos x = f (x, y) ，即被积函数是
关于 x 的偶函数，所以 I1 = 2
y cos xdxdy 0 ；
( x,y) yx,0x1
I3 = 2
y cos xdxdy 0 .所以正确答案为 A.
（9）设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数， z = f ( x, xy) ，则 2 z =
。
xy
【答案】 xf12 + f2 + xyf22
【解析】 z x
=
f1+
f2 y ，
2z xy
=
xf12
+
f2 +
yx
f22
=
xf12
+
f2 +
xyf22
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 y + ay + by = 0 的通解为 y = (C1 + C2 x) ex ，则非
n=1
n=1
举反例 A 取 an = bn = (−1)n
1 n
故答案为（C） 方法二：
B
取
an
=
bn
=
1 n
D
取
an
=
bn
=
1 n
因为
lim
n→
an
= 0, 则由定义可知 N1, 使得 n N1 时，有 an
1
又因为 bn n=1
收敛，可得
lim
n→
bn
= 0, 则由定义可知 N2 , 使得 n N2 时，有 bn
( x, y) y− x,0x1
（3）设函数 y = f ( x) 在区间−1,3 上的图形为：
则函数 F ( x) = x f (t ) dt 的图形为 0
( A)
(B)
(C)
(D)
【答案】 D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f (x) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、
x = x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x) ，从而可得出几个方面的特征：
的过渡矩阵。
则由基 1 ,
1 2
2
,
1 3
3
到
1
+2,2
+ 3 ,3
+ 1 的过渡矩阵
M
满足
(1
+
2
,
2
+
3
,3
+
1
)
=
1,
1 2
2
,
1 3
3
M
所以此题选 ( A) 。
1 0 1
=
1
,
1 2
2
,
1 3
3
2 0
2 3
0 3
（6）设 A, B 均为 2 阶矩阵， A*, B* 分别为 A, B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分块
2 = 1 [P( X 0 z Y = 0) + P(X z Y = 1)]
2
X ,Y 独立
FZ
(z)
=
1 [P(X 2
0
z)
+
P( X
z)]
（1）若
z
0
，则
FZ
(z)
=
1 2
(
z)
（2）当
z
0
，则
FZ
(z)
=
1 2
(1+
(z))
z = 0 为间断点，故选（B）
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(
B
)
0
2
3
.
1 0 3
1
2
1 4
−
1 6
(C
)
−
1 2
1 4
1 6
.
1 2
−1 4
1 6
1
2
−1 2
1
2
(
D
)
1 4
1 4
−
1 4
.
−
1 6
1 6
1 6
【答案】A
【解析】因为 (1,2 , ,n ) = (1,2, ,n ) A ，则 A 称为基1,2 , ,n 到1,2 , ,n
二元函数存在极小值 f (0, 1) = − 1 ee
+
0.7
x −1 2
，其中
(x)
为标准正
态分布函数，则 EX =
( A) 0 .
( B) 0.3.
(C ) 0.7 .
(D) 1.
【答案】 (C )
【解析】因为
F
(
x
)
=
0.3
(
x
)
+
0.7
x
−1 2
，
所以
F
(
x
)
=
0.3
(
x
)
+
0.7 2
x
−1 2
，
所以 EX =
+ xF( x)dx =
【解析】
f
x
(
x,
y)
=
2
x(2
+
y2
)
=
0
f
y
(
x,
y)
=
2
x
2
y
+
ln
y
+
1
=
0
故 x = 0, y = 1 e
f xx
=
2(2 +
y2 ),
f yy
=
2x2
+
1 y
,
f xy
=
4xy
则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f xx
(0,1 ) e
=
2(2
+
1 e2
)
fxy (0,1) = 0 e
f yy (0,1) = e e
fxx 0 而 ( fxy )2 − fxx f yy 0
另外
lim
x→0
1− a cos ax −3bx2
存在，蕴含了1−
a
cos
ax
→
0
(
x
→
0)
故
a
=
1.
所以本题选 A。
排除 D 。 y
1
（2）如图，正方形 ( x, y) x 1, y 1 被其对角线划分为
四个区域 Dk (k = 1, 2,3, 4) ， Ik = y cos xdxdy ， Dk
① x 0,1 时， F(x) 0 ，且单调递减。
② x 1, 2 时， F(x) 单调递增。
③ x 2,3 时， F(x) 为常函数。 ④ x −1, 0 时， F(x) 0 为线性函数，单调递增。
⑤由于 F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为 D 。
（4）设有两个数列
an
,bn
，若
=
lim
x→0
x − sin ax x2 ln(1− bx)
=
lim
x→0
x − sin ax x2 (−bx)
洛
lim
x→0
1
− a cos −3bx2
ax
洛 lim x→0
a2 sin ax −6bx
= lim a2 sin ax = − a3 = 1 x→0 − 6b ax 6b a
a3 = −6b 故排除 B,C 。
−
E(X + kX 2 ) = np2 np + knp(1− p) = np2 1+ k(1− p) = p k(1− p) = p −1 k = −1
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
( ) （15）（本题满分 9 分）求二元函数 f (x, y) = x2 2 + y2 + y ln y 的极值。
所求 y = −xex + x + 2
( ) （11）已知曲线 L : y = x2 0 x 2 ，则 xds = L
。
【答案】 13 6
【解析】由题意可知， x = x, y = x2, 0 x 2 ，则
ds = ( x)2 + ( y)2 dx = 1+ 4x2 dx ，
( ) 所以
则 max 1k 4
Ik
=
-1
D2
D1 D4
D3
1
x
-1
( A) I1 .
(B) I2.
(C) I3 .
(D) I4.
【答案】A 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
D2, D4 两区域关于 x 轴对称，而 f (x, − y) = − y cos x = − f (x, y) ，即被积函数是关于 y 的
x2 + y2 + z2
dxdydz = 1
d
2
d
1r4 sindr
3
30
0
0
= 2
sin d
1r4dr = 2 1
sind = 4
30
0
350
15
（13）若 3 维列向量 , 满足 T = 2 ，其中T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值
为
。
【答案】2
【解析】 T = 2