2017_2018学年高中数学第一章集合2集合的基本关系学案北师大版必修1(含答案)
数学高一1.2 集合的基本关系学案 北师大必修1
1.2 集合的基本关系【学习目标】1．了解集合之间包含关系的意义；2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；3．子集、真子集的性质．【课前导学】一、复习回顾表示集合常有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质.二、巩固练习1、用列举法表示下列集合：①32{|220}x x x x --+= {-1，1，2}②｛数字和为5的两位数｝ {14，23，32，41，50}2、用描述法表示集合： 1111{1,,,,}2345 *1{|,5}x x n N n n =∈≤且3、用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”{||2|3}x Z x ∈-=={-1，5}三、问题情境【问题】观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}； （2）A=N ，B=R ；（3）A={x x 为北京人}，B= {x x 为中国人}； (4)A ＝∅，B ＝{0}【设问】集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素吗?【课堂活动】一、建构数学：通过观察上述集合间具有如下特殊性：(1)集合A 的元素-1，1同时是集合B 的元素；(2)集合A 中所有元素，都是集合B 的元素；(3)集合A 中所有元素都是集合B 的元素；(4)A 中没有元素，而B 中含有一个元素0，自然A 中“元素”也是B 中元素.由上述特殊性可得其一般性，即集合A 都是集合B 的一部分.从而有下述结论.1.子集:【定义】一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A.记作A ⊆B （或B ⊇A ），这时我们也说集合A 是集合B 的子集.请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A这应理解为：若A ⊆B ，且存在b ∈B ，但b ∉A ，称A 是B 的真子集.【注意】（1）子集与真子集符号的方向（2）当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A B （或B A ）.如：A ＝{2，4}，B ＝{3，5，7}，则A B.（3）空集是任何集合的子集即Φ⊆A ．（4）空集是任何非空集合的真子集即Φ A 若A ≠Φ，则ΦA ．（5）任何一个集合是它本身的子集即A A ⊆．（6）易混符号：①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}（7）子集关系具有传递性.即,A B B C ⊆⊆,则A C ⊆．二、应用数学：例1（1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示（2）判断下列写法是否正确：①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A ．解（1）：N Z Q R（2）①正确；②错误，因为A 可能是空集；③正确；④错误；【思考】1：A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？【结论】如果A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么A ＝B.如：{a ，b ，c ，d}与{b ，c ，d ，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；问：A ＝{x ｜x ＝2m ＋1，m ∈Z}，B ＝{x ｜x ＝2n －1，n ∈Z}.（A=B ）说明：稍微复杂的集合，特别是用描述法给出的，要从代表元素及其所满足的特性上认真分辨.【思考】2：若A B ，B C ，则A C ？真子集关系也具有传递性．若A B ，B C ，则A C.例2 写出{a 、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.【思路分析】寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：{a ，b}的所有子集是∅、{a}、{b}、{a ，b}，其中真子集有∅、{a}、{b}.【变式】写出集合{1，2，3}的所有子集．解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}．【猜想】(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(1624=)（2）集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少？(n 2)【推广】如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，有2n-2个非空真子集．例3 满足{}{}a M,,,Ma b c d⊆⊄的集合共有多少个？【思路分析】集合M中必含有元素a, 故集合M的个数即是{},,b c d的真子集的个数．解：7个．例4 已知集合}52|{≤<-=xxA，}121|{-≤≤+-=mxmxB，且AB⊆，求实数m 的取值范围．【思路分析】A的子集要分∅≠B和∅=B两种情况讨论．解：⑴∅≠B，即121-≤+-mm，依题意，有AB⊆，在数轴上作出包含关系图形，如图：有⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+--≤+-51221121mmmm解得332<≤m;⑵∅=B,即121->+-mm，解得32<m；综上所述，实数m的取值范围是3<m．【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．三、理解数学：1、用≠≠⊆⊂⊇⊃“、、、”连接下列集合对：①A={济南人}，B={山东人}；②A=N，B=R；③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；④A={本校田径队队员}，B={本校长跑队队员}；⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}2、若A={a，b，c},则有几个子集，几个真子集？写出A所有的子集．3、设A={3m,m∈Z},B={6k，k∈Z},则A、B之间是什么关系？【课后提升】 1． 满足∅A ⊆},,,{d c b a 的集合A 是什么? 解析:由∅A 可知,集合A 必为非空集合;又由A ⊆},,,{d c b a 可知,此题即为求集合},,,{d c b a 的所有非空子集。
高中数学 第一章 集合 1.2 集合的基本关系教案1 北师大版必修1
1 1.2 集合的基本关系本节教材分析课本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发，通过类比实数的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等.值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用venn 图表，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导区分一些容易混淆的关系和符号.三维目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.3.情感.态度与价值观(1)树立数形结合的思想 ．(2)体会类比对发现新结论的作用.教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.教学难点：难点是属于关系与包含关系的区别.教学建议：本节的重点是集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念..难点是属于关系与包含关系的区别教学时，应通过具体例子，借助Venn 图，帮助学生直观理解集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.用图形直观说明.注意区分属于关系与包含关系，且注意包含与属于符号的方向.新课导入设计导入一:我们知道，实数有相等大小关系，如5=5，35,75><等等，类比实数之间的关系，集合之间有什么关系？教师直接点出课题.导入二：复习元素与集合的关系，举例让学生分析.引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有，这就是我们本节课所要学习的内容.。
北师大版高中数学必修一高一集合的基本关系教案北师(2)
课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B 用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集⊆（三） 真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
2017-2018学年北师大版高中数学必修1全册学案
2017-2018学年高中数学北师大版必修1全册同步学案目录第一章1 第1课时集合的含义第一章1 第2课时集合的表示第一章2 集合的基本关系第一章3.1 交集与并集第一章3.2 全集与补集第一章章末复习课第三章1 正整数指数函数第三章2 指数扩充及其运算性质第三章3 指数函数（一）第三章3 指数函数（二）第三章4 第1课时对数第三章4 第2课时对数的运算第三章5.1 对数函数的概念5.2 对数函数y＝log2x的图像和性质第三章5.3 对数函数的图像和性质第三章6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第三章习题课对数函数第三章章末复习课第二章1 生活中的变量关系第二章2.1 函数概念第二章2.2 函数的表示法（一）第二章2.2 函数的表示法（二）2.3 映射第二章3 函数的单调性（一）第二章3 函数的单调性（二）第二章4 二次函数性质的再研究第二章5 简单的幂函数（一）第二章5 简单的幂函数（二）第二章章末复习课第四章1.1 利用函数性质判定方程解的存在第四章1.2 利用二分法求方程的近似解第四章2 实际问题的函数建模第四章章末复习课第1课时 集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．知识点一 集合的概念思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？梳理 元素与集合的概念(1)集合：一般地，________________________称为集合．集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…标记．(2)元素：集合中的____________叫作这个集合的元素．常用小写字母a ，b ，c ，d ，…表示集合中的元素．知识点二 元素与集合的关系思考 1是整数吗？12是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为________、__________，数学符号分别为________、________.知识点三元素的三个特性思考1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？梳理元素的三个特性是指__________、__________、__________.知识点四常用数集及表示符号类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素． 跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数类型二 元素与集合的关系命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ； ④|－3|∈Q ；⑤0∉N ，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件． 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空． －2________R ；－3________Q ； －1________N ；π________Z .命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现． (2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．跟踪训练3 已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则( )A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2类型三元素的三个特性的应用例4已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．跟踪训练4已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x.1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根2．下面说法正确的是()A．所有在N中的元素都在N＋中B．所有不在N＋中的数都在Z中C．所有不在Q中的实数都在R中D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()A．1 B．2 C．3 D．44．下列结论不正确的是()A．0∈N B.33C．0∉Q D．－1∈Z5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．答案精析问题导学 知识点一思考 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素． 梳理 (1)指定的某些对象的全体 (2)每个对象 知识点二思考 1是整数；12不是整数；没有．梳理 属于 不属于 ∈ ∉ 知识点三思考1 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合A ，那么任何一个对象a 是不是这个集合中的元素就确定了． 思考2 2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．思考3 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的．由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的． 梳理 确定性 互异性 无序性 知识点四N N *或N ＋ Z Q R 题型探究例1 解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合． (2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．跟踪训练1 B [A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．] 例2 B [12是实数，①对；2不是有理数，②对； |－3|＝3是自然数，③错； |－3|＝3为无理数，④错； 0是自然数，⑤错． 故选B.]跟踪训练2 ∈ ∈ ∉ ∉ 例3 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2. 跟踪训练3 D [∵1∉A ， ∴2×1＋a ≤0，a ≤－2.又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4， ∴－4<a ≤－2.]例4 解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1， 可知a －3＝－3或2a －1＝－3， 当a －3＝－3时，a ＝0； 当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性， 只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3， A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1} ＝{0,5,10}≠B .若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1} ＝{0，－52，54}≠B .故不存在实数a ，x ，使A ＝B . 跟踪训练4 解 当3x 2＋3x －4＝2， 即x 2＋x －2＝0时，x ＝－2，或x ＝1. 经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意． 当x 2＋x －4＝2，即x 2＋x －6＝0时， 则x ＝－3或x ＝2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意． ∴x ＝－3或x ＝2. 当堂训练1．D 2.C 3.C 4.C 5.B第2课时 集合的表示学习目标 1.了解空集、有限集、无限集的概念.2.掌握用列举法表示有限集.3.理解描述法的格式及其适用情形.4.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．知识点一 集合的分类思考 集合{x ∈R |x 2<0}中有多少个元素？{x ∈R |x 2＝0}呢？{x ∈R |x 2>0}呢？梳理 按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅；含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集． 知识点二 列举法思考 要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？梳理把集合中的元素____________出来写在大括号内的方法叫作列举法．适用于元素较少的集合．知识点三描述法思考能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？梳理描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．符号表示为{|}，如{x∈A|p(x)}．类型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合．(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．跟踪训练1用列举法表示下列集合．(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20的所有素数组成的集合．类型二用描述法表示集合例2试用描述法表示下列集合．(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．引申探究用描述法表示函数y＝x2－2图像上所有的点组成的集合．反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号．(2)说明该集合中元素的性质．(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．跟踪训练2用描述法表示下列集合．(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合；(3)由所有小于10或大于20的实数组成的集合．类型三集合表示的综合应用命题角度1选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示下列集合．(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________________.命题角度2新定义的集合例4对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( ) A ．18 B ．17 D ．16 D ．15反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求． 跟踪训练4 定义集合运算：A ※B ＝{t |t ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 的所有元素之和为________．1．下面四个判断，正确的个数是( ) (1)0∈∅； (2){0}是空集；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x ＋y ＝12x ＋2y ＝－2是空集；(4){x 2＋y ＋1＝0}是空集． A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图像的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}3．设A ＝{x ∈N |1≤x <6}，则下列正确的是( ) A ．6∈A B ．0∈A C ．3∉A D ．3.5∉A 4．第一象限的点组成的集合可以表示为( ) A ．{(x ，y )|xy >0} B ．{(x ，y )|xy ≥0} C ．{(x ，y )|x >0且y >0} D ．{(x ，y )|x >0或y >0}5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( ) A ．{x |x ＝4k －1，k ∈Z }B ．{x |x ＝2k －1，k ∈Z }C．{x|x＝2k＋1，k∈Z} D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}1．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复．(3)元素无顺序．(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．答案精析问题导学知识点一思考0个；1个；无限多个．知识点二思考把它们一一列举出来．梳理一一列举知识点三思考不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．题型探究例1解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．跟踪训练1解(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．例2解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.故用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．引申探究解{(x，y)|y＝x2－2}．跟踪训练2解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y ＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．(3){x|x<10或x>20}．例3解(1)列举法：{0,2,4}．或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．跟踪训练3{2 000,2 001,2 004}解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1，0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．例4B[因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.]跟踪训练46解析由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.当堂训练1．B 2.D 3.D 4.C 5.A学习目标 1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？梳理一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的______________元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作____________(或__________)，读作“____________”(或“____________”)．子集的有关性质：(1)∅是任何集合A的子集，即∅⊆A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即________．(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么________．(4)若A⊆B，B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.知识点二真子集思考在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？梳理如果集合A⊆B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：__________(或__________)，读作：________________(或______________)．知识点三Venn图思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．梳理一般地，用平面上________曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．类型一求集合的子集例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．跟踪训练1适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15 B．16C．31 D．32类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A．P⊆N⊆M⊆QB．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．跟踪训练2我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R 表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为______________．命题角度2数集间的包含关系例3设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()A．A∈B B．B∈AC．A⊆B D．B⊆A反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练3已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则()A．A∈B B．A BC．B A D．B⊆A类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)例4已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．反思与感悟集合A的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.跟踪训练4已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A．P T B．P∈T C．P＝T D．P⃘T3．下列关系错误的是()A．∅⊆∅B．A⊆AC．∅⊆A D．∅∈A4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是()A．3 B．4 C．5 D．61．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A ⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A 中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．答案精析问题导学 知识点一思考 所有的白马都是马，马不一定是白马．梳理 任何一个 A ⊆B B ⊇A A 包含于B B 包含A (2)A ⊆A (3)A ⊆C 知识点二 思考 用真子集．梳理 A B B A A 真包含于B B 真包含A 知识点三 思考 A ⊆B ⊆C 梳理 封闭 题型探究例1 解 (1)∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，2n －1个真子集．如∅，有1个子集，0个真子集．跟踪训练1 A [这样的集合A 有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]例2 B [正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.] 跟踪训练2 NZ Q R例3 C [∵0<2，∴0∈B . 又∵1<2，∴1∈B . ∴A ⊆B .]跟踪训练3 B [由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A B .]例4 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}． (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a}，∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1. 综上，a ＝0或a ＝1.跟踪训练4 解 (1)当2a －3≥a －2， 即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a <1时，要使A ⊇B ， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}． 当堂训练1．B 2.A 3.D 4.B 5.D3．1 交集与并集学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、V enn 图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．知识点一 并集思考 某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？梳理 (1)定义：一般地，________________________________的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__________(读作“A并B”)．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________.(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.(4)性质：A∪B＝__________，A∪A＝________，A∪∅＝________，A∪B＝A⇔__________，A________A∪B.知识点二交集思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？梳理(1)定义：一般地，由既______________________________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作__________(读作“A交B”)．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_____________________________________.(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.(4)性质：A∩B＝__________，A∩A＝________，A∩∅＝________，A∩B＝A⇔________，A∩B______A∪B，A∩B________A，A∩B________B.类型一求并集命题角度1数集求并集例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是()A．{1,3,4,5,6} B．{3}C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.反思与感悟有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．跟踪训练1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.命题角度2点集求并集例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．跟踪训练2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．类型二求交集例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A．{0} B．{1} C．{0,1,2} D．{0,1}(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．反思与感悟两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．跟踪训练3(1)集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∩B；(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B；(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.类型三并集、交集性质的应用例4已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如“A ∪B ＝B ”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．跟踪训练4 设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2}D ．{0,1}2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B 等于( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{0,2}D ．{0,1,2}3．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |0<x <2}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x >1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |0<x <2}4．已知A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合A ∩B 等于( ) A ．∅ B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}5．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或31．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合． (2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．答案精析问题导学知识点一思考19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．梳理(1)由属于集合A或属于集合B A∪B(2){x|x∈A，或x∈B}(4)B∪A A A B⊆A⊆知识点二思考1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．梳理(1)属于集合A又属于集合BA∩B(2){x|x∈A，且x∈B}(4)B∩A A∅A⊆B⊆⊆⊆题型探究例1(1)A[A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A ∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.](2)解如图：由图知A∪B＝{x|－1<x<3}．跟踪训练1解(1)B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．(2)如图：由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．例2解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．跟踪训练2解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．例3(1)A[在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.](2)D [M ＝{x |－2≤x ＜2}，N ＝{0,1,2}， 则M ∩N ＝{0,1}，故选D.](3)解 A ∩B ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，其几何意义为第一象限所有点的集合． 跟踪训练3 解 (1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤1}． (2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}． (3)A ∩B ＝∅.例4 解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B . 当2a >a ＋3，即a >3时， A ＝∅，满足A ⊆B . 当2a ＝a ＋3，即a ＝3时， A ＝{6}，满足A ⊆B .当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a >5， 解得a <－4，或52<a <3.综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >52}．跟踪训练4 解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A ， ∴2×(12)2＋3p ×12＋2＝0，∴p ＝－53，∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B ，∴2×(12)2＋12＋q ＝0，∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．当堂训练1．B 2.C 3.A 4.A 5.B3.2全集与补集学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一全集思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？梳理(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的________集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．(2)记法：全集通常记作________．知识点二补集思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？梳理A∪(∁A)＝U，A∩(∁A)＝∅，∁(∁A)＝A。
北师大版高中数学必修一集合的基本关系教案北师(2)
课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A ⊆练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
高中数学 1.1.2 集合间的基本关系导学案 北师大版必修1
复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？新知：子集、相等、真子集、空集的概念.①如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含 (contains)A .当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅2x x+=，∅R；{|30}（3）N{0,1}，Q N；（4）{0}2-=.x x x{|0}反思：思考下列问题.（1）符号“a A⊆”有什么区别？试举例说明.∈”与“{}a A（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？①若,,且则；≥≥=a b b a a b②若,,≥≥≥且则.a b b c a c※典型例题例1 写出集合{,,}a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}=-≥；B x x=->与{|250}A x x（2）设集合A={0,1}，集合{|}=⊆，则A与B的关系如何？B x x A变式：若集合{|}⊆，求实数a的取值范围.=-≥，且满足A BB x xA x x a=>，{|250}※动手试试练1. 已知集合2=-+=，B＝{1,2}，{|8,}A x x x{|320}=<∈，用适当符号填空：C x x x NA B，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}⊆，则实数a的取值范围=≥，且满足A B=<<，{|2}A x a xB x x1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.2.两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展n-个.如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n个，真子集有21合，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆试用Venn 图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
高中数学北师大版必修1-2_集合的基本关系_教学设计_教案教案
教学准备1. 教学目标知识与技能：1. 理解子集、V图、真子集、空集的概念。
2. 掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。
3. 能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。
过程与方法：1. 通过类比实数间的关系，研究集合间的关系，培养学生类比、观察、分析、归纳的能力。
2. 培养学生用数学符号语言、图形语言进行交流的能力。
情感态度与价值观：1.激发学生学习的兴趣，图形、符号所带来的魅力。
2.感悟数学知识间的联系，养成良好的思维习惯及数学品质。
2. 教学重点/难点重点：集合间基本关系。
难点：类比实数间的关系研究集合间的关系。
3. 教学用具4. 标签教学过程（一）教学流程图（二）教学详细过程1..回顾就知，引出新知问题一：实数间有相等、不等的关系，例如5=5，3﹤7，那么集合之间会有什么关系呢？【师生活动】：老师引导学生类比实数间的关系，引出今天学习的内容，研究集合间的关系，学生猜测可能一个集合在另一个集合里面。
2.合作交流，探究新知问题二：大家来仔细观察下面几个例子，你能发现集合间的关系吗？（1）A={1,2,3},B={1，2，3，4，5}；（2）设A为新华中学高一（2）班女生的全体组成集合；B为这个班学生的全体组成集合；（3）设C={x∣x是两条边相等的三角形}，D={x∣x是等腰三角形}【师生活动】：学生观察例子后，得出结论，在（1）中集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，教师总结，这时我们说集合A与集合B 有包含关系。
（2）中的集合也是这种关系。
3.研究表示，深化认知一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集，记作：，读作A含于B或者B包含A.在数学中我们经常用平面上封闭的曲线内部代表集合，这样上述集合A与集合B的包含关系，可以用下图来表示：问题三：你能举出几个集合，并说出它们之间的包含关系吗？【师生活动】：学生自己举出些例子，并加以说明，教师对学生的回答进行补充。
高中数学 第一章 集合 1.2 集合的基本关系教案2 北师大版必修1
1.2集合间的基本关系一. 教学目标:1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.3.情感.态度与价值观(1)树立数形结合的思想 ．(2)体会类比对发现新结论的作用.二.教学重点.难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.难点：难点是属于关系与包含关系的区别．三.学法与教学用具1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系.2.学用具：投影仪.四.教学思路(—)创设情景，揭示课题问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。
而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.(二)研探新知投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==.组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B(或B 包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。
北师大版高中数学必修一集合的基本关系学案北师(2)
集合的基本关系一、课时学习目标1、知识与技能：⑴、理解集合之间包含与相等的含义。
⑵、能识别给定集合的子集。
⑶、能用Venn 图表示集合之间的关系。
⑷、理解真子集，空集的概念。
2、过程与方法：⑴、通过对照实数的相等与不相等的关系，类比出集合之间的包含和相等的关系。
⑵、体验集合语言使用，发展运用数学语言进行交流的能力。
3、情感态度与价值观：⑴、了解集合的包含，相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。
⑵、探索直观图示（Venn 图）对理解抽象概念的作用。
⑶、通过某类事物已有的性质，类比、联想另一类相似事物的性质，培养我们的逻辑思维能力。
二、课时预习导学通过自主探索，合作交流完成以下问题：1、实数之间存在着相等与不等，元素与集合之间存在属于与不属于的关系，自主探索两个集合之间有什么关系？⑴、集合A 为集合B 的子集的定义是：_________________________________________ 记作： 读作：用Venn 图表示为：⑵、集合A 与集合B 相等的定义是：______________________________________________ 记作：⑶、真子集的定义是：_________________________________________________________ 记作：⑷、空集的定义是：____________________________________________________________并规定：空集是：_______________________________________________________________2、自主探究：⑴、如何正确使用符号: ,,,∈∉⊆⊆;⑵、任何一个集合是_________________的子集，即_______________________________ ⑶、空集是________________________的子集，是______________________的真子集。
高中数学 1-2《集合的基本关系》精品教案 北师大版必修1
用心 爱心 专心 - 1 -1.2-1 集合的基本关系教学目的：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系；了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；课 型：新授课教学过程：一、 引入课题1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2）；（3）-1.5 R2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、 新课教学1、 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作AB用Venn)(A B B A ⊇⊆或2、集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 练习3、结论：任何一个集合是它本身的子集 A A ⊆4、真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）5、 规定：⊆- 2 - 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
6、结论：B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆三、 例题讲解例1化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x ≥5}，并表示A 、B 的关系；例2写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
高中数学 第一章 集合 1.2 集合的基本关系学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案
1.2 集合的基本关系1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(重点)2．理解子集、真子集的概念．(易混点)3．能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)[基础·初探]教材整理 1 子集阅读教材P7从本节开头到“集合Q是集合R的子集”之间的内容，完成下列问题．1．子集含义对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A)，就说集合A是集合B的子集图形语言性质任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A2.Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．已知：(1)A＝{高一·2班的同学}，B＝{高一·2班3组的成员}；(2)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}；(3)A＝N，B＝Z；(4)A＝{矩形}，B＝{长方形}．以上集合A是集合B的子集的是__________．(填所有正确选项的序号)【解析】借助Venn图，可知选项(2)、(3)、(4)中集合A是集合B的子集，而选项(1)中应是集合B是集合A的子集，集合A却不是集合B的子集．【答案】(2)(3)(4)教材整理 2 集合相等阅读教材P7从“对于两个集合A与B”到P8“A＝B”之间的内容，完成下列问题．1. 文字定义对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.2．符号表示若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝__________.【解析】∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1.【答案】－1教材整理 3 真子集阅读教材P8从“对于两个集合A与B”至“例1”以上的内容，完成下列问题．1．真子集(1)含义：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B或B A.(2)当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作A B或B⊉A.2．性质(1)空集是任何集合的子集，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集是任何集合的真子集．( )(2)任何一个非空集合至少有两个子集．( )(3)∅＝{0}．( )(4)集合A不能是其自身的真子集．( )【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[小组合作型]集合间关系的判定下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2 C．3 D．4【精彩点拨】首先要分清二者是元素与集合间的关系，还是集合与集合之间的关系．如果是集合与集合之间的关系，还需要分清是包含、真包含，还是不包含等关系．【尝试解答】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，{0}是含有单元素0的集合，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．【答案】 B判断集合的基本关系常转化为判定元素与集合间的关系，主要有以下三种方法：[再练一题]1．指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A ＝{x |x 是等边三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}； (3)A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x －5<0}；(4)M ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N ＋}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N ＋}．【解】 (1)集合A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B .(3)集合B ＝{x |x <5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知AB .(4)由列举法知M ＝{1,3,5,7，…}，N ＝{3,5,7,9，…}，故NM .集合相等已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值． 【精彩点拨】 欲求c 的值，可列关于c 的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合中元素的互异性，有下面两种情况：(1)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac ，a ＋2b ＝ac 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2，a ＋2b ＝ac .【尝试解答】 由集合中元素的互异性，知b ≠0，c ≠±1，c ≠0，a ≠0.又A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac ，a ＋2b ＝ac 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2，a ＋2b ＝ac .∴a ＝2ac －ac 2或a ＝2ac 2－ac ， 即c 2－2c ＋1＝0或2c 2－c －1＝0，又∵c ≠±1，∴c ＝－12，故所求实数c 的值为－12.根据两个集合相等求集合中的特定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立方程或方程组.要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要注意将方程或方程组的解代入原集合检验，把不符合题意的解舍去.[再练一题]2．已知集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }且A ＝B ，求实数x 与y 的值． 【解】 由已知A ＝B ＝{0，|x |，y }，∴0∈A .若x ＝0，则A ＝{0,0，－y }，不满足元素的互异性；若y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性．∴只有x－y＝0，即y＝x，∴A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2,0}，∴B＝{0，|x|，x}．∴x2＝|x|，∴x＝0(舍)，或x＝1，或x＝－1.当x＝1时，A＝B＝{1,1,0}，而元素具有互异性，故x≠1.当x＝－1时，A＝B＝{－1,1,0}满足题意．∴x＝y＝－1即为所求.有限集合子集的确定试写出满足条件∅M{0,1,2}的所有集合M.【精彩点拨】欲求M，首先需弄清条件“∅M{0,1,2}”的含义．由∅M说明M 为非空集合，即M中至少含有一个元素；由M{0,1,2}知，M中至多含有2个元素，因此M 中元素个数为1或2，故可根据元素个数逐一列出集合M.【尝试解答】∵∅M{0,1,2}，∴M为{0,1,2}的非空真子集．∴M中的元素个数为1或2.当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}．∴M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．解答此类问题应根据子集、真子集的概念求解，在写集合的子集或真子集时，一般按元素由少到多的顺序一一列举，可避免重复或遗漏.[再练一题]3．已知{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}，写出所有满足条件的集合A.【解】∵{a，b}⊆A，∴a∈A，b∈A.又∵A{a，b，c，d，e}，∴集合A为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．[探究共研型]已知集合间的关系，求参数的范围探究 1 已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<a}，若A＝B，则实数a的取值是多少？【提示】如图，由图可知a＝1.探究 2 探究1中“A＝B”改为“A⊆B”，其他条件不变，则实数a的取值范围是多少？【提示】 如图，由图可知a ≥1，即实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．探究 3 探究1中“A ＝B ”改为“B A ”，其他条件不变，则实数a 的取值范围是多少？【提示】 如图，，由图可知a <1，即实数a 的取值范围是{a |a <1}．设集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |m －1≤x ≤1－2m }． (1)若B ⊆A ，求m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，求m 的取值范围. 【导学号：04100003】 【精彩点拨】 利用数轴表示集合A ，B ，根据A 与B 的关系观察端点之间的关系，列不等式求m 的取值范围．【尝试解答】 (1)①当B ≠∅时，∵B ⊆A ，∴借助数轴表示如图所示：则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，1－2m ≤1，m －1≤1－2m ，解得0≤m ≤23.②当B ＝∅时，m －1>1－2m ，得m >23.综上所述m ≥0.(2)①当m －1>1－2m ，即m >23时，B ＝∅，不符合题意．②当m －1≤1－2m ，即m ≤23时，借助数轴表示如图所示：则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－1，1－2m ≥1，解得m ≤0.即m ≤0. 综上所述m ≤0.已知集合关系求参数范围的一般方法：,1通常借助数轴，把两个集合在数轴上表示出来，以形定数.,2当某一个集合的端点中含有字母时，要判定两个端点的大小，不确定时要分类讨论，当左边的端点大于右边的端点时，集合为空集，这种情况容易被忽视.,3比较端点大小时要注意是否能取“＝”，不好确定时要单独验证参数取“＝”时的值是否符合题意.[再练一题]4．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |a －1<x <a ＋3}，若A ⊆B ，求a 的取值范围． 【解】 用数轴表示如图所示：则⎩⎪⎨⎪⎧a －1<－1，a ＋3>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a >－1，所以－1<a <0，即a 的取值范围为{a |－1<a <0}．1．集合A ＝{x |0≤x <3，x ∈N }的真子集的个数为( )【导学号：04100004】A ．4B ．7C ．8D ．16【解析】 可知A ＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．共有23－1＝7(个)．故选B.【答案】 B2．如果A ＝{x |x >－1}，那么正确的结论是( ) A ．0⊆A B ．{0}AC ．{0}∈AD ．∅∈A【解析】 由于0>－1，所以{0}A .而选项A ，C ，D 对于元素与集合、集合与集合的关系使用符号不对，故都是错误的．【答案】 B3．已知集合A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 【解析】 ∵B ⊆A ，∴元素3,4必为A 中元素， ∴m ＝4. 【答案】 44．集合{a ，b ，c }的子集个数是________，真子集的个数是________．【解析】 集合{a ，b ，c }的子集有∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，共8个，其中真子集有7个．【答案】 8 75．已知A ＝{x |x <－1，或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．【解】 B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，因B ⊆A ，用数轴表示如图：所以需满足－a4≤－1，解得a ≥4。
高中数学必修一北师大版学案1.2 集合的基本关系(学生版)
课题：集合的基本关系☆学生版☆学习目标、理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；、理解子集、真子集的概念；、能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习重点：子集与真子集的概念及关系.学习难点：元素和集合的属于关系与集合间的包含关系之间的区别.学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习.基本定义.①子集：，记作：，读作：.当集合不包含于集合时，记作.②图：在数学中，我们经常用代表集合，这种图称为图. 用图表示两个集合间的“包含”关系为：.③集合相等：，记作：.④真子集：，记作：，读作：.．性质：（）空集是任何集合的，即Φ；（）空集是任何非空集合的，即若≠Φ，则Φ；（）任何一个集合是它本身的，即.二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。
）三、合作探究★探究一、某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。
若用表示合格产品的集合，表示质量合格的产品的集合，表示长度合格的产品的集合，则下列包含关系哪些成立？使用图表示这三个集合的关系.★探究二、写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.★★探究三、满足的集合有几个？并全部写出。
★★★探究四、若集合，，且满足，求实数的取值范围.四、课堂检测、课本练习、、、、；、已知集合，，且满足，则实数的取值范围为.五、课堂小结课题：集合的基本关系☆课时作业☆编号班级小组姓名:六、作业检测（要求：写出必要的解答过程）．用适当的符号填空（“”“”“”）（）已知集合，集合，则；（）设集合，，..判断下列各式是否正确，如果错误，请改正：（）；（）；（）；。
北师大版高中数学必修一学学案集合的基本关系
2 集合的基本关系1．子集(1)子集的概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A)，这时我们说集合A是集合B的子集．谈重点如何理解子集的概念(1)从文字的角度来看，集合A是集合B的子集，一定要强调集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即强调任意性，否则不一定成立．例如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，集合A中有一个元素“1”不在集合B中，B中元素“4,5”不在集合A中，因此集合A与集合B不具有包含关系，尽管集合B中的元素比集合A中的元素多，但也不能以元素个数的多少来确定包含关系．(2)从符号的角度看，“A⊆B”说明“对任意的x∈A，都有x∈B”．这种符号语言对于证明一个集合是另一个集合的子集，作用十分明显．(3)当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作A B(或B A)，用符号可以表示为“存在一个x∈A，使得x∉B”．“A B”表达的意义有两个方面．其一，A，B 互不包含，如A＝{2,3}，B＝{4,5}；其二，A有可能包含B，如A＝{2,3,4,5}，B＝{3,4,5}．(2)子集的图形表示为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．常用的封闭曲线有椭圆、矩形等．如，若用A表示我们班所有同学组成的集合，用B表示我们班所有女同学组成的集合，则B⊆A.集合A与B的关系可用Venn图表示为：(3)子集的性质根据子集的定义和Venn图的表示方法可以得到以下性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.②规定：空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.③对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具有传递性，并且这条性质也可以推广到有限多个集合，即：若A⊆B，B⊆C，C⊆D，…，M⊆N，则A⊆N.下面仅对三个集合的情况进行证明．证明：设x是集合A中的任一元素，∵A⊆B，∴x∈B.又∵B⊆C，∴x∈C，即可由x∈A推出x∈C.∴A⊆C.【例1－1】下列命题：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的子集；(4)若∅⊆A，则A≠∅；(5)集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中正确的有()．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：(1)错误，因为空集是任何集合的子集，其中“任何集合”包括空集，所以∅⊆∅也成立(或由于任何一个集合都是它本身的子集，所以空集的子集是它本身)；(2)错误，如空集只有一个子集，即它本身；(3)正确；(4)错误，由∅⊆A可知，集合A可以是任何集合，其中包括∅；(5)错误，A⊆B只能说明集合A中的任何元素都是集合B中的元素，而不能说明集合B 中的元素都是集合A中的元素．答案：B【例1－2】已知集合A ＝{－1,0}，集合B ＝{0,1，x ＋2}，且A ⊆B ，则实数x 的值为__________．解析：由A ⊆B 可知，集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，也就是说，集合A 中的元素－1,0都必须在集合B 中，故x ＋2＝－1，x ＝－3.答案：－32．集合相等对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 中的元素，这时，我们就说集合A 与集合B 相等，记作A ＝B .即若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B .用Venn 图可表示为：谈重点 如何理解集合相等的概念(1)所谓集合A 与集合B 相等，就是集合A ，B 中的元素完全相同．例如，试比较集合A ＝{x |x 2－1＝0}与集合B ＝{－1,1}的关系．由x 2－1＝0可知x ＝±1，所以集合A 用列举法可表示为A ＝{－1,1}，我们看到集合A 与B 中都含有两个元素－1,1，故A ＝B .(2)集合相等的概念中给出了一种证明集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 都成立．【例2－1】下列各组中的两个集合相等的有( )．①P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n －1)，n ∈Z }；②P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N ＋}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N ＋}；③P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝1(1),2n x x n ⎧⎫+-⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z . A ．①②③ B ．①③C ．②③D ．①②解析：①集合P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，有P ＝Q ；②P 是由1,3,5，…所有正奇数组成的集合，Q 是由3,5,7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q ，∴P ≠Q .③P ＝{0,1}，当n 为奇数时，1(1)02n x +-==，当n 为偶数时，1(1)12nx +-==， ∴Q ＝{0,1}，P ＝Q .答案：B【例2－2】已知A ＝{1，x,2x }，B ＝{1，y ，y 2}，若A ⊆B ，且A ⊇B ，求实数x 和y 的值． 分析：由A ⊆B ，且A ⊇B 可知A ＝B ，即集合A 与B 中的元素相同，可根据集合中元素的性质，用分类讨论的方法，通过列方程组求出x ，y 的值；也可根据两个集合中元素的和与积分别相等来建立方程组．两种方法殊途同归，需要注意的是最后都要检验集合中的元素是否具有互异性．解：(方法1)由A ⊆B ，且A ⊇B 知，A ＝B ，由集合相等的概念可得：2,2,x y x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y x y ⎧=⎨=⎩ 解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =⎧⎨=⎩或1,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当x ＝0，y ＝0时，A ＝{1,0,0}，B ＝{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去．∴x ＝2，y ＝2或14x =，12y =. (方法2)由A ⊆B ，且A ⊇B 知，A ＝B . ∴集合A 与B 中元素的和与积分别相等，即22121,121.x x y y x x y y ⎧++=++⎨⋅⋅=⋅⋅⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =⎧⎨=⎩或1,41,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当x ＝0，y ＝0时，A ＝{1,0,0}，B ＝{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去．∴x ＝2，y ＝2或14x =，12y =. 3．真子集(1)真子集的概念对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B ，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )，读作“集合A 真包含于集合B (或集合B 真包含集合A )”．从符号的角度来看，则为对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，但存在x 0∈B ，使得x 0∉A .例如：已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{a ，b ，c ，d }，试判断集合A ，B 的关系．显然A ⊆B ，又因为B 中存在一个元素c ，使c ∉A ，所以AB .(2)真子集的Venn 图表示 如果集合A 是集合B 的真子集，则用Venn 图表示这两个集合的关系为：即把表示A 的区域画在表示B 的区域内，但区域A 不能与B 重合．(3)真子集的性质根据真子集的定义和Venn 图的表示方法可以得到以下性质：①任何一个集合A 都不是其自身的真子集．②规定：空集是任何非空集合的真子集，即若集合A ≠∅，则∅A . ③对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，则AC ，即真子集具有传递性．这条性质可以推广到有限多个集合，即若A B ，BC ，CD ，…，M N ，则A N . 下面仅对三个集合的情况进行证明．证明：设x 是集合A 中的任一元素，∵A B ，∴x ∈B ，且B 中至少有一个元素a ，使得a ∉A ，又B C ，∴x ∈C ，a ∈C ，且C 中至少存在一个元素b ，使得b ∉B ，∴x ∈C ，且C 中至少有两个元素a ，b ，使得a ∉A ，b ∉A ，∴A C .【例3】设集合A ＝{2,8，a }，B ＝{2，a 2－3a ＋4}，且AB ，则a 的值为__________． 解析：因为A B ，所以集合B 中的元素都在集合A 中，对照两个集合中的元素可得a 2－3a ＋4＝8或a 2－3a ＋4＝a .由a 2－3a ＋4＝8，得a ＝4或a ＝－1；由a 2－3a ＋4＝a ，得a ＝2.经检验：当a ＝2时，集合A ，B 中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为－1或4.答案：－1或4警误区不可忽视元素的互异性此题易错点是忘记对a的值进行检验，忽视集合中元素的互异性．4．元素与集合、集合与集合之间关系的判断(1)元素与集合的关系是属于与不属于的关系；集合与集合之间的关系是包含与不包含的关系，在包含关系中又分真包含、相等两种情况．(2)符号“∈”和“⊆”的区别：符号“∈”只能适用于元素与集合之间，符号“∈”的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，2∈R；符号“⊆”只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}⊆{1,0}，{x|x＜2}⊆{x|x＜3}．析规律如何判断两个集合间的基本关系判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断．对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可知道它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明．【例4－1】在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0,1，－1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z＝{全体整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，错误写法的个数是()．A．3B．4C．5D．6解析：①中是两个集合的关系，不能用“∈”；④∅表示空集，空集中无任何元素，所以应是0∉∅；⑤集合符号“{}”本身就表示全体之意，故此“全体”不应写；⑥等式左边集合的元素是平面直角坐标系的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等．只有②和③正确，因为空集是任何非空集合的真子集，任何集合都是其本身的子集．答案：B【例4－2】判断下列集合之间的关系：(1)A＝{三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{等边三角形}；(2)A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|－1≤x≤2}，C＝{x|x2＋4＝4x}；(3)A＝{x|1≤x≤1010}，B＝{x|x＝t2＋1，t∈R}，C＝{x|2x＋1≥3}；(4)1,24kA x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z，1,42kB x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z.分析：给出两个集合A与B，其关系有如下情况：A＝B，A B，B A，A⊆B，B⊆A，A B，B A.因此判断两集合之间的关系时，要根据集合相等、真子集、子集、互不包含的定义，转化为分析它们所含元素的关系．解：(1)∵等腰三角形、等边三角形是两种特殊的三角形，而等边三角形又是特殊的等腰三角形，∴A B C.(2)∵A＝{－1,2}，B＝{x|－1≤x≤2}，C＝{2}，∴C A B.(3)∵A＝{x|1≤x≤1010}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x≥1}，∴A B＝C.(4)∵21,4kA x x k⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z，2,4kB x x k⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z，而当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，∴A B.5．集合子集个数的确定(1)当一个集合的元素个数很少时，可以直接写出它的全部子集，从而获取其子集的个数．例如：列举集合{1,2,3}的所有子集．在书写时可以按子集元素个数的多少分别写出所有子集(以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象)．含有0个元素的子集有：∅；含有1个元素的子集有：{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有：{1,2}，{1,3}，{2,3}；含有3个元素的子集有：{1,2,3}．所以集合{1,2,3}的所有子集的个数为8.(2)当一个集合中元素个数较多时，一一写出它的全部子集不太现实，对于其子集的个数有如下结论：①含有n个元素的集合有2n个子集．②含有n个元素的集合有2n－1个真子集．③含有n个元素的集合有2n－1个非空子集．④含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．例如：集合A＝{1,2,3}中含有3个元素，其子集的个数是23＝8，真子集的个数是23－1＝7，非空子集的个数是7，非空真子集的个数是6.解技巧求有限集合的子集步骤求有限集合的子集，首先明确有限集合的元素的个数，然后再套用相应的公式即可．【例5－1】集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是()．A．16 B．8 C．7 D．4解析：集合A用列举法可表示为{0,1,2}，其含有3个元素，故A的真子集的个数是23－1＝7.答案：C【例5－2】已知非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6－a∈M，那么集合M的个数为()．A．5 B．6 C．7 D．8解析：已知a∈M,6－a∈M，且∅M⊆{1,2,3,4,5}，又∵当a＝1时，6－a＝5∈M；当a＝2时，6－a＝4∈M；当a＝3时，6－a＝3∈M；当a＝4时，6－a＝2∈M；当a＝5时，6－a＝1∈M，∴非空集合M可能是{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．答案：C【例5－3】已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，则集合M的个数是________．解析：(方法1)由题意可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5.故可按M中所含元素的个数分类写出集合M.当M中含有两个元素时，M为{1,2}；当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．所以满足条件的集合M有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．(方法2)由{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}知，集合M中一定含有元素1,2，而不一定含有元素3,4,5，所以问题可转化为求集合{3,4,5}的子集的个数，即23＝8个．答案：86．已知两集合间的关系求参数的值已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，进而转化为解方程或解不等式．这类问题常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时，常借助于数轴，利用数形结合来建立变量间的关系．需要特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)，在解决具体问题时，一方面要注意端点是实心还是空心，另一方面可以将端点值代入检验．例如：已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}．若A B，求实数a的取值范围．我们可以先把集合A中的元素在数轴上表示出来，再根据两个集合之间的关系确定a，这样就能非常直观地看出实数a的取值范围是a≥4(如图所示)．警误区忽视空集致错若B⊆A，则可分B＝∅或B≠∅两种情况进行分类讨论，有时还会涉及对最高次项系数的讨论，对二次函数根的讨论等，在讨论中，B可能为∅易被忽视，要注意这一“陷阱”，时刻记住空集是任何集合的子集这一性质．【例6－1】已知集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，求实数m 的取值范围．解：由B⊆A，将集合A，B分别表示在数轴上(如图所示)．∵B⊆A，∴当B＝∅时，m＋1＜2m－1，解得m＞2；当B≠∅时，有321,211,14,mm mm-<-⎧⎪-≤+⎨⎪+<⎩解得－1＜m≤2.综上可知，m的取值范围是{m|m＞－1}．【例6－2】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A的a值组成的集合．分析：若B⊆A，则可分B＝∅和B≠∅两种情况进行分类讨论，通过解方程或不等式求出参数a的取值范围．解：由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ＜0，∴－3(a2－16)＜0，解得a＜－4或a＞4.此时B⊆A.(2)若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0.当a＝－2时，Δ＞0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ＞0，舍去．③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ＞0，－2与4恰是方程的两根，∴当a＝－2时，B⊆A.综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．7．判断两个集合相等的方法判断两个集合相等的方法有：(1)利用集合相等的定义，即两个集合中的元素是否完全相同来判断．①将两个集合中的元素一一列出比较；②看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否相同，若两者均一致，则可判断其相等．(2)利用集合相等的等价命题来证明，即A⊆B且B⊆A，则A＝B.此法常适用于无限集，其关键是将集合中元素满足的条件作适当变形．【例7】集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，试证A＝B. 证明：(1)任取x∈A，则x＝2k－1，k∈Z，若k为偶数，则k＝2m，m∈Z，此时x＝4m－1，m∈Z，∴x∈B.若k为奇数，则k＝2m－1，m∈Z，此时x＝4m－3＝4(m－1)＋1，m－1∈Z，∴x∈B.综上所述，任取x∈A，均有x∈B，∴A⊆B.(2)任取y∈B，则y＝4k±1，k∈Z.当y＝4k＋1时，y＝2(2k)＋1＝2(2k＋1)－1且2k＋1∈Z.∴y∈A.当y＝4k－1时，y＝2(2k)－1,2k∈Z，∴y∈A.综上所述，任取y∈B，均有y∈A，∴B⊆A.由(1)(2)知，A＝B.。
北师大版高中数学必修一高一集合的基本关系教案北师(1)
课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper⊆subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
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2 集合的基本关系
学习目标 1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一子集
思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
梳理一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的______________元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A 为集合B的子集，记作____________(或__________)，读作“____________”(或“____________”)．
子集的有关性质：
(1)∅是任何集合A的子集，即∅⊆A.
(2)任何一个集合是它本身的子集，即________．
(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么________．
(4)若A⊆B，B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
知识点二真子集
思考在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
梳理如果集合A⊆B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：__________(或__________)，读作：________________(或______________)．
知识点三Venn图
思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．
梳理一般地，用平面上________曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．
类型一求集合的子集
例1 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练1 适合条件{1}⊆A {1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15 B．16
C．31 D．32
类型二判断集合间的关系
命题角度1 概念间的包含关系
例2 设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A．P⊆N⊆M⊆Q
B．Q⊆M⊆N⊆P
C．P⊆M⊆N⊆Q
D．Q⊆N⊆M⊆P
反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．
跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R 表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为______________．
命题角度2 数集间的包含关系
例3 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )
A．A∈B B．B∈A
C．A⊆B D．B⊆A
反思与感悟判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则( )
A．A∈B B．A B
C．B A D．B⊆A
类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．
反思与感悟集合A的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.
跟踪训练4 已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅ A，则A≠∅.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．P T B．P∈T C．P＝T D．P T
3．下列关系错误的是( )
A．∅⊆∅B．A⊆A
C．∅⊆A D．∅∈A
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A 中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有。