常微分试卷二答案

四川大学期末考试试题 (A卷)答案及评分标准

（2005——2006学年第一学期）

考试科目：常微分方程适用专业名称：基础数学、应用数学、计算数学

1、（20分，每小题5分）考虑Cauchy问题d x/dt=A(t)x,

x(t0)=x0，其中A是nn实矩阵函数、t R, x R n。请选择填空：

（1）该问题解的存在唯一性条件是：____(a)______ 。

(a) A(t)对t R连续，(b) A(t)对t R可微, (c) A(t)对t R是Lipschitz

的，(d)A(t)对t R连续且Lipschitz，(e) A(t)对一切t R可

逆。

（2）设X(t)是其基本解矩阵，则该问题的解为

_____(c)______ 。

(a) x(t)=X(t-t0)x0, (b) x(t)=exp(A(t))exp(-A(t0))x0,

(c) x(t)= X(t)X-1(t0)x0 , (d) x(t)=exp(A(t-t0))x0。

（3）以下det X(t)表示X(t)的行列式，正确的结果是

____(c) _ 。

(a) det X(t) det X(t0),

(b) 由det X((t)=0知道det X(t0)=0，但反之未必，

(c) 由det X(t0)0知道对一切t都有det X((t) 0，

(d) det X( t)=0当且仅当det X(t0)=0 。

（4）若C是nn实矩阵，X((t)C也是基本解矩阵的条件是

____(b)__ 。

(a) C非零, (b) C可逆, (c) C可对角化， (d) C对称。

2、（25分）假设Cauchy问题dx/dt=ax+f(t), x(t0)=x0满足解的存

在唯一性条件，其中a为实数，t R, x R。(1) 写出这个Cauchy

问题解的表达式。(2)用常数变易法证明这个表达式。(3)

如果a>0而且f(t)连续有界，证明存在x0R使该Cauchy问题

存在对所有t (t0,+)都有界的解。

[解] (1) x(t)=exp(a(t-t0)x0+ t0 t exp(a(t-s) f(s) ds. [10分]

(2) 首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c

exp(at)。

设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt=

exp(-as) f(s),

从而得到特解x(t)= exp(at) exp(-as) f(s) ds和通解

x(t)=exp(at)c+ exp(a(t-s) f(s) ds.

通过初始条件可以确定c，并证得(1)的表达式。[10分]

(3) 由于exp(-a(t-t0)x(t) 0 (t+), x0 = - t0 + exp(a(t0-s) f(s) ds .

[5分]

3、（15分）求方程的通解。

[解] 方程等价于dy/dx= - (2x+y+1)/(x+2y-1)。

作变换x=u-1, y=v+1把方程化为齐次型dv/du= - (2u+v)/(u+2v). [5分]

再令v=ut，得到2(t2+t+1)udu+u2(1+2t)dt=0. [5分]

分离变量得，u(t2+t+1)1/2=C,即u2+uv+v2=C2, [4分]

或x2+xy+y2+x-y=C1。[1分] 4、（25分）计算方程d2x/dt2+ dx/dt-2x=cos(t)-3sin(t)通解。进

而计算方程关于初值x(0)=1, dx/dt(0)=2的解。

[解] (1) 特征方程为2+ -2=0, =1, -2 。齐次方程的通解为

x(t)=C1exp(-2t)+C2exp(t).

[10分]

(2) 考虑算子形式的复系统 (D2+ D-2)z=exp(it)+3i exp(it). 从而 z(t)=（1/(D+2)(D-1)）{(1+3i)exp(it)}=(( 1+3i)/(i+2)(i-1)) exp(it)=-i exp(it)

=sin(t)- i cos(t)。

取实部，从而非齐次方程的特解为x(t)=Re

z(t)=sin(t). [9分]

通解为x(t)= C1exp(-2t)+C2 exp(t)+ sin(t). [1分]

(3) 代入初始条件得C1 =0, C2 =1. 最终解为

x(t)= exp(t)+ sin(t). [5分]

5、（15分）考虑方程组dx/dt=3x, dy/dt=2x+y 。

（1）判断奇点（0，0）的定性性质（类型及稳定性）；（2）求通解；

（3）画相平面轨道的草图。

[解] (1) 特征方程为2-4+3=0，特征值为1=1，2=3。

奇点为不稳定结点。[5分]

(2) 相应的特征向量为r1=col(0,1),r2 =col(1,1). 通解为： col(x(t),y(t))= C1exp(t)r1+ C2exp(3 t) r2.

x(t)= C2e3t , y(t)= C1e t + C2e3t . [5分]

(3) 草图(略) [5分]

满卷100分本套题共2 页，第 2 页