第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案
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在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象,如果可以,估算出 的大小,如果不可以说明理由。(圆环的自感约为 ,需要计算说明是否可以忽略)
【解答】
假设电流为
则磁通量为
(2分)
电动势为
(3分)
圆环电阻为
(2分)
若忽略电感应,则感应电流为
安培力平均值向上为正
(3分)
因而忽略电感导致不可以悬浮,因而不可忽略(2分)
(2分)
在中间的三角形中:
(2分)
代入以上各式,只用 和 、 表示,整理得到:
;
;
(4分)
又
所以
(2分)
以下同解法一
三、(23分)如图所示,一个半径为 的匀质薄壁圆筒,质量为 ,被轴承限制只能绕着其中心轴旋转。一根长为 的不可伸长的细绳一端系在圆筒上,另一端连接一个质量 的质点,开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为 的冲量。
(1)我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计, 的基态和第一激发态之间的能级差为多少?用电子伏特做单位表示。
(2)计算上一问中,基态 的速度为多少?如果考虑相对论效应,会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少?
(3)原子核的质量为 ,如果考虑到原子核质量并非远大于 质量,则玻尔量子化改为体系总角动量(不计自旋)量子化。考虑这个效应,基态能量变化百分比为多少?
提示:已知如左下图的RC电路,从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为:
【解答】
等效电路如图所示,可见电流只在 - - - 回路中流动。
假设系统存在稳态,则电容电量为常数,因而电阻上电流为0,则 输入电压等于输出电压,这显然矛盾,因而系统不存在稳态。
不失一般性,电容初态电压为0,系统初态 ,因而
电路沿逆时针给电容充电(电阻 上电流从下向上为正,电容电量 右边记为正)
(2)假设漏出气体的过程中,压强差做的功全部转换为气体的动能,问气体全部漏出的过程中箱子一共可以获得多少动量?
提示:理想气体绝热方程为 ,
【解答】
对于还没有喷出的气体而言,它经历了准静态绝热膨胀过程。
初态 ,末态体积为 ,由绝热方程:
(4分)
代入理想气体状态方程,末态温度
(4分)
(2)假设经过一小段时间过程,有 摩尔的气体被推出。
注2:对于题设情景,可以计算绳子拉力,发现一直大于0,所以绳子不会软。
注3:保留 形式不变,可以得到 时, 只有一个解为0;即此时相对角速度反向,也就是说,相对转角最大为 。
四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验:造一个大电磁铁,正上面放一个细铁环,半径为 ,横截面为一个半径为 的圆,电导率为 ,密度为 ,真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为 , ,方向与竖直夹角 ,假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不变。在磁铁中通入如下的正弦交流电,频率均为 (很高),振幅大小为
2013年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答
命题人蔡子星
一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间,弄了一个立起来是储物架,放下来时床的家具。他设计得很精巧,使得在放下的过程中,架子是保持水平的,而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。
AB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆, , 。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到负重分别加在D点和CD中点O点 , ,直接把床推上放下会比较费力,而且容易砸到人,即使没有砸到人,砸到花花草草也不好。为了解决这个问题,我们在AB杆上距离A点 处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。
【解答】
(1)由玻尔模型
(3分)
由向心力方程
(3分)
联立得到
总能量
基态与 第二激发态能量差代入即可
(3分)
(2)考虑相对论相应,质量变为 ;令
上述方程变为
(2分)
(2分)
于是
于是 (3分)
(3)由于质心不动
角动量
(4分)
向心加速度
(4分)
由此可见,只需把 换为 即可
代入数据发现相差 (2分)
(2分)
注1:如果最后系数计算的是0.64,且积分步骤是1积分到0.5,那么仅扣1分).
注2:如果在地面系使用动能定理,将导致气体获得的动能在不同阶段不同,计算很难。
七、(26分)在诱导原子核衰变的时候,有会用到 (读作muon,中文缪子)代替原子中的一个电子。 除了质量比电子重207倍之外几乎没有别的区别。原子核核电荷数为 。电子质量 ,电子电量 ,普朗克常数
假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示,由于相机没有变焦,因而只能对物体前方距离为 处的物体能够清晰成像。
(1)随着球心到物体之间距离 的变化,将发现两次能清晰成像的位置 、 。求 ,以及两个实像大小的比值
(2) 应当满足什么条件才能观察到上述现象。
【解答】
解法一:
(1)设第一次成像物距为 ,像距为 ,设第二次成像物距为 ,像距为
对于 杆,以 为支点,由合外力矩等于0
(4分)
中由正弦定理
(2分)
代入力矩方程有
由此得到
(4分)
注:其它方法只要结果正确,过程无明显错误均给分
二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景,一个水球悬浮在空中,我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为 ,折射率为 。在计算中我们取傍轴近似(只计算小角度范围的光线成的像)
代入 、 的解,得到两个实像大小比值为
(2分)
(2)需要使得上式有意义,需要根号内大于0
于是有
(4分)
解法二:
如图假设小角度入射,如图假设各个角度
由傍轴近似
; ;(2分)
由平面几何,第一次折射角和第二次入射角相等,均为 ,因而第一次入射角和第二次折射角均为 。由三角形外角等于两内角和
; ;(2分)
由折射定律及傍轴近似
试计算说明,求当绳子与接触点法线夹角是否能到达 ,如果可以求出圆筒相对地面的角速度,如果不可以说明理由。
【解答】
如图,在任意时刻,令接触点 的方向与 轴夹角为 ,令绳子 方向与 夹角
相对地面的速度为
(1分)
在以 为参照的平动系中(即 为原点,且坐标轴方向不变的参照系,想象一下在摩天轮车厢里面的人), 相对 的速度
利用感抗大小说明不扣分,不说明理由或者理由错误不给分。
保留电感,电路的方程可以写为
(3分)
令 ,代入得到
(2分)
其中利用辅助角公式 ,
于是安培力平均值
(2分)
由于悬浮合外力平均值等于0(利用积化和差公式)
(2分)
代入数值得到
(4分)
(作为估算,认为 , 近似为 得到 ,同样给全分)
五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源:当输入端电压大于 时,输出端相当于和地线之间短路;当输入端电压小于 时,输出端相当于和地线之间有一个理想电压源,电源电压 。等效电路图如图所示。不同非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中 随着时间的变换关系。
类比题目中的RC电路有,此过程历时 ,重复循环
因此得到方波信号周期等于 (只需得到此结果,过程无明显错误即给全分)
六、(22分)在真空中有一个体积为 的绝热硬箱子,内部有压强为 温度为 的理想气体。摩尔质量为 ,定容摩尔比热为 。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。
(1)当气体漏出一半时候,箱子内温度为多少?
(4分)
所以 对地面速度为 和 的矢量和(1分)
由能量守恒,其中使用了余弦定理
(6分)
由角动量守恒,其中使用了矢量叉乘定义
(6分)
为了计算方便,做无量纲化: , 得到
代入 得到
;
(另一个解 , 代表相对运动反向时的情景,未给出不扣分)
得到圆筒角速度: (5分)
注1:这个参照系中绳子与 轴转角为 ,因而角速度为 。若将由结果误写为 ,能量守恒和角动量守恒方程只要形式正确不重复扣分,但不给结果分。
(1)为了尽量省力,弹簧的经度系数 应当为多少?
(2)当床与墙面夹角 时,请计算AD杆上的受力。
【解答】
(1)如果势能处处恒定则无需外力。令 ,
由余弦定理 (1分)
重力势能
(2分)
弹性势能
(2分)
要求总势能为常数,则有 为常数,于是
(5分)
注:其它方法只要结果正确,过程无明显错误均给分
(2)由于 是轻杆,且只在两端受力,所以受力沿杆,设为
这时内部的气体状态为
对外做功
只需求出 ,就能计算出做功了。
显然,我们知道绝热方程可以改写:
,代入理想气体状态方程:
为常数
我们可以把这里面初始的 看成剩余的 的那部分最开始占有的体积
得到 (4分)
对外做功 (4分)
在箱子系中,喷气体动量守恒,因而箱子获得动量 大小等于气体动量。由动能定理
(4分)
代入积分得到
当 时候,门反向,进入I
I门反向,此时 , ,由于电容上电量不突变,所以
因而电路沿顺时针给电容反向充电,新充入电量为
;即
不断上升,到达 时, 时,门反向,进入II
类比题目中的RC电路有,此过程历时
II门再次反向,此时 , ,由于电容上电量不突变,所以
因而电路沿逆时针给电容正向充电,新冲入电量为
;即
不断上升,到达 时, 时,门反向,进入I
(物在光心左为正,像在光心右为正)
由单球面成像公式
(1)(3分)
(2)(3分)
由平面几何
(3)(1分)
(4)(1分)
将(1)、(2)代入(3)消去 和 得到
再将(4)代入得到
于是
(6分)
按放大率定义
第一次成像放大率为
(1分)
由于光路可逆,第二成就和第一相比就是物象对调Hale Waihona Puke Baidu因而第二次成像放大率为:
(1分)
【解答】
假设电流为
则磁通量为
(2分)
电动势为
(3分)
圆环电阻为
(2分)
若忽略电感应,则感应电流为
安培力平均值向上为正
(3分)
因而忽略电感导致不可以悬浮,因而不可忽略(2分)
(2分)
在中间的三角形中:
(2分)
代入以上各式,只用 和 、 表示,整理得到:
;
;
(4分)
又
所以
(2分)
以下同解法一
三、(23分)如图所示,一个半径为 的匀质薄壁圆筒,质量为 ,被轴承限制只能绕着其中心轴旋转。一根长为 的不可伸长的细绳一端系在圆筒上,另一端连接一个质量 的质点,开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为 的冲量。
(1)我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计, 的基态和第一激发态之间的能级差为多少?用电子伏特做单位表示。
(2)计算上一问中,基态 的速度为多少?如果考虑相对论效应,会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少?
(3)原子核的质量为 ,如果考虑到原子核质量并非远大于 质量,则玻尔量子化改为体系总角动量(不计自旋)量子化。考虑这个效应,基态能量变化百分比为多少?
提示:已知如左下图的RC电路,从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为:
【解答】
等效电路如图所示,可见电流只在 - - - 回路中流动。
假设系统存在稳态,则电容电量为常数,因而电阻上电流为0,则 输入电压等于输出电压,这显然矛盾,因而系统不存在稳态。
不失一般性,电容初态电压为0,系统初态 ,因而
电路沿逆时针给电容充电(电阻 上电流从下向上为正,电容电量 右边记为正)
(2)假设漏出气体的过程中,压强差做的功全部转换为气体的动能,问气体全部漏出的过程中箱子一共可以获得多少动量?
提示:理想气体绝热方程为 ,
【解答】
对于还没有喷出的气体而言,它经历了准静态绝热膨胀过程。
初态 ,末态体积为 ,由绝热方程:
(4分)
代入理想气体状态方程,末态温度
(4分)
(2)假设经过一小段时间过程,有 摩尔的气体被推出。
注2:对于题设情景,可以计算绳子拉力,发现一直大于0,所以绳子不会软。
注3:保留 形式不变,可以得到 时, 只有一个解为0;即此时相对角速度反向,也就是说,相对转角最大为 。
四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验:造一个大电磁铁,正上面放一个细铁环,半径为 ,横截面为一个半径为 的圆,电导率为 ,密度为 ,真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为 , ,方向与竖直夹角 ,假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不变。在磁铁中通入如下的正弦交流电,频率均为 (很高),振幅大小为
2013年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答
命题人蔡子星
一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间,弄了一个立起来是储物架,放下来时床的家具。他设计得很精巧,使得在放下的过程中,架子是保持水平的,而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。
AB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆, , 。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到负重分别加在D点和CD中点O点 , ,直接把床推上放下会比较费力,而且容易砸到人,即使没有砸到人,砸到花花草草也不好。为了解决这个问题,我们在AB杆上距离A点 处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。
【解答】
(1)由玻尔模型
(3分)
由向心力方程
(3分)
联立得到
总能量
基态与 第二激发态能量差代入即可
(3分)
(2)考虑相对论相应,质量变为 ;令
上述方程变为
(2分)
(2分)
于是
于是 (3分)
(3)由于质心不动
角动量
(4分)
向心加速度
(4分)
由此可见,只需把 换为 即可
代入数据发现相差 (2分)
(2分)
注1:如果最后系数计算的是0.64,且积分步骤是1积分到0.5,那么仅扣1分).
注2:如果在地面系使用动能定理,将导致气体获得的动能在不同阶段不同,计算很难。
七、(26分)在诱导原子核衰变的时候,有会用到 (读作muon,中文缪子)代替原子中的一个电子。 除了质量比电子重207倍之外几乎没有别的区别。原子核核电荷数为 。电子质量 ,电子电量 ,普朗克常数
假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示,由于相机没有变焦,因而只能对物体前方距离为 处的物体能够清晰成像。
(1)随着球心到物体之间距离 的变化,将发现两次能清晰成像的位置 、 。求 ,以及两个实像大小的比值
(2) 应当满足什么条件才能观察到上述现象。
【解答】
解法一:
(1)设第一次成像物距为 ,像距为 ,设第二次成像物距为 ,像距为
对于 杆,以 为支点,由合外力矩等于0
(4分)
中由正弦定理
(2分)
代入力矩方程有
由此得到
(4分)
注:其它方法只要结果正确,过程无明显错误均给分
二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景,一个水球悬浮在空中,我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为 ,折射率为 。在计算中我们取傍轴近似(只计算小角度范围的光线成的像)
代入 、 的解,得到两个实像大小比值为
(2分)
(2)需要使得上式有意义,需要根号内大于0
于是有
(4分)
解法二:
如图假设小角度入射,如图假设各个角度
由傍轴近似
; ;(2分)
由平面几何,第一次折射角和第二次入射角相等,均为 ,因而第一次入射角和第二次折射角均为 。由三角形外角等于两内角和
; ;(2分)
由折射定律及傍轴近似
试计算说明,求当绳子与接触点法线夹角是否能到达 ,如果可以求出圆筒相对地面的角速度,如果不可以说明理由。
【解答】
如图,在任意时刻,令接触点 的方向与 轴夹角为 ,令绳子 方向与 夹角
相对地面的速度为
(1分)
在以 为参照的平动系中(即 为原点,且坐标轴方向不变的参照系,想象一下在摩天轮车厢里面的人), 相对 的速度
利用感抗大小说明不扣分,不说明理由或者理由错误不给分。
保留电感,电路的方程可以写为
(3分)
令 ,代入得到
(2分)
其中利用辅助角公式 ,
于是安培力平均值
(2分)
由于悬浮合外力平均值等于0(利用积化和差公式)
(2分)
代入数值得到
(4分)
(作为估算,认为 , 近似为 得到 ,同样给全分)
五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源:当输入端电压大于 时,输出端相当于和地线之间短路;当输入端电压小于 时,输出端相当于和地线之间有一个理想电压源,电源电压 。等效电路图如图所示。不同非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中 随着时间的变换关系。
类比题目中的RC电路有,此过程历时 ,重复循环
因此得到方波信号周期等于 (只需得到此结果,过程无明显错误即给全分)
六、(22分)在真空中有一个体积为 的绝热硬箱子,内部有压强为 温度为 的理想气体。摩尔质量为 ,定容摩尔比热为 。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。
(1)当气体漏出一半时候,箱子内温度为多少?
(4分)
所以 对地面速度为 和 的矢量和(1分)
由能量守恒,其中使用了余弦定理
(6分)
由角动量守恒,其中使用了矢量叉乘定义
(6分)
为了计算方便,做无量纲化: , 得到
代入 得到
;
(另一个解 , 代表相对运动反向时的情景,未给出不扣分)
得到圆筒角速度: (5分)
注1:这个参照系中绳子与 轴转角为 ,因而角速度为 。若将由结果误写为 ,能量守恒和角动量守恒方程只要形式正确不重复扣分,但不给结果分。
(1)为了尽量省力,弹簧的经度系数 应当为多少?
(2)当床与墙面夹角 时,请计算AD杆上的受力。
【解答】
(1)如果势能处处恒定则无需外力。令 ,
由余弦定理 (1分)
重力势能
(2分)
弹性势能
(2分)
要求总势能为常数,则有 为常数,于是
(5分)
注:其它方法只要结果正确,过程无明显错误均给分
(2)由于 是轻杆,且只在两端受力,所以受力沿杆,设为
这时内部的气体状态为
对外做功
只需求出 ,就能计算出做功了。
显然,我们知道绝热方程可以改写:
,代入理想气体状态方程:
为常数
我们可以把这里面初始的 看成剩余的 的那部分最开始占有的体积
得到 (4分)
对外做功 (4分)
在箱子系中,喷气体动量守恒,因而箱子获得动量 大小等于气体动量。由动能定理
(4分)
代入积分得到
当 时候,门反向,进入I
I门反向,此时 , ,由于电容上电量不突变,所以
因而电路沿顺时针给电容反向充电,新充入电量为
;即
不断上升,到达 时, 时,门反向,进入II
类比题目中的RC电路有,此过程历时
II门再次反向,此时 , ,由于电容上电量不突变,所以
因而电路沿逆时针给电容正向充电,新冲入电量为
;即
不断上升,到达 时, 时,门反向,进入I
(物在光心左为正,像在光心右为正)
由单球面成像公式
(1)(3分)
(2)(3分)
由平面几何
(3)(1分)
(4)(1分)
将(1)、(2)代入(3)消去 和 得到
再将(4)代入得到
于是
(6分)
按放大率定义
第一次成像放大率为
(1分)
由于光路可逆,第二成就和第一相比就是物象对调Hale Waihona Puke Baidu因而第二次成像放大率为:
(1分)