现代控制理论复习题

现代控制理论复习题

一 判断题 （10分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。 （×）对一个系统，只能选取一组状态变量；

（√）由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （×） 一个传递函数只能有唯一的状态空间表达式。

（×）若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。 （×）若一个对象的连续状态空间模型是能观测的，则其离散化状态空间模型也一定是能观测的。 （×）对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（√）对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵的特征值都具有负实部是一致的。 （√）由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性； （×）若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的； （×）若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； （√）状态反馈不改变系统的能控性。

（√）线性定常系统的最小实现不是惟一的，但最小实现的维数是惟一的。

（×）一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则其状态空间表达式必定是既能控又能观测的。 （√）由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（×）若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。 （×）对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（√）对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵的特征值都具有负实部是一致的。 （√）由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性； （×）若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的； （×）若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； 二 填空题（共10分，每空一分）

1、同一系统,由于系统状态变量的选择不唯一,故建立的系统状态表达式 不唯一；但同一系统的传递函数阵却是 唯一 的，但 状态变量 个数等于系统中独立储能元件的个数。

2、状态空间表达式由状态方程和输出方程组成；状态方程是一个 一阶微分方程组 ，主要描述系统输入与系统状态的变化关系；输出方程是一个代数方程，主要描述系统的输出与状态和输入的关系。

3、线性定常系统从能控性和能观测性出发，可分解为能控能观测 、能控不能观测、不能控能观测和不能控不能观测四个子空间。

4、假如不稳定的线性定常系统是 完全能控 的，则一定存在线性状态反馈阵实现系统的镇定。假如线性定常系统的状态不完全能控，则存在线性状态反馈阵实现系统镇定的条件是系统的不能控部分为渐近稳定。

5、若系统能控且能观测，当用状态观测器估计值构成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器的设计可分别独立进行，即矩阵Ｋ和Ｌ的设计可 分别独立 进行。这称之为分离性原理。

6、状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控对象能控 。状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的 极点 。

7、李氏稳定性条件仅是 充分 条件，不是 必要 条件。

8、系统的镇定是指将闭环系统的 极点 配置到Ｓ平面的左半平面。 9、当系统阶数等于传递函数阵的阶数时，称该系统的一个 最小实现 。 三 问答题

1、定常线性系统经状态变量的非奇异线性变换哪些量和性质不变？P43（至少列举2项） 答：矩阵的维数、秩、迹、特征多项式、特征值和系统的能控性、能观测性都不变。

2、如果某个定常线性系统是开环不稳定的，能通过状态反馈使闭环稳定的条件是什么？☆ 答：系统状态方程的根均具有负实部，即所有根都位于z 域的左半平面。

3、利用李雅普诺夫第二方法判断定常线性系统渐近稳定的充分必要条件是什么？P204

答：在平衡状态0=e x 处定常线性系统渐近稳定的充分必要条件是：对任给的一个正定实对称矩阵Q ，存在一个正定的对称矩阵P ，且满足矩阵方程Q PA P A T

-=+，而标量函数()Px x x v T

=是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫

函数。

4、什么是系统的能控性和能观测性？为什么在经典控制论中没有引入这两个概念？P121-P132、P2 答：（1）系统的能控性：状态的能控性——系统的输入能否控制状态的变化；输出的能控性——系统的输入能否控制系统的输出。（2）系统的能观测性：系统状态的变化能否由系统的输出反映出来。（3）经典控制理论具有明显的局限性，

突出的是难以有效地应用于时变系统和多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性。 5、当我们将一个定常线性系统离散化时，是否会影响系统的能控性？

答：会有影响，具体影响：①如果线性定常系统是不能控的，则其离散化后的系统也必是不能控的；②如果线性定常系统是能控的，则其离散化后的系统不一定能控；③离散化后的系统能否保持能控性，取决于采样周期T 的选择；④线性定常系统离散化后，系统的能控性变差了。 四 简述题

(1)试解释状态变量、状态空间专业术语。P10-P11

答：状态变量是构成系统状态的变量，是指能完全描述系统行为的最小变量组中的每个变量。以状态变量为坐标轴构成的n 维空间称为状态空间。

(2)简述李雅普诺夫直接法稳定判别定理。P201

答：设系统的状态方程为()t x f x ,=•

，假定平衡状态()0,0=t f ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数()t x v ,，在围绕状态空间原点的一个域Ω内，使得对于非零状态()Ω∈0t x 和所有[)∞∈,0t t ，满足条件：①()t x v ,是正定且有界，②()t x v ,•

是负半定且有界，③对任意()Ω∈0t x 和所有[)∞∈,0t t ，()t x v ,•

在0≠x 时不恒等于零，则系统原点的平衡状态在域Ω内事是一致渐进稳定的。

(3)简述李雅普诺夫间接法对非线性系统稳定性的结论。P194

答：设非线性定常系统的自治状态方程为()x f x =•

，()x f 对状态向量x 有连续的偏导数，在平衡状态0=e x 处展成

泰勒级数，即得()x R Ax x +=•

，式中，A 为雅克比矩阵，则有：

（1）若A 得特征值都具有负实部，则系统是在e x 的足够小邻域内渐进稳定的。 （2）若A 的特征值中，至少有一个具有正的实部，则系统的平衡状态总是不稳定的。 （3）若A 的特征值中，至少有一个实部为零，则要研究原始非线性方程才能确定其稳定性。 (4)简述能控性判据方法。P125-P128

答：（1）状态能控性：线性定常系统

[]∑B A ,状态能控的充分必要条件为下列等价条件之一：①矩阵B e

At

-是行线性

无关的；②矩阵()B A sI 1

--是行线性无关的；③格拉姆矩阵τττd e B B e W T

A T t

A c •=

⎰

是非奇异的；④nr n ⨯能控性矩阵

[

]B A AB B

U n c 1-=

的秩是n ，即[

]

n B A AB B

rank rankU n c ==-1 。（2）输出的能控性：线性定常系统

[]∑D C B A ,,,，其输出完全能控的充要条件是：()r nr m +⨯矩阵[]

B CA B CA CAB CB D

n 12- 的秩为m ，

即[

]

m B CA B CA CAB CB D

rank n =-12 。（3）若系统矩阵A 为对角线型且特征值互不相同，则系统能控的

充要条件是输入矩阵B 没有任何一行的元素全部为零。

(5)简述能观测性判椐方法。P135-P136

答：（1）n CA CA C rank rankV n =⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=-10 ； (6)简述系统按能控性(能观性)分解的必要条件和方法。P152-P156

答：必要条件：系统的状态不完全能控和不完全能观测，也就是该系统的能控性矩阵c U 和能观测性矩阵0V 的秩分别小于n 。分解方法：逐步分解法和排列变换法。

(7)简述带状态观测器的状态反馈系统极点配置的分离性定理。P270

答：若系统能控且能观测，当用状态观测器估计值构成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器的设计可分别独立进行，即矩阵Ｋ和Ｌ的设计可分别独立进行，这称之为分离性原理。

()⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=n n n n n n T

x f x f x f

x f x f x f

x f x f x f x x f A

2

1

2221

2

121

11（2）若系统矩阵A 为对角线型且特征值互不相同，则系统能观测的充要条件是输出矩阵C 没有任何一列的元素全部为零。