第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案
30jie全国高中物理竞赛复赛moni试题
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# 30届全国高中物理竞赛复赛模拟试题第一部分：选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是描述物体惯性的物理量？A. 质量B. 重力C. 动量D. 速度2. 在理想气体状态方程PV=nRT中，下列哪个变量与温度成正比？A. 压力（P）B. 体积（V）C. 物质的量（n）D. 温度（T）3. 根据麦克斯韦方程组，下列哪个方程描述了电磁波的传播？A. 高斯定律B. 法拉第电磁感应定律C. 安培环路定律D. 位移电流定律4. 以下哪个现象是由洛伦兹力引起的？A. 霍尔效应B. 光电效应C. 磁共振现象D. 电流的热效应5. 根据量子力学，下列哪个原理描述了粒子的波动性？A. 泡利不相容原理B. 海森堡不确定性原理C. 薛定谔方程D. 康普顿散射...第二部分：填空题（每空2分，共20分）6. 牛顿第二定律的表达式是：\[ F = ma \]，其中\( m \)代表______，\( a \)代表______。
7. 根据热力学第一定律，能量守恒的表达式是：\[ \Delta U = Q - W \]，其中\( \Delta U \)代表______，\( Q \)代表______，\( W \)代表______。
8. 在电磁学中，电场强度的定义式是：\[ E = \frac{F}{q} \]，其中\( F \)代表______，\( q \)代表______。
9. 根据相对论，时间膨胀的公式是：\[ t' = \frac{t}{\sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}} \]，其中\( t \)代表______时间，\( t' \)代表______时间。
30届全国中学生物理竞赛(复赛)模拟试题(一)
30届全国中学生物理竞赛（复赛）模拟试题（一）第一题：（20分）光子火箭从地球起程时初始静止质量（包括燃料）为M0，向相距为R=1.8×1061.y.（光年）的远方仙女座星飞行。
要求火箭在25年（火箭时间）后到达目的地。
引力影响不计。
1）、忽略火箭加速和减速所需时间，试问火箭的速度应为多大？2）、设到达目的地时火箭静止质量为M0ˊ，试问M0/ M0ˊ的最小值是多少？第二题．（20分）有一个两端开口、粗细均匀的U型玻璃细管，放置在竖直平面内，处在压强为0p的大气中，两个竖直支管的高度均为h，水平管的长度为2h，玻璃细管的半径为r,r«h，今将水平管内灌满密度为ρ的水银，如图所示。
1．如将U型管两个竖直支管的开口分别封闭起来，使其管内空气压强均等于大气压强，问当U型管向右作匀加速移动时，加速度应多大才能使水平管内水银柱长度稳定为h35。
2．如将其中一个竖直支管的开口封闭起来，使其管内气体压强为1atm，问当U型管绕以另一个竖直支管（开口的）为轴作匀速转动时，转数n应为多大才能使水平管内水银柱长度稳定为h35。
（U型管作以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜）（1）图所示为一凹球面镜，球心为C，内盛透明液体，已知C至液面高度CE为40.0cm，主轴CO上有一物A，物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。
实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。
试求该透明液体的折射率n。
（2）体温计横截面如图所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点O的距离为2R，R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置。
玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数。
第四题（25分）左图为一无限多立方“格子”的电阻丝网络电路，每两节点之间电阻丝的电阻均为R，其中A、B两节点位于网络中部。
右图电路中的电源电动势（内阻为0）均为 ，电阻均为r。
若其中的a、b两节点分别与左图所示的电路中的A、B两节点相连结，试求流入电阻丝无限网络的电流。
第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准1
第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准1一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上.一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0(v00).求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.重力加速度大小为g.二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为m（为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动.一质量为m 的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略.一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B 相连.一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短.碰撞时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处.1.若碰前滑块A的速度为v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2.若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度v0应满足的条件.v02三、（25分）一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动.杆在水平状态由静止开始下摆，1.令m 表示细杆质量线密度.当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其转L动动能可表示为EkkL式中，k为待定的没有单位的纯常数.已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等.由此求出、和的值.2.已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值.3.试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力.重力加速度大小为g.提示：如果某(t)是t的函数，而Y(某(t))是某(t)的函数，则Y(某(t))对t的导数为dY(某(t))dYd某dtd某dt例如，函数co(t)对自变量t的导数为dco(t)dcoddtddt3四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成.质量为m、带电量为q的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G和容器口之间总是只有一滴液滴）.液滴开始下落时相对于地面的高度为h.设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器.忽略G的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g.若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势Vma某.4五、（25分）平行板电容器两极板分别位于zd的平面内，电容器起初未被充电.整个装置处于均匀2磁场中，磁感应强度大小为B，方向沿某轴负方向，如图所示.1.在电容器参考系S中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度(0,v,0)（这里(0,v,0)表示为沿某、y、z轴正方向的速度分量分别为0、v、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S中，可能既有电场,Ey,Ez)又有磁场(B某,By,Bz).试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S中电场(E某,Ey,Ez)和磁场(B某,By,Bz)的表达式.已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.(E某2.现在让介电常数为的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v，方向沿y轴正方向.在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S中，由于液体处在第1问所,Ey,Ez)中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出述的电场(E某,Ey,Ez)，而是现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(E某0,Ey,Ez)，这里0是真空的(E某介电常数.这将导致在电容器参考系S中电场不再为零.试求电容器参考系S中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差.（结果用0、、v、B或（和）d表出.）5六、（15分）温度开关用厚度均为0.20mm的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片.若钢和青铜的线膨胀系数分别为1.010/度和52.010/度.当温度升高到120C时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示.试求双金属片弯曲的曲率5半径.(忽略加热时金属片厚度的变化.)6七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为，高为h.今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与某z平面平行，上表面与yz平面平行.劈尖介质的折射率n随某而变化，n(某)1b某，其中常数b0.一束波长为的单色平行光沿某轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z方向平行、沿y方向排列的透光狭缝，如图(b)所示.入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与某轴垂直，透镜主光轴为某轴.要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹.已知第一条狭缝位于y=0处；物和像之间各光线的光程相等.1.求其余各狭缝的y坐标；2.试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.某hyOyh某zO图(a)图(b)7八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射.当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射.已知电子静止质量为me，真空中的光速为c.若能量为Ee的电子与能量为E的光子相向对碰，1.求散射后光子的能量；2.求逆康普顿散射能够发生的条件；3.如果入射光子能量为2.00eV，电子能量为1.00′109eV，求散射后光子的能量.已知1me=0.51′1106eV/c2.计算中有必要时可利用近似：如果某1，有1-某1-某.28一参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒.滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v分解成纬线切向(水平方向)分量v及经线切向分量v.设滑块质量为OPm，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P处，P和球心O的连线与水平方向的夹角为.由机械能守恒得111222mv0mgRinmvmv(1)222这里已取球心O处为重力势能零点.以过O的竖直线为轴.球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零.所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故mv0RmvRco.(2)由(1)式，最大速率应与的最大值相对应vma某v(ma某).而由(2)式，q不可能达到π(3)2.由(1)和(2)式，q的最大值应与v0相对应，即v(ma某)0.(4)[(4)式也可用下述方法得到：由(1)、(2)式得2gRinv0tan若in0，由上式得222v0.in2gR.22cov0实际上，in=0也满足上式。
高中物理竞赛模拟试题+物理竞赛复赛试题及答案
高中物理竞赛模拟试题+物理竞赛复赛试题及答案模拟训练试卷①第一题 (16分)1．天文学家根据观测宣布了如下研究成果：银河系中心可能存在一个大黑洞．黑洞是一种神秘的天体，这种天体的密度极大，其表面的引力如此之强，以至于包括光在内的所有接近黑洞的物体都不能逃脱其引力的作用．人们用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体，进行了长达6年的观测，发现距黑洞6×1012m的星体以2000km ／s的速度绕其旋转．另外，根据相对论知识，光子在运动时有质量．设光子在运动时质量为m0，光子与黑洞间的吸引力同样符合万有引力定律。
由以上知识可以求出黑洞的最大半径R= m．已知引力恒量G=6.67×10-11N•m2／kg2。
计算结果取l位有效数字．2．电子电量为e，质量为m，经过电压为U的加速电场加速后，电子具有的德布罗意波的波长表达式是λ= ．若le=1.6×10-19C，m=9.1×10-31kg，代人数据计算，当U=150V时，λ= m．第二题 (20分)如图所示，半径为r的孤立金属球远离其他物体，通过电阻可以忽略的理想细导线和电阻为R的电阻器与大地连接．电子束从远处以速度v射向金属球面，若稳定后每秒钟落到金属球上的电子数目为n，电子质量为m，电子电量数值为e，不考虑电子的重力势能，试求：1．稳定后金属球每秒钟自身释放的热量Q和金属球所带电量q；2．稳定后每秒钟落到金属球上的电子数目n不会超过多少?第三题 (20分)在水平地面某一固定点用枪射击，射出的子弹在水平地面上落点所能够覆盖的最大面积是A．若在这一固定点正上方高度为h的位置用同一支枪射击．射出的子弹在水平地面上落点所能覆盖的最大面积是多大?不计空气阻力，不计枪支的长度，每次射出的子弹初速度大小相同．第四题 (18分)如图所示，固定在竖直平面内的椭圆环，其长轴沿竖直方向．有两个完全相同的小圆环套在椭圆环上，不计质量的轻线将两个小圆环连接在一起，轻线跨过位于椭圆焦点F的水平轴，小圆环与轻线系统处于平衡状态．不计各处的摩擦，小圆环的大小忽略不计．试分析说明，系统属于哪一种平衡状态?第五题 (20分)摩尔质量是μ、摩尔数是n的单原子理想气体发生了未知的状态变化(我们称之为x过程)．状态变化过程中，可以认为气体在每一状态都处于平衡状态．气体的x过程曲线在P—V图像中，向下平移P0后恰好与温度是T0的等温曲线重合，如图所示．1．试写出x过程中气体体积V随温度T变化的关系式；2．试写出x过程中气体的比热容c与压强P变化的关系式．第六题 (24分)如图所示，真空中平行板电容器水平放置，电容器下极板固定不动，上极板用轻弹簧连接在极板中心位置悬挂起来．已知电容器极板面积是A．当上极板静止不动时，弹簧伸长量为x0，此时两极板间距为d0．现将电容器与电势差为U的电源连接，使两极板充上等量电荷，上面是正电荷，下面是负电荷，上极板会发生小幅度振动．上极板在振动的平衡位置时两极板间距为d l，不计电容器边缘效应，不计电源内阻，试求：1．弹簧的劲度系数k；2．上极板做小幅度振动的周期T；3．若弹簧的劲度系数k为某一确定值，上极板做小幅度振动时，电容器充电电压不会超过多少?第七题 (22分)如图所示，在焦距f=0.15m的凸透镜L主轴上有一小光源S，凸透镜L另一侧有两个反射面相向放置的平面镜OM l和OM2．平面镜OM l和OM2彼此垂直，且与透镜L主轴成45°，两平面镜的交线与透镜主轴垂直．已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=0.9m，透镜到两平面镜的交线距离010=0.3m，试求：1．小光源S在透镜主轴上共成多少个像?2．小光源S在透镜主轴外共成多少个像?分别指出像的虚实、位置及放大率．答案与分析全国中学生物理竞赛复赛试题一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g .二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.v三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令mLλ=表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为k E k L αβγλω=式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值.2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值.3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g .提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为d (())d d d d d Y X t Y X t X t=例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为dcos ()dcos d d d d t t tθθθθ=四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .五、（25分）平行板电容器两极板分别位于2dz =±的平面内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B ，方向沿x 轴负方向，如图所示.1. 在电容器参考系S 中只存在磁场；而在以沿y 轴正方向的恒定速度(0,,0)v （这里(0,,0)v 表示为沿x 、y 、z 轴正方向的速度分量分别为0、v 、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S '中，可能既有电场(,,)xy z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''. 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S '中电场(,,)xy z E E E '''和磁场(,,)x y z B B B '''的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.2. 现在让介电常数为ε的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v ，方向沿y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S '中，由于液体处在第1问所述的电场(,,)xy z E E E '''中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(,,)xy z E E E '''，而是0(,,)xy z E E E εε'''，这里0ε是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系S 中电场不再为零. 试求电容器参考系S 中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用0ε、ε、v 、B 或（和）d 表出. ）六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm 的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C ︒时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为51.010-⨯/度和52.010-⨯/度. 当温度升高到120C ︒时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. )七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为θ，高为h . 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz 平面平行，上表面与yz 平面平行. 劈尖介质的折射率n 随x 而变化，()1n x bx =+，其中常数0b >. 一束波长为λ的单色平行光沿x 轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z 方向平行、沿y 方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x 轴垂直，透镜主光轴为x 轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于y =0处；物和像之间各光线的光程相等.1. 求其余各狭缝的y 坐标；2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.图(a)图(b)八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为e m ，真空中的光速为 c . 若能量为e E 的电子与能量为E γ的光子相向对碰， 1. 求散射后光子的能量；2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光子能量为2.00 eV ，电子能量为 1.00´109 eV ，求散射后光子的能量. 已知xm e =0.511´106 eV /c 2. 计算中有必要时可利用近似：如果1x <<»1-12x .第30届全国中学生物理竞赛复赛解答与评分标准一参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v 分解成纬线切向 (水平方向)分量ϕv 及经线切向分量θv .设滑块质量为m ，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O 的连线与水平方向的夹角为θ. 由机械能守恒得2220111sin 222m mgR m m ϕθθ=-++v v v (1)这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cos m R m R ϕθ=v v .(2)由 (1) 式，最大速率应与θ的最大值相对应max max ()θ=v v .(3)而由 (2) 式，q 不可能达到π2. 由(1)和(2)式，q 的最大值应与0θ=v 相对应，即max ()0θθ=v . [(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得22202sin tan 0gR θθθ-=≥v v .若sin 0θ≠，由上式得220sin 2cos gRθθ≤v .实际上，sin =0θ也满足上式。
2021年第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题及答案(精选)
2021年第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题及答案（精选）一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g .二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处.1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，1. 令m Lλ=表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为k E k L αβγλω=式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值.2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值.3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g .提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为d (())d d d d d Y X t Y Xt X t=例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为dcos ()dcos d d d d t t tθθθθ=四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .五、（25分）平行板电容器两极板分别位于2dz =±的平面内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B ，方向沿x 轴负方向，如图所示.1. 在电容器参考系S 中只存在磁场；而在以沿y 轴正方向的恒定速度(0,,0)v （这里(0,,0)v 表示为沿x 、y 、z 轴正方向的速度分量分别为0、v 、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S '中，可能既有电场(,,)x y z E E E '''又有磁场(,,)xy z B B B '''. 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S '中电场(,,)x y z E E E '''和磁场(,,)x y z B B B '''的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.2. 现在让介电常数为ε的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v ，方向沿y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S '中，由于液体处在第1问所述的电场(,,)xy z E E E '''中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(,,)x y z E E E '''，而是0(,,)x y z E E E εε'''，这里0ε是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系S 中电场不再为零. 试求电容器参考系S 中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用0ε、ε、v 、B 或（和）d 表出. ） 六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm 的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C ︒时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为51.010-⨯/度和52.010-⨯/度. 当温度升高到120C ︒时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. )七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为θ，高为h . 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz 平面平行，上表面与yz 平面平行. 劈尖介质的折射率n 随x 而变化，()1n x bx =+，其中常数0b >. 一束波长为λ的单色平行光沿x 轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z 方向平行、沿y 方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x 轴垂直，透镜主光轴为x 轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于y =0处；物和像之间各光线的光程相等. 1. 求其余各狭缝的y 坐标；2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.图(a)图(b)八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为e m ，真空中的光速为 c . 若能量为e E 的电子与能量为E γ的光子相向对碰，1. 求散射后光子的能量；x2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光子能量为2.00 eV ，电子能量为 1.00´109 eV ，求散射后光子的能量. 已知 m e =0.511´106 eV /c 2. 计算中有必要时可利用近似：如果1x <<，有»1-12x .解答与评分标准一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v 分解成纬线切向 (水平方向)分量ϕv 及经线切向分量θv . 设滑块质量为m ，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O 的连线与水平方向的夹角为θ. 由机械能守恒得2220111sin 222m mgR m m ϕθθ=-++v v v (1)这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cos m R m R ϕθ=v v .(2)由 (1) 式，最大速率应与θ的最大值相对应max max ()θ=v v .(3)而由 (2) 式，q 不可能达到π2. 由(1)和(2)式，q 的最大值应与0θ=v 相对应，即max ()0θθ=v . [(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得22202sin tan 0gR θθθ-=≥v v .若sin 0θ≠，由上式得22sin 2cos gR θθ≤v .实际上，sin =0θ也满足上式。
第30届全国中学生物理竞赛
第30届全国中学生物理竞赛
预赛试卷
第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷
参考答案与评分标准
一、选择题
本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的的6分，选对但不全的的3分，有选错或不答的的0分．
答案：
1．A、B2．D 3.D 4．B、C 5．D
二、填空题和作图题
答案与评分标准：
三、计算题．
计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．。
第30届物理试卷及答案
第30届物理试卷及答案物理试卷（30））一、选择题.本题共 5 小题，每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意.全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错或不答的得 0 分.一、选择题.本题共 5 小题，每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意.全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错或不答的得 0 分. 1．（6 分）下列说法正确的是（） A．一束单色光从真空射入时，在玻璃表面处发生折射现象，这与光在玻璃中的传播速度不同于在真空中的传播速度有关 B．白纸上有两个非常靠近的小黑斑，实际上是分开的，没有重叠部分．但通过某一显微镜所成的象却是两个连在一起的没有分开的光斑，这与光的衍射现象有关 C．雨后虹的形成与光的全反射现象有关 D．老年人眼睛常变为远视眼，这时近处物体通过眼睛所成的像在视网膜的前方（瞳孔与视网膜之间），故看不清 2．（6 分）（2014 秋萧山区校级期中）如图所示 A、B 是两块金属板，分别与高压直流电源的两极相连．一个电子自贴近 A 板处静止释放（不计重力），已知当 A、B 两板平行、两板面积很大且两板间的距离较小时，它刚到达 B 板时的速度为 v0．在下列情况下以 v 表示电子刚到达 B 板时的速度，则（） A．若 A、B 两板不平行，则 v＜v0 B．若 A 板面积很小，B 板面积很大，则 v＜v0 C．若 A、B 两板间的距离很大，则1/ 19v＜v0 D．不论 A、B 两板是否平行、两板面积大小及两板间距离多少，v 都等于 v0 3．（6 分）粒子和粒子都沿垂直于磁场的方向射入同一均匀磁场中，发现这两种粒子沿相同半径的圆轨道运动．若粒子的质量是 m1，粒子的质量是 m2，则粒子与粒子的动能之比是（） A． B． C． D． 4．（6 分）由玻尔理论可知，当氢原子中的核外电子由一个轨道跃迁到另一轨道时，有可能（）A．发射出光子，电子的动能减少，原子的势能减少 B．发射出光子，电子的动能增加，原子的势能减少 C．吸收光子，电子的动能减少，原子的势能增加 D．吸收光子，电子的动能增加，原子的势能减少 5．（6 分）图示两条虚线之间为一光学元件所在处，AB 为其主光轴．P 是一点光源，其傍轴光线通过此光学元件成像于 Q 点．该光学元件可能是（） A．薄凸透镜 B．薄凹透镜 C．凸球面镜 D．凹球面镜二、填空题和作图题.只要给出结果，不需写出求得结果的过程. 6．（8 分）国际上已规定 133Cs 原子的频率f=9192631770Hz（没有误差）．这样，秒的定义．国际上已规定一个公认的光速值 c=299792458m/s（没有误差）．长度单位由时间单位导出，则米定义为． 7．（8 分）质量为 m1 的小滑块，沿一倾角为的光滑斜面滑下，斜面质量为 m2，置于光滑的水平桌面上．设重力加速度为 g，斜面在水平桌面上运动的加速度的大小为． 8．（8 分）一线光源，已知它发出的光包含三种不同频率的可见光，若要使它通过三棱镜分光，最后能在屏上看到这三种不同频率的光的谱线，则除了光源、三棱镜和屏外，必须的器件至少还应有．其中一个的位置应在和之间，另一个的位置应在和之间． 9．（12 分）如图所示，A 为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块 B 和C．A、B、C 的质量分别为 m、5m、m．B、C 与 A 之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数皆为 0.10，K 为轻滑轮，绕过轻滑轮连接 B 和 C 的轻细绳都处于水平位置．现用水平方向的恒定外力 F 拉滑轮，使 A 的加速度等于 0.20g，g 为重力加速度．在这种情况时，B、A 之间沿水平方向的作用力的大小等于，C、A 之间沿水平方向的作用力的大小等于，外力 F 的大小等于． 10．（14 分）i．在做把电流表改装成电压表的实验中，必须测出电流表的内阻和用标准电压表对改装成的电压表进行校准．某同学对图示的器材进行了连线，使所连成的电路只要控制单刀双掷开关的刀位和调节电阻箱及变阻器，不需改动连线，就能：（1）在与电阻箱断路的条件下测出电流表的内阻；（2）对改装成的电压表所有的刻度进行校准．试在图中画出该同学的全部连线． ii．有一块横截面为矩形的长板，长度在 81cm 与 82cm 之间，宽度在 5cm 与 6cm 之间，厚度在 1cm 与 2cm 之间．现用直尺（最小刻度为 mm）、卡尺（游标为 50 分度）和千分尺（螺旋测微器）去测量此板的长度、宽度和厚度，要求测出后的最后一位有效数字是估读的．试设想一组可能的数据天灾下面的空格处．板的长度 cm，板的宽度 cm，板的厚度 cm．三、计算题.计算题的3/ 19解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位.三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位. 11．（20 分）在水平地面某处，以相同的速率 v0 用不同的抛射角分别抛射两个小球 A 和 B，它们的射程相同．已知小球 A 在空中运行的时间为 TA，求小球 B 在空中运行的时间 TB．重力加速度大小为 g，不考虑空气阻力． 12．（20 分）从地球上看太阳时，对太阳直径的张角=53．取地球表面上纬度为 1的长度 l=110km，地球表面处的重力加速度 g=10m/s2，地球公转的周期 T=365 天．试仅用以上数据计算地球和太阳密度之比．假设太阳和地球都是质量均匀分布的球体． 13．（16 分）一个用电阻丝绕成的线圈，浸没在量热器所盛的油中，油的温度为0℃．当线圈两端加上一定的电压后，油温渐渐上升.0℃时温度升高的速率为5.0Kmin﹣1，持续一段时间后，油温上升到30℃，此时温度升高的速率变为 4.5Kmin﹣1，这是因为线圈的电阻与温度有关．设温度为℃时线圈的电阻为 R，温度为0℃时线圈的电阻为 R0，则有 R=R0 （1+），称为电阻的温度系数．试求此线圈电阻的温度系数．假设量热器及其中的油以及线圈所构成的系统温度升高的速率与该系统吸收热量的速率（即单位时间内吸收的热量）成正比；对油加热过程中加在线圈两端的电压恒定不变；系统损失的热量可忽略不计． 14．（18 分）如图所示，一摩尔理想气体，由压强与体积关系的 p﹣V 图中的状态 A 出发，经过一缓慢的直线过程到达状态 B，已知状态 B 的压强与状态 A 的压强之比为，若要使整个过程的最终结果是气体从外界吸收了热量，则状态 B 与状态 A 的体积之比应满足什么条件？已知此理想气体每摩尔的内能为，R 为普适气体常量，T 为热力学温度． 15．（23 分）如图所示，匝数为 N1 的原线圈和在数为 N2 的副线圈绕在同一闭合的铁心上，副线圈两端与电阻 R 相联，原线圈两端与平行金属导轨相联．两轨之间的距离为 L，其电阻可不计．在虚线的左侧，存在方向与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．pq 是一质量为 m 电阻为 r 与导轨垂直放置的金属杆，它可在导轨上沿与导轨平行的方向无摩擦地滑动．假设在任何同一时刻通过线圈每一匝的磁通都相同，两个线圈的电阻、铁心中包括涡流在内的各种损耗都忽略不计，且变压器中的电磁场完全限制在变压器铁心中．现于 t=0 时开始施一外力，使杆从静止出发以恒定的加速度 a 向左运动．不考虑连接导线的自感．若已知在某时刻 t 时原线圈中电流的大小I1． i．求此时刻外力的功率 ii．此功率转化为哪些其他形式的功率或能量变化率？试分别求出它们的大小． 16．（23 分）如图所示，一质量为 m 半径为 R 的由绝缘材料制成的薄球壳，均匀带正电，电荷量为 Q，球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光滑水平面上．球壳内部有一劲度系数为的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处于水平位置，其一端与球壳内壁固连，另一端恰位于球心处，5/ 19球壳上开有一小孔 C，小孔位于过球心的水平线上．在此水平线上离球壳很远的 O 处有一质量也为 m 电荷量也为 Q 的带正电的点电荷P，它以足够大的初速 v0 沿水平的 OC 方向开始运动．并知 P 能通过小孔 C 进入球壳内，不考虑重力和底座的影响．已知静电力常量k．求 P 刚进入 C 孔到刚再由 C 孔出来所经历的时间．参考答案与试题解析 1. 考点：波的干涉和衍射现象．分析：光在不同介质的传播速度不同；雨后虹的形成是光的折射；两物体衍射的光在进入眼球时重叠成象了；远视眼所成的像在视网膜的后方．解答：解：A、一束单色光从真空射入时，在玻璃表面处发生折射现象，根据 c=nv 可知，光在玻璃中的传播速度不同于在真空中的传播速度，故 A 正确；B、通过某一显微镜所成的象，因光的衍射，导致成连在一起的没有分开的光斑，故 B 正确；C、雨后虹的形成是光的折射，不是光的全反射现象，故 C 错误；D、远视眼，这时近处物体通过眼睛所成的像在视网膜的后方（瞳孔与视网膜之间），通过凸透镜才能看清物体，故 D 错误；故选：AB 点评：考查光的折射与全反射的区别，理解光的衍射原理，注意远视眼与近视眼的不同，及如何校正． 2．考点：带电粒子在匀强电场中的运动．专题：带电粒子在电场中的运动专题．分析：由题看出，板间电压 U 不变，根据动能定理得，可判断电子运动到 B 板的速率变化情况．解答：解：有题意知，板间电压不变，根据动能定理得，，则有：v= ，q、m、U 均不变，则电子运动到 B 板时速率 v 不变，都等于 v0．故 ABC 错误，D 正确，故选：D 点评：本题考查带电粒子在极板间的运动问题，抓住板间电压不变这一条件，利用动能定理解题，常见问题，难度不大． 3．考点：带电粒子在匀强磁场中的运动；洛仑兹力．专题：带电粒子在磁场中的运动专题．分析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解速度 v，得到动能的表达式进行分析即可．解答：解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：qvB=m 解得：Ek= = 粒子是氦核，粒子是电子，故粒子和粒子的电量之比为2：7/ 191，故粒子和粒子的动能之比为：故选：D．点评：本题关键是明确粒子做匀速圆周运动时的动力学规律，然后根据牛顿第二定律列式分析，基础问题． 4．考点：氢原子的能级公式和跃迁．专题：原子的能级结构专题．分析：氢原子的核外电子由一个轨道跃迁到另一轨道时，若放出光子，轨道半径减小，电场力做正功，电子动能增加，原子的能量减小．若吸收光子，轨道半径增大，电场力做负功，电子动能减小，原子的能量增大．解答：解：A、B 放出光子时，电子的轨道半径减小，电场力做正功，电子动能增加，根据玻尔理论得知，原子的能量减小．故 A 错误，B 正确． C、D 吸收光子时，电子的轨道半径增大，电场力做负功，电子动能减小，根据玻尔理论得知，原子的能量增大．故 C 正确，D 错误．故选： BC．点评：本题关键要抓住氢原子的核外电子跃迁时电子轨道变化与吸收能量或放出能量的关系． 5．考点：透镜成像规律．分析：1、凸透镜成像规律就是：物体放在焦点之外，在凸透镜另一侧成倒立的实像，实像有缩小、等大、放大三种；物体放在焦点之内，在凸透镜同一侧成正立放大的虚像； 2、对于薄凹透镜：当物体为实物时，成正立、缩小的虚像，像和物在透镜的同侧；3、凸面镜成缩小倒立的虚象，像和物在面镜的两侧； 4、凹面镜物体在焦点以内成放大正立的虚象，像和物在面镜的两侧；焦点以外成倒立缩小的虚像，像和物在面镜的同侧．解答：解：A、凸透镜可能成正立放大的像时，像和物在透镜的同侧，不可能在两侧，故 A 错误；B、凹透镜，当物体为实物时，成正立、缩小的虚像，故 B 错误；C、凸球面镜成缩小倒立的虚象，如汽车的观后镜，故 C 错误；D、凹球面镜，当物体在焦点以内成放大正立的虚象，像和物在面镜的两侧，故 D 正确；故选：D．点评：本题关键是熟悉凸透镜、凹透镜、凸面镜、凹面镜的特点，知道其成像规律，不难． 6．考点：力学单位制．分析：根据 T= 推出秒的定义，根据 x=ct 可以推出米的定义．解答：解：根据 T= 可知秒的定义为：133Cs 原子跃迁时所对应的电磁波振动 9192631770个周期所需要的时间，根据 x=ct 可知，1m 表示光在真空中在 s 的时间内传9/ 19播的长度．故答案为：133Cs 原子跃迁时所对应的电磁波振动 9192631770 个周期所需要的时间；光在真空中在 s 的时间内传播的长度．点评：对某些物理量的单位的由来也要有明确的认识，可借助于物理公式去理解． 7．考点：牛顿第二定律．专题：牛顿运动定律综合专题．分析：对小滑块和斜面分别进行受力分析，进行正交分解，根据牛顿第二定律列出等式求解．研究小滑块时，为了研究方便我们可以以斜面为参照系，运用牛顿第二定律求解．解答：解：设斜面的加速度为 a2，斜面受到的压力为 N，则对斜面有：a2m2=Nsin① 对小滑块受力分析，滑块受重力，斜面支持力，以斜面为参照系，对小滑块：加上惯性力 a2m1，方向水平向右，则小滑块在垂直斜面的方向受力平衡：m1gcos=N+a2m1sin② 由①可得：N= ③ 把③代入②可得：m1gcos= +a2m1sin 整理解得：a2= ．故答案为：．点评：该题对于物体的受力分析和牛顿第二定律的应用要求较高，对于相对于地面复杂的运动，我们可以选择其它的参考系，使得物体的运动简单，方便处理问题． 8．考点：透镜成像规律．分析：需要两个薄凸透镜，第一个将线光源的光束变为平行光，将平行光会聚，使光屏上光线汇聚，加强亮度的同时又把不同频率的光进一步分开．解答：解：一线光源，已知它发出的光包含三种不同频率的可见光，若要使它通过三棱镜分光，最后能在屏上看到这三种不同频率的光的谱线，则除了光源、三棱镜和屏外，必须的器件至少还应有两个凸透镜；其中一个的位置应在光源和三棱镜之间，将发散的光线进行汇聚；另一个凸透镜使透过三棱镜的光线汇聚，以加强亮度，同时又把不同频率的光进一步分开；故答案为：两个凸透镜，光源，三棱镜，三棱镜，屏．点评：本题关键是明确三棱镜分光的分光原理，同时明确实际操作中凸透镜的作用，不难． 9．考点：物体的弹性和弹力；摩擦力的判断与计算．分析：根据动摩擦因数来确定 B 对 A，与 C 对 A 的最大静摩擦力的大小，从而确定谁在A 上运动，再根据牛顿第二定律，即可求解．解答：解：11/ 19A 与B 的最大静摩擦力为 FB=mg=0.5mg，C 与 A 的最大静摩擦力为FC=0.1mg，由于 A 的加速度等于 0.20g，根据牛顿第二定律，则有：FA=ma=0.2mg，因此 C 对 A 的作用力为 0.1mg，而 B 对 A 的作用力也为 0.1mg， AB 间保持静止，AC 间滑动；受力分析，根据牛顿第二定律，则有：AC 间 f 摩=0.1mg，ab 间 f 摩=0.1mg； B 绳上拉力5mg0.2+0.1mg=1.1mg， C 绳也一样 1.1mg 一共 2.2mg F=2.2mg；故答案为：0.1mg； 0.1mg； 2.2mg．点评：考查静摩擦力与滑动摩擦力的区别，掌握对研究对象进行受力分析，理解牛顿第二定律的应用． 10．考点：把电流表改装成电压表．专题：实验题．分析：Ⅰ应用半偏法测电流表内阻，电流表与电阻箱应串联，要校准改装后的电压表与标准电压表应并联；校准电压表时要求对所有的刻度进行校准，电压应从零开始时变化，滑动变阻器应采用分压接法．Ⅱ直尺与螺旋测微器需要估读，游标卡尺不需要估读，根据各测量器材的分度值进行合理的读数．解答：解：Ⅰ、应用半偏法测电流表内阻，校准电压表时，电压要从零开始变化，滑动变阻器应采用分压接法，实验电路图如图所示．Ⅱ、矩形长板的长度在 81cm 至 82cm 间，应用直尺测量其长度，直尺最小刻度为1mm，则小数点后应有两位数，板的长度为 81.52cm（81.00～81.99 均正确；宽度为 5cm 到 6cm 间，应用用游标卡尺测其宽度，游标卡尺的游标尺为 50 分度，精度为 0.02mm，则宽度可能为5.532cm（5.002～5.998cm 均正确）；厚度在 1cm 至 2cm 间，可以用螺旋测微器测量，读数为 1.8424cm（1.0000cm～1.9999cm）均正确；故答案为：Ⅰ电路图如图所示；Ⅱ81.52；5.532；1.8424．点评：电压与电流从零开始变化时，滑动变阻器应采用分压接法；直尺、螺旋测微器需要估读，游标卡尺不需要估读；度直尺、游标卡尺、螺旋测微器读数时，要注意小数点后的位数． 11．考点：抛体运动．分析：抛射角较小时，运动时间较短，但水平分速度较大，反之运动时间较长但但水平分速度较小，故完全有可能它们的射程相同，由运动的分解以及水平方向运动特点，列方程即可解决解答：解：取抛射点为坐标原点，水平和竖直方向为 x、y 轴，建立坐标系，对于任何抛射小球有：x=v0cost① y=v0sint﹣② 故小球运动轨迹方程为：y=xtan﹣③ 当 y=0 时，解出 x 即为水平射程，故x= ④ 小球运动时间T= = ⑤ 由于两个小球 A 和 B 的射程相同，故有：13/ 19sin2A=sin2B⑥ 故 2A=﹣2B⑦ 由⑤得：⑧ ⑨ 由⑦⑧⑨可得，答：小球 B 在空中运行的时间为点评：将斜上抛运动分解为竖直方向的匀减速直线运动和水平方向的匀速直线运动，根据运动特点列方程即可，但运算量较大，有些麻烦12．考点：万有引力定律及其应用．专题：万有引力定律的应用专题．分析：根据万有引力充当向心力和质量和密度的关系式列式，并结合角度和弧度的关系求解地球质量和太阳的质量之比．解答：解：设地球质量为 Me，太阳质量 Ms，地球绕太阳的公转周期为 T，转动半径为 r，太阳半径为 Rs，根据题意知 G =Me（）2r① ② 由①②知由万有引力定律知在地球表面上 G =mg 2Re=360l 代入上式知令s、e 分别为太阳和地球密度，则有 s= 故代入数据，得=3.92 答：地球和太阳密度之比为 3.92．点评：要比较两个物理量，首先要利用所学知识表示出两个物理量的大小，再根据已知量进行化简，此题计算过程复杂，注意公式的变形应用． 13．考点：电功、电功率．专题：恒定电流专题．分析：量热器、油、线圈构成的系统在单位时间内吸收的热量等于通过线圈的电流的电功率，根据及 v=kP 写出当油温为 0C 和 30C 时电功率和系统升温的速率的关系式，再根据 R=R0 （1+）列式即可求解．解答解：量热器、油、线圈构成的系统在单位时间内吸收的热量等于通过线圈的电流的电功率，设加在线圈两端的电压为 U，当线圈的电阻为 R0 时，电流的功率① 根据题意得：v0=kP0② 式中 v0 为 0C 时系统升温的速率，k 为比例系数，同理当油温为 30C 时有：③，v30=kP30④ 由①②③④得：带入数据解得：=3.710﹣3K﹣1 答：此线圈电阻的温度系数为 3.710﹣3K﹣1．点评：本题是一道信息题，要求同学们能读懂题目的意思，能从题中找出物理量之间的关系，读出有效的信息，对同学们的能力要求较高，难度适中． 14．考点：理想气体的状态方程．专题：理想气体状态方程专题．分析：根据热力学第一定律△U=w+Q 列式，分别找到内能的变化和力做功，根据 Q＞0，解方程得到体积的大小关系．解答：解：15/ 19根据热力学第一定律知△U=w+Q① 设 A 状态温度为 T1，B 状态的温度为 T2，则有△U= R（T2﹣T1）② 以 P1、P2 和 V1、V2 分别表示 A、B 的压强和体积，由②式和状态方程可得△U= （P2V2﹣P1V1）由状态图可知做功等于图线下所围得面积，即 W= （P1+P2）（V2﹣V1）要系统吸热，即 Q＞0，由以上各式可得= （P2V2﹣P1V1）+ （P1+P2）（V2﹣ V1）＞0 按题意，代入上式可得答：状态 B 与状态 A 的体积之比应满足点评：此题考查热力学第一定律，要根据题意找不等式中各物理量的大小因素，最后根据表达式解方程，注意初末状态的压强关系． 15．考点：导体切割磁感线时的感应电动势；变压器的构造和原理．专题：电磁感应与电路结合．分析：i、导体棒从静止向左做匀加速运动，由速度时间公式求得 t 时刻的速度，由牛顿第二定律和安培力公式求出此刻外力的大小，即可求得外力的功率． ii、由欧姆定律求出原线圈两端的电压，根据变压器的变压规律求出副线圈两端的电压，即可求得 R 上消耗的功率．由公式 P=UI 求出变压器原线圈上输入功率，减去 R 上的功率，即为变压器中磁场能增量随时间变化率．解答：解：i、令 t 时刻作用在金属棒上作用力的大小为 F，v 表示此时杆的速度，P 表示外力的功率，则有P=Fv=Fat① 在 t 时刻，根据牛顿第二定律得：F﹣BI1L=ma② 由上两式得：P=（BI1L+ma）at③ ii、在 t 时刻，杆运动产生的电动势为：E=BLat④ 令 E1、E2 分别表示原、副线圈两端的感应电动势，并有：E1=E，E1、E2 分别表示原、副线圈两端的电压，I2 表示副线圈中的电流，由欧姆定律有：E1=E=U1+I1r⑤ E2=U2=I2R⑥ 根据题中的假设，利用法拉第电磁感应定律得：由④⑤⑥⑦得：U1=atBL﹣I1r⑧ U2= （atBL﹣I1r）⑨ I2= （atBL﹣I1r）⑩ 外力的功率转化为杆的动能的变化率：PEk=ma2t⑪电阻 r 上消耗的功率为：Pr= r⑫电阻 R 上消耗的功率为：PR= R= （atBL﹣I1r）2⑬则变压器内场能的变化率为：WB=U1I1﹣U2I2=（atI1BL﹣ r ）﹣⑭答：i．此时刻外力的功率为（BI1L+ma）at． ii．外力的功率转化为杆的动能的变化率为 ma2t，电阻 r 上消耗的功率为 r，电阻 R 上消耗的功率为（atBL﹣I1r）2；变压器内场能的变化率为（atI1BL ﹣ r ）﹣．点评：解决本题的关键之处在于搞清电路中能量是怎样转化的，明确各种功率之间的关系，结合变压器的规律和匀变速直线运动的公式解17/ 19题． 16．考点：动量守恒定律；牛顿第二定律．专题：动量定理应用专题．分析：P 与球壳组成的系统动量守恒，由动量守恒定律与能量守恒定律、运动学公式分析答题；分析 P 与球壳的运动过程，求出各阶段的运动时间，然后求出总的运动时间．解答：解：以水平面为参考系，选开始时 C 所处的固定点为原点，水平向右为 x 轴正方向，规定 P 与球相距无穷远时电势能为零，设 P 到 C 孔时的速度为 v1，球壳的速度为v2，由动量守恒定律得：mv0=mv1+mv2，能量守恒定律得：mv02= mv12+ mv22+k ， P 进入 C 后，因为均匀带电球壳在壳内产生的场强为 0，故 P 和球壳都做匀速运动，相对速度为 v1﹣v2，经过时间 t1，P 与弹簧的左端相接触，因走过的相对距离为 R，则运动时间为：t1= ，解得：t1= ，此后，弹簧将被压缩，以 x1、x2 分别表示弹簧两端的位置（P 和球壳右端的位置）弹簧的形变为：x=R﹣（x2﹣x1），以 a1、a2 分别表示 P 和球壳的加速度，由胡克定律与牛顿第二定律得：ma1=﹣x，ma2=x，解得：m（a1﹣a2）=﹣2x，两者的相对运动是简谐振动，周期为：T=2 ，从 P 开始与弹簧的左端接触，以后弹簧被压缩、恢复直到 P 刚要与弹簧分分离，这一过程所经历的时间为：t2= = ，从两物体相碰撞来看，从 P 开始与弹簧的左端接触，以后弹簧被压缩、恢复直到 P刚要与弹簧分离，因为是弹性碰撞，两物体质量相同，碰撞前后两者交换速度，即P 的速度变为 v2，球壳的速度变为 v1，P 相对球壳的速度大小仍为 v1﹣v2，但方向向左，所以从开始分离到回到小孔 C 时所经历的时间为：t3= ，所以从P进入C孔到由C孔出来所经历的时间：t=t1+t2+t3= + ；答：P 刚进入 C 孔到刚再由 C 孔出来所经历的时间为 + ．点评：本题研究的两体多过程问题，分析清楚物体的运动过程与运动性质，应用动量守恒定律、能量守恒定律、简谐振动周期公式即可正确解题，本题难度较大．19/ 19。
第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷及答案(大连理工)(1)
第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷及答案（大连理工）(1)第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷（全国中学生物理竞赛委员会及大连理工大学物理系）本卷共八题，满分160分后。
计算题的求解应允写下必要的文字说明、方程式和关键的编程语言步骤。
只写下最后结果的无法罚球。
存有数字排序的题，答案中必须明晰写下数值和单位。
填空题把答案填上在题中的横线上，只要得出结果，不须要写下解的过程。
一、填空题．（本题共4小题，共25分）1．图1右图的电阻丝网络，每一小段电阻同为r，两个端点a、罚球评卷核查b间耦合电阻r1=。
若在图1网络中再导入3段横电阻丝，每一段电阻也为r，如图2所示，此时a、b间等效电阻r2=。
2．右图为开尔文滴水起电机示意图。
从三通管左右两管口构成的水滴分别沿着铝筒a1、a2后滴进铝杯b1、b2，当几滴了一段时间后，原均不磁铁的两铝杯间可以存有几千条叶的电势差。
先行分析其原理。
图中铝筒a1用导线与铝杯b2相连；铝筒a2用导线与b1相连。
3．受迫振动的稳定状态由下式给出x?acos(?t??)，a?h(?02??2)2?4?2?2，??arctanh。
其中，而hcos(?t)为胁迫力，h?22m?0??2m，其中??dx是阻尼力。
有一偏车轮的汽车上有两个弹簧测力计，其中一条的固有dt'振动角频率为?0?39.2727s?1，另外一条的固有振动角频率为?0?78.5454s?1，在汽车运行的过程中，司机看见两条弹簧的振动幅度之比是7。
设立?为小量，排序中可以省略，未知汽车轮子的直径为1m，则汽车的运转速度为。
4．核潜艇中u238核的半衰期为4.5?109年，衰变中有0.7%的概率成为u234核，同时放出一个高能光子，这些光子中的93%被潜艇钢板吸收。
1981年，前苏联编号u137的核潜艇透射到艇外的高能光子被距核源（处理为点状）1.5m处的探测仪测得。
仪器正入射面积为22cm2，效率为0.25%（每400个入射光子可产生一个脉冲讯号），每小时测得125个讯号。
第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案word解析版
第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷与答案本卷共16题，满分200分.一、选择题.本题共5小题，每小题6分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.1. 下列说法正确的是：A.一束单色光从真空射入 时，在玻璃表面处发生折射现象，这与光在玻璃中的传播速度不同于在真空中的传播速度有关B.白纸上有两个非常靠近的小黑斑，实际上是分开的，没有重叠部分.但通过某一显微镜所成的象却是两个连在一起的没有分开的光斑，这与光的衍射现象有关C.雨后虹的形成与光的全反射现象有关D.老年人眼睛常变为远视眼，这时近处物体通过眼睛所成的像在视网膜的前方（瞳孔与视网膜之间），故看不清2. 图中A 、B 是两块金属板，分别与高压直流电源的正负极相连.一个电荷量为q 、质量为m 的带正电的点电荷自贴近A 板处静止释放（不计重力作用）.已知当A 、B 两板平行、两板的面积很大且两板间的距离较小时，它刚到达B 板时的速度为u 0，在下列情况下以u 表示点电荷刚到达B 板时的速度A. 若A 、B 两板不平行，则u< u 0B.若A 板面积很小，B 板面积很大，则u< u 0C.若A 、B 两板间的距离很大，则u< u 0D.不论A 、B 两板是否平行、两板面积大小及两板间距离多少，u 都等于 u 03. α粒子和β粒子都沿垂直于磁场的方向射入同一均匀磁场中，发现这两种粒子沿相同半径的圆轨道运动.若α粒子的质量是m 1，β粒子的质量是m2，则α粒子与β粒子的动能之比是A. m 2m 1B. m 1m 2C. m 14m 2D. 4m 2m 14. 由玻尔理论可知，当氢原子中的核外电子由一个轨道跃迁到另一轨道时，有可能A. 发射出光子，电子的动能减少，原子的势能减少B. 发射出光子，电子的动能增加，原子的势能减少C. 吸收光子，电子的动能减少，原子的势能增加D. 吸收光子，电子的动能增加，原子的势能减少5. 图示两条虚线之间为一光学元件所在处，AB 为其主光轴.P 是一点光源，其傍轴光线通过此光学元件成像于Q 点.该光学元件可能是A.薄凸透镜B.薄凹透镜C.凸球面镜D.凹球面镜二、填空题和作图题.只要给出结果，不需写出求得结果的过程.6. （8分）国际上已规定133Cs 原子的频率f=9192631770Hz （没有误差）.这样，秒的定义________________.国际上已规定一个公认的光速值c=299792458m/s （没有误差）.长度单位由时间单位导出，则米定义为_____________________________.7.（8分）质量为m1的小滑块，沿一倾角为θ的光滑斜面滑下，斜面质量为m2，置于光滑的水平桌面上.设重力加速度为g，斜面在水平桌面上运动的加速度的大小为_____________________________8.（8分）一线光源，已知它发出的光包含三种不同频率的可见光，若要使它通过三棱镜分光，最后能在屏上看到这三种不同频率的光的谱线，则除了光源、三棱镜和屏外，必须的器件至少还应有______________.其中一个的位置应在______________和______________之间，另一个的位置应在______________和______________之间.9.（12分）如图所示，A为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B和C.A、B、C的质量分别为m、5m、m.B、C与A之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数皆为0.10，K为轻滑轮，绕过轻滑轮连接B和C的轻细绳都处于水平位置.现用水平方向的恒定外力F拉滑轮，使A的加速度等于0.20g，g为重力加速度.在这种情况时，B、A之间沿水平方向的作用力的大小等于_____________，C、A之间沿水平方向的作用力的大小等于_____________，外力F的大小等于_______________.10.（14分）i.在做“把电流表改装成电压表”的实验中，必须测出电流表的内阻和用标准电压表对改装成的电压表进行校准.某同学对图示的器材进行了连线，使所连成的电路只要控制单刀双掷开关的刀位和调节电阻箱及变阻器，不需改动连线，就能：（1）在与电阻箱断路的条件下测出电流表的内阻；（2）对改装成的电压表所有的刻度进行校准.试在图中画出该同学的全部连线.ii.有一块横截面为矩形的长板，长度在81cm与82cm之间，宽度在5cm与6cm之间，厚度在1cm与2cm之间.现用直尺（最小刻度为mm）、卡尺（游标为50分度）和千分尺（螺旋测微器）去测量此板的长度、宽度和厚度，要求测出后的最后一位有效数字是估读的.试设想一组可能的数据天灾下面的空格处.板的长度_______________cm，板的宽度_______________cm，板的厚度_______________cm，三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位.11.（20分）在水平地面某处，以相同的速率v0用不同的抛射角分别抛射两个小球A和B，它们的射程相同.已知小球A在空中运行的时间为T A，求小球B在空中运行的时间T B.重力加速度大小为g，不考虑空气阻力.12.（20分）从地球上看太阳时，对太阳直径的张角θ=53°.取地球表面上纬度为1°的长度l=110km，地球表面处的重力加速度g=10m/s2，地球公转的周期T=365天.试仅用以上数据计算地球和太阳密度之比.假设太阳和地球都是质量均匀分布的球体.13. （16分）一个用电阻丝绕成的线圈，浸没在量热器所盛的油中，油的温度为0℃.当线圈两端加上一定的电压后，油温渐渐上升.0℃时温度升高的速率为5.0K ·min -1，持续一段时间后，油温上升到30℃，此时温度升高的速率变为4.5K ·min -1，这是因为线圈的电阻与温度有关.设温度为θ℃时线圈的电阻为R θ，温度为0℃时线圈的电阻为R 0，则有R θ= R 0 (1+αθ)，α称为电阻的温度系数.试求此线圈电阻的温度系数.假设量热器及其中的油以及线圈所构成的系统温度升高的速率与该系统吸收热量的速率（即单位时间内吸收的热量）成正比；对油加热过程中加在线圈两端的电压恒定不变；系统损失的热量可忽略不计.14. （18分）如图所示，一摩尔理想气体，由压强与体积关系的p-V 图中的状态A 出发，经过一缓慢的直线过程到达状态B ，已知状态B 的压强与状态A 的压强之比为12，若要使整个过程的最终结果是气体从外界吸收了热量，则状态B 与状态A 的体积之比应满足什么条件？已知此理想气体每摩尔的内能为32RT ，R 为普适气体常量，T 为热力学温度.15. （23分）如图所示，匝数为N 1的原线圈和在数为N 2的副线圈绕在同一闭合的铁心上，副线圈两端与电阻R 相联，原线圈两端与平行金属导轨相联.两轨之间的距离为L ，其电阻可不计.在虚线的左侧，存在方向与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B . pq 是一质量为m 电阻为r 与导轨垂直放置的金属杆，它可在导轨上沿与导轨平行的方向无摩擦地滑动.假设在任何同一时刻通过线圈每一匝的磁通都相同，两个线圈的电阻、铁心中包括涡流在内的各种损耗都忽略不计，且变压器中的电磁场完全限制在变压器铁心中.现于t=0时开始施一外力，使杆从静止出发以恒定的加速度a 向左运动.不考虑连接导线的自感.若已知在某时刻t 时原线圈中电流的大小I 1，i.求此时刻外力的功率ii.此功率转化为哪些其他形式的功率或能量变化率？试分别求出它们的大小.16. （23分）如图所示，一质量为m 半径为R 的由绝缘材料制成的薄球壳，均匀带正电，电荷量为Q ，球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光滑水平面上.球壳内部有一劲度系数为η的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处于水平位置，其一端与球壳内壁固连，另一端恰位于球心处，球壳上开有一小孔C ，小孔位于过球心的水平线上.在此水平线上离球壳很远的O 处有一质量也为m 电荷量也为Q 的带正电的点电荷P ，它以足够大的初速v 0沿水平的OC 方向开始运动.并知P 能通过小孔C 进入球壳内，不考虑重力和底座的影响.已知静电力常量k .求P 刚进入C 孔到刚再由C 孔出来所经历的时间.17.18.19.20.21.22.。
2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案解析
2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案解析2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案解析无锡市第一中学 魏熙锴一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g .参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v 分解成纬线切向 (水平方向)分量ϕv 及经线切向分量θv .设滑块质量为，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O的连线与水平方向的夹角为θ. 由机械能守恒得2220111sin 222m mgR m m ϕθθ=−++v v v (1) 这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cos m R m R ϕθ=v v .(2)由 (1) 式，最大速率应与θ的最大值相对应max max ()θ=v v . (3)而由 (2) 式，不可能达到. 由(1)和(2)式，的最大值应与0θ=v 相对应，即max ()0θθ=v . (4) [(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得 22202sin tan 0gR θθθ−=≥v v .若sin 0θ≠，由上式得22sin 2cos gR θθ≤v .实际上，sin =0θ也满足上式。
由上式可知 max 22max 0sin 2cos gRθθ=v .由(3)式有222max max 0max ()2sin tan 0gR θθθθ=−=v v .(4’)]2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案解析将max ()0θθ=v 代入式(1)，并与式(2)联立，得()2220max max max sin 2sin 1sin 0gR θθθ−−=v .(5)以max sin θ为未知量，方程(5)的一个根是，即，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解. 于是max sin 0θ≠. 约去max sin θ，方程(5)变为 22max 0max 2sin sin 20gR gR θθ+−=v .(6)其解为20maxsin 14gR θ =−v .(7)注意到本题中sin 0θ≥，方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式 代入(1)式得，当max θθ=时，(22012ϕ+v v , (8)考虑到(4)式有max ==v (9)评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式1分，(4) 式3分， (5) 式1分，(6) 式1分，(7) 式1分， (9) 式2分. 评析：首先，肯定可以知道牛顿第二定律很难完成本题的任务。
第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答和评分标准
第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上。
一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v 0（v 0≠0）。
求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率。
重力加速度大小为g 。
参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v 分解成纬线切向 （水平方向）分量ϕv 及经线切向分量θv . 设滑块质量为m ，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O 的连线与水平方向的夹角为θ. 由机械能守恒得2220111sin 222m mgR m m ϕθθ=-++v v v （1） 这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cos m R m R ϕθ=v v . （2）由 （1） 式，最大速率应与θ的最大值相对应max max ()θ=v v . （3）而由 （2） 式，q 不可能达到π2. 由（1）和（2）式，q 的最大值应与0θ=v 相对应，即 max ()0θθ=v .（4） [（4）式也可用下述方法得到：由 （1）、（2） 式得22202sin tan 0gR θθθ-=≥v v .若sin 0θ≠，由上式得22sin 2cos gRθθ≤v .实际上，sin =0θ也满足上式。
由上式可知max 22max 0sin 2cos gRθθ=v .由（3）式有222max max 0max ()2sin tan 0gR θθθθ=-=v v . （4’） ]将max ()0θθ=v 代入式（1），并与式（2）联立，得()2220max max max sin 2sin 1sin 0gR θθθ--=v .（5）以max sin θ为未知量，方程（5）的一个根是sin q =0，即q =0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解. 于是max sin 0θ≠. 约去max sin θ，方程（5）变为 22max 0max 2sin sin 20gR gR θθ+-=v .（6）其解为20max sin 14gR θ⎫=⎪⎪⎭v . （7）注意到本题中sin 0θ≥，方程（6）的另一解不合题意，舍去. 将（7）式代入（1）式得，当max θθ=时，(22012ϕ=v v , （8）考虑到（4）式有max ==v （9）评分标准：本题15分。
高中物理竞赛复赛模拟卷答案与分析
高中物理竞赛复赛模拟卷（一）答案与分析第一题（20分）解析：设系统的质心为O ，可先研究质量为m 1的质点1，它将受到其它各质点的引力：)(1232121r r am Gm F -=； 1331313()Gm m F r r a =-u r r r (1113)()N N N Gm m F r r a =-u r r r上列各式中，),2,1(N i r i Λ=为各质点对质心O 位置的矢径。
则质点1所受合力为])([1212211311r m m m r m r m r m a Gm F N N N +++-+++=∑ΛΛ 由于O 为质心，系统不受外力，故∑=011rm ，则有131121311])([r aMGm r m m m a Gm F N =+++-=∑Λ。
若设矢量1r 的大小为ka r =1，那么质点1所受其它质点引力的合力大小为2131311r Mk Gm ka a M Gm F ==∑ 质点1所受各质点引力的合力等效于质量为M k 3的质点对它发生的引力，1在这个平方反比作用下，在以O 为1个焦点，以r/2为长半轴，而短半轴为零的“椭圆轨道”运动，初始位置为“远地点”，经半个周期，到达“近地点”O 。
对于其它各质点，情况相同，故相遇时所经历的时间为GMa M Gk ka T t 8)2(2333ππ=== 第二题（25分）解析：1．右端封闭后，随着水银柱的振荡，被封闭的空气经历绝热膨胀或绝热压缩过程；封闭端的空气与外界空气对水银柱压强差提供水银柱作微小振动的回复力，本题关注回复力的构成及所循规律。
如图所示，A 、B 、C 分别表示水银柱处于平衡位置，达到振幅位置时和有一任意小位移y 时的3个状态。
建立如图坐标，设水银柱位移为y 时，封闭气体的压强为y p ，U 形管横截面积为S ，水银柱的总质量为m ，水银的密度为ρ。
对被封闭气体的A 、C 状态由泊松方程可知：γγ])[()(0S y L p LS p y +=其中00gh p ρ=得00]1)[(p yL L p p y -+=-γ由于L y <<，上式可近似为0000[(1)1](11)y h y yp p p p gh LL Lγγγρ-=--=--=-。
全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案
第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g .参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v 分解成纬线切向 (水平方向)分量ϕv 及经线切向分量θv . 设滑块质量为m ，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O 的连线与水平方向的夹角为θ. 由机械能守恒得2220111sin 222m mgR m m ϕθθ=-++v v v (1) 这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cos m R m R ϕθ=v v .(2)由 (1) 式，最大速率应与θ的最大值相对应max max ()θ=v v . (3)而由 (2) 式，q 不可能达到π2. 由(1)和(2)式，q 的最大值应与0θ=v 相对应，即max ()0θθ=v . (4) [(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得 22202sin tan 0gR θθθ-=≥v v .若sin 0θ≠，由上式得22sin 2cos gRθθ≤v .实际上，sin =0θ也满足上式。
由上式可知 max 22max 0sin 2cos gRθθ=v .由(3)式有222max max 0max ()2sin tan0gR θθθθ=-=v v .(4’)]将max ()0θθ=v 代入式(1)，并与式(2)联立，得()2220max max max sin 2sin 1sin 0gR θθθ--=v .(5)以max sin θ为未知量，方程(5)的一个根是sin q=0，即q =0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解. 于是max sin 0θ≠. 约去max sin θ，方程(5)变为 22max 0max 2sin sin 20gR gR θθ+-=v .(6)其解为20maxsin 14gR θ⎫=⎪⎪⎭v .(7)注意到本题中sin 0θ≥，方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式代入(1)式得，当max θθ=时，(22012ϕ=+v v , (8)考虑到(4)式有max ==v (9)评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式1分，(4) 式3分， (5) 式1分，(6) 式1分，(7) 式1分， (9) 式2分.二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处.1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.参考解答：1. 由于碰撞时间t ∆很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A 、C 、D 的速度分别为A v 、C v 、D v ，显然有D C 2l r =v v .(1)以A 、B 、C 、D 为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒D C A 0222m l m r m l m l ++=v v v v .(2)由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间t ∆很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故2222D C A 011112222m m m m ++=v v v v . (3)由 (1)、(2)、(3) 式解得2200022222248,,888C D A lr l r l r l r l r===-+++v v v v v v (4)[代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点0D A =-v v v .(3’)同样可解出(4). ]设碰撞过程中D 对A 的作用力为1F '，对A 用动量定理有221A 0022428l r F t m m m l r+'∆=-=-+v v v ,(5)方向与0v 方向相反. 于是，A 对D 的作用力为1F 的冲量为221022428l r F t m l r+∆=+v (6)方向与0v 方向相同.以B 、C 、D 为系统，设其质心离转轴的距离为x ，则22(2)2mr m l l r x m αα++==++.(7)质心在碰后瞬间的速度为C 0224(2)(2)(8)l l r x r l r α+==++v v v . (8)轴与杆的作用时间也为t ∆，设轴对杆的作用力为2F ，由质心运动定理有 ()210224(2)28l l r F t F t m m l rα+∆+∆=+=+v v . (9)由此得2022(2)28r l r F t m l r -∆=+v . (10)方向与0v 方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为2022(2)28r l r F t m l r-'∆=-+v , (11)方向与0v 方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.[代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理21C D F t F t m m ∆+∆=+v v . ][也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. ]2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块C 以速度02248C lrl r =+v v 绕过B 的轴做匀速圆周运动的向心力，即()222C 022216(8)l r k r m m r l r -==+ v v(12) 则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件0=v (13)可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A 的速度大小0v 应满足(13)式.评分标准：本题20分.第1问16分，(1)式1分， (2) 式2分，(3) 式2分，(4) 式2分， (5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分，(9) 式2分，(10) 式1分，(11) 式1分； 第2问4分，(12) 式2分，(13) 式2分.三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令mLλ=表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为k E k L αβγλω=式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值.2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值.3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g .提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为d (())d d d d d Y X t Y Xt X t=例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为dcos ()dcos d d d d t t tθθθθ=参考解答：1. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其动能是独立变量λ、ω和L 的函数，按题意 可表示为k E k L αβγλω= (1)式中，k 为待定常数（单位为1）. 令长度、质量和时间的单位分别为[]L 、[]M 和[]T （它们可视为相互独立的基本单位），则λ、ω、L 和k E 的单位分别为1122[][][],[][],[][],[][][][]k M L T L L E M L T λω---==== (2)在一般情形下，若[]q 表示物理量q 的单位，则物理量q 可写为()[]q q q = (3) 式中，()q 表示物理量q 在取单位[]q 时的数值. 这样，(1) 式可写为()[]()()()[][][]k k E E k L L αβγαβγλωλω= (4) 在由(2)表示的同一单位制下，上式即()()()()k E k L αβγλω= (5) [][][][]k E L αβγλω= (6) 将 (2)中第四 式代入 (6) 式得22[][][][][][]M L T M L T αγαβ---= (7)(2)式并未规定基本单位[]L 、[]M 和[]T 的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的[]L 、[]M 和[]T 均成立，于是1,2,3αβγ=== (8) 所以23k E k L λω= (9) 2. 由题意，杆的动能为,c ,r k k k E E E =+ (10) 其中，22,cc 11()222k L E m L λω⎛⎫== ⎪⎝⎭v (11) 注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为2L的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能,r k E 为 32,r 2(,,)222k k L L E E k λωλω⎛⎫== ⎪⎝⎭(12)将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得 2323212222L L k L L k λωλωλω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(13)由此解得 16k = (14)于是E k =16lw 2L 3. (15) 3. 以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒sin 2k L E mg θ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (16) 由(15)、(16)式得w =以在杆上距O 点为r 处的横截面外侧长为()L r -的那一段为研究对象，该段质量为()L r λ-，其质心速度为22c L r L rr ωω-+⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭v . (18) 设另一段对该段的切向力为T (以θ增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为N (以指向O 点方向为正向)，由质心运动定理得()()cos t T L r g L r a λθλ+-=- (19)()()sin n N L r g L r a λθλ--=- (20)式中，t a 为质心的切向加速度的大小()3cos d d d d d 2d 2d dt 4ct L r g L r L r a t t Lθωωθθ+'++====v (21) 而n a 为质心的法向加速度的大小()23sin 22n L r g L r a Lθω++==. (22) 由(19)、(20)、(21)、(22)式解得 ()()23cos 4L r r L T mg L θ--= (23)()()253sin 2L r L r N mg L θ-+=(24)评分标准：本题25分.第1问5分， (2) 式1分， (6) 式2分，(7) 式1分，(8) 式1分；第2问7分， (10) 式1分，(11) 式2分，(12) 式2分， (14) 式2分；不依赖第1问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分；第3问13分，(16) 式1分，(17) 式1分，(18) 式1分，(19) 式2分，(20) 式2分，(21) 式2分，(22) 式2分，(23) 式1分，(24) 式1分；不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .参考解答：设在某一时刻球壳形容器的电量为Q . 以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器 G 出口自由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有2122Qq Qqmgh km mgR kh R R+=++-v . (1)式中，v 为液滴在容器口的速率，k 是静电力常量. 由此得液滴的动能为21(2)(2)2()Qq h R m mg h R k h R R-=---v . (2)从上式可以看出，随着容器电量Q 的增加，落下的液滴在容器口的速率v 不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势. 设容器的最大电量为max Q ，则有max (2)(2)0()Q q h R mg h R kh R R---=-.(3)由此得max ()mg h R RQ kq-=.(4)容器的最高电势为maxmax Q V kR= (5) 由(4) 和 (5)式得max ()mg h R V q-=(6)评分标准：本题20分. (1)式6分， (2) 式2分，(3) 式4分，(4) 式2分， (5) 式3分，(6) 式3分.五、（25分）平行板电容器两极板分别位于2dz =±的平面内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B ，方向沿x 轴负方向，如图所示.1. 在电容器参考系S 中只存在磁场；而在以沿y 轴正方向的恒定速度(0,,0)v （这里(0,,0)v 表示为沿x 、y 、z 轴正方向的速度分量分别为0、v 、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S '中，可能既有电场(,,)xy z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''. 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S '中电场(,,)x y z E E E '''和磁场(,,)x y z B B B '''的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.2. 现在让介电常数为ε的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v ，方向沿y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S '中，由于液体处在第1问所述的电场(,,)xy z E E E '''中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(,,)xy z E E E '''，而是0(,,)x y zE E E εε'''，这里0ε是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系S 中电场不再为零. 试求电容器参考系S 中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用0ε、ε、v 、B 或（和）d 表出. ）参考解答：1. 一个带电量为q 的点电荷在电容器参考系S 中的速度为(,,)x y z u u u ，在运动的参考系S '中的速度为(,,)x y z u u u '''. 在参考系S 中只存在磁场(,,)(,0,0)x y z B B B B =-，因此这个点电荷在参考系S 中所受磁场的作用力为0,,x y z z y F F qu B F qu B==-= (1)在参考系S '中可能既有电场(,,)xy z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''，因此点电荷q 在S '参考系中所受电场和磁场的作用力的合力为(),(),()x x y z z y y yx z z x z z x y y x F q E u B u B F q E u B u B F q E u B u B '''''''=+-'''''''=-+'''''''=+- (2)两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为,(,,)(,,),(,,)(,,)(0,,0)x y z x y z x y z x y z q q F F F F F F u u u u u u '='''='''=-v (3)由(1)、 (2)、 (3)式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足()0,,()xy z z y yx z z x z z x yy x y E u B u B E u B u B u B E u B u B u B '''+--='''-+=-'''+--=v v (4)它们对于任意的(,,)x y z u u u 都成立，故(,,)(0,0,),(,,)(,0,0)xy z xy z E E E B B B B B '''='''=-v (5)可见两参考系中的磁场相同，但在运动的参考系S '中却出现了沿z 方向的匀强电场.2. 现在，电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度(0,,0)v 匀速运动. 电容器参考系S 中的磁场会在液体参考系S '中产生由(5)式中第一个方程给出的电场. 这个电场会把液体极化，使得液体中的电场为(,,)(0,0,)xy z E E E B εε'''=v . (6) 为了求出电容器参考系S 中的电场，我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参考系之间的变换，从液体参考系S '中的电场和磁场来确定电容器参考系S 中的电场和磁场. 考虑一带电量为q 的点电荷在两参考系中所受的电场和磁场的作用力. 在液体参考系S '中，这力(,,)x y z F F F '''如(2)式所示. 它在电容器参考系S 中的形式为(),(),()x x y z z y y y x z z x z z x y y x F q E u B u B F q E u B u B F q E u B u B =+-=-+=+- (7)利用两参考系中电荷、合力和速度的变换关系(3)以及(6)式，可得00,,()x y z z y y x z z x z z x y y x y E u B u B E u B u B u B BE u B u B u B εε+-=-+=-+-=+-v v (8)对于任意的(,,)x y z u u u 都成立，故(,,)(0,0,(1)),(,,)(,0,0)x y z x y z E E E B B B B B εε=-=-v (9) 可见，在电容器参考系S 中的磁场仍为原来的磁场，现由于运动液体的极化，也存在电场，电场强度如(9)中第一式所示.注意到(9)式所示的电场为均匀电场，由它产生的电容器上、下极板之间的电势差为z V E d =-.(10)由(9)式中第一式和(10)式得01V Bd εε⎛⎫=- ⎪⎝⎭v .(11)评分标准：本题25分.第1问12分， (1) 式1分， (2) 式3分， (3) 式3分，(4) 式3分，(5) 式2分；第2问13分， (6) 式1分，(7) 式3分，(8) 式3分， (9) 式2分， (10) 式2分，(11) 式2分.六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm 的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C ︒时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为51.010-⨯/度和52.010-⨯/度. 当温度升高到120C ︒时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. )参考解答：设弯成的圆弧半径为r ，金属片原长为l ，圆弧所对的圆心角为φ，钢和青铜的线膨胀系数分别为1α和2α，钢片和青铜片温度由120C T =︒升高到2120C T =︒时的伸长量分别为1l ∆和2l ∆. 对于钢片1()2dr l l φ-=+∆ (1) 1121()l l T T α∆=- (2) 式中，0.20 mm d =. 对于青铜片2()2dr l l φ+=+∆ (3) 2221()l l T T α∆=- (4) 联立以上各式得 2122121212()()2.010 mm 2()()T T r d T T αααα++-==⨯-- (5)评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式3分，(4) 式3分， (5) 式3分.七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为θ，高为h . 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz 平面平行，上表面与yz 平面平行. 劈尖介质的折射率n 随x 而变化，()1n x bx =+，其中常数0b >. 一束波长为λ的单色平行光沿x 轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z 方向平行、沿y 方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x 轴垂直，透镜主光轴为x 轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于y =0处；物和像之间各光线的光程相等.1. 求其余各狭缝的y 坐标；2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.图(a) 图(b) 参考解答：1. 考虑射到劈尖上某y 值处的光线，计算该光线由0x =到x h =之间的光程()y δ. 将该光线在介质中的光程记为1δ，在空气中的光程记为2δ. 介质的折射率是不均匀的，光入射到介质表面时，在0x = 处，该处介质的折射率()01n =；射到x 处时，该处介质的折射率()1n x bx =+. 因折射率随x线性增加，光线从0x =处射到1x h =（1h 是劈尖上y 值处光线在劈尖中传播的距离）处的光程1δ与光通过折射率等于平均折射率()()()1111110111222n n n h bh bh =+=++=+⎡⎤⎣⎦ (1) 的均匀介质的光程相同，即2111112nh h bh δ==+ (2)hx忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线（事实上，可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避开这些光线的影响），光线透过劈尖后其传播方向保持不变，因而有21h h δ=- (3)于是()212112y h bh δδδ=+=+. (4)由几何关系有 1tan h y θ=. (5)故()22tan 2b y h y δθ=+. (6)从介质出来的光经过狭缝后仍平行于x 轴，狭缝的y 值应与对应介质的y 值相同，这些平行光线会聚在透镜焦点处.对于0y =处，由上式得d 0()=h . (7)y 处与0y =处的光线的光程差为()()220tan 2b y y δδθ-=. (8) 由于物像之间各光线的光程相等，故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不变；因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强，要求两束光的光程差为波长的整数倍，即22tan ,1,2,3,2b y k k θλ== . (9) 由此得y A θθ==. (10) 除了位于y =0处的狭缝外，其余各狭缝对应的y 坐标依次为,,,,A . (11)2. 各束光在焦点处彼此加强，并不要求(11)中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求. 事实上，若依次取,4,9,k m m m = ，其中m 为任意正整数，则49,,,m m m y y y === . (12)，光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 评分标准：本题20分.第1问16分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式1分，(4) 式1分，(5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分， (9) 式2分， (10) 式1分，(11) 式2分； 第2问4分，(12) 式4分（只要给出任意一种正确的答案，就给这4分）.八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为e m ，真空中的光速为 c . 若能量为e E 的电子与能量为E γ的光子相向对碰，1. 求散射后光子的能量；2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光子能量为2.00 e V ，电子能量为 1.00´109 eV ，求散射后光子的能量. 已知 m e =0.511´106 eV /c 2. 计算中有必要时可利用近似：如果1x <<»1-12x .参考解答：1. 设碰撞前电子、光子的动量分别为e p （0e p >）、p γ（0p γ<），碰撞后电子、光子的能量、动量分别为,,,ee E p E p γγ''''. 由能量守恒有E e +E g =¢E e +¢E g .(1)由动量守恒有cos cos ,sin sin .e eep p p p p p γγγαθαθ''+=+''=.(2)式中，α和θ分别是散射后的电子和光子相对于碰撞前电子的夹角. 光子的能量和动量满足E g =p g c ,¢E g =¢p g c .(3)电子的能量和动量满足22224e e e E p c m c -=，22224e e e E p c m c ''-= (4)由(1)、(2)、(3)、(4)式解得e E E E γγ+'=(5)[由(2)式得22222()2()cos ee e p c p c p c p c p c p c p c γγγγθ'''=++-+此即动量p '、ep '和e p p γ+满足三角形法则. 将(3)、(4)式代入上式，并利用(1)式，得22(2)()22cos 2e e e E E E E E E E E E E E γγγγγγγγθθ''+-+=+--此即(5)式. ]当0θ→时有e E E E γγ+'=(6)2. 为使能量从电子转移到光子，要求¢E g >E g . 由(5)式可见，需有E E γγ'-=>此即E γ 或 e p p γ>(7)注意已设p e >0、p g <0.3. 由于2e e E m c >>和e E E γ>>，因而e p p p γγ+>>，由(5)式可知p p γγ'>>，因此有0θ≈. 又242e e e m cE E -.(8)将(8)式代入(6)式得¢E g »2E e E g2E g +m e2c 42E e. (9)代入数据，得 ¢E g »29.7´106eV .(10)评分标准：本题20分.第1问10分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式2分，(4) 式2分，(5) 或(6)式2分； 第2问5分，(7) 式5分；第3问5分，(8) 式2分， (9) 式1分， (10) 式2分.。
第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案
2013年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答命题人 蔡子星一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。
他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费劲。
下面我们给出一种设计。
AB 、CD 、AD 是三根相互铰接的轻杆，AB CD 2.0m ==，AD 0.5m =。
这样就能保证架子上的东西不会掉下来。
但是考虑到负重分别加在D 点和CD 中点O 点110kg P =，220kg P =，直接把床推上放下会比较费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸到花花草草也不好。
为了解决这个问题，我们在AB 杆上距离A 点0.5m 处的M 点连一根原长可以忽略的弹簧到D 点。
这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。
10N/kg g =（1） 为了尽量省力，弹簧的经度系数k 应当为多少？（2） 当床与墙面夹角30θ=︒时，请计算AD 杆上的受力。
【解答】（1）如果势能处处恒定则无需外力。
令 2.0m AB l ==，0.5m AD AM a ===由余弦定理22222cos DM a a a θ=+-（1分）重力势能112cos cos 2p lE Pl P θθ=+ （2分）弹性势能222211(22cos )22p E k DM k a a θ==-（2分） 要求总势能为常数，则有212()cos 2lPl P ka θ+-为常数，于是 12-1221600Nm lPgl P g k a+== （5分） 注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分（2）由于AD 是轻杆，且只在两端受力，所以受力沿杆，设为N对于AB 杆，以B 为支点，由合外力矩等于03sin sin AMD 04lNl k DMθ-∠= （4分） AMD ∆中由正弦定理sin AMD sin AD DMθ∠= （2分）代入力矩方程有3sin sin 04lNl kaθθ-= 由此得到 600N N = （4分） 注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。
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【解答】
假设电流为
则磁通量为
（2分）
电动势为
（3分）
圆环电阻为
（2分）
若忽略电感应，则感应电流为
安培力平均值向上为正
（3分）
因而忽略电感导致不可以悬浮，因而不可忽略（2分）
（1）为了尽量省力，弹簧的经度系数 应当为多少？
（2）当床与墙面夹角 时，请计算AD杆上的受力。
【解答】
（1）如果势能处处恒定则无需外力。令 ，
由余弦定理 （1分）
重力势能
（2分）
弹性势能
（2分）
要求总势能为常数，则有 为常数，于是
（5分）
注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分
（2）由于 是轻杆，且只在两端受力，所以受力沿杆，设为
代入 、 的解，得到两个实像大小比值为
（2分）
（2）需要使得上式有意义，需要根号内大于0
于是有
（4分）
解法二:
如图假设小角度入射，如图假设各个角度
由傍轴近似
； ；（2分）
由平面几何，第一次折射角和第二次入射角相等，均为 ，因而第一次入射角和第二次折射角均为 。由三角形外角等于两内角和
； ；（2分）
由折射定律及傍轴近似
（2）假设漏出气体的过程中，压强差做的功全部转换为气体的动能，问气体全部漏出的过程中箱子一共可以获得多少动量？
提示：理想气体绝热方程为 ，
【解答】
对于还没有喷出的气体而言，它经历了准静态绝热膨胀过程。
初态 ，末态体积为 ，由绝热方程：
（4分）
代入理想气体状态方程，末态温度
（4分）
（2）假设经过一小段时间过程，有 摩尔的气体被推出。
2013年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答
命题人蔡子星
一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。
AB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆， ， 。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到负重分别加在D点和CD中点O点 ， ，直接把床推上放下会比较费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸到花花草草也不好。为了解决这个问题，我们在AB杆上距离A点 处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。
（2分）
在中间的三角形中：
(2分)
代入以上各式，只用 和 、 表示，整理得到：
；
；
（4分）
又
所以
（2分）
以下同解法一
三、(23分)如图所示，一个半径为 的匀质薄壁圆筒，质量为 ，被轴承限制只能绕着其中心轴旋转。一根长为 的不可伸长的细绳一端系在圆筒上，另一端连接一个质量 的质点，开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为 的冲量。
提示：已知如左下图的RC电路，从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为：
【解答】
等效电路如图所示，可见电流只在 - - - 回路中流动。
假设系统存在稳态，则电容电量为常数，因而电阻上电流为0，则 输入电压等于输出电压，这显然矛盾，因而系统不存在稳态。
不失一般性，电容初态电压为0，系统初态 ，因而
电路沿逆时针给电容充电（电阻 上电流从下向上为正，电容电量 右边记为正）
试计算说明，求当绳子与接触点法线夹角是否能到达 ，如果可以求出圆筒相对地面的角速度，如果不可以说明理由。
【解答】
如图，在任意时刻，令接触点 的方向与 轴夹角为 ，令绳子 方向与 夹角
相对地面的速度为
（1分）
在以 为参照的平动系中（即 为原点，且坐标轴方向不变的参照系，想象一下在摩天轮车厢里面的人）， 相对 的速度
（1）我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计， 的基态和第一激发态之间的能级差为多少？用电子伏特做单位表示。
（2）计算上一问中，基态 的速度为多少？如果考虑相对论效应，会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少？
（3）原子核的质量为 ，如果考虑到原子核质量并非远大于 质量，则玻尔量子化改为体系总角动量（不计自旋）量子化。考虑这个效应，基态能量变化百分比为多少？
注2：对于题设情景，可以计算绳子拉力，发现一直大于0，所以绳子不会软。
注3：保留 形式不变，可以得到 时， 只有一个解为0；即此时相对角速度反向，也就是说，相对转角最大为 。
四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验：造一个大电磁铁，正上面放一个细铁环，半径为 ，横截面为一个半径为 的圆，电导率为 ，密度为 ，真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为 ， ，方向与竖直夹角 ，假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不变。在磁铁中通入如下的正弦交流电，频率均为 （很高），振幅大小为
【解答】
（1）由玻尔模型
（3分）
由向心力方程
（3分）
联立得到
总能量
基态与 第二激发态能量差代入即可
（3分）
（2）考虑相对论相应，质量变为 ；令
上述方程变为
（2分）
（2分）
于是
于是 （3分）
（3）由于质心不动
角动量
（4分）
向心加速度
（4分）
由此可见，只需把 换为 即可
代入数据发现相差 （2分）
对于 杆，以 为支点，由合外力矩等于0
（4分）
中由正弦定理
（2分）
代入力矩方程有
由此得到
（4分）
注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分
二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景，一个水球悬浮在空中，我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为 ，折射率为 。在计算中我们取傍轴近似（只计算小角度范围的光线成的像）
类比题目中的RC电路有，此过程历时 ，重复循环
因此得到方波信号周期等于 （只需得到此结果，过程无明显错误即给全分）
六、(22分)在真空中有一个体积为 的绝热硬箱子，内部有压强为 温度为 的理想气体。摩尔质量为 ，定容摩尔比热为 。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。
（1）当气体漏出一半时候，箱子内温度为多少？
当 时候，门反向，进入I
I门反向，此时 ， ，由于电容上电量不突变，所以
因而电路沿顺时针给电容反向充电，新充入电量为
；即
不断上升，到达 时， 时，门反向，进入II
类比题目中的RC电路有，此过程历时
II门再次反向，此时 ， ，由于电容上电量不突变，所以
因而电路沿逆时针给电容正向充电，新冲入电量为
；即
不断上升，到达 时， 时，门反向，进入I
(4分)
所以 对地面速度为 和 的矢量和(1分)
由能量守恒，其中使用了余弦定理
(6分)
由角动量守恒，其中使用了矢量叉乘定义
(6分)
为了计算方便，做无量纲化： ， 得到
代入 得到
；
（另一个解 ， 代表相对运动反向时的情景，未给出不扣分）
得到圆筒角速度： （5分）
注1：这个参照系中绳子与 轴转角为 ，因而角速度为 。若将由结果误写为 ，能量守恒和角动量守恒方程只要形式正确不重复扣分，但不给结果分。
利用感抗大小说明不扣分，不说明理由或者理由错误不给分。
保留电感，电路的方程可以写为
（3分）
令 ，代入得到
（2分）
其中利用辅助角公式 ，
于是安培力平均值
（2分）
由于悬浮合外力平均值等于0（利用积化和差公式）
（2分）
代入数值得到
（4分）
（作为估算，认为 ， 近似为 得到 ，同样给全分）
五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压大于 时，输出端相当于和地线之间短路；当输入端电压小于 时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压 。等效电路图如图所示。不同非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中 随着时间的变换关系。
（2分）
注1：如果最后系数计算的是0.64，且积分步骤是1积分到0.5，那么仅扣1分）.
注2：如果在地面系使用动能定理，将导致气体获得的动能在不同阶段不同，计算很难。
七、(26分)在诱导原子核衰变的时候，有会用到 （读作muon，中文缪子）代替原子中的一个电子。 除了质量比电子重207倍之外几乎没有别的区别。原子核核电荷数为 。电子质量 ，电子电量 ，普朗克常数
假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示，由于相机没有变焦，因而只能对物体前方距离为 处的物体能够清晰成像。
（1）随着球心到物体之间距离 的变化，将发现两次能清晰成像的位置 、 。求 ，以及两个实像大小的比值
（2） 应当满足什么条件才能观察到上述现象。
【解答】
解法一:
（1）设第一次成像物距为 ，像距为 ，设第二次成像物距为 ，像距为
（物在光心左为正，像在光心右为正）
由单球面成像公式
（1）（3分）
（2）（3分）
由平面几何
（3）（1分）
（4）（1分）
将（1）、（2）代入（3）消去 和 得到
再将（4）代入得到
于是
（6分）
按放大率定义
第一次成像放大率为
（1分）
由于光路可逆，第二成就和第一相比就是物象对调，因而第二次成像放大率为：
（1分）
这时内部的气体状态为
对外做功
只需求出 ，就能计算出做功了。
显然，我们知道绝热方程可以改写：
，代入理想气体状态方程：
为常数
我们可以把这里面初始的 看成剩余的 的那部分最开始占有的体积
得到 （4分）
对外做功 （4分）
在箱子系中，喷气体动量守恒，因而箱子获得动量 大小等于气体动量。由动能定理