Rossler混沌系统的追踪控制与同步

/#$*’9$（;<>-.： ;<>-. J.=K’&8=#+ )L I+/&-<M=7 -./ $M’7#&=7 $.*=N （ =. ,>=.’8’） ［陈士华、 陆君安 !44F 混沌 .’’&=.* O&’88，3<*<8#） 动力学初步 （武汉： 武汉水利电力大学出版社） ］ （ =. ,>=.’8’） ［刘 @=< P ’* +, !444 -.*+ !"#$ % /01 % ") ##$) !444 物理学报 ") ##$)］ （ =. ,>=.’8’） ［唐国宁 C-.* % Q ’* +, 6555 -.*+ !"#$ % /01 % "$ ’& 等 6555 物理学报 "$ ’&］ ［!5］ %<-.* R O ’* +, 655! -.*+ !"#$ % /01 % %& (! （ =. ,>=.’8’） ［关新平 等 655! 物理学报 %& (!］ 锋等
!"##$%& 混沌系统的追踪控制与同步 !
陈士华! 谢 进 陆君安 刘 杰
（武汉大学数学统计学院， 武汉 "#$$%&） （&$$’ 年 ( 月 ’# 日收到； &$$’ 年 ’$ 月 & 日收到修改稿）
对 )*++,-. 混沌系统进行控制， 使之追踪任意参考信号， 讨论了该控制系统的自同步以及与 /0.-12 混沌系统的 异结构混沌同步问题， 并利用 /3456107 方法证明了该控制系统指数收敛到参考信号 8 数值仿真进一步表明该方法 的有效性 8
+ , 数值研究结果
选取系统参数 . - + - * 1 . / 当 , 从 " / . 逐步增 加时可以观测到典型的倍周期分支现象 / , - . 时系 统 （*） 式呈现混沌状态 / !"#" $%&&’() 混沌系统追踪正弦信号 取参考信号为正弦信号 （ 此时控制 & " ）- /’0 " ， 器 - - 1 $ / " 2 $ 1 " / " ) 2 + ( 1 $( 1 /’0 " 1 "34/ " ， 取 初值 $ $ - *"， 那么可实现受控 67//&%8 ) $ - +， ( $ - 5， 混沌系统对正弦信号的追踪 / 由图 * 和图 " 可以看出， （ "） 追踪 （ 的速度 $ & "） 十分快 / !"*" $%&&’() 混沌系统的自同步 选择驱动系统与响应系统的结构相同， 即驱动 系统为
参考信号（ + ,） * 对于控制系统 （&） 式， 如果控制器 - 满 足 （#） 式， 则有 / , ）. . （ ,>= # （’ #!） , " $， ," % L 式中! 为任意正常数 * 证 设
& （ , ）" （! （ , ）# （ ） （ ,） + ,） 0 & , ）# ! %（（ & ） ， $ , ）% （ + , ）% ・ +（ , ） % （ 式中 ! （ ,） ， （ ,） ， （ 为控制系统 （&） 式的状态输出 $ & ,） 信号 * 经计算得到
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图" 误差信号 （ 的显示结果 5 "）
!"!" $%&&’() 混沌系统的异结构混沌同步
［;， *$］ 选择 948%0: 混沌系统
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Βιβλιοθήκη Baidu
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关键词：)*++,-. 混沌系统，/0.-12 混沌系统，追踪控制，同步
’())：$9"9
’E 引
言
混沌的研究是科学界热点问题之一， 而混沌控 制由于其在通讯、 信息科学、 医学、 生物、 工程等领域 中的巨大应用潜力和发展前途， 已引起国内外科研 工作者的广泛关注 8 混沌控制的含意非常广泛， 一般 而言， 指改变系统的混沌性态使之呈现或接近呈现 周期性动力学行为 8 目前已有多种控制混沌的方法 ［’］ ［&］ 问世， ， 输送控制方法 ， 工程反馈控制 FGH 方法 ［#］ ［"］ ［9， I］ 方法 ， 脉冲控制方法 和采样保持方法 等8 在混沌控制研究中， 追踪问题 （即通过施加控制 使受控系统的输出信号达到事先给定的参考信号） 尤为重要， 以往这方面的工作大多集中在讨论离散 ［&］ 系统， 对于连续系统 J4@K+01 发展的输送控制方法 虽可追踪给定的周期轨道， 但不能解决镇定问题， 而 且在应 用 中 受 收 敛 域 或 输 送 盆 的 限 制 8 本 文 针 对 提出一种控 )*++,-. 混沌系统的追踪问题进行研究， 制方案， 实现了系统对任意给定参考信号的追踪， 并 且在理论上证明这种控制方案是按指数收敛的， 最 后给出数值仿真结果， 表明此控制方案不仅可以对 给定参考信号进行追踪， 而且受控系统可以与混沌 驱动系统 （同结构异结构均可） 同步 8
， & " ( %（ & ! # )） 式中 ’ ， ， 要 (， ) 为系统参数 * 现给定参考信号 （ + ,） 设计一个控制器 - ， 使受控 )*++,-. 系统
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& " ( %（ & ! # ) ）% （ ,） 追踪给定的参考信号 （ ， 即满足 的输出信号 ! + ,） ,>= . （ / , ）. " $，
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" ’ 结论与展望
本文提出的追踪控制方法， 可以有效实现 万方数据
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物
理
学
报
B! 卷
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陈士华等： *+,,-./ 混沌系统的追踪控制与同步
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式中 2 （ "） 为参考信号， 此时控制器 - # $ % " / " ) ’ + ( % $( % 2 ’ " / " 3 % + 4 ’ 24 取初值 $ $ - *"， ) $ - +， ( $ - 5， 2 $ - "， 3 $ - 5， 4$ - . / 图 + 和图 5 分别给出了受控系统 （"） 式和驱动系统 （5） 式的输出信号/ 图 . 给出了误差信号 5 （ " ）（ "） （ "） ， 结果表明虽然受控系统与驱动系统的 $ 12 初值 不 同， 但 最 终 实 现 了 67//&%8 混 沌 系 统 的 自 同步 /
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图* 受控系统状态信号 （ 的显示结果 $ "）
% " ）0 0（ &’( % （* %!） " # $/ "" ’ ) % 由此定理易知， （ "） 按指数速率 收 敛 到 参 考 信 号 $ （ & "） /
第 9’ 卷 第 " 期 &$$& 年 " 月 （$"） ’$$$<#&:$ P &$$& P 9’ P $%":<$"
物
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定理
& E 追踪控制的设计及收敛性证明
［%， (］ 考虑 )*++,-. 系统
! 国家自然科学基金 （批准号： 资助的课题 8 ’:9#’$%$） !
万方数据 ;<=4>,： +?@?-1AB C6?--8 -D68 @1
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动系统 （#） 式的输出信号 % 图 $ 给出了误差信号 （ $ "） （ "） （ "） %! &# % 结果表明系统实现了异结构同步 %
同时 *+,,-./ 混沌系统对任意参考信号的追踪控制， 可以实现自同步以及异结构同步， 这种控制器形式 简单， 易于实现， 且收敛速度快， 控制范围宽 % 此方法 可以适用于其他混沌系统， 且可以进一步推广到对 多个状态变量的追踪控制问题 %