多工况应力约束下连续体结构拓扑优化设计

多工况应力约束下连续体结构拓扑优化设计ΞTOPOLOG Y OPTIMIZATION DESIGN OF THE CONTINUUM STRUCTURE FOR MU L TIPL E LOADING CON DITIONS WITH STRESS CONSTRAINTS王　健ΞΞ(山东理工大学交通与车辆工程学院,淄博255012)　程耿东(大连理工大学工程力学研究所,大连116024)WAN G Jian(Traffic and Vehicle Engineering School,Shandong Univer sity o f Technology,Zibo255012,China)CHEN G Gengdong(Research Institute o f Engineering Mechanics,Dalian Univer sity o f Technology,Dalian116024,China)摘要　建立多工况应力约束条件下连续体结构拓扑优化的数学模型,给出求解方法。

采用包络法处理大量的应力约束,用改进的满应力法进行求解,方法简单、实用。

提出的分层优化技术能使最优结构更为清晰。

分层优化方法的基本思想是按载荷大小分为几个层次,后面层次的拓扑优化以前面层次得到的最优拓扑为基础,通过逐层优化,最终得到最优结构。

分层优化时主要考虑属于本层载荷的影响,避免大小载荷混在一起,最优拓扑模糊不清的问题。

为解决各层优化单元厚度相差太大,易造成结构刚度矩阵奇异的问题,提出对相应参数的调整方法。

算例表明该方法是有效的。

关键词　结构拓扑优化　应力约束　连续体结构　满应力法　分层优化技术中图分类号　T B114.3　T B115Abstract　The mathematical m odel of topology optimization design of the continuum structure for multiple loading conditions with stress constraints are presented in the paper,and the s olving method is als o given.The problem is s olved by m odified fully stress method combined with a bundle method to deal with plentiful stress constraints,both the method are sim ple and practical.The multilevel opti2 mization technique is proposed in this paper to make clearer optimal topology of structures.The main idea of the multilevel optimization method is to partition the load cases into several levels according to their magnitude.In every level,we mainly consider the in fluence of the loads belonged to this level.In this way,we av oid the blending of various loads and the dim topological structure.T o s olve the prob2 lem that the single structure stiffness matrix caused by the too big dispersion of element thickness between different levels,it proposed the adjustive method of relevant parameters.Numeral com putations show that the method is effective and efficient.K ey w ords　Structure topology optimization;Stress constraints;Continuum structure;Fully stress method;Multilevel optimization techniqueCorrespondent:WANG Jian,E2mail:wangjian0721@,Fax:+86253322313164The project supported by the Natural Science F oundation of Shandong Province,China(N o.Y96F03085).Manuscript received20010920,in revised form20011225.1　引言在多工况、多约束情况下,结构的最优拓扑往往是超静定的,必须考虑变形协调条件,其数学模型是一个非线性规划问题。

文献[1～4]是离散结构拓扑优化方面成功采用非线性规划方法求解的范例。

连续体结构拓扑优化方面也有考虑多工况情况的文章发表[5,6],但这方面的工作不多,且没有研究应力约束问题。

实际工程结构多半在多种工况下工作,应力约束是最基本的约束条件,所以研究多工况应力约束下连续体结构的拓扑优化问题是非常必要的。

多工况下受到应力约束的结构拓扑优化问题的数学模型可以描述为式(1),用数学规划法求解时自然将其作为一个多约束问题来处理;连续体结构拓扑优化的设计变量很多,采用文献[1～4]中的数学规划方法求解意味着将有浩大的计算工作量,因此一般采用准则法———满应力法解决。

用满应力法求解多工况问题时往往使用包络法处理大量的应力约束[7]。

包络法的基本思想是把每一个应力约束先单独地考虑,求出在这个应力约束下改进后的新设计变量,然后对每一个设计变量,在所有的值中挑出最大的作为新的设计。

这种方法可以保证应力约束条件满足,并且也易于将机械强度Journal of Mechanical Strength2003,25(1):055～057ΞΞΞ王　健,男,1962年7月生,山东省济南市长清县人,汉族。

山东理工大学交通与车辆工程学院院长,教授,博士,长期从事结构优化研究,发表相关论文20余篇。

20010920收到初稿,20011225收到修改稿。

山东省自然科学基金资助项目(Y96F03085)。

一个单工况下的优化程序改造为能处理多工况的程序。

所以本文将采用满应力法求解,每个迭代步都用包络法处理大量应力约束。

2　结构拓扑优化模型及求解取一块较为规则的连续体作为基结构,并将其划分成有限元。

对平面弹性体采用单元厚度为设计变量,把这一模型作为基本结构的初始设计。

要求得到的最优设计是在基结构上挖出很多孔洞,并且各个保留单元对应的设计变量具有相同值h ′。

那么,多工况条件下结构拓扑优化模型成为求　h 1,h 2,…,h N 及h ′min V =∑Ni =1S i his.t.σi k ≤[σ],i =1,2,…,N ;k =1,2,…,L h i ∈(h ′,0),i =1,2,…,N ;h ′≤hu (1)式中h i 为设计变量,S i 为单元面积,N 为单元总数,L 为载荷工况数,h u 为规定的设计变量上限,σik 为i 单元第k 工况下的工作应力,[σ]为材料许用应力,V 为目标函数。

优化计算需要反复迭代,下面给出多工况下每次迭代的计算步骤,不失一般性,考虑第j 次迭代。

由满应力法可得各单元的厚度值 h j ik ,k =1,2,…,L ;i =1,2,…,N (2)由包络法得到设计变量的新值h ji =max (h ji k ,k =1,2,…,L ),i =1,2,…,N(3)解得设计变量的新值后,可以按照阈值将所有单元分为两类 E j1={i h j i ≥C j th ;i =1,2,…,N}E j2={ih j i<C jth ;i =1,2,…,N}(4)而[h ji ]′=h ′ε i ∈E j 1i ∈E j2 i =1,2,…,N(5)其中h ′=min {h u,max (h j i ;i =1,2,…,N )},C jth 为第j次迭代选用的将单元分为两类的阈值,ε是一足够小量。

由上式可见,属于E j 1的单元厚度为h ′,是要保留的,将组成最优拓扑,称之为“保留单元”;属于E j 2的单元厚度为ε,是拟删除的,将从基结构中被挖掉,称之为“删除单元”。

C jth 与“保留单元”(或“删除单元”)的数量间存在一定的对应关系。

实际计算中,人为规定一个保留单元的数量,选择相应数量的厚度较大的单元归入E j 1,其余归入E j 2。

E j 1中的单元厚度最小值为阈值C jth 。

其收敛准则为 Y j -Yj -1Yj≤η1 BjN≤η2(6)其中B j 为E j -11、E j 1间元素变化的数量,Y j 、Y j -1分别为第j 次和第j -1次迭代后目标函数的值,η1、η2为给定的小量。

满足收敛准则后,删除属于E j 2中的单元,即得到优化了的结构。

不满足收敛准则时,以[h ji ]′,i =1,2,…,N 为初始设计进行下一轮迭代。

3　分层优化技术多工况载荷作用下,结构受力比较复杂,所得最优结构较为模糊。

特别是最大载荷与最小载荷相差较大时,为了得到较小载荷的传递路线,式(4)中的阈值C jth 要取得很小,使传递较大载荷的部分结构非常粗壮,整个结构模糊不清。

分层优化是一种有效方法。

分层优化的基本思想是按载荷大小分为几个层次,第一层优化时主要计算出传递第一层载荷的结构,由于此时不必顾及较小载荷的传递路线是否被结构所包含,所以,可选择较少的单元组成清晰的结构,称为第一层结构;第二层优化时,删除第一层载荷,并保持组成第一层结构的单元不变(相应单元参与结构分析,单元参数不作为设计变量),对其余单元进行优化计算,得到传递第二层载荷的结构,称为第二层结构;依次类推,删除属于前面层次的载荷,保持已得到的结构不变,用剩余单元优化出传递较小载荷的结构,直至结束。

一般情况下可把载荷分为H 层。

下面用公式描述优化过程,公式中上标表示层次代号,注意与前面公式中符号的区别。

第一层由满应力法及式(2)、(3)对初始结构进行拓扑优化设计,得最优解h 11,h 12,…,h 1N(7)按阈值将其分为二类E 11={i h 1i ≥C 1th ;i =1,2,…,N}E 12={i h 1i <C 1th ;i =1,2,…,N}(8)E 11中单元组成第一层的结构,C 1th 是第一层优化计算收敛时的阈值,它的选取只考虑第一层载荷,所以相对较大,属于E 11的单元较少,结构较清晰。