高中数学 涉及函数的实际应用问题研究(教师版)

专题四：涉及函数的实际应用问题研究

【题型导引】

题型一：函数实际应用问题

（1）一次函数的实际应用；（2）二次函数的实际应用；（3）一次与二次函数的综合应；（4）一次函数与反比例函数的综合应用。

题型二：方程、不等式与函数综合应用问题

（1）反比例函数与分式的综合应用；（2）一次函数和方程的综合应用；（3）函数与不等式的综合应用；【典例解析】

类型一：函数实际应用问题

例题1：(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大

客车以出发时速度的10

7继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在

驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．

请结合图象解决下面问题：

(1)学校到景点的路程为km，大客车途中停留了min，a＝；

(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？

(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待分钟，大客车才能到达景点入口．

【解析】(1)由图形可得学校到景点的路程为40km，大客车途中停留了5min，

小轿车的速度为

40

60－20

＝1(km/min)，

a＝(35－20)×1＝15. 故答案为40，5，15.

(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12

(km /min )． 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km )，40－1257－15＝507

(km )． 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507

km . (3)设直线CD 的表达式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20， ∴直线CD 的表达式为s ＝t －20.

当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.

小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107

＝35(min )， 小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32

(km /min )＝90 km /h ＞80 km /h . 答：小轿车折返时已经超速．

(4)大客车的时间：4012

＝80(min )，80－70＝10(min )． 故答案为10.

技法归纳：解答解决函数之间的综合题目时，结合题意进行审题后确定函数的类型是最关键的，已知量和未知量之间的关系式一次函数，反比例函数还是二次函数，往往题目中有所题型，这样我们就可以直接利用待定系数法写出解析式并根据相关条件解答，这一问题是基础也是关键，再根据后续的问题进行最值解答或者取值范围内的要求得到相应的答案.

类型二：方程、不等式与函数综合应用问题

例题2：（2019•四川省广安市•8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元．

（1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？

（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【解答】解：（1）设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元，

35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得，57

x y =⎧⎨=⎩， 答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；

（2）设购买A 型号的节能灯a 只，则购买B 型号的节能灯（200﹣a ）只，费用为w 元，

w ＝5a ＋7（200﹣a ）＝﹣2a ＋1400，

∵a≤3（200﹣a），

∴a≤150，

∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，

答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．

技法归纳：(1)方程、不等式与函数实际应用问题需要掌握以下几个类型的问题：一、一次函数与方程或不等式的综合应用，这类属于高频命题形式，考查内容可以涉及多个，如一次函数图象信息题，一次函数方案选择类型问题等，结合二元一次方程组、不等式、分式方程和一元二次方程等多种考查形式；二、二次函数与方程或不等式的综合应用，包括销售利润类，与一次函数结合等类型．(2)命题中常常以方程或方程组，根据已知条件确定某个量，利用不等式或不等式组确定变量的取值范围，再根据函数的性质解答问题．(3)利用表格、图例、函数图象等手段，利用实际问题中的数量关系是解决问题的基础，关于运用转化为方程、不等式或函数模型是解决问题的关键，把握数量间的内在联系，从整体着眼探索方法，从细微处思考争满分．

【变式训练】

1. （2019•浙江绍兴•8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．

（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．

（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．

【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．

1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：

150

6035

＝6千米；

（2）设y＝kx＋b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，得，

∴，

∴y＝﹣0.5x＋110，