§2.2.3直线的参数方程及应用(第2课时)1
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
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直线的参数方程及应用一、直线的参数方程1.定义：若α为直线l 的倾斜角，则称(cos ,sin )e =rαα为直线l 的(一个)方向向量.2.求证：若,P Q 为直线l 上任意两点，(cos ,sin )e =rαα为l 的方向向量,则有//PQ e u u u r r .证明：3.设直线l 过点000(,)M x y 的倾斜角为α，求它的一个参数方程. 归纳小结二、弦长公式、线段中点参数值 例1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积.例2 经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于,A B 两点.如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.练习1.设直线l 经过点0(1,5)M ，倾斜角为π.（1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线0x y --=的交点到点0M 的距离；（3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积.2.已知经过点(2,0)P ，斜率为43的直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M .求点M 的坐标.3.经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线221x y -=于,A B 两点，如果点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.4.经过抛物线22(0)y px p =>外的一点(2,4)A --且倾斜角为45︒的直线l 与抛物线分别相交于12,M M .如果1||AM ，12||M M ，2||AM 成等比数列，求p 的值.5.已知曲线14cos ,:3sin .x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线28cos ,:3sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（1）化1C 、2C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2.x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 解：练习：1.直线l 的方程为12,2 3.x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则l 上任一点到点(1,2)的距离是A .tB .||t C|t D|t2.直线sin 203,cos 20.x t y t =-+⎧⎨=⎩o o（t 为参数）的倾斜角是 A .20o B .70o C .110o D .160o 3.已知直线00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，点P 分AB 所成的比为λ，则点所对应的参数是A .122t t + B .121t t λ++ C .121t t λλ++ D .211t t λλ++ 4.直线3490x y --=与圆2cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩的位置关系是A .相交但直线不过圆心B .相交且直线过圆心C .相切D .相离5.下列参数方程都表示过点0(1,5)M ，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M 和0M 的距离，这个参数方程是A .1,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩ B.1,5.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C.1,5x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩D .11,25.x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩6.直线3cos ,2sin .x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（a 为参数）与直线2sin ,3cos .x b y b θθ=--⎧⎨=-⎩（b 是参数）的位置关系为 CA .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线y x =对称D .互相垂直 7.曲线C 的参数方程为2cos ,sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤≤），则yx 的取值范围是A.[B.(,)-∞+∞U C.[D.(,)-∞+∞U 8. 参数方程2cos ,2sin .x y θθ=-⎧⎨=⎩（22ππθ-≤≤）所表示的曲线是 .9.直线2,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）上到点(2,3)M -M 下方的点的坐标是 .10.点(1,5)-与两直线1,5x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t是参数）及0x y --=的交点的距离是 .11.两圆32cos ,42sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）与3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）的位置关系是 .12.已知直线l 经过点(1,0)P ，倾斜角为6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与椭圆2244x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积. B.化一般参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩为标准参数方程【巩固与应用】例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:(1) 42,3.x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (2)4,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) (3)00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)结果(1) 43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数) (2) 4,3.x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(2t t '=为参数) (3)令00cos ,sin x x t y y t =+⋅⎧⎨=+⋅⎩ϕλϕλ则cos ,sin .a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ϕλϕλ于是22222(cos )(sin )a b ⋅+⋅==+ϕλϕλλ,取λ则cos ϕ,sin ϕ,t ',于是得直线的标准参数方程为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数).例求直线14,:3.x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与直线2:20l x y +-=的交点到定点(4,3)的距离 题型三：参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩中参数t 具有几何意义的条件【巩固与应用】例4 求直线l ：12,2.x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)被曲线cos ,.x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）所截得的弦长.编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t 系数平方和为1，则参数t 就有几何意义”这个事实.解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y 2213y x +=，联立消元，整理得 20x x -=，于是两交点为(0,A ，(1,0)B ，故||2AB =.解二：椭圆的普通方程为：2213y x +=，将直线参数方程代入并整理得，2680t t -+=，解得12t =或24t =，故12|||||24|2AB t t =-=-=．。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用一、几何学应用1.直线的参数方程的可视化表示直线参数方程可以帮助我们直观地理解直线的特点和性质，例如直线在平面上的位置、方向、长度等。
通过改变参数的取值，可以观察到直线的移动、旋转、延长等变化，进而更直观地了解几何图形的特征。
2.直线的交点设有两条直线的参数方程分别为：L1:x=x1+a1t,y=y1+b1t,z=z1+c1tL2:x=x2+a2s,y=y2+b2s,z=z2+c2s我们可以通过求解参数方程的参数，找到这两条直线的交点。
通过求解方程组，可以得到唯一的交点坐标。
3.直线的方位角和倾斜角直线参数方程中的参数可以用来表示直线的方位角和倾斜角。
方位角是指直线与坐标轴的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
倾斜角是指直线与xy平面的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
二、物理学应用1.运动学中的直线运动在物理学中，直线运动是指质点或物体在直线上的运动轨迹。
直线的参数方程可以用来描述其中一时刻的位置。
例如，设有直线运动的质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以表示成参数方程形式：x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt其中，(x0, y0, z0)表示质点的初始位置，(vx, vy, vz)表示质点在x、y、z方向上的速度分量。
2.力学中的直线运动在力学中，直线运动还涉及质点或物体在直线上的加速度、力和运动的规律。
通过直线的参数方程，可以计算质点或物体在不同时刻的速度和加速度，并进一步得出运动的规律。
例如，设有质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以通过参数方程求导得到速度和加速度：vx(t) = dx/dtvy(t) = dy/dtvz(t) = dz/dt3.光学中的直线传播在光学中，直线传播是指光线沿着直线路径传播的现象。
直线的参数方程可以用于描述光线在空间中的传播路径。
2.3直线的参数方程课件人教新课标1
的距离，则|PM|＝ 20＝2 5. 解法二：由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如图所示，
它对应参数 t＝－2.代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标： x＝2，y＝1，即垂足 P0(2,1)，显然有|PP0|＝ 2＋22＋1＋12 ＝2 5.
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
k＝ .
解析：(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y－3＝－24(x－1)．
设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝13－＋2tt.，
∴该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
(2)解法一：如图所示，在直线上任取一点 M(x，y)，则 |PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2 ＝54t2＋5t＋25
线l的参数方程是 x＝ 22t， (t为参数)，
y＝－4＋
2 2t
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最
小值．
解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其 直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝|－2－2 4|＝3 2. 所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
5．直线 y＝－1－t (t为参数)与曲线 的交点个数为________．
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是+=+=ααs i nc o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l+=+=ααs i n c o s 00t y y t x x是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；③当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y tx x④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧；⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝221t t +基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程?+=+-= t 313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程+=+=t y t x 233211（t为参数）和方程?+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.xy ,)xx问题5：直线的参数方程+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易.例5：直线-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .基础知识测试1：1、求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、直线l 的方程：?+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65°B 25°C 155°D 115°3、直线+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、已知直线?+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l 的方程： +=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣ C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、已知直线l ：+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.二、直线参数方程的应用例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.x例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.点拨：(1)（对称性）由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
高中数学《直线的参数方程》课件
故|PA|＋|PB|＝ 8＋ 2＝3 2.
三.小结：
（1）直线的参数方程与普通方程的联系； （2）参数t的几何意义； （4）应用：直线的参数方程与圆锥曲线
的综合应用。
3
α= 4 ，l 与抛物线 y x2相交于 A、B 两点．
(1)求直线 l 的参数方程
(2)求点 P 到 A，B 两点的距离的积；
(3)求线段的 AB 长； (4)求 AB 的中点 M 的点的坐标；
【例1】 (2009·广东理)若直线 l1：xy＝＝21＋－k2tt，(t 为参数)与直线 l2：
|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
法二 (1)同法一． (2)因为圆 C 的圆心为(0， 5)，半径 r＝ 5，直线 l 的普通方
程为：y＝－x＋3＋ 5.
由x2＋（y－
5）2＝5， 得
y＝－x＋3＋ 5
x2－3x＋2＝0.
解得：yx＝＝21＋， 5或yx＝＝12＋， 5.
不妨设 A(1，2＋ 5)，B(2，1＋ 5)，又点 P 的坐标为(3， 5)，
x＝s， y＝1－2s(s
为参数)垂直，则
k＝________．
解析 直线l1：kx＋2y＝k＋4，直线l2：2x＋y＝1， ∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1. 答案 －1
点击 2：直线的参数方程与圆锥曲线的综合应用
2.（2010.福建高考）
在直角坐标系
xoy
中，直线
l
的参数方程为
x y
人教A版选修4－4第二讲参数方程
1．直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， (t 为参数)．
《直线线的参数方程》课件
描述电磁场：参 数方程可以描述 电磁场的分布和 变化，如电场强 度、磁场强度等。
描述波函数：参 数方程可以描述 波函数的分布和 变化，如声波、 光波等。
直线线的参数方 程的推导
通过点斜式方程推导参数方程
点斜式方程： y=kx+b
引入参数t： x=x0+tcosθ，
y=y0+tsinθ
代入点斜式方 程：
y=k(x0+tcos θ)+b
化简得到参数 方程：
x=x0+tcosθ， y=y0+tsinθ
通过两点式方程推导参数方程
两点式方程：Ax+By+C=0 两点坐标：(x1,y1)和(x2,y2) 代入两点式方程：A(x1)+B(y1)+C=0和A(x2)+B(y2)+C=0 解方程组得到参数t：t=(x2-x1)/(y2-y1)
实例：求直线l：x+2y-3=0的参数 方程
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参数方程：x=at+b，y=ct+d
添加标题
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解析几何：利用参数方程求解直线 的斜率、截距等几何性质
直线线的参数方程在物理学中的应用实例
描述运动轨迹：在物理学中，直线线 的参数方程可以用来描述物体的运动 轨迹，例如抛体运动、圆周运动等。
参数方程与直角坐标方程的转换
参数方程：x=f(t), y=g(t)
直角坐标方程： x=x, y=y
转换方法：将参数 方程中的t用x和y表 示，得到直角坐标 方程
转换公式：x=f(t), y=g(t) => x=f(t), y=g(t)
直线线的参数方 程的应用
参数方程在几何图形中的应用
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线的参数方程
3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的 解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运 动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和 电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播 路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中 ，直线参数方程可 以用于绘制直线和 曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在 绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表 示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建 一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便 地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
THANK YOU.
用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式 。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$， 则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为 了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴 ，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通 过改变 t 的值可以得到直线上不 同的点，t 的取值范围为全体实数 。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
直线的参数方程 课件
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用一、直线的参数方程1.定义：若α为直线l 的倾斜角，则称(cos ,sin )e =αα为直线l 的(一个)方向向量.2.求证：若,P Q 为直线l 上任意两点，(cos ,sin )e =αα为l 的方向向量,则有//PQ e .证明：3.设直线l 过点000(,)M x y 的倾斜角为α，求它的一个参数方程.作参数（e为直线的单位方向向量），未知点坐标为；②参数的系数：在；③角α的含义：为直线的）向量等式0M M te =的特点:②等号右边向量e 的坐标必须是 ③一个重要的等价关系：0M M te =⇔点M 的参数值为如04M M e =⇔点M ；02M D e =-⇔点D 的参数值为；0M E e =-⇔点E 的参数值为: （t 5）消参：①当α ；②当α .，其绝对值为 .；若0MM 与e 同向,则值；若0MM 与e 反向,则二、弦长公式、线段中点参数值 cos x x t =+⎧例1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积.例2 经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于,A B 两点.如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.练习1.设直线l 经过点0(1,5)M ，倾斜角为π. （1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线0x y --的交点到点0M 的距离； （3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积.2.已知经过点(2,0)P ，斜率为43的直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M .求点M 的坐标.3.经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线221x y -=于,A B 两点，如果点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.4.经过抛物线22(0)y px p =>外的一点(2,4)A --且倾斜角为45︒的直线l 与抛物线分别相交于12,M M .如果1||AM ，12||M M ，2||AM 成等比数列，求p 的值.5.已知曲线14cos ,:3sin .x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线28cos ,:3sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（1）化1C 、2C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2.x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.解：练习：1.直线l 的方程为12,23.x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则l 上任一点到点(1,2)的距离是A .tB .||tC |tD |t2.直线sin 203,cos 20.x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）的倾斜角是A .20B .70C .110 D .160 3.已知直线00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，点P 分AB 所成的比为λ，则点所对应的参数是A .122t t + B .121t t λ++ C .121t t λλ++ D .211t t λλ++ 4.直线3490x y --=与圆2cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩的位置关系是A .相交但直线不过圆心B .相交且直线过圆心C .相切D .相离5.下列参数方程都表示过点0(1,5)M ，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M 和0M 的距离，这个参数方程是A .1,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩ B.1,5.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C.1,5x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ D .11,25.x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 6.直线3cos ,2sin .x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（a 为参数）与直线2sin ,3cos .x b y b θθ=--⎧⎨=-⎩（b 是参数）的位置关系为 CA .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线y x =对称D .互相垂直7.曲线C 的参数方程为2cos ,sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤≤），则yx 的取值范围是A.[B.(,[3,)-∞+∞C.[D.3(,[,)-∞+∞8. 参数方程2cos ,2sin .x y θθ=-⎧⎨=⎩（22ππθ-≤≤）所表示的曲线是 .9.直线2,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）上到点(2,3)M -M 下方的点的坐标是.10.点(1,5)-与两直线1,5x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 是参数）及0x y --=的交点的距离是 .11.两圆32cos ,42sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）与3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）的位置关系是 .12.已知直线l 经过点(1,0)P ，倾斜角为6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与椭圆2244x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积.B.化一般参数方程0,.x x at y y bt =+⎧⎨=+为标准参数方程【巩固与应用】例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:(1) 42,3.x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (2)4,3.x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) (3)00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)结果(1) 43x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数) (2) 4,3.x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(2t t '=为参数) (3)令00cos ,sinx x t y y t =+⋅⎧⎨=+⋅⎩ϕλϕλ则cos ,sin .a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ϕλϕλ于是22222(cos )(sin )a b ⋅+⋅==+ϕλϕλλ,取λ则cos ϕ,sin ϕ,t ',于是得直线的标准参数方程为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数).例 求直线14,:3.x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与直线2:20l x y +-=的交点到定点(4,3)的距离题型三：参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩中参数t 具有几何意义的条件【知识链接】⎩||(M M x =【巩固与应用】例4 求直线l：12,2.x ty⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)被曲线cos,.xyϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）所截得的弦长.编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t系数平方和为1，则参数t就有几何意义”这个事实.解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y2213yx+=，联立消元，整理得20 x x-=，于是两交点为(0,A，(1,0)B，故||2AB=.解二：椭圆的普通方程为：2213yx+=，将直线参数方程代入并整理得，2680t t-+=，解得12t=或24t=，故12|||||24|2AB t t=-=-=．。
高中数学直线的参数方程及其应用优秀课件
x0 y0
t t
cos
（t为参数）
sin
M对应的参数为t,那么
| t |表示M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离.
我们在用参数t解决的时候，一定要关注两个问题：
〔1〕M0是不是我们需要的点
〔2〕t的系数平方和是否为1
例1·已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程
是
x
5
3t 2
x 5
3t
2 （t为参数）
y
3 1t 2
它是标准式吗？如果不是请把它化成标准式。
x 1 t
（2）直线l2的参数方程为
y
3t
（t为参数）是标准式吗？
如果不是请把它化成标准式。
〔3〕直线l:x+2y+2=0，写出直线l的参数方程的标准式。
直线参数方程的标准式 中参数t的几何意义：
x y
(2〕将直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：
t 2 12t cos 11 0
设A,B对应的参数分别为t1、t2,那么t1+ t2=-12cosα, t1.t2=11.
AB t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 144 cos2 44
由 AB 10 得 cos2 3 , tan 15
y
3 1t 2
(t为参数)，又曲线C的方程为
x2＋y2－2x＝0，设点P的坐标为(5, 3 )，直线l与 曲线C的 交点为A，B，试求|PA|·|PB|，PA PB 以及|AB| 的值．
【解析】
将直线参数方程
x
5
3t 2
代入x2＋y2－2x＝0，
得
y
t2 + 5 3 t+18=0.
直线的参数方程及其应用
直线的参数方程及其应用x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，a、b、c是直线的方向向量的分量，t是参数。
这样，通过调整参数t的值，就可以得到直线上的所有点。
一、几何中直线的参数方程的应用：1.直线的方向向量：2.直线的长度：直线的长度可以通过参数方程中的两点之间的距离公式来计算。
假设起始点为(x0,y0,z0)，终止点为(x1,y1,z1)，直线的长度为L，则公式为L=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2)3.直线与平面的交点：如果有一个平面的参数方程a1x + b1y + c1z + d1 = 0，直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
将直线的参数方程代入平面方程，解方程组可以求得直线与平面的交点坐标。
二、物理中直线的参数方程的应用：1.运动学中的直线运动：物体在直线上进行匀速直线运动时，可以通过参数方程来描述物体的位置。
其中(t)表示时间，直线的方向向量(a,b,c)表示物体的运动方向和速度。
2.振动运动的直线模型：在物理的振动运动中，例如简谐振动，可以使用直线的参数方程来表示振动的轨迹。
参数t可以表示时间，(x0,y0,z0)表示振动的平衡位置，(a,b,c)表示振动的幅度和方向。
三、计算机图形学中直线的参数方程的应用：1.直线的绘制：在计算机图形学中，直线常常使用参数方程来绘制。
通过给定起点和终点的坐标，使用参数方程可以描绘出直线的轨迹。
2.直线的旋转：在计算机图形学的3D建模中，直线可以经过旋转来创建复杂的几何体。
旋转直线可以使用参数方程中的旋转矩阵来实现。
3.直线的相交：在计算机图形学中，判断两条直线是否相交是一个常见的需求。
可以通过比较两条直线的参数方程来判断它们是否相交。
4.直线的裁剪：在计算机图形学中，通过直线的参数方程可以实现直线的裁剪。
直线的参数方程 课件
由 ρ＝ 2cosθ－π4得 ρ＝cos θ＋sin θ，
所以 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 得 x2＋y2＝x＋y， 即圆 C 的直角坐标方程为x－122＋y－122＝12.(5 分)
(2)把yx＝＝112＋＋122t3t，代入x－122＋y－122＝12， 得 t2＋12t－14＝0，(7 分) 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1，t2，
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
10－y 解：(1)由 y＝10－4t，得 t＝ 4 ，代入 x＝5＋3t，
10－y 得 x＝5＋3× 4 . 化简得普通方程为 4x＋3y－50＝0. (2)把方程变形为 x＝5＋3t＝5－35×（－5t）， y＝10＋45×（－5t）.
令 cos α＝－35，sin α＝45. u＝－5t，则参数方程的标准形式为： x＝5－35u， y＝10＋45u (u 为参数)．
(t 为参数)
y＝y0＋bt
化标准形式的公式，非标准形式中的 a2＋b2t 具有标准
x＝x0＋tcos α，
形式参数方程
(α 为参数)中参数 t 的几何
y＝y0＋tsin α
意义，故可以直接利用非标准形式的参数方程解题．
解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)， 整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义 得 |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
(t 为参数)是非标准形式，参数 t 不具有上
直线的参数方程及其应用(两课时)
练习
直线l 的方程是x-y-2 3 0, 求曲线C与直线l 的交 点与点（1，-5）间的距离.
4 3
5、动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向 分速度分别为9,12,运动开始时,点M位于 A(1,1),求点M的轨迹的参数方程.
x 1 9t (t为参数） y 1 12t
探究 已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程. 解： 在直线上任取一点M(x,y),则 M(x,y) M 0 M x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) y （ 设e是直线l的单位方向向量，则 e e (cos ,sin ) M0(x0,y0) M 0 M / / e, (cos ,sin ) 存在实数t R, 使M 0 M te
若t=0,则M与M0重合.
x 2 t sin20 1.求直线 ( t为参数 )的倾斜角 y t cos 20
x t sin 20o 3 2、直线 (t为参数）的倾斜角是 o y t cos 20
练 习A.20Fra bibliotekoB.70
o
C.110
o
k=
一般式: Ax By C 0
探 究
1、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件 是什么？ 2、根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来 建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可唯一确定一条直线
y y0 tan ( x x0 )
3、根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数？
直线的参数方程
1、参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
直线的参数方程用ppt课件
t1 t2 2
练习
1.求直线
x
y
2
t sin20 t cos20
(t为参数)的
倾斜角
2。直线
x y
t sin 20o t cos 20o
3
(t为参数）的倾斜角是
C
A.20o B.70o C.110o D.160o
3.直线 xy
t t
cos
sin a
| M0M | a2 b2 | t | | M1M2 | a2 b2 | t1 t2 |
例题选讲
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析:
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
2.分别如何解.
作业
1。求直线l : 4x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及直线
l2：4x 3y 12 0所得两交点间的距离。 9 17
2.13如.直直0线相线l过切点xy，P则04b(t这 4,a0条t)(,直 倾 t为线 斜参角 的数为 倾）斜＝ 与角曲 6 等 ，线l于与x2圆3x或y212243y42
普通方程化为参数方程需要引入参数
由于选取的参数不同，曲线有不同的参数 方程；一般地，同一条曲线，可以选取不同的 变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不 同的形式。形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的。
另外，在建立曲线的参数时，要注明参数及 参数的取值范围。
普通方程化为参数方程需要引入参数
x
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
第2讲3直线的参数方程课件人教新课标
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距
离公式来求出距离，
即 2－52＋－1－02＝ 10.
12345
解析 答案
2.直线
x＝－3＋tcos y＝2＋tsin α
α，(t为参数，α＝Fra bibliotekπ 6
)不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
√D.第四象限
12345
答案
3.若直线 l1：yx＝＝21＋－2ktt， (t 为参数)与直线 l2：xy＝＝s1，－2s (s 为参数)垂直， 则 k＝_－__1_. 解析 由－2k·(－2)＝－1，得 k＝－1.
解答
类型三 直线参数方程的综合应用
x＝－4＋ 22t，
例4
已知曲线
C1：y＝
2 2t
(t 为参数)，C2：xy＝ ＝－1＋2＋ sincθos θ，
(θ 为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解答
(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.
解答
引申探究 1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB| 的值.
解答
2.在探究 1 条件不变的情况下，求|P1A|＋|P1B|的值.
解 由探究 1 知，t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4，
所以|PA|＋|PB|＝|t1＋t2|＝3 2，
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.
所以|P1A|＋|P1B|＝|P|PAA|＋|·|P|PBB| |＝3
4
2 .
解答
反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的 点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根 据参数值得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲 线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的 几何意义加以解决.
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§2.2.3直线的参数方程及应用（第2课时）
【学习目标】
1. 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；
2. 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 【学习重点】
1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；
2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习难点】
1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；
2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习过程】 一、学前准备：
1、若由a b →→
与共线，则存在实数λ，使得 ， 2、设e →
为a →
方向上的 ，则a →
=︱a →
︱e →
； 3、经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线的普通方程为 。
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P 35～P 39，找出疑惑之处）
1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。
如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，
而直线l 的单位方向向量e →
=（ ， ）,因为0MM e →
，所以存在实数t R ∈， 使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点
00(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线的参数方程的标准式为：
⎩⎨⎧=
=
y x 2.方程中参数t 的几何意义是什么？
直线上任意动点到定点P 0的距离________||0=P P 3. 直线参数方程的一般式： （1）过点P 0(00,y x )，斜率为a
b
k =
的直线，记直线倾斜角α，则=αtan ，直线参数方程的一般式是 ⎩
⎨
⎧+=+
=t y y t x x （）（）00 （t 为参数），直线上任意动点到定点P 0的距离||________||0t P P =, （2）直线参数方程的一般式是 ⎩⎨⎧+=+=bt
y y at
x x 00 （t 为参数），
直线上任意两点A,B 对应参数分别为21,t t ，则它们到P 0的
距离分别为：
|t -t |________|B P -A P ||AB ||,|________|||,|________||21002010====弦长t B P t A P
||________||________||________||||212100t t t t B P A P =∙=∙
（3）中点公式：)M(),,(),,(20201010则中点bt y at x B bt y at x A ++++ |2
|________||2
10t t M P += 二、直线参数方程的应用
题组一。
.求直线的参数方程的标准式及t 的几何意义的应用
例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.
【变式】写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为4
3π
的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.
题组二。
（直线参数方程的非标准式其t 的几何意义的应用,弦长,|PA||PA|的值）
1. 直线错误！未找到引用源。
过点P(-1,0),倾斜角为错误！未找到引用源。
,且与椭圆错误！未找到引用源。
相交于A 、B 两点.
（1）求错误！未找到引用源。
的值； （2）求弦长错误！未找到引用源。
变式一：（直线非标准，P 为起点）
直线错误！未找到引用源。
过点错误！未找到引用源。
,参数方程为错误！未找到引用源。
（t 为参数）,与椭圆错误！未找到引用源。
相交于A 、B 两点.
（1）求错误！未找到引用源。
的值； （2）求弦长错误！未找到引用源。
变式二：（直线非标准，P 为非起点）
直线错误！未找到引用源。
过点错误！未找到引用源。
,参数方程为错误！未找到引用源。
（（t 为参数），与椭圆错误！未找到引用源。
相交于A 、B 两点.
（1）求错误！未找到引用源。
的值； （2）求错误！未找到引用源。
题组三。
直线参数方程中相交弦中点的应用
1.经过点M （2，1）作直线交双曲线12
2
=-y x 于A ，B 两点，如果点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程。
2.已知直线的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=t
y t
x 131（t 为参数），设直线l 与圆422=+y x 相交于A 、B ，线段AB 的中点为M 。
（1）求点M 的坐标；（2）点M 到定点P （1，1）的距离
3.已知直线l 过点P （2，0），斜率为3
4，直线l 和抛物线x y 22
=相交于A 、B 两点，
设线段AB 的中点为M,求：
(1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|
点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.
【变式】：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |；
x
(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.
点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 方法总结：利用直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供
了简便的方法.
一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0, 1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，
l 与C 相交有两个交点；
2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A 和B 的坐标.
3、 定点P 0(00,y x )是弦AB 中点⇔ t 1+t 2=0
4、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；P 0A ·P 0B= t 1·t 2；弦AB 中点M 点对应的参数为22
1t t +；| P 0M |=2
21t t + 【课外作业】 1、线⎩⎨
⎧+-=+=t
21y t x (t 为参数)与椭圆822
2=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( )
A 22
B 334
C 2
D 3
6
2、直线⎩⎨
⎧+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )
A |t 1+t 2|
B |t 1|＋|t 2|
C |t 1－t 2| D
2
2
1t t +
3、直线⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=-=t
21
1212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐标为(2,-1),则|PA|·|PB|=
4、过点P(6, 27)的直线⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=t 2726y t x (t 为参数)与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点，则点P 到A,B 距离之积为 . 5.经过点P (−1，2)，倾斜角为 π
4 的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9相交于A ，B 两点，求PA +PB 和PA · PB 的值。
6.已知椭圆
13
4)1(2
2=+-y x ，AB 是通过左焦点F 1的弦，F 2为右焦点，求| F 2A |·| F 2B |的最大值.。