人教版七下数学 期中复习专题——平行线问题
人教版七年级下册数学重点知识点练习及答案解析——平行线的性质讲练
人教版七年级下册数学重点知识点练习及答案解析——平行线的性质讲练一、知识点平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
如图所示，如果a∥b，则= ；= ；= ；= .性质2：两直线平行，内错角相等。
如图所示，如果a∥b，则= ；= .性质3：两直线平行，同旁内角互补。
如图所示，如果a∥b，则+ = 180°；+ = 180°。
性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b，a∥c，则∥.二、考点点拨与训练考点1：平行线性质的基本应用典例：（2020·全国初三专题练习）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是( )A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解析】如图，∵∠1=80°，∴∠3=100°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=100°．故选C．方法或规律点拨此类问题主要考查了平行线的性质以及邻补角、对顶角等基本概念，能灵活运用定理进行分析推理是解此题的关键．巩固练习1、（2020·全国初三专题练习）如图，AB//CD，∠A=50°，则∠1的度数是（）A．40°B．50°C．130°D．150°【答案】C【解析】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠A＝50°，∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°，故选：C．2、（2020·山东初二期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝65°，那么∠4的度数是( )A．55°B．95°C．115°D．145°【答案】C【解析】解：Q∠1=∠2，∴a∥b，∴∠4＋∠5=180°Q∠3=65°∴∠5=∠3=65°∴∠4=180°-65°=115°故选C．3、（2020·山东初二期末）如图,已知CD∥BE,如果∠1＝60°，那么∠B的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°【答案】D【解析】解：∵∠1=60°，∴∠2=180°-60°=120°．∵CD∥BE，∴∠2=∠B=120°．故选：D．考点2：应用平行线的性质探究几何量之间的关系典例：（2019·武汉市梅苑学校初一期中）如图，在△ABC中，∠1=∠2，ED//BC，CD⊥AB于点D．求证：∠FGB=90°．【答案】答案见解析【解析】∵CD⊥AB（已知）∴∠CDB=90°（垂直定义）又∵DE ∥BC （已知）∴∠1=∠DCB （两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠DCB （等量代换）∴GF ∥DC （同位角相等，两直线平行）∴∠FGB =∠CDB （两直线平行，同位角相等）∵∠CDB =90°（已证）∴∠FGB =90°（等量代换）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．方法或规律点拨本题考查了平行线的判定与性质的综合应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．巩固练习1、（2019·浙江初一期中）如图，若//AB CD ，则α、β、γ之间的关系为______.【答案】180αβγ+-=o【解析】过点E 作EF ∥AB ，如图所示。
平行线及其性质-七年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第3课时——平行线及其性质（答案卷）知识点一：平行线：1.平行线的定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线。
若直线a平行于直线b，则记作，读作。
注意：一定要在同一平面内。
且一定要时直线。
2.平行线的画法：过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤：①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。
③固定直尺不变，平移三角尺，使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。
④沿着三角尺该直角边画直线。
【类型一：确定平行线】1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【类型二：作图】4．如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？5．在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1，再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2．知识点二：平行公理及其推论：1. 平行公理：经过直线外一点， 条直线与这条直线平行。
有且只有：存在且唯一。
2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即若c b b a ∥，∥， 则a c 。
3. 垂直于同一直线的两直线平行：若c a b a ⊥⊥，，则b c 。
【类型一：对平行公理及其推论的判断理解】6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法正确的是（ ）A ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ⊥c ，则a ∥cD ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c8．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．没有确定关系9．下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列说法不正确的是（）A．过马路的斑马线是平行线B．100米跑道的跑道线是平行线C．若a∥b，b∥d，则a⊥dD．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三：平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
人教版七年级数学下册《平行线的判定》课件ppt
思考：根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判断 这两条直线平行.但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所 以难以直接根据两条直线是否相交来判定是否平行，那么有没有其他判定方 法呢？
1.放 2.靠 3.推
4.画
平行线画法
E C
A
D B
F
思考 （1）画图过程中，什么角始终保持相等？ （2）直线a，b位置关系如何？
图1
2.如图2
∵∠B=∠_C__G__F__，∴ AB∥ CD（同位角相等，两直线平行.）
∵∠BGC=∠__F_____，∴ CD∥ EF（同位角相等，两直线平行.）
∵AB∥ CD ，CD∥ EF，
∴ AB∥___E__F__（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这 ）
图2
两条直线也互相平行.
3.下图中若∠1=55° ，∠2=55°，直线AB、CD平行吗？为什么?
也互相平行.）
已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，试说明 AB//CD ？
解：∵∠1=∠2（对顶角相等）
A C
∠1+∠2=90°(已知Байду номын сангаас ∴∠1=∠2=45°
3
1
2
∵ ∠3=45°(已知) ∴∠ 2=∠3
B
D
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
做一做
内错角相等， 两直线平行.
同旁内角互补， 两直线平行.
c
a 3 2
1 b
3.如图.（1）从∠1=∠4，可以推出 AB ∥ CD ，理由是内错角相等，两直线平行 . (2)从∠ABC +∠BCD =180°，可以推出AB∥CD ，理由是同旁内角互补,两直线平行. (3)从∠ 3 =∠ 2 ，可以推出AD∥BC，理由是 内错角相等，两直线平行 . (4)从∠5=∠ ABC ，可以推出AB∥CD，理由是 同位角相等,两直线平行 .
七年级数学下册平行线的性质【十大题型】(举一反三)(人教版)
专题5.2 平行线的性质【十大题型】【人教版】【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】 (1)【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】 (5)【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】 (9)【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】 (11)【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】 (16)【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】 (21)【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】 (31)【题型8 平行线的性质（折叠问题）】 (36)【题型9 平行线的应用（转角问题）】 (41)【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】 (46)【知识点平行线的性质】【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且DG∥BC，∠1＝∠2．(1)求证：DB∥EF；(2)若EF∠AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADG＝40°【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．（1）证明：∠DG∥BC，∠∠1＝∠DBC．又∠∠1＝∠2，∠∠2＝∠DBC，∠DB∥EF．（2）∠EF∠AC，∠∠CEF＝90°．∠∠2＝∠1＝50°，∠∠C＝90°－50°＝40°．∠DG∥BC，∠∠ADG＝∠C＝40°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．(1)求证：AB∥CD；(2)求∠C的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠C=30°【分析】（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而可得答案；（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°代入进行计算即可.（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∠AE∥GF，∴∠EAB=∠FGB，∵∠CEA=∠FGB，∴∠CEA=∠EAB，∠AB∥CD；（2）解：由（1）得，AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，∠∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°∴∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，∠ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且∠BDA+∠CEG=180°．(1)求证：AD∥EF；(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．【答案】(1)见详解(2)∠F=∠H，说明见详解【分析】（1）根据∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，可得∠BDA=∠DEF，根据同位角相等，两直线平行可判定AD∥EF；（2）根据∠EDH=∠C，可得DH∥AC，继而得到∠H=∠EGC，由对顶角∠AGF=∠EGC，可得∠H=∠AGF，由（1）AD∥EF可得∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，再因为AD是∠BAC的角平分线，有∠DAG=∠BAD，即可证明∠F=∠H．（1）证明：∠∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，∠∠BDA=∠DEF，∠AD∥EF．（2）解：∠F=∠H，理由如下：∠∠EDH=∠C，∠DH∥AC，∠∠H=∠EGC，∠∠AGF=∠EGC，∠∠H=∠AGF，∠AD∥EF，∠∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，又∠AD是∠BAC的角平分线，∠∠DAG=∠BAD，∠∠F=∠H．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．(1)求证：EF∥AD；(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂直得出∠EFB=∠ADB=90°，根据平行线的判定得出EF∥AD；（2）根据平行线的性质得出∠1=∠BAD，由∠1=∠2得出∠2=∠BAD，根据平行线的判定得出DG∥BA，再根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）证明：∠AD⊥BC，EF⊥BC，∠∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定义），∠∠EFB=∠ADB（等量代换），∠EF∥AD（同位角相等，两直线平行）；（2）证明：∠EF∥AD，∠∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∠∠2=∠BAD（等量代换），∠DG∥BA（内错角相等，两直线平行），∠∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整）证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥FD（_____________）∴∠A=∠_____（______________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∠_____∥CD（__________________）∴∠B=∠C（____________）【答案】对顶角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；BFD；两直线平行，内错角相等；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3，再证明AE∥FD，可证明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再证明AB∥CD，从而可得答案．【详解】证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）∴∠A=∠BFD（两直线平行，内错角相等）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∠AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用平行线的判定与性质进行证明是解本题的关键．【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明过程：已知：如图，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，求证：BE⊥CE．证明：∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠2=________=1∠BCD（角平分线定义）2又∠∠1=∠2，∠∠1=∠ECD（）∠EF∥CD（）又∠AB∥EF（已知）∠________________（）∠∠ABC+∠BCD=180°（）(∠ABC+∠BCD)=90°，∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF，∠∠ABE=∠BEF（）∠∠BEF+∠1=90°，∠∠BEC=90°，∠BE⊥CE（）【答案】∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【分析】根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答．【详解】证明：∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠BCD（角平分线定义）∠2=∠ECD=12又∠∠1=∠2，∠∠1=∠ECD（等量代换）∠EF∥CD（内错角相等，两直线平行）又∠AB∥EF（已知）∠AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∠∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）(∠ABC+∠BCD)=90°，∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF，∠∠ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等）∠∠BEF+∠1=90°，∠∠BEC=90°，∠BE⊥CE（垂直定义）．故答案为：∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据：已知：如图所示，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．证明：∠∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∠____________∥_____________（_____________________），∠∠BAP=∠APC（_____________________）．又∠∠1=∠2，∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∠____________∥_____________（_____________________），∠∠E=∠F（_____________________）．【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形完成填空即可求解．【详解】∠∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∠AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∠∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∠∠1=∠2，∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∠AE∥FP（内错角相等，两直线平行），∠∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）故答案为：AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定进行证明，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程.如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∠BC证明：∠∠1+∠2=180°（）∠2=∠3（_______________________________）∠∠1+∠3=180°∠______∥______（_____________________________）∠∠B=______（________________________________）∠∠B=∠DEF（已知）∠∠DEF=_______ （_______________________）∠DE∠BC（）【答案】已知；对顶角相等；AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；∠EFC；两直线平行，同位角相等；∠EFC；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】由于∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠3，则∠1＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥EF，则利用平行线的性质得∠B＝∠CFE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠CFE，于是根据平行线的判定得到DE∥BC.【详解】证明：∠∠1＋∠2＝180°（已知）∠2＝∠3（对顶角相等）∠∠1＋∠3＝180°∠AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∠∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠∠B＝∠DEF（已知）∠∠DEF＝∠EFC（等量代换）∠DE∥BC（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．掌握平行线的判定与性质是解题的关键.【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有30°角的直角三角板的两个顶点E、F放在一个长方形的对边上，点E为直角顶点，∠EFG=30°，延长EG交CD于点P，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（）A．100°B．105°C．115°D．120°【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠1=25°，根据平角的定义得到∠AEF=90°-∠1=65°，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∠∠D=90°，∠3=65°，∠∠1=25°，∠∠FEG=90°，∠∠AEF=90°-∠1=65°，∠AD∥BC，∠∠2=180°-∠AEF=115°，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余和平行线的性质，关键是得出∠AEF与∠2互补．【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答．【详解】解：∠纸条的两边平行，∠（1）∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）；（2）∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；（4）∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）均正确；又∠直角三角板与纸条下线相交的角为90°，∠（3）∠2+∠4=90°，正确．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC=30°，A，B两点分别落在直线m、n上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n （）A．∠2=20°B．∠2=30°C．∠2=45°D．∠2=50°【答案】D【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【详解】解：由平行线的判定可知，当∠2＝∠ABC＋∠1时，m∥n，即∠2＝∠ABC＋∠1＝30°＋20°＝50°，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（）A．95°B．115°C．105°D．125°【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54′，则∠2的度数为（）A．103°6′B．104°6′C．103°54′D．104°54′【答案】C【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，∠直角三角板含一个45°的锐角，∠该三角板为等腰三角形，∠∠4=45°，∠∠1=58°54′，又∠在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∠∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∠∠3+∠5=180°，∠∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∠a∥b，∠∠2=∠3，∠∠2=103°54′，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．【变式4-1】（2022·山西晋中·七年级期末）用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若∠1=50°，则∠2的度数为（）A．25°B．22.5°C．20°D．15°【答案】C【分析】如图，根据题意得到∠C=90°，AB∠DE，∠CDF=60°．先根据三角形内角和求出∠ABC=40°，再根据平行的性质求出∠CDE=40°，即可求出∠2=20°．【详解】解：如图，由题意得∠C=90°，AB∠DE，∠CDF=60°．∠∠C=90°，∠1=50°，∠∠ABC=180°-∠C-∠1=40°，∠AB∠DE，∠∠CDE=∠CBA=40°，∠∠CDF=60°∠∠2=∠CDF-∠CDE=20°．故选：C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟知两个定理并理解题意得到已知条件是解题的关键．【变式4-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．【答案】①②③④【分析】①由题意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；②由题意得∠EFG=30°，利用邻补角即可求出∠EFN的度数；③过点F作FH⊥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFN=105°，再利用平行线的性质即可求出∠BEF；④利用角的计算可求出∠AEG=45°，从而可判断．【详解】解：①∵∠G=∠MPN=∠MPG=90°，∴GE∥MP，故①正确；②∵∠EFG=30°，∴∠EFN=180°−30°=150°，故②正确；③过点F作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠HFN=∠MNP=45°，∴∠EFN=150°−45°=105°，∵FH∥AB，∴∠BEF=180°−105°=75°；故③正确；④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，∴∠AEG=180°−60°−75°=45°，∴∠AEG=∠PMN=45°，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．【变式4-3】（2022·山东淄博·期末）如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：(1)图甲中，容易求得∠1+∠2=90°，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．【答案】(1)∠1＋∠2＝270°(2)∠2－∠1＝90°；见解析(3)∠1＝∠2＋90°【分析】（1）过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD．根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠1，∠2的关系．（2）过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD．根据两直线平行，内错角相等，平角互补，即可得∠1，∠2的关系．（3）过点O作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD，据两直线平行，内错角相等，即可得∠1，∠2的关系．（1）如图，过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+∠3+∠2+∠4=180°+180°∠∠1+∠2=360°−90°=270°∠∠1+∠2=270°．（2）如图，过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠1=∠3，∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+180°−∠2=90°∠∠2−∠1=90°．（3）如图，过点O作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠MOC=∠2∠∠1=90°+∠MOC∠∠1=90°+∠2．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补；平角互补．【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】【例5】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）如图①，AB∥CD，M为平面内一点，若BM∠MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，AB∥CD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；过M作MF∥AB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．过M作MF∥AB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，关键是构建平行线，利用平行线的性质进行解答．解题时注意分类思想的运用．【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MN∥PQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB 的度数．（直接写出答案）【答案】(1)见解析(2)∠CFB−∠BEG=90°，证明见解析(3)∠CFB=130°【分析】（1）过C作CE∥MN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；（2）过B作BR∥AG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；（3）过E作ES∥MN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．（1）解：如图，过C作CE∥MN，∠∠1=∠MAC，∠∠2=∠ACB-∠1，∠∠2=∠ACB-∠MAC，∠∠ACB-∠MAC=∠CBP，∠∠2=∠CBP，∠CE∥PQ，∠MN∥PQ；（2）如图，过B作BR∥AG，∠AG∥CH，∠BR∥HF，∠∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，∠∠EBF=90°，∠∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，∠∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），∠∠CFB-∠BEG=90°；（3）如图，过E作ES∥MN，∠MN∥PQ，∠ES∥PQ，∠∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，∠BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，∠∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，∠∠CAE=∠AES，∠∠EBD=90°，∠∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，∠∠QBE=∠EBC，∠∠EBC=∠BES，(360°−∠ACB)，∠∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=12∠∠ACB=80°，∠∠AEB=140°，∠∠BEG=40°，∠∠CFB-∠BEG=90°，∠∠CFB=130°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．（1）证明：∠∠1=∠2，∠1=∠GFC，∠∠2=∠CFG，∠CM∥DE，∠∠D=∠ACM，∠∠D=∠CMG，∠∠CMG=∠ACM，∠AD∥NG；（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，∠∠ANB=∠NBP，∠AD∥NG，∠∠D=∠DHG，∠∠A+∠DHG=180°，∠∠A+∠D=180°，∠AN∥DH，又∠CM∠DH，∠BP∥CM，∠∠PBG+∠1=180°，∠∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，∠∠NBG−∠ANB+∠1=180°；（3）解：∠∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∠∠PBG=80°，∠∠NBG=130°，∠∠ANB=∠NBP=50°，∠∠ANB：∠BNG=2：1，∠∠BNP=25°，∠∠ANG=75°，∠∠A=105°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．(1)若点F是线段AE上一点，且BF∠AE，求∠P的度数；(2)若点F 是直线AE 上一动点(点F 与点A 不重合)，请写出∠P 与∠AFB 之间的数量关系并证明． 【答案】(1)45°(2)当F 点在A 点上方时，∠BPE ＝12∠AFB ，当F 点在A 点下方时，∠BPE ＝90°﹣12∠AFB【分析】（1）过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，由平行线的性质得∠ABP +∠CEP ＝∠BPE ，∠ABF +∠CEF ＝∠BFE ，再由垂直定义和角平分线定义求得结果；（2）分三种情况：点F 在EA 的延长线上时，点F 在线段AE 上时，点F 在AE 的延长线上时，分别进行探究便可．（1）解：过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，∠AB ∥CD ，∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ，∠∠ABP ＝∠BPQ ，∠CEP ＝∠EPQ ，∠ABF ＝∠BFH ，∠CEF ＝∠EFH ，∠∠ABP +∠CEP ＝∠BPQ +∠EPQ ＝∠BPE ，∠ABF +∠CEF ＝∠BFH +∠EFH ＝∠BFE ，∠BF ∠AE ，∠∠ABF +∠CEF ＝∠BFE ＝90°，∠BP 平分∠ABF ，EP 平分∠AEC ，∠∠ABP +∠CEP ＝12（∠ABF +∠CEF ）＝45°， ∠∠BPE ＝45°；（2）①当点F 在EA 的延长线上时，∠BPE ＝12∠AFB ，理由如下：如备用图1，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，∠AB ∥CD ，∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ，∠∠ABP ＝∠BPQ ，∠CEP ＝∠EPQ ，180°﹣∠ABF ＝∠BFH ，∠AEC ＝∠EFH ，∠∠CEP +∠ABP ＝∠EPQ +∠BPQ ＝∠BPE ，∠BFH ﹣∠EFH ＝180°﹣∠ABF ﹣∠AEC ＝∠AFB ， ∠BP 平分∠ABF ，EP 平分∠AEC ，∠∠CEP +∠ABP ＝12（∠AEC +∠ABF ）＝12（180°﹣∠AFB ）， ∠∠BPE ＝90°﹣12∠AFB ；综上，当E 点在A 点上方时，∠BPE ＝12∠AFB ，当E 点在A 点下方时，∠BPE ＝90°﹣12∠AFB ． 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，以及角平分线的性质，在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答，将角度转化由此求出答案．解题中运用分类思想解答问题．【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】【例6】（2022·湖南·株洲二中七年级期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射后的光线为n ，则入射光线m 、反射光线n 与平面镜a 所夹的锐角∠1＝∠2．(1)如图2，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被b 反射出的光线n 与光线m 平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °．(2)请你猜想：当射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a 、b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行时，两平面镜a 、b 间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．【答案】(1)100；90；(2)90°(3)2α+β=180°【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=50°，再利用平角的定义得∠5=80°，然后利用平行线的性质计算出∠2=100°，则∠6=40°，再利用三角形内角和定理计算∠3；（2）当∠3=90°时，根据三角形内角和定理得∠4+∠6=90°，则2∠4+2∠6=180°，利用平角的定义得到∠2+∠5=180°，然后根据平行线的判定得到m∥n；（3）由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，再根据∠2+∠3=180°-∠α，即可得出∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α．（1）解：如图：∠∠1=∠4=50°，∠∠5=180°-2×50°=80°，∠m∥n∠∠2+∠5=180°，∠∠2=100°，（180°-∠2）=40°，∠∠6=12∠∠3=180°-∠4-∠6=90°；故答案为：100，90；（2）当∠3=90°时，m∥n理由如下：∠∠3=90°，∠∠4+∠6=90°，∠2∠4+2∠6=180°，∠∠2+∠5=180°，∠m∥n；（3）解：如图3，由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，∠∠2+∠3=180°-∠α，∠∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α，∠α与β的数量关系为：2α+β=180°，故答案为：2α+β=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【变式6-1】（2022·河北保定·七年级阶段练习）如图，直线AB∠CD，点M，N分别在直线AB,CD 上，H为直线CD下方一点．(1)如图1，MH和NH相交于点H，求证：∠MHN=∠AMH−∠CNH．（温馨提示：可过点H 作AB的平行线）(2)延长HN至点G，∠BMH的平分线ME和∠GND的平分线NE相交于点E，HM与CD相交于点F．①如图2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度数；②如图2，当点F在点N左侧时，若∠BME的度数为x°，∠END的度数为y°，且x+y的值是一个定值，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出∠MHN的度数；若变化，请说明理由．③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出．．．．∠MHN的度数；若变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①20°；②不变，180°−2(x°+y°)；③不变，2(x°+y°)−180°【分析】（1）过点H作HQ∥AB．可得HQ∥CD，从而得到∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，即可求证；（2）①根据∠BME=50°,∠END=30°，可得∠BMH=100°，∠GND=60°，从而得到∠AMH=180°−∠BMH=80°，∠CNH=60°．再由∠MHN=∠AMH−∠CNH，即可求解；②根据题意可得∠AMH=180°−2x°，∠CNH=2y°，再由∠MHN=∠AMH−∠CNH，即可求解；③过点H作OH∠AB，根据平行线的性质，可证得∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH．从而得到∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°，即可求解．（1）证明：如图，过点H作HQ∥AB．∠HQ∥AB且AB∥CD，∠HQ∥CD，∠∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，∠∠MHN=∠MHQ−∠NHQ=∠AMH−∠CNH；（2）解：①ME平分∠BMH,∠BME=50°，∠∠BMH=100°，∠NE平分∠DNG，∠DNE=30°，∠∠GND=60°，∠∠AMH=180°−∠BMH=80°，∠CNH=60°．由（1）可知：∠MHN=∠AMH−∠CNH=80°−60°=20°．∠∠MHN=20°；②∠ME平分∠BMH，∠BME=x°，∠∠BMH=2x°，∠NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∠∠GND=2y°，∠∠AMH=180°−2x°，∠CNH=2y°，∠∠MHN=180°−2x°−2y°=180°−2(x°+y°)．∠x+y为一个定值，∠∠MHN不会随x的变化而发生改变，度数为180°−2(x°+y°)；③不变，∠MHN的度数为2(x°+y°)−180°．理由如下：如图，过点H作OH∥AB，∠∠BMH=∠OHM，∠AB∥CD，∠OH∥CD，∠∠DNH=∠OHN，∠∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH．∠ME平分∠BMH,∠BME=x°，∠∠BMH=2x°∠NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∠∠GND=2y°，∠∠DNH=180°−2y°，∠∠MHN=2x°−(180°−2y°)，∠∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°．∠x+y为一个定值，∠∠MHN不会随x的变化而改变．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质和判定，利用类比思想解答是解题的关键．【变式6-2】（2022·福建龙岩·七年级期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM∠BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．(1)求证：AE∠ED；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析（1）证明：如图1，过点E作EG∥BM，则∠1=∠3，∠BM∥CN，∠EG∥CN，∠∠4=∠2，∠∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∠∠AED=90°，∠AE∠ED．（2）证明：∠ AE平分∠BAD，∠∠BAD=2∠1，∠BM∥CN，∠∠BAD+∠CDA=180°，∠2∠1+∠CDA，（3）∠F为定值．证明：如图2，过点F作FH∥BM，设∠AFH=α，∠DFH=β，∠BM∥CN，∠FH∥CN，∠∠α+∠β=∠6+∠7，∠∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠∠α+∠β=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)=180°−45°=135°，∠∠F=∠α+∠β=135°，∠∠F为定值，∠F=135°，故答案为：∠F=135°．【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质，解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线与∠CFM互补(1)如图1，试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠BEF与∠EFD的平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求证：∠HPQ的大小是定值．【答案】(1)平行；理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PF∥GH；（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数．（1）解：结论：AB∥CD；理由如下：∠∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF，∠∠AEF与∠CFM互补，∠AB∥CD．（2）∠EG平分∠BEF，∠∠PEF=1∠BEF，2又∠FP平分∠EFD，∠∠EFP=1∠EFD，2由（1）知AB∥CD，∠∠BEF+∠EFD=180°，∠∠PEF+∠EFP=90°，∠∠EPF=90°，【例7】（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）如图，已知AB//CD，若按图中规律继续划分下去，则∠1+∠2+⋯+∠n等于（）A．n•1800B．2n•1800C．(n−1)•1800D．(n−1)2•1800【答案】C【分析】根据第1个图形∠1+∠2=180°，第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，进而得出答案．【详解】（1）∠AB∠CD，∠∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EF，CD∠EF，∠∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∠∠1+∠2+∠3=360°；（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EM∠FN∠CD，∠∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；∠∠1+∠2+3+∠4=540°；（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出图中变化规律是解题关键．【变式7-1】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点C n，则∠C n的度数为（）A．90−902n B．180−902n−1C．902n−1D．1802nAB∠CD．试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为【答案】（1）180°，理由见解析；（2）360°，理由见解析；（3）540°，理由见解析；（4）180°（n-1）【分析】（1）据两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠C=180°；（2）沿P作一条平行A B、CD的平行线PM，由两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，故∠A+∠APC+∠C=360°；（3）根据第二题，同理可得∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上规律，有两个角时，和为180°；有三个角时和为360°；有四个角时和为540°…故可得有n个角时，和为180°（n-1）．【详解】解：（1）∠AB∠CD，∠∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点P作一条直线PM平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠PM，∠CD∠PM∠AB，∠∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，∠∠A+∠APC+∠C=360°；（3）分别过点E、F作EM、FN平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EM∠FN∠CD，∠∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°；∠∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上规律，有两个角时，和为180°；有三个角时和为360°；有四个角时和为540°…故可得有n个角时，和为180°（n-1）．【点睛】本题主要考查两直线平行，同旁内角互补的性质，并考查学生通过计算总结规律的能力，是一道好题．【变式7-3】（2022·浙江·七年级阶段练习）阅读并探究下列问题.（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为.（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中AB∥CD，则共剪出个角.若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为.（4）如图④，直线AB∥CD，∠EF A=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°|2x+y−102|+√x+y−72=0由上述结论求∠GHM的度数.【答案】（1）∠1+∠3=∠2，证明见解析；（2）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（3）2017，∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．（4）48°．【分析】（1）过E点作EF∠AB，则EF∠CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠AEF=∠1，∠CEF=∠3，即有∠2=∠1+∠3；（2）分别过E、G、F分别作EM∠AB，GN∠AB，FP∠AB，根据两直线平行，内错角相等，同（1）一样易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；（3）综合（1）（2）易得开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和．（4）利用（3）的结论得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，易计算出∠GHM．。
人教版七年级数学下册5.2.1平行线 专题复习
[命题角度1] 平行线的概念在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.注意:(1)两条直线平行的前提条件是“在同一平面内”,在空间中,不相交的两条直线不一定平行;(2)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交;(3)今后遇到线段或射线的平行,均指它们所在的直线平行.例下列说法正确的是(C)A.在同一平面内,不相交的两条线段是平行线B.在同一平面内,两条直线不相交就重合C.在同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线D.不相交的两条直线是平行线[命题角度2] 画平行线如图5-2-3,已知P是直线l外一点,经过点P画一条直线,使它与直线l平行.图5-2-3画法:(1)一落.将三角尺的一边落在直线l上;(2)二靠.紧靠三角尺的另一边放一把直尺;(3)三推,沿直尺的边推动三角尺,直到三角尺原来落在直线l上的边恰好经过点P;(4)四画.沿三角尺的这一边画直线CD.CD即为过点P且与直线l平行的直线.注意:在平移过程中,要均匀用力,以免发生偏移.图5-2-4例作图题(只保留作图痕迹):如图5-2-4,在方格纸中,有两条线段AB,BC.利用方格纸完成以下操作:(1)过点A作BC的平行线;(2)过点C作AB的平行线,与(1)中的平行线交于点D;(3)过点B作AD的垂线,垂足为E.[答案:略][命题角度3] 平行线基本事实及其推论基本事实(平行公理):经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.注意:正确理解“有且只有”的含义,它包含两层意思:“有”表明存在与已知直线平行的直线;“只有”表明与已知直线平行的直线是唯一的.例过一点画已知直线的平行线(D)A.有且只有一条B.不存在C.有两条D.不存在或有且只有一条第1课时平行线的性质1. （2013·乐山）如图，已知直线a∥b，∠1＝131º，则∠2＝（）A. 39°B. 41°C. 49°D. 59°2. （2013·广东）如图,AC∥DF,AB∥EF,点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50º，则∠1的大小是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3. （2012•盐城）一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图所示，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1=75º，则∠2的大小是（）A．75°B．115°C．65° D．105°4. （2013·成都）如图，∠B＝30º，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD ＝______度．5. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1=40º，求∠2的度数．答案1. C2. C3. D4. 605. 解：∵AB∥CD，∴∠1=∠AEG．∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠GEF，∠AEF=2∠1．又∵∠AEF+∠2=180º，∴∠2=180°－2∠1=180°-80°=100º.第2课时平行线的性质与判定的综合应用1. 如图所示，下列说法正确的是（）A. 若AB∥CD，则∠1=∠2B. 若AD∥BC，则∠3=∠4C. 若∠1=∠2，则AB∥CDD. 若∠1=∠2，则AD∥BC2. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且DF∥BC，要使EF∥AB，只需要再满足下列条件中的（）A. ∠l=∠2B. ∠l=∠AFDC. ∠l=∠DFED. ∠2=∠CFE3. 如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠E=50º，则∠F=（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 如图，已知∠1=∠2=∠3=55º，则∠4的度数为．5. 如图所示，若∠1+∠2=180º，∠3=75º，则∠4= 度.答案1. D2. C3. B4. 125°5. 1055．2～5．3 平行线的判定与性质专题一相交与平行的综合应用1．a、b、c是同一平面内任意三条直线，它们的交点可能有（）A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个 D．以上都不对2．地面上有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何3条公路交于同一个岔口．现有31位交警刚好满足每一个岔口有且只有一位交警执勤，请你画出公路的示意图．3．（1）已知平面内有4条直线a、b、c和d．直线a、b和c相交于一点，直线b、c和d也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．（2）作第5条直线e与(1)中的直线d平行，说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？专题二平行线的判定与性质的综合应用4．a、b、c、d四条直线相交如图所示，如果想添加一个“角相等”的条件，使得将a∥b，那么共有几种不同的添法（）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种5．如图，已知AB∥ED，且α＝∠A＋∠E，β＝∠B＋∠C＋∠D，那么β＝2α，请说明理由．6．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F,∠E＝140º，求∠BFD的度数．状元笔记［知识要点］1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．2．平行线的判定方法有：平行线的定义；平行公理的推论；同位角相等或内错角相等或同旁内角互补．3．平行线的性质有：由两直线平行得到同位角相等或内错角相等或同旁内角互补；平行公理；平行线间的距离处处相等．［温馨提示］1．线段、射线平行特指其所在的直线平行．2．应用平行线的性质时切不可忽略前提条件“两直线平行”，不能“看着像平行”就认为平行．要从逻辑上、语言结构上区别开平行线的判定与性质，不要互相混淆．答案：1．B 【解析】平面内任意3条直线的位置关系有如下4种情况：2．解：如图，用直线表示公路，交点表示岔口．先任意画5条互相平行的直线，接着换一个方向，再画3条互相平行的直线，而后再换第三个方向，画2条互相平行的直线，这样图中直线共有10条，交点共有31个，如图所示：3．解：（1）这4条直线只有一个交点．理由为：已知直线a、b和c相交于一点，这个交点就是b和c的交点．又知直线b、c和d也相交于一点，这个交点也是b和c的交点，而直线b和c只有一个交点，所以直线a、b、c和d相交于同一点，即这4条直线只有一个交点．（2）若作直线e∥d，则e与a、b、c都不平行（否则，d也与a、b、c中的某条直线平行，而不是相交，这与（1）中的结论矛盾）．因为同一平面内，两条直线不平行就相交，故e与a、b、c都相交．所以这5条直线共有1＋3＝4个交点．以这些交点为端点的线段共有6条（如图）．4．C 【解析】由同位角相等或内错角相等，都可得出两条直线平行．先考查同位角，a、b被c所截，方向向上、向下的同位角各有2对，共4对；同样，a、b被d所截，也有4对同位角，故可推出a∥b的同位角相等的情况有8种．再看内错角，a、b被c、d所截，共形成4对内错角．另外，由“对顶角相等”可知，若添加这4对内错角中每一对的对顶角相等，也可得出a∥b．所以共有16种不同的添法．5．解：理由如下：因为AB∥ED，所以α＝∠A＋∠E＝180°．如图，过点C作CF∥AB，则∠B＝∠1．因为AB∥ED，所以CF∥ED．所以∠2＝∠D．因此，β＝∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠BCD＋∠2＝360°．故β＝2α．6．解：过点F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD．∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG＝∠CDF．∵AB∥CD，∴∠ABE＋∠E＋∠CDE＝2×180°＝360°.又∵∠E＝140°，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠BFD＝∠BFG＋∠DFG＝∠ABF＋∠CDF＝12∠ABE＋12∠CDE＝12（∠ABE＋∠CDE）＝12（360°－∠E）＝12（360°－140°）＝110°．。
初一数学人教版下册平行线及其判定知识点
初一数学人教版下册平行线及其判断知识点平行线可以陈述为过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行的直线，今天的主要内容是平行线及其判断知识点，大家必然要仔细阅读学习，希望对大家新学期有帮助！知识点1.平行：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。
2.平行线：在同一平面内，不订交的两条直线叫做平行线。
3.命题：判断一件事情的语句叫命题。
4.真命题：正确的命题，即若是命题的题设成立，那么结论必然成立。
5.假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题。
6.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向搬动必然的距离，图形的这种搬动叫做平移平移变换，简称平移。
7.对应点：平移后获取的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点搬动后获取的，这样的两个点叫做对应点。
8.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
9.垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。
10.平行公义：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公义的推论：若是两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
11.平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等。
性质 2：两直线平行，内错角相等。
性质 3：两直线平行，同旁内角互补。
12.平行线的判断：判断 1：同位角相等，两直线平行。
判断 2：内错角相等，两直线平行。
判断 3：同旁内角相等，两直线平行。
课后习题1、在同一平面内 ,两条直线的地址关系有_________2、两条直线 L1 与 L2 订交点 A，若是 L1 ‖ L那，么 L2 与 L()，这是因为 ()。
3、在同一平面内 ,一条直线和两条平行线中一条直线订交 ,那么这条直线与平行线中的另一边必 __________.4、两条直线订交 ,交点的个数是 ________两,条直线平行 ,交点的个数是 _____个.参照答案：1、订交于平行2、订交过一点有且只有一条直线与已知直线平行3、订交4、0 或 1，0平行线及其判断知识点的全部内容就是这些，不知道大家可否学会了呢？大家必然要好好利用最后的时间复习备考，预祝大家可以在期末考试中获取优异的成绩！精心整理，仅供学习参照。
专题02 平行线及其判定 (题型归纳)【2022春人教七下数学核心考点题型归纳+变式集训】(解析版)
专题02 平行线及其判定（一题三变）【思维导图】◎考点题型1 平面内两直线的位置关系例．（2022·全国·七年级）下列说法正确的是()A．不相交的两条直线是平行线．B．如果线段AB与线段CD不相交，那么直线AB与直线CD平行．C．同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线．D．同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．【答案】D【解析】【分析】根据平行线的定义逐项分析即可．【详解】A、同一平面内不相交的两条直线是平行线，故此说法错误；B、两条线段不相交也可以不平行，故此说法错误；C、同一平面内，不相交的两条射线可以平行，也可以既不平行也不相交，故此说法错误；D、同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，此说法正确，故选D．【点睛】本题考查了平行线的定义，理解此定义是关键，属于概念基础题．变式1．（2022·江苏·南京市第二十九中学七年级期末）下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线B．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C．平角是一条直线D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【答案】B【解析】【分析】根据平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质依次判断．【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故选项A错误；过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故选项B正确；平角是角的两边在同一直线上的角，故选项C错误；过同一平面内三点中任意两点，能画出1条或3条直线故选项D错误；故选：B．【点睛】此题考查语句的正确性，正确掌握平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质是解题的关键．变式2．（2022·江苏江阴·七年级期末）有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；①有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据平行线的定义、垂直的定义及垂线的唯一性、对顶角的含义即可判断．【详解】同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故说法①错误；说法①正确；两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，当这两个相等的角是对顶角时则不垂直，故说法①错误；根据对顶角的定义知，说法①错误；故正确的说法有1个；故选：A【点睛】本题考查了两条直线的位置关系中的相关概念及性质，掌握这些概念是关键．变式3．（2021·湖北汉阳·七年级期中）下列命题不正确的是（）A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交C．两点确定一条直线D．两点之间直线最短．【答案】D【解析】【分析】根据垂线段最短、两直线的位置关系、两点确定一条直线、两点之间线段最短判断．【详解】解：A、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，本选项说法正确，不符合题意；B、在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交，本选项说法正确，不符合题意；C、两点确定一条直线，本选项说法正确，不符合题意；D、两点之间线段最短，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂线段最短、两直线的位置关系、两点确定一条直线、两点之间线段最短是解题的关键．◎考点题型2立体图形中平面的棱例．（2021·上海市实验学校二模）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 先找出不过棱AD 的平面，确定平面内有与AD 平行的直线即可．【详解】解：①在长方体ABCD-EFGH 中，AD //EH ①BC ，①AD ①平面EFGH ，AD ①平面BCGF ，①与棱AD 平行的平面共有2个．故选择：B ．【点睛】本题主要考查立体图形与平行线，利用平行线的定义找出与棱AD 平行的平面并准确观察图形是解题的关键．变式1．（2019·全国·七年级单元测试）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，与棱AD 异面的棱有（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条【答案】C【解析】【分析】 根据判断异面直线的方法判断即可.【详解】由题意得：与棱AD 异面的棱有：BB 1,CC 1,A 1B 1,C 1D 1故选C.【点睛】本题考查异面直线的概念：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线，熟记概念是本题关键.变式2．（2012·上海奉贤·一模）已知长方体如图所示，那么下列直线中与直线不平行也不垂直的直线是A．B．GH C．HC D．【答案】C【解析】【详解】解：A、EA是长方体的棱，与AB互相垂直，故本选项错误；B、GH是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误；C、HC不是长方体的棱，与AB不平行也不垂直，故本选项正确；D、EF是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误．故选C．变式3．（2020·上海浦东新·三模）已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（）A．棱EA；B．棱AB；C．棱GH；D．棱GF．【答案】A【解析】【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解．【详解】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．故选：A．【点睛】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题．◎考点题型3用直尺、三角板画平行线例．（2021·吉林九台·八年级期中）在下列各题中，属于尺规作图的是（）A．用直尺画一工件边缘的垂线B．用直尺和三角板画平行线C．利用三角板画45 的角D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段【答案】D【解析】【分析】根据尺规作图的定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺来解决平面几何作图，进行逐一判断即可．【详解】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了尺规作图的定义，解题的关键在于熟知定义．变式1．（2014·山东滨州·中考真题）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【答案】A【解析】【分析】由已知可知①DPF=①BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．【详解】①①DPF=①BAF，①AB①PD（同位角相等，两直线平行）．故选A．【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．变式2．（2011·北京石景山·中考模拟）已知：如图，l①m，等边①ABC的顶点B在直线m 上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则①α的度数为A．60°B．45°C．55°D．40°【答案】D【解析】【详解】过C作CE①直线m①l①m，①l①m①CE，①①ACE=①α，①BCE=①CBF=20°，①等边①ABC，①①ACB=60°，①①α+①CBF=①ACB=60°，①①α=40°．故选D．变式3．（2021·辽宁和平·八年级期末）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行【答案】B【解析】【分析】由已知可知①DPF=①BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．【详解】解：如图：①①DPF=①BAF，①a①b（同位角相等，两直线平行）．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定方法,熟练掌握平行线的判定方法，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．◎考点题型4平行公理的应用例．（2022·江苏玄武·七年级期末）下列说法错误的是（）A．经过两点，有且仅有一条直线B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点之间的所有连线中，线段最短D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【解析】【分析】根据垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理判断下列选项．【详解】解：由垂线的性质、线段的性质、直线的性质可知A、B、C正确；A、根据直线的性质可知选项正确，不符合题意；B、根据垂线的性质可知选项正确，不符合题意；C、根据线段的性质可知选项正确，不符合题意；D、由平行公理可知选项不正确，需要保证该点不在已知直线上，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理，解题的关键是掌握相关的概念．变式1．（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期末）下列说法正确的有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；①相等的角叫对顶角；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；①若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】根据线段的性质，对顶角相等的性质，平行公理，对各小题分析判断即可得解．【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；①相等的角不一定是对顶角，但对顶角相等，故本小题错误；①过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；①若AC=BC，且A、B、C三点共线，则点C是线段AB的中点，否则不是，故本小题错误，①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；所以，正确的结论有①①共2个．故选：B．【点睛】本题考查了平行公理，线段的性质，对顶角的判断，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．变式2．（2021·全国·七年级课时练习）下列说法：（1）两条不相交的直线是平行线；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内两条不相交的线段一定平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（5）两点之间，直线最短；其中正确个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据平面内相交线和平行线的基本性质逐项分析即可．【详解】解：（1）在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；（3）在同一平面内两条不相交的线段不一定平行，故原说法错误；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法正确；（5）两点之间，线段最短，故原说法错误；故选：B．【点睛】本题考查平面内两直线的关系，及其推论等，掌握基本概念和推论是解题关键．变式3．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）下列说法中正确的有（）个①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；①同一平面内，不相交的两条线段一定平行；①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；①从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】 根据平行线的性质，垂线的性质，平行公理，点到直线的距离的定义逐项分析判断即可．【详解】①互相平行的两条直线被第三条直线所截，同位角相等，故①不正确；①同一平面内，不相交的两条直线一定平行，故①不正确；①同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故①不正确；①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故①正确①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故①不正确． 故正确的有①，共1个，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，垂线的性质，点到直线的距离，掌握相关定理性质是解题的关键．◎考点题型5平行公理推论的应用例．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，直线//a b ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线b 上，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．25°B ．20C ．35D ．30【答案】A【解析】【分析】 过B 作//BE 直线a ，推出////a b BE ，根据平行线性质得出120ABE ∠=∠=︒，2CBE ∠=∠，根据45ABC ∠=︒求出CBE ∠，即可得出答案．【详解】解：过B 作//BE 直线a ，a b，直线//①////a b BE，∴∠=∠=︒，2CBE∠=∠，ABE120∠=︒，45ABC∴∠=∠2CBEABC ABE=∠-∠=︒-︒4520=︒，25故选：A．【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线．变式1．（2021·河北石家庄·一模）经过直线l 外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线l平行的，只能是一条，即与直线l相交的直线至少有3条，故选：C．【点睛】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．变式2．（2021·河南邓州·七年级期末）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若①2＝25°，则①1的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°【答案】C【解析】【分析】如图，过直角顶点O作EF①AB，根据平行公理的推论可得EF①AB①CD，进而可得①2＝①3，①1＝①4，再结合①3+①4＝90°即可求出答案．【详解】解：如图，过直角顶点O作EF①AB，由于AB①CD，则EF①AB①CD，①①2＝①3，①1＝①4，①①2＝25°，①①3＝25°，①①3+①4＝90°，①①4＝65°，①①1＝65°．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于基本题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键．变式3．（2020·湖南望城·七年级期末）直角三角板和直尺如图放置，若①1=70°，则①2的度数为（）A．70°B．30°C．20°D．15°【答案】C【解析】【分析】过点F做FH①AD，先求出①3，再根据题意求出①4，最后根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，过点F做FH①AD，①①1=①3=70°，由题意得①EFG=90°，AD①BC①FH①BC，①4=90°－①3=20°，①①2=①4=20°．故选：C【点睛】本题考查了平行公理推论，平行线的性质．解题关键是熟记相关定理，并能根据题意添加辅助线FH①AD．◎考点题型6同位角相等，两直线平行例．（2021·北京房山·七年级期末）下列图形中，由①1＝①2能得到AB∥CD的图形有（）个A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．【详解】解：第一个图形，①①1=①2，①AC ①BD ；故不符合题意；第二个图形，①①1=①2，①AB ①CD ，故符合题意；第三个图形，①①1=①2，①2=①3，①①1=①3，①AB ①CD ；第四个图形，①①1=①2不能得到AB ①CD ，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角． 变式1．（2022·广东阳山·八年级期末）如图，不能推出a ①b 的条件是（ ）A ．①4＝①2B ．①3+①4＝180°C ．①1＝①3D ．①2+①3＝180°【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的判定方法，逐项判断即可．【详解】解：A 、2∠和4∠是一对内错角，当42∠=∠时，可判断//a b ，故A 不符合题意；B 、3∠和4∠是邻补角，当34180∠+∠=︒时，不能判定//a b ，故B 符合题意；C 、1∠和3∠是一对同位角，当13∠=∠时，可判断//a b ，故C 不合题意；D 、2∠和3∠是一对同旁内角，当23180∠+∠=︒时，可判断//a b ，故D 不合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了平行线的判定．解题的关键是：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．变式2．（2021·重庆实验外国语学校七年级期中）如图，能判断a //b 的条件是（ ）A ．①1＝①2B ．①2+①4＝180°C ．①4+①5＝180°D ．①2＝①3【答案】B【解析】【分析】 同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，再逐一判断各选项即可得到答案.【详解】解：1=2,//,c d ∠∠∴ 故A 不符合题意；2+4=180,//,a b ∠∠︒∴ 故B 符合题意；4+5=180//,c d ∠∠︒∴， 故C 不符合题意；2=3,//,c d ∠∠∴ 故D 不符合题意；故选：.B【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键.变式3．（2021·广东·江南外国语学校七年级期中）如图，以下四个条件：①①1＝①3，①①2＝①4，①①BAD +①D ＝180°，①①EAD ＝①B ．其中能够判断AB ①DC 的条件有（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的判定定理分别进行分析即可．【详解】解：若①1=①3，则AB ①DC ；若①2=①4，则AD ①BC ；若①BAD +①D =180°，则AB ①DC ；若①EAD =①B ，则AD ①BC ；故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．◎考点题型7内错角相等，两直线平行例．（2021·重庆·七年级期中）如图，点E 在CD 延长线上，下列条件中不能判定//AB CD 的是（ ）A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．5B ∠=∠D ．180B BDC ∠+∠=︒【答案】A【解析】【分析】 根据平行线的判定方法直接判定即可．【详解】解：选项B 中，34∠∠=，//AB CD ∴（内错角相等，两直线平行），所以正确； 选项C 中，5B ∠=∠，//AB CD ∴（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项D 中，180B BDC ∠+∠=︒，//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行），所以正确； 而选项A 中，1∠与2∠是直线AC 、BD 被AD 所截形成的内错角，因为12∠=∠，所以应是//AC BD ，故A 错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．变式1．（2022·辽宁丹东·八年级期末）如图，①13∠=∠，①23∠∠=，①14∠=∠，①25180+=︒∠∠可以判定b c ∥的条件有（ ）．A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】A【解析】【分析】 根据平行线的判定定理逐个排查即可．【详解】解：①由于①1和①3是同位角，则①可判定b c ∥；①由于①2和①3是内错角，则①可判定b c ∥；①①由于①1和①4既不是同位角、也不是内错角，则①不能判定b c ∥；①①由于①2和①5是同旁内角，则①可判定b c ∥；即①①①可判定b c ∥．故选A ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．变式2．（2021·上海·七年级期末）如图，一定能推出AB CD ∥的条件是（ ）A ．DAC ACB ∠=∠ B ．ADC DCE ∠=∠ C ．ABC ACD ∠=∠ D ．ABC DCE ∠=∠【解析】【分析】平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行；根据平行线的判定方法逐一判定即可.【详解】解：A ．DAC ∠和ACB ∠是直线AD 和BC 被直线AC 所截所成的内错角，DAC ACB ∴∠=∠不能推出AB CD ∥，故本选项不符合题意；B ．ADC ∠和DCE ∠是直线AD 和BC 被直线DC 所截所成的内错角，ADC DCE ∴∠=∠不能推出AB CD ∥，故本选项不符合题意；C ．ACD ∠和BAC ∠是直线AB 和CD 被直线AC 所截所成的内错角，但不能判定ABC BAC ∠=∠，∴不能判定ACD BAC ∠=∠，ABC ∠和DCE ∠是直线AB 和CD 被直线BC 所截所成的同位角，但不能判定ACD DCE ∠=∠，∴不能判定ABC DCE ∠=∠，ABC ACD ∴∠=∠不能推出AB CD ∥，故本选项不符合题意；D ．ABC ∠和DCE ∠是直线AB 和DC 被直线BC 所截所成的同位角，ABC DCE ∴∠=∠能推出AB CD ∥，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 变式3．（2021·山东郯城·七年级期末）下列图形中，由①1＝①2，能得到AB ①CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可．【详解】解：A 、①1＝①2，不能判断//AB CD ，故该选项不正确，不符合题意；B 、12∠=∠，//AC BD ∴，故该选项不正确，不符合题意；C 、①12∠=∠，∴//AB CD ，故该选项正确，符合题意；D 、①1＝①2，不能判断//AB CD ，故该选项不正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了内错角相等，两直线平行，掌握平行线的判定定理是解题的关键．◎考点题型8同旁内角互补，两直线平行例．（2021·安徽长丰·七年级期末）如图，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，连接DE ，CD ，则下列条件不能判定DE ①BC 的是（ ）A ．①AED ＝①ACDB ．①ADE ＝①BC ．①EDC ＝①DCBD ．①DEC +①ACB ＝180°【答案】A【解析】【分析】 同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行 ；同旁内角互补，则两直线平行；根据这三点对四个选项逐一判断．【详解】A 、∠AED ＝∠ACD ，不能判定DE ∥BC ，不符合题意；B 、∠ADE ＝∠B ，同位角相等，则两直线平行，能判定DE ∥BC ，符合题意； C 、∠EDC ＝∠DCB ，内错角相等，则两直线平行，能判定DE ∥BC ，符合题意；D 、∠DEC +∠ACB ＝180°，同旁内角互补，则两直线平行，能判定DE ∥BC ，符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查两直线平行的判定，掌握相关角度之间的关系推断平行时本题解题关键． 变式1．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，下列条件（ ）成立时，//AD BC ．A ．23∠∠=B ．14∠=∠C ．1234∠+∠=∠+∠D ．180A C ∠+∠=︒ 【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．【详解】解：A 、正确，根据内错角相等，两直线平行；B 、错误，由内错角相等，两直线平行，得出AB //CD ，而不是//AD BC ；C 、错误，①1＋①2＝①3＋①4，即①ABC ＝①ADC ，无法说明//AD BC ；D 、错误，①A ＋①C ＝180°，但这两个角不是同旁内角，所以无法说明//AD BC ． 故选：A ．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．变式2．（2020·贵州·铜仁一中实验学校八年级阶段练习）下列图形中，由①1＝①2，能得到AB ①CD 的是（ ）．A ．B ．C．D．【答案】C【解析】【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可．【详解】解：A、①1、①2是同旁内角，由①1=①2不一定能判定AB①CD，故本选项错误；B、①1、①2是内错角，由①1=①2能判定AC①BD，故本选项错误；C、①1、①2是内错角，由①1=①2能判定AB①CD，故本选项正确；D、①1、①2是四边形中的对角，由①1=①2不能判定AB①CD，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．变式3．（2021·广东·佛山市华英学校七年级阶段练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（）A．∠B+∠2＝180°B．∠1＝∠4C．∠B＝∠3D．∠1＝∠B【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．【详解】解：A、①①B＋①2＝180，①AB ①EF （同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；B 、①①1＝①4，①AB ①EF （内错角相等，两直线平行），不符合题意；C 、①①B ＝①3，①AB ①EF （同位角相等，两直线平行），不符合题意；D 、①①1＝①B ，①BC ①DF （同位角相等，两直线平行），不能证出AB ①EF ，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，①内错角相等⇔两直线平行，①同旁内角互补⇔两直线平行．◎考点题型9垂直于同一直线的两直线平行例．（2021·河北·石家庄外国语学校七年级期末）如图所示，AC BC ⊥，DE BC ⊥，CD AB ⊥，40ACD ∠=︒，则BDE ∠等于（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】 利用AC BC ⊥，DE BC ⊥推出DE ①AC ，求出①EDC 的度数，再根据CD AB ⊥求出答案．【详解】AC BC ⊥，DE BC ⊥，//DE AC ∴，40EDC ACD ∴∠=∠=︒又CD AB ⊥，90BDE EDC ∴∠=︒-∠904050=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】此题考查两直线平行内错角相等，垂直于同一条直线的两直线平行，互余角的求法，正确理解平行线的性质是解题的关键．变式1．（2019·上海虹口·七年级阶段练习）下列推理判断正确的是（ ）A ．a①b ，b①c ，c①d ，∴a①dB ．1l ①2l ，2l 3l ⊥，1l ∴①3l （123l l l 在同一平面内）C ．如图，AB①CD,12∠∠∴=D ．如图，AD①BC,34∴∠=∠【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定与性质进行判断即可.【详解】 A.a①b ，b①c ，c①d ，∴a①d ，正确； B. 1l ①2l ，2l 3l ⊥，1l ∴①3l （123l l l 在同一平面内），故此选项错误；C. 如图，AB①CD,34∴∠=∠，故此选项错误；D. 如图，AD①BC,12∠∠∴=，故此选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解决问题的关键.变式2．（2021·辽宁营口·七年级期末）如图，①ABC 中，AH①BC ，BF 平分①ABC ，BE①BF ，EF①BC ，以下四个结论：①AH①EF ，①①ABF=①EFB ，①AC①BE ，①①E=①ABE ，正确的是( )A ．①①①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】D【解析】【详解】 解：①AH①BC ，EF①BC ，①①AH①EF正确；①BF平分①ABC，①①ABF=①CBF，①EF①BC，①①EFB=①CBF，①①①ABF=①EFB正确；①BE①BF，而AC与BF不一定垂直，①BE①AC不一定成立，故①错误；①BE①BF，①①E和①EFB互余，①ABE和①ABF互余，而①EFB=①ABF，①①①E=①ABE正确．故选D．变式3．（2020·辽宁黑山·七年级期中）如图，木工师傅在一块木板上画两条平行线，方法是：用角尺画木板边缘的两条垂线，这样画的理由有下列4种说法：其中正确的是()①同位角相等，两直线平行；①内错角相等，两直线平行；①同旁内角互补，两直线平行；①平面内垂直于同一直线的两条直线平行．A．①①①B．①①①C．①①①D．①①【答案】C【解析】【详解】解：如图①①1=①2=90°①①1+①2=180°，①a//b；①①1=①3=90°①a//b；①a①c，b①c，①a//b故①①①正确；故选C考点：平行线的判定。
人教版七年级数学下册平行线的判定练习题含答案
【分析】先根据切线的性质得出BC⊥AB，再根据平行线的判定得出 ，再根据平行线分线段成比例，得出 ，根据点O是AB的中点， cm，求出OD，即可得出结果．
【详解】解：∵ 切⊙O于 ,
∴BC⊥AB，
∵DO⊥AB，
∴ ，
∴ ，
∵点O是AB的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ cห้องสมุดไป่ตู้，
∴OD=4cm，
∵OA=OD，
【详解】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∵∠BAD＋∠ABC＝180°，
∴AD BC（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
C、∵∠3＝∠4，
∴AD BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB CD（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题关键．
6．D
【分析】根据平行线的判定逐一判定即可．
【详解】解：A.由 不能推理出 ，故不符合题意；
B.由 不能推理出 ，故不符合题意；
C.由 不能推理出 ，故不符合题意；
D. ∵∠4+∠5=180°时能推出 ，又∵∠1=∠5，∴由 能推理出 ，故符合题意；
∴∠1＝（）
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）
∴EF （）
∴∠2＝（）
∴∠1＝∠2（）
13．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
14．如图，已知AC⊥BC于点C，∠B＝70º，∠ACD＝20º．
(新人教版)数学七年级下册：5.2.2《平行线的判定》例题及练习(含答案)
平行线的判定一、学习目标会用平行线的判定定理判定两直线平行。
1、会用同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补判定两条直线平行。
2、能利用平行线判定的三个方法，进行较简单的综合运用和推理。
二、要点指津我们已经学习了四种证明两条直线平行的方法。
同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
这四种方法是解题中常用的，要根据题目的不同条件，灵活选择方法。
三、例题分析[例1]如图，直线a、b被直线c所截，∠1=∠2，判断a、b的位置关系，如何证明？解题思路：∠1和∠2不是同位角、不是内错角、不是同旁内角。
应借助对顶角，转化成如上两种角的关系，来证明a∥b。
解：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3∴a∥b（同位角相等，两直线平行）[例2]我们不能直接利用定义来判断两直线是否平行，因此，我们寻找另外一些判断方法。
看模型，将木条a，c固定在一起，转动b木条，可以看到当b转动到不同的位置时，∠2的大小也随之变化，换句话说，当∠2从小变大时，直线b使从原来在右边与直线a相交，变到在左边与a相交，在这个过程中，存在一个与a不相交，即与a平行的位置,那么∠2多大时，a//b呢？如图所示提示：从上节画平行线的过程可以看出，画平行线的过程，实际上是过P点画∠DHG=∠BGF 的过程，而∠DHG和∠BGF正是直线AB，CD被EF截得的同位角，这就是说，如果同位角相等，那么两直线平行。
参考答案：公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
说明：上述情境中的∠2的大小应与a与c所夹的角相等时，a//b。
即同位角相等，两直线平行。
[例3]两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角，内错角，同旁内角。
我们已经知道，由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么能不能利用内错角或同旁内角判定两条直线平行呢？提示：直线a,b被C所截，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错角，∠1与∠3是对顶角，如果∠3=∠2，由∠3=∠1可得到∠1=∠2，于是a//b。
专题02 平行线的判定与性质-2023-2024学年七年级数学下册同步学与练(人教版)(原卷版)
专题02 平行线的判定与性质1．（2022秋•项城市期末）如图，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．把以下证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．证明：∵∠B＝∠ADE（已知）∴∥（）∴∠EDC＝∠DCB（）又∠EDC＝∠GFB（已知）∴∠DCB＝（等量代换）∴∥（）2．（2023秋•道里区校级期中）将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝④（等量代换），所以EF∥AB（⑤）．3．（2022秋•尤溪县期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．4．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．小明添加的条件：∠B＝∠ADG．请你帮小明将下面的证明过程补充完整．证明：∵EF∥CD（）∴∠BEF＝（）∵∠B＝∠ADG（添加条件）∴BC∥（）∴∠CDG＝（）∴∠BEF＝∠CDG（）．5．（2022秋•长春期末）请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，∴∠2＝，（等量代换）∴AE∥FD∴∠A＝∠BFD∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝（等量代换）∴∥CD∴∠B＝∠C．6．（2022秋•闽清县期末）如图，AB∥CD，E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：（1）∠B＝∠D；（2）AD∥BE．7．（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．8．（2022秋•淇县期末）如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．9．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．30．（2023春•驿城区校级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．11．（2023秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程，并在括号里填写推理依据：如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．证明：∵AB∥EF（已知），∴∠APE＝，∵EP⊥EQ（已知），∴∠PEQ＝90°），即∠QEF+∠PEF＝90°，∴∠QEF+∠APE＝90°，∵∠EQC+∠APE＝90°（已知），∴∠EQC＝（），∴EF∥（），又∵AB∥EF，∴AB∥CD（）．12．（2022秋•邓州市期末）如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（），∠AMC+∠AMD＝180°（），所以∠BAM＝∠AMC（）．因为AE平分∠BAM，所以（）．因为MF平分∠AMC，所以，得（），所以（）．13．（2022秋•桐柏县期末）完成下面推理过程．如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（）∴∠1＝（）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（）∴∠2＝（）∴∠1＝∠2（）14．（2023秋•天山区校级期中）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．15．（2023春•覃塘区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．16．（2023春•新化县期末）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13，求点F到直线AB的距离．17．（2023春•温州月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．18．（2023春•仙居县期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．求证：（1）GH∥EF；（2）∠CMH＝∠BNE．19．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．20．（2023春•金牛区校级期中）如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．（1）求证：直线l1∥l2；（2）如图2，点Q在直线l1上（B点左侧），AM平分∠BAQ交l1于点M，过点M作MN⊥AD交AD于点N，请猜想∠BQA与∠AMN的关系；并证明你的结论；（3）若点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．21．（2023春•义乌市校级期中）今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝；（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．22．（2022秋•萍乡期末）已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB．（1）如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；（2）如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．23．（2022秋•鲤城区校级期末）如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．（1）已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；（2）求证：FH平分∠GFD．（3）在（1）的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH与△EBF某一边平行？（4）在（3）的条件下，直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系．24．（2023秋•香坊区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一点，连接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度数．25．（2023秋•吉林期中）如图①，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠ACB＝∠E＝90°，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，如图②，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转的过程中：（1）当∠α＝°时，DE∥BC，当∠α＝°时，DE⊥BC；（2）如图③，当顶点C在△DEF的内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①求出此时∠α的度数范围；②∠1与∠2的度数和是否变化？若不变，请直接写出∠1与∠2的度数和；若变化，请说明理由．。
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线知识点复习
（7） 同旁内角互补；（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离； （9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; （10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （11） 两直线不相交就平行；（12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习:1、下列说法正确的是( ）Ａ、相等的角是对顶角 B 、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 C 、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。
D 、过一点有且只有一条直线与已知直线平行1. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到B Ｃ的距离是__＿__,点Ｂ到ＡC 的距离是_____＿＿，点Ａ、B 两点的距离是＿____,点C 到AB 的距离是_＿_____＿．2. 设a 、b 、ｃ为平面上三条不同直线,a) 若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是＿________； b) 若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是＿_＿_＿____； c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________． 考点二:相关推理（识记)(1）∵a ∥c,b ∥c(已知） ∴＿__＿_＿ ∥___＿＿_() （2)∵∠1=∠２，∠2=∠3（已知） ∴______ =___＿_＿(） （3)∵∠1+∠2=1８0°，∠2=30°（已知) ∴∠1=______()(4）∵∠１＋∠2=9０°，∠2=2２°(已知） ∴∠1=_＿＿＿__（） (5）如图(1）,∵∠AO Ｃ=55°（已知） ∴∠BOD=______() （６）如图(1)，∵∠AOC ＝５5°(已知） ∴∠BOC ＝______()（7）如图(1）,∵∠AOC=21∠ＡOD,∠AOC+∠AOD=18０°(已知） ∴∠ＢOC=______()（1) （2) (3） （4) （８)如图（２),∵a ⊥b(已知） ∴∠1=_＿____（） （9）如图（2),∵∠１＝＿＿____（已知) ∴a ⊥ｂ（）（1０）如图(３）,∵点C 为线段AB 的中点 ∴A Ｃ=_____＿（） (11） 如图（３)，∵ AC=BC ∴点C 为线段AB 的中点（） (12)如图(4),∵a ∥b(已知) ∴∠1＝∠2（) （13）如图(4),∵a ∥ｂ(已知） ∴∠1=∠３（） (14）如图(4）,∵ａ∥ｂ(已知) ∴∠1＋∠4=() (15)如图(4），∵∠１=∠2（已知) ∴a ∥b() (16)如图（４）,∵∠1=∠3(已知) ∴ａ∥b() （17)如图(4）,∵∠1+∠４=(已知） ∴a ∥ｂ（)ab11 234ab...ACB考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算例题1:如图5-1，直线A Ｂ、C Ｄ相交于点O ，对顶角有＿＿__＿＿___对,它们分别是_________，∠ＡOD 的邻补角是____＿___＿。
人教版七年级数学下册5.2.2 平行线专题复习 1课时 平行线的判定方法
平行线专题复习1课时平行线的判定方法[命题角度1] 根据图形(位置关系)添加条件(数量关系),确定两直线平行首先,确定需说明平行的两条直线;然后,根据图形找出同位角、内错角、同旁内角;最后,根据角的类型选择需要添加的数量关系.图5-2-23例如图5-2-23,若∠1=52°,则当∠C为多少度时,能使直线AB∥CD?解:要判断AB∥CD,由图形知∠1和∠C为一对同位角,只要这两角相等,即∠C=∠1=52°即可.[命题角度2] 已知两角间的关系(位置关系和数量关系),写出平行的两条直线首先,根据图形确定两角的位置关系(同位角,内错角或同旁内角);然后,根据题意确定两角的数量关系;最后,由判定定理写出可以平行的两条直线.图5-2-24例如图5-2-24所示,(1)如果∠1=∠3,可以推出AB∥CD,其理由是内错角相等,两直线平行.②如果∠2=∠4,可以推出AC∥BD,其理由是内错角相等,两直线平行.A. ∠1=∠2B. ∠1=∠5C. ∠1+∠3=180°D. ∠3=∠52. 如图，已知∠1=70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件（）A．∠2=70°B．∠2=100°C．∠2=110°D．∠3=120°3．如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是．4. 如图，直线a、b、c被直线l所截.（1）从∠1＝∠2可以得出_______，根据是__________;（2）从∠4+∠3=180º可以得出_______，根据是_____________.5. 已知，如图,∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？为什么？答案1. C2. C3. AD与BC4.（1）a∥b同位角相等，两直线平行（2）a∥c同旁内角互补，两直线平行5. 解：AB∥CD．理由如下：∵CF⊥DF，∴∠CFD=90°．∵∠1+∠CFD+∠BFD=180°，∴∠1+∠BFD=90°．∵∠1与∠D互余，∴∠1+∠D=90°，∴∠BFD=∠D，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．。
人教版数学七年级下册第五章平行线笔记复习总结
平行线知识点一平行线的有关概念1.平行线：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线。
平行用符号：“∥”表示如图直线 AB 与直线 CD 是平行线，记作AB∥CD。
读作“AB 平行CD”AC在同一平面内，两条直线不相交就平行。
（位置关系）2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
ba3.推论: 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即：如果a∥b，c∥b，那么a∥c ( 平行线的传递性)cba DB例 1：已知直线 a、b、c 在同一平面内，则下列说法错误的是（）A．如果a∥b，b∥c，那么a∥cB．a⊥b，c⊥b，那么a∥cC．如果 a 与 b 相交，b 与 c 相交，那么 a 与 c 一定相交D．D．如果 a 与 b 相交，b 与 c 不相交，那么 a 与 c 一定相交【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可．【解答】解：A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，说法正确；B．a⊥b，c⊥b，那么a∥c，说法正确；C．如果 a 与 b 相交，b 与 c 相交，那么 a 与 c 不一定相交，a 与 c 可能平行所以说法错误；D．如果 a 与 b 相交，b 与 c 不相交，那么 a 与 c 一定相交，说法正确．故选 C知识点二平行线的判定判定定理 1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
若∠1=∠2，则a∥b判定定理 2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：内错角相等，两直线平行。
若∠1=∠3，则a∥b判定定理 3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
若∠1+∠4=180°例 1：如图，下列推理错误的是（）A．∵∠1=∠2，∴c∥d B．∵∠3=∠4，∴c∥dC．∵∠1=∠3，∴a∥b D．∵∠1=∠4，∴a∥b【分析】A、根据内错角相等，两直线平行进行判定；B 根据同位角相等，两直线平行进行分析；C 中∠1，∠3 不是同位角，也不是内错角，因此不能判定直线平行；D 根据内错角相等，两直线平行进行判定．【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴c∥d，正确，不符合题意；B、∵∠3=∠4，∴c∥d，正确，不符合题意；C、∵∠1=∠3，∴a∥b，错误，符合题意；D、∵∠1=∠4，∴a∥b，正确，不符合题意；故选：C．例 2：已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．【分析】由∠A=∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C=∠FEC，又由∠C=∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．【解答】证明：∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠FEC，∵∠C=∠D，∴∠D=∠FEC，∴BD∥CE．知识点三平行线的性质性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
5.2平行线及其判定2024年七年级数学下学期重点题型方法与技巧(人教版)(原卷版)
第五章相交线与平行线5.2 平行线及其判定1 平行线（1）定义两直线a，b永不相交，我们说直线a与b互相平行，记作a//b。
（2）平行公理同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.（3）平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说，如果a//b，a//c，那么b//c。
2 平行线的判定①同位角相等，两直线平行；即如果∠1=∠2，则a//b；②内错角相等，两直线平行；即如果∠2=∠3，则a//b；③同旁内角互补，两直线平行；即如果∠2+∠4=180°，则a//b.【题型1】平面内两直线位置关系【典题1】如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是()个．A．3个B．1或3个C．1或2或3个D．0或1或2或3个【巩固练习】1. (★)在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对2. (★)下列说法正确的是()A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．两条不相交的直线一定是平行线C．同一平面内没有公共点的两条线段平行D．同一平面内没有公共点的两条射线平行3. (★)如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是()A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定4.(★)如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有()A．1条B．2条C．3D．4条5. (★★)如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有．【题型2】平行公理及其推论的应用【典题1】下列说法中，正确的个数为()(1)过一点有无数条直线与已知直线平行(2)如果a∥b，a∥c，那么b∥c(3)如果两线段不相交，那么它们就平行(4)如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个B．2个C．3个D．4个【典题2】作图题：(只保留作图痕迹)如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：(1)过点A作BC的平行线；(2)过点C作AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；(3)过点B作AB的垂线．【巩固练习】1. (★)下列推理正确的是()A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥dC．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c2.(★)平面内有三条直线a、b、c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的是()A．只有①B．只有②C．①②都正确D．①②都不正确3. (★)下列说法正确的是()A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥cB．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥cD．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c4. (★★)如图所示，在∠AOB内有一点P．(1)过P画l1∥OA；(2)过P画l2∥OB；(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？5. (★★)如图，按要求画图并回答问题：(1)过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；(2)过点D画线段DE∥AB，交AC的延长线于点E；(3)∠E的同位角是，内错角是；(4)在线段AB，AC，AD中，最短的是，理由为．【题型3】平行线的判定【典题1】如图，已知直线AB、MN、EF交于点O，∠OFD=90°，垂足是F，∠1=40°，∠2=50°，请在括号内补全判断AB∥DN的说理过程或依据．解：∵∠1=40°（已知），∠1=∠EOM（），∴∠EOM=40°（），∵∠2=50°（已知）∴∠EOM+∠2=40°+50°（），∴∠EOB=90°（）∵∠OFD=90°∴∠EOB=∠OFD（）∴AB∥ND（）【典题2】四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证：(1)∠1+∠2＝90°；(2)BE∥DF．【巩固练习】1. (★)如图，下列推理不正确的是()A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BCC．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC D．∵∠4＝∠5，∴AB∥CD2. (★)如图，下列条件无法判断AE∥CD的是()A．∠1＝∠2B．∠3＝∠BCDC．∠4＝∠5D．∠AEC+∠DCB＝180°3. (★★)如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝120°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是()A．∠BOE＝60°B．∠DOF＝30°C．∠AOF＝30°D．∠BOE+∠AOF＝90°4.(★★)如图，某工件要求AB∥ED，质检员小李量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，∠EDC ＝154°，则此工件．(填“合格”或“不合格”)5. (★)如图，在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t的值为．6. (★★)如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．7. (★★)如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=62∘,∠2=62∘,∠3=118∘，找出图中的平行线，并说明理由．8.(★★★)已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．（1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系．【A组基础题】1. (★)下列说法中错误的个数是()(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种；(4)不相交的两条直线叫做平行线．A．1个B．2个C．3个D．4个2. (★)下列说法正确的是()A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c3. (★)如图，下列条件中，能判断直线AB∥CD的是()A．∠2＝∠1B．∠1+∠2＝180°C．∠BAD＝∠BCD D．∠3＝∠44. (★)如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，则下列说法正确的是()A．AB∥CD B．AC⊥CD C．∠D＝60°D．AD∥BC5. (★)如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由．6. (★)直线a,b垂直，记作a⊥b，现有2019条直线a1，a2，a3，…，a2019，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，则直线a1与a2019的位置关系是．7. (★★)如图，∠D＝140°，当∠B与∠C满足时，AB∥DE．8. (★★)如图，直线AB，CD交于点O，点E在直线CD上，根据下列语句画图并回答问题：(1)画图：①过点E画直线AB的垂线段EH，垂足为点H；②过点E画直线AB的平行线MN；③画∠AOE的角平分线OP，交直线MN于点P；(2)线段EH与EO的大小关系是，依据是；(3)若∠OEH＝30°，则∠OPE＝°．9. (★★★)如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1=∠ACB，试说明：BF∥AC．因为BE平分∠DBF（），所以∠1=∠2 ，又因为∠1=∠ACB（），所以∠2=∠ACB（）．所以BF∥AC（）．10. (★★★)如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2：∠3=2：5．（1）求∠BOF的度数；（2）试说明AB∥CD的理由．【B组提高题】1.(★★★★)如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为()时，CD与AB平行．()A．4秒B．10秒C．40秒D．4或40秒。
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期中复习专题——平行线问题
一、基础训练
1．如图，由AB ∥CD ，得∠1等于( ) A ．∠2 B ．∠3 C ．∠4 D ．∠5 2．如图所示，下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是( )
A ．A
B ∥EF ，CD ∥EF B ．∠5＝∠A
C ．∠ABC ＋∠BC
D ＝1800 D ．∠2＝∠3
3．如图所示，在下列条件中，不能判断l 1∥l 2的是( )
A ．∠1＝∠3
B ．∠2＝∠3
C ．∠4＋∠5＝1800
D ．∠2＋∠4＝1800
4．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与∠1互余的角的个数是( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 5．如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于
E 、
F ，E
G 平分∠BEF ，若∠1＝500， 则∠2＝( )
A ．500
B ．600
C ．650
D ．750
6．已知：A (－2，4)，AB ∥x 轴，AB ＝5，则B 点的坐标为________________．
7．如图，已知∠ABC ＝∠ADC ，∠1＝∠2，则图中有哪些平行的线段？并说明理由．
8．如图，AC 平分∠BAD ，∠1＝∠2，求证：CD ∥AB ． A B C
D
E E
1 3
2 4 5
第1题图
A B
C
D E
E 1
2
3 4
5
1
2
3
4
5 第2题图
第3题图
l 1 l 2
第4题图
6
1
5 3 4
2
A
B
C
D
G
E E 第5题图
1
2
A B C
2
1
A
C
D
2
1
3
9．已知如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ∥AD ，那么∠A 与∠C ，∠B 与∠D 的大小关系如何？请说明你的理由．
10．如图所示，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ，∠1＋∠2＝900，那么，直线AB 、CD 的位置关系如
何？说明你的理由．
11．如图所示，已知∠O EB ＝1300，∠F O D ＝250，O F 平分∠E O D ，试说明AB ∥CD ．
12．如图，直线AD 与AB 、CD 相交于A 、D 两点，EC 、BF 与AB 、CD 相交于E 、C 、B 、F ，如果∠1
＝∠2，∠B ＝∠C ，说明∠A ＝∠D ．
13．如图，已知∠1＋∠2＝l800，∠3＝∠B ，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并对结论进行证明． A B
C D A B C D
E
1 2
A B C D
O E E A B E H
C E
D G 1 2
A B C E
D 1
2
4 3
14．请填写下列说理中的推理过程或依据，如图，AD ⊥BC 于D ，
EG
⊥BC 于G ，∠E ＝∠3，试说明：AD 平分∠BAC ．
证明：∵AD ⊥BC ，EG ⊥BC (已知)， ∴_________＝___________，(垂直的定义) ∴AD ∥EG ，( ) ∴_________＝∠E ，( ) ________＝∠3．( ) ∵∠3＝∠E (已知)
∴_________＝___________，(等量代换) ∴AD 平分∠BAC ．( )
二、能力训练
15．如图，M .N ∥GH ，点B 在MN 上，点A 、C 在GH 上，BD 、CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ． ⑴证明：∠BDC ＝MBD ＋∠DCA ；
⑵当B 点在MN 上移动时，2∠BDC －∠BAC 的值是否变化？证明你的结论．
16．如图，MN ∥EF ，C 为两直线之间一点．
⑴若∠CAN 与∠CBF 的平分线交于点D ，求证∠ACB ＝2∠ADB ；
⑵若∠CAM 与∠CBE 的平分线交于点D ，∠ACB 与∠ADB 有何数量关系？井证明你的结论；
⑶若∠CAM 的平分线与∠CBF 的平分线所在的直线交于点D ，请直接写出∠ACB 与∠ADB 之间的数量关系为___________________________．
B G D
E A
E
1 2 3
M N G H A D B C
M
N E E A D B C M N E E A D
B C M N E
E
A D
B
C
17．已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B分别在两坐标轴上，∠OAB的邻补角与∠OBA的邻补角的角平分线交于点M．
(1)求∠M的度数；
(2)如图，过B作BC⊥AB交x轴于点C，作∠ACB的角平分线CN，观察图形，你发现BM、CN之间是否有特定的位置关系呢？证明你的结论；
(3)如图，已知A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，2），C点的坐标为（－1，0），试问：在y轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积恰好等于△ABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明你的理由．
18．已知点A(0，2)，将线段AB平移，使A平移到C(－3，0），B平移到D(1，－2)．CD交y轴于E．(1)求B点的坐标；
(2) P为x轴上一动点，若
ABP
S＝5，求p点的坐标；
(3) 若∠AED的角平分线与∠ABx的平分线交于F，求∠F的度数；
(4) 若P点在线段OC上运动，DQ∥x轴，CQ∥AP，∠APB的外角平分线PE与∠CDQ的平分线DF 交于点E，请求出∠PEF与∠P AB的数量关系．。