Lotka-Volterra模型教学内容

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Lotka-Volterra 方程

Lotka-Volterra 方程

度娘不是万能的!
维多· 沃尔泰拉(Vito Volterra, 1860年5月3日-1940年10月11日)是 一位意大利数学家与物理学家,著名 于生物数学研究。
20世纪20年代,意大利生物学家达柯纳对第一 次世界大战期间亚得里亚海湾的渔业作了研究。他 发现,在战争年代,鲨鱼等大鱼的捕量占总量的百 分比急剧增加,而战后又趋于正常。
求助
百思不得其解的生物学家达柯纳就这个生 物领域的问题向数学家沃尔泰拉请教,希望 他建立一个数学模型来解释这种现象。
模型一 不考虑捕获
沃尔泰拉在分析了这些数据后,忽略了一 些次要因素,仅考虑自然环境中食饵与捕食者 之间的制约关系,建立了以下简单模型。
模型二 考虑捕获
e为捕获能力系数
当达到平衡时,即x[(a-e)-by]=0,y[-(c+e)+dx]=0, 解得
模型一不考虑捕获e为捕获能力系数当达到平衡时即xaeby0ycedx0lotkavolterra方程的应用1作为渔业生产的指导2生态平衡3环境保护4人口统计5疾病防治2沃尔泰拉方程的建立是数学在生物学领域的第一次运用开始了数学对生物学的渗透从而推动了生物数学这门科学的产生大大促进了近代生物学的发现史
Lotka-Volterra方程别称掠食者-猎物,由两 条一阶非线性微分方程组成。经常用来描述生物 系统中,掠食者与猎物进行互动时的动力学,也 就是两者族群规模的消长。
1925年,阿弗雷德· 洛特卡发表 1926年,维多· 沃尔泰拉发表
阿弗雷德· 洛特卡(Alfred James Lotka,1880年3月2日-1949年12月5日) 是一位美国统计学家、数学家与物理化 学家,著名于生态学上的族群动力学与 能量学研究。
X=0,y=0 或x=(c+e)/d,y=(a-e)/b

lotka-volterra方程中的相关参数的确定

lotka-volterra方程中的相关参数的确定

lotka-volterra方程中的相关参数的确定Lotka-Volterra方程是一种描述捕食者和猎物之间相互作用的动力学模型。

它由两个关联的微分方程组成,其中捕食者的数量和猎物的数量随时间的变化被描述。

在Lotka-Volterra方程中,有一些参数需要确定,以使模型能够适应特定的捕食者和猎物系统。

以下是确定这些参数的一些常见方法:
1.实验观测:通过实验观测获得的数据可以用来确定模型中
的参数。

这可能涉及到监测和记录捕食者和猎物数量随时间的变化。

2.相关研究:进行相似生态系统或相似物种之间的研究,以
获得类似系统中参数的估计。

这可能包括文献综述、野外观察或实地调查。

3.参数估计:使用统计方法,如最小二乘拟合或最大似然估
计,根据已有的数据拟合模型,并得出参数的估计值。

4.灵敏度分析:进行灵敏度分析来评估参数对模型结果的影
响程度。

这可以帮助确定对模型结果影响较大的参数,并优先考虑对这些参数进行准确估计。

需要注意的是,参数的确定是一个复杂的过程,并且涉及到模型假设的验证,数据收集和分析,在参数估计中使用统计技术,以及考虑误差和不确定性。

另外,根据具体的应用和研究目的,还会引入其他的参数
或因素,以更好地刻画特定系统的行为。

因此,参数的确定应该根据具体情况进行,并结合领域知识和相关实验和观测数据。

求解最短路径问题的Lotka-Volterra回复式神经网络模型

求解最短路径问题的Lotka-Volterra回复式神经网络模型
J u a fC mp trA piain o r l o o ue p l t s n c o
I N 001 9 SS 1 — 081
2 2. 7 . 1 01 . . 0 O
计算机应 用号 :0 1 0 12 1 ) 7—16 0 10 —9 8 ( 0 2 0 95— 4
fnt nfr h ot t a rbe fh i c dgah o aV l r L )R cr n N ua N tok( N )m dl uci es r s p t pol o ed et p ,aL t - o e a( V eur t erl ew r R N o ot h e h m t r e r k tr e oe
Ab ta t h h r s P t S )p o l o edrc d ga h i a pi i t np o l s c :T eS o e t a r t h( P rb m f h i t rp n o t z i r e e t ee s m ao b m.B o s ut gt n r yc n t c n e e eg r i h y
COD YIDU EN J I
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求 解 最 短 路径 问题 的 L taV l ra回复 式神 经 网 络模 型 ok - ot r e

要: 有向 图的最短路径 ( P 问题 是一个优化 问题 。通过 构造有 向 图的最短路径 问题 的能量 函数 , 出了一 S) 提
种 L taV h r L ) o ・o er V 回复式神 经网络 ( N 模型 , k a( R N) 用于求解有向 图的最短路径。 当 L v神经 网络迭代收敛到稳定吸 引子时 , 对应 的能量函数也达到其能 量最 小点。 因此 , 通过稳 定吸 引子 可以获取 最短路径 。实验结 果表 明, 用 L 利 v 神 经网络模 型可 以有效地 求解有 向图 中任 意两个顶点之 间的最短路径 。 关键词 :o aV h r L t — o e a回复式神经 网络 ; k r 能量 函数 ; 最短路 径 ; 稳定吸 引子 ; 能量最小点

Lotka-Volterra模型

Lotka-Volterra模型
20世纪40年代,Lotka(1925)和Volterra (1926)奠定了种间竞争关系的理论基础,他们提 出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着重 大影响。Lotka-Volterra模型(Lotka-Volterra种 间竞争模型)是对逻辑斯蒂模型的延伸。现设定如 下参数:
N1、N2:分别为两个物种的种群数量
K1、K2:分别为两个物种的环境容纳量 r1、r2 :分别为两个物种的种群增长率
依逻辑斯蒂模型有如下关系: dN1 / dt = r1 N1(1 - N1 / K1) 其中:N/K可以理解为已经利用的空间(称为“已利用空间 项”),则(1-N/K)可以理解为尚未利用的空间(称为“未 利用空间项”) 当两个物种竞争或者利用同一空间时,“已利用空间项”还 应该加上N2种群对空间的占用。则: dN1 / dt = r1 N1(1 - N1 / K1 - αN2 / K1) ——(1) 其中,α:物种2对物种1的竞争系数,即每个N2个体所占用 的空间相当于α个N1个体所占用空间。 则有,β:物种1对物种2的竞争系数,即每个N1个体所占用 的空间相当于β个N2个体所占用空间。则另有: dN2 / dt = r2 N2(1 - N2 / K2 - βN1 / K2) ——(2)
何为平衡呢,就是N1和N2种群的数量都不发生变化,即: 1/dt = r1 N1(1 - N1/K1 - αN2/K1)= 0 ———(1) 2/dt = r2 N2(1 - N2/K2 - βN1/K2)= 0 ———(2) 满足两个方程时,两种种群平衡,则显然焦点既是平衡点。 那么,对于结果1和结果2,两个种群的平衡线没有焦点, 则不可能达到平衡,总是有一方最终被完全排挤掉。 结果3虽然存在一个平衡点,但是很不稳定,只要自然条 件的微小波动造成偏离平衡点,那么其中占优的一方就会 最终取得生存竞争的胜利。 结果4是一个稳定的平衡,无论N1和N2种群数量的组合 (N1,N2)落在直角坐标系内哪一区域,最终都将使得N1 种群和N2种群的数量趋向平衡点

Lotka-–-Volterra-捕食者-–-猎物模型模拟电子教案

Lotka-–-Volterra-捕食者-–-猎物模型模拟电子教案

L o t k a-–-V o l t e r r a-捕食者-–-猎物模型模拟基础生态学实验Lotka – Volterra 捕食者–猎物模型模拟姓名王超杰学号 201311202926实验日期 2015年5月14日同组成员董婉莹马月娇哈斯耶提沈丹一、【实验原理】Lotka-Volterra捕食者-猎物模型是对逻辑斯蒂模型的延伸。

它假设:除不是这存在外,猎物生活于理想环境中(其出生率与死亡率与种群密度无关);捕食者的环境同样是理想的,其种群增长只收到可获得的猎物的数量限制。

本实验利用模拟软件模拟Lotka-Volterra捕食者-猎物模型,并以此研究该模型的规律特点。

捕食者—猎物模型简单化假设:①相互关系中仅有一种捕食者和一种猎物。

②如果捕食者数量下降到某一阀值以下,猎物数量种数量就上升,而捕食者数量如果增多,猎物种数量就下降,反之,如果猎物数量上升到某一阀值,捕食者数量就增多,而猎物种数量如果很少,捕食者数量就下降。

③猎物种群在没有捕食者存在的情况下按指数增长,捕食者种群在没有猎物的条件下就按指数减少。

因此有猎物方程:dN/dt=r1N-C1 PN;捕食者方程:dP/dt=-r2P+C2PN。

其中N和P分别指猎物和捕食者密度,r1 为猎物种群增长率,-r2为捕食者的死亡率,t为时间,C1为捕食者发现和进攻猎物的效率,即平均每一捕食者捕杀猎物的常数,C2为捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数。

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型揭示了这种捕食关系的两个种群数量动态是此消彼长、往复振荡的变化规律。

二、【实验目的】在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上,通过改变参数值的大小,在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律,从而加深对该模型的认识。

三、【实验器材】Windows 操作系统对的计算平台,具有年龄结构的种群增长模型的计算机模拟运行软件Populus。

lotka-volterra模型 半饱和常数-概述说明以及解释

lotka-volterra模型 半饱和常数-概述说明以及解释

lotka-volterra模型半饱和常数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述随着对生态系统的深入研究,人们意识到了物种之间相互关系的重要性。

为了解释和预测物种之间的相互作用,数学模型成为了一种有效工具。

其中,Lotka-Volterra模型是一种常用且经典的数学模型,被广泛应用于生态学领域。

Lotka-Volterra模型,又称为捕食者-猎物模型,描述了捕食者和猎物之间的相互作用。

模型的基本假设是,猎物的增长受到捕食者捕食的影响,而捕食者的增长则依赖于猎物的可获得性。

本文的重点是研究Lotka-Volterra模型中的一个重要参数,即半饱和常数。

半饱和常数是用来衡量猎物或捕食者种群增长的饱和程度的指标。

它代表了当猎物或捕食者种群密度达到半饱和常数时,其增长速率达到最大值的临界点。

在这篇文章中,我们将对Lotka-Volterra模型进行介绍,并详细定义半饱和常数。

我们将探讨半饱和常数对模型的影响,以及其在解释和预测物种之间相互作用的重要性。

最后,我们还将展望未来研究方向,探讨如何进一步改进和应用Lotka-Volterra模型以解决现实生态问题。

通过对Lotka-Volterra模型和半饱和常数的研究,我们将有助于更好地理解物种之间的相互关系,并为生态学领域的可持续发展提供理论指导。

此外,对于生态系统保护和资源管理也有着重要的现实意义。

1.2 文章结构文章结构:本篇文章主要包括以下几个部分。

引言部分(第1章):首先对文章的主要内容进行概述,介绍Lotka-Volterra模型以及半饱和常数的背景和相关研究现状。

然后明确文章的目的和意义以及本文的结构安排。

正文部分(第2章):详细介绍Lotka-Volterra模型,包括其基本原理、模型方程的推导以及动态方程的解释。

然后,着重阐述半饱和常数的定义和意义,并讨论其在Lotka-Volterra模型中的应用。

结论部分(第3章):对全文的内容进行总结,回顾Lotka-Volterra 模型的应用,并分析半饱和常数对模型的影响。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型,它由Alfred Lotka和Vito Volterra在20世纪初提出,并被广泛应用于生态学、生物学和数学领域。

在生态系统中,不同种群之间存在着资源的竞争和空间的扩散。

这种竞争扩散系统的动力学特性对生态系统的稳定性和多样性具有重要影响。

在过去的研究中,人们主要关注于Lotka-Volterra竞争扩散系统内部正平衡点的存在性和稳定性,但对于连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性研究相对较少。

本文将重点讨论Lotka-Volterra竞争扩散系统的连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性,探讨这一问题在生态系统稳定性和多样性中的重要意义。

我们将介绍Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型和数学表达式,然后分析连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性,最后讨论这一研究对生态学和数学的意义和应用。

1. Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型Lotka-Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型,其基本形式可以表示为:\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t} = d_u\Delta u+ru(1-\frac{u}{K})-auv\\\frac{\partial v}{\partial t} = d_v\Delta v+sv(1-\frac{v}{L})-buv\end{cases}u和v分别表示两个种群的密度,t表示时间,d_u和d_v表示扩散系数,r和s分别表示种群的增长率,K和L分别表示种群的最大容纳量,a和b分别表示种群之间的竞争强度。

上式中的第一项表示扩散项,第二项表示种群的自我增长,第三项表示种群之间的竞争作用。

这个模型描述了种群在空间中的扩散和竞争,可以用来研究生态系统中种群的动态演变和空间分布。

随机时滞Lotka—Volterra模型:全局解和随机最终有界性

随机时滞Lotka—Volterra模型:全局解和随机最终有界性
企】 学 院 学 扳 ( 自 然 科 学 版 )
1 5 年 1 O月 第2 5 卷 第4
J o u r n a l o f H e f e i U n i v e r s i t y ( N a t u r a l S c i e n c e s )
t .2 0 1 5 V o 1 . 2 5 No . 4
摘பைடு நூலகம்
要: 通过讨论一类随机 时滞 L o t k a - Vo l t e r r a生态模型 解的动力行 为 , 利用 I t o公 式 C h e b y s h e 不等 式, 给出 该模型全局正解 的存在 唯一性 、 随机最终有界性 的充分条件 , 并给 出一个数值例子说 明 了结果 的有效性
对 于这 些模 型 的研究 已经 取得 了丰富结 果 卜 引.
1 2 1 _ LN 个方 程 中 , ( ) 表示 的是 物种 种 群规模 , 因此 , 这 些 方 程 的正 解 才 是 学者 们 的 兴趣 所 在. 此外 ,
收 稿 日期 : 2 0 1 5 — 0 9 一O 6

f o r mu l a a n d Ch e b y s h e v i n e q u a l i t y,s o me s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r e x i s t e n c e o f g l o b a 1 p o s i t i v e

W A NG Do n g - h u i 。 W U Z h e n g
( 1 . S c h o o l o f Ma r x i s m, S o u t h Ch i n a Un i v e r s i t y o f Te c h n o l o g y ,Gu a n g z h o u 5 1 0 6 4 1 ; 2S ch o o 1 o f Ma t h ma t i c a 1

无密度制约的Lotka-Volterra模型捕食-食饵系统同时捕获的最优化

无密度制约的Lotka-Volterra模型捕食-食饵系统同时捕获的最优化
网下 去 , 获种 群 捕 的个 数与 种群Y 数 之 比大 个 致为A, 参数 A 映 了渔 网 的特性 。设 努力 量 反 的单位 成本 为 。
型及其以最大收益为管理 目标 的最优捕获策
略 。无 捕 获 的情 行 下 无 密 度 制 约 的 Lta o — k
V l r 捕食 一 饵模 型为 o er t a 食
【 章编 号】1 7 - 3 0 2 1 )5 0 4 0 文 6 4 9 (0 0 0 — 4 — 4 4
一 血
其 中 )(表示在 t 种群 的数 量 , O, y) 时刻 和Y rr 11 为种群 的内禀增 长率 ,表 示捕 获 ,分别 和Y 6 能力 rr,,均 为正 常数 。此外 本 文约定 用 E l,cb , 表示 最优 捕 获努 力量 , 表示 最大 纯 收益 , 设 种群 的捕 获物 的销售 单价 分别 为 常数p 和Y 和 口单位 捕获 努力量 的成 本为云 , 。
系统 的两 种 群 同时捕 获 时 的最 大 持 续受 益 的
无密度制约同时捕获的捕食一 食饵模型为
条件 , 具有一定的现实意义。
本 文 阐述 了Lta V hr 捕食 一 饵 模 ok - oer a 食
其 中A 为正常数 。这种 捕获 方式是 用努力
量E 同时去捕获种群 的。 和Y 以捕鱼业为例 , 一
究工作 较为全 面 , 由于多 种群 出现 了复 杂的 但 种群 相互 间关 系 , 因此 难 度较 大 , 成果 不 甚 其 理想 。例 如对 两种群 的竞争 系统 , 文献 [】 供 2 提 了很好 的思路 , 但并 不适用 于其 它类 型 的多种 群 系统 。受 文献[1 ] 发 , 31 启 4 对捕 获 强度 系 数A 为 已知 正 常 数 和 A 为未 知 两 种 情 况 给 出 了此

生态学Lotka-Volterra模型

生态学Lotka-Volterra模型

Lotk1-V olterr1模型逻辑斯谛模型为:dN/dt=rN(1-N/K)上式是对于单物种而言,对于两个互相竞争的物种1、2,我们引入竞争系数α、β,其中α是物种2对物种2的竞争系数,可理解为每个物种2个体所占的空间相当于α个物种1个体,同理得到β。

则逻辑斯谛模型可变为:对于物种1:dN 1/dt=r 1N 1(1-N 1/K 1-αN 2/K 1)……① 对于物种2:dN 2/dt=r 2N 2(1-N 2/K 2-βN 1/K 2)……② 方程式①和②即为Lotk1-V olterr1的种间竞争模型。

任何生态系统都是趋向于平衡的,同理两个物种竞争也会趋向于平衡。

当物种1与物种2达到平衡时,物种1与物种2的种群增长率为0,即dN 1/dt=0,dN 2/dt=0,方程式①和②变为:r 1N 1(1-N 1/K 1-αN 2/K 1)=0−−−→−≠≠01,01N r 1-N 1/K 1-αN 2/K 1=0……③ r 2N 2(1-N 2/K 2-βN 1/K 2)=0−−−→−≠≠02,02N r 1-N 2/K 2-βN 1/K 2=0……④方程式③和④中K 1、K 2、α、β对于一个确定的系统都是已知的,因此为了方便观察理解,对于方程式③和④以N 1为横坐标,N 2为纵坐标做图得:图1 Lotk1-V olterr1竞争模型所产生的物种1和物种2的平衡线(a)物种1的平衡线(b)物种2的平衡线因为坐标横轴上K1与K2/β有两种大小关系,纵轴上也有两种情况,所以将(a)、(b)两图相互叠合起来,就可以得到2×2四种结果:图2 Lotk1-V olterr1竞争模型的行为所产生的4种可能结局现以图(a)为例,说明物种1与物种2的数量变动情况:同理可得到图(b)(c)(d):从图中可以得出结论:(a) 当K1>K2/β,K2<K1/α时,物种1取胜,物种2被排除。

直观地说,在K2-K2/β线右边物种2已经超过环境容纳量而停止生长,而物种1能继续生长因此结果是物种1取胜。

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟(以猎豹、瞪羚为研究对象)

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟(以猎豹、瞪羚为研究对象)

基础生态学实验实验名称Lotka-Voltena捕食者.猎物模型模拟姓名学号系别班级实验H期同组姓名[实验原理]Lotka-Volteira 捕仅者-猎物模型是 20 试剂 20 年代 Lotka A J. (1925) fD Volterra V. (1926)提出的描述种群关系的经典模型之一。

该模型假设:除捕茂者存在外,猎物生活于理想坏境中(其出生率和死亡率与密度无关):捕ft者的环境同样是理想的,其种群增长只受到可获得的猎物数量限制。

Lotka-Volterra捕仪者-猎物模型模拟的连续增长微分方程为:dN—=r1N-C1NP(1)dP—=-r2N+C2NP (2)式中:N——猎物密度:n——猎物种群增长率:c x一甫茂者发现利进攻猎物的效率,即平均每一捕食者捕杀猎物的常数;P——Hi仪者密度:-r2—捕食者的死亡率:C2一仅考利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数。

方程(1)描述了猎物种群动态,倾向于r]N的无限增长,但婆受捕仅者功能项C】NP的制约。

方程(2)描述了捕食者种群动态,捕仗者数量一方面受死亡率的影响,另一方而受与猎物密度有关的数值C?NP的影响。

当模型平衡,即兽=兽=0时,P = \ , N = ?。

说明当捕仅者的数量为g时,猎物Ctt dt Cj C2 Cj数杲将稳泄不变:捕仗者嗷量大于、时,猎物的数量会减少;捕食者的数量小于务猎物数Cl C1量增加。

同样,猎物数量为孑,捕仅骨数屋也会恒定不变:猎物数量人于孑时,捕仗者数量C2 C2上升,反之捕食者数量下降。

Lotka-Volteira捕食者-猎物模型揭示了这种捕仅关系的两个种群数最动态是彼此消长、往复振荡的变化规律。

Predators0 10 30Avsuop 2 O 8 6 4 2•••o o o O807060504030 AtrsuQp Aa」dGenerationni8 in^prewavg ■S5u v> ecologists to explore thenYear兔子与獪刑的种群震荡[实验目的]1、 掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各參数意义。

种内竞争与种间竞争相互作用的Lotka-Volterra模型

种内竞争与种间竞争相互作用的Lotka-Volterra模型

种内竞争与种间竞争相互作用的Lotka-Volterra 模型Lotka-Volterra 模型(Lotka-Volterra 种间竞争模型)是logistic 模型(阻滞增长模型)的延伸。

现设定如下参数:N 1、N 2:分别为两个物种的种群数量 K 1、K 2:分别为两个物种的环境容纳量 r 1、r 2:分别为两个物种的种群增长率 从逻辑斯蒂模型可以得知: dN 1/dt=r 1N 1(1-N 1/K 1)上式中:N/K 表示在某区域内的种群生活空间(即已利用空间项),那么(1-N/K )就表示在该区域内种群生活没有涉及到的空间(即未利用空间项)。

如果不同物种的已利用空间项出现了重叠,那么“已利用空间项”还要将N2种群占用的空间计算在内,那么可以得到:dN 1/dt=r 1N 1(1-N 1/K 1-αN 2/K 1) (7)上式中,α代表物种2对物种1的竞争系数,也就是α个N 1个体所需要的生存空间和一个N2个体所需要的生存空间是相等的。

那么,β代表物种1对物种2的竞争系数,也就是β个N 2个体所需要的生存空间和一个N1个体所需要的生存空间是相等的。

则另有:dN 2/dt=r 2N 2(1-N 2/K 2-βN 1/K 2) (8) 如我们所知:如果在某一区域能够容纳K 1个N 1种群数量时,那么该种群每个个体给种群数量上升产生的负面作用即为1/K 1;同样的道理,N2种群内各个体对自身种群的增长抑制作用是21/K 。

同时,由(1)、(2)方程和α、β的定义中可知: N2种群内各个体对N1种群的影响:1α/K N1种群内各个体对N2种群的影响:2β/K由此可见,当物种2可用于抑制物种1时,可得出,物种2对物种1的影响超过了物种2对本身的影响,也就是211/K >α/K 。

整理后得:K 2>K 1/α,同理有: 物种2不能抑制物种1:K 2<K 1/α 物种1可以抑制物种2:K 1>K 2/β 物种1不能抑制物种2:K 1<K 2/β如此一来,竞争时,K1、K2、α以及β存在不同数值,便会造成下列四在N2种群达到怎样的密度之下,令N1种群能维持超过0水平,也就是说,各种群需要达到何种密度才将阻上止其他种群的增长?结论是,N2种群达到K1/α,N1就再也不能增长换言之,N1种群达到/βK2,N2便不再增长可以得到两个物种的各自的平衡线如下:叠合两平衡线,会得到四类结局:平衡指的是N1与N2的种群数量不会产生改变,也就是:N 1/dt=r1N1(1-N1/K1-αN2/K1)=0 (9)N 2/dt=r2N2(1-N2/K2-βN1/K2)=0 (10)合乎上述两个方程时,则种群之间达到平衡,焦点也就是平衡点。

lotka-volterra模型公式

lotka-volterra模型公式

在动态生态学中,Lotka-Volterra模型是一种经典的描述捕食者-猎物关系的数学模型。

它由意大利数学家阿尔弗雷多·洛特卡(Alfred Lotka)和瑞典数学家维托·沃尔特拉(Vito Volterra)分别在20世纪初提出,被广泛应用于生态学和生物学领域,用于研究捕食者和猎物之间的相互作用。

在Lotka-Volterra模型中,捕食者和猎物的数量随时间的变化受到对方的影响,模拟了一个动态平衡的生态系统。

本文将围绕Lotka-Volterra模型展开全面的探讨,分析其理论基础、数学表达和实际应用,以及我对这一模型的个人理解。

1. Lotka-Volterra模型的理论基础Lotka-Volterra模型的提出基于对自然界捕食者和猎物之间的相互作用规律的观察和假设。

根据这一模型,捕食者的数量增加会导致猎物数量的减少,从而使捕食者的数量减少,最终导致猎物数量增加,从而形成了捕食者-猎物之间的周期性相互作用。

这一理论基础为后续建立数学模型奠定了基础,使得科学家可以通过数学方法来定量描述捕食者-猎物之间的关系,从而更深入地研究生态系统的动态演变。

2. Lotka-Volterra模型的数学表达Lotka-Volterra模型的数学表达通常采用微分方程的形式来描述捕食者和猎物数量随时间的变化。

具体而言,假设捕食者和猎物的种群数量分别为x和y,捕食者和猎物的增长率分别受到出生率、逝去率以及相互作用影响。

于是,可以得到捕食者和猎物种群数量随时间的变化方程,从而形成了Lotka-Volterra模型的数学表达式。

通过对这一数学模型进行分析和求解,可以得到捕食者和猎物数量随时间的变化趋势,进而揭示出捕食者-猎物相互作用的规律和特点。

3. Lotka-Volterra模型的实际应用Lotka-Volterra模型不仅在理论生态学研究中发挥着重要作用,同时在实际生态系统的研究和管理中也具有广泛的应用价值。

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟

Lotka-Volterra捕⾷者-猎物模型模拟基础⽣态学实验Lotka-Volterra捕⾷者-猎物模型模拟姓名:学号:实验时间:1. 掌握Lotka-Volterra 捕⾷者-猎物模型的⽣态学意义与各参数意义。

2. 认识捕⾷关系的两个种群数量动态是此消彼长、往复振荡的变化规律。

⼆、实验原理dN/dt=r1N-C1NP 猎物种群动态dP/dt=-r2P+C2NP 捕⾷者种群动态N:猎物的密度r1: 猎物种群的增长率C1: 捕⾷者发现和进攻猎物的效率,即平均每⼀捕⾷者捕⾷猎物的常数P: 捕⾷者密度-r2: 捕⾷者在没有猎物时的条件下的死亡率C2: 捕⾷者利⽤猎物⽽转变为更多捕⾷者的捕⾷常数三、实验器材计算机、种群⽣物学模拟软件包Populus 5.5 版本美国明尼苏达⼤学四、实验设计假设猎物的密度初始值N0=30,捕⾷者密度初始值P0=10. 通过改变r1,r2,C1,C2观察种群动态曲线变化(变化时将数值增⼤1倍)。

表1 初始设定图1 初始设定可见当捕⾷者种群密度开始升⾼,猎物的种群密度即降低;猎物的种群密度降低后,捕⾷者种群密度随后也降低;捕⾷者种群密度降低后,猎物种群密度即升⾼;猎物种群密度升⾼后,捕⾷者种群密度再次升⾼……两个种群数量动态符合此消彼长、往复振荡的变化规律。

表2 猎物种群增长率升⾼图2猎物种群增长率升⾼可见猎物种群增长率升⾼后,捕⾷者和猎物种群数量的振荡幅度增⼤,振荡频率增⼤,捕⾷者的数量上限更接近猎物数量上限。

表3捕⾷者在没有猎物时的条件下的死亡率升⾼图3 捕⾷者在没有猎物时的条件下的死亡率升⾼可见捕⾷者在没有猎物时的条件下的死亡率升⾼后,捕⾷者和猎物种群数量的振荡幅度减⼩,振荡频率增⼤。

表4捕⾷者发现和进攻猎物的效率增⼤图4捕⾷者发现和进攻猎物的效率增⼤可见捕⾷者发现和进攻猎物的效率增⼤后,捕⾷者和猎物种群数量的振荡幅度增⼤,振荡频率减⼩,两个种群的数量低⾕接近零。

表5捕⾷者利⽤猎物⽽转变为更多捕⾷者的捕⾷常数增⼤图5捕⾷者利⽤猎物⽽转变为更多捕⾷者的捕⾷常数增⼤可见捕⾷者利⽤猎物⽽转变为更多捕⾷者的捕⾷常数增⼤后,捕⾷者和猎物种群数量的振荡幅度增⼤,振荡频率减⼩,捕⾷者数量上限可以超过猎物数量上限。

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟(以猎豹、瞪羚为研究对象)

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟(以猎豹、瞪羚为研究对象)

基础生态学实验实验名称Lotka-Voltena捕食者.猎物模型模拟姓名学号系别班级实验H期同组姓名[实验原理]Lotka-Volteira 捕仅者-猎物模型是 20 试剂 20 年代 Lotka A J. (1925) fD Volterra V. (1926)提出的描述种群关系的经典模型之一。

该模型假设:除捕茂者存在外,猎物生活于理想坏境中(其出生率和死亡率与密度无关):捕ft者的环境同样是理想的,其种群增长只受到可获得的猎物数量限制。

Lotka-Volterra捕仪者-猎物模型模拟的连续增长微分方程为:dN—=r1N-C1NP(1)dP—=-r2N+C2NP (2)式中:N——猎物密度:n——猎物种群增长率:c x一甫茂者发现利进攻猎物的效率,即平均每一捕食者捕杀猎物的常数;P——Hi仪者密度:-r2—捕食者的死亡率:C2一仅考利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数。

方程(1)描述了猎物种群动态,倾向于r]N的无限增长,但婆受捕仅者功能项C】NP的制约。

方程(2)描述了捕食者种群动态,捕仗者数量一方面受死亡率的影响,另一方而受与猎物密度有关的数值C?NP的影响。

当模型平衡,即兽=兽=0时,P = \ , N = ?。

说明当捕仅者的数量为g时,猎物Ctt dt Cj C2 Cj数杲将稳泄不变:捕仗者嗷量大于、时,猎物的数量会减少;捕食者的数量小于务猎物数Cl C1量增加。

同样,猎物数量为孑,捕仅骨数屋也会恒定不变:猎物数量人于孑时,捕仗者数量C2 C2上升,反之捕食者数量下降。

Lotka-Volteira捕食者-猎物模型揭示了这种捕仅关系的两个种群数最动态是彼此消长、往复振荡的变化规律。

Predators0 10 30Avsuop 2 O 8 6 4 2•••o o o O807060504030 AtrsuQp Aa」dGenerationni8 in^prewavg ■S5u v> ecologists to explore thenYear兔子与獪刑的种群震荡[实验目的]1、 掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各參数意义。

基础生态学实验Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟

基础生态学实验Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟

基础生态学实验Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟【实验原理】dN/dt=r1N-C1NP 猎物种群动态dP/dt=-r2N+C2NP 捕食者种群动态N:猎物的密度r1:猎物种群的增长率C1:捕食者发现和进攻猎物的效率,即平均每一捕食者捕食猎物的常数P:捕食者密度-r2:捕食者在没有猎物时的条件下的死亡率C2:捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数【实验目的】在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上,通过改变参数值的大小,在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律,从而加深对该模型的认识。

【实验器材】1、计算机2、模拟运行软件3、种群生物学模拟软件包(Populus),5.5 版本,美国明尼苏达大学【实验步骤】设置初始值,之后保持N0、P0不变,分别改变d2、g、r1、c的大小(具体数据见下表),观察记录每组数据下捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况,与对照组进行比较。

实验数据设置记录表【实验结果与分析】Part I 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与捕食者死亡率(d)的关系图1.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图(d=0.2)图1.2 实验组1捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图(d=0.3)图1.3 对照组捕食者—猎物模型种群密度图(d=0.2)图1.4实验组1捕食者—猎物模型种群密度图(d=0.3)表1研究种群密度变化情况与d的关系实验数据记录表由以上图表可知:捕食者死亡率d增长对猎物种群密度变化的影响反而要大于其对捕食者种群密度的变化。

d减小,可见猎物种群密度明显增加,且两者种群密度波动周期变长。

这是由于捕食者死亡率d直接影响捕食者密度,使其降低,从而使猎物种群密度增加,而猎物种群密度的增加又利于捕食者繁殖,使捕食者种群增加。

综上,多方面因素的作用导致猎物种群密度明显增加,而捕食者种群密度基本不变。

Part II 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与转化常数(g)的关系图2.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图(g=0.25)图2.2 实验组2捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图(g=0.1)图2.3 对照组捕食者—猎物模型种群密度图(g=0.25)图2.4实验组2捕食者—猎物模型种群密度图(g=0.1)表2研究种群密度变化情况与g的关系实验数据记录表由以上图表可知:转化常数g增长对猎物种群密度变化的影响反而要大于其对捕食者种群密度的变化。

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性

Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka—Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中不同种群之间相互作用的数学模型,它可以用来研究物种之间的竞争、捕食和共生关系。

在生态学中,该模型在探讨种群之间的竞争、扩散和边界效应方面具有重要的应用价值。

本文将讨论关于Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

我们来介绍一下Lotka—Volterra竞争扩散系统的基本形式。

通常情况下,该系统可以用如下的方程组来描述:\[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t} = d_1\Delta u + r_1u(1-\frac{u}{K_1})-a_{12}uv \\\frac{\partial v}{\partial t} = d_2\Delta v + r_2v(1-\frac{v}{K_2})-a_{21}vu\end{cases}\]在这个方程组中,\(u\)和\(v\)分别代表两个种群的密度,\(t\)代表时间,\(d_1\)和\(d_2\)分别代表两个种群的扩散率,\(r_1\)和\(r_2\)分别代表两个种群的增长率,\(K_1\)和\(K_2\)分别代表两个种群的环境容量,\(a_{12}\)和\(a_{21}\)代表两个种群之间的竞争系数。

在这个模型中,我们可以发现扩散项对空间中种群密度的变化起着重要作用,而种群之间的相互作用则由竞争项和共生项来描述。

这种具有扩散和竞争的复杂关系使得该模型在描述生态系统中不同种群之间的相互作用时具有较强的适用性。

接下来,我们将讨论与Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。

在实际生态系统中,通常会存在一些边界以及一些适宜生存繁衍的区域,我们将通过研究连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性来揭示生态系统中种群的空间分布规律。

第四章Volterra模型

第四章Volterra模型

第四章Volterra模型在本章中,我们首先回顾最常用的非线性建模方法.第 4.1.2节讨论多项式Volterra模型建模方法的特性,第4.2节详细解说记录下来的完全电非线性和电热非线性,以及建模非线性级数展开中所用的项.4.3节描述了如何应用Volterra分析方法计算一个普通发射放大器的失真,并且作为第一个研究案例,第 4.4介绍了在一个BJT CE放大器中,影响IM3失真的所有项的分析.同样的分析(对一个MESFET放大器)在第4.5节中介绍.4.1非线性建模为了能够分析功放的非线性行为,我们需要为实际的非线性电路,无源匹配以及偏置元件建立精确的模型.但此模型的获取又有一定难度.众所周知,N阶失真的数量与I-V和Q-V波形的N阶导数成比例(参照[1-3]).因此,为了达到精确的失真模拟,对有源元件的I-V和 Q-V波必须建模,因此不仅是直流值,高阶导数同样是正确且连续的.(为了便于参考,在早期的仿真模型中,第一阶导数可以不连续).此外,电容是很容易建模的,因此电荷没有存储,这将导致完全容性结点的非物理整流和自偏压.因此,特别是如果电容值同时取决于两个终端电压,将电容模拟等效于电荷平衡是十分重要的[5].由于无源元件在高频具有分布特性,很难在射频频率上对其建模.有损耗的传输线难以在时域上进行建模,一般而言,无源元件的建模在频域上更加精确.尽管如此,有些无源元件的频域仿真模型在高次谐波时也可能是不准确的,例如传输线宽上的阶跃变化,在电路分析中,可以采用测试电路的标准终端阻抗值来进行分析.简而言之,为了得到精确的失真模拟,从模拟模型中需要:1. 对N阶失真模拟来说, I-V 和Q-V波形的N阶导数必须足够精确.2. 结点阻抗的频率响应对于最高相关谐波,必须是正确的.同时,在基带频率,偏置阻抗和热阻抗的正确模型也是十分需要的.3. 如果可以得到主要失真源的组成信息,将十分有用.4.1.1非线性仿真模型通常来说,功放和发射机设计师使用两种非线性模型:一种是用于系统仿真的行为黑盒子模型,另一种是用于电路仿真的器件模型.根据建模方法的不同,可以对这两类模型进行更深层分割:可以是解析的,基于一些预先确定的和物理学的用参数表示的模型函数,或者完全根据实验的,将测量数据列表并以内插值替换的,或者用简单的曲线或物理意义不清楚的多项式表示的模型.在表4.1中有所介绍.表4.1 功率放大器的非线性模型行为基带模型广泛用于模拟和优化整个发射机和收发器,并且增加了新的功能,例如模拟记忆效应,在[6]中介绍.然而,行为模型描述的或者是一个已经存在的放大器,或者行为模型源自到目前为止不存在的放大器规范说明,但是在设计一个新的功率放大器中,行为模型的使用遭到限制.这里简明地介绍了最常用的行为模型的特性,仅用于参考.简单的静态的AM-AM 和 AM-PM波形不能够模拟记忆效应,但是基于调制频率的AM-AM和AM-PM波形的模型已经被开发出来.如图4.1所示,在Saleh模型中, AM-AM和AM-PM非线性模块的输入和输出端都增加了线性滤波器.在Blum 和Jeruchim(在[7]中描述)模型中,用快速傅立叶算法及足够的抽样来找到用于修改AM-AM表的瞬时调制频率.有一种Volterra型的行为模型被称作Volterra输入输出图(VIOMAP).它是普通S参数的非线性的概念性扩展,包括谐波响应,并且被成功应用于单音负载下拉仿真中[9,10].图4.1 (a)功率放大器的AM-AM和AM-PM波形(b)基于滤波器和无记忆非线性的由频率决定的非线性模型.器件模型描述了半导体设备的动作,以及无源和分布式元件的合适模型,可以建立并优化功放的模型.早期的半导体模型是解析的,所采用的等式首先来源于半导体物理学,然后将其简化以减少仿真时间.这些基于等式的模型的一个基本问题是,所选用的函数和控制参数固定了I-V 和Q-V特性的可能形状,并且可能没有足够的自由度来模拟例如I C-V CE曲率.例如,在基本的Gummel- Poon (GP) BJT SPICE模型中,集电极电流的简化形式如下:其中, 基本的指数仅可被三个控制参数修改:IS依比例决定电流, VAF (所谓的早期电压[12], 如图4.2所示)构成输出电导的一个极其简化的模型, IKF (所谓的拐点电流)降低高电流时的增益[13, 14].这个简单的等式涵盖了整个I-V平面,同时固定了导数dn I C/d V n,因而固定了非线性行为. SPICE GP模型可以适当地用于模拟基带信号[15],但是特别是对于过分简单化和固有性线的输出阻抗模型, 不能用SPICE GP模型进行精确的失真仿真,这将在本书后面说明.更好的物理模型已经被开发出来,比如BJT的Mextram和VBIC ,以及用于LDMOS 的摩托罗拉MET模型,这都是久经考验的模型.与早期的SPICE模型其比,这些模型的性能大大地提高了.后者对于找到正确的直流偏置十分重要,这是因为自我加热使得I-V波形产生一个大的差值.假如热模型有足够的时间常量来模拟缓慢加热包(主要影响直流偏置和芯片表面的微秒范围热记忆),后面的模型也可用于模拟热记忆效应.图4.2 在BJT中使用早期电压VAF模拟输出阻抗模型的额外自由度增加了其复杂性以及控制参数的数量.在一个极限中,MOS BSIM模型有数十个参数来单独控制比例特性.因此,模型的复杂性趋于失控,并且其配置愈加复杂,对错误愈加敏感.另一种设备建模的方法是放弃等式,而采用列表的测试数据或者完全根据实际以验的函数来代替.现在,任何形式的I-V和Q-V特性的模型可以被建立,这是通过Root模型得到的方法,称作”设备最了解”模型[5].在内插列表数据时,存在一些技术问题,这是因为内插的多项式容易使数据点之间产生振荡,因此派生出高阶非物理波动.然而,由于预定函数不需要压力,列表模型使用灵活.Volterra模型是一种经验模型,它不依赖于半导体物理学.其非线性描述为多项式,系数可以通过对I-V和Q-V函数微分得到,也可通过将多项式直接填入测量数据表里得到.在此我们使用的是后者,在接下来的章节中,我们将会更深层次地对Volterra模型的特性进行研究.4.1.2 Volterra模型的特性多项式模型并不自动地对模拟快速响应,相反,它可能严重地会聚在高于原始设置范围的信号电平上.然而,多项式模型允许使用高效的Volterra分析程序.然而,采用Volterra模拟方法的主要动机并不是看中了其速度优势,而是它能提供一个极好的分析工具来进行分析.主要的失真机制可以用与在普通交流噪声分析中采用的相同的方法来进行分析,由于非线性分析,多重的混合机制同样可被识别,例如可以帮助谐波终端阻抗的设计等.因此, Volterra分析是少数可以帮助理解记忆效应和帮助设计优化的方法之一.尽管如此,仍需承认多项式模型存在一些缺点.首先,多项式模型要遭受在适宜的带宽范围外,其响应接近无穷大这一事实.传统的非线性建模函数与此正好相反,它在整个偏置范围内平滑,有限的表现是我们设计的特性,因为它帮助使信号收敛,并且信号摆动不必要进行推理的了解.因此, Volterra分析并不是一个非常普通的工具.由于速度原因, Volterra分析被用于快速失真分析和模拟器中的低噪放型小信号电路(例如Voltaire XL [22]和SPICE的早期版本)中,或者甚至做为独立的模拟器使用[23].然而,为了功放能被成功地进行分析,可靠的早期信息仍是必需的.第二,预先得需要实际的大信号直流偏置电压.大信号动作经常会引起直流工作点的移位,它同时影响增益和非线性的数量.此信号感应引起的直流移位会减缓谐波平衡模拟中收敛的速度,并且在非反复Volterra计算程序中,只能对它进行估计,而非完全地预测.为了克服这点,我们需要检查直流移位是不是很大,或者在实际的大信号工作点使得多项式模型合适.第三,在多项式函数的装配中,需要知道输入和输出电压摆动的范围.多项式模型的实际功率是除开失真成分的其它部分.适宜的范围越大,低阶多项式的精确度越小.因此,沿着最大信号振幅安装是合适的,为确保多项式模型的精度,不能太超过此范围,并且由于多项式响应可能在合适的范围外是完全非物理的,也不能超过一个较小的范围.在这种情况下,就需要对输入输出轨道有较好地评估.总之, Volterra分板并不是一种简单使用的独立的仿真方法,但当它用在与其它仿真方法(例如谐波平衡)并联使用时,此方法提供了更多调试功能.在本书中,研究的案例仅限于单级晶体管放大器,并且对Volterra分析半解析地计算(象征性地来源于每一个失真源到所有结点电压的转移函数). 象征性的分析并不是必需的,它限制了对CE或CS放大器固定的结构以及双音测试信号的分析.而Volterra分析却能达到,通过在(用标准修改结分析矩阵以及非线性电流源表示的)任何电路上运用通常非线性交流分析方法.4.2非线性I-V和Q-V特性大多数的晶体管模型是以Π模型或T模型为基础.这里使用的是Π模型,本节中描述了用BJT,异质结BJT(HBT)和场效应管(FET)的Π模型表示的典型传导(I-V)和电容(Q-V)的非线性特性.在这里将BJT作为一个案例,但同样的模型也可用于FET晶体管,只是多项式系数设置不同.前面已经讲过, Volterra模型是以I-V和Q-V曲线的多项式建模为基础.测量这些曲线也许会有些困难,详见第五章.这样的电荷不能直接进行测量,我们必须依靠交流测量的电容以及对所得电容值得到的电荷等式求积分.用类似的方法,I-V曲线可以通过由S参数测量得到的和值进行大部分重造,但是实际的I-V曲线是一个更安全的出发点.这里介绍的模型是电热模型,这意味着其结温是一自由变量.然而,直流温度上升包含在偏置点中,并且只考虑由动态自我加热引起的温度变化.由于功耗是电压和电流的产物,我们认为结温中的交流成分已经是一个二阶现象.因此,一个三阶的模型仅仅包括温度的一次方,这意味着电容元件的温度依靠性被认为是线性的.4.2.1 特性在大多数被报导的BJT/HBT Volterra级数分析中,集电极电流被认为只是基极电压的函数[25-27],此考虑方法抓住了主要指数的输入输出非线性但是认为输出电导是常数.在MESFET Volterra级数分析中,漏电压的效应通常用的一个多项式来实现, (参照[28]),但即使如此,也难以捕捉所有的非线性特性.在(4.1)式中,等式是,和结温T的一个三维简单函数,就像.通过扩展大信号I-V函数到一个三输入的泰勒级数(在直流工作点,和周围),很容易得到一个多项式模型.因此,交流电流的电热三阶级数展开可以写作:其中, ,,并且K ixxx是元素xxx的i阶非线性系数.( 可以用来标志).由等式可见,第一行只受影响,第二行只受影响(例如非线性输出电导).尽管如此,第三行又列出了和的向量积.最后,第四行列出了与两个终端电压混合在一起的温度变化.图4.3中证明了电非线性的影响,其中,绘制了在三个基极电压处的集电极电流,它是三个不同基极电压处集电极电压的函数.如果除外的所有系数都是零,我们可以得到如图4.3(a)所示的三条等间距的水平线.由于线精确地保持水平,输出电导为零,且集电极电压不影响电流数量.此外,由于线之间等间距,跨导是线性的.然而,如果或偏离了零,在I-V平面的线距离将会变得不等,这表明跨导是非线性的.(a)线性响应(b)非零 (c)非零 (d) 非零 (e) 非零 (f)图4.3(b)证明了的影响,仅仅存在和.与图4.3(a)相比,图4.3(b)中的线有一个非零的斜率,它与成比例且不依赖与.图4.3(b)仍是完全线性的, 图4.3(c)证实了输出电导的非线性,其电流的斜率随而变化.在这种情况下,仅有一个非零值,和可被用于模拟输出电导的曲线效应,例如饱和和击穿.图4.3(d-f)分别图解说明了,和的截项,它模拟了基极和集电极非线性物性的交互作用.为了帮助比较,图4.3(d-f)中的稍细线是临摹图(c)的( 和都有非零值).(对应于项)在图4.3(d)中是非零的,这是由于其线的斜率变化不仅仅受图4.3(c)中集电极电压的作用,也受基极电压的作用.这对于图4.2所示的模拟早期效应是十分必需的.相似的推理也可应用于和,如图4.3(e, f)所示,确定输出电导的形状,分别是和的函数.图4.4对不同建模方法的I-V曲线做了更多的比较.如果集电极电流被模拟为基极电压和线性的一维函数,就产生了一条直的I-V线,如图4.4中细虚线所示.用SPICE Gummel-Poon模型模拟的I-V曲线同样也是直的细的线,但是其斜率和输出电导随集电极电流变化,如图4.2所示.实际上,由于准饱和和截止影响,在大信号或半大信号的情况下,BJT的I-V曲线决不是直线.曲率可以通过使用和的一维多项式模拟,如图4.4中粗实线所示.然而,初步的现象(例如早期效应)在没有引起斜率决定于的值截项时不能被模拟.如图中粗虚线所示,并对应于(4.3)的完全级数展开.饱和和截止的开关同样取决于基极电压,这使得截项的使用强制地避免了I-V平面角落处的重大误差,如图4.4所示.图4.4 三个Volterra模型和Gummel-Poon SPICE模型的I-V特性最后讨论了集电极电流的电热效应,如(4.3)中最后三项所示.在图4.5(a, b)中,描述了一个二次项,它模拟了电流中由温度决定的移位.值得注意的是,是一个包含温度和集电极电压影响的三次项,如图4.5(c)所示.它在本质上模拟了温度对输出电导的依靠性.同样的,如图4.5(d)所示,模拟了温度和基极电压的结合效应.由于曲线的斜率反应了跨导,可被认为是受温度影响的跨导的一个变化.图4.5 电热非线性系数的影响. 非零在(a) 轴(b)轴.(c)非零影响(d)非零影响特性是FET型晶体管中唯一重要的传导性非线性.在BJT中,存在另外的两个非线性:由指数引起的非线性和非线性.电导的影响通常更重大,并且也容易模拟.理论上, 等式可以粗略地用电流增益β除,但可用一些方式简化.由于基极电流并不是强烈地依赖于集电极电压,我们可以用一个仅由和决定的两维模型:这里,系数与之前有着相似的含义.线性项通过进行模拟,和模拟其指数曲率.此外, 模拟了由自我加热产生的移位,可以看成线性项的温度依靠.本征基极电阻较难模拟.它是内部基极点和外在基极点之间的串联电阻,它的值取决于基极区的电流拥挤,也取决于内部值.因此,它可以模拟为一个由电阻器电压(),内部基极电压和结温控制的三维电导.所有的K项(k=1,2,...)都是零,但是电流拥挤效应是用和间的截项模拟的,如(4.5)所示.不论如何,通常较小,且在下面例子中被模拟为一个线性电导.4.2.3电容模型如前面解释,将电容建模成多项式电荷,然后将其关于时间进行区分以得到位移电流.电荷可能并且经常是由多于一个的端口电压所控制,这使得我们必须使用一个类似于(4.3)的多维多项式.电荷同样可以模拟为一个电容,在这种情况下,电荷不出现在控制结点之间,而出现在一些其它的结点间.在下面的例子中,只假定了一个控制电压,式(4.6)描述了基极到发射极的电荷,它是基极到发射极的电压以及温度的函数.从这个等式中,可以轻松地得到对应测量电荷C pi和非线性电流源.只需将电荷等式(4.6)分别关于和时间进行区分即可.在(4.8)式中, ω仅是失真音调的频率;因此,电容并不会引起直流失真电流但是在谐波频率处失真最严重.等式(4.7)指出由温度决定的电荷项K2CPIT不能来源于电荷测量;尽管如此,一个时变的结温可能引起一个与它成比例的电流.另外, (4.6)式中的第一项C pi描述了小信号电容, K2CPI和K3CPI定义了它的有关电的非线性. K3CPIT描述了是控制电压和结温函数的电荷,由于C = d Q/d v, K3CPIT的作用可以看成是电荷值的温度决定性.如(4.6)所示,一个线性的C-V趋势K2CPI引起了二次电荷非线性.同样的,与v2 (K3CPI)成比例的电荷引起立方的非线性.不同类型的电容有着不同的特性,如图4.6(a)所示.如 (4.27)所示,基极-射极电容C pi是指数的,因此它是高度的非线性的.BJT和FET中有偏的P-N结或肖特基结仅是稍微的非线性,它们可以通过增加反偏压进行更深一层的线性化. MOSFET型晶体管有着特殊的栅电容,例如, C GS在门限电压的周围dip.如果MOSFET动作接近于关断,此dip会引起大量的二阶非线性.现在我们使用直接的方法来计算一个共射极BJT/HBT放大器的IM3成分,使用第2.5.2节所列出的步骤.这样进行分析:首先为电路建立一个模型,通过一个线性的交流分析建立基本的幅度.然后,通过使用第4.3.2节所示的步骤计算二阶电流电压以及三阶电流电压.4.3.1线性分析图4.7所示的是一个共射极BJT放大器,它包括输入阻抗Z IN(混合匹配网络和偏置电路),基极-射极电导g pi和电容C pi,反馈电容CBC,输出电容CCE,输出电导跨导,负载阻抗Z L以及发射极阻抗Z E.输入和负载阻抗不仅包含匹配网络的阻抗,也包括偏置网络和包寄生的阻抗,Z IN由前级的输出阻抗和本征基极电阻r bb组成,如图4.7所示.为减少等式的数量,输入电压源可以用诺顿等效源来代替且用下列简化符号矩阵等式.通过使用Cramer法则,可以得到结果以及对的响应.因此,在基极,发射极和集电极的电压如下所示:导纳矩阵的行列式写作:基极到发射极,集电极到发射极的电压分别是和.最后,由于和经常用于计算失真,例如由gm 成分产生的失真,很容易得到它们的比值:线性化分析的目的是为了获得所有非线性元件的基本电压幅度,这样我们就可以继续计算这些元件内部产生的非线性电流.在此之前,我们需要对信号摆动进行一些观察.BJT的指数响应是极端的非线性,并且在没有过度失真的情况下,不能承受高于10到30 mV的信号幅度.这听起来不像一个功率放大器,但是两件事情恰好帮助改变此情况.首先,器件并不是完全指数的,但是当驱动到高注入时,BJT线性化可用(4.1)中的参数IKF来模拟.第二,放大器有一些反馈机制来减小BE结中的信号电平.串联发射极阻抗引起一个线性化的串联反馈,CBC引起一个并联反馈.CBC的作用十分重大,这是由于强烈的电容性反馈降低了基极阻抗,因此也减小了BE电压摆动和从驱动激励产生的失真数量.4.3.2非线性分析在本节中展示了一个CE BJT放大器的非线性模型,并由它得到IM3失真.该电路有三个两输入和一个三输入的I-V和Q-V非线性,通过鉴定7个一阶系数,二阶系数和三阶系数模拟得到,其中18个是电系数,其它9个与动态温度变化相关.最后,此分析将介绍IM3音调,它是一个矢量和,由以下组成:7个由立方电非线性引起的项,21个由级联二次方非线性(修正包络信息向上转换到IM3中)引起的项,21个二次谐波向下混合到IM3的项,最后,5个立方的和24个级联的二阶电热项.这些看起来也许很多,但它描述了产生失真的不同机制的真实幅度;它同样清楚地证明了,只要立方项是解析的,大量的信息就会失去.若电路较大,分析的阶数越高,则需要对数据进行压缩,但是原理还是一样的:我们希望知道,通过从直流或谐波波段混合失真并使总失真最小化(或最小化其记忆效应),能产生多少IM3总数;我们希望知道在这些谐波波段,由失真电压引起了什么样的非线性和实际阻抗.由于项数众多,我们不单个地对这些项进行讨论.完整的分析见附件C,接下来用一些例子讲述计算步骤.4.3.2.1二阶失真电流图4.8所示的电路用于解决二阶响应,图4.7中的线性输入电压在此被短路, 添加二阶失真电流源与所有非线性电路元件并行.以T结束的电流是电热电流,将在第4.3.2.5节中讨论.如同以前, ZIN, ZE和ZL将包寄生,偏置阻抗和匹配阻抗结合在一起.为了计算自我加热效应,瞬时功耗用计算,第3.4节所示的热阻抗用于计算频率ω2–ω1处的瞬时温度波动.可以对不同的电路元件使用不同的温度,但是它们在物理上靠近基极区,此处使用共同的温度.然而对于大型设备,将此设备分成较小的并行设备是十分有利的,这样可以看出不同的温度变化.非线性被模拟为,和温度组成的三维函数,它包括和非线性以及所有高达三阶的交叉项. 和是基极到射极电压和温度的函数,非线性由集电极到基极电压和温度控制.图4.8 含电流源电路的二阶响应表示我们通过计算二阶失真电流开始进行分析.举一个例子,在ω2–ω1处由引起的二阶包络电流是:使用表2.5举另一个例子,由非线性引起的二阶包络电流是:它结合了二阶输入非线性,输出非线性和输入输出交叉项的作用,见I-V模型(4.3).从表2.5中可以看出,相量频率和可能的常量项值的选择取决于音频:例如,的乘积在2ω1处产生一个音调.上述的相量音调被选中,所以能在包络频率ω2–ω1产生失真.计算基频ω1和ω2的相量和用(4.12)-(4.14)式.4.3.2.2跨导倒数转移函数和二阶电压接下来,我们需要把不同结点的失真电流转换为失真电压.此处,我们选用了一个象征性的分析,因此很容易得到从结点X和Y到结点Z之间的非线性电流源的转移函数。

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K1、K2:分别为两个物种的环境容纳量
r1、r2 :分别为两个物种的种群增长率
依逻辑斯蒂模型有如下关系:
dN1 / dt = r1 N1(1 - N1 / K1)
其中:N/K可以理解为已经利用的空间(称为“已利用空间 项”),则(1-N/K)可以理解为尚未利用的空间(称为 “未利用空间项”)
当两个物种竞争或者利用同一空间时,“已利用空间项”还 应该加上N2种群对空间的占用。则:

种 1 能 抑 制 物 种 2 ( K 1 > K 2 / β

种 1 不 能 抑 制 物 种 2 ( K 1 < K 2 / β
那么,当N水平上?换言之,每个种群达到什么样的密度时才能 阻止另一个种群的增长呢?
结论是,N2种群达到K1/α,N1就再也不能增长
dN1 / dt = r1 N1(1 - N1 / K1 - αN2 / K1) ——(1)
其中,α:物种2对物种1的竞争系数,即每个N2个体所占用 的空间相当于α个N1个体所占用空间。
则有,β:物种1对物种2的竞争系数,即每个N1个体所占用 的空间相当于β个N2个体所占用空间。则另有:
dN2 / dt = r2 N2(1 - N2 / K2 - βN1 / K2) ——(2)
满足两个方程时,两种种群平衡,则显然焦点既是平衡点。
那么,对于结果1和结果2,两个种群的平衡线没有焦点, 则不可能达到平衡,总是有一方最终被完全排挤掉。
结果3虽然存在一个平衡点,但是很不稳定,只要自然条 件的微小波动造成偏离平衡点,那么其中占优的一方就会 最终取得生存竞争的胜利。
结果4是一个稳定的平衡,无论N1和N2种群数量的组合 (N1,N2)落在直角坐标系内哪一区域,最终都将使得 N1种群和N2种群的数量趋向平衡点
因此,当物种2可以抑制物种1时,可以认为,物种2对物 种1的影响 > 物种2对自身的影响,即 α/K1 > 1/K2。
整理后得:K2 > K1/α,
同理有: 物种2不能抑制物种1:K2 < K1/α 物种1可以抑制物种2:K1 > K2/β 物种1不能抑制物种2:K1 < K2/β 这样,在竞争的过程中,由于K1、K2、α 以及 β 的数值不同,可能会产生如下四种结果:
如我们所知:
当物种N1种群(物种1)的环境容纳量为K1时,N1种群 中每个个体对自身种群的增长抑制作用为1/K1;
同理,N2种群中每个个体对自身种群的增长抑制作用为 1/K2。
另外,从(1)、(2)两个方程以及α、β的定义中可知:
N2种群中每个个体对N1种群的影响为:α/K1
N1种群中每个个体对N2种群的影响为:β/K2
或者说,N1种群达到K2/β,N2就再也不能增长
可以得到两个物种的各自的平衡线如下:
将两平衡线叠合起来,则得到四种不同的结局:
何为平衡呢,就是N1和N2种群的数量都不发生变化,即:
1/dt = r1 N1(1 - N1/K1 - αN2/K1)= 0 ———(1)
2/dt = r2 N2(1 - N2/K2 - βN1/K2)= 0 ———(2)
20世纪40年代,Lotka(1925)和Volterra (1926)奠定了种间竞争关系的理论基础,他们 提出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着 重大影响。Lotka-Volterra模型(LotkaVolterra种间竞争模型)是对逻辑斯蒂模型的延伸。 现设定如下参数:
N1、N2:分别为两个物种的种群数量
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