2105年度朝阳高三数学期末理科试题及答案
2021-2022学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．2(1)(i += ) A ．2− B ．2C ．2i −D ．2i2．双曲线221169x y −=的渐近线方程为( ) A ．34y x =± B ．43y x =±C ．35y x =±D ．916y x =±3．在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为( ) A ．16B ．310C ．12D ．344．已知抛物线24y x =上一点M 与焦点F 的距离为4，则点M 到x 轴的距离是( ) A．B． C ．4 D ．125．设函数21(),1()2log ,1xx f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，若()2f x ，则实数x 的取值范围是( )A ．[1−，)+∞B ．(0，4]C ．[1−，4]D ．(−∞，4]6．在直角坐标平面xOy 内，O为坐标原点，已知点1(,2A −，将向量OA 绕原点按逆时针方向旋转2π得到OA '，则OA '的坐标为( ) A．1()2B．1)2− C．1(,2D．1(2−7．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤( )（参考数据：20.3010)lg ≈ A ．2次B ．3次C ．4次D ．5次8．若函数()sin cos f x a x b x =+的最大值为2，则下列结论不一定成立的是( ) A ．224a b += B ．2abC ．2()8a b +D ．2()4a b −9．已知平面向量a ，b 满足||2a =，a 与a b −的夹角为120︒，记(1)()m ta t b t R =+−∈，则||m 的取值范围为( )A ．)+∞B ．)+∞C ．[1，)+∞D ．1[2，)+∞10．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为( )A ．716π+B ．7566π+C ．718π+D ．1π+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．11．在51()x x +的展开式中，x 的系数为 ．12．已知圆222:(0)C x y r r +=>，直线:l y x =C 上至少有3个点到直线l 距离都是1”成立的一个充分条件是“r = ”．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去．则第4个正方形的面积是 ；从正方形ABCD 开始，连续8个正方形面积之和是 ．14．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC （填“垂直”或“不垂直” )；AEF ∆的面积的最大值为 ．15．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，设()|()|g x f x =，给出以下四个结论：①函数()g x 的最小正周期是3π；②函数()g x 在区间75(,)189ππ上单调递增；③函数()g x 的图象过点； ④直线1318x π=为函数()g x 的图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21a t =−，4b t =，41(1)c t t =+>． （Ⅰ）当3t =时，求cos B ；（Ⅱ）是否存在正整数t ，使得角C 为钝角？如果存在，求出t 的值，并求此时ABC ∆的面积；如果不存在，说明理由．17．（13分）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“52+”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有(014)<人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其n n他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差()D X，D Y的大小关系（结论不要求证明）．()18．（14分）刍甍(ch ú m éng )是中国古代数学书中提到的一种几何体．《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．” 如图，在刍甍ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，平面BAE 和平面CDE 交于EF ． （Ⅰ）求证：//CD 平面BAE ；（Ⅱ）若4AB =，2EF =，ED FC =，AF =①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得刍甍ABCDEF 存在，并求平面ADE 和平面BAE 夹角的余弦值．条件①：BF FC ⊥，AF FC ⊥；条件②：平面CDE ⊥平面ABCD ，AF FC ⊥，； 条件③：平面CBF ⊥平面ABCD ，BF FC ⊥．19．（15分）已知曲线22:1(3x y W m R m m+=∈−，0m ≠，且3)m ≠． （Ⅰ）若曲线W 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）当1m =时，过点(1,0)E 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交曲线W 于点A ，(B A ，B 异于顶点），交直线2x =于P ．过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C ，直线BQ 交x 轴于D ，求线段CD 中点M 的坐标．20．（15分）已知函数()2f x lnx x lna =−−，0a >． （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1，f （1）)处切线的斜率； （Ⅱ）求函数()f x 的极大值；（Ⅲ）设2()x g x ae x =−，当(1,)a e ∈时，求函数()g x 的零点个数，并说明理由．21．（15分）对任意正整数n ，记集合1{(n A a =，2a ，，1)|n a a ，2a ，，n a 均为非负整数，且12}n a a a n +++=，集合1{(n B b =，2b ，，1)|n b b ，2b ，，n b 均为非负整数，且122}n b b b n +++=．设1(a α=，2a ，，)n n a A ∈，1(b β=，2b ，，)n n b B ∈，若对任意{1i ∈，2，，}n 都有i i a b ，则记αβ<． （Ⅰ）写出集合2A 和2B ；（Ⅱ）证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ<；（Ⅲ）设集合{(,)|n n S A αβα=∈，n B β∈，}αβ<，求证：n S 中的元素个数是完全平方数．2021-2022学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．2(1)(i += ) A ．2−B ．2C ．2i −D ．2i解：22(1)121212i i i i i +=++=+−=， 故选：D ．2．双曲线221169x y −=的渐近线方程为( ) A ．34y x =± B ．43y x =±C ．35y x =±D ．916y x =±解：由双曲线221169x y −=的方程可得渐近线方程为：34y x =±， 故选：A ．3．在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为( ) A ．16B ．310C ．12D ．34解：事件A ：第1次抽到代数题，事件B ：第2次抽到几何题， P （A ）25=，233()5410P AB =⨯=，∴在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为：3()310(|)2()45P AB P B A P A ===．故选：D ．4．已知抛物线24y x =上一点M 与焦点F 的距离为4，则点M 到x 轴的距离是( ) A．B．C ．4D ．12解：根据题意可知抛物线的准线方程为1x =−， M 到该抛物线的焦点F 的距离为4， M ∴到准线的距离为5，即14M x +=，3M x ∴=，代入抛物线方程求得y =±，∴点M 到x轴的距离为．故选：B ．5．设函数21(),1()2log ,1xx f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，若()2f x ，则实数x 的取值范围是( )A ．[1−，)+∞B ．(0，4]C ．[1−，4]D ．(−∞，4]解：函数21(),1()2log ,1xx f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，∴当1x >时，()2f x 即2log 2x ，解得14x <，当1x 时，()2f x 即1()22x ，解得11x −，综上所述不等式的解集为：[1−，4]， 故选：C ．6．在直角坐标平面xOy 内，O为坐标原点，已知点1(,2A −，将向量OA 绕原点按逆时针方向旋转2π得到OA '，则OA '的坐标为( ) A．1()22−B．1()22− C．1(,22−D．1(22−解：由题意知，向量1(2OA =−，4(cos 3π=，4sin )3π，将OA 绕原点按逆时针方向旋转2π，得4(cos()32OA ππ'=+，44sin())(sin 323πππ+=−，4cos )3π=，1)2−， 则OA '的坐标为，1)2−． 故选：B ．7．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤( )（参考数据：20.3010)lg ≈ A ．2次B ．3次C ．4次D ．5次解：设至少需过滤的次数为n ，则由题意可得，0.50.1n ，即0.50.1nlg ， 故0.11 3.3220.52lg nlg lg −=≈−，故至少需要过滤4次． 故选：C ．8．若函数()sin cos f x a x b x =+的最大值为2，则下列结论不一定成立的是( ) A ．224a b +=B ．2abC ．2()8a b +D ．2()4a b −解：函数()sin cos f x a x b x =+的最大值为22=，整理得224a b +=， 对于A ：满足224a b +=，故A 正确；对于22:24B ab a b +=，故2ab ，故B 正确； 对于222:()2()8C a b a b ++=，故C 正确；对于D ：由于2()8a b +，故2()8a b −不成立，故D 错误． 故选：D ．9．已知平面向量a ，b 满足||2a =，a 与a b −的夹角为120︒，记(1)()m ta t b t R =+−∈，则||m 的取值范围为( )A ．)+∞B ．)+∞C ．[1，)+∞D ．1[2，)+∞解：已知平面向量a ，b 满足||2a =，a 与a b −的夹角为120︒， 设OA a =，OB b =，OC m =， 则2OA =，120OAB ∠=︒，(1)()m ta t b t R =+−∈，A ∴，B ，C 三点共线，O 到直线AB 的距离sin 60d OA =⋅︒3OC ∴，即||m 的取值范围为)+∞． 故选：A ．10．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为( )A ．716π+B ．7566π+C ．718π+D ．1π+解：该组合体的体积331774711188836V V V V V V ππ=+−=+=⨯⨯+=+球正方体球球正方体，故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．11．在51()x x+的展开式中，x 的系数为 10 ．解：51()x x +的展开式的通项公式为5521551()r r r r r r T C x C x x −−+==，令521r −=，解得2r =，所以在51()x x +的展开式中，x 的系数为2510C =．故答案为：10．12．已知圆222:(0)C x y r r +=>，直线:l y x =C 上至少有3个点到直线l 距离都是1”成立的一个充分条件是“r = 2（答案不唯一） ”． 解：要使圆C 上至少有三个不同的点到直线l 的距离为1， 只需1r d −，即1r ；解得2r ．所以圆半径r 的取值范围是[2，)+∞．圆222:(0)C x y r r +=>，直线:l y x =+C 上至少有3个点到直线l 距离都是1”成立的一个充分条件是2r =．故答案为：2（答案不唯一）．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去．则第4个正方形的面积是12；从正方形ABCD 开始，连续8个正方形面积之和是 ．解：根据题意，设第n 个正方形的面积为n a ，取第n 个正方形各边的中点，连接之后得到第1n +个正方形，易得12n n a a +=， 则数列{}n a 是公比为12的等比数列， 正方形ABCD 的边长为2，则1224a =⨯=，则第4个正方形的面积34114()22a =⨯=，从正方形ABCD 开始，连续8个正方形面积之和8814(1)255213212S ⨯−==−， 故答案为：12，25532． 14．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC 垂直 （填“垂直”或“不垂直” )；AEF ∆的面积的最大值为 ．解：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥， 又底面ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥， 又ABPA A =，AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 因为AE ⊂平面PAB ， 所以BC AE ⊥， 又2PA AB ==，所以PAB ∆为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点， 所以AE PB ⊥， 又BCPB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ， 因为AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥与平面PBC ．因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ， 所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF ∆的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==所以AEF ∆的面积的最大为12．15．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，设()|()|g x f x =，给出以下四个结论： ①函数()g x 的最小正周期是3π；②函数()g x 在区间75(,)189ππ上单调递增；③函数()g x 的图象过点2； ④直线1318x π=为函数()g x 的图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的序号是 ①② ．解：根据函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象知，249186T πππ=−=，23T π=，()f x 的最小正周期为23π， 所以()|()|g x f x =的最小正周期为3π，结论①正确；因为23T πω==，且22()sin(3)199f ππϕ=⨯+=，所以2232k ππϕπ+=+，k Z ∈，解得26k πϕπ=−+，k Z ∈，又因为||2πϕ<，所以6πϕ=−， 所以()sin(3)6f x x π=−，所以()|()||sin(3)|6g x f x x π==−，当7(18x π∈，5)9π时，33(,)62x πππ−∈，()sin(3)6f x x π=−单调递减，且()0f x <，所以函数()g x 在区间75(,)189ππ上单调递增，结论②正确； 因为1(0)|sin()|62g π=−=，所以函数()g x 的图象过点1(0,)2，结论③错误；因为1313()|sin(3)|018186g πππ=⨯−=，所以直线1318x π=不是函数()g x 图象的一条对称轴，结论④错误． 综上知，所有正确结论的序号是①②． 故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21a t =−，4b t =，41(1)c t t =+>． （Ⅰ）当3t =时，求cos B ；（Ⅱ）是否存在正整数t ，使得角C 为钝角？如果存在，求出t 的值，并求此时ABC ∆的面积；如果不存在，说明理由．解：（Ⅰ）3t =时，5a =，12b =，13c =，22251213+=，此时ABC ∆为直角三角形， 所以5cos 13a B c ==．............（6分）（Ⅱ）由题意可得，2221,(21)(4)(41)cos 0.2(21)4t t t t C t t >⎧⎪−+−+⎨=<⎪−⋅⎩即24120,1.t t t ⎧−<⎨>⎩所以13t <<，*.t N ∈则2t =． 此时三边为3a =，8b =，9c =．所以2223891cos 2386C +−==−⨯⨯．所以sin C =所以11sin 38226ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=．............（13分）17．（13分）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“52+”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X 表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有(014)n n <人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X 表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y 表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差()D X ，()D Y 的大小关系（结论不要求证明）． 解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅参加学业辅导的学生有25人，仅参加体育锻炼的学生有18人，仅参加实践能力创新培养的学生有16人，未参加任何课后服务的学生有14人． 故样本中至少参加了两类课后服务的学生有1002518161427−−−−=人． 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务的概率估计值为270.27100=．............ （Ⅱ）X 的所有可能值为0，1，2，3．从样本中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为2511004=， 由此估计从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为003311127.(0)()(1)44464P X C ==⨯⨯−=，1231127(1)(1)4464P X C ==⨯⨯−=，2213119(2)()(1)4464P X C ==⨯⨯−=，33311(3)()464P X C ==⨯=． 所以X 的分布列为故X 的数学期望为2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．............（10分） （Ⅲ）()()D X D Y <．............（13分）18．（14分）刍甍(ch ú m éng )是中国古代数学书中提到的一种几何体．《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．” 如图，在刍甍ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，平面BAE 和平面CDE 交于EF ． （Ⅰ）求证：//CD 平面BAE ；（Ⅱ）若4AB =，2EF =，ED FC =，AF =①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得刍甍ABCDEF 存在，并求平面ADE 和平面BAE 夹角的余弦值． 条件①：BF FC ⊥，AF FC ⊥；条件②：平面CDE ⊥平面ABCD ，AF FC ⊥，； 条件③：平面CBF ⊥平面ABCD ，BF FC ⊥．解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，//CD AB ，CD ⊂/平面BAE ，AB ⊂平面BAE ， 所以//CD 平面BAE ．（Ⅱ）由 （1）知//CD 平面BAE ，又CD ⊂平面CDE ，平面BAE 与平面CDE 交于EF ．//CD EF ∴，又//CD AB ，//AB EF ∴所以四边形CDFE 为等腰梯形，四边形BAEF 为梯形；条件①：BF FC ⊥，AF FC ⊥，则FC ⊥平面BAF ，即FC ⊥平面BAE又EF ⊂平面BAE ，FC EF ∴⊥，此时四边形CDFE 不为等腰梯形，故条件①不符合 条件③：平面CBF ⊥平面ABCD ，且平面ABF平面ABCD BC =又CD BC ⊥，CD ∴⊥平面CBF ，FC ⊂平面CBF ，CD FC ∴⊥ 此时四边形CDFE 不为等?梯形，故条件③不符合； 条件②符合题意．过点F 作FO DC ⊥于点O ，过点O 作OH DC ⊥且交AB 于点H ，连接AO ． 因为平面CDE ⊥平面ABCD ，且平面CDE 平面ABCD CD =，FO DC ⊥，所以FO ⊥平面ABCD ．所以FO OH ⊥．以O 为坐标原点，分别以OD ，OH ，OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz −． 因为//CD 平面BAE ，CD ⊂平面CDE ，平面BAE 平面CDE EF =，所以//CD EF ．在四边形CDEF 中，ED FC =，2EF =，4CD =，所以1OC =，3OD =． 在正方形ABCD 中，4AB =，所以5AO =． 因为AO FO ⊥，且AF =FO =所以(0H ，4，0)，(3D ，0，0)，(3A ，4，0)，E，F ．所以(0,4,0)DA =，(DE =−，(1,AE =−−，(2,0,0)FE =． 设平面ADE 的一个法向量为1(n x =，1y ，1)z ． 由0,0,n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11140,0y x =⎧⎪⎨−+=⋅⎪⎩令11z =，所以n =．设平面BAE 的一个法向量为2(m x =，2y ，2)z ．由0,0,m AE m FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222240,20x y x ⎧−−+=⎪⎨=⋅⎪⎩令21y =，所以(0,1,2m=．设平面ADE 与平面BAE 夹角为θ，则26cos |cos ,|||||||9nm n m n m θ⋅=<>==． 所以平面ADE 和平面BAE ． 19．（15分）已知曲线22:1(3x y W m R m m+=∈−，0m ≠，且3)m ≠． （Ⅰ）若曲线W 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）当1m =时，过点(1,0)E 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交曲线W 于点A ，(B A ，B 异于顶点），交直线2x =于P ．过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C ，直线BQ 交x 轴于D ，求线段CD 中点M 的坐标．解：（Ⅰ）由题意可知30,0,3m m m m −>⎧⎪>⎨⎪−>⋅⎩解得302m <<，所以m 的取值范围为3(0,)2．............（Ⅱ）当1m =时，曲线W 为椭圆2212x y +=，由题意，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =−≠．联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，整理得2222(12)4220k x k x k +−+−=．设直线l 交椭圆W 于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k −=+．由直线l 的方程(1)y k x =−，令2x =，解得y k =， 所以(2,)P k ，(0,)Q k ． 所以直线AQ 的方程为11y ky x k x −=+，10x ≠． 令0y =，解得11kx x k y =−， 所以11(,0)kx C k y −． 直线BQ 的方程为22y ky x k x −=+，20x ≠． 令0y =，解得22kx x k y =−， 所以22(,0)kx D k y −．1212211212[()()]()()kx kx k x y k x y k k y k y y k y k −−+−+=−−−−． 由于11(2)y k k x −=−，22(2)y k k x −=−． 则12122121212[(2)(2)](2)(2)kx kx k x k x x k x k y k y k x x −−+−+=−−−− 121212121212122()22()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x +−+−==−−−++ 22222224222()1222841212k k k k k k k −++=−−+++ 2=．所以线段CD 的中点M 的坐标为(1,0)．............（15分） 20．（15分）已知函数()2f x lnx x lna =−−，0a >． （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1，f （1）)处切线的斜率； （Ⅱ）求函数()f x 的极大值；（Ⅲ）设2()x g x ae x =−，当(1,)a e ∈时，求函数()g x 的零点个数，并说明理由． 解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0，2)()xf x x−'+∞=，f '（1）1=， 所以曲线()y f x =在(1，f （1）)处切线的斜率为1．............ （Ⅱ）()2f x lnx x lna =−−，则2()xf x x−'=． 令()0f x '=得2x =．当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以函数()f x 的极大值为f （2）24ln ae=．............（10分） （Ⅲ）()2(1)x g x ae x a e '=−<<，当(x ∈−∞，0]时，()0g x '>，所以函数()g x 在(x ∈−∞，0]时单调递增． 而(0)0g a =>，(1)10ag e−=−<． 所以方程()0g x =在(1,0)x ∈−时有且只有一个根，即方程()0g x =在(x ∈−∞，0]时有且只有一个根． 当0x >时，讨论函数()g x 的零点个数即讨论方程2x ae x =根的个数， 即研究方程2(1,0)lna x lnx a e x +=<<>的根的个数， 即研究函数()2(1f x lnx x lna a e =−−<<，0)x >的零点个数． 当1a e <<时，22ae e >，2244(2)0f lnln ae e=<<，则函数()f x 在(0,)+∞上无零点． 综上，当(1,)a e ∈时，函数()g x 有且仅有一个零点．............（15分）21．（15分）对任意正整数n ，记集合1{(n A a =，2a ，，1)|n a a ，2a ，，n a 均为非负整数，且12}n a a a n +++=，集合1{(n B b =，2b ，，1)|n b b ，2b ，，n b 均为非负整数，且122}n b b b n +++=．设1(a α=，2a ，，)n n a A ∈，1(b β=，2b ，，)n n b B ∈，若对任意{1i ∈，2，，}n 都有i i a b ，则记αβ<． （Ⅰ）写出集合2A 和2B ；（Ⅱ）证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ<；（Ⅲ）设集合{(,)|n n S A αβα=∈，n B β∈，}αβ<，求证：n S 中的元素个数是完全平方数． （本小题满分15分）解：（Ⅰ）2{(0,2)A =，(1,1)，(2,0)}，2{(0,4)B =，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．..... （Ⅱ）对任意1(a α=，2a ，，)n n a A ∈，设1(1i i b a i =+=，2，3，，)n ，则1b ，2b ，，n b 均为非负整数，且(1i i a b i =，2，3，，)n ．令1(b β=，2b ，，)n b ，则121212(1)(1)(1)()2n n n b b b a a a a a a n n ++⋯+=++++⋯++=++⋯++=，所以n B β∈，且αβ<．............（9分）（Ⅲ）对任意1(a α=，2a ，⋯，)n n a A ∈，1(a α'='，2a '，⋯，)n n a A '∈， 记11(a a αα'+=+'，22a a +'，⋯，)n n a a +'， 则11a a +'，22a a +'，，n n a a +'均为非负整数，且11221212()()()()()2n n n n a a a a a a a a a a a a n n n +'++'+⋯++'=++⋯++'+'+⋯+'=+=，所以n B αα'+∈，且ααα'<+，ααα''<+． 设集合n A 中的元素个数为t ，设1{n A α=，2α，，}t α．设集合{(n i T α=，)|1i j i αα+=，2，，t ，1j =，2，，}t ．对任意(1i n A i α∈=，2，，)t ，都有1i αα+，2i αα+，，i t n B αα+∈，且i i j ααα<+，1j =，2，，t ．所以n n T S ⊆．若(,)n S αβ∈，其中1(a α=，2a ，，)n n a A ∈，1(b β=，2b ，，)n n b B ∈，设(1i i i c b a i =−=，2，，)n ，因为i i a b ，所以0i i i c b a =−，记1(c α'=，2c ，，)n c ，则1211221212()()()()()2n n n n n c c c b a b a b a b b b a a a n n n +++=−+−+⋯+−=++⋯+−++⋯+=−=，所以n A α'∈，并且有βαα'=+，所以(,)n T αβ∈，所以n n S T ⊆． 所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．............（15分）。
朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试题答案
北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）B （3）B （4）D （5）D （6）C（7）A（8）B（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）40（12）28n n + （13）（14）43（答案不唯一）（15）① ④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由(0)10f m =+=得1m =−．所以2()cos cos 1f x x x x =+−cos2111212cos222222x x x x +=+−=+−π1sin(2)62x =+−．所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==． ················································· 7分（Ⅱ）由πππ2π22π262k x k −++≤≤（k ∈Z ），得ππππ36k x k −+≤≤（k ∈Z ）．所以()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k −+（k ∈Z ）．因为()f x 在区间[0,]t 上单调递增，且ππ0[,]36∈−，此时0k =，所以π6t ≤，故t 的最大值为π6． ······················································· 13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取PB 的中点F ，连接,CF EF ．因为E 是PA 的中点，所以//,2EF AB AB EF =． 又因为//,2AB DC AB DC =， 所以//EF DC 且EF DC =．所以四边形CDEF 为平行四边形． 所以//DE CF ．又因为DE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ······································································ 5分 （Ⅱ）取BC 的中点O ，连接PO ．因为PB PC =，所以PO BC ⊥． 又因为侧面PBC ⊥底面ABCD ， 且平面PBC平面ABCD BC =，所以PO ⊥平面ABCD ．如图，在平面ABCD 中，作//Oy BA ， 则,,PO BC PO Oy Oy BC ⊥⊥⊥， 建立空间直角坐标系O xyz −．选条件①：连接AO ，在Rt ABO △中，因为2AB =，1BO =，所以AO 在Rt PAO △中，因为AP =，AO =PO ．所以1(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(2A B C D P E −−−．所以13(,1,),(2,1,0)22BE BD ==．设平面EDB 的法向量是(,,)x y z =m ，则 0,0,BE BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即10,220.x y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，则2,y z =−=． 于是(1,=−m ．因为PO ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)=n 是平面BDC 的法向量．所以cos ,||||〈〉⋅==m n m n m n ．由题知，二面角E BD C −−为钝角，所以其余弦值为． ···················· 14分选条件③：连接AO ，因为PO ⊥平面ABCD ， 所以PAO ∠是直线AP 与平面ABCD 所成角．所以tan PO PAO AO ∠==．在Rt ABO △中，因为2,1AB BO ==，所以AO在Rt PAO △中，因为PO AO AO =，所以PO =．下同选条件①． ··············································································· 14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件A ．在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以2()7P A =． ··············································································· 3分（Ⅱ）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天．X 的所有可能取值为0,1,2，321255230127277533(0),(1),(2)777241C C C C C P X P X C C C C =========．所以X 的分布列为2416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=． ························································· 10分（Ⅲ）11月6日． ···················································································· 13分 （19）（共15分）解：（Ⅰ）由()ln 1()R f x x a x a =−−∈得()1af x x '=−，依题意，(1)10f a '=−=，得1a =．经验证，()ln 1f x x x =−−在点(1,0)处的切线为0y =，所以1a =． ··········· 4分（Ⅱ）由题得()1a x a f x x x −'=−=．（1）若1a ≤，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以()f x 无极值点． （2）若1a >，当(1,)x a ∈时，()0f x '<，故()f x 在区间(1,)a 上单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在区间(,)a +∞上单调递增．所以x a =为()f x 的极小值点，且()f x 无极大值点． 综上，当1a ≤时，()f x 在区间(1,)+∞内的极值点个数为0；当1a >时，()f x 在区间(1,)+∞内的极值点个数为1． ····················· 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知当1a ≤时，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=．所以()f x 在区间(1,)+∞内无零点．当1a >时，()f x 的单调递减区间为(1,)a ，单调递增区间为(,)a +∞． 所以()(1)0f a f <=．若()f x 在区间(1,)+∞内有零点t ，则(,)t a ∈+∞．而22()2ln 1f a a a a =−−，设2()2ln 1(1)g x x x x x =−−>， 则()22(1ln )1ln )g x x x x x '=−+=−−．设()2(1ln )(1)h x x x x =−−>，则12(1)()2(1)0x h x x x −'=−=>，所以()h x 在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)0g a g >=，即2()0f a >． 又2()0,f t a a =>， 所以2t a <． ··················································································· 15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题可知(,0),(0,),||A a B b AB −=因为AOB △的面积为1，所以112AOB S ab ==△．因为点O 到直线AB的距离为，所以1||12AOB S AB ===△．所以222,5,,ab a b a b =⎧⎪+=⎨⎪>⎩得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为2214x y +=． ························································ 5分（Ⅱ）点N 为线段CM 的中点，理由如下：由题知直线l 的斜率存在，设过点(2,1)P −的直线l 的方程为1(2)y k x −=+，即(2)1y k x =++． 由22(2)1,44,y k x x y =++⎧⎨+=⎩得2222(14)(168)16160k x k k x k k +++++=．由2222(168)4(14)(1616)640k k k k k k ∆=+−++=−>，得0k <． 设11)(,C x y ，22)(,D x y ，则221212221681616,1414k k k k x x x x k k +++=−=++． 直线AD 的方程为22(2)2y y x x =++，令1x x =，得点M 的纵坐标212(2)2M y x y x +=+．直线AB 的方程为1(2)2y x =+，令1x x =，得点N 的纵坐标11(2)2N y x =+．要证点N 为线段CM 的中点，只需证明1)1(2N M y y y =+，即112M N y y y +=．因为2211112(2)(2)(2)(2)2M N y y y y y x x x x +++++=+121121121222222222222222(2)(2)(4)(2)(2)422()4168414216161682()41414(168)416216162(168)4(14)48242121,k x x x x x x x x k x x x x k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k+++++=++++=+++++−++=++++−+++−+++=++−+++−=+=+−=所以点N 为线段CM 的中点． ····························································· 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）10b =，20b =，31b =，103b =； ························································ 3分 （Ⅱ）由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =．若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=， 所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾． 所以11a =．设*1)(n n n d a a n +−∈=N ，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ．假设存在*k ∈N 使得2k d ≥．设k a t =，由12k k a a +−≥得12k a t ++≥．由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾．所以对任意*n ∈N 都有1n d =．所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+−=． ······································ 8分（Ⅲ）因为对于*n ∈N ，1n n B B +⊆，所以1n n b b +≤．所以111n n n n b n b n b ++++<++≤，即数列{}n n b +是递增数列． 先证明S T =∅．假设ST ∅≠，设正整数p ST∈．由于p S ∈，故存在正整数i p <使得i p i a =+，所以i a p i =−． 因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以11i a p i +−+≥．所以1p i b i −=−，1p i b i−+=．所以()11p i p i b p i i p −−+=−+−=−，1(1)11p i p i b p i i p −+−++=−++=+．又因为数列{}n n b +是递增数列，所以p T ∈/，矛盾． 所以S T =∅．再证明*ST =N ． 由题可知*ST ⊆N ．设*q ∈N 且q S ∈/，因为数列{}n n a +是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数j ，使得jq j a <+．令0min{|}j j j q j a =<+．若01j =，则11q a <+，即11a q >−，所以1a q ≥． 所以q b =，所以q q b q T+=∈．若01j >，则000101j j j a q j a −−+<<+，所以00101j j a q j a −<−+≤．所以0101q j b j −+=−，所以00100(1)11q j q j b q j j q−+−++=−++−=．因为001(1)q j q j b T−+−++∈，所以q T ∈．所以*S T ⊆N ．综上，*ST =N 且ST =∅．·························································· 15分。
北京市理科朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试
北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2016．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<M N = A ．{}|01x x ≤< B ．{|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～km/h ）频率120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．36第7题图8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a< D ．20a <第二部分（非选择题 共110分）侧视图俯视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ，最小值是 ．10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足||CA CB +=，则=AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部，且有xOA yOB zOC ++=0，记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆，，．若1x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-． （Ⅰ）求sin C ∠的值；（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）ADBC如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=- ． （Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列； （Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45=+=．………………………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCACC AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， 所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===， 则(0,0,0),(,0,0)G A a ，,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以(E a -，(,0,)22a F -．所以3()22a AF =-，(,,0)22a EF =- ．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD，所以,0)GB =是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE． ……………………13分 18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立， 即1()0f x a x '=+≥，1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立， 则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=． （ⅰ）令0)(='x f ，得1ex =．令()0f x '>,得1(0,)e x ∈，所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增．令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞，所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减．所以，max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-， 所以2|)(|≥x f ． 设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='． 令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增， 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<， 即2)(<x g ． 所以)(|)(|x g x f > ，即>|)(|x f ln 32x x +． 所以，方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以c e a ==．所以椭圆C…………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ====== 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以AB ≤．此时, max (S )OAB ∆=.综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =．当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分（Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件； 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=，共有下面4种情况： （1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =；（2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =；（3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =；（4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==- ． 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n na a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=，则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ．当i 是偶数时，0t ≠，2111()2tm a a a =⋅=无正数解，不满足条件；当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤．11 又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---==== ， 有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=． 所以，1a 的最大值是12m -．即1212k a -=．…………………………………13分。
朝阳区2023-2024学年第一学期期末质量检测高三数学试卷及答案
北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测高三数学 2024.1（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|03}A x x =≤≤，3{|log 1}B x x =<，则AB =（A ）[0,3]（B ）[0,3)（C ）(0,3)（D ）(0,3]（2）设a ∈R ，若复数(2i)(2i)a -+在复平面内对应的点位于虚轴上，则a =（A ）4- （B ）1- （C ）1 （D ）4（3）若01a <<，则（A ）1132a a < （B ）23a a < （C ）11log log 23aa > （D ）sin cos a a >（4）在ABC △中，若π1,cos 63a A C =∠==-，则c =（A（B ）23（C）（D ）83（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1),(2,1)A B ，动点P 满足0PA PB ⋅=，则||OP 的最大值为（A ）1（B（C ）2（D1（6）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是平面1111A B C D 内一点，且//EB 平面1ACD ，则1tan DED ∠的最大值为（A）2（B ）1 （C（D ）2（7）设函数()()2mf x x m x =+∈-R 的定义域为(1,2)-，则“30m -<≤”是“()f x 在区间(1,2)-内有且仅有一个零点”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若30PEF ∠=，则sin PFE ∠= （A（B（C（D（9）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用Q 表示产量，L 表示劳动投入，K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q AK L αβ=，其中0,0,0,01,01A K L αβ>>><<<<．当A 不变，K 与L 均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是 （A ）存在12α<和12β<，使得Q 不变 （B ）存在12α>和12β>，使得Q 变为原来的2倍 （C ）若14αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍 （D ）若221+2αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍 （10）在ABC △中，AB AC ==，当λ∈R 时，||AB BC λ+的最小值为4．若AM MB =，22sin cos AP AB AC θθ=+，其中ππ[,]63θ∈，则||MP 的最大值为（A ）2 （B ）4 （C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)
北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ 或，k ∈Z ，∵φ＞0，∴φ的最小值为． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题． 6.设为实数，则是 “”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由“x ＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x ＜0”，从而得出“x ＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x ＜0，﹣x ＞0，则：；∴“x ＜0“是““的充分条件；若，则；解得x ＜0； ∴“x ＜0“是““的必要条件；综上得，“x ＜0”是“”的充分必要条件．故选：C ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a，3故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S＝55+20＝25，5故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长. 【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。
高三试题——2018—2019北京市朝阳高三上期末数学(理)试题及答案
m；旗杆 BA C
P1
P2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) sin x cos x sin2 x 1 . 2
（Ⅰ）求 f (x) 的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ ABC 中, a,b, c 为角 A, B,C 的对边，且满足 bcos 2A bcos A asin B ， 且 0 A ，求 f (B) 的取值范围. 2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.
i=i+1
9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 的离心率为 2 ，则双曲线 C 的
渐近线方程为
.
10. 执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为
.
11. ABCD 中， E, F 分别为边 BC,CD 中点，若 AF x AB y AE
20. (本小题满分 13 分)
已 知 集 合 P a1, a2,..., an ， 其 中 ai R 1 i n, n 2. M (P) 表 示
ai +a（ j 1 i j n) 中所有不同值的个数.
（Ⅰ）若集合 P 1,3,5，7,9，求 M (P) ；
（Ⅱ）若集合 P 1, 4,16,..., 4n1 ，求证： ai +a j 的值两两不同，并求 M (P) ；
（Ⅲ）求 M (P) 的最小值.（用含 n 的代数式表示）
6
北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案（理工类）
2018.1
一、选择题（40 分）
题号
1
北京市朝阳区2005年高三数学(理科)第三次统一考试
北京市朝阳区2005年高三数学（理科）第三次统一考试2005.5（考试时间120分钟，满分150分）第I 卷（选择题共40分）参考公式：棱锥的体积公式V Sh 棱锥=13其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高。
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P k C P P n n k k n k ()()=--1。
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M x xx N x x =->=-<{|}{|||}12212，，则M N =（ ） A. {|}x x 322<< B. {|}x x -<<1232C. {|}x x 132<<D. {|}x x -<<121（2）已知a ，b 是两条直线，αβ，是两个平面，有下列4个命题： ①若a b b //，，⊂α则a //α ②若a b a b ⊥⊥⊄，，，αα则b //α ③若αβαβ⊥⊥⊥，，a b ，则a b ⊥④若a ，b是异面直线，a b a ⊂⊂αββ，，//，则αβ//其中正确命题有（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④（3）已知两点P Q ()()4923，，，--，则直线PQ 与y 轴的交点分PQ →所成的比为（ ） A.13B.12C. 2D. 3（4）下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）（5）已知二项式()x xn132-的展开式中含x 13的项是第8项，则二项式系数最大的项是（ ）A. 第15、16两项B. 第14、15两项C. 第15项D. 第16项（6）若直线22000ax by a b -+=>>()，始终平分圆x y x y 222410++-+=的周长，则11a b +的最小值是（ ） A. 14B. 2C. 4D.12（7）设F F 12、为双曲线x y 2241-=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠=︒F PF 1260，则∆F PF 12的面积是（ ）A. 5B. 3C.52D.32（8）已知limx x cx x a →++-=2222，且函数y a x b x c =++(ln )2在[1，e]上存在反函数，则（ ）A. b ∈-∞(]，0B. b e ∈+∞[)2，C. b e ∈-∞+∞(][)，，02D. b e ∈[]02，第II 卷（非选择题 共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区陈经伦中学2022-2023学年数学高三第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π2．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-3．20201i i=-（ ） A ．22B ． 2C ．1D ．144．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 5．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<6．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A ．5B ．3C ．10D ．48．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D--的余弦值的最小值是（ ）A 5B 3C ．12D ．19．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20B ．18C ．16D ．1410．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．132- B 312i + C ．132+ D 312i -11．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞12．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市朝阳区2015年高三年级第二次综合练习数学(理)试卷及解析讲解
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2|1A x x =>，集合(){}|20B x x x =-<，则A B =A ．{}|12x x <<B ．{}|2x x >C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x x ，或≤≥2．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是A ．7B ．10C ．66D ．1663．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数()1i m m -+是纯虚数”是“1m =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A B C ，，，满足6810AB AC BC ===，，，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=A ．48B ．48-C ．100D ．100-5．已知函数()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤，则12||x x -的最小值是A ．2B ．4C ．πD ．2π6．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若5||2PF =，则双曲线的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C．y =D．y =7．已知函数()e e 2x x f x --=，x ∈R ，若对任意π02θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，都有()()sin 10f m f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是A ．()01，B ．()02，C ．()1-∞，D ．(]1-∞，8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起部分面积的最小值为A ．14B ．38C ．25D ．12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．4113x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x -项的系数是＿＿＿＿＿＿.10．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，且圆C 与两条直线0x y +=和120x y +-=都相切则圆C 的标准方程是＿＿＿＿＿＿.1(C )B (B )D11．如图，已知圆B 的半径为5，直线AMN 与直线ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN过圆心B .若2AM =，60CBD ∠=︒，则AD =＿＿＿＿.12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为 ．13．已知点()()()()*112212n n A a A a A a n n ∈N ，，，，，，都在函数13log y x =的图象上．则数列{}n a 的通项公式为；设O 为坐标原点，点()()*0n n M a n ∈N ，，则11OA M △，22OA M △，…，n n OA M △中，面积的最大值是．14．设集合(){}{}123|202123i A m m m m i =∈-=，，，，，，，，集合A 中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“12325m m m ++≤≤”的元素个数为．NBCD MA俯视图正视图侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2120CD ADC ==︒，∠，cos CAD =∠．⑴求AC 的长；⑵求梯形ABCD 的高．16．（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从A B C ，，三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A B C ，，三题答卷数如下表：题A B C 答卷数180 300120⑴某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A 题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B C ，题作答的答卷中各抽出多少份？⑵若在⑴问中被抽出的答卷中，A B C ，，三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A B C ，，三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率；⑶测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在⑴问中被抽出的选择B 题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ．BA CD如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===.直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD . （1）求证：FA BC ⊥；（2）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值；（3）设H 为BD 的中点，M N ，分别为线段FD AD ，上的点（都不与点D 重合）.若直线FD ⊥平面MNH ，求MH 的长.18．（本小题分13分）已知点M 为椭圆22:3412C x y +=的右顶点，点A B ，是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14. （1）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（2）试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由.已知函数()()2e x f x x a a =-∈R ，.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若在区间()12，上存在不相等的实数m n ，，使()()f m f n =成立，求a 的取值 范围；（3）若函数()f x 有两个不同的极值点12x x ，，求证：()()2124e f x f x -<.20．（本小题满分13分）已知数列()*12:2n n A a a a n n ∈N ，，，，≥是正整数123n ，，，， 的一个全排列.若对每个{}23k n ∈，，， 都有1||2k k a a --=或3，则称n A 为H 数列. （1）写出满足55a =的所有H 数列5A ；（2）写出一个满足()5512403k a k k ==，，， 的H 数列2015A 的通项公式；（3）在H 数列2015A 中，记()512403k k b a k ==，，， .若数列{}k b 是公差为d 的等差数列，求证：5d =或5-.朝阳区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案及评分参考2015.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A【解析】由题意可得集合{|1A x x =<-或1}x >，集合{|02}B x x =<<所以{|12}A B x x =<< ，选A. （2）B【解析】有程序图得2222147S n =++++ ，当7n =时，22214766100S =++=<继续循环，当10n =时，显然有210100S >=，输出10n =. 所以选B. （3）B【解析】设命题q ：复数(1)i m m -+为虚数可得0m =或1m =，不一定有命题p ：1m =，故q 不是p 的充分条件；而当1m = 时，(1)i m m -+为虚数成立，所以q 是p 必要条件，选B. （4）C【解析】根据题意A ，B ，C 可以构成三角形ABC ∆，且ABC ∆是直角三角形，AB AC ⊥，所以 2()0100AB BC BC CA CA AB BC AB CA BC ⋅+⋅+⋅=++=-=- ，所以选C （5）A【解析】易题意，1x x =时，函数取到最小值；2x x =时，函数取到最大值.()f x 为正弦型函数，因此12x x -的最小值即为()f x 的半个周期，2π4π2T ==，所以最小值为2 （6）C【解析】易知焦点坐标()1,0F ，221a b ∴+=， 根据抛物线性质可知P 点的横坐标为32，229614a b∴-=， 综上，可求得2213,44a b ==，所以渐近线方程为y =（7）D【解析】易知()f x 为R 上的单调递增函数，且为奇函数，因此()()()()sin 10sin 1sin 1f m f m f m f m m m θθθ+->⇔>-⇔>- 11sin m θ⇔<-，π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ，所以()11,1sin θ∈+∞-，(],1m ∴∈-∞、（8）B【解析】如图所示，设1AB x =，根据勾股定理易求得1BB =，根据翻折的性质1B O =，易证1BAB BOE ∆ △，可求得：212x BE +=，过E 作EG BC ∥，易证1BAB EGF ≅△△，1AB x GF ∴==，2212x x CF BE FG -+∴=-=，()2122224x x S BE CF BC -+∴=+⋅=∴当12x =时，，面积最小，为38.C 1 (C )B 1(B )ECC二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2014-2015学年度高三(上)期末数学试卷(理工类)
北京市朝阳区2014-2015学年度高三（上）期末数学试卷（理工类）2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1i iz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin AC ⋅的最大值是A B ．34C D7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ． 72B ． 3C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ． 11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xx f x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --F 在边BC 上的位置，并说明理由.D P C B F A E0.02若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分） 设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,2，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<． （Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．。
北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学试卷理科含解析
2021-2021学年北京市朝阳区高三〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，那么〔∁U A〕∩B=〔〕A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}2．在复平面内，复数对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．以下函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是〔〕A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|4．假设a＞0，且a≠1，那么“函数y=a x在R上是减函数〞是“函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是〔〕A．6 B．8 C．10 D．126．某四棱锥的三视图如下列图，其俯视图为等腰直角三角形，那么该四棱锥的体积为〔〕A．B．C．D．47．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ〔λ＞0，μ＞0〕，那么当λμ获得最大值时，||的值为〔〕A．B．3 C．D．8．某校高三〔1〕班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，那么这两项成绩均合格的人数是〔〕A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，那么b等于．10．等差数列{a n}的前n项和为S n．假设a1=2，S2=a3，那么a2=，S10=．11．执行如下列图的程序框图，那么输出S的结果为．12．在△ABC中，，那么∠C=．13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A〔x，y〕，那么2x+y的最大值是，的取值范围是．14．假设集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，那么称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M〔M⊆R〕，f：M→M是从集合到集合的一个函数，①假设都有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，就称是保加法的；②假设∀x，y∈M都有f〔xy〕=f〔x〕•f〔y〕，就称f是保乘法的；③假设f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合封闭的〔填“是〞或“否〞〕；假设函数f〔x〕在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f〔x〕=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．函数f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的假设干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：乙：9295807583809085〔Ⅰ〕用茎叶图表示这两组数据；〔Ⅱ〕现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为适宜？并说明理由；〔Ⅲ〕假设对甲同学在今后的3次测试成绩进展预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ〔将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率〕，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．在如下列图的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．〔Ⅰ〕求证：AC∥平面DEF；〔Ⅱ〕假设二面角D﹣AB﹣E为直二面角，〔i〕求直线AC与平面CDE所成角的大小；〔ii〕棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．18．椭圆上的动点P与其顶点，不重合．〔Ⅰ〕求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；〔Ⅱ〕设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN 的面积．19．设函数f〔x〕=ln〔x﹣1〕+ax2+x+1，g〔x〕=〔x﹣1〕e x+ax2，a∈R．〔Ⅰ〕当a=1时，求函数f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数g〔x〕有两个零点，试求a的取值范围；〔Ⅲ〕证明f〔x〕≤g〔x〕20．设m，n〔3≤m≤n〕是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i〔1≤i≤m〕是集合{1，2，3，…，n}中互不一样的元素．假设数列A m满足：只要存在i，j〔1≤i＜j≤m〕使a i+a j≤n，总存在k〔1≤k≤m〕有a i+a j=a k，那么称数列A m是“好数列〞．〔Ⅰ〕当m=6，n=100时，〔ⅰ〕假设数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列〞，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列〞？〔ⅱ〕假设数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列〞，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？〔Ⅱ〕假设数列A m是“好数列〞，且m是偶数，证明：．2021-2021学年北京市朝阳区高三〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，那么〔∁U A〕∩B=〔〕A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合补集和交集的定义进展求解即可．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∁U A={x|x≥0}，那么〔∁U A〕∩B={x|0≤x＜2}，应选：B2．在复平面内，复数对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解：在复平面内，复数==1﹣i对应的点〔1，﹣1〕位于第四象限．应选：D．3．以下函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是〔〕A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进展判断即可．【解答】解：A．y=cosx是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．C.是偶函数，当x≥0时=〔〕x在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．D．y=|sinx|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．应选：D4．假设a＞0，且a≠1，那么“函数y=a x在R上是减函数〞是“函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数单调性之间的关系以及充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【解答】解：假设函数y=a x在R上是减函数，那么0＜a＜1，此时2﹣a＞0，那么函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数成立，即充分性成立，假设函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数，那么2﹣a＞0，即0＜a＜2，那么函数y=a x 在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数〞是“函数y=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞的充分不必要条件，应选：A．5．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是〔〕A．6 B．8 C．10 D．12【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个应选C．6．某四棱锥的三视图如下列图，其俯视图为等腰直角三角形，那么该四棱锥的体积为〔〕A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，把数据代入锥体的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，∴几何体的体积V==．应选B．7．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ〔λ＞0，μ＞0〕，那么当λμ获得最大值时，||的值为〔〕A．B．3 C．D．【考点】平面向量的根本定理及其意义．【分析】根据条件建立坐标系，利用根本不等式的性质进展求解即可．【解答】解：将三角形放入坐标系中，那么C〔0，4〕，B〔3，0〕，∵=λ+μ〔λ＞0，μ＞0〕，∴λ+μ=1，那么1=λ+μ≥2，即λμ≤，当且仅当λ=μ=时取等号，此时=λ+μ=+=〔3，0〕+〔0，4〕=〔，2〕那么||==，应选：C8．某校高三〔1〕班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，那么这两项成绩均合格的人数是〔〕A．23 B．20 C．21 D．19【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】设这两项成绩均合格的人数为x，根据集合关系建立方程进展求解即可．【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，那么跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，那么26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，应选：B二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，那么b等于3．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线〔a＞0〕的渐近线和3x+2y=0相比较，得到b的值．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，∴=，解得b=3，故答案为：310．等差数列{a n}的前n项和为S n．假设a1=2，S2=a3，那么a2=4，S10=110．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．11．执行如下列图的程序框图，那么输出S的结果为30．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进展模拟计算即可得到结论．【解答】解：第一次，i=1，满足条件，i＜6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件i＜6，程序终止，输出S=30，故答案为：3012．在△ABC中，，那么∠C=105°．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得角A，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到C．【解答】解：由题意：，即b=a由正弦定理=，那么有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°那么C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A〔x，y〕，那么2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．判断的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y获得最大值，由，可得A〔，〕时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈〔﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2获得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0〕．故答案为：．[﹣，0〕．14．假设集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，那么称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M〔M⊆R〕，f：M→M是从集合到集合的一个函数，①假设都有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，就称是保加法的；②假设∀x，y∈M都有f〔xy〕=f〔x〕•f〔y〕，就称f是保乘法的；③假设f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合是封闭的〔填“是〞或“否〞〕；假设函数f〔x〕在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f 〔x〕=f〔x〕=x，x∈Q．【考点】进展简单的合情推理．【分析】设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，利用新定义证明即可，设当f 〔x〕=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，根据新定义验证即可．【解答】解：设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，∴x+y=m+n+a+b=〔m+a〕+〔n+b〕，m+a，n+b∈Q，即f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，∴xy=〔m+n〕〔a+b〕=3ma+〔mb+an〕+bn=〔mb+an〕+〔bn+3ma〕，mb，an，bn，3ma∈Q，∴f〔xy〕=f〔x〕•f〔y〕，∴上述定义下，集合是封闭的，当f〔x〕=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，∴f〔m+n〕=m+n=f〔m〕+f〔n〕，f〔mn〕=mn=f〔m〕•f〔n〕，故答案为：是，f〔x〕=x，x∈Q三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．函数f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】〔Ⅰ〕先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式T=求周期；〔Ⅱ〕根据正弦函数的最值结合定义域求函数y=2sin〔2x+〕最值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin〔2x+〕∴T=．〔Ⅱ〕∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin〔2x+〕≤2∴函数f〔x〕在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的假设干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：乙：9295807583809085〔Ⅰ〕用茎叶图表示这两组数据；〔Ⅱ〕现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为适宜？并说明理由；〔Ⅲ〕假设对甲同学在今后的3次测试成绩进展预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ〔将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率〕，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔Ⅰ〕作出茎叶图．〔II〕利用平均数、方差的计算公式即可得出．〔Ⅲ〕记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8〞为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．可得，k=0，1，2，3．【解答】解：〔Ⅰ〕作出茎叶图如下：〔Ⅱ〕派甲参赛比较适宜．理由如下：，，〔88﹣85〕2+〔93﹣85〕2+〔95﹣85〕2]=35.5，〔90﹣85〕2+〔92﹣85〕2+〔95﹣85〕2]=41．因为=，，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较适宜．注：本小题的结论及理由均不唯一，假设考生能从统计学的角度分析，给出其他合理答复，同样给分．如派乙参赛比较适宜．理由如下：从统计的角度看，甲获得8以上〔含85分〕的频率为，乙获得8以上〔含85分〕的频率为．因为f2＞f1，所以派乙参赛比较适宜．〔Ⅲ〕记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8〞为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．∴，k=0，1，2，3．所以变量ξ的分布列为：ξ0123P．〔或．〕17．在如下列图的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．〔Ⅰ〕求证：AC∥平面DEF；〔Ⅱ〕假设二面角D﹣AB﹣E为直二面角，〔i〕求直线AC与平面CDE所成角的大小；〔ii〕棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】〔Ⅰ〕连结BD，设AC∩BD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．〔Ⅱ〕〔i〕以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面CDE所成角的大小．〔ii〕假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，那么．设P〔x，y，z〕，求出P点坐标为〔2﹣2λ，2λ，2λ〕，从而．由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．〔另解〕假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，那么．设P〔x，y，z〕，求出平面DEF的一个法向量，由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．【解答】〔本小题总分值14分〕证明：〔Ⅰ〕连结BD，设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，那么OG∥BE，且．由AF∥BE，且，所以AF∥OG，OG=AF．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．…解：〔Ⅱ〕〔i〕由，AF∥BE，AB⊥BE，所以AF⊥AB．因为二面角D﹣AB﹣E为直二面角，所以平面ABCD⊥平面ABEF．所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD，AF⊥AB．四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD．所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系〔如图〕．因为AB=BE=2AF=2，所以A〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，C〔2，2，0〕，D〔2，0，0〕，E〔0，2，2〕，F 〔0，0，1〕，所以．设平面CDE的一个法向量为n=〔x，y，z〕，由得即取x=1，得n=〔1，0，1〕．设直线AC与平面CDE所成角为θ，那么，因为0≤θ≤90°，所以θ=30°．即直线AC与平面CDE所成角的大小为30°．…〔ii〕假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，那么．设P〔x，y，z〕，那么，因为，所以〔x﹣2，y，z〕=λ〔﹣2，2，2〕．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为〔2﹣2λ，2λ，2λ〕．因为B〔0，2，0〕，所以．又，所以，解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．〔另解〕假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，那么．设P〔x，y，z〕，那么，因为，所以〔x﹣2，y，z〕=λ〔﹣2，2，2〕．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为〔2﹣2λ，2λ，2λ〕．因为B〔0，2，0〕，所以．设平面DEF的一个法向量为=〔x0，y0，z0〕，那么，由，得取x0=1，得=〔1，﹣1，2〕．由，即〔2﹣2λ，2λ﹣2，2λ〕=μ〔1，﹣1，2〕，可得解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．…18．椭圆上的动点P与其顶点，不重合．〔Ⅰ〕求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；〔Ⅱ〕设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN 的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔Ⅰ〕设点设P〔x0，y0〕，从而可得直线PA与PB的斜率乘积为〔Ⅱ〕设方程为y=kx+m，由两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB及〔Ⅰ〕得直线OM，ON的斜率乘积为﹣，可得到m、k的关系，再用弦长公式及间隔公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面积即可．【解答】〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕证明：设P〔x0，y0〕，那么．所以直线PA与PB的斜率乘积为．…〔Ⅱ〕依题直线OM，ON的斜率乘积为．①当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，那么．所以△OMN的面积为．②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，由得〔3k2+2〕x2+6kmx+3m2﹣6=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=36k2m2﹣4〔3k2+2〕〔3m2﹣6〕＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么，．=．设点O到直线MN的间隔为d，那么．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…19．设函数f〔x〕=ln〔x﹣1〕+ax2+x+1，g〔x〕=〔x﹣1〕e x+ax2，a∈R．〔Ⅰ〕当a=1时，求函数f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数g〔x〕有两个零点，试求a的取值范围；〔Ⅲ〕证明f〔x〕≤g〔x〕【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的断定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔Ⅰ〕求出函数的导数，计算f〔2〕，f′〔2〕的值，求出切线方程即可；〔Ⅱ〕求出函数g〔x〕的导数，通过讨论a的范围，判断函数g〔x〕的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可；〔Ⅲ〕设h〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣ln〔x﹣1〕﹣x﹣1，其定义域为〔1，+∞〕，只需证明h〔x〕≥0即可，根据函数的单调性求出h〔x〕的最小值，从而证出结论．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕的定义域是〔1，+∞〕，．当a=1时，f'〔2〕=4a+2=6，f〔2〕=4a+3=7．所以函数f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程为y﹣7=6〔x﹣2〕．即y=6x﹣5．…〔Ⅱ〕函数g〔x〕的定义域为R，由得g'〔x〕=x〔e x+2a〕．①当a=0时，函数g〔x〕=〔x﹣1〕e x只有一个零点；②当a＞0，因为e x+2a＞0，当x∈〔﹣∞，0〕时，g'〔x〕＜0；当x∈〔0，+∞〕时，g'〔x〕＞0．所以函数g〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递增．又g〔0〕=﹣1，g〔1〕=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x〔x﹣1〕＞x﹣1，所以g〔x〕＞ax2+x﹣1取，显然x0＜0且g〔x0〕＞0所以g〔0〕g〔1〕＜0，g〔x0〕g〔0〕＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由g'〔x〕=x〔e x+2a〕=0，得x=0，或x=ln〔﹣2a〕．ⅰ〕当，那么ln〔﹣2a〕＞0．当x变化时，g'〔x〕，g〔x〕变化情况如下表：x〔﹣∞，0〕0〔0，ln〔﹣2a〕〕ln〔﹣2a〕〔ln〔﹣2a〕，+∞〕g'〔x〕+0﹣0+g〔x〕↗﹣1↘↗注意到g〔0〕=﹣1，所以函数g〔x〕至多有一个零点，不符合题意．ⅱ〕当，那么ln〔﹣2a〕=0，g〔x〕在〔﹣∞，+∞〕单调递增，函数g〔x〕至多有一个零点，不符合题意．假设，那么ln〔﹣2a〕≤0．当x变化时，g'〔x〕，g〔x〕变化情况如下表：x〔﹣∞，ln〔﹣2a〕〕ln〔﹣2a〕〔ln〔﹣2a〕，0〕0〔0，+∞〕g'〔x〕+0﹣0+g〔x〕↗↘﹣1↗注意到当x＜0，a＜0时，g〔x〕=〔x﹣1〕e x+ax2＜0，g〔0〕=﹣1，所以函数g〔x〕至多有一个零点，不符合题意．综上，a的取值范围是〔0，+∞〕．…〔Ⅲ〕证明：g〔x〕﹣f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣ln〔x﹣1〕﹣x﹣1．设h〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣ln〔x﹣1〕﹣x﹣1，其定义域为〔1，+∞〕，那么证明h〔x〕≥0即可．因为，取，那么，且h'〔2〕＞0．又因为，所以函数h'〔x〕在〔1，+∞〕上单增．所以h'〔x〕=0有唯一的实根x0∈〔1，2〕，且．当1＜x＜x0时，h'〔x〕＜0；当x＞x0时，h'〔x〕＞0．所以函数h〔x〕的最小值为h〔x0〕．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f〔x〕≤g〔x〕．…20．设m，n〔3≤m≤n〕是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i〔1≤i≤m〕是集合{1，2，3，…，n}中互不一样的元素．假设数列A m满足：只要存在i，j〔1≤i＜j≤m〕使a i+a j≤n，总存在k〔1≤k≤m〕有a i+a j=a k，那么称数列A m是“好数列〞．〔Ⅰ〕当m=6，n=100时，〔ⅰ〕假设数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列〞，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列〞？〔ⅱ〕假设数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列〞，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？〔Ⅱ〕假设数列A m是“好数列〞，且m是偶数，证明：．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】〔Ⅰ〕〔ⅰ〕由“好数列〞定义能求出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是一个“好数列〞．〔ⅱ〕由数列必含89，100两项，假设剩下两项从90，91，…，99中任取，有种；假设剩下两项从79，80，…，88中任取一个，有10种．由此分类讨论，能求出a，b，c，d共有多少种不同的取值．〔Ⅱ〕一个“好数列〞各项任意排列后，还是一个“好数列〞．设a1＜a2＜…＜a m．把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n+1即可．例用反证法，能证明．【解答】〔本小题13分〕解：〔Ⅰ〕〔ⅰ〕∵m=6，n=100，数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列〞，∴x=89，y=100，或x=100，y=89，数列：11，78，90，x，97，y也是一个“好数列〞．…〔ⅱ〕由〔ⅰ〕可知，数列必含89，100两项，假设剩下两项从90，91，…，99中任取，那么都符合条件，有种；假设剩下两项从79，80，…，88中任取一个，那么另一项必对应90，91，…，99中的一个，有10种；假设取68≤a≤77，那么79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好数列〞必超过6项，不符合；假设取a=67，那么11+a=78∈A6，另一项可从90，91，…，99中任取一个，有10种；假设取56＜a＜67，那么67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好数列〞必超过6项，不符合；假设取a=56，那么b=67，符合条件，假设取a＜56，那么易知“好数列〞必超过6项，不符合；综上，a，b，c，d共有66种不同的取值．…证明：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕易知，一个“好数列〞各项任意排列后，还是一个“好数列〞．又“好数列〞a1，a2，…，a m各项互不一样，所以，不妨设a1＜a2＜…＜a m．把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n+1即可．用反证法，假设存在，使a j+a m+1﹣j≤n，＜a1+a m﹣j+1＜a2+a m﹣j+1＜…＜a j+a m﹣j+1≤n，因为数列单调递增，所以a m﹣j+1又因为“好数列〞，故存在1≤k≤m，使得a i+a m+1﹣j=a k〔1≤i≤j〕，显然a k＞a m+1﹣j，故k＞m+1﹣j，所以a k只有j﹣1个不同取值，而a i+a m+1﹣j有j个不同取值，矛盾．所以，每一对和数都不小于n+1，故，即．…2021年2月15日。
北京市朝阳区2015届高三下学期第一次综合练习数学(理)试卷 Word版含答案
北京市朝阳区2015届高三下学期第一次综合练习数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{1,2,},{1,}A m B m ==，若B A ⊆，则M = A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或22、已知点00(1,)(0)A y y >为抛物线22(0)y px p =>上一点，若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A ．2 C ．．43、在ABC ∆中，若,cos 633A B BC π===，则AC =A ．．4 C ．．34、“2,10x Rx a x ∀∈++≥成立”是“2a ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入，在如图所示的 框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场的人 次，S 表示面某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进 入商场的总人次数，则判断框内可以填A ．17?t ≤B ．19?t ≥C ．18?t ≥D ．18?t ≤ 6、设123,,x x x 均为实数，且312213223111()log (1),()log (1),()log 333x xx x x x =+=+=，则A ．132x x x <<B ．321x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x << 7、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0),(1,1)A B ，且090BOP ∠=，设()OP OA kOB k R =+∈，则OP =A ．12 BC．2 8、设集合22000000{(,)|20,,}M x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则M 中元素的个数为A ．61B ．65C ．69D ．84第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、i 为虚数单位，计算121ii-=+ 10、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3833,1a a S +==，则通项公式n a =11、在极坐标系中，设0,02ρθπ>≤<，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ= 焦点的极坐标为 12、已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排除一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 （用数字作答）13、设3z x y =+，实数,x y 满足20200x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，其中0t >，若z 的最大值为5，则实数t 的值为 ，此时z 的最小值为 .14、将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再讲剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了次，则第一次挖去的几何体的体积是 ；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分12分）已知函数()2cos cos ,f x x x x x R =+∈.（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设()x m m R =∈是函数()y f x =图像的对称轴，求sin 4m 的值.17、（本小题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的无损，其中，频率分布直方图的分组分布为[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，据此解答如下问题：（1）求全班人数及分数在[]80,100之间的频率；（2）现从分数在[]80,100之间的试卷中任取3份学生失分情况，设抽取的试卷分数在[]90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知1//,,2AB CD AD CD AB AD CD ⊥==. （1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？ 若存在，求出EMEC的值；若不存在，说明理由.18、（本小题满分12分）已知函数()2ln (1),2x f x a x a x a R =+-+∈. （1）当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （2）当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过的直线交椭圆于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形AMBN 面积的最大值.20、（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()m b m N +∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}n b 的控制函数，设()2f m m =. （1）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11b =，求1a ； （2）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11a b =，求1a ； （3）若2(1,2,3,)n a n n ==，是否存在{}n b 生成{}n a 的控制函数()2g n pn qn r =++（其中常数,,p q r Z ∈），使得数列{}n a 也是数列{}n b 的生成数列?若存在，求出()g n ；若不存在，说明理由.。
辽宁省朝阳市高三上学期期末数学试卷(理科)
辽宁省朝阳市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018高一上·南昌月考) 已知A,B是非空集合，定义，（）A .B . (-∞,3]C . (-∞,0)∪(0,3)D . (-∞,3)2. （2分）如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于（）.A .B .C .D .3. （2分）一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A .B .C . 2D . 14. （2分） (2016高二下·右玉期中) 若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a ﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件5. （2分）(2017·襄阳模拟) 按如图所示的程序框图，若输出的结果为170，则判断框内应填入的条件为（）A . i≥5B . i≥7C . i≥9D . i≥116. （2分） (2017高一上·长春期末) 若tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·河南模拟) 若，满足约束条件则的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A .B .C . 0D . -9. （2分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是（）A . 4B .C .D .10. （2分） (2019高三上·郑州期中) 3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·太原期末) 如图，在四面体ABCD中， = ，点M在AB上，且AM= AB，点N是CD的中点，则 =（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·江门模拟) 已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）A . （﹣3，﹣2）B . [﹣3，﹣2]C . （﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D . （﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2014·辽宁理) 正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．14. （1分） (2019高三上·镇海期中) 已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________．15. （1分） (2015高一下·黑龙江开学考) 已知在上的最大值为p，最小值为q，则p+q=________．16. （1分）(2017·南京模拟) 如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk ， k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （5分）若tan（α+β）=2tanα，求证：3sinβ=sin（2α+β）．18. （15分）(2017·银川模拟) 为研究男女同学空间想象能力的差异，孙老师从高一年级随机选取了20名男生、20名女生，进行空间图形识别测试，得到成绩茎叶图如下，假定成绩大于等于80分的同学为“空间想象能力突出”，低于80分的同学为“空间想象能力正常”．（1）完成下面2×2列联表，空间想象能力突出空间想象能力正常合计男生女生合计（2）判断是否有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关；（3）从“空间想象能力突出”的同学中随机选取男生2名、女生2名，记其中成绩超过90分的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．下面公式及临界值表仅供参考：P（X2≥k）0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63519. （10分） (2016高二下·桂林开学考) 在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中BC⊥CC1 ， AC=BC=2，A1在底面ABC 上的射影恰为AC的中点D．（1）证明：BC⊥平面ACC1A1（2）若二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．20. （10分） (2017高三上·常州开学考) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F的距离的最小值为2．（1）求a，b的值；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N①当过点A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos∠AMB= ，求△ABM的面积．21. （10分）(2017·邯郸模拟) 函数f（x）=2x﹣ex+1．（1）求f（x）的最大值；（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围．22. （10分）(2013·辽宁理) 选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：（1）∠FEB=∠CEB；（2）EF2=AD•BC．23. （10分） (2015高三上·荣昌期中) 在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1 ，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2 ．（1）求C1与C2交点的极坐标；（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．24. （10分） (2016高二下·昌平期中) 证明（1）求证： + ＜2（2）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。
辽宁省朝阳市凌源第五中学高三数学理上学期期末试题含解析
辽宁省朝阳市凌源第五中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正项等差数列{a n}的前n和为S n，已知，则=（）A. 35B. 36C. 45D. 54参考答案：C2. 若集合A．{0} B．{0,1} C．{0,1,2} D．{2,3,4}参考答案：B3. 已知圆：，平面区域Ω：.若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为A. B. C. D.参考答案：B略4. 已知t>0，若，则实数t的值等于A． 2 B．3 C．6 D．8参考答案：B5. 已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用和与差的正弦公式、诱导公式对已知等式进行变形转换，得到：sin（α+）+cos（α﹣）=sin（α+），然后再利用诱导公式将cos（α+）转化为﹣sin（α+）的形式，即可解答．【解答】解：∵sin（α+）+cos（α﹣）=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=（sinα+cosα）=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣．又cos（α+）=cos（α++）=﹣sin（α+），∴cos（α+）=．故选：C．6. 下列命题中，假命题的是()A． B.C. D.参考答案：【知识点】指数函数与对数函数B6,B7【答案解析】B 解析：解：由题意可分析每一个选项，可知当时，，所以B为假命题，所以应选B.【思路点拨】根据指数函数与对数函数的性质，对每一个选项进行分析.7. 某几何体的三视图，如图所示，其中俯视图下半部分是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B．C． D．参考答案：B根据几何体三视图可知该几何题是一个正方体截去了半圆柱所得组合体，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，则几何体的表面积为，故选B．8. 等差数列的前项和为，如果，，那么等于（）．A．B．C．D．参考答案：C∵，，∴，∴，，．故选．9. 函数y=sin（ωx+φ）在区间上单调递减，且函数值从1减小到﹣1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（）A． B． C． D．参考答案：A10. 已知集合，则等于（）A、 B、 C、 D、参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，，的夹角为120°，则__________.参考答案：【分析】先利用平面向量数量积的运算法则求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为，，，的夹角为，所以，所以.故答案为.【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.12. 函数参考答案：13. 从数列中，顺次取出第2项、第4项、第8项、…、第项、…，按原来的顺序组成一个新数列，则的通项，前5项和等于________________参考答案：；14. （几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在线段上，且，连接，与相交于点，若△的面积为 cm ，则△的面积为cm .参考答案：15. 若函数(为常数)在区间上是减函数, 则的取值范围是______.参考答案：略16. 若在△中，，则△的形状为_________参考答案：等腰直角三角形试题分析：由正弦定理得，整理得，即，，由内角和定理得，故三角形为等腰直角三角形.考点：判断三角形的形状.17. 曲线在点（1，2）处的切线方程为_________________________.参考答案：设则所以所以在处的切线方程为，即三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设i 为虚数单位，则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+B ．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是A ．14 B ．34 C ．2D ．24+7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ．72 B ． 3 C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --，试判断点F 在边BC 上的位置，并说明理由.DPCBFAE0.0217．（本小题满分13分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”． （Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<．（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值； （Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2015．1一、选择题（满分40分）三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）….…..4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为15. 所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15. 依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C === 1231448(1)()()55125P X C ===2231412(2)()()55125P X C ===3303141(3)()()55125P X C === 所以，随机变量X 的分布列如下表：因此，随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………..13分 16. （本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以EF //平面PAC ．………..4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥． 又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB平面ABCD =AB ，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB ．由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥． 由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥． 又因为=PBBC B ，所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥．……………..9分 （Ⅲ）点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．因为PA AB =，PB =，所以PA AB ⊥．由（Ⅱ）可知，BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ，即AD PA ⊥，AD AB ⊥ . 所以AD ，AB ，AP 两两垂直．分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设2AB =，BF m =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m =. 设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则q m =-，r m =，得 (2,,)m m =-n ．由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,AB AD A =,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =．根据题意，||||4AP AP ⋅==⋅n n ，解得23m =．由于2BC AB ==，所以13BF BC =. 即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．………..14分 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=. 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c == 所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+；当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n . 综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：当35a =时，32522e (3103)()5(1)xx x f x x -+'=+． 由()0f x '>得231030x x -+>，解得13x <或3x >；由()0f x '<得231030x x -+<，解得133x <<． 所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞，单调减区间为1(,3)3．……..5分（Ⅱ）因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+，又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方， 所以()()f x g x >，即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立． 又因为2e 01axx >+，所以22(1)2(1)a x x x +-<+，所以2(1)(1)2a x x -+<． 又210x +>，所以2211x a x -<+． 设22()1x h x x =+，则min1()a h x -<1([,2e])ex ∈即可． 又2222(1)()(1)x h x x -'=+．由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+，注意到1[,2e]e x ∈，解得11e x ≤<； 由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+，注意到1[,2e]e x ∈，解得12e x <≤． 所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间(]1,2e 单调递减．所以()h x 的最小值为1()eh 或(2e)h ． 因为212e ()e e 1h =+，24e (2e)4e 1h =+，作差可知224e 2e 4e 1e 1<++，所以24e14e 1a -<+． 所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+． ……………..13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得2241a b ⎧=⎨=⎩． 所以椭圆的标准方程为2214x y +=．………..4分（Ⅱ）直线MN 过定点(0,0)D .说明如下：由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A ． 由题意可知，直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0．设直线AM 的方程为(2)y k x =-．由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=．42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立，所以22164214M k x k -⋅=+．所以228214M k x k -=+． 所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++．于是，点222824(,)1414k kM k k--++． 因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-，故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k=--． 同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-．所以点222284(,)1414k k N k k -++． 所以，当M N x x ≠时，即12k ≠±时，2214MN kk k=-. 直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k--=-+-+． 整理得2214ky x k =-．显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点,M N 关于原点对称）当M N x x =,即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ． 综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ． ……………..14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时，即()2320x x x m -+-=.依题意，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，包括两种情况： （1）若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根，则2m =时，方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=，恰存在两个相等的实数根0(另一根为3）.（2）若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=，解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在 两个相等的实数根32(另一根为0). 所以当14m =-或2m =时，方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根. ………4分（Ⅱ）证明：由123()()()()f x x x x x x x =---，可得，()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-， 所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++（，则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦.由123x x x <<可得，0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根. ………8分 （Ⅲ）122x x αβ+<<.说明如下： 由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=，得12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++．()()22121212=044x x x x x x +--=-<.即12()2x x f +'=12123()()022x x x xαβ++--<, 由αβ<，得122x x αβ+<<． ………13分。