Ch4 固体中弹性波-08 Rayleigh波

数 值计算表 明 总有
ω 1− g cs
2 2
0.814 <
cs
cT
< 0.955
c c g = s , q = T cT cL
cs < cT
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
声表面波的频率方程
Txx 法向应力为零：
x= 0
=0
2 ∂ 2ψ 2 ∂ φ ρ −ω 2φ − 2 cT =0 2+ ∂ z∂ x x=0 ∂ z ( )
要使 φA与ψA有非零解 , 上式的系数 行列式应等于零，即
2 cT c2 2 jβω T ω 2 1 − 2 cs cs =0 2 ω2 α β + 2 2ω − j cs cs
r k
ω u = −αφ A e −α x − α cs
ω ω α= 1 − qg 2 α cs c s − β x j (ω t − k s z ) ω e e 2 2 1− g β= β + ks cs 2 c g = s cT 2αβ − β x j (ωt − ks z ) 2 w = jk sφ A −e −α x + 2 e e cT 2 β + ks q = cL
中国石油大学(北京)乔文孝
固体介质中的势函数表达式
固体中可以存在纵 波和横 波。 表面波 -沿表面传播，其幅度随 x的增加而减小 . 于是，可以写出固体一侧的势函数表达式为
固体介质中的势函数表达式
表面波的势函数表达式为
φ = φ A e − α x e j (ω t − k s z ) ψ = ψ y = ψ A e − β x e j ( ω t − ks z ) r r v r r r 考虑到 k = k xi + kz k 和 r = xi + zk
层序号 1 2 3 纵波速度 (m/s) 3500 5000 6000 横波速度 (m/s) 2000 3000 3500 密度(kg/m3 ) 2700 3000 3500 层厚(m) 5 2 ∞
凡友华、刘家琦, 层状介质中瑞雷面波的频散研究，哈尔滨工业大学学报， 2001，10
中国石油大学(北京)乔文孝
∂
r r r ∂φ ∂ψ r ∂φ ∂ψ r 位移表达式 S = u x i + u z k = ∂x − ∂z i + ∂z + ∂x k
xz问题中的应力表达式
c = λ + 2µ µ , cT = ρ ρ
法向应力表达式
L ∂u ∂u ∂w Txx = λ + + 2µ ∂x ∂ x ∂ z ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2ψ =(λ + 2 µ ) 2 + 2 − 2 µ 2 + ∂ x ∂ z ∂ z ∂ z∂ x
Txz 切向应力为零：
x =0
=0

α= β=
ω 1 − qg cs
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2φ − +2 =0 2 2 ∂ z∂ x ( x=0) ∂z ∂x
ω 1− g cs
2 2
由此可得 1 − 2
cT cs
3 2 即 g − 8 g + 8(3 − 2q ) g + 16(q − 1) = 0(频散方程)
声表面波的质点运动轨迹
写 成实数形 式
u = uA cos(ωt − ks z + π ) w = wA cos(ωt − ks z + π / 2)
−α x −α x 2k 2 2αβ − β x −β x e 其中 u A = αφ A e − 2 s 2 e , wA = ksφ A −e + 2 β + ks β + ks2
中国石油大学(北京)乔文孝
Rayleigh Wave (R-Wave) Animation
表面波-Rayleigh波
存在于固体和真空界面的固体一侧的界面波； 它是一种制导波.
Deformation propagates. Particle motion consists of elliptical motions (generally retrograde elliptical) in the vertical plane and parallel to the direction of propagation. Amplitude decreases with depth. Material returns to its original shape after wave passes.
声表面波的质点位移为 ω 2 α ω cs − β x j (ωt − ks z ) −α x u = −αφ A e − e e 2 2 α β + c k s s
2αβ − β x j ( ωt − k s z ) w = jk sφA −e −α x + 2 e e β + k s2
2 cT 2 ω2 c β + c2 + 4αβ s s
=0
2
c c g = s , q= T cT cL
求解此代数方程可以求得声表面的传播速度 cs.
声表面波的传播速度
c
2
2 α 2 = ks2 − k L , β 2 = ks2 − kT2 , k s = ω c
s T 令 g = c , q = c = λ + 2 µ = 2(1 − σ ) T L ω ω 可得 α = 1 − qg , β = 1− g cs cs
j ( ωt − k x x − k z z )
c
2
µ
1 − 2σ
s
由 α和β为正数可以推出
这里
ks = ω
cS < cT
c s 为表面波的波数
固体与真空界面的边界条件表达式
将势函数表达式代入边界条件可得：
cT ω 2 1 − 2 c s
2 2 cT φ A + 2 jβω c ψ A = 0 s 2 ω2 α β + 2 ψ A = 0 2ω φ A − j cs cs
钱梦騼，激光超声学的若干进展，声学技术，2002, 21(122)： 19-24.
J. Acoust. Soc. Am., Vol. 115, No. 2, February 2004 Ramamoorthy et al.: Crack depth determination
中国石油大学(北京)乔文孝
频散方程：
Rayleigh wave
g − 8 g + 8(3 − 2q ) g + 16(q − 1) = 0
3 2
从 方程解得三个实根： 大 于 1的两个实根没 有物理意义，舍去； 保留小于 1的一个实根 . 因此求得唯 一的声表面波 速度为
α= β=
ω 1 − qg cs
cs = gcT , g < 1
声表面波的反射
声表面波在压电材料表面的产生
Rayleigh Wave Propagation for the Detection of Near Surface Discontinuities
2 ∂ 2φ ∂ 2ψ 2∂ φ = ρ 2 − 2cT 2+ t z z∂ x ∂ ∂ ∂
对于简谐波： Txx = ρ −ω 2φ − 2 cT2


∂ 2φ ∂ 2ψ + 2 ∂ z∂ x ∂ z
2 ∂ 2ψ ∂ 2φ ∂u ∂ w 2 ∂ ψ + 切向应力表达式 Txz = µ = ρ cT 2 − 2 + 2 ∂z ∂ x∂ z ∂z ∂x ∂x
=e r r r r r 对 比可得 k L = − jαi + k s k 和 kT = − jβi + k s k
2 α 2 = ks2 − k L , β 2 = ks2 − kT2
er
r r j (ω t − k g r )
r kx
r k
r kz k 2 = k x2 + k z2
φ = φ A e − α x e j (ω t − k s z ) ψ = ψ y = ψ A e − β x e j ( ω t − ks z )
产生表面波的探头
Rayleigh波的检测-液浸法
θi
Vf VP , VS
VRayleigh
使纵波以接近于第二临界角入射，利用模式转换产生表面波。
sin θ i =
Vf
sin θi = V1
VRayleigh
≈ V1
VRVS
VS
Rayleigh波的检测-光学法
利用声表面波探测裂缝深度
Schematic layout of experimental setup.
Lag time vs crack depth for a source–receiver separation distance of 6 cm. The solid line is a quadratic curve fit to the numerical data and the error bars correspond to the experimental results.