高中数学_杨辉三角教学设计学情分析教材分析课后反思

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高中数学_“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计姓名班级 . 【学习目标】 1掌握二项式系数的性质 2利用二项式定理求有关系数的和【学习重点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题【学习难点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题【学法指导】自主学习与合作学习相结合。

【导学学过程】一教材导读探究任务一：杨辉三角问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？()1b a +()2b a +()3b a +()4b a +()5b a +()6b a +新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是探究任务二二项式系数的性质问题2：设函数()r n C r f =，函数的定义域是，函数图象有何性质？（以n ＝6为例）新知2：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2n r =. 练习1① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第２项B 第３项C 第４项D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n ＝ .反思：为什么二项式系数有对称性？⑵ 增减性与最大值：从图象得知，中间项的二项式系数最，左边二项式系数逐渐，右边二项式系数逐渐 .当n 是偶数时，中间项共有项，是第项，它的二项式系数是，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有项，分别是第项和第项，它的二项式系数分别是和，二项式系数都取得最大值.练习：n b a )(+的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 10即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 21二、典型例题题型一、单调性的应用【例1】求()1012x +的展开式中系数最大的项．变式1：在二项式(x-1)11的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.题型二、二项式系数和的问题【例2】．求证在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和变式2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；三、．当堂检测1.=+⋅⋅⋅+++77372717C C C C . 78583818C C C C +++= .2 在()991x -的展开式中，二项式系数最大的是第项，二项式系数最小的项是第项；3. 若()929012912x a a x a x a x -=++++，则 129a a a +++＝； 4. ⑴ 求1233⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式的中间一项； ⑵ 求()15xy y x -展开式5.n 3)x 1x (+的展开式的各项系数和为32，求这个展开式的常数项.6.已知(1+x2)n 展开式中含x -2的项的系数为12，求n .7.若(a+a )n 的展开式中，奇数项的系数和等于512，求第八项..8求(x -1)-(x -1)2+(x -1)3-(x -1)4+(x -1)5的展开式中，x 2的系数【课堂小节】本节我所学到核心知识有，基本题型有；作业 p 35 练习本课研究的重点是二项式系数的性质．如何研究这个这个问题，这是首先面临的选择，其一利用传统方法借助于杨辉三角从数的角度和改变数据的呈现方式的形式的数据中观察规律获得新知；其二利用联系的观点，二项式系数组成的一列数作为数列是一种特殊的函数，考虑函数的方法进行研究.研究函数问题重要方法之一就是“图像法”.教师首先要从研究问题的策略方法上引导学生.本节内容联系的观点还体现从数据表格到杨辉三角图形这一过程中，可以联系必修三统计内容的“从样本估计总体”，对于获得样本数据直接观察，规律是不明显，但通过改变数据的呈现方式如画频率分布直方图、茎叶图等就可以很方便的获得数据的规律性的信息，教师在教学中恰当的“联系”一下相关内容，便会加强学生今后用联系的观点想问题，解决问题，从而发展思维，真正达到教师给学生的不仅是“鱼”，更应是“渔”．《课程标准》对此部分要求是 1.掌握二项式系数的一些性质，体会数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.2．通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.4．注意培养学生合作交流、实践操作，培养学生勇于实践的科学探索精神.在发现、解决数学问题的过程中，掌握数学研究的方法，促进数学思维的发展.《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教材分析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》．研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位．本节内容以前面学习的二项式定理为基础，通过“杨辉三角”初步直观的探究二项式系数的性质，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能．由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，可以利用组卡西欧图形计算器画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，有利于帮助学生发现规律，形成证明思路，有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识．根据以上教材分析，本节的教学重点设定为：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质．本节课利用函数的方法研究二项式系数的性质最突出的矛盾就是当n的值较大时，纸笔计算作图都非常困难，若n的取值较少，由个别图像去把握整体性质，信服力稍显不足，而图形计算器的参与恰好可以自由的画出大量的函数图像，改变了数据不足的矛盾.同时让学生在亲自动手操作、实验的过程中，进行感悟和理解．它能使学生真正动起来，参与到课堂中来，提高了学习兴趣．学生在教师创设的问题情景中，通过观察、分析、思考、探究、概括、归纳得出性质，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

高中数学_“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计教学环节教学内容活动设计活动目标信息技术运用及意图(一) 引入新课杨辉，南宋数学家，1261年著有《详解九章算法》一书；在书中记载了这样一个表，被称之为“杨辉三角”，“杨辉三角”包含了什么内容？今天我们就探究杨辉三角中蕴含的小秘密 (此处插入图片)教师边让学生看图片，边介绍相关数学史内容通过教师对图片的解读和数学史的介绍，可以让学生了解古代数学的伟大成就，激发学生的学习兴趣信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：通过教师对图片的解读和数学史的介绍，可以激发学生兴趣，增强民族自豪感，并为探究杨辉三角做准备。

使用智慧课堂【屏幕广播】功能，使得每个学生的座位没有了差异，学生可以近距离的看到老师准备的内容(二)温故知新问题1：请你回想一下二项式定理的内容问题2：请你回想一下二项式系数的定义问题3: 组合数的两个性质问题4：请你完成当n=1,2,3,4,5,6时的(a+b)n的二项式展开教师提出问题，并让学生回答复习回顾前面学习的内容，并为后续内容的学习做准备信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图: 检测学生前两节课的学习效果，也为本节课的顺利开展做必要准备。

使用智慧课堂【屏幕广播】功能，使得每个学生的座位没有了差异，学生可以近距离的看到老师准备的内容(三) 成果展示1、请学生展示当n=1,2,3,4,5,6时的(a+b)n的二项式展开；2、发现二项展开式中的各项二项式系数按照新的表示形式排列以后与杨辉三角之间的关系让学生展示学习成果，并发现杨辉三角的真面目让学生了解杨辉三角的含义，为学生进行下面的探究活动做准备信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：为学生发现杨辉三角蕴含的秘密和二项式系数的性质做准备。

使用智慧课堂【屏幕广播】功能能够拉近师生距离(四) 合作探究探究1：下表中蕴含着哪些规律？你能说出一些吗？学生自主完成探究1，并在课堂上展示通过观察，学生很容易发现二项式系数表中蕴含的规律信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：通过设计这个探究活动，学生可以从二项式系数表中获得二项式系数相关性质的直观感受，在n不大的情况下，可以通过这个表获得其他二项式展开的系数(四) 合作探究探究2：（1）当n=6时，(a+b)6展开式的二项式系数C60,C61,⋯C66，令,通过画出它的图像，你能发现二项式系数的哪些性质？（2）当n=7时呢？一般地n为偶数时呢？n为奇数时呢？此处设计小组讨论，将难点进行层层分解，通过问题串的形式，将难点慢慢化解开来从函数角度研究二项式系数的性质，利用数形结合思想，获得二项式系数的性质(1)(2)信息技术应用：使用【教师提问】【学生示范】设计意图：为了突破难点，设计了层层递进的问题串模式，学生通过回答一个一个的问题，轻松获得本节课的学习重点。

高中数学《杨辉三角》教学设计

《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。

本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。

杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。

（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。

通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。

二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。

班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。

2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。

杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思

杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思【摘要】本文通过介绍杨辉三角和二项式定理的基本原理，探讨了二者之间的联系，并结合教学实践展示了如何将杨辉三角融入二项式定理的教学中。

具体操作包括利用杨辉三角展示二项式系数的规律，引导学生理解二项式定理的概念，并通过实例演示二者之间的对应关系。

在教学实践中，学生表现出良好的学习效果，对二项式定理和杨辉三角有了更深入的理解。

反思部分分析了教学中遇到的困难和不足，并提出了改进的建议。

将杨辉三角融入二项式定理的教学能够激发学生的学习兴趣，提高他们的数学能力，有助于培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

在未来的教学中，可以进一步探索更多的教学方法，促进学生对数学知识的深入理解和应用。

【关键词】杨辉三角, 二项式定理, 教学实践, 学习效果, 反思, 展望1. 引言1.1 引言杨辉三角和二项式定理是高中数学中重要且常见的概念，它们在代数学习中扮演着重要的角色。

杨辉三角最早起源于中国古代数学家杨辉的工作，它是一种数学图形，数字按照一定的规律排列在三角形中，具有一些特殊的性质和规律。

而二项式定理则是代数学中的一个重要定理，描述了如何展开一个形如(a+b)^n的表达式。

本文将探讨杨辉三角和二项式定理之间的联系，以及如何将杨辉三角融入到二项式定理的教学中。

我们将首先介绍杨辉三角的基本原理，然后简要回顾二项式定理的基本概念，接着深入探讨杨辉三角和二项式定理之间的联系。

在教学实践中，我们将分享一些具体操作和案例，探讨学生学习效果及教学过程中的反思。

通过本文的研究与实践，我们希望能够更好地理解和运用杨辉三角和二项式定理，帮助学生更好地掌握代数知识，提高他们的数学能力和解决问题的能力。

我们也将对教学实践中的一些挑战和改进方向进行探讨，以期能够进一步完善教学方法，提高教学质量和效果。

2. 正文2.1 杨辉三角的基本原理杨辉三角是中国古代数学的杰出成就之一，它由中国数学家杨辉在13世纪提出。

杨辉三角是一个由数字构成的三角形，每一行的数字是通过上一行相邻两个数字相加而得到的。

高中数学_杨辉三角“与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质授课人：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学任务分析】(1) “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.(2) 本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.【教学目标】（1）知识和技能：掌握二项式系数的性质; 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题.(2) 过程和方法：通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养.(3) 情感态度和价值观：通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.【教学重点、难点】重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质；了解杨辉三角形及其历史背景.难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.【教法、学法】教法：问题引导、合作探究．学法：螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想,①从课上交流展示中感知规律；②结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟二项式系数的性质；③在探究证明性质中理解知识.【教学流程】例题及练习【教学过程】环节1：复习“二项式定理、二项式系数、二项展开式的通项”【师生活动】教师提出问题，学生复习回答.【设计意图】通过复习二项式定理的有关知识，为发现二项式系数的有关性质形成知识储备环节2: 创设情境引入新课“计算()(123456)n a b ,n ,,,,,+=的展开式的二项式系数并填表” 并引入“杨辉三角”.介绍杨辉三角以及与其相关的历史【师生活动】学生计算填表、教师介绍杨辉三角.【设计意图】引进“杨辉三角”，并使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感和探索新知识的欲望.环节3：合作探究发现规律【师生活动】学生根据杨辉三角观察讨论，发现规律，教师适时点拨、完善规律。

高中三年级上学期数学《杨辉三角的性质》教学设计

杨辉三角的性质教学设计【学情分析】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。

高三的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

【教学目标】使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.【教学重点】二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.【教学方法】【教学情景设计】杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。

杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右。

1、杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等。

2、第n行的数字个数为n-1个，n行数字和为：y=2^n3、数字等于上一行的左右两个数字之和。

4、杨辉三角的第2k行中第k+1个数最大；第2k＋1行中第是k个数与第k+1个数相等且最大。

5、每一行的第二个数，可以构成一个等差数列6、每一行的第三个数等于上一行的第三个加行数减一。

高中数学_1.3.2杨辉三角教学设计学情分析教材分析课后反思

《杨辉三角》教学设计1 教材分析《杨辉三角》是人教B版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3第一章1.3.2节的内容，是学生学习了二项式定理后进一步学习二项式系数性质的课例.杨辉三角的数字规律揭示了二项式系数的若干性质，蕴含着丰富的数学规律和重要的数学思想方法.是一个很好的探究学习的课例.“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，除杨辉外，贾宪、朱世杰、华罗庚对杨辉三角都有深入的研究.应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，运用特殊到一般的数学思想方法进行思考，发现规律，形成证明思路. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.2 学情分析【知识基础】在此之前，学生学习了计数原理、排列组合、二项式定理的有关知识.【能力基础】高二学生有能力进行教师引导下的小组合作探究学习.【方法基础】在此之前，学生已经学习了推理与证明，对于归纳、猜想、验证、证明的思想方法较为灵活的使用.【难点预测】二项式系数性质的发现以及将其公式化的过程.3 目标分析【知识与技能目标】了解杨辉三角的历史，掌握二项式系数的基本性质；【过程与方法目标】通过“自主发现性质、证明性质、运用性质”的学习过程，掌握二项式系数的一些性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力,体会归纳推理、赋值法等重要数学思想方法；【情感、态度与价值观目标】渗透爱国主义教育，培养学生独立思考、交流讨论、汇总见解的能力.激发学生的探究渴望.4 教学重难点【教学重点】二项式系数的性质及其应用.【教学难点】杨辉三角的基本性质的探索和发现.5 教法学法观察、探究、发现、合作交流.6 教学过程6.1 复习引入1、二项式定理：________________________________________________；通项：；二项式系数：______________________________________________；[来源:Zxxk.Cm]2、n )1(x +=________________________________________________；【师生活动】教师提问，学生齐答，师班互动.【设计意图】通过复习上节课所学，导入新课，为后面探究新知做好准备.6.2 品读历史1、列出n)(b a +的展开式中当n 取1,2,3,4，5,6......时的二项式系数表. 0)(b a + (1)1)(b a + …………………………………… 1 12)(b a + ………………………………… 1 2 13)(b a +……………………………………1 3 3 14)(b a +………………………………1 4 6 4 15)(b a +………………………… 1 5 10 10 5 16)(b a +………………………1 6 15 20 15 6 1 7)(b a +…………………1 7 21 35 35 21 7 1……………………………n b a )(+…………0n C 1n C2n C …………………………… n n C2、杨辉三角的历史杨辉，南宋数学家，于1261年著《详解九章算法》，在其中详细列出了这样一张图表，并且指出这个方法出于我国11世纪数学家贾宪的著作《黄帝九章算法细草》.在欧洲一般认为这是帕斯卡（Pascal ）于1654年发现的，称这个图形为“帕斯卡三角”.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就.【师生活动】师生共同列出n )(b a +展开式当n 取1,2,3,4，5,6……时的二项式系数表.【设计意图】动手列表，品读历史，培养学生的爱国情感，激发学生的探究热情.6.3 探究性质1、问题：观察杨辉三角你能发现哪些数量关系？由此得到二项式系数具有哪些性质？【师生活动】学生小组合作学习，教师适时点拨.【设计意图】通过对杨辉三角多角度的观察，引导发现其规律，培养学生的观察力，特殊到一般的归纳猜想能力.2、展示探究结果性质1 对称性性质2 递推性性质3 二项式系数和12 ………………………………………………… 1 122 …………………………………………………1 2 132 ………………………………………………1 3 3 142 ……………………………………………1 4 6 4 1 52 …………………………………………1 5 10 10 5 1 62 ………………………………………1 6 15 20 15 6 1性质4 二项式系数最大：通过比较r n C 与1-r n C 的大小得出.深入探究性质 ➢二项式系数横行排列所得数与11的方幂的关系111 ………………………………………………… 1 1211 …………………………………………………1 2 1311 ………………………………………………1 3 3 1411 ……………………………………………1 4 6 4 1 511 …………………………………………1 5 10 10 5 1 611 ………………………………………1 6 15 20 15 6 1教师升华 1 4 6 4 1× 1 1_____________________________1 4 6 4 11 4 6 4 1_____________________________1 5 10 10 5 1➢二项式系数与斐波那契数列的关系1 123 5 8 ……______________________________________1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1斐波那契数列简介著名的兔子繁殖问题：如果有一对小兔，每一个月都生下一对小兔，而所生下的每一对小兔在出生后的第三个月也都生下一对小兔.那么，由一对兔子开始，满一年时一共可以繁殖成多少对兔子？兔子对数1,1,2,3,5,8,13,21,……组成的数列就是著名的斐波那契数列，此数列在自然界中的出现是如此地频繁，请同学们观察下列花瓣数目：学生会惊奇的发现确实组成斐波那契数列.➢杨辉三角中，任一列前n 个数之和规律是什么？证明你的结论？ 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1【师生活动】教师从其他观察角度引导学生发现.【设计意图】让学生深入体会杨辉三角的奥妙无穷，激发学生的学习热情.6.4 应用性质6.4.1 杨辉三角在数学中的应用例1 已知nx )1(2-展开式的各项二项式系数和等于512，求展开式中二项式系数最大的项.【师生活动】学生独立完成,选择一名同学投影展示问题解决过程.【设计意图】二项式系数性质及二项展开式通项公式的灵活应用.例2 填空：设0177888)13(a x a x a x a x ++++=- ，则（1）=+++178a a a ______________;（2）=+-+-+-+-012345678a a a a a a a a a ______________;（3）=++++02468a a a a a ______________.【师生活动】学生思考,回答.【设计意图】一方面注意区分二项式系数和以及各项系数和，另一方面会应用赋值法解决问题.6.4.1 杨辉三角在实际生活中的应用➢杨辉三角与高尔顿板在游艺场，可以看到如图的弹球游戏，小球(黑色) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》

探究数学秘密，发现数学之美——“杨辉三角〞中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“杨辉三角〞是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，鼓励学生的民族自豪感。

2．学情分析本节课面对的是高二年级的学生,这个年龄段的学生思维活泼,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导。

通过之前的学习学生已经掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,理解了排列、组合的概念,掌握了二项式定理和二项展开式的性质。

同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。

对于本节探究与发现的研究性学习,可以激发学生学习热情,提高课堂效率,使知识得到螺旋式的稳固与提高。

而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面,还有待于教师的指导帮助。

学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。

通过创设情境疑问,引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流,探求解决问题的方法。

鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。

3．教学重点与难点重点:掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。

难点:通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。

二、教学目标新课标指出教学目标应表达学生学会知识与技能的过程,也要同时表达学生学会学习形成正确价值观的过程。

结合本节课的教学内容,制定如下教学目标:1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律〞的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。

2．掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。

3．通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。

4．采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。

“杨辉三角“0优秀教学教案说课稿

《杨辉三角》教学设计
一、教学设计说明
1教材分析
本课选自新人教版高中数学选修2-3第一章第三节的第二课时，《杨辉三角》是《普通高中数学课程标准》选修模块2-3“计数原理”中的内容，其基本内容是二项式系数的性质及其应用。

本课虽为选修内容，但从学生的角度讲仍占有较高的地位。

本课一方面使学生充分感受了观察、归纳的学习方法，进一步体会合情推理与演绎推理的过程；另一方面，使学生更深刻的理解二项式系数的性质。

此外，本课将数学史的知识融入到课堂中，渗透数学文化，体现人文精神，进而使学生产生浓厚的数学学习兴趣，体会国人的智慧，丰富了学生对数学文化价值的认识。

2学情分析
教学主体——学生是省重点高中二年级学生，已经学习了二项式定理的内容、性质及其应用。

学生已经具有一定的观察、类比和分析推理能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力。

学生虽已学习二项式定理，但对其本质理解得并不深刻，而且不了解其数学史背景。

高中二年级学生正处于高中学习的关键时期，新课程实施中，要求他们对数学选修课程做出选择，将影响到他们人生发展方向。

本节教学内容既有数学基础知识，又联系数学史的知识，学生通过观察体验及实验探究过程可以体会二项式系数的性质及其的应用，体会数学的发现美，有助于学生提高数学素养。

二、教案
.求：
;
a
+
;
a a
++
7.
a。

杨辉三角教学设计

教学设计说明1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密一、教学内容解析：本课题来自人教A版选修2—3第一章后的“探究与发现”。

杨辉三角蕴含了丰富的数字规律和数学思想方法，所以它是一个很有价值的探究性课题。

杨辉三角是一个特殊的数阵。

探究杨辉三角中的数字规律,有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形有重要的作用。

对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。

同时通过欣赏分形、斐波那契数列等有趣的数学内容，学生由此发现数学之美，激发对数学的学习兴趣。

另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察、归纳等探究方法，体验数学当中发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。

二、教学目标设置：1、知识与技能：1、从不同的角度，研究杨辉三角所蕴含的规律，并用组合数表示；2、通过本节课的研究，归纳出杨辉三角的研究方法；3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。

2、过程与方法：1、通过探究杨辉三角的数字规律，学会观察和分析问题，运用联系、类比的观点看待问题，从而解决问题，并能培养学生“从特殊到一般”进行归纳猜想的能力；2、通过自主探究与合作交流，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯；3、通过从不同角度探究问题，体会再发现再创造的过程，发展创造性思维。

3、情感态度与价值观：1、以历史文化的实例引入，激发学生的学习兴趣，提升学生的民族自豪感；2、通过归纳性思维的训练，养成踏实细致，严谨科学的学习习惯；3、通过探索杨辉三角中的数字规律，形成独立思考、合作交流等良好的学习习惯，以及勇于批判、敢于创新的精神。

三、学生学情分析：知识结构：学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解。

能力结构：作为正始中学高二创新班的学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，适时的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题。

高中数学_“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思

“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计一．教学目标1.知识与技能目标（1）掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。

（2）通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识解决问题的方法，逐步提高观察能力和归纳推理能力。

2.过程与方法目标（1）通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，经历分析猜想—证明—应用的过程，激励学生自主创新。

（2）通过不同角度观察杨辉三角，培养训练学生从多角度看待问题的意识。

（3）体会数形结合、特殊到一般进行归纳，以及赋值法等重要数学思想方法解决问题的再创造过程。

3.情感态度价值观目标在学习中初步学会交流合作，形成团结意识的精神，同时通过了解我国古代数学的伟大成就，熏陶爱国精神。

二．教学重难点教学重点：掌握二项展开式中二项式系数的性质，探讨杨辉三角中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学知识解决问题的能力。

教学难点：证明二项式系数的增减性以及利用赋值法证明二项式系数和的性质；结合函数图象理解增减性时，根据n的奇偶性确定相应的分界点。

三．教学方法：教法：问题引导、合作探究学法：从探究展示中感知规律，结合杨辉三角和函数图像领悟性质，在探究证明性质中理解知识，螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想。

四．教具多媒体、实物投影仪五．教学过程设计（一）温故知新师：首先我们回顾下上节课的内容，请同学们完成学案上的“温故知新”所对应的内容。

问题一：1.二项式定理：()=ba___________.+n2.二项式系数：____________________.3.通项：=T_______________________.+1k师：请订正答案，并追问二项式定理的展开式中共有多少项？通项表示第几项？问题二：计算()n ba+展开式的二项式系数，填写表格师：找学生回答3=n的二项式系数。

n到6=二．感知规律师：通过填表，你能发现什么规律呢？为了更好地发现二项式系数的性质。

“杨辉三角”与二项式系数性质教学反思

“杨辉三角”与二项式系数的性质教学反思依兰县第三高级中学刘福丽
在讲授这节课内容前，查阅了维基百科二项式系数的介绍，杨辉三角的应用，二项式定理等知识外延，定位该让学生明白二项式系数的性质理解到什么样一个层次，可以为后续学习以及将来进一步学习做好基础工作。

本节课的环节进行不是顺利，学生对上一节的定理内容掌握不好，影响此节课的效果，反思之一是对学生的要求不到位。

反思二：二项式系数表的形成后，对规律的观察环节，显得啰嗦，点题不是到位，漏掉有些直观看到的。

反思三：赋值法思想的设计环节不是好，时间安排显得仓促。

各环节分配缺乏合理设计。

反思四：对学生不易理解的对称轴，二项式系数的增减性与最值，突破的思想是好的，但语言不是很理想。

对称轴的找法转化为找0，n 两数的中间值，增减性类比函数的，以特殊值试验，推广到一般。

有了增减性，由学生给出最大值，知识形成水到渠成。

但没有将对称轴2n
r =与增减性的界点2
1+n 结合分析，对最值情况作进一步理解。

借用增减性研究方法对处理展开式系数最大项起到平稳过渡，处理比较好。

高中数学_杨辉三角教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计一、教学目标：知识与技能1．了解杨辉三角的由来，用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题.过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、“一肩扛两数”、单调性与最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我国悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．二、学情分析知识结构：学生已学习了两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质。

心理特征：高二的学生已经具有了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识间的相互联系，解决相关问题。

三、重点难点重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题四、教学过程活动1 【复习回顾】1、二项式()na b +的展开式：__________________________________________________；通项公式:_____________________________ ；二项式系数：________________________________；2、组合数的两个性质：（1）___________________；（2）___________________________；设计意图：温故知新，为本节课的内容做知识准备。

活动2 【问题探究一】杨辉三角的来历及规律问题1：把展开式()n a b + 的二项式系数用组合数表示出来，学生写出相应的数字，投影学生写出的表，得到杨辉三角。

1()a b + …………………………………………………1 12()a b +…………………………………………………1 2 13()a b +………………………………………………1 3 3 14()a b + ……………………………………………1 4 6 4 15()a b +…………………………………………1 5 10 10 5 16()a b +………………………………………1 6 15 20 15 6 12、问题3：你能介绍杨辉三角的来历吗？设计意图：激发学生的爱国意识。

高中数学_杨辉三角教学设计学情分析教材分析课后反思

教学目标：1．掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。

2．通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。

通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。

3．鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。

同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。

教学重、难点：教学重点：掌握二项展开式中二项式系数性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。

教学难点：如何发现、证明规律。

通过本节课的学习，学生可以深刻地感知知识的形成过程，对于规律性的结论可以做出判断，并上升到理性的思考。

通过小组合作学习的方式，学生更加感受到在互助中学习，在竞争中学习的重要性，达到培养学生团结协作精神的目的。

教学过程教学内容、设计学生活动设计意图（一）温故知新1、二项式定理2、二项式系数3、组合数的两个性质学生回忆前面学过的相关知识，集体完成问题。

通过对学生已有的相关知识的调动，对本节课的学习起到承上启下的作用。

（二）探索新知【问题一】计算展开式的二项式系数并填入下表n展开式的二项式系数123456通过填表，你发现了什么规律？学生独立完成问题一，主动发表自己的见解。

从学生已有二项式定理的知识及二项式系数的运算出发让学生通过填表发现二项式系数具有一定的规律。

同时也让学生发现，这样的表格不利于发现二项式系数的其它性质，由此引发思考：如何对表格进一步整理，得到更方便观察二项式系数的数字规律的表格，由此自然引出“杨辉三角”。

经过对表格中的数据整理后，我们得到一张形如三角形的非常优美的表。

这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，我们把它叫做“杨辉三角”。

【问题二】观察“杨辉三角”，你能得到哪些数字规律？（填到课前发的习题纸上，见附件1）（教师应充分引导学生从不同的角度观察，如整体看、局部看；横看、斜看。

全国优质课-《杨辉三角》教学设计

本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。

杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。

（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。

通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。

二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。

杨辉三角说课稿2

杨辉三角说课稿各位评委老师大家上午好：今天我要演说的题目是;杨辉三角。

我将从以下八个方面来解说我对本节课的理解、处理和教学设计。

一、教材分析：杨辉三角是人教B版选修2-3第一章第三节第二课时的内容,是在学生学习过二项式定理后,进一步学习其性质的一个课例，是对二项式系数性质的总结和更深层次的探讨，杨辉三角所蕴含的丰富的数学规律、数学思想和研究问题的方法给学生提供了一个很好的数学探究的课题，是培养学生创新能力的很好的载体。

二、学情分析：具体学情：（1）知识上：学生已经学习了组合、组合数和二项式定理等有关知识；（2）研究方法上：学生通过数列的学习已经掌握了类比、观察-归纳-猜想等探究数阵的方法。

因此学生在知识上和研究问题的方法上都做好了准备。

三、教学目标分析:根据杨辉三角在整个教材内容中的地位与作用以及学生的实际情况,本节课教学应实现如下教学目标：知识与技能:了解杨辉三角的简单历史及其意义,掌握杨辉三角的基本性质;过程与方法: 通过探究过程培养学生观察、分析、概括与归纳、解决问题的能力;情感目标:通过让学生了解有关杨辉三角的简史,体会我国古代数学家的伟大成就,进行爱国主义教育,从而激发学生学习和探究杨辉三角的热情;通过小组讨论,培养学生发现问题、探究问题、建构知识的研究型学习习惯以及合作化学习的团队精神。

四、重难点分析：根据上述教学目标,确定本节课的教学重点是:了解杨辉三角的意义，通过杨辉三角中数字的规律来探究二项式系数的性质;本节课的学习难点是:杨辉三角中数字规律的发现、总结和二项式系数性质的综合应用。

五、教法与学法教法:为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了:“观察、探究、合作交流”的方法。

师生共同收集资料，设置导学案，采用问题导引的方式,课件展示低阶杨辉三角数列表，让学生通过对低阶杨辉三角的观察,再到n阶杨辉三角的猜想。

探究时采用先个人思考，后小组合作交流形式,重点在于发现规律,不要求在课堂上证明。