浙江省高二下学期期末数学试卷
浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(含答案解析)
浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题A ．1x 是()f x 的一个极大值点B ．2x 是()f x 的一个极小值点C ．3x 是()f x 的一个极大值点D ．4x 是()f x 的一个极小值点10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是事件:A “两次向上的点数之和大于:C “两次向上的点数之和小于10”，则（A ．事件B 与事件C 互斥C ．()25P B A =11．设双曲线222:1(4x y C a a a -=-+列说法中正确的是（）三、填空题四、解答题17．如图，在四面体ABCD 中，AE AB λ= ，AH AD λ= ，()1CF CB λ=-，()1CG CD λ=- ，()0,1λ∈．(1)求证：E 、F 、G 、H (2)若13λ=，设M 是EG 和示OM ．18．已知等差数列{}n a 的前(1)求数列{}n a 的通项公式(2)若{}n a 中的部分项nb a 组成的数列数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在三棱柱ABC (1)证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ．(2)求平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值．20．第19届亚运会将于2023年9杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．公里，排位全国第六．同时，一张总长中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．(1)一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，这一猜想该小组进行了研究．请完成下列立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到(1)求抛物线C 的标准方程(2)已知点()1,0P ，直线①求证：直线CD 过定点；②求PAB 与PCD 面积之和的最小值22．设函数()(1)f x x =-参考答案：因为I 为12PF F △的内心，所以所以1122PF F APF AF =，因为14OA = 设15PF t =，则23PF t =，由椭圆的定义可知，可得4at =，所以154a PF =，PF 又因为1122cos P F PF PF PF ⋅=⋅ 所以121cos 15F PF ∠=，在1PF △221211212cos 2PF PF F F PF F PF PF +-∠=所以222a c =，则2222c e a ==故选：B.9．AB【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确.对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误.对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误.故选：AB.10．AC【分析】列举出事件A 、B 、C 所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A 选项；利用古典概型的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m 、n ，以(),m n 为一个基本事件，则基本事件的总数为2636=，事件A 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()4,6、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15种，事件B 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种，事件C 包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()3,5、()3,6、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()6,1、()6,2、()6,3，共30种，若1a =，则双曲线方程为2214y x -=，渐近线方程为2y x =±，不妨设点A 在第一象限，双曲线在第一象限的方程为221y x =-，21x y x '=-，得切线斜率为1211x x -，方程为21112121()1x y x x x x --=--，设点E ，F 坐标分别为(,),(,)E E F F x y x y ，分别作,EP FQ 垂直于y 轴，垂足分别为P 在第一象限，F 在第四象限，则EOF OEP OFQ EFQP S S S S =-- 梯形1111()()()2222E F E F E E F F F E E F x x y y x y x y x y x y =+--+=-【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，CD 的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；化，在求解E F x x 时，要结合式子的结构特征灵活处理12．ACD【分析】对与A 选项，分别求出f 对于B 选项，求出()f x '，即可判断出曲线对于C 选项，画出曲线()f x 与(g x 对于D 选项，借助图像可知直线y 12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，则可得1x =易知当(0,1)x ∈时，()0f x >，(g x 当[1,e]x ∈时，()f x 单调递减，(g 1e 1(e)e ()e --=<=f g e ，即曲线(f 当(e,)x ∈+∞时，记()ln h x x x =-，即()h x 在(e,)+∞上单调递增，即h 又曲线()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以（2）在三棱柱111ABC A B C -中，平面因此平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值与平面由（1）知1A M ⊥平面ABC ，AB ⊂连接1A N ，有1A M MN ⊥，11,,MN A M M MN A M =⊂ 平面1A 1A N AB ⊥，因此1A NM ∠为平面11BA B 与平面ABC 显然3sin 602MN AM =⋅=，而A 11125sin 5A M A NM A N ∠==，所以平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值为20．(1)表格见解析，有关系(2)①证明见解析；②55p q >．【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出论；（2）①根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论；。
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
高中数学：2022-2023学年浙江省名校联盟高二(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）集合A ＝{x |ax ＝1}，B ={y|y =√x −1}且A ∩B ＝A ，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞）B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ．（0，1）2．（5分）若直线a 在平面α内，直线b 在平面α外，则“b ⊥a ”是“b ⊥α”的（ ） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件3．（5分）数列{a n }首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推a 100＝（ ）A ．115B ．117C ．119D ．1214．（5分）已知一组成对数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，6）中y 关于x 的一元非线性回归方程y ＝bx 2+1，已知∑x i 2=126i=1，∑ 6i=1x i =4，∑ 6i=1y i =18，则b ＝（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣35．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10 cm 的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm 2．（注：边长为a 的正五边形面积≈1.7a 2，边长为a 的正六边形面积≈2.6a 2，取3.14）（ ） A ．32.44B ．31.92C ．30.51D ．29.496．（5分）复数z 满足|z ﹣1|+|z +1|＝4，则|z |的取值范围是（ ） A ．[√3，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，√3]7．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）右焦点为F ，离心率为e ，PO →=kFO →（k ＞1），以P 为圆心，|PF |长为半径的圆与双曲线有公共点，则k ﹣8e 最小值为（ ） A ．﹣9B ．﹣7C ．﹣5D ．﹣38．（5分）已知a =sin√32，b =2√55，c =cos 12，则（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(A)
浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22æöç÷èø，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.．B【分析】由题意得在四棱锥D ABCE ¢-中^AE 平面D CE ¢．作MN AB ^于N ，连D N ¢，可证得AB ^平面D MN ¢．然后作因为几何体是由等高的半个圆所以45Ð=Ð=°，ECD DCG因为//BC EF，BC EF=，所以四边形BCEF为平行四边形，因为BC^平面ABF，BFÌ:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--£>Û-££+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -££是{|11}x a x a -££+的真子集，故有121100a a a -£-ìï+>íï>î或121100a a a -<-ìï+³íï>î，解得9a ³，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+¥．22．（1）1a £；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x ¢³对R x "Î恒成立.求导后分离参数得到x a e x £-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x Q 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a ¢\"Î=--³，()min x a e x \£-，答案第241页，共22页。
浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二下学期6月期末测试数学试题(含答案)
2023学年第二学期期末测试卷高二数学学科试卷第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（ ）A. B. C. D.2.已知），若为纯虚数，则（ ）A.1B.2C.或D.1或23.已知函数与是互为反函数，则（ ）A. B. C. D.4.已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（ ）A. B. C. D.5.已知平面，，，若，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（ ）A.B.C.D.7.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.8.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（ ）B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题{}05U x x =∈≤≤N {}0,1,4U A =ðA ={}2,3,5{}2,5{}3,5{}2,3()()2321i z a a a a =-++-∈R z a =1-2-()y f x =3xy =119f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭123f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()13f =()31f =48~1328135613141732αβγαγ⊥βγ⊥αβ∥a b 60︒2b a = a b λ- b2b - λ=38279432()2341f x ax x =-+-()1,1-a 5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭54,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦54,133⎡⎤⎧⎫-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭24,133⎡⎤⎧⎫-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ABC △A B C a b c ABC △S 22cos bc A b c +=+sin cos cos AB C=+12目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，为两个随机事件，且，，则（ ）A.当和互斥时，B.当和互斥时，C.当和相互独立时，D.当和相互独立时，10.若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）A. B.C. D.11.已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（ ）A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则______.13.已知正实数满足，则______.14.已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量，是不共线的单位向量，且向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求.16.（15分）已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条A B ()0P A >()0P B >A B ()()()P A B P A P B =+ A B ()()()1P AB P A P B =--A B ()0P AB =A B ()()()P AB P A P B=x ()20,,ax bx c a b c ++>∈R {}23x x -<<0a >0bc >0a b +=0a b c -+>()f z 0z ()()1n n z f z n +=∈N 0z 1z 2z n z M n z M <n ∈N 0z ()f z 0i z =()f z ()f z ()2f z z=()11f z z=-()3f z z =()()21f z z =-()f x ()2,8()1f -=a 11222a a--=22a a -+=P ABCD -PAB ⊥ABCD 3PA =4PB =5CD =P ABCD -BC =1e 2e 122a xe e =- 12b e xe =-a b ∥x 1212e e ⋅=- ()()a b a b +⊥- b ()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<对称轴距离为，且图象关于点对称.（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的值域.17.（15分）为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）.（1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数；（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差.18.（17分）如图，平行四边形中，，，为中点，现将沿折起至，连接，，且.（1）求证：平面平面；（2）已知.（i ）若，求证：平面；（ii ）若直线与平面的值.π2π,06⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []2,12[]2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12x y 2s ABCD 24AB BC ==60DAB ∠=︒E AB ADE △DE A DE '△A B 'A C '4A C '=A DE '⊥BCDE ()01A F A C λλ'='<<12λ=BF ∥A DE 'DF BCDE λ19.（17分）已知函数.（1）若函数是奇函数，求的值；（2）若，记函数在上的最小值为.（i ）求；（ii ）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围.()()f x x x a a =+∈R ()f x a 0a <()f x [)2,+∞()M a ()M a ()()24g x x ax a =++∈R x ∈R [)02,x ∈+∞()()0g x f x =a2023学年第二学期期末考试高二数学学科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
浙江金华十校2024年高二下学期6月期末数学试题
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高二数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间120分钟。
试卷总分为150分。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数zz1=2+ii2，zz2=−1+2ii，则zz1−zz2在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知向量aa=(1,2)，bb=(3−xx,xx)，且aa⊥(aa+2bb)，则xx=A．11 B．−11C．112D．−1123．已知xx是实数，则“xx+1xx≥52”是“xx≥2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数ff(xx)=cos(2xx+φφ)(0<φφ<π2)的对称中心为(π6,0)，则能使函数ff(xx)单调递增的区间为A．[0,π4]B．[π4,π2]C．[π2,3π4]D．[3π4,π]5．函数ff(xx)=ln|xx|cosxx xx的图象为A．B．C．D．6．.已知随机变量XX∼NN(1,4)，且PP(XX≥aa)=PP(XX≤0,2)=0.1，则PP(aa9<XX<1)=A．0.4 B．0.2 C．0.8 D．0.17．高二某班男生20人，女生30人，男、女生身高平均数分别为170cm、160cm，方差分别为170、160，记该班全体同学身高的平均数为XX，方差为ss2，则A．XX>165,ss2>165B．XX<165,ss2>165C．XX>165,ss2<165D．XX<165,ss2<1658．已知当xx∈[0,1)时，ff(xx)=3xx−3，若函数ff(xx)的定义域为RR，且有ff(xx+1)为奇函数，ff(xx+2)为偶函数，则ff(log3300)所在的区间是A．(−∞,0)B．(0,12)C．(12,1)D．(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．在正方体AAAAAAAA−AA1AA1AA1AA1中，A．AAAA⊥AAAA1B．直线AAAA1与AAAA所成角为π4C．AA1AA1//平面AAAA1AA D．直线AAAA1与平面AAAA1AA1AA所成角为π610．投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件AA，“第二次正面向上”为事件AA，“至少有一次正面向上”为事件AA，则下列判断正确的是A．AA与AA相互独立B．AA与AA互斥C．PP(AA|AA)=23D．PP(AA)=PP(AA)+PP(AA)−PP(AAAA)11．在△AAAAAA中，已知4cos AA+3sin AA+4sin(AA−AA)=9，AAAA=6，则A．AA>AA B．AAAA=2AAAAC．△AAAAAA的外接圆直径为10 D．△AAAAAA的面积为12非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合AA={1,2,3,4,5,6}，集合AA={xx∈RR|−1<xx<4}，则AA∩AA= . 13．若(2xx+1)5=aa0+aa1xx+aa2xx2+⋯+aa5xx5，则aa2= .14．在三棱锥AA−AAAAAA中，AAAA⊥AAAA，AAAA⊥AAAA，且AAAA=AAAA=10，AAAA=3，若三棱锥AA−AAAAAA的外接球表面积的取值范围为[6614π,409π]，则三棱锥AA−AAAAAA的取值范围为 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图。
浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷(文科)
浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·攀枝花模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且时，f(x)=log2(x+1)，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：f(3)=1；乙：函数f(x)在[-6,-2]上是增函数；丙：函数f(x)关于直线x=4对称；丁：若，则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上所有根之和为-8，其中正确的是（）A . 甲，乙,丁B . 乙,丙C . 甲,乙,丙D . 甲,丁3. （2分）在下列区间中，函数f（x）=3x﹣x2有零点的区间是（）A . [0，1]B . [1，2]C . [﹣2，﹣1]D . [﹣1，0]4. （2分） (2018高三上·赣州期中) 已知，，，则（）A .B .C .D .5. （2分）函数的定义域是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A . f（b）＞f（c）＞f（d）B . f（b）＞f（a）＞f（c）C . f（c）＞f（b）＞f（a）D . f（c）＞f（b）＞f（d）7. （2分）“”是“直线与直线平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2016高一上·临川期中) 若奇函数在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f（x）在[﹣7，﹣3]上为（）A . 递增且最小值为﹣5B . 递增且最大值为﹣5C . 递减且最小值为﹣5D . 递减且最大值为﹣59. （2分）(2016·花垣模拟) 下列说法正确的是（m，a，b∈R）（）A . am＞bm，则a＞bB . a＞b，则am＞bmC . am2＞bm2 ，则a＞bD . a＞b，则am2＞bm210. （2分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A . （0，）B . [，]C . （0，）D . [， e]11. （2分）(2020·甘肃模拟) 已知，，，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .12. （2分）给出以下命题：①若、均为第一象限角，且，且；②若函数的最小正周期是，则；③函数是奇函数；④函数的周期是；⑤函数的值域是[0,2].其中正确命题的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·连城期中) 设g（x）= ，则g（g（））=________．14. （1分）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了________ 天．15. （1分）(2018·海南模拟) 若是函数的极值点，则实数 ________．16. （1分） (2017高三上·桓台期末) 给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是________．三、三.解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高三上·山西月考) 已知，设成立；成立. 如果“ ”为真，“ ”为假，求实数的取值范围.18. （10分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）= 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．19. （15分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．20. （5分）(2018高二下·如东月考) 已知函数，对任意正整数，有，求方程的所有解．21. （5分）(2017·江西模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）当φ∈（0，π）时，l与C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．22. （10分）(2017·达州模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、22-2、。
2024浙江省衢州市高二下学期期末考数学试题及答案
衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 复数2(1i)+=（ ）A. 22i- B. 22i + C. 2i- D. 2i2. 设随机变量316,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 123. 已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）AB.π2C. πD.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A.)1-B. 1⎫-⎪⎪⎭C. (1,D. 1,2⎛ ⎝6. 在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（ ）A.B. (C. (D. (0,7. 若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（ ）A. 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭B. ()20,eC. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P .处的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A. 2π3αβ+=B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列论述正确的是（ ）A. 样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B. 由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C. 用决定系数2R 比较两个回归模型拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D. 研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立10. 已知F 是双曲线22145x y -=右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（ ）A. 双曲线焦距为6B. 点F 到渐近线的距离为2C. PA PF +的最小值为4+D. 若8PF =，则OPF △的面积为11. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（ ）A. ()()4f x f x +=B. ()20240f =C. ()()392f f += D.()25125i f i ==∑三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.14. 如图，等腰直角三角形ABC 中，ACBC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将的的的ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .16. 如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .17. 已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.18. 某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.19. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.的衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 复数2(1i)+=（ ）A. 22i - B. 22i + C. 2i- D. 2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算.【详解】22(1i)12i i 12i 12i +=++=+-=.故选：D2. 设随机变量316,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（ ）A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的变量的期望公式，代入运算得解.【详解】316,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q :，()316124E X np ∴==⨯=.故选：D.3. 已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，结合充分，必要条件关系判断.【详解】因为m α⊄包含m α∥和直线m 与平面α相交两种情况，因此若m α⊄，则直线m 可以与平面α无公共点也可以与平面α有一个公共点，因此“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的必要不充分条件. 故选：B ．4. 某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.B.π2C. πD.【答案】A 【解析】【分析】先求出该圆锥的底面半径和母线长，再求圆锥的侧面积得解.=，母线长为1，所以该圆锥的表面积为12π12⨯⨯=.故选：A.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a上投影向量为（ ）A.)1-B. 1⎫-⎪⎪⎭C. (1,D. 1,2⎛ ⎝【答案】C 【解析】【分析】先根据条件求出a b ⋅ ，再根据投影向量的概念计算b 在a上的投影向量.【详解】由(a =- ，得：2a =.又()a ab ⊥+ ⇒()0a a b ⋅+= ⇒24a b a ⋅=-=- .所以b 在a 上的投影向量为：(41,2a b a aa ⋅-⋅==.故选：C6. 在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（ ）的A.B. (C. (D. (0,【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，即可得到π26AB BC BCD ⎛⎫+=∠+ ⎪⎝⎭，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.【详解】因为π3B =，CD =，在BCD △中，由正弦定理可得2sin sin sin BD BC CDBCD BDC B====∠∠∠，则2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，且D 是AB 的中点，则2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠，又π3B =，则2π3BCD BDC ∠=-∠，则224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠⎪⎝⎭14sin sin 2BCD BCD BCD ⎫=∠+∠+∠⎪⎪⎭34sin 2BCD BCD ⎛⎫=∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，又20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，则ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，，所以π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，则(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，即2AB BC +的取值范围为(.故选：C7. 若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（ ）A. 210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()20,eC. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先设切点()()000,1ln x ax x +，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点()0,0，得到0,x a 的关系，利用0x 有两解求a 的取值范围.【详解】设切点()()000,1ln x ax x +，又()11ln 1ln y a x ax a x a x x'=++⋅=++，所以切线斜率为：001ln k a x a x =++.由点斜式，切线方程为：()001ln y ax x -+=()0001ln a x a x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.因为切线过点()0,0，所以()001ln ax x -+=()0001ln 0a x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.所以：00ln 10ax x -+=.因为过原点的切线有两条，所以关于x 方程ln 10ax x -+=有两解.由ln 10ax x -+=（0x >）⇒ln 1x a x-=，设()ln 1x h x x-=，则()()221ln 12ln x x x x h x x x ⋅---'==，由()0h x '>得2ln 0x ->⇒2e x <，所以()h x 在()20,e单调递增，在()2e ,+∞单调递减，所以()221e e h =，且当e x >时，()0h x >.所以ln 1x a x -=有两解，则210ea <<.故选：A8. 已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P 处的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）A. 2π3αβ+= B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=【答案】B 【解析】【分析】易知()1,1P -，利用导数的几何意义可求得tan 2α=-，再根据圆的切线求法可得1tan 3β=，再根据三角恒等变换可判断B 正确.【详解】联立22231022y x x y x y ⎧=⎪⎨++-=⎪⎩，得42230x x x ++=，即()3230x x x ++=，可得()()212230x x x x +-+=，解得10x =，21x =-，可得()1,1P -由1C ：2y x =可知2y x '=；所以曲线1C 在P 处的切线斜率为112tan x k y α=-'==-=|，π3π,24α⎛⎫∈⎪⎝⎭曲线2C 可化为22315448x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21143314PC k -==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以圆2C 在P 处的切线斜率为21tan 3k β==，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--⋅，即3π4αβ+=，故B 正确，A 、C 错误，()()()123tan tan 71123αβαβ---=-==-+-⨯，故D 错误，故选：B.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列论述正确的是（ ）A. 样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B. 由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C. 用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D. 研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据相关系数的性质分析判断；对于B ：根据经验回归方程过样本中心点分析判断；对于C ：根据决定系数的性质分析判断；对于D ：根据独立性检验思想分析判断.【详解】对于选项A ：样本相关系数r 的绝对值越大，线性相关性越强，所以样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A 正确；对于选项B ：经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y ，故B 正确；对于选项C ：在回归分析中，2R 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，故C 错误；对于选项D ：因为20.05x χ≥，根据独立性检验的思想可知有95%的把握能推断0H 不成立，故D 正确；故选：ABD.10. 已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（ ）A. 双曲线的焦距为6B. 点F 到渐近线的距离为2C. PA PF +的最小值为4+D. 若8PF =，则OPF △的面积为【答案】AC 【解析】【分析】根据双曲线的性质判断A ，利用点到直线的距离公式判断B ，利用双曲线的定义判断C ，求焦点三角形的面积，可判断D.的【详解】如图：由双曲线的标准方程22145x y -=，可知2a =，b =，所以3c ==，所以双曲线的焦距为：26c =，故A 正确；双曲线的渐近线为y x =20y ±=，点()3,0F 到渐近线的距离为：d ==，故B 错误；设双曲线的左焦点为F ',根据双曲线的定义：4PF PF -'=，所以PA PF +4PA PF ='++4AF ≥'+44=+=+，故C 正确；在PFF ' 中，由8PF =，844PF '=-=，6FF '=，由余弦定理得：222cos 2PF PF FF FPF PF PF ''+-=⋅''∠641636284+-=⨯⨯641636284+-=⨯⨯1116=，所以sin FPF '∠=，所以1842FPF S '=⨯⨯= 12OPF FPF S S '== ，故D 错误.故选：AC 11. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（ ）A. ()()4f x f x += B. ()20240f =C. ()()392f f += D. ()25125i f i ==∑【答案】BCD【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A ，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD.【详解】∵()()21322f x f x -+-=，∴()f x 关于()1,1对称∵()2f x -为偶函数，∴()f x 关于2x =-对称∴()f x 的周期()41212T ⎡⎤=--=⎣⎦，故A 错；()()20244f f =-（∵()f x 的周期为12）()()40f f -=（∵()f x 关于2x =-对称）()()0220f f =-=（∵()f x 关于()1,1对称），故B 正确；()()93f f =-（∵()f x 的周期为12）()()31f f -=-（∵()f x 关于2x =-对称）()()123f f -=-（∵()f x 关于()1,1对称）()()132f f -+=，即()()932f f +=，故C 正确；∵()f x 的周期为12∴()()()()()()2313141525f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，()()312f f +-=，又()()111f f -=，所以()()3112f f +=，同理()()4102f f +=，()()592f f +=，()()682f f +=，()()752f f +-=，又()()57f f -=，所以()272f =，即()71f =，由()()21322f x f x -+-=，令1x =，得()212f =，()11f =，()()1200f f ==，所以()()()()123...1212f f f f ++++=，所以()()()1314...2412f f f +++=，()()2511f f ==，()25124125i f i ==+=∑，故D 正确.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过对称性判断函数的周期.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)【答案】40-【解析】【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中23x y 的系数.【详解】5(2)x y -的展开式的通项()()()555155C 2C 21,0,1,2,5r r r r r r r r r T x y x y r ---+=-=⋅⋅-= 所以展开式中23x y 的系数是()3325C 2140⋅⋅-=-.故答案为：40-.13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.【答案】①. 81 ②. 727【解析】【分析】先求出4次传球的方法总数，再求出4次传球后球在甲手中的方法总数，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，依题意利用全概率公式得到11133n n P P +=-，即可得到14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，从而求出n P ，再将4n =代入计算可得.【详解】由题意可知，4次传球总的传球路线种数为4381=种，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，1,2,3,n = ，则有10P =，111n n n n n A A A A +++=+，所以()()()11111n n n n n n n n n P P A A A A P A A P A A +++++=+=+()()()()11||n n n n n n P A P A A P A P A A ++=⋅+()()1110133n n n P P P =-⨯+⨯=-，即11133n n P P +=-，所以1111434n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，的又111044P -=-≠，所以14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，所以1111443n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，即1111443n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，当4n =时34111744327P ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：81，727.14. 如图，等腰直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.【答案】32π3⎛⎝【解析】【分析】根据两平面互相垂直判断外接球球心的位置，再由已知条件计算出球半径表达式，即可求出体积取值范围.【详解】因为BCD △是直角三角形，所以其外接圆的圆心在Rt BCD 的斜边BD 上，即BD 是该圆的直径，又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，所以平面1A BD 必过球心，外接球半径即为1A BD 外接圆的半径，设球的半径为r ，球的体积为V ，在1A BD中，根据正弦定理得，12πsin sin 4BD BD r BA D ===∠，又因为()4BD ∈，所以(124,sin sin BD BD r BA D A ===∈∠，所以3432ππ33V r ⎛=∈ ⎝.故答案为：32π3⎛ ⎝【点睛】关键点点睛：本题关键是通过两平面垂直关系以及三棱锥的底面为直角三角形判断出球心的位置，判断球心在平面1A BD 上，得出球心为1A BD 外接圆的圆心，再求出BD 的取值范围即可解决问题.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .【答案】（1）13n na -= （2）()21314n nn S -⋅+=【解析】【分析】（1）根据1a ，14，4a 成等差数列，得1428a a +=，再结合524a a a =及等比数列的通项公式，可求1,a q ，从而得到等比数列的通项公式.（2）利用“错位相减求和法”求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意可知1428a a +=，即31128a a q +=，又∵43111a q a q a q =⋅，即211a a =，∴11a =或10a =（舍），∴3q =，∴1113n n n a a q --==.【小问2详解】令13n n n b na n -==⋅，∴12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，即()121123133n n n S n n --=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅①∴()213323133n n n S n n -=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅②①-②得：∴21133121333333132n n n nn nn S n n n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅-∴()21311132444n n n n n S -⋅+⎛⎫=-⋅+= ⎪⎝⎭.16. 如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .【答案】（1）证明见解析（2）14（3）12DG =【解析】【分析】（1）线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）取BC 中点H ，则平面EFGH 即为平面EFG 截正四面体A BCD -的截面，求解即可.（3）方法一：取CD 中点M ，连接BM ，过点E 作BM 的垂线，垂足为N ，连接NG ，由线面角的定义可知EGN ∠即为直线EG 与平面BCD 所成角，求解即可；方法二：如图，取CD 中点M ，连接BM ，以M 为坐标原点，MD ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，由向量法求解即可.【小问1详解】证明：因为//FG 平面ABC ，FG ⊂平面ACD ，平面ACD 平面ABC AC =，所以//FG AC ，又FG ⊂面EFG ，AC ⊂/面EFG ，所以//AC 平面EFG ；【小问2详解】因为E，F，G为AB，AD，CD中点，取BC中点H，则平面EFGH即为平面EFG截正四面体A BCD-的截面，且EFGH为边长是12的正方形，所以14S=截面；【小问3详解】方法一：取CD中点M，连接BM，过点E作BM的垂线，垂足为N，连接NG 易知，EN⊥平面BCD，所以EGN∠即为直线EG与平面BCD所成角，又EN=，tanEN EGNNG ∠=，所以NG=MN=所以GM=12 DG=±方法二：如图，取CD中点M，连接BM，以M为坐标原点，MD，MB所在直线分别为x，y轴，过点M且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，E ⎛⎝，设(),0,0DG DCλλ==-，所以1,0,02MG MD DGλ⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，即1,0,02Gλ⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以1,2EG λ⎛=-+ ⎝ ，又平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，所以1sin cos ,2EG n EG n EG n θ⋅====⋅ ，解得12λ=±12DG =±17. 已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.【答案】（1）答案见解析（2）e2【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断()y f x =的单调性；（2）根据题意结合（1）中的单调性可得22ln ,0ab a a a a ≤->，令()()22ln 0g x x x x x =->，利用导数判断其单调性和最值.小问1详解】由题意可知：()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，可知()y f x =在R 上单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增；【综上所述：当0a ≤时，()y f x =在R 上单调递增；当0a >时，()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.【小问2详解】因为()0f x ≥，由（1）可得：①当0a ≤时，可知()y f x =在R 上单调递增，且x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞，与题意不符；②当0a >时，可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，则()()ln ln 0f x f a a a a b ≥=--≥，可得ln b a a a ≤-，且0a >，则22ln ab a a a ≤-，令()()22ln 0g x x x x x =->，则()()12ln g x x x =-'，令()0g x '>，解得0x <<；令()0g x '<，解得x >可知()y g x =在(上单调递增，在)∞+上单调递减，则()e 2g x g ≤=，所以当a =b =时，ab 的最大值为e 2.18. 某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.【答案】（1）（ⅰ）23；（ⅱ）12139k -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，*k ∈N（2）乙方，理由见解析【解析】【分析】（1）（i ）分析得到甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，求出概率；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，得到概率；（2）方法一：记乙方获胜为事件A ，利用等比数列求和公式和极限得到()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.方法二：设乙方获胜为事件A ，由题意得到()()()21133P A P A =+-，求出()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.【小问1详解】（i ）甲乙两方抽牌次数之和为2，则甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，即乙获胜，()223P X ==；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，甲方在第()21k -次抽到的不是对方手中的幸运数字牌，从而乙方最后获胜，所以()221122123339k k P X k --⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ；【小问2详解】方法一：记乙方获胜为事件A ，则()()1211393132lim 1149419k k k k P A X k ∞∞+→+=⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭====⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑.乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.方法二：记乙方获胜为事件A ，则乙方获胜的概率为()P A ，事件A 可分为甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌和是幸运数字牌两种情况，其中若甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌，则乙会获胜，概率为23，若甲第一次抽中的牌是幸运数字牌，此时甲乙手中的牌相当于进行了互换，则此时甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，则甲不获胜的概率即为()1P A -，则()()()21133P A P A =+-，解得()34P A =，乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.【点睛】关键点点睛：如图求解乙方获胜的概率，可使用等比数列求和公式和极限思想，也可以通过题意得到方程，求出答案.19. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.【答案】（1）2212y x +=（21+【解析】【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求OPQ △的周长，则需把各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ △各边边长，结合基本不等式即可求得最值.【小问1详解】当P 与原点O 重合时，可设()()000,0A x y x >，则有()00,B x y --、()00,T x y -，且002x y =，AT BT ⊥，则0011822229ABT S AT BT y x =⋅=⋅⋅= ，即20429y =，∴2029y =，则2089x =，即有2228199a b +=，由离心率，即c a =，则22222a c b c ==+，∴222a b =，即有2218199b b +=，解得21b =，∴22a =，即C 的方程为2212y x +=；【小问2详解】设直线l 方程为2x y t =+，令0x =，有2t y =-，即2P t y =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,T x y -，联立直线与椭圆方程：22212x y t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 有2298220y ty t ++-=，有1289t y y +=-，212229t y y -=，()226436220t t =--> ，得33t -<<，BT l 为()212221y y y x x y x x +=-+-，为令0y =，1222122121212Q x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++，由2x y t =+中，得()()212211221121212122242241989t y t y y t y x y x y y y t t t y y y y y y t-++++==+=+=-+++，即1Q x t=，则12OPQ P Q tC y x t =++=++1≥=，当且仅当t =时等号成立，故OPQ △1.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于把OPQ △各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ△各边边长，结合基本不等式即可求得最值.。
2023-2024学年浙江省绍兴市高二下学期6月期末数学试题(含答案)
2023-2024学年浙江省绍兴市高二下学期6月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−2<x ≤2}，B ={x|x <2}，则A. 2∈BB. (∁R A )∪B =RC. A ⊆BD. A ∩B ≠⌀2.若z 1=1+2i ，z 2=2+i ，则z 1z 2=A. 45+35iB. 45−35iC. 35+45iD. 35−45i 3.若函数f(x)=2x 2+ax−b 在x ∈[0,1]上有两个不同的零点，则下列说法正确的是A. b 2+8a >0B. a−b ≥−2C. b <0D. −2≤a ≤04.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，(a−b )⊥(3a +b )，则向量a 与b 夹角的余弦值是A. −14B. 14C. − 154D. 1545.已知cos (π4+α)=45，π4<α<74π，则cos 2α=A. −725 B. 725 C. −2425 D. 24256.将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子至少放1个小球，则不同的放法种数是A. 2640B. 2160C. 1800D. 15607.设A ，B 为两个随机事件，若P(A)=12，P(B)=13，P(B|A)=14，则P(B |A )=A. 34B. 712C. 512D. 148.已知函数f(x)的定义域为[1,2]，对定义域内任意的x 1，x 2，当x 1≠x 2时，都有|f(x 1)−f(x 2)|<k|x 1−x 2|，则下列说法正确的是A. 若f (x )=x 2+x ，则k <10B. 若f(x)=12kx 2−x ，则13≤k ≤12C. 若f(1)=f(2)，则|f (x 1)−f (x 2)|<k 2D. 函数y =f(x)和y =f(x)−kx 在[1,2]上有相同的单调性二、多选题：本题共3小题，共15分。
浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷(理科)
浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设则a0,a1,...,a8中奇数的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）且n<55,则乘积(55-n)(56-n)...(69-n)等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·河南模拟) 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A .B .C .D .4. （2分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且。
若，则称甲乙“心有灵犀”。
现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·太原期中) 关于残差和残差图，下列说法正确的是（）⑴残差就是随机误差⑵残差图的纵坐标是残差⑶残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高⑷残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低．A . （1）（2）B . （3）（4）C . （2）（3）D . （2）（4）6. （2分）设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则表中的a的值为（）ξ1234P aA . 1B .C .D .7. （2分） (2017高二上·清城期末) 二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A . 3或B .C . 3D . 3或8. （2分） (2016高二下·仙游期末) 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门．其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门．则不同的分配方案有（）A . 36种B . 38种C . 108种D . 114种二、填空题 (共5题；共6分)9. （1分） (2019高二下·虹口期末) 用0，1，2，3，4可以组成________个无重复数字五位数.10. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________11. （1分）(2017·内江模拟) （x+y）（x﹣y）7点展开式中x4y4的系数为________（用数字填写答案）12. （2分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）株数418x6则x的值为________；若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．则排查的树木恰好为2株的概率为________．13. （1分） (2017高二下·赣州期中) 3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为________．三、解答题 (共4题；共40分)14. （5分）证明：若n∈N + ，则3 2n+3﹣24n+37能被64整除．15. （20分） (2016高二下·晋江期中) 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？16. （10分）新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：（8，2960），（13，3830），（17，4750），（22，5500），（（25，6370）），（33，8140），（（37，8950）），（45，10700），设由这8组数据得到的回归直线方程为 = x+1110，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车．（1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数01234≥5下一年的保费倍率0.851 1.25 1.5 1.752连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如表（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）：一年中的出险次数01234≥5频数5003801001541根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）17. （5分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次得的概率.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共4题；共40分)14-1、15-1、15-2、15-3、15-4、16-1、16-2、17-1、。
浙江省嘉兴市2023-2024学年高二下学期6月期末检测数学试题2
8.已知函数 ，若 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数 （其中 是虚数单位），则下列说法正确的是（）
A. 的虚部为
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19.已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 时，求证： 在区间 有唯一的极值点；
（3）若对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积.
17.如图， 和 都垂直于平面 ，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当平面 与平面 的夹角为 时，求几何体 的体积.
18.为了了解某市市民平均每天体育锻炼 时间，在该市随机调查了 位市民，将这 位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为 五组，得到如图所示的频率分布直方图：
嘉兴市2023~2024学年第二学期期末检测
高二数学试题卷
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ，则 （）
A. B. C. D.
2. 的展开式中 的系数为（）
A. B. C. D.
3.已知 ， 是两个不同 平面，直线m满足 ，则“ ”是“ ”的（）
14.已知 为球 的球面上四个点，且满足 ， 平面 ，则球 的表面积的最小值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期6月期末联考试题数学
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}02024B x x =≤≤∣，则（ ） A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A ⊆2.已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，20232025MN a b =+，20242024,NP a b PQ a b =+=-+，则（ ）A.,,M N P 三点共线B.,,M N Q 三点共线C.,,M P Q 三点共线D.,,N P Q 三点共线3.已知复数z =z =（ ）C.2D. 4.若sin18m =，则sin63=（ ）)m B.12m +C.2m D.2m 5.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点（不同于,A B ）且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为（ ）A.60B.30C.45D.156.已知函数()e 1,0,0x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A.(),1∞--B.(],1∞--C.()1,0-D.[)1,0-7.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>，若()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且()()ππ02f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，则ω的值为（ ）A.23 B.23或2 C.13 D.1或138.正项数列{}n a 中，1n n a ka +=（k 为实数），若2022202320243a a a ++=，则222202220232024a a a ++的取值范围是（ ）A.[)3,9B.[]3,9C.[)3,15D.[]3,15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,x y ∈R ，且123,124x y ==，则（ ） A.y x > B.1x y +>C.14xy << 10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到,,,,A B C D E 五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A.所有可能的方法有53种B.如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C.如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种D.如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有（ ）A.若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B.若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C.若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D.若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量()()23,,3,X B p Y N σ~~，若()10.657,(13)P X P Y p ≥=≤<=，则(5)P Y >=__________.13.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为__________.14.已知函数()3e xf x x a =-，若函数()f x 有三个极值点()123123,,x x x x x x <<，若323x x ≥，则实数a的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2sin sin cos sin cos a b c A C B B C -=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 周长的最大值. 16.（本题满分15分）已知点30,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 在直线AB 上，且满足0,3PA AB AM AB ⋅==.（1）当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 为（1）中的曲线C 上一点，直线l 过点Q 且与曲线C 在点Q 处的切线垂直，l 与曲线C 相交于另一点R ，当0OQ OR ⋅=（O 为坐标原点）时，求直线l 的方程.17.（本题满分15分）如图所示多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，ADE 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，π2,3AB CF BAD ∠===.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）求二面角E AF C --的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()(),xf x ag x ax ==，其中0a >且1a ≠. （1）若e a =，试证明：()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立；（2）若()0,x ∞∈+，求函数()()()ln g x h x f x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的单调区间；（3）请判断2e π与2πe ⋅的大小，并给出证明.（参考数据：20.736,e 2.718,π 3.1416,ln π 1.145e≈≈≈≈）19.（本题满分17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行()*n n ∈N 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为n X ，恰有1个黑球的概率为n p ，恰有2个黑球的概率为n q ，恰有0个黑球的概率为n r .（1）求12,p p 的值；（2）根据马尔科夫链的知识知道111n n n n p a p b q c r ---=⋅+⋅+⋅，其中[],,0,1a b c ∈为常数，同时1n n n p q r ++=，请求出n p ；（3）求证：n X 的数学期望()n E X 为定值.2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案：0.2 13.答案：[]0,16 14.答案：(20,(ln3)⎤⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）因为()2sin sin cossin cos A C B BC -=，即2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+， 可得()2sin cos sin sin A B B C A =+=，又因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得1cos 2B =，且 0πB<<，可得π3B =. （2）法一：由正弦定理可得4sin sin sin a b c A B C ====，则4sin ,4sin a A c C ==， 可得24sin 4sin 4sin 4sin π3a b c AC A A ⎛⎫++=+=+-⎪⎝⎭π4sin 2sin 6sin 6A A A A A A ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，因为20π3A <<，则ππ5π666A <+<， 可得π6A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值为法二：由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，可得22212()3()32a c a c ac a c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a c ==解得a c +≤ABC周长的最大值为16.详解：（1）设()0,0A x ，则由射影定理，有2AO BO OP =⋅，故22002332x OB x ==，即2020,3B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由13AB AM =，易得()2002,2M x x -，故M 的轨迹方程为()2102y x x =≠. （2）设2001,,2Q x x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭点处的切线斜率为20012x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，故()200011:2QR l y x x x x =--+.代入拋物线方程，解得200200212,22R x x x x ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭.由0OQ OR ⋅=， 得220000************ x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅--+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得4004,x x ==所以l的方程为22y x =-+或22y x =+. 17.【详解】（1）证明：取AD 中点N ，连接NE NC ､，因为ADE 是正三角形，所以,2sin603EN AD EN ⊥=⋅= 因为平面ADE ⊥平面,ABCD EN ⊂平面ADE ， 平面ADE ⋂平面ABCD AD =所以EN ⊥平面ABCD ，又因为CF ⊥平面ABCD ，所以EN∥CF ，又因为EN CF =，所以四边形ENCF 是平行四边形，所以EF ∥NC ，又因为NC ⊂平面,ABCD EF ⊄平面ABCD ，所以EF∥平面ABCD .（2）连接AC BD ､交于O ，取AF 中点M ，连接OM ，所以OM∥CF ，因为CF ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，因为OA OB ⊂､平面ABCD ，所以,OM OA OM OB ⊥⊥，又因为四边形ABCD 是菱形，所以OA OB ⊥，所以OA OB OM ､､两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎝⎭⎝， ()3123,0,3,22AF AE ⎛=-=-- ⎝，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，23031022AF m x AE m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩， 令()1,1,33,2x m ==，平面AFC 的法向量为()0,1,0n =， 设二面角E AF C --的大小为33,cos 88421m n m nθθθ⋅=====⋅⋅.所以二面角E AF C --. 18.证明：（1）设函数()()()x f x g x ϕ=-，则()e e xx ϕ'=-，当(),1x ∞∈-时()0x ϕ'<，当()1,x ∞∈+时()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min ()110x f g ϕ=-=， 所以()0x ϕ≥，即()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立. （2）已知()()1ln ln ln ,ln h x x a x a h x a x =+-⋅=-'，从而01ln x a=， 若()0,1a ∈，则()()1ln 0,h x a h x x=->'在()0,∞+单调递增； 若()1,a ∞∈+，当10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0h x '>，当1,ln x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0h x '<，所以()h x 在10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在1,ln x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭单调递减.（3）由（2）可知()ln ln πln πh x x x =+-⋅在10,ln π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为11320.8730.736ln π 1.1454e≈≈>>≈ 从而由（2）知道()h x 在23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.所以23e 4h h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 计算33331ln ln πln πln ln π44444h ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭.比较4ln 3和1ln π4的大小，因为 44256 3.16π381⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以304h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 由此可知230e 4h h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即222ln ln πln π0e e e h ⎛⎫=+-⋅< ⎪⎝⎭， 从而2e 222ln ln πln πln πln πe e e ⎛⎫⎛⎫+<⋅⇔⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2e 2ππe >⋅.19.详解：（1）设恰有2个黑球的概率为n q ，则恰有0个黑球的概率为1n n p q --.由题意知1111112211211111113333C C C C C C 52,C C 9C C 9p q +====， 所以()111111112332221121111111111333333C C C C C C C C 491C C C C C C 81p p q p q +=++--=. （2）因为()111111112332221111111111111333333C C C C C C C C 121C C C C C C 93n n n n n n p p q p q p -----+=++--=-+， 所以1313595n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又因为1320545p -=-≠，所以35n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以245-为首项，19-为 公比的等比数列.所以11321213,54594595n n n n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=-⨯-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）因为11111321111111113333C C C C 21C C C C 93n n n n n q p q p q ----=+=+①，()()1111311211111111113333C C C C 21111C C C C 93n n n n n n n n q p p q p p q p --------=+--=+--②所以①②，得()11121213n n n n q p q p --+-=+-.又因为11210q p +-=，所以210n n q p +-=.所以1nn p q -=.所以n X 的概率分布列为：所以()110112122n n n n n p p E X p p --⎛⎫=⨯--+⨯+⨯= ⎪⎝⎭.所以n X 的数学期望()n E X 为定值1.。
浙江省宁波市2022-2023学年第二学期高二期末考试数学试卷及答案
试卷类型：A 宁波市2022学年第二学期高二期末考试试卷数学2023.06本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．12B．22C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{3,},{,1}A m B m m ==+，若{4}A B ⋂=，则A B ⋃=___________.14．圆心在原点且与直线40x y +-=相切的圆的方程为______________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(1)求四棱锥B AECD -的体积；(2)若F 在侧棱BC 上，34BF BC =，求证：二面角C EF D --18．在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD (1)求cos CBD ∠；(2)若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.19．在ABC 中，角，，C 所对的边分别为a c cos A21．已知2:820p x x --求实数a 的取值范围．22．已知函数()xf x e =（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数()g x f =参考答案：7．C【分析】根据函数()13,0,2232,2x x f x f x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎛⎫⎪--∈ ⎪⎪⎝⎭⎩2log y x =的图象，数形结合，求得不等式的解集【详解】根据题意当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()2f x =当93,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()3)](22[(f x f x f ==---由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.8．B∵,,AE D E AE CE D ''⊥⊥∴⊥AE 平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN34EF EB BF EB BC =+=+ 设面CEF 的一个法向量为由1111200304y n EC x n EF =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+⋅=⎪⎪⎩⎩解法二：由（1∠= sin sinABD所以1sin A D BD =⋅1cos A B BD ABD ∠=⋅所以1122A BD S =⨯△又2tan A D BD ∠=⋅所以2122A BD S =⨯△因为几何体是由等高的半个圆柱和所以45ECD DCG ∠=∠=︒因为//BC EF ，BC EF =，则()0,0,0A 、()0,2,0B 、(2,0,0F ()0,2,0AB = ，()1,1,2AG =- ，FB 设平面BDF 的一个法向量为(n =r 则00n FB n FD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，整理得2222x y x z -+⎧⎨-+=⎩令1z =，则()1,1,1n = ，（1）通过线面关系得到线面垂直，从而得到面面垂直；（2）建系，利用方程求法向量，精确计算，这是求二面角的关键.21．[9,)+∞.【分析】解不等式，由题可得{|210}x x -≤≤是{|11}x a x a -≤≤+的真子集，进而即得．【详解】由题可得2:8200210p x x x --≤⇔-≤≤，:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--≤>⇔-≤≤+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -≤≤是{|11}x a x a -≤≤+的真子集，故有121100a a a -≤-⎧⎪+>⎨⎪>⎩或121100a a a -<-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得9a ≥，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+∞．22．（1）1a ≤；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x '≥对R x ∀∈恒成立.求导后分离参数得到x a e x ≤-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a '∴∀∈=--≥，()min x a e x ∴≤-，设()x h x e x =-则()1x h x e '=-，令()0h x '>解得0x >，()0h x '<解得0x <，故()h x 在(),0∞-单调递减，在()0+∞，单调递增，。
浙江省宁波市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题【含答案】
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,4A =，{}1,5B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1C ．{}5D ．{}1,52．已知复数12z i =+，则1z的虚部为（）A ．25B ．2i5C ．2i5-D ．25-3．已知角α的终边过点()4,3-，则sin cos sin ααα+=（）A ．12-B ．13-C ．14D ．734．已知a ，b 均为单位向量，则a b ⊥是22a b a b -=+ 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误．．的是（）A ．若//m α，//n α，m ，n 共面，则//m nB ．若m α⊂，//n α，m ，n 共面，则//m nC ．若m β⊥，且//αβ，则m α⊥D ．若m α⊥，且//m β，则αβ⊥6．若22ln ln x y y x ->-，则（）A ．e 1x y ->B ．e 1x y -<C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<7．袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（）A ．518B ．49C ．59D ．13188．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为()e e cos 2x x h x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为()e e sin 2x xh x --=．若关于x 的不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->对任意的0x >恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知平面向量()1,2a =，()2,b x =- ，则（）A ．当2x =时，()1,4a b +=-B ．若a b，则=1x -C ．若a b ⊥，则1x =D ．若a 与b的夹角为钝角，则()(),44,1x ∞∈--⋃-10．已知函数()2121x x m f x ⋅-=+是奇函数，则下列说法正确的是（）A ．1m =B ．()1f x =-无解C ．()f x 是减函数D ．()()202420230f f +->11．如图，点P 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，11113A E AB =，11113A F A D =，1B P 平面AEF ，则下列说法正确的是（）A ．三棱锥A PEF -的体积是定值B ．存在一点P ，使得11C P A C ⊥C ．动点P的轨迹长度为+D ．五面体EF ABD -非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设()3log ,011,11x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，则()()2f f =．13．已知正实数x ，y 满足22421x y xy +-=，则xy 的最大值为．14．在ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，22213b a c -=，当1tan tan A B+取得最小值时，角C 的大小为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知单位向量1e ，2e满足1212e e ⋅= ．(1)求1223e e + ；(2)求123e e - 在1e 上的投影向量（用1e表示）．16．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图，2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭和11,3Q ⎛ ⎝均在函数()f x 的图象上，且Q 是图象上的最低点．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若()0f x =058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0πcos 2x 的值．17．如图，在三棱锥-P ABC 中，45ABC PBC ∠=∠=︒，PA ，2AB BC PB ===，AD BC ⊥，点D 在BC 上，点E 为PA 的中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；(2)求BE 与平面PBC 所成角的正弦值．18．为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在[]0,140，将得分数据按照[)0,20，[)20,40，…，[]120,140分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；(3)若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在[)100,120内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在[]120,140内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．19．已知函数()3243f x x ux u =-+．(1)当1u =时，求54f ⎛⎫⎪⎝⎭，并判断函数()f x 零点的个数；(2)当1,13u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有三个零点123123,,,()x x x x x x <<，记223i i u t x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1i =，2，3．证明：①1232235x x x <++<；②13231181t t t t +<．参考公式：()()()()()32123123122331123x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-+++++-．1．C【分析】利用集合的交集和补集做题即可.【详解】{}3,5U A =ð，则()U A B ⋂=ð{}5.故选：C.2．D【分析】利用复数的除法化简1z，然后确定其虚部即可.【详解】复数12z i =+，则()()i 11i 11221212i i 2i 155z -===-++-，所以1z 的虚部为25-.故选：D.3．B【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出sin ,cos αα，然后代入计算即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3-，所以34sin ,cos 55αα====-，所以34sin cos 1553sin 35ααα-+==-，故选：B 4．C【分析】a ，b 均为单位向量，等式|2|2|a b a b -=+两边平方，利用数量积运算性质化简，即可得答案；【详解】 a ，b均为单位向量，∴|2||2|144414a b a b a b a b -=+⇔-⋅+=++⋅ ⇔0a b ⋅= ．∴a b⊥ 是|2||2|a b a b -=+ 的充要条件．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量数量积运算、向量垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力．5．A【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面之间的位置关系及其性质选项进行判断.【详解】若//m α，//n α，m ，n 共面，则直线m ，n 可能平行可能相交，A 选项错误；若m α⊂，//n α，则直线m ，n 没有公共点，当m ，n 共面，则//m n ，B 选项正确；若m β⊥，且//αβ，由面面平行的性质可得m α⊥，C 选项正确；//m β时，当m ⊂平面γ，l γβ= ，有//m l ，若m α⊥，则l α⊥，由l β⊂，有αβ⊥，D选项正确.故选：A 6．A【分析】构建()2ln ,0f x x x x =+>，根据题意结合单调性分析可得0x y >>.对于AB ：结合指数函数单调性分析判断；对于CD ：举反例说明即可.【详解】若22ln ln x y y x ->-，可得22ln ln x x y y +>+，且,0x y >，构建()2ln ,0f x x x x =+>，因为2,ln y y x x ==在()0,∞+内单调递增，可知()y f x =在()0,∞+内单调递增，由22ln ln x x y y +>+，即()()f x f y >，可得0x y >>.对于选项AB ：因为0x y >>，则0x y ->，且e x y =在R 内单调递增，所以0e e 1x y ->=，故A 正确，B 错误；对于选项CD ：利用2,1x y ==，满足0x y >>，但ln ln10x y -==，故CD 错误；故选：A.7．C【分析】利用超几何分布求解.【详解】设事件“依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球”为事件A ,242C 1P(A),C 6n ==即,(1)6162n n -=解得9,n =设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B,115429C C 5P().C 9B ==故选：C.8．B【分析】结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的表达式，问题转化为42422e 2e e 2e 1x xx x m ++->+对任意的0x >恒成立，通过换元有223m s s ->-对任意的102s <<恒成立，构造函数利用单调性解决不等式恒成立问题.【详解】不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->，即222e e e e 441022x x x xm --⎛⎫+--⨯-> ⎪⎝⎭，化简得224222422e 2e 2e 2e e e 2e 2e 11x x x xx x xx m --++--=++>++，不等式()()24cos 4sin 210m h x h x -->对任意的0x >恒成立，即42422e 2e e 2e 1x xx x m ++->+对任意的0x >恒成立，令2e x t =，则1t >，有()22222222211t t t t m t t t -++->=+++对任意的1t >恒成立，令1k t =+，则2k >，有222231312m k k k k k --->=-对任意的2k >恒成立，令1s k =，则102s <<，有223m s s ->-对任意的102s <<恒成立，令()223g s s s =--，()g s 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()02m g ≥=，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.故选：B.9．ACD【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A ；根据向量平行的标公式计算即可判断B ；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C ；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D.【详解】对A ，当2x =时，()2,2b =- ，所以()1,4a b +=-，故A 正确；对B ，若a b，则()220x -⨯-=，解得4x =-，故B 错误；对C ，若a b ⊥，则()1220x ⨯-+=，解得1x =，故C 正确；对D ，若a 与b 的夹角为钝角，则220a b x ⋅=-+<且a 与b 不共线，解得1x <且4x ≠-，即()(),44,1x ∞∈--⋃-，故D 正确，故选：ACD10．ABD【分析】利用奇函数()00f =可求得1m =，再根据指数函数值域可知B 正确，利用复合函数单调性可得C 错误；结合单调性和奇偶性可知D 正确.【详解】对于A ，易知函数()f x 的定义域为R ，又()f x 为奇函数，所以()1002m f -==，解得1m =；经检验1m =满足题意，即A 正确；对于B ，由()1f x =-可得21121x x -=-+，即20x =，显然此时无解，即B 正确；对于C ，化简可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++，易知21x y =+为单调递增函数，由复合函数单调性可知()f x 为增函数，即C 错误；对于D ，由于()f x 为奇函数可得()()202320230f f +-=，结合C 选项可得()()20242023f f >，所以()()()()20242023202320230f f f f +->+-=，可得D 正确.故选：ABD 11．ACD【分析】根据等体积变换判断A,D ，利用题意分析出点P 的轨迹判断B,C ；【详解】根据题意正方体的棱长为3，111,1A E A F ==，利用勾股定理可得AE AF EF ====，如图所示，在AB 边上取点,2G AG GB =，在AD 边上取点,2H AH HD =，在平面11ABB A 中，11,,EB AG EB AG = 四边形1EB GA 为平行四边形，则1AE B G又AE ⊂平面AEF ,1B G ⊄平面AEF ,所以1B G ∥平面AEF ；同理11EF B D ∥,FE ⊂平面AEF ,11B D ⊄平面AEF ,所以11B D ∥平面AEF 因为1111111,,B D B G B B D B G ⋂=⊂平面11D B GH ,所以平面11D B GH 平面AEF 点P 是正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，1B P 平面AEF ，则点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ）对于A ，三棱锥A PEF -的体积等于三棱锥P AEF -的体积，在AEF △中，1224AEF S =⨯ ，点P 的轨迹为四边形11D B GH ，且平面11D B GH 平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离为111133A C ==11193833412AEF P AEF V S h -=⨯⨯=⨯ ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ），在正方体中，1111,,,A C BD A C BC BD BC ⊥⊥是平面1BDC 内两条相交直线，所以1A C ⊥与平面1BC D ，在平面1BC D 任意一条直线都已1A C 垂直，所以从点1C 出发的直线在平面1BC D 内才能使11A C C P ⊥成立，点P 的轨迹为四边形11D B GH （不包含点1B ），则可知不存在点P ，使得11A C C P ⊥，所以B 错误；对于C ，点P 的轨迹为四边形11D B GH ，利用勾股定理计算动点P 的轨迹长度为11110321025105221D B D G HG B H +++=++++=，所以C 正确；对于D ，五面体EF ABD -是四棱锥A EFDB -，四边形EFDB 是等腰梯形，22223332,2,2313BD EF BE DF =+====+=,10,3AE AF AB AD ====，设ABD △所在圆的圆心为N ,M 是11B D 的中点,四棱锥A EFDB -的外接球球心为O ,连接MN ，根据题意ABD △是直角三角形,N 是BD 的中点，O 在线段MN 上，设ON a =，因为,3OE OD R MN ===，222221332(3)()()()222a a -++=+解得76a =所以四棱锥A EFDB -的外接球半径为226732()()26211R =+=.故选：ACD.【点睛】三棱锥体积求解方法：直接法；等体积变换法；12．1-【分析】根据分段函数定义，先计算出()2f 的值，然后计算()()2f f 即可得出结果.【详解】函数()3log ,011,11x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，则()()3112log 133f f f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故答案为：1-.13．12##0.5【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解．【详解】正实数x ，y 满足22421x y xy +-=，所以221244xy x y xy +=+≥，解得12xy ≤.当且仅当2x y =，即11,2x y ==时取等号，所以xy 最大值为12．故答案为：12．14．2π##90 【分析】先根据余弦定理化简得2c s 3o c b A =,再由正弦定理把边的关系化为角的关系s 2i si c 3n s n o A B C =,得到2sin cos cos sin A B A B =,最后根据基本不等式求最值的可求得结果.【详解】由余弦定理得，2222cos b c a bc A +-=,又因为22213b a c -=,所以2212cos 3c c bc A +=,即242cos 3c bc A =,化简得2c s 3o c b A =,由正弦定理可得,s 2i si c 3n s n o A B C =,即()2sin 3sin cos A B B A +=,n 2sin cos 2cos sin cos 3si A B A B B A =+,化简得2sin cos cos sin A B A B =.1sin cos tan 222tan cos sin A B A B A B +=+≥当且仅当sin cos cos sin A B A B =时,等号成立,1tan tan A B +取得最小值.即cos cos sin sin 0A B A B -=，cos cos sin sin ,A B A B =()cos 0,cos 0A B C +==,因为()0,πC ∈,所以π2C =.故答案为:π215．(2)112e - 【分析】（1）利用模长计算公式和数量积的运算规律计算即可；（2）由投影向量的概念和公式求解123e e - 在1e上的投影向量即可.【详解】（1）1223e e +=（2）123e e - 在1e 上的投影向量为()121111312e e e e e e -⋅⋅=-．16．(1)154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)【分析】（1）根据图象得出A =，34T ，求出ω，再将11,3Q ⎛ ⎝代入，结合π2ϕ<，求出ϕ，得出解析式，在求出单调递增区间即可．（2）()0f x =0ππ4sin 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用同角三角函数关系式，得出0ππ3cos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，00ππππcos cos 2233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，用和角关系式展开求值即可．【详解】（1）由题得A =，334T =，故4T =，π2=ω．由113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得π113π2π232k ϕ⨯+=+，Z k ∈，故π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，π2ϕ<，故π3ϕ=-，故()ππ23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．ππππ152π2π44,Z 223233k x k k x k k -+≤-≤+⇒-+≤≤+∈，即()f x 单调递增区间为154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）由()0f x =0ππ4sin 235x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0ππ3cos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，0000ππππππ1ππcos cos cos sin 223323223x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦17．(1)证明见解析(2)2114【分析】（1）要证明平面PAD ⊥平面PBC ，只需证明BC ⊥平面PAD ，进而转化为证明PD BC ⊥；（2）通过把AM 平移至EN ，从而证明出EBN ∠就是BE 与平面PBC 所成的角，再计算出EN 和BE 即可求解。
2022-2023学年浙江省宁波市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π45．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.196．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣17．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0B ．a ﹣b ＝0C ．ab ＝1D ．ab =19．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f(x +12)为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有f （2﹣3x ）＝f （3x ），则下列结论中一定成立的是（ ） A ．f （1﹣x ）＝f （x ） B ．f （3x +1）＝f （3x ） C ．f （x ﹣1）为偶函数D ．f （3x ）为奇函数二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.） 13．下列函数是增函数的是（ ） A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y =x 12D ．y ＝﹣x ﹣114．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，则下列命题不正确的是（ ） A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．以下列选项为条件，一定可以推出A =π3的有（ ）A ．a ＝7，b ＝8，c ＝5B ．a =√3，b =√2，B =π4 C ．sinBsinC =34D ．2sin 2B+C2+cos2A =1 16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ ，f （log 23）＝ ．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 cm 2．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 ．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，则cb 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．23．（11分）已知函数f(x)=log a x +ax +1x+1(x ＞0)，其中a ＞1． （1）若a ＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f （x ）的零点个数，并说明理由； （3）设f （x 0）＝0，求证：12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为226．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ） A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π227．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数． （1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}解：因为A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，所以A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}． 故选：D ．2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：因为复数﹣1﹣2i ，所以复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是﹣2． 故选：A ．3．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)解：因为f(x)=(x −12)12=√x −12，所以x −12≥0，则x ≥12，所以f （x ）的定义域为[12，+∞)． 故选：B ．4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解：∵已知tan α＝﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y ＝﹣x （x ≤0）上，∴α=3π4， 故选：D ．5．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.19解：由已知统计表可知在1000名志愿者中， 服药后出现体重减轻的人数为241人， 因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．故选：C ．6．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣1解：∵a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →， ∴3x +2×6＝0，即x ＝﹣4． ∴实数x 的值为﹣4． 故选：B ．7．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π解：∵R ＝3，∴该球的体积V =43πR 3＝36π． 故选：A ．8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0 B ．a ﹣b ＝0 C ．ab ＝1 D ．ab=1解：∵lga ＝﹣lgb ∴lga +lgb ＝0 ∴lg （ab ）＝0 ∴ab ＝1 故选：C ．9．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．10解：第一次操作去掉的线段长度为13， 第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13， 由题意知，(23)n−1⋅13≥160，则(23)n ≥130， 则(32)n ≤30， 因为32＞1，所以指数函数y =(32)x 为增函数， 又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n ∈N *， 所以n ＝8， 故选：B ．10．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＞0＞b 时，1a＞0＞1b，所以由a ＞b 得不出1a＜1b， 若1a＜1b，则1a −1b=b−a ab＜0，若ab ＜0，则b ﹣a ＞0，即a ＜b ，所以由1a＜1b得不出a ＞b ，所以“a ＞b ”是“1a＜1b”的既不充分也不必要条件．故选：D ．11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心解：∵|AB |＝3，|AC |＝2 ∴|12AB →|＝|34AC →|=32．设AE →=12AB →，AF →=34AC →， 则|AE →|＝|AF →|，∴AD →=12AB →+34AC →=AE →+AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形． ∴AD 为菱形的对角线， ∴AD 平分∠EAF ．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝f（3x），则下列结论中一定成立的是（）A．f（1﹣x）＝f（x）B．f（3x+1）＝f（3x）C．f（x﹣1）为偶函数D．f（3x）为奇函数解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=−f(−x+12)，即f（x）＝﹣f（1﹣x），选项A错误；由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），则f（3x+1）＝﹣f（3x），B错；由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函数f（x）的周期为T＝2，f（x）＝﹣f（1﹣x）与f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函数f（x）的图象关于x＝1对称，根据周期为2可得函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）为偶函数，C正确；因为f（2﹣3x）＝f（3x）且函数f（x）的周期为T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）为偶函数，故选项D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列函数是增函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y=x 12D．y＝﹣x﹣1解：对于A，函数y＝x3的定义域为R，函数y＝x3在R上单调递增，A正确；对于B，函数y＝x2的定义域为R，函数y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，B错误；对于C，函数y=x 12的定义域为[0，+∞），函数y=x 12在[0，+∞）上单调递增，C正确；对于D，函数y＝﹣x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D错误；故选：AC．14．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题不正确的是（）A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．故选：ACD．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有（）A．a＝7，b＝8，c＝5B．a=√3，b=√2，B=π4C．sinBsinC=34D．2sin2B+C2+cos2A=1解：对于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=64+25−492×8×5=12，又A∈（0，π），所以A=π3，A正确；对于B，由正弦定理可得asinA =bsinB，又a=√3，b=√2，B=π4，所以sinA=√3×√22√2=√32，又A∈（0，π），所以A=π3或A=2π3，B错误；对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，可得A为锐角，且cosA=34，此时A≠π3，C错误；对于D，由2sin2B+C2+cos2A=1可得2sin2(π2−A2)+cos2A=1，所以cos2A=1−2sin2(π2−A2)=cos(π−A)=−cosA，所以2cos 2A +cos A ﹣1＝0，解得cosA =12或cos A ＝﹣1（舍）， 又A ∈（0，π），所以A =π3，D 正确． 故选：AD ．16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 解：对于A ，因为AC ∥A ′C ′，所以异面直线BP 与AC 所成角为∠BP A ′或∠BPC ′中的锐角或直角，又BA ′＝A ′C ′＝BC ′， 所以△BA ′C ′为等边三角形，因为点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，所以当P 为线段A ′C ′的中点时，∠BPA ′=∠BPC ′=π2， 此时异面直线BP 与AC 所成角为π2，当点P 趋近A ′或C ′时，异面直线BP 与AC 所成角趋近π3，所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]，选项A正确；对于B，过点P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，因为A′A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，所以∠PGF为二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF为二面角P﹣BC﹣D的平面角，故∠PGF＝α，∠PHF＝β，设A′P=√2x，则FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜x＜2，所以tanα=PFGF=2x，tanβ=PFFH=22−x，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2x+22−x1−2x×22−x=42x−x2−4，因为0＜x＜2，所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，所以tan(α+β)=42x−x2−4∈[−43，−1)，所以当x＝1时，tan（α+β）取最小值，最小值为−43，选项B正确；对于C，延长EC′到点M，使得EC′＝MC′，则PE＝PM，所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，当且仅当A ，P ，M 三点共线时等号成立，所以当点P 为线段AM 与A ′C ′的交点时，△APE 的周长最小， 因为PC ′∥AC ， 所以△PC ′M ∽△ACM ， 所以PC′AC=MC′MC=13，又AC =2√2， 所以PC ′=2√23，所以△APE 的面积S =S ACC′A′−S △ACE −S △EC′P −S △AA′P =4√2−√2−√23−4√23=4√23， 又BO ⊥AC ，BO ⊥AA ′，AC ∩AA ′＝A ，AC ，AA ′⊂平面ACC ′A ′， 所以BO ⊥平面ACC ′A ′， 所以点B 到平面APE 的距离为BO ，所以当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为V =13×4√23×√2=89，选项C 错误； 对于D ，延长BE ，B ′C ′，两直线交于点Q ，连接PQ ，设PQ ∩C ′D ′＝S ，PQ ∩A ′B ′＝T ，连接BT ，SE ， 因为平面ABB ′A ′∥平面DCC ′D ′，平面BEP ∩平面ABB ′A ′＝BT ，平面BEP ∩平面DCC ′D ′＝ES ， 所以BT ∥ES ， 又BT ≠ES ，所以四边形BEST 为梯形，所以用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ 12 ，f （log 23）＝ 34 ．解：因为f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f(−1)=2−1=12；因为1＝log 22＜log 23＜log 24＝2，所以，﹣1＜log 23﹣2＜0， 所以，f(log 23)=f(log 23−2)=2log 23−2=2log 2322=34．故答案为：12；34．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 1804π cm 2．解：作圆台的轴截面如下：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由已知，AE ＝80，BE =12×(40−4)=18， 所以AB =√AE 2+BE 2=82， 所以圆台的母线长为82cm ，由已知圆台的上底半径为2cm ，下底半径为20cm ， 所以圆台的侧面积S ＝π×（2+20）×82＝1804π（cm 2）． 故答案为：1804π．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 3+2√2 ． 解：因为xy ﹣x ﹣2y ＝0，所以x +2y ＝xy ， 所以2x +1y=1，所以x +y =(x +y)(2x+1y)=2+x y+2y x +1≥3+2√x y ⋅2y x=3+2√2， 当且仅当xy =2y x，2x+1y=1时等号成立，即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，所以x +y 的最小值是3+2√2． 故答案为：3+2√2．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sinC ，则cb的取值范围为 （1，2） ．解：因为sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，由正弦定理可得a 2＝b 2+bc ，由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以bc ＝c 2﹣2bc cos A ，即b ＝c ﹣2b cos A ， 由正弦定理可得sin B ＝sin C ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A +B ）﹣2sin B cos A ， 即sin B ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A ﹣B ），因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，所以−π2＜A −B ＜π2， 所以B ＝A ﹣B ，即A ＝2B ，所以C ＝π﹣3B ，由△ABC 为锐角三角形，所以0＜A =2B ＜π2，0＜C =π−3B ＜π2，可得π6＜B ＜π4，所以√22＜cosB ＜√32，12＜cos 2B ＜34， 由正弦定理得c b=sinC sinB=sin3B sinB=sin(2B+B)sinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB＝2cos 2B +cos2B ＝4cos 2B ﹣1∈（1，2）， 即cb 的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．解：（1）依题意可得（0.004+0.02+0.056+a +0.004+0.002）×10＝1， 解得a ＝0.014．（2）因为0.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20，30）之间， 设为x ，则0.04+（x ﹣20）×0.02＝0.2，解得x ＝28， 故第20百分位数为28．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．解：（1）因为f （x ）＝sin （ωx +φ）的最小正周期为π，ω＞0， 所以2πω=π，所以ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x +φ）， 因为f(π2)=f(2π3)， 所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)， 所以−sinφ=−√32cosφ−12sinφ，所以tanφ=√3， 所以φ=kπ+π3，k ∈Z ，（2）由（1）φ=kπ+π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2， 所以φ=π3，所以f(x)=sin(2x +π3)，由已知−π3≤x ≤π6，所以−π3≤2x +π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x+π3)≤1，所以f（x）在区间[−π3，π6]上的值域为[−√32，1]．23．（11分）已知函数f(x)=log a x+ax+1x+1(x＞0)，其中a＞1．（1）若a＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；（3）设f（x0）＝0，求证：12＜f(√x0)＜a+12．解：（1）当a＝2时，f（x）=log2x+2x+1x+1（x＞0），∴f(14)=log214+2×14+114+1=−710；（2）f′(x)=1xlna+a−1(x+1)2，∵a＞1，x+1＞1，∴lna＞0，1(x+1)2＜1＜a，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞1，∴1a2＜1，a2a2+1＜1，则f(1a2)=−2+1a+a2a2+1＜0，又f(1)=a+12＞0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）内有唯一零点；（3）证明：由（2）可知，x0∈(1a2，1)，∵f(x0)=log a x0+ax0+1x0+1=0，∴log a x0=−ax0−1x0+1，∴f(√x0)=12log a x0+a√x0+1x+1=−12ax0−12(x0+1)+a√x01x+1，令√x0=t，则f(t)=−12at2−12(t2+1)+at+1t+1=−a2[(t−1)2−1]+2t2−t+12(t2+1)(t+1)，t∈(1a，1)，令g(t)=−a2[(t−1)2−1]，∵2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)=2[(t−14)2+716]2(t 2+1)(t+1)＞0，∴f （t ）＞g （t ），易知g （t ）在(1a ，1)上单调递增， 又a ＞1，12a＜12，∴f(t)＞g(t)＞g(1a )=−a2[(1a −1)2−1]=1−12a ＞12， ∵g(t)=−a2[(t −1)2−1]＜g(1)=a 2，∴要证f(t)＜a+12，只需证2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)＜12，即证2t 2﹣t +1＜（t 2+1）（t +1），令h （t ）＝（t 2+1）（t +1）﹣（2t 2﹣t +1）＝t 3﹣t 2+2t ， ∵ℎ′(t)=3t 2−2t +2=3[(t −13)2+59]＞0， ∴h （t ）在（0，1）单调递增，∴h （t ）＞h （0）＝0，即（t 2+1）（t +1）＞2t 2﹣t +1，即f(t)＜a+12． 综上，12＜f(t)＜a+12，即12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立解：对于A ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点， 所以P(A)=12，故P(A)=12，故A 正确；对于B ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，事件A +B 含有（正，正），（正，反），（反，正），这三种结果，故P(A +B)=34，故B 正确；对于C ，A ＝{（正，正），（正，反）}，B ＝{（正，正），（反，正）}，显然事件A ，事件B 都含有“（正，正）这一结果，事件A ，事件B 能同时发生，因此事件A 与事件B 不互斥，故C 不正确； 对于D ，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P （AB ）＝P （A ）P （B ）， 所以事件A 与事件B 为相互独立事件，故D 正确．故选：ABD ．25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2解：设a →，b →的夹角为θ，θ∈[0，π]，|a →|=1，|b →|=2，a →⋅b →=|a →||b →|cosθ=2cosθ，∵|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√5+4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝1时，|a →+b →|有最大值3，故A 正确；∵|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√5−4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝﹣1时，|a →−b →|有最大值3，故B 正确； ∵|a →+b →|−|a →−b →|=√5+4cosθ−√5−4cosθ，要使|a →+b →|−|a →−b →|取最大值，只需考虑|a →+b →|−|a →−b →|≥0的情形， 此时(|a →+b →|−|a →−b →|)2=10−2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝1时，(|a →+b →|−|a →−b →|)2有最大值10﹣2×3＝4， 所以|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2，故D 正确． ∵|a →+b →|+|a →−b →|=√5+4cosθ+√5−4cosθ， ∴(|a →+b →|+|a →−b →|)2=10+2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝0时，(|a →+b →|+|a →−b →|)2有最大值10+2×5＝20， 所以|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为2√5，故C 错误． 故选：ABD ．26．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ）A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π2解：因为对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，所以f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域包含于函数y ＝2cos （t +θ）+1，t ∈[−π2，0]的值域， 函数f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域为[0，2]，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域包含区间[0，2]， 由−π2≤t ≤0，可得−π2+θ≤t +θ≤θ， 当θ＝π时，π2≤t +π≤π，﹣1≤cos （t +π）≤0，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域为[﹣1，1]不满足要求，A 错误； 当θ=5π6时，π3≤t +5π6≤5π6，−√32≤cos(t +5π6)≤12， 所以y =2cos(t +5π6)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[−√3+1，2]满足要求，B 正确； 当θ=2π3时，π6≤t +2π3≤2π3，−12≤cos(t +2π3)≤√32，所以y =2cos(t +2π3)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[0，√3+1]满足要求，C 正确； 当θ=π2时，0≤t +π2≤π2，0≤cos(t +π2)≤1，所以y =2cos(t +π2)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[1，3]不满足要求，D 错误． 故选：BC ．27．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1解：对于A 选项，因为a ＞1，所以log 3a ＞0， 由log 3a ＝log 5b ，可得lna ln3=lnb ln5，则lnblna=ln5ln3，所以log a b ＝log 35，故A 对；对于B 选项，设log 3a ＝log 5b ＝m ＞0，则a ＝3m ，b ＝5m ，因为幂函数y ＝x m 在（0，+∞）上为增函数，所以3m ＜5m ，即a ＜b ， 设log 5c ＝log 3b ＝n ＞0，则b ＝3n ，c ＝5n ， 因为幂函数y ＝x n 在（0，+∞）上为增函数， 所以3n ＜5n ，即b ＜c ，则a ＜b ＜c ，故B 错； 对于C 选项，因为b ＝5m ＝3n ，且m ＞0，n ＞0，所以mln 5＝nln 3，所以n m =ln5ln3＞1，则m ＜n ，故m ﹣n ＜0， 所以acb 2=3m ⋅5n5m ⋅3n =(35)m−n ＞1，即ac ＞b 2，故C 对；对于D 选项，由基本不等式，可得a +c ＞2√ac ＞2b ，所以，2a +2c ＞2√2a+c ＞2√22b =2b+1，故D 对．故选：ACD ．六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．解：（1）连接AC ∩BD ＝O ，连接PO ，如图，因为在正四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，且O 是AC 与BD 的中点，PO ⊥底面ABCD ，因为正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23， 则PO =2√2，设底面ABCD 边长为t ，则S ABCD =t 2，所以由V P−ABCD =13S ABCD ⋅PO ，得8√23=13t 2×2√2， 解得t ＝2，因为PO ⊥底面ABCD ，OC ⊂底面ABCD ，故PO ⊥OC ，在Rt △POC 中，OC =12AC =√2，则PC =√PO 2+OC 2=√10，同理PB =√10，所以在△PBC 中，PB =PC =√10，BC =2，则S △PBC =12×2×√10−1=3， 同理：S △P AB ＝S △P AD ＝S △PCD ＝S △PBC ＝3，所以正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积为S ＝S ABCD +4S △PBC ＝4+4×3＝16．（2）由（1）可得，以O 为原点，OA →，OB →，OP →为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(√2，0，0)，C(−√2，0，0)，B(0，√2，0)，D(0，−√2，0)，P(0，0，2√2)， 因为点E 为线段PB 的中点，所以E(0，√22，√2)， 则AE →=(−√2，√22，√2)，易知平面ABCD 的一个法向量为n 0→=(0，0，1)，设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ，则0＜θ＜π2，所以sinθ=|cos〈AE →，n 0→〉|=|AE →⋅n 0→||AE →||n 0→|=√2√2+12+2×1=23， 故cosθ=√1−sin 2θ=√53，tanθ=2√5=2√55， 所以直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为2√55． （3）由（2）知AB →=(−√2，√2，0)，PB →=(0，√2，−2√2)，BC →=(−√2，−√2，0)，设平面APB 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{AB →⋅m →=0PB →⋅m →=0，即{−√2a +√2b =0√2b −2√2c =0， 则可取m →=(2，2，1)，设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{PB →⋅n →=0BC →⋅n →=0，即{√2y −2√2z =0−√2x −√2y =0， 则可取n →=(−2，2，1)，设二面角A ﹣PB ﹣C 为φ，则由图形可知π2＜φ＜π， 所以cosφ=−|cos〈m →，n →〉|=−|m →⋅n →||m →||n →|=19×9=−19， 所以二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为−19．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数．（1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）解：（1）因为a ＝3，所以f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣3|，当x ≥3时，f （x ）＝﹣3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣3x ≥﹣2，解得x ≤23，不满足x ≥3，所以此时不等式f （x ）≥﹣2的解集为∅；当x ＜3时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣2x 2+3x ≥﹣2⇔2x 2﹣3x ﹣2≤0，解得−12≤x ≤2，满足x ＜3； 所以不等式f （x ）≥﹣2的解集为[−12，2]；（2）令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝0，则有x （﹣x +|x ﹣a |）＝0，x 1＝0∈[﹣1，1]，如果a ＝0，则有﹣x +|x |＝0，当x ≥0时都能成立，不满足题意；当a ≠0时，﹣x +|x ﹣a |＝0，x ＝|x ﹣a |，x 2＝（x ﹣a ）2，解得x 2=a 2，又因为0＜x 2≤1，即0＜a 2≤1，解得0＜a ≤2，所以a 的取值范围为（0，2]；（3）对于a ≥4，令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝m 有2个不同的实数解x 1，x 2，并且x 1＜x 2，当x≥a时，f（x）＝﹣ax，当x＜a时，f（x）＝﹣2x2+ax，函数的大致图像如下：当﹣a2＜m＜a28，并且m≠0时，有﹣2x2+ax＝m，即2x2﹣ax+m＝0，解得x1=a−√a2−8m4，x2=a+√a2−8m4，令t=√a2−8m，则m=a2−t28，并且t∈（0，a）∪（a，3a），x1=a−t4，x2=a+t4，x1x2=m2，令y=x12+mx2x1x2，则y=2x12m+2x2=(a−t)28m+a+t2=1−2ta+t+a+t2，y t′=12−2a(a+t)2，显然y t′是关于t的增函数，即y t′＞y t＝0′=12−1a，因为a≥4，所以y t′≥0，所以y是关于t的增函数，所以1+a2＜y＜2a−12，并且y≠a，即y∈（1+a2，a）∪（a，2a−12）；当m≤﹣a2时，x1=a−√a2−8m4，x2=−m a，同理令t=√a2−8m，m=a2−t28，t≥3a，y=x1x2+mx1=−2aa+t+a+t2，y t′=12+2a(a+t)2＞0，所以y是关于t的增函数，y≥y|t＝3a＝2a−12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是（1+a2，a）∪（a，+∞）．。
2023-2024学年浙江省温州市高二下学期6月期末联考数学质量检测试题(含答案)
2023-2024学年浙江省温州市高二下学期6月期末联考数学质量检测试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共58分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则（）{}{}{}U 0,1,2,3,4,5,1,2,3,1,4,5U A B ===ðA B ⋂=A.B.C.D.∅{}1{}0,1,2,3{}2,32.的展开式中的常数项为（）62x ⎫-⎪⎭A.-C.-C.-B.60C.-120D.1203.已知圆台的高为8，上､下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（ ）A. B. C.D.80π100π148π168π4.已知向量在上的投影向量记为，则（ ）()()()2,4,1,0,2,2,a P QPQ=-a bb =A. B. 353105.已知，则（ ）π3ππtan ,4444θθ⎛⎫+=-<<⎪⎝⎭sin2θ=A. B. C. D.725-7252425-24256.已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（）{}n a n 2n n S a k =+0k ≠{}n a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）()121,02πsin ,0π6xx x f x x x ω⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩ωA. B. C. D.1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭1925,66⎛⎤⎥⎝⎦8.已知函数的定义域为，且满足()f x R ，()()()()()()22,11,31f x f y f x y f x y f f -=+-==-则下列结论错误的是（ ）A. B.()20f =()42f =C.是奇函数D.()f x ()()4f x f x +=二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ）21i z =-i A.2z =B.为纯虚数2z C.对应的点位于第四象限z D.22||z z =10.已知函数，下列结论正确的是（ ）()2ln f x ax x=+A.当时，在处的切线方程为1a =-()f x ()()1,1f y x=-B.当时，恒成立1a =-()0f x x +≤C.若恰有一个零点，则()f x [)0,a ∞∈+D.若恰有两个零点，则()f x 1,02e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭11.如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，P 1111ABCD A B C D -E 11A B 为侧面的中心.下列结论正确的是（ ）O 11ADDA A.平面OE ⊥11A BC B.与平面AB 11A BC C.若点在各棱上，且到平面，则满足条件的点有9个P 11A BC P D.若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为P 11BCC B 1PE =P 1A P 1BC 60非选择题部分（共92分）三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为__________.13.在中，为所在平面内的两点，，ABC 6,,AB BC P Q ==ABC 2133AP AB AC=+，则的值为__________.23AQ AB AC=+QC QP ⋅ 14.椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点22Γ:163x y +=1F l Γ(),M a b ，则的最小值为__________.()2,1E 1MF 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，角的对边分别是ABC ,,A B C .,,,2cos cos cos a b c a A b C c B -=（1）求角的大小；A（2）若，且周长为6，求.ABC a 16.（本小题满分15分）在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按[]50,100的分组作出频率分布直方图如图所示.[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]（1）求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中a 点值作代表）；（2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分μ，试估计得分在上的人数.(),100X N μ~[]65,95参考数据：若，则()2,(0)X N μσσ~>()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈17.（本小题满分15分）已知四棱锥为的中点，平面，,,P ABCD E F -,AC PB PA ⊥ABCD .BC PC ⊥（1）若，证明：平面；AD DC =DE ∥PBC（2）若，二面角的大小为，求.2AC BC ==A FC B --120PA 18.（本小题满分17分）已知双曲线，右顶点为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.)E,A B C A AB E （1）求的方程；C （2）证明：直线恒过定点；AB （3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.AB ,x y ,M P M PA PBEMBE S S 19.（本小题满分17分）已知奇函数，其中()(πln cos 2f x x a x ϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭.0,0πa ϕ≠≤≤（1）求值；ϕ（2）若对任意上恒成立，求的取值范围；())ln1f x a ≥-[)1,x ∞∈+a （3）记，证明：当时，.()()πsin2f x a x m x +=0x ≥()()2ee e 1x m x x m x x +--≤-高二年级数学学科答案一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DBDCACBB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案BCABDAC三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12. 13.12 16四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）因为，所以2cos cos cos a A b C c B -=2cos cos cos a A b C c B =+所以()2sin cos sin cos sin cos sin A A B C C B B C =+=+因为()()sin sin πsin B C A A+=-=所以2sin cos sin A A A=因为，所以，所以，故()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2A =π3A =（2）由题意得1sin 42S bc A bc ====因为，所以6a b c ++=6b c a+=-由余弦定理得，所以2222cos a b c bc A =+-2222()3a b c bc b c bc =+-=+-所以，解得22(6)12a a =--2a =16.（本小题满分15分）（1）由题意得，解得()0.0040.0320.0340.01101a ++++⨯=0.02a =因为上的频率分别为，[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,1000.04,0.32,0.04,0.2,0.1所以样本的平均值为，550.04650.32750.34850.2950.175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分.（2）取，则，可得标准差75μ=()75,100X N ~10σ=()()65952P X P X μσμσ∴≤≤=-≤≤+()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈ ()()120.68270.95450.81862P X μσμσ∴-≤≤+≈⨯+=()65950.8186P X ∴≤≤≈估计得分在上的人数约为人.∴[]65,9550000.81864093⨯=17.（本小题满分15分）（1）证明：且为的中点AD DC = E AC DE AC∴⊥平面平面PA ⊥ ,ABCD BC ⊂ABCD PA BC∴⊥又且平面PC BC ⊥ PA PC P BC ⋂=∴⊥PAC平面AC ⊂ PAC BC AC∴⊥与共面又平面平面DE BC DE ∴∥BC BC ⊂ ,PBC DE ⊄PBC平面DE ∴∥PBC（2）法1：如图，作交于，连接.AK FC ⊥FC K BK 由得,AF BF AC BC ==ACF BCF≅ AFK BFK AKF BKF∠∠∴=∴≅ ，且BK FC ∴⊥AK BK=二面角的平面角AKB ∠∴A FC B --又120AKB ∠∴= 2AC BC AB ==∴=AK AB ∴==在中，，由，解得ACF AF CF =AC EF FC AK ⋅=⋅AF CF ==22BP AF PA ∴====法2：如图，以为原点，所在直线分别为轴C ,CA CB ,x y 建立空间直角坐标系.则，()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B 设，则()2,0,2(0)P t t >()1,1,F t ()()()2,0,0,0,2,0,1,1,CA CB CF t ∴===设面的法向量为，ACF ()111,,m x y z =由，解得00m CA m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0,,1,m t =-设面的法向量为，由解得.BCF ()222,,n x y z = 00N CB n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(),0,1n t =-设二面角的大小为，则A FCB --θ211cos 112m n t m n t θ⋅===∴=⋅+ 22PA t ∴==18.（本小题满分17分）（1）右顶点),Ea ∴=，解得c e a ==1c b =∴==.22:12x C y ∴-=（2）设，可设直线.()()1122,,,A x y B x y :AB x my t =+联立，得，即2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()()222222202220,Δ820m m y mty t m t ⎧-≠⎪-++-=⎨=-+->⎪⎩.22222m m t ⎧≠⎨+<⎩.212122222,22mt t y y y y m m -∴+=-=--以为直径的圆经过点AB ,1AE BE E k k ∴⋅==-()(()22121211(0m y y m t y y t =-∴++++=，化简得()()222212(02m t t m +-∴++-=-()t t =当时，直线经过点，不符条件，舍去..t=:AB x my =E t ∴=直线.∴:AB xmy =+()M （3）由（2）知.12122162y y y y m +==-为中点，，代入得.0,,P M ⎛⎝ PA A ⎛∴⎝2212x y -=21835m =由得.1222162y y y m ==-2y =139,44PBE MBE PEMBEPMBE MBE BEMS S S SS SS +∴=∴=19.（本小题满分17分）（1）为奇函数，()f x ()()0f x f x ∴+-=即((ππln cos ln cos 022x a x x a x ϕϕ⎛⎫⎛⎫++++-++-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得且πcoscos 002a x a ϕ⋅=≠ cos 0x ϕ∈∴=R π0π2ϕϕ≤≤∴=（2）由（1）知.()(πln sin 2fx x a x =+-当时，，0a<πsin2a x a -≥又在上单调递增(ln y x=[)1,x ∞∈+())ln ln1ln 1x ∴+≥+=-()πln sin ln 12x a x a ∴+-≥--对任意上恒成立())ln 1f x a ∴≥--[)1,x ∞∈+当时，令，则0a >1x =())1ln 1f a =-此时，())))1ln 1ln 12ln 120f a a a ⎡⎤--=+-+-=-<⎣⎦与条件矛盾.())1ln 1f a ∴<-综上.0a <（3）由条件可知，待证不等式可作如下等价变形：()(ln m x x =+()()()()((ln ln 2e e e 1ee e e e e e e x x x m x x m x m x m x x x x x x-+-----≤-⇔-≤-⇔-≤-()()ln lne e e e e e 2e e x x x x x x x x x x x ---⇔-≤-⇔+-≤-⇔≤-故即证：当时，.0x ≥e e 2x x x --≥构造函数，则.()e e 2,0x x h x x x -=--≥()e e 220x x h x -=+-≥-='在上单调递增，，即.()h x ∴[)0,∞+()()00h x h ∴≥=e e 2x x x --≥当时，.∴0x ≥()()2e e e 1x m x x m x x +--≤-。
浙江省 高二数学下学期期末试题 理
第二学期高二年级期末考试数学（理科）试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，则复数11ii+-的虚部是 （ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -2．函数2()cos f x x x =的导数为（ ）A ．'2()2cos sin f x x x x x =-B ．'2()2cos sin f x x x x x =+C ．'2()cos sin f x x x x x =-D ．'2()cos 2sin f x x x x x =-3．若n的展开式中各项系数和为64，那么n 等于 （ ） A.3 B.6 C.7 D.84.若0.4333,log 3,log sin a b c ππ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．定义在R 上的函数f(x)满足3log (9),0()(1),0x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩，则f(3)的值为 （ ）A ．1B ．2C ．－2D ．－36.设离散型随机变量ξ满足3E ξ=，1D ξ=，则[]3(1)E ξ-等于 （ ） A ．27 B ．24 C ．9 D ．67．设m 为常数，抛物线23222y x mx m m =+--，则当m 分别取0,3,2--时，在平面直角坐标系中图像最恰当的是（这里省略了坐标轴） （ ）A ．B ．C ．D ．8．“函数()f x x x a b =--是奇函数”是“00a b ==且”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件9．现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、乙、丙都不再连任原职务．．．．．．．的方法种数为 （ ） A ．48B ．30C ．36D ．3210．若函数1ln )(2---+=t a x x a x f x )10<<a （有零点，则实数t 的最小值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11.函数()lg(13)f x x =-定义域为 ．12.集合{}|,nA x x i n N ==∈的子集．．的个数为 ． ks5u 13.已知集合1|(),112x A y y x ⎧⎫==-≤≤⎨⎬⎩⎭，12|,1B y y x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭,则A B ⋂= ．14.从一批含有6件正品，3件次品的产品中，有放回．．．地抽取2次，每次抽取1件，设抽得次品数为X ，则()D X =____________．15.在ABC Rt ∆中，若C 为直角，则有 1cos cos 22=+B A ；类比到三棱锥ABC P -中，若三个侧面PAC PBC PAB 、、两两垂直，且分别与底面所成的角为γβα、、，则有 ．16.某停车场有一排编号为1到8的八个停车空位，现有2辆货车与2辆客车同时停入， 每个车位最多停一辆车，若同类车要停放在相邻的停车位上，共有 种停车方案． 17.已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：①若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于(1,0)中心对称； ②若)(x f 为奇函数，且()f x 关于直线1x =对称，则4为函数)(x f 一个周期. ③(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称； ④若(13)(13)f x f x -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称；其中正确．．命题是 ． (写出命题编号)瑞安中学2011学年第二学期高二年级期末考试数学（理科）答题卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40有一项是符合题目要求的）二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 三、解答题（本大题共4小题，共39分） 18．（本题8分）已知集合{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}22|240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈（1）若[]0,3AB =,求实数m 的值；（2）若⊆A B C R ，求实数m 的取值范围.19．（本题9分）若6(2)ax b +的展开式中2x 与3x 的系数之比为3:4，其中0,0a b >≠（1）当1a =时，求6(2)ax b +的展开式中二项式系数最大的项．．．．； （2）令316(,)b F a b a+=，求(,)F a b 的最小值．20．（本题10分）已知一个口袋中装有n 个红球（1n ≥且n N ∈）和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同．．则为中奖，否则不中奖．（1）当3n =时，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，求的ξ分布列； （2）记三次摸球中（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大．21．（本题12分）已知函数2(1)()a x f x x-=，其中0a >.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（3）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）瑞安中学2011学年第二学期高二年级期末考试 数学（理科）答案 2012-6-16一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
浙江省数学高二下学期理数期末考试试卷
浙江省数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知为虚数单位，则复数的虚部为（）A . 1B .C .D .2. （2分）集合，集合,则（）A .B .C .D .3. （2分）等于（）A . －2ln2B . 2ln2C . －ln2D . ln24. （2分） (2020高一下·启东期末) 为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表：零件数（个）1357加工时间（分0.5a2 2.5钟）若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为，则a＝（）A . 1B . 0.8C . 1.09D . 1.55. （2分）已知a= ， b=log2， c=，则（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . c＞a＞bD . c＞b＞a6. （2分） (2017高二下·桃江期末) 五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（）A . 54B . 5×4×3×2C . 45D . 5×47. （2分） (2018高二下·重庆期中) 随机变量服从正态分布，若，则的值（）A . 0.6B . 0.4C . 0.3D . 0.28. （2分）(2017·榆林模拟) 若等式x4+4x3+3x2+2x+1=（x+1）4+a（x+1）3+b（x+1）2+c（x+1）+d恒成立，则（a，b，c，d）等于（）A . （1，2，3，﹣1）B . （2，3，4，﹣1）C . （0，﹣1，2，﹣2）D . （0，﹣3，4，﹣1）9. （2分） (2017高二下·临泉期末) 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A . 12B . 24C . 30D . 3610. （2分）从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·上海模拟) 已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由，，，和，，，均由2个和2个排列而成，记S= • + • + • + • ，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（）①S有3个不同的值；②若⊥ ，则Smin与| |无关；③若∥ ，则Smin与| |无关；④若| |=2| ，Smin=4 ，则与的夹角为．A . 0B . 1C . 2D . 312. （2分） (2019高二下·广东期中) 函数的图像大致为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高二下·九江期中) 给出下列不等式:………则按此规律可猜想第个不等式为________14. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知展开式中所有项的系数之和为-4，则________；项的系数为________．15. （1分） (2020高一下·天津期末) 已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为________.16. （1分） (2019高一上·辽源期中) 已知则恒过定点P的坐标为________三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2020高三上·营口月考) 已知函数，，．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数（其中），使得，都有不等式恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．18. （5分）为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关.19. （10分） (2020高三上·南漳期中) 已知函数 .（1）若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间；（2）若时,总有 ,求实数的取值范围.20. （10分） (2018高二下·中山期末) 已知函数，其中t∈R.（1）当t＝1时，求曲线在点处的切线方程；（2）当t≠0时，求的单调区间．21. （5分） (2017高二下·廊坊期末) 为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图（Ⅰ）求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组的中点值做代表）．（Ⅱ）由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本的方差s2 ，（i）利用该正态分布，求P（100＜X≤122.8）；（ii）若随机从该校学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于（77.2，122.8）的人数，利用（i）的结果，求E（ξ）附：≈11.4，若X～N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．22. （5分）(2017·湖北模拟) 已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ≤2π）．（Ⅰ）当时，求直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交A，B两点．求证：是定值．23. （5分） (2019高一上·上海月考) 解不等式 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。
浙江省镇海中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)
镇海中学2023学年第二学期期末考试试题高二年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}{}20,2A x x x B x x =−>=<，则（ ）A. A B ∩=∅B. A B = RC. A B ⊆D. B A ⊆【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据交集，补集和子集得定义即可得解.【详解】(){}{}2002Ax x x x x =−>=<<， 所以A B ⊆，,A B A A B B == ， 故ABD 错误，C 正确. 故选：C.2. sin15sin75°+°°=（ ）A.14B.C.12D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角得正弦公式求解即可.sin15sin75sin15cos15°+°°+°° 3131sin 3014244=+°=+=. 故选：D.3. 已知0m n >>，下列不等式一定成立的是（ ） A.22m m n n +<+ B. 11m n n m+>+ C. 11m n n m−>− D.22m n mm n n+>+【答案】B【解析】【分析】利用作差法即可判断A ，利用不等式性质即可判断B ，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A ，()()()()()2222222m n n m m n mm n n n n n n +−+−+−==+++， 因为0m n >>，所以()0,20m n n n −>+>，所以()()22022m n m m n n n n −+−=>++， 所以22m m n n +>+，故A 错误； 对于B ，因为0m n >>，所以110n m>>， 所以11m n n m+>+，故B 正确； 对于C ，当0.2,0.1m n ==时，119.8 4.9m n n m−=−<−=−，故C 错误； 对于D ，当2,1m n ==时，25224m n mm n n+=<=+，故D 错误. 故选：B.4. 已知三个平面向量,,a b c 满足230a b c ++= ，则“向量,,a b c 均是单位向量”是“向量,a b 方向相同”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先根据230a b c ++=推得2229||||4||4c a b a b =++⋅ ，再利用充分性和必要性的判断方法分析即得. 【详解】由230a b c ++= 可得，32c a b −=+ ，两边取平方可得，2229||||4||4c a b a b =++⋅ （*）. 若向量,,a b c均是单位向量，则由（*）可得，9144cos a b =++〈⋅〉 ， 整理得，cos 1a b 〈⋅〉= ，因0πa b ≤〈⋅〉≤，故得0a b 〈⋅〉= ，即向量,a b 方向相同，故“向量,,a b c 均是单位向量”是“向量,a b 方向相同”的充分条件； 若向量,a b方向相同，则有||||a b a b ⋅⋅，的代入（*）可得，2229||||4||4||||c a b a b =++⋅ ，即3||||2||c a b =+ ， 虽,a b 方向相同，但因不能确定向量c 的方向，故不满足230a b c ++=，即“向量,,a b c均是单位向量”不是“向量,a b方向相同”的必要条件；故“向量,,a b c 均是单位向量”是“向量,a b方向相同”的充分不必要条件.故选：A .5. 已知12,l l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若1//l α且//αβ，则1//l β B. 若12,,l l αβαβ⊥⊂⊂，则12l l ⊥ C. 若1l α⊥且//αβ，则1l β⊥D. 若1l 不垂直于α，且2l α⊂，则1l 必不垂直于2l 【答案】C 【解析】【分析】利用线面所成角的定义理解可得选项C 正确；对于A ，满足条件得到的结论有两种，可排除；对于B ，利用特殊情况1//l l ，2//l l 即可排除结论；对于D ，可借助于正方体模型推理排除结论. 【详解】对于A ，由1//l α且//αβ可得1//l β或1l β⊂，故A 错误； 对于B ，由12,,l l αβαβ⊥⊂⊂，不妨设l αβ= ， 若使1//l l ，2//l l ，则易得21//l l ，故B 错误； 对于C ，由1l α⊥知，直线1l 与平面α成90 的角，因//αβ，故直线1l 与平面β也成90 的角，即1l β⊥，故C 正确；对于D ，如图正方体1AC 中，设1BD 为直线1l ，平面ABCD 为α，AC 为直线2l ，显然1l 不垂直于α，易得2l BD ⊥，因1DD α⊥,2l α⊂,则12DD l ⊥，因1DD BD D = ,故得2l ⊥平面1DD B ，因1l ⊂平面1DD B ，故有12l l ⊥,即D 错误. 故选：C.6. 一个袋子中有n 个大小质地完全相同球，其中3个为红球，其余均为绿球，采用不放回方式从中依次随机地摸出2个球.已知摸出的2个球都是红球的概率为17，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（ ） A.314B.27C.37D.47【答案】D 【解析】【分析】先由条件“摸出的2个球都是红球的概率为17”，利用古典概率公式求得7n =，再计算“两次摸到的球颜色不相同的概率”即得.【详解】依题意，232C 1C 7n =，即61(1)7n n =−，解得7n =， 即袋中共有3个红球，4个绿球，则两次摸到的球颜色不相同的概率为：113427C C 124C 217⋅==. 故选：D.7. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为3，以1D为半径的球面与正方体表面的交线记为曲线E ，则曲线E 的长度为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，得到以1D为半径的球面与平面11ABB A 的交线为以1A为圆心，1A F = FG，同理可得另外两段弧，求出弧长即可得到答案. 【详解】如图，在棱1,,AB BB BC 上分别取,,F G H ，使得1AF B GCH ===，的在Rt 1AD F △中，1D F =，同理可得11D G D H==因为11A D ⊥平面11ABB A ，11,A F A G ⊂平面11ABB A ， 所以11A D ⊥1A F ，11A D ⊥1A G ，故11A F AG ==所以以1D 为半径的球面与平面11ABB A 的交线为以1A 为圆心，1A F = FG ，同理，与平面ABCD 的交线为为半径的 FH，与平面11BCC B 的交线为 GH ，由1tan AA F ∠1π6AA F ∠=，同理11π6B A G ∠=， 故1ππππ2666FA G θ∠==−−=，这三段弧长相等，均为π6l r θ==×，故曲线E 3.故选：B8. 已知()log ,1a f x x a =>，记集合(){}()(){}1,1A x f x B x f f x b =∈≤=∈+≤R R ∣∣，若A B =，则实数a 的取值范围为（ ）A.+∞B. 3,2+∞C. ∞+D. ∞+【答案】C 【解析】【分析】作出函数()log ,1a f x x a =>的简图，求出1[,]A a a=，即得()1f x b a a ≤+≤，即()1b f x a b a −≤≤−，要使A B =，结合图象知，需使110a b b a −=−≤，消元后求解不等式即得.【详解】如图，作出函数()log ,1a f x x a =>的简图.由()1f x ≤可得log 1a x ≤，因1a >，解得1≤≤x a a ，即1[,]A a a=， 由()()1ff x b +≤可得()1f x b a a ≤+≤，即()1b f x a b a−≤≤−, 因A B =，结合图象，可得：110a b a−=−≤ ，消去b 可得，1(1)0a a −−≤， 因1a >，即得，210a a −−≥，解得a ≥. 故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查对数型绝对值函数图象的应用，属于难题.解题思路即是，先作出函数的简图，由()1f x ≤求出自变量的范围，再将套函数内的()f x b +看成整体自变量，推得()f x 的范围，结合A B =及函数图象，可得110a b b a −=−≤，消元后解之即得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知正实数,a b 满足221a ab b −+=，则（ ）A. a b +的最大值为2B. ab 的最小值为1C. 22a b +的最大值为2D. 22a b +的最小值为1 【答案】AC 【解析】【分析】由题可得223()124b b a −+=，可令cos 2b a θ−=，sin θ=，即cos a θθ=，b θ=，代入选项依次化简即可结果.【详解】由221a ab b −+=，可得223()124b b a −+=，令cos 2b a θ−=sin θ=，所以cos a θθ=+，b θ=，2π0,3θ ∈对于A ，则πcos 2sin()6a b θθθ=+++=，当π3θ=时，a b +取最大值为2，故A 正确对于B ，22112π1cos sin cos sin 2cos 2sin(2)333363ab θθθθθθθθθ ==+=−+=−+当π3θ=时，ab 的最大值为1，故B 错误； 对于C 、D ，由B 可得01ab <≤，由221a b ab +=+，则2221a b <≤+，故C 正确，D 错误. 故选：AC10. 已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()()20f x f x ++=，若对任意[]12,0,1x x ∈且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x −−> ，下列结论一定正确的是（ ）A. ()10f =B. 2是()f x 的一个周期C. 函数()f x 在()2,3上单调递减D. 函数()f x 图象关于直线2x =对称【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数性质及单调性，结合赋值法逐项分析判断即可.【详解】对于A ，由()f x 是偶函数，()()20f x f x ++=，得()()112(1)0f f f −+==，则()10f =，A 正确；对于B ，由对任意[]12,0,1x x ∈且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x −−> ，得()f x 在[0,1]上单调递增，则(0)(1)0f f <=，而()()020f f +=， 于是(2)(0)0(0)f f f =−>>，因此2不是()f x 的周期，B 错误； 对于D ，由()()2f x f x +=−，得()()42()f x f x f x +=−+=，4是()f x 的一个周期， (4)()()f x f x f x −=−=，则函数()f x 图象关于直线2x =对称，D 正确；对于C ，由()()20f x f x ++=，得()()20f x f x −++=，则函数()f x 图象关于点(1,0)对称， 于是函数()f x 在[1,2]上单调递增，在()2,3上单调递减，C 正确. 故选：ACD11. 一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有（ ） A. 平均数为3，中位数为4 B. 中位数为4，众数为3 C. 平均数为2，方差为2.1 D. 中位数为3，方差为0.85 【答案】ABD 【解析】【分析】ABD 举例，C 用反证法证明不能出现6.【详解】对于A ：10次点数为1,1,1,1,4,4,4,4,4,6符合题意，故A 正确； 对于B ：10次点数为3,3,3,3,4,4,4,6,6,6符合题意，故B 正确； 对于C ：设10次点数为12345678910,,,,,,,,,x x x x x x x x x x 且12345678910x x x x x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤，平均数为m ，假设有一次点数为6，不妨设106x =，由方差公式2222222222221234567891010x x x x x x x x x x sm +++++++++−，代入相关数据得：222222222123456789362.1410x x x x x x x x x +++++++++−，即22222222212345678925x x x x x x x x x ++++++++=，显然9x 最大只能取4，不妨设94x =得22222222123456789x x x x x x x x +++++++=，此时方程无解，所以94x ≠， 当93x =时得：222222221234567816x x x x x x x x +++++++=，8x 最大只能取3， 不妨设83x =得222222212345677x x x x x x x ++++++=，此时方程有唯一解，12345671x x x x x x x =======， 即10次点数为1,1,1,1,1,1,1,3,3,6，但此时平均数为1.9不合题意，所以93x ≠，当92x =得222222221234567821x x x x x x x x +++++++=取56782x x x x ====得222212345x x x x +++=， 此时方程无解（其余情况也均无解），所以92x ≠， 当91x =时，平均数为1.5不合题意.综上所述，假设有一次点数为6不成立，故C 错误；对于D ：10次点数为3,3,3,3,3,3,3,4,4,6符合题意，故D 正确. 故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知()2i 13i z +=−，则z =______.【解析】【分析】根据条件，利用复数的四则运算求出复数z ，再求其模长即得.【详解】由()2i 13i z +=−可得，13i (13i)(2i)17i 2i (2i)(2i)5z −−−−−==++−，则17i||||5z −−==.13. 如图，在长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE ′ ，设AED α∠=，二面角A DE C ′−−的大小为β.若αβ=，则三棱锥A BDE ′−体积的最大值为______.112− 【解析】【分析】将三棱锥A BDE ′−的底面面积及高用含有α的三角函数来表示，根据体积公式写出棱锥体积，整理化简后利用三角函数求出三棱锥A BDE ′−体积的最大值.【详解】过A 作AF DE ⊥，交DE 于F ，过A ′作A H ′⊥平面EBCD ，因为A H ′⊥平面EBCD ，DE ∈平面EBCD ，所以A H DE ′⊥，因为A F DE ′⊥，A F A H A ′′′= ，,A F A H ′′⊆平面A FH ′，所以DE ⊥平面A FH ′，则DE FH ⊥，所以二面角A DE C ′−−的平面角为A FH β′∠=， 则1tan AE α=，1tan 2α>，1sin α=，sin cos AF AE αα=⋅=，则三棱锥A BDE ′−高sin sin sin cos A H A F AF βααα′′=⋅=⋅=， 三棱锥A BDE ′−的底面面积11111(2)122tan 2tan BDE S BE αα=××=×−=− ，所以2111cos 111sin cos (1)sin cos sin 2cos 232tan 3661212A BDEV αααααααα′−=⋅⋅−=−=−−1111sin 2cos 2)6121212A BDEV αααθ′−=−−=−−，(其中1tan 2θ=) ， 故当()sin 21αθ−=时，三棱锥A BDE ′−112−，112−的14. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a b bc =+，则22cos c b B+的最小值为______.【答案】1−##1−+【解析】【分析】根据22a b bc =+结合余弦定理可得2A B =，再将所求利用正弦定理化边为角，再根据二倍角公式化简，结合基本不等式即可得解.【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+−，又22a b bc =+，所以2222cos b bc b c bc A +=+−，即22cos bc c bc A =−，所以2cos b c b A =−， 由正弦定理得sin sin 2sin cos B C B A =−，即()()sin sin 2sin cos sin cos cos sin sin BA B B A A B A B A B =+−=−=−， 因为(),0,πA B ∈，所以()π,πA B −∈−， 所以B A B =−或πB A B +−=（舍去）， 所以2A B =，()222sin 2sin 22cos sin cos sin cos A B c C b B B B B B++=+=+ 222sin cos 2cos sin 22cos sin cos sin 3sin B B B B B B BB B +=++ 22222cos sin cos sin si 2co n s BB B B B B =−++2214cos 211co s B B =−+−≥=−，当且仅当222cos 4cos B B =，即2cos B =所以22cos c b B+的最小值为1.故答案为：1−.【点睛】关键点点睛：根据22a b bc =+结合余弦定理得出2A B =是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数()222πsin 2f x x x++. （1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 在区间π0,2上的单调区间.【答案】（1）π；3（2）单调增区间为π0,3 ，单调减区间为ππ,32【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期公式和最值进行求解即可；（2）利用正弦函数的单调性即可求出函数()f x 在区间π0,2上的单调区间..【小问1详解】函数()2ππ22sin 2cos 212sin(2)126f x x x x x x =++−+=−+， 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 当ππ22π62x k −=+()k ∈Z ，即ππ3x k =+ ()k ∈Z 时，()f x 取最大值为3；【小问2详解】 令πππ2π22π262k x k −≤−≤+ ()k ∈Z ，解得：ππππ63k x k −≤≤+ ()k ∈Z ，令ππ3π2π+22π262k x k ≤−≤+()k ∈Z ，解得：π5ππ+π36k x k ≤≤+ ()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调增区间为π0,3 ，单调减区间为ππ,3216. 镇海中学采购了一批电子白板电容笔，这一批电容笔使用三年后即被淘汰.电容笔头属于消耗品，现在需要决策在购买电容笔时笔头的数量，为此搜集并整理了10支笔在一年内消耗的笔头数（单位：个），发现均落在[]15,75范围内，将统计结果按如下方式分成六组，第一组15,25［），第二组25,35［），……第六组[]65,75，画出频率分布直方图如图所示.（1）求x 的值；（2）估计10支笔一年内消耗笔头数量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第30百分位数（3）在搜集这10支笔的使用情况数据时，发现其中3支是高一班级在使用，另外7支是高二班级在使用，现已知高二班级消耗的笔头数的平均值和方差分别为50和221，所有班级消耗的笔头数的方差为200，试估计高一班级消耗的笔头数的平均值和方差. 【答案】（1）0.015 （2）47；38.75. （3）40；1733. 【解析】【分析】（1）由概率之和为1即面积为1解出0.015x =.（2）由频率分布直方图的平均值公式算出答案；第30百分位数即是面积和从左到右为0.3的横坐标. （3）由分层抽样的平均值和方差公式即可解出本题. 【小问1详解】由概率之和为1得：()0.0060.0240.0240.0200.011101x +++++×=，解出0.015x =. 【小问2详解】()10200.006300.015400.024500.024600.020700.01147××+×+×+×+×+×=.频率分布直方图前两列面积和为0.060.150.21+=，设第30百分位数为a ，()350.0240.09a ∴−×=， 解出38.75a =，所以第30百分位数为38.75. 【小问3详解】由题意知总平均数47ω=，设高一年级平均数1x ，方差为21s ，高二年级平均数250x =，方差为22221s =，12373737x x ω∴=+++，解出140x =； ()()()()2222220470.0630470.1540470.2450470.24s =−×+−×+−×+−×()()2260470.270470.11193+−×+−×=()()222221122373737s s x s x ωω =+−++−++，代入公式得()()222137193404722150471010s =+−++− ，解出211733s =，所以高一班级消耗的笔头数的平均值为40，方差为1733. 17. 如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，E 在边AB 上，且2,AE EB BD =与CE 交于点F .（1）用,BA BC 表示,EC BF；（2）若24BF EF BA BC ⋅=⋅，求ABBC的值. 【答案】（1）13EC BA BC =−+，1144BF BA BC =+ （2【解析】【分析】（1）根据平面向量得线性运算即可求出EC，设,BF BD EF EC λµ== ，分别用,λµ及,BA BC 表示BF ，再根据平面向量基本定理求出,λµ，即可求出BF ；（2）先将EF表示,EC BF ，再根据平面向量数量积得运算律化简即可得解.【小问1详解】13EC EB BC BA BC =+=−+ ，设,BF BD EF EC λµ== ，则112222BF BD BA BC BA BC λλλλ ==+=+， 1113333BF BE EF BA EC BA BA BC BA BC µµµµµ−=+=+=−+=+，所以1232λµλµ− = = ，解得1214λµ= = ，所以1144BF BA BC =+， 【小问2详解】由（1）得1114124EF EC BA BC ==−+， 则22111111144124481624BF EF BA BC BA BC BA BC BA BC ⋅=+⋅−+=−++⋅， 因为24BF EF BA BC ⋅=⋅，所以221322BA BC BA BC BA BC −++⋅=⋅，即223BA BC =，所以BA =即ABBC= 18. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，FBC 为等腰直角三角形，且FC FB ⊥.面BCF ⊥面,//,44,ABCD EF AB AB EF BC ===.（1）求证：BE CF ⊥：（2）在线段AB 上是否存在点T ，使得DT 与平面ACFBT 的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）12BT =或3BT =. 【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得.（2）取BC 的中点O ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，设(0,4)BT t t =≤≤，求出平面ACF 的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】由矩形ABCD ，得AB BC ⊥，而平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ∩平面ABCD BC =，AB ⊂平面ABCD ，则AB ⊥平面BCF ，又CF ⊂面BCF ，于是AB CF ⊥，而FC FB ⊥，//EF AB ，,,AB BF B AB BF =⊂ 平面ABFE ， 因此CF ⊥平面ABFE ，又BE ⊂平面ABFE ， 所以BE CF ⊥. 【小问2详解】取BC 的中点O ，作//Ox AB ，连接OF ，由（1）知，Ox ⊥平面BCF ，而OF ⊂平面BCF ，则Ox OF ⊥，又FC FB ⊥，FC FB =，则OF BC ⊥，即,,Ox OB OF 两两垂直，以O 为原点，直线,,Ox OB OF 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，假定在线段AB 上存在点T ，使得DT 与平面ACF，设(0,4)BT t t =≤≤，则(0,(4,(A B C D F T t ，(4,(4,CA CF DT t ===− ，设平面ACF 的法向量(,,)n x y z =，则40n CA x n CF ⋅=+= ⋅=+= ，令1x =，得(1,n = ，于是|||cos ,|||||n DT n DT n DT ⋅〈〉==，整理得22730t t −+=，解得12t =或3t =， 所以在线段AB 上存在点T ，使得DT 与平面ACF 所成角，此时12BT =或3BT =.19. 悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时.处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为()e e cosh 2x xx −+=，相的应的双曲正弦函数的表达式为()e e sinh 2x xx −−=（1）求()()22coshsinh x x −的值；（2）若直线y t =与函数()cosh y x =和()sinh y x =的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为123,,x x x，证明：(123ln 1x x x ++>+；（3）函数()()()cosh 2sinh ,,f x x a x b a b =−−∈R ，若()4f x ≤对任意))ln1,ln1x ∈−+恒成立，求a b +的最大值.【答案】（1）1 （2）答案见解析 （3）7 【解析】【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）画出两个函数的大致图像得到120x x +=，只需证明(3ln 1x >即可； （3）首先通过换元把()f x 绝对值里的函数整理成一个关于m 二次函数，再把不等式()4f x ≤去掉绝对值变成两个一元二次不等式的恒成立问题， 最后在通过分类讨论的方法求出a b +的最大值. 【小问1详解】()()222222e e 2e e 2cosh sinh 144x x x x x x −−+++−−=−=； 【小问2详解】令()e e cos 02x xh x −−==′得0x =，当0x >，()cos 0h x ′>，当0x <，()cos 0h x ′<，所以cosh()x 在0x =处取得极小值1，当x →+∞，cosh()x →+∞， 当x →−∞，cosh()x →−∞，所以cosh()x 的大致图像如图所示；()e e sin 02x xh x −+=>′恒成立，所以sinh()x 在R 上单调递增， 当x →+∞，sinh()x →+∞，当x →−∞，sinh()x →−∞，所以sinh()x 的大致图像如图所示，不妨设123x x x <<，由cosh()x 为偶函数可得120x x +=， 的y t =与图像有三个交点，显然1t >，令()e e sinh 12x x x t −−==>，整理得2e 2e 10x x −−>，解得e 1x >+或e 1x <（舍去），所以(ln 1x >，即(3ln 1x >+，又因为120x x +=，所以(123ln 1x x x ++>；【小问3详解】设()e e sinh 2x x x m −−==，两边平方得：222e e 24x x m −+−=则()222e e cosh 2212x x x m −+==+，所以()221f x m am b =+−−，因为()e e sinh 2x xx −−=单调递增，所以当))ln1,ln1x ∈，()[]sinh 1,1x ∈−，即[]1,1m ∈−，由()4f x ≤得：24214m am b −≤+−−≤，即22250230m am b m am b −−+≥ −−−≤， 该不等式组只需在1m =−和1m =时同时满足，即1771a b a b −≤+≤−≤−≤，上述不等式组两边同乘-1得7117a b b a −≤−−≤−≤−≤， 当0a >，0b >，7a b a b +=+≤；当0a <，0b <，1a b a b +=−−≤； 当0a >，0b <，1a b a b +=−≤；当0a <，0b >，7a b a b +=−+≤； 综上所述：a b +的最大值为7.f x的形式上比较复杂，对于形式比较复杂的函数，一般要考虑是【点睛】思路点睛：本地第三问函数()否是复合函数，而通常情况下比较喜欢考查其它函数与二次函数的复合，转化为二次函数以后在用二次函数相关知识去解决问题，另外对于函数值域问题，虽然方法较多，最基础的方法是利用函数单调性求值域.。
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浙江省高二下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分） (2020高一下·焦作期末) 某工厂第一车间有工人1200人，第二车间有工人900人，第三车间有工人1500人，现用分层抽样的方法从这三个车间中抽取一个容量为144的样本进行某项调查，则第二车间应抽取的工人数为________．
2. （1分） (2017高一上·马山月考) 同时投掷两个骰子，它们点数之和不大于4的概率是________．
3. （1分） (2017高二下·中山月考) 已知复数满足，则 ________．
4. （1分）(2016·中山模拟) 已知向量为单位向量，向量 =（1，1），且| ﹣ |= ，则向量，的夹角为________．
5. （1分） (2017高一下·双流期中) 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=________m．
6. （1分） (2016高一下·扬州期末) 已知l，m，n为两两不重合的直线，α，β，γ为两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，l⊂α，则l∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；
③若m⊄α，n⊂α，m∥n，则m∥α；
④若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．
其中命题正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
7. （1分） (2020高一下·大庆期中) 在中，角所对的边分别为 .若
时，则的面积为________.
8. （1分） (2020高三上·四川月考) 不等式在区间上的解集为________．
9. （1分） (2016高二上·南阳期中) 有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是________．
10. （1分） (2016高一下·重庆期中) 设△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知A=60°，a= ，sinB+sinC=6 sinBsinC，则△ABC的面积为________．
11. （1分） (2017高一下·台州期末) 已知矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，若将它关于对角线AC折起后，使边AB与CD交于点P（如图所示），则△ADP面积的最大值为________．
12. （1分）(2020·梧州模拟) 已知数列满足，，若，则数列的首项的取值范围为________.
13. （1分）己知∠AOB为锐角，| |=2，| |=1，OM平分∠AOB，M在线段AB上，点N为线段AB的中点， =x +y ，若点P在△MON内（含边界），则在下列关于x，y的式子①y﹣x≥0；②0≤x+y≤1；
③2x﹣y≤0；④0≤x≤ ，0≤y≤ 中，正确的是________（请填写所有正确式子的序号）
14. （1分） (2020高二下·湖州期末) 若不等式在上恒成立，则正实数a
的取值范围是________.
二、简答题 (共6题；共60分)
15. （10分） (2018高一下·雅安期中) 已知在中，角，，的对边分别为，，，
且．
（1）求角的大小：
（2）若，．求的面积．
16. （10分） (2019高二下·九江期中) 如图所示，等腰梯形的底角等于60°．直角梯形
所在的平面垂直于平面，，且．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的角的余弦值为．
17. （10分） (2016高二上·福州期中) 设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）
（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；
（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求 + 的最小值．
18. （10分）(2020·河南模拟) a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.
（1）求△ABC的面积；
（2）若D，E是BC边上的三等分点，求 .
19. （10分）(2017·惠东模拟) 已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
20. （10分） (2019高一下·马鞍山期中) 已知数列的前项和为，且满足： . （1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和 .
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、
考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
二、简答题 (共6题；共60分)答案：15-1、
答案：15-2、
考点：
解析：
答案：16-1、
答案：16-2、考点：
解析：
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：。