概率统计 第二章 离散型随机变量.

以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值 为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p， 发生的概率为1-p=q。 (X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
A
AA A A A A A A A A A A AA A A A A
因此X的分布律为
P ( X k ) C 0 .6 0 .4
k 7 k
7k
, k 0 ,1, 2 ,..., 7
所求概率为 P ( X 4 ) P7( X 4 ) P ( X 5 ) P ( x 6 ) P ( X 7 )

C
k 4
k 7
( 0 .6 ) ( 0 .4 )
k
( p q) 1
n
k 0
正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二 项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为 0-1分布。
例2.6 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见 的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见 相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见， 并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概 率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人 数”， 则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出 正确意见）,X~B(7,0.6)。
1 X 0 当 e1 发生时 当 e 2 发生时
即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同 的问题参数p的值不同而已。
3、超几何分布（参见第一章）
4、二项分布
(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。 设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。 在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发 生的次数。
2.1随机变量的概念
定义2.1.1设E是一个随机试验，Ω={e}是试验E的 样本空间，如果对于Ω中的每一个样本点e，有一 实数X(e)与之对应，这个定义在Ω上的实值函数 X(e)就称为随机变量。 由定义可知，随机变量 X(e)是以样本空间Ω为定 义域的一个单值实值函数。
有关随机变量定义的几点说明： (1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点e的函数， 常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母、、 等表 示。 (2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验 结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预 知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“a<X<b”的 概率是确定的； (3)随机变量X(e)的值域即为其一切可能取值的全体构 成的集合； (4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而 且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。

1 4 1 24
P ( X 3 ) P ( A1 A 2 A 3 )
0 X~ 1 4 1 11 24 2 1 4 3 1 24
二、常见的离散型随机变量的分布 1.几何分布 设随机变量X的可能取值是1,2,3,…,且 P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，… , 其中0<p<1是参数，则称随机变量X服从参数 p为的几何分布。
5
P ( X 1) P ( A1 A 2 A3 A 4 A5 A1 A 2 A3 A 4 A5 ...) 5 p (1 p )
P ( X 2 ) P { A1 A 2 A3 A 4 A5 A1 A 2 A3 A 4 A5 ...) C 5 p (1 p )
2 2
4
3
P ( X k ) C 5 p (1 p )
k k
5k
k 0 ,1,..., 5
例2.5 用一台机器独立地制造3个同种零件,第i个 零件不合格的概率为pi=1/(i+1), I=1,2,3.以X表示 三个零件中不合格品的个数，求X的分布律。 解:设Ai表示第i个零件不合格,它们之间互相独立.

3 4

1 2

1 3

3 4

1 2

2 3

1 4

11 24
P ( X 2 ) P ( A1 A 2 A3 ) P ( A1 A 2 A3 ) P ( A1 A 2 A3 )

1 2

1 3

3 4Biblioteka 1 22 3

1 4

1 2 1 2

1 3 1 3

1 4 1 4
X P 1 1/15 2 6/15 3 2/15 4 5/15 6 1/15
例2.3 一个地铁车站，每隔5分钟有一列地铁 通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时 间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车 的时间X是一个随机变量，而且X的取值范围 是 [0，5]
2.2
一维离散型随机变量
一、 一维离散型随机变量及其分布律 1、离散型随机变量的概念（定义2.2.1) 若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或 可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变 量。 讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性， 要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知 道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。
几何分布背景：
随机试验的可能结果只有2种，A与 A
试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次 试验，前k-1次失败，第k次成功。如射击某个 目标，直到击中为止。
2、（0，1）分布 若随机变量X的分布律为： P(X=k)=pk(1-p)1-k， k=0，1，(0<p<1)
则称X服从以p为参数的0-1分布，记为X~B(1,p)。
例2.8 某人独立地射击，设每次射击的命中率 为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概 率。 解 每次射击看成一次试验，设击中次数为X， 则 X~B(400,0.02)， X的分布律为
2、分布律
设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1, x2, …, xk, …, 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pk, …, 即 P(X=xk)=pk, (k=1, 2, … ) 而且满足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1, 2, … )
（2）
P ( X xk )
此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式，记为
B ( k ;n , p ) C n p q
k k nk
, k 0 ,1, 2 , , n ; q 1 - p ) (
（2）二项分布定义（P37）
若随机变量X具有概率分布律
P(X k) Cn p q
k k nk
, k 0 ,1, 2 , , n
k 1

pk 1
k 1
则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, … ) 为随机变量X 的概率分布 律，简称分布律。 分布律可用概率分布表 表示为： X x1 x2 x3 … P p1 p2 p3 … xk pk … …
x1 , x 2 , x k , 或写作:X~ p1 , p 2 , p k ,
k个 n k个 k 1个 n k 1个 n k个 k个
这里每一项表示k次试验中出现A，而另外n-k次试验中出 现 A ，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。 由4°独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)1-k，因此
P(X k) Cn p q
k k nk
, k 0 ,1, 2 , , n
0-1分布的分布律也可写成
X
P
1
p
0
1-p
即随机变量只可能取0，1两个值，且取1的概率为p， 取0的概率为1-p (0<p<1)，亦即
P(X=1)=p， P(X=0)=1-p。
若某个随机试验的结果只有两个，如产品 是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正 面等等，它们的样本空间为S={e1,e2},我们总 能定义一个服从0-1分布的随机变量
第二章
• • • • •
离散型随机变量
2.1 随机变量 2.2一维离散型随机变量 2.3一维分布函数 2.4二维离散型随机变量 2.5条件分布与随机变量 的独立性 • 2.6随机变量函数的分布
在第一章中，我们用样本空间的子集，即基本事件的集合 来表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试 验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中， 我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即引入随机变量的 概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计 规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随 机试验。 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来， 即建立对应关系X，使其对试验的每个结果e，都有一个实数 X(e)与之对应， 对应关系X 试验的结果e 实数X(e) 则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在 每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个 随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量。
1 2 P(X k) C 3 3
k 6 k 6k
k 0 ,1,..., 6
(2) P ( X 5) P ( X 5) P ( X 6)
13 1 2 1 C 729 3 3 3
5 6 5 6
其中p+q=1，则称随机变量X服从以n，p为参数的二 项分布，记为X~B(n,p) （或称贝努里分布）。
可以证明： P ( X k ) C n p q
k k
nk
0, k 0 ,1, 2 , , n
k nk

Cn p q
k k nk
n
P(X k)
k 0

n
Cn p q
例2.2 一正整数n等可能地取1,2,3,…,15共十五个 值，且设X=X(n)是除得尽n的正整数的个数， 则X是一个随机变量，且有下表：
n 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 4 7 2 8 4 9 3 10 4 11 2 12 6 13 2 14 4 15 4
X(n) 1
即可得X取各个可能值的概率为：
关于随机变量(及向量)的研究，是概率论 的中心内容．这是因为，对于一个随机试验， 我们所关心的往往是与所研究的特定问题有 关的某个或某些量，而这些量就是随机变 量．也可以说：随机事件是从静态的观点来 研究随机现象，而随机变量则是一种动态的 观点，一如数学分析中的常量与变量的区分 那样．变量概念是高等数学有别于初等数学 的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤 立事件的概念发展为一个更高的理论体系， 其基础概念是随机变量。
分布律也可用概率分布图表示：
例2.4 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标 的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。 解 设Ai 第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5
则A1, A2，…，A5相互独立，且 P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},
P ( X 0 ) P ( A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) (1 p )
k
7k
0 . 7102
例2.7 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在 各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的 概率都是1/3。 (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律； (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。
解 (1)由题意，X~B(6,1/3)，故X的分布律为：
例2.1 一批产品中任意抽取20件作质量检 验，作为检验结果的合格品的件数用X表示， 则X是随机变量。X的一切可能取值为 0，1，2，…，20 {X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合 格品”； {X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1 件合格品”； …… {X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k 件合格品”。
P ( X 0 ) P ( A1 A 2 A3 )


i 1
3
P ( A i ) (1
1 2
)( 1
1 3
)( 1
1 4
)
1 4
P ( X 1) P ( A1 A 2 A3 ) P ( A1 A 2 A3 ) P ( A1 A 2 A3 )

1 2

2 3