2020-2021学年最新北京课改版九年级数学上学期期中考试综合模拟测试及答案解析-精编试题
【精品】人教版数学九年级上学期《期中检测卷》附答案
2021-2022学年第一学期期中测试人教版数学九年级试题学校________班级________姓名________成绩________考试时间120分钟满分120分一、选择题1.(2018·赤峰10/26)2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为()1x(x﹣1)＝38021C．x(x+1)＝3802A．B．x(x﹣1)＝380D．x(x+1)＝3802.(2020•江西6/23)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,将Rt△OA B向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O', A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛物线上,则直线A'B'的表达式为()A．y=x B．y=x+1C．y=x+12D．y=x+23.(2020•河北15/26)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲：若b=5,则点P的个数为0；乙：若b=4,则点P的个数为1；丙：若b=3,则点P的个数为1．下列判断正确的是()A．乙错,丙对B．甲和乙都错C．乙对,丙错D．甲错,丙对4.(2020•广东10/25)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,下列结论：①abc>0；②b2-4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0,正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个25.(2020•福建10/25)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax-2ax上的点,下列命题正确的是()A．若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2C．若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2B．若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2D．若y1=y2,则x1=x26.(2020•山西9/23)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+vt+h表示,其中h(m)是物体抛出时离地面的高度,v(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m7.(2020•北京4/28)下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是()A．B．C．D．8.如图,将△A B C绕点P顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ′,则点P的坐标是()A．(1,1)B．(1,2)C．(1,3)D．(1,4)9.在直角坐标系中,将点(－2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是()A．(4,－3)(0,3)10.在平面直角坐标系中,把点P(－5,3)向右平移8个单位得到点P1,再将点P1绕原点旋转90°得到点P2,则点P2的坐标是()A．( 3,－3)B．(－3,3)B．(－4,3)C．(0,－3)D．C．(3,3)或(－3,－3)D．(3,－3)或(－3,3)二、填空题11.(2020•上海10/25)如果关于x的方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,那么m的值是．12.(2020•通辽15/26)有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了个人．13.(2020•山西14/23)如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．14.(2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26)已知a,b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为．15.若函数y=(k-2)x16．如图,抛物线y＝k2+k-4是关于x的二次函数,则k=______．12x＋x＋3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移44个单位,则抛物线上P A段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．17．如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90︒而得,则AC所在直线的解析式是___．18．四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形,当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°(∠BAE=45︒)时,如图,连接DG,BE,并延长BE交DG于点H,且BH⊥DG．若AB=4,AE=2,则线段BH的长是________．三、解答题19.(2020•安徽16/23)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上．(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1,B1分别为A,B的对应点)；(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90︒得到线段B1A2,画出线段B1A2．20.如图,△A B C三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)．(1)请画出△A B C向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△A B C关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P,使△P A B的周小最小,请画出△P A B,并直接写出P的坐标．21.(2020•陕西24/25)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l．(1)求该抛物线的表达式；(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与∆AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标．22.(2020•江西22/23)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表：x⋯⋯-2m-1-31n2-3⋯⋯y(1)根据以上信息,可知抛物线开口向,对称轴为；(2)求抛物线的表达式及m,n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系．23.(2020•北京26/28)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y＝A x2+B x+C(A ＞0)上任意两点,其中x1＜x2．(1)若抛物线的对称轴为x＝1,当x1,x2为何值时,y1＝y2＝C；(2)设抛物线的对称轴为x＝t,若对于x1+x2＞3,都有y1＜y2,求t的取值范围．24.(2020•北京24/28)小云在学习过程中遇到一个函数y＝下面是小云对其探究的过程,请补充完整：(1)当﹣2≤x＜0时,对于函数y1＝|x|,即y1＝﹣x,当﹣2≤x＜0时,y1随x的增大而,且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1,当﹣2≤x＜0时,y2随x的增大而,且y2＞0；结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当﹣2≤x＜0时,y随x的增大而．(2)当x≥0时,对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表：xy121161|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)．6116327162152372……9548结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象．(3)过点(0,m)(m＞0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题：若直线l与函数y＝|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)的图象有两个交点,则m的最大值是．1625.(2020•安徽22/23)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过点A,抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由；(2)求a,b的值；(3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．26.(2020•新疆兵团23/23)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O顺时针旋转90︒后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A'MN,设点P的纵坐标为m．①当△A'MN在△OAB内部时,求m的取值范围；5②是否存在点P,使S△A'MN=S△OA'B,若存在,求出满足条件m的值；若不存在,请说明理由．6答案与解析一、选择题1.(2018·赤峰10/26)2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为()1x(x﹣1)＝38021C．x(x+1)＝3802A．[答案]B．[解析]解：设参赛队伍有x支,则x(x﹣1)＝380．故答案为：B．B．x(x﹣1)＝380D．x(x+1)＝38022.(2020•江西6/23)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,将Rt△OA B向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O', A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛物线上,则直线A'B'的表达式为()A．y=x[答案]B．2[解析]解：如图,抛物线y=x-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,B．y=x+1C．y=x+12D．y=x+2令y=0,解得x=-1或3,令x=0,求得y=-3,∴B(3,0),A(0,-3),2抛物线y=x-2x-3的对称轴为直线x=--2=1,2⨯1∴A'的横坐标为1,设A'(1,n),则B'(4,n+3),点B'落在抛物线上,∴n+3=16-8-3,解得n=2,∴A'(1,2),B'(4,5),设直线A'B'的表达式为y=kx+b,⎧k+b=2∴⎨,4k+b=5⎩⎧k=1解得⎨⎩b=1∴直线A'B'的表达式为y=x+1,故选：B．3.(2020•河北15/26)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲：若b=5,则点P的个数为0；乙：若b=4,则点P的个数为1；丙：若b=3,则点P的个数为1．下列判断正确的是()A．乙错,丙对[答案]C．B．甲和乙都错C．乙对,丙错D．甲错,丙对22[解析]解：y=x(4-x)=-x+4x=-(x-2)+4,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,∴甲、乙的说法正确；若b=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个,∴丙的说法不正确；故选：C ．24.(2020•广东10/25)如图,抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是x =1,下列结论：①abc >0；②b 2-4ac >0；③8a +c <0；④5a +b +2c >0,正确的有()A ．4个[答案]B ．[解析]解：由抛物线的开口向下可得：a <0,根据抛物线的对称轴在y 轴右边可得：a ,b 异号,所以b >0,根据抛物线与y 轴的交点在正半轴可得：c >0,B ．3个C ．2个D ．1个∴abc <0,故①错误；抛物线与x 轴有两个交点,∴b 2-4ac >0,故②正确；2直线x =1是抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的对称轴,所以-b=1,可得b =-2a ,2a由图象可知,当x =-2时,y <0,即4a -2b +c <0,∴4a -2⨯(-2a )+c <0,即8a +c <0,故③正确；由图象可知,当x =2时,y =4a +2b +c >0；当x =-1时,y =a -b +c >0,两式相加得,5a +b +2c >0,故④正确；∴结论正确的是②③④3个,故选：B ．y =ax 2-2ax 上的点,下列命题正确的5.(2020•福建10/25)已知P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是抛物线是()A ．若|x 1-1|>|x 2-1|,则y 1>y2C ．若|x 1-1|=|x 2-1|,则y 1=y2B ．若|x 1-1|>|x 2-1|,则y 1<y2D ．若y 1=y 2,则x 1=x2[答案]C．22 [解析]解：抛物线y=ax-2ax=a(x-1)-a,∴该抛物线的对称轴是直线x=1,当a>0时,若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2,故选项B错误；当a<0时,若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2,故选项A错误；若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2,故选项C正确；若y1=y2,则|x1-1|=|x2-1|,故选项D错误；故选：C．6.(2020•山西9/23)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地2用公式h=-5t+v0t+h表示,其中h(m)是物体抛出时离地面的高度,v(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()A．23.5m[答案]C．[解析]解：由题意可得,B．22.5m C．21.5m D．20.5mh=-5t2+20t+1.5=-5(t-2)2+21.5,故当t=2时,h取得最大值,此时h=21.5,故选：C．7.(2020•北京4/28)下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是()A．B．C．[答案]D．D．[解析]解：A、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意；C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意；D、既是中心对称图形,又是轴对称图形,符合题意．故选：D．8.如图,将△A B C绕点P顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ′,则点P的坐标是()A．[答案]B．(1,1)B．(1,2)C．(1,3)D．(1,4)[解析]解：∵将△A B C以某点为旋转中心,顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ′,∴点A的对应点为点A ′,点C的对应点为点C ′,作线段A A ′和C C ′的垂直平分线,它们的交点为P(1,2),∴旋转中心的坐标为(1,2)．故选：B．9.在直角坐标系中,将点(－2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是()A．(4,－3)(0,3)[答案]C．B．(－4,3)C．(0,－3)D．[解析]解：在直角坐标系中,将点(﹣2,3)关于原点的对称点是(2,﹣3),再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(0,﹣3),故选：C．10.在平面直角坐标系中,把点P (－5,3)向右平移8个单位得到点P 1,再将点P 1绕原点旋转90°得到点P 2,则点P 2的坐标是()A ．( 3,－3)B ．(－3,3)C ．(3,3)或(－3,－3)D ．(3,－3)或(－3,3)[答案]D ．[解析]解：∵把点P (﹣5,3)向右平移8个单位得到点P 1,∴点P 1的坐标为：(3,3),如图所示：将点P 1绕原点逆时针旋转90°得到点P 2,则其坐标为：(﹣3,3),将点P 1绕原点顺时针旋转90°得到点P 3,则其坐标为：(3,﹣3),故符合题意的点的坐标为：(3,﹣3)或(﹣3,3)．故选：D ．二、填空题11.(2020•上海10/25)如果关于x 的方程x 2-4x +m =0有两个相等的实数根,那么m 的值是．[答案]4．[解析]解：依题意,方程x2-4x +m =0有两个相等的实数根,∴∆=b 2-4ac =(-4)2-4m =0,解得m =4,故答案为：4．12.(2020•通辽15/26)有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了个人．[答案]12．[解析]解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意,得(1+x)2=1691+x=±13x 1=12,x2=-14(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．13.(2020•山西14/23)如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．[答案]2．[解析]解：设底面长为acm,宽为bcm,正方形的边长为xcm,根据题意得：⎧2(x+b)=12⎪⎨a+2x=10,⎪ab=24⎩解得a=10-2x,b=6-x,代入ab=24中,得：(10-2x)(6-x)=24,整理得：x2-11x+18=0,解得x=2或x=9(舍去),答；剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．14.(2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26)已知a,b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为．[答案]23．[解析]解：a,b是方程x2-x-3=0的两个根,∴a2-a-3=0,b2-b-3=0,即a2=a+3,b2=b+3,∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6-2a+17=23．故答案为：23．15.若函数y=(k-2)x[答案]-3．[解析]解：∵y=(k-2)x k2k2+k-4是关于x的二次函数,则k=______．+k-4是关于x的二次函数,∴k-2≠0,k2+k-4=2,∴k≠2,k2+k-6=0,解得：k=−3.故答案为−3.16．如图,抛物线y＝12x＋x＋3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移44个单位,则抛物线上P A段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．[答案]12．[解析]解：如图,连接A P,A P′,过点A作A D⊥PP′于D点,由题意可得,四边形A PP′A ′为平行四边形,将x=0代入函数得y=3,∴点A的坐标为(0,3),又∵抛物线y＝1211x＋x＋3=(x2+4x+4)+2=(x+2)2+2, 444∴顶点P的坐标为(﹣2,2),∵将抛物线向右平移4个单位,向下平移4个单位,∴点A′(4,﹣1),点P′(2,﹣2),2∴PP′=42+(-4)=42,A O=3,∠A OP＝45°,∴△A OD为等腰直角三角形,∴A D=OD,在Rt△A OD中,A D2+OD2=9,即2A D2=9,∴A D=32,232=12.2则抛物线上P A段扫过的区域(阴影部分)的面积为42×故答案为12.17．如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90︒而得,则AC所在直线的解析式是___．[答案]y=2x-4．[解析]解：∵A(2,0),B(0,1)∴OA=2,OB=1过点C作CD⊥x轴于点D,∴∠B OA=∠A D C=90°.∵∠B A C=90°,∴∠B A O+∠C A D=90°.∵∠A B O+∠B A O=90°,∴∠C A D=∠A B O.∵A B=A C,∴△A C D≌△B A O(A A S).∴AD=OB=1,CD=OA=2∴C(3,2)设直线A C的解析式为y=kx+b,将点A,点C坐标代入得⎧0=2k+b⎨2=3k+b⎩⎧k=2∴⎨b=-4⎩∴直线A C的解析式为y=2x-4．故答案为y=2x-4．18．四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形,当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°(∠BAE=45︒)时,如图,连接DG,BE,并延长BE交DG于点H,且BH⊥DG．若AB=4,AE=2,则线段BH的长是________．[答案]810．5[解析]解：如图,连接GE交A D于点N,连接D E,∵正方形A EFG绕点A逆时针旋转45°(∠BAE=45︒),∴A F与EG互相垂直平分,且A F在A D上,∵四边形A EFG是正方形,AE=2,∴AG=AE,AN=GN=1,EG=2,∠DAG=45︒,∵四边形A B C D是正方形,A B=4,∴A D=A B=4,∴DN=AD-AN=4-1=3,在Rt△D NG中,DG=DN2+GN2=10,⎧AB=AD⎪A B E A D G,在△和△中⎨∠BAE=∠DAG=45︒,⎪AE=AG⎩∴△A B E≌△A D G (SA S),∴BE=DG=10,∵S△DEG =1111EG⋅DN=DG⋅HE,即⨯2⨯3=⨯10HE, 2222∴HE=610=310,5∴BH=HE+BE=310810,+10=55故答案为：810．5三、解答题19.(2020•安徽16/23)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上．(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1,B1分别为A,B的对应点)；(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90︒得到线段B1A2,画出线段B1A2．[答案]见解析．[解析]解：(1)如图线段A1B1即为所求．(2)如图,线段B1A2即为所求．20.如图,△A B C三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)．(1)请画出△A B C向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△A B C关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P,使△P A B的周小最小,请画出△P A B,并直接写出P的坐标．[答案]见解析．[解析]解：(1)△A 1B 1C 1如图所示；(2)△A 2B 2C 2如图所示；(3)△P A B 如图所示,P (2,0)．221.(2020•陕西24/25)如图,抛物线y =x +bx +c 经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A ,B ,C ,它的对称轴为直线l ．(1)求该抛物线的表达式；(2)P 是该抛物线上的点,过点P 作l 的垂线,垂足为D ,E 是l 上的点．要使以P 、D 、E 为顶点的三角形与∆AOC 全等,求满足条件的点P ,点E 的坐标．[答案]见解析．⎧12=9+3b+c⎧b=2[解析]解：(1)将点(3,12)和(-2,-3)代入抛物线表达式得⎨,解得⎨,-3=4-2b+c c=-3⎩⎩2故抛物线的表达式为：y=x+2x-3；(2)抛物线的对称轴为x=-1,令y=0,则x=-3或1,令x=0,则y=-3,故点A、B的坐标分别为(-3,0)、(1,0)；点C(0,-3),故OA=OC=3,∠PDE=∠AOC=90︒,∴当PD=DE=3时,以P、D、E为顶点的三角形与△A OC全等,设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时,m-(-1)=3,解得：m=2,故n=22+2⨯2-3=5,故点P(2,5),故点E(-1,2)或(-1,8)；当点P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点P(-4,5),此时点E坐标同上,综上,点P的坐标为(2,5)或(-4,5)；点E的坐标为(-1,2)或(-1,8)．222.(2020•江西22/23)已知抛物线y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表：x⋯⋯-2m-1-31n2-3⋯⋯y(1)根据以上信息,可知抛物线开口向,对称轴为；(2)求抛物线的表达式及m,n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A 1,A 2,A 3,A 4,请根据图象直接写出线段A 1A 2,A 3A 4之间的数量关系．[答案]见解析．[解析]解：(1)根据表格信息,可知抛物线开口向上,对称轴为直线x =1；故答案为：上,直线x =1；2(2)把(-1,0),(0,-3),(2,-3)代入y =ax +bx +c ,得：⎧a -b +c =0⎪,⎨c =-3⎪4a +2b +c =-3⎩⎧a =1⎪解得：⎨b =-2,⎪c =-3⎩∴抛物线解析式为y =x 2-2x -3,当x =-2时,m =4+4-3=5；当x =1时,n =1-2-3=-4；(3)画出抛物线图象,如图1所示,描出P '的轨迹,是一条抛物线,如备用图所示,(4)根据题意及(3)中图象可得：A 3A 4-A 1A 2=1．故答案为：A3A4-A1A2=1．23.(2020•北京26/28)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y＝A x2+B x+C(A ＞0)上任意两点,其中x1＜x2．(1)若抛物线的对称轴为x＝1,当x1,x2为何值时,y1＝y2＝C；(2)设抛物线的对称轴为x＝t,若对于x1+x2＞3,都有y1＜y2,求t的取值范围．[答案]见解析．[解析]解：(1)由题意y1＝y2＝C,∴x1＝0,∵对称轴x＝1,∴M,N关于x＝1对称,∴x2＝2,∴x1＝0,x2＝2时,y1＝y2＝C．(2)∵抛物线的对称轴为x＝t,若对于x1+x2＞3,都有y1＜y2,当x1+x2＝3,且y1＝y2时,对称轴x＝∴满足条件的值为：t≤3．21|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)．63,224.(2020•北京24/28)小云在学习过程中遇到一个函数y＝下面是小云对其探究的过程,请补充完整：(1)当﹣2≤x＜0时,对于函数y1＝|x|,即y1＝﹣x,当﹣2≤x＜0时,y1随x的增大而,且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1,当﹣2≤x＜0时,y2随x的增大而,且y2＞0；结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当﹣2≤x＜0时,y随x的增大而．(2)当x≥0时,对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表：x y 012116116327162152372……9548结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象．(3)过点(0,m)(m＞0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题：若直线l与函数y＝|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)的图象有两个交点,则m的最大值是．1 6[答案]见解析．[解析]解：(1)当﹣2≤x＜0时,对于函数y1＝|x|,即y1＝﹣x,当﹣2≤x＜0时,y1随x的增大而减小,且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1,当﹣2≤x＜0时,y2随x的增大而减小,且y2＞0；结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当﹣2≤x＜0时,y随x的增大而减小．故答案为：减小,减小,减小．(2)函数图象如图所示：(3)∵直线l与函数y＝1|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)的图象有两个交点,617×2×(4+2+1)＝,63观察图象可知,x＝﹣2时,m的值最大,最大值m＝故答案为7．325.(2020•安徽22/23)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过2点A,抛物线y=ax+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由；(2)求a,b的值；2(3)平移抛物线y=ax+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．[答案]见解析．[解析]解：(1)点B是在直线y=x+m上,理由如下：直线y=x+m经过点A(1,2),∴2=1+m,解得m=1,∴直线为y=x+1,把x =2代入y =x +1得y =3,∴点B (2,3)在直线y =x +m 上；2(2)直线y =x +1与抛物线y =ax +bx +1都经过点(0,1),且B 、C 两点的横坐标相同,∴抛物线只能经过A 、C 两点,⎧a +b +1=22y =ax +bx +1把A (1,2),C (2,1)代入得⎨,⎩4a +2b +1=1解得a =-1,b =2；2(3)由(2)知,抛物线为y =-x +2x +1,pp 2+q ),设平移后的抛物线为y =-x +px +q ,其顶点坐标为(,242顶点仍在直线y =x +1上,p 2p ∴+q =+1,42p 2p ∴q =--1,422抛物线y =-x +px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ,p 2p 15∴q =--1=-(p -1)2+,4244∴当p =1时,平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为5．4226.(2020•新疆兵团23/23)如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线y =ax +bx +c 的顶点是A (1,3),将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ,点B 恰好在抛物线上,OB 与抛物线的对称轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是线段AC 上一动点,且不与点A ,C 重合,过点P 作平行于x 轴的直线,与△OAB 的边分别交于M ,N 两点,将△AMN 以直线MN 为对称轴翻折,得到△A 'MN ,设点P 的纵坐标为m ．①当△A 'MN 在△OAB 内部时,求m 的取值范围；5②是否存在点P ,使S△A 'MN=S △OA 'B ,若存在,求出满足条件m 的值；若不存在,请说明理由．6[答案]见解析．2[解析]解：(1)抛物线y =ax +bx +c 的顶点是A (1,3),∴抛物线的解析式为y =a (x -1)2+3,∴OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到OB ,∴B (3,-1),2把B (3,-1)代入y =a (x -1)+3可得a =-1,∴抛物线的解析式为y =-(x -1)2+3,即y =-x 2+2x +2,(2)①如图1中,B (3,-1),∴直线OB 的解析式为y =-x ,13A (1,3),1∴C (1,-),3P (1,m ),AP =PA ',∴A '(1,2m -3),1由题意3>2m -3>-,3∴3>m >4．3②当点P 在x 轴上方时,直线OA 的解析式为y =3x ,直线A B 的解析式为y =-2x +5,P (1,m ),∴M (5-m m,m ),N (,m ),235-m m 15-5m -=,236∴MN =5∵S△A 'MN=S △OA 'B,6∴115-5m 511(m -2m +3)=⨯⨯|2m -3+|⨯3,266232整理得m -6m +9=|6m -8|解得m =6+19(舍去)或6-19,当点P 在x 轴下方时,同法可得整理得：3m 2-12m -1=0,解得m =6-396+39或(舍去),336-39．315-m 511(3-m )(+3m )=⨯⨯[--(2m -3)]⨯3,22623∴满足条件的m 的值为6-19或。
人教版(五四制)2020-2021学年度第一学期九年级数学期中模拟测试题1(附答案)
人教版（五四制）2020-2021学年度第一学期九年级数学期中模拟测试题1（附答案） 一、单选题1．如图，AB 是O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN上一动点，ACB ∠的角平分线交O 于点D ，BAC ∠的平分线交CD 于点E ．当点C从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ） A ．2B ．2πC ．32D ．5 2．若函数221(100196|100196|)2y x x x x =-++-+，则当自变量x 取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。
A ．540B ．390C ．194D ．973．如图，过半径为6的圆O 上一点A 作圆O 的切线l ，点P 从A 点出发，沿逆时针方向运动到点B ，作PH⊥l 于点H ，连接PA ．如果PA=x ，AH=y ，那么下列图象中，能大致表示y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 、B 在一个半径为2的圆上， 顶点C 、D 在圆内，将正方形ABCD 沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点C 运动的路径长为 （ ）A ．2πB ．2+1)πC ．2+2)πD ．223π 5．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D ，E ，过劣弧D E(不包括端点D ，E)上任一点P 作⊙O 的切线MN ，与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．rB ．rC ．2rD ．r6．如图，AD 是⊙O 的直径，以A 为圆心，弦AB 为半径画弧交⊙O 于点C ，连结BC 交AD 于点E ，若DE ＝3，BC ＝8，则⊙O 的半径长为（ ）A ．256B ．5C ．163D ．253 7．已知二次函数()20y ax bx c a =++>过点()1,2M -和点()1,2N -，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则：①0a c +=；②无论a 取何值，此二次函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2；③若1a =，则2OA OB OC ⋅=．以上说法正确的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③ 8．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b 与二次函数y=bx 2+a 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A ．240b ac -<B ．0a b c -+>C ．0abc <D ．0a b c ++>10．已知二次函数的图象如下面左图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题11．如图，正方形ABCD 内接于半径为的⊙O ，E 为DC 的中点，连接BE ，则点O到BE 的距离等于 ．12．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，60BAC ∠=︒，3AC =，将ABC 绕点A 旋转得到ADE （B 与D ，C 与E 分别是对应顶点），且点B ，C ，D 在同一直线上，以A 为圆心，AE 为半径画弧交边AB 于点F ，则EF 的长为__________．13．如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，点D 为斜边AC 的中点，DB 的延长线交y 轴负半轴于点E ，反比例函数的图象经过点A ．若S △BEC ＝3，则k 的值为 ；14．如图，在ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，边BC 上一个动点M 从B 运动到C ，连AM ，将射线AM 绕M 顺顺时针转30°交AC 于N ，则N 的路径长_______．15．如图，正方形ABCD 的边长为4，连接AC ，先以A 为圆心，AB 的长为半径作弧BD ，再以A 为圆心、AC 的长为半径作弧CE ，且A 、D 、E 三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是______．16．如图所示，将抛物线C 0∶y ＝x 2－2x 向右平移2个单位长度，得到抛物线C 1，则抛物线C 1的表达式是________．17．如图，等边△ABC 内有一点O ，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，以点B 为旋转中心将BO 逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①ABO '△可以看成是△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到的；②点O 与O '的距离为5；③∠AOB ＝150°；④S 四边形AOBO′＝6+42；⑤AOC AOB S S +△△＝6+934．其中正确的结论有_____．（填正确序号）18．如图，将矩形OABC 置于一平面直角坐标系中，顶点A ，C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），双曲线y＝kx（k≠0）在第一象限中的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，P为y轴正半轴上一动点，把△OAP沿直线AP翻折，使点O落在点F处，连接FE，若FE∥x轴，则点P的坐标为___．19．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝kx的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）写出a，k的值________；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝kx的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请写出m 的取值范围________．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为___（结果保留根号）．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点作直线轴交抛物线于另一点，点是直线下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点作轴于点，交于点，交于点，连接，过点作于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接，过点作于点(点在线段上)，交于点，连接交于点，当时，求线段的长.22．某农作物的生长率P 与温度 t(℃)有如下关系：如图 1，当10≤t≤25 时可近似用函数11505P t =-刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数21()0.4160P t h =--+ 刻画． (1)求h 的值．(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率P 满足函数关系：生长率P0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天）0 5 10 15①请运用已学的知识，求m 关于P 的函数表达式；②请用含t 的代数式表示m ；(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w (元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴于点，作轴于点，，，点的坐标为．(1)求四边形的周长和面积．(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．24．已知二次函数y=211524kx x ++（k 是常数）． （1）若该函数的图象与x 轴有两个不同的交点，试求k 的取值范围；（2）若点（1，k ）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y=211524kx x ++都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件及x 的取值范围； （3）若抛物线y=211524kx x ++与x 轴交于A （A x ，0）、B （B x ，0）两点，且A x ＜B x ，22A B x x +=34，若与y 轴不平行的直线y=ax+b 经过点P （1，3），且与抛物线交于1Q （1x ，1y ）、2Q （2x ，2y ）两点，试探究1212·Q P Q P Q Q 是否为定值，并写出探究过程． 25．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE ⊥AM 于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图，当0°＜α＜45°时：①依题意补全图；②用等式表示∠NCE 与∠BAM 之间的数量关系：___________；（2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE 与∠BAM 之间的数量关系并加以证明； （3）当0°＜α＜90°时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．26．手机上常见的wifi 标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1，若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为12320...S S S S 、、．（1）求123S S S 、、的值；（2）写出n S 的值；（3）求12320...S S S S ++++．27．长为300m 的春游队伍，以/v m s （）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2/v m s （），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O 开始行进的时间为t s （），排头与O 的距离为S m 头（）．（1）当2v =时，解答：①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为S m 甲（），求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T s （），求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线m y x=与直线2y kx =-交于点(3,1)A ．（1）求直线和双曲线的解析式．（2）直线2y kx =-与x 轴交于点B ，点P 是双曲线m y x=上的一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，且2PQ OB =，直接写出点P 的坐标．29．如图，已知二次函数y =x 2+bx +c 的图像与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图像上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．30．如图，点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x 轴的正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β是以线段AB 为斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt△ABC 的两个锐角；(1)若二次函数y=－x 2－52kx+(2+2k －k 2)的图象经过A 、B 两点，求它的解析式。
2020-2021学年最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》单元测试题及答案-精品试题
第一章特殊平行四边形测试题（时间：分钟满分：120分）一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于（）A50° B.60° C.70° D.80°4.相邻两边长分别为2和3的平行四边形，若边长保持不变，其内角大小变化，则它可以变为（）A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形5.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是（）A．矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定6.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A.12B.13C.14D.15、第2题图第5题图第3题图第6题图第7题图第8题图7.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A.1B. 2C.4-2 2D.32-48.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形9.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD 并延长，交EG于点T，交FG于点P，则GT等于（）A. 2B.2 2C.2D.110.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C.12 3 D. 16 3二、选择题(每小题3分,共24分)11.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件______，使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.12.如图，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，使AD=ED=EC，若∠ADE=20°，则∠AEC=____.13.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D.已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则第10题图第9题图第11题图第12题图第13题图村庄C到公路l2的距离是______km.14如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为______.第16题图第15题图第14题图15.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3=______度．16.如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为______度时，两条对角线长度相等．17.如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB=_____°时，四边形AECF是正方形．第17题图第18题图18.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1,BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形.其中正确的是（填序号）．三、解答题(共66分)19.(6分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点P是AC的中点.求证：∠BDP=∠DBP．第19题图20.(6分)如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A,B，过线段AB的中点作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C,D．求证：四边形ACBD是矩形．21.(8分)如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．22.(8分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E,F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．第20题图第21题图第22题图23.(8分)如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C 在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．第23题图24.(8分)如图, 在△ACD中，∠ADC=90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．第24题图25.(10分)如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，且AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC的中点时（其他条件都保持不变），四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．第25题图26.(12分)如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形.（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．参考答案一、1．C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D二、11. 不唯一，如OA=OC 12. 120°13.4 14. 4.8 15.90 16.90 17.9018.①②③三、19.证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，P是AC的中点，∴BP=12AC，PD=12AC.∴BP=PD.∴∠BDP=∠DBP．20.证明：∵AD平分∠BAN，∴∠DAN=∠BAD.∵CD∥MN，∴∠CDA=∠DAN.∴∠BAD=∠CDA.∴OD=OA.同理CO=OA. ∴CO=OD.∵AO=BO，∴四边形ACBD是平行四边形.21. (1)提示：证△ADE≌△CDE即可.(2)解：点F是线段BC的中点．理由：连接AC.在菱形ABCD中，AB=BC.又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠BAC=60°.∵AE=EC，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°.∴AF是△ABC的角平分线.∴点F是线段BC的中点．22.证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.又DE＝DF,∴△AED≌△CFD.（2）∵△AED≌△CFD，∴AD=CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．23.解：∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，∴AB=DC.∵∠B=90°，∠C=90°，点B，E，F，C在同一条直线上，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.第26题图∵∠B=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．24.解：∵∠ADC=90°，EF⊥AD，EG⊥CD，∴四边形EFDG是矩形. 又∵DE平分∠ADE，∴EF=EG.∴四边形EFDG是菱形.∴四边形EFDG是正方形25.（1）提示：由SAS证△ABF≌△ADE即可得BF=DE.(2)解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=12 AC.∵AF=AE，∴BE=AF=AE. 又∠FAE=90°，∴BE∥AF.。
北京四中2020-2021学年度第一学期初三数学上册期中试卷【含答案】
画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线 y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．
图1
图2
由图 2，同理可得 AP=BP+PC. （2）①如下图 3、图 4； ②请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出证明.
由图 3，由∠APB=∠ACB=45°，做等腰直角三角形△APE. 可得△CAK≌△CBP，可得 AP-BP= 2 PC.
图3
图4
由图 4，同理可得 AP +BP= 2 PC.
24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx2 +2mx 3m 2 . （1） 求抛物线的对称轴； （2） 过点 P(0，2) 作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点 M，N.求点 M，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段 MN 围成的封闭区域内(不包括
②将△POQ 绕原点 O 旋转一周，直线 = 晐 M 交 轴、y 轴于点 M、N，若线段 MN 上存在△POQ 关于边 PQ 的“Math 点”，求 M 的取值范围.
图1
图2
初三期中测试数学学科答案：
一、选择题
1、D 2、B 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A
8、A
二、填空题
9、9
10、110 11、-6 12、2
2
y2，y3 的大小关系为（
）
A. y1＜y2＜y3
B. y1＜y3＜y2
C. y3＜y1＜y2
2020-2021学年北京十三中分校九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京十三中分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列图形是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.用配方法解方程x2−6x−4=0时，原方程应变形为()A. (x−3)2=13B. (x−3)2=5C. (x−6)2=13D. (x−62)2=53.抛物线y=−3x2−4的开口方向和顶点坐标分别是()A. 向上，(0,4)B. 向上，(0,−4)C. 向下，(0,−4)D. 向下，(0,4)4.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()A. ①B. ②C. ③D. 均不可能5.如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是()A. B.C. D.6.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将△ABC绕旋转中心旋转90°后得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是点A′，B′、C′，那么旋转中心是()A. 点QB. 点PC. 点ND. 点M7.如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值：x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c−0.03−0.010.020.04根据表中数据判断，方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是()A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<x<6.208.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC⏜=CB⏜.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.二次函数y=(a−1)x2−x+a2−1的图象经过原点，则a的值为．10.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部面积是______．11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边AB上的高线，以点C为圆心，2.5为半径作圆，则点D在圆____(填“外”，“内”，“上”)．12.某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为______．13.若二次函数y=x2−4x+c的图象经过A(−2,y1)，B(4,y2)，则y1______y2(填“>”，“<”或“=”)．14.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB=5，AC=4，则BD的长为______．15.某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组(x−k)2+t的一部分，拱高(抛物线最高点到桥面AB的距拱桥都为抛物线y=−116离)都为16米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B.则桥长AB=______米．16.如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的AB⏜，某同学要站在AB⏜的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到AB⏜上，就能找到AB⏜的中点C.老师肯定了他的想法．(1)请按照这位同学的想法，在图中画出点C；(2)这位同学确定点C所用方法的依据是______．三、解答题（本大题共12小题，共96.0分）17.解方程：(1)x2+4x+1=0；(2)y2+3y=10．18.如图，点O、B坐标分别为(0,0)、(3,0)，将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到△OA′B′．(1)画出平面直角坐标系和△OA′B′；(2)直接写出点A′的坐标；(3)求旋转过程中点B走过的路径长．19.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证：△AEB≌△ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．20.已知关于x的方程x2−4x+3−a=0有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解．21.已知二次函数y=2x2−4x−6．(1)将y=2x2−4x−6化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当−1≤x≤2时，结合图象直接写出函数y的取值范围；(4)若直线y=k与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围．22.已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，D为BC边中点．(1)尺规作图：以AC为直径作⊙O，交AB于点E(保留作图痕迹，不需写作法)；(2)连结DE，求证：DE为⊙O的切线；(3)若AC=10，AE=8，求DE的长．23.如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8√3米．(1)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(2)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点，并说明理由．24.探究函数y=|x2−2x|的图象与性质．x…−3−2−10123…y…1583010m…(1)下表是y与x的几组对应值．其中m的值为______；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：______；(4)若关于x的方程|x2−2x|−t=0有2个实数根，则t的取值范围是______．25.如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．(1)求证：BC是∠ABE的平分线；(2)若DC=8，DA=4，求AB的长．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax−3a(a≠0)．(1)求抛物线的对称轴及它与x轴两交点的坐标；(2)已知点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(3,4)，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；(3)若满足不等式ax2+2ax−3a≤5的x的最大值为2，直接写出实数a的取值范围．27.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．(1)如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；(2)在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：∠H=90°．(3)在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．28.如图1，平面中的线段AB和直线AB外一点P，如果对于P，A，B三点确定的圆，∠APB所对的弧为优弧，那么称点P为线段AB的“优相关点”(1)如图2，已知点O(0,0)，B(2,0)．①在点P1(1,1)，P2(2,1)，P3(12,−12)中，为线段OB的“优相关点”的是______．②若直线y=x+b上存在线段OB的“优相关点”，求实数b的取值范围．(2)如图3，点E(−2,√3)，F(1,0)，点G(0,−√3)，已知点C(a,0)，D(a+1,0)，如果△EFG的边上存在线段CD的“优相关点”，请直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】A【解析】解：用配方法解方程x2−6x−4=0时，原方程应变形为：(x−3)2=13，故选：A．根据配方法可以解答此题．本题考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是明确配方法解方程的方法．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=−3x2−4中，a=−3<0，∴该抛物线开口向下，顶点坐标为(0,−4)，故选：C．根据题目中的函数解析式，可以得到抛物线的开口方向和顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．5.【答案】C【解析】解：∵a>0，b<0，c<0，>0，∴−b2a∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．>0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的由a>0，b<0，c<0，推出−b2a右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：如图，N点为旋转中心．故选：C．作AA′、CC′的垂直平分线，它们的交点为N点，从而得到正确选项．本题考查了旋转的性质：对应点连线的中垂线必经过旋转中心，．7.【答案】C【解析】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+ bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为6.18<x<6.19．故选：C．利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠CAB，根据圆周角定理求出∠ACB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°−∠DCB=70°，∵DC⏜=CB⏜，∴∠CAB=1∠DAB=35°，2∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°−∠CAB=55°，故选：A．9.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，图象过原点，可得出x=0，y=0．将(0,0)代入y=(a−1)x2−x+a2−1即可得出a的值．【解答】解：∵二次函数y=(a−1)x2−x+a2−1的图象经过原点，∴a2−1=0，∴a=±1，∵a−1≠0，∴a≠1，∴a的值为−1．故答案为−1．10.【答案】3π−9√34【解析】解：作OD⊥AB于D，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵OA=OB，OD⊥AB，∴∠AOD=12∠AOB=60°，BD=AD，则OD=OA×cos∠AOD=3×12=32，AD=OA×sin∠AOD3√32，∴AB=2AD=3√3，∴图中阴影部面积=120π×32360−12×3√3×32=3π−9√34，故答案为：3π−9√34．作OD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到∠ACB=60°，根据圆周角定理求出∠AOB，解直角三角形求出OD、AD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积计算、圆周角定理、等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．11.【答案】内【解析】解：直角△ABC中，AB2=AC2+BC2，AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=5，△ABC的面积S=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CDCD=AC⋅BCAB =125．∵125<2.5，∴点D在⊙C内，故答案为：内．直角三角形中根据勾股定理可以计算AB的长度，CD为AB边上的高，根据面积法AC×BC=AB×DC可以求得CD的长，与半径比较后即可得到点D与圆的位置关系．本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及点与圆的位置关系，根据勾股定理计算斜边长是解题的关键．12.【答案】1000(1+x)2=4000【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：1000(1+x)2=4000．故答案为：1000(1+x)2=4000．13.【答案】>【解析】解：∵y=x2−4x+c，=2，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=−−42×1∴A(−2,y1)关于直线x=2的对称点是(6,y1)，∵2<4<6，∴y1>y2，故答案为>．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=2，根据x>2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．14.【答案】1【解析】解：∵AC，AP为⊙O的切线，∴AC=AP=4，∵BP，BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=BP=AB−AP=5−4=1．故答案为：1．根据切线长定理即可求出BD的长．本题考查了切线的性质、切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．15.【答案】96【解析】解：如图，以线段AC的中垂线为y轴，AB为x轴，建立平面直角坐标系，则抛物线AC的顶点坐标为(0,16)，x2+16，所以抛物线解析式为y=−116当y=0时，x1=16，x2=−16，∴点A的坐标为(−16,0)，点C的坐标为(16,0)，∴AC=16−(−16)=16+16=32，∴AB=3AC=96，即桥长AB为96米；故答案为：96．根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后即可得到抛物线AC的顶点坐标，再令y=0，即可得到AC的长，从而可以求得AB的长．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．16.【答案】解：(1)如图所示，点C即为所求．(2)这位同学确定点C所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．【解析】本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理及线段中垂线的尺规作图．(1)连接AB，作弦AB的垂直平分线即可得；(2)根据垂径定理可得．17.【答案】解：(1)∵x2+4x=−1，∴x2+4x+4=−1+4，即(x+2)2=3，则x+2=±√3，∴x1=−2+√3，x2=−2−√3；(2)∵y2+3y−10=0，∴(y+5)(y−2)=0，则y+5=0或y−2=0，解得y1=−5，y2=2．【解析】(1)利用配方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图，△OA′B′即为所求．(2)A′(−2,4)．(3)旋转过程中点B走过的路径长=90⋅π⋅3180=3π2．【解析】(1)分别作出A，B，的对应点A′，B′即可．(2)根据点A′的位置写出坐标即可．(3)利用弧长公式计算即可．本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵{AB=AC∠EAB=∠DAC AE=AD，∴△EAB≌△DAC(SAS)．(2)如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，∵△EAB≌△DAC∴∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．【解析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；(2)由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．20.【答案】解：(1)根据题意得△=(−4)2−4(3−a)>0，解得a>−1；(2)a的最小整数值为0，此时方程变形为x2−4x+3=0，(x−1)(x−3)=0，x−1=0或x−3=0，所以x1=1，x2=3．【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(−4)2−4(3−a)>0，然后解不等式即可；(2)确定a的最小整数值为0，此时方程变形为x2−4x+3=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．21.【答案】解：(1)y=2x2−4x−6=2(x−1)2−8；(2)列表：x…−10123…y…0−6−8−60…描点，画出函数y=2x2−4x−6的图象如图：(3)观察图象知：当x=−1时，y=0，顶点坐标为(1,−8)即函数的最小值为−8，所以当−1≤x≤2时，函数y的取值范围−8≤y≤0．(4)2x2−4x−6=k，整理得：2x2−4x−6−k=0，∵△=16+8(6+k)=64+8k．即64+8k<0，即k<−8．∴直线y=k与抛物线没有交点时，k<−8．【解析】(1)根据配方法把二次函数配方即可；(2)根据二次函数的顶点坐标、与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标即可画出图象；(3)根据x的取值范围和二次函数的最低点即可求解；(4)根据二次函数与直线没有交点，可知判别式小于0即可求解．本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数上点的坐标特征，解决本题的关键是观察函数图象解决问题．22.【答案】(1)解：⊙O如图所示．(2)证明：连结OE，CE，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∵D为BC边中点，∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，∴DE=DC=BD，∴∠ECD=∠CED，∵OC=OD，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OED=∠OEC+∠CED=∠OCE+∠ECD=∠ACB=90°，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．(3)解：在Rt△ACE中，EC=√AC2−AE2=√102−82=6，∵∠AEC=∠CEB=90°，∠ACE+∠ECB=90°，∠B+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠B，∴△ACE∽△CBE，∴ACBC =AEEC，∴10BC =86，∴BC=152，∴DE=12BC=154．【解析】(1)作线段AC的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．(2)欲证明DE是切线，只要证明OE⊥OD即可．(3)证明△ACE∽△CBE，推出ACBC =AEEC可得结论．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．23.【答案】解：(1)∵顶点B的坐标是(9,12)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−9)2+12，∵点O的坐标是(0,0)∴把点O的坐标代入得：0=a(0−9)2+12，解得a=−427，∴抛物线的解析式为y=−427(x−9)2+12即y=−427x2+83x；(2)在Rt△AOC中，∵∠AOC=30°，OA=8√3，∴AC=OA⋅sin30°=8√3×12=4√3，OC=OA⋅cos30°=8√3×√32=12．∴点A的坐标为(12,4√3)，∵当x=12时，y=323≠4√3，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【解析】(1)分析题意可知，抛物线的顶点坐标为(9,12)，经过原点(0,0)，设顶点式可求抛物线的解析式；(2)OA与水平方向OC的夹角为30°，OA=8√3米，解直角三角形可求点A的坐标，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线关系式是关键．24.【答案】3 函数的最小值为0 t>1或t=0【解析】解：(1)由表中数据得到函数图象与x轴的交点坐标为(0,0)、(2,0)，图象的对称轴为直线x=1，所以x=−1和x=3时的函数值相等，即m=3；(2)如图，(3)该函数的性质有：函数的最小值为0等等；(4)当t>1或t=0时，关于x的方程|x2−2x|−t=0有2个实数根．故答案为3；函数的最小值为0；t>1或t=0．(1)利用所给对应值的特点可判断图象的对称轴为直线x=1，然后利用x=−1和x=3时的函数值相等得到m的值；(2)利用对称轴和描点法画函数图象；(3)利用图象可写出此函数的最值、增减性等性质；(4)结合图象，利用函数y=|x2−2x|与直线y=1有三个交点，从而可判断函数y=|x2−2x|与直线y=t有2个交点的t的范围．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．25.【答案】(1)证明：∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，∵BE⊥DC，∴OC//BE，∴∠OCB=∠CBE，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠CBE，即BC是∠ABE的平分线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OD=r+4，在Rt△OCD中，OD2=OC2+CD2，即(r+4)2=r2+82，解得，r=6，则AB=2r=12．【解析】(1)根据切线的性质得到OC⊥DC，得到OC//BE，根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBE，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵y=ax2+2ax−3a=a(x+1)2−4a，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，顶点坐标为(−1,−4a)，令y=0，得到ax2+2ax−3a=0，解得x=−3或1，∴抛物线与x轴交于(−3,0)和(1,0)．(2)如图1中，当a<0时，抛物线经过点A(0,4)时，a=−4，3时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．观察图象可知当a≤−43如图2中，当a >0时，抛物线经过B(3,4)时，a =13，观察图象可知，a ≥13时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点．综上所述，满足条件的a 的值为a ≤−43或a ≥13．(3)当a >0时，当x =2时，y =5，即4a +4a −3a =5，∴a =1，观察图象可知a ≥1时，满足条件．当a <0时，不存在符合题意的a 的值．综上所述，a ≥1．【解析】(1)把解析式化成顶点式，即可求得结果；(2)分两种情形：如图1中，当a<0时，抛物线经过点A(0,4)时，a=−4，如图2中，3，观察图象，利用图象法即可解决问题．当a>0时，抛物线经过B(3,4)时，a=13(3)分a>0，a<0两种情形分别求解即可．本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．27.【答案】解：(1)补全图形如图1：(2)如图1，延长BP，QD交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=∠DAB=90°，∴∠QAD=∠BAP，∴△AQD≌△APB(SAS)，∴PB=QD，∠AQD=∠APB，∵∠APB+∠APH=180°，∴∠AQD+∠APH=180°，∵∠QAP+∠APH+∠AQD+∠H=360°，∴∠H=90°；(3)DP2+DQ2=2AB2．证明：连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP(SAS)，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，在Rt△BPD中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．【解析】(1)根据要求画出图形，即可得出结论；(2)由旋转的性质可得AQ=AP，∠QAP=∠DAB=90°，由“SAS”可证△AQD≌△APB，可得PB=QD，∠AQD=∠APB，由平角的性质和四边形内角和定理可得∠QHP=90°，即可得出结论；(3)连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°，即可解决问题．此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．28.【答案】P3【解析】解：(1)①∵是优相关点即对应的弧为优弧，∴∠OPB>90°，如图1，∵P1(1,1)，∴△P1OB为等腰直角三角形，所以∠OP1B所对的弧为半圆，不符合题意；∵∠P2BO=90°，∴∠OP2B<90°，∴∠OP2B所对的弧为劣弧，不符合题意；∵P3(12,12 )，∴∠OP3B为钝角，∴其所对的弧为优弧；∴P3符合题意．②如图2，过点(1,0)作半径为1的圆，可知圆上的点P x 构成的角∠OP x B =90°，其为所对的弧都是半圆，当点P x 在圆内部时，在其所在圆中所对的弧为优弧，满足此条件的点为OB 的优相关点， 当y =x +b 与圆相切于点M ，N 时，为临界点，过点M 作MH ⊥x 轴，∵sin∠MTH =MH MT =√22，MT =1， ∴MH =√22，HT =√22 ∴M(1−√22,√22)， ∵点M 在一次函数y =x +b 上，∴√22=1−√22+b ，b =−1+√2，同理可得当直线与圆T 相切于点N 时，b 的值最小，此时b =−1−√2，因此，当−1−√2<b <−1+√2时符合题意；(2)如图3，当圆分别与EG左切，右切，与EF左切，过点F时，为四个临界状态，因此可得，−2<a<−1或0<a<1．(1)首先根据题意得出相关角度，即可判断优相关点；(2)经过分析可以知道，当点P在以OB为直径的圆内部时，P为OB的优相关点，找到直线y=x+b与圆的相切的情况作为临界状态即可求得b的范围；(3)利用第二问的结论，我们找到CD所在圆与三角形的四个临界位置，然后即可求得a 的范围．本题综合考查了圆的相关知识，相切的性质，圆周角，三角函数，一次函数的性质．而后两问又可以浓缩成线的运动和圆的运动，因此找到临界状态是本题的关键．。
北京市房山区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷 解析版
2020-2021学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，3B．0，4，3C．1，﹣4，3D．0，﹣4，3 2．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，则等于（）A．B．C．D．4．将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣5B．y＝2（x+1）2﹣5C．y＝2（x﹣1）2+5D．y＝2（x+1）2+55．二次函数y＝x2﹣2x，若点A（﹣1，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定6．如图，A是反比例函数图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积为2，则k的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．47．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH的长为（）A．0.95里B．1.05里C．2.05里D．2.15里8．已知关于x的函数的图象如图所示，根据探究函数图象的经验，可以推断常数a，b的值满足（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞0二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若，则＝．10．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式．11．两个相似三角形的对应边的比为3：2，则这两个相似三角形周长的比为，面积的比为．12．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是．（写出一个即可）13．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，请你确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．15．二次函数y＝kx2﹣2x﹣3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．16．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T m（m为1～8的整数）函数的图象为曲线L．（1）若L过点T1，则k＝；（2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．三、解答题：（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）17．（5分）若x：3＝5：（x+2），求x的值．18．（5分）已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为．（2）在坐标系中画出此抛物线．19．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：（1）则∠ABC＝°，BC＝；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由．20．（5分）已知某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…020…求这个二次函数的表达式．21．（5分）已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若∠A＝45°，∠C＝60°，求∠ADE的度数．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x＜1时，反比例函数的函数值y的取值范围是．23．（6分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，若AB＝6，BC ＝4，求DF的长．24．（6分）数学学习小组根据函数学习的经验，对一个新函数的图象和性质进行了如下探究：（1）列表，下表是函数y与自变量x的几组对应值：x…﹣3﹣2﹣11234…y…﹣4﹣6﹣10620m…请直接写出自变量x的取值范围，a＝，m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出函数的图象；（3）观察所画出的函数图象，写出该函数的性质．（写出一条性质即可）25．（6分）某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形ABCD的边AB＝x 米，面积为S平方米．（1）求活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B．（1）直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；（2）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．2020-2021学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，3B．0，4，3C．1，﹣4，3D．0，﹣4，3【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数是1，一次项系数是﹣4，常数项是3；故选：C．2．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得3x＝4y与3x＝4y一致，故A符合题意；B、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得xy＝12与3x＝4y不一致，故D不符合题意．故选：A．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，则等于（）A．B．C．D．【分析】根据DE∥BC，可得：△ADE∽△ABC，所以＝，然后根据AD＝2，DB＝4，求出的值即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝故选：D．4．将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣5B．y＝2（x+1）2﹣5C．y＝2（x﹣1）2+5D．y＝2（x+1）2+5【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：y＝2（x+1）2﹣5．故选：B．5．二次函数y＝x2﹣2x，若点A（﹣1，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定【分析】分别计算自变量为﹣1、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣2x＝3；当x＝2时，y2＝x2﹣2x＝0；∵3＞0，∴y1＞y2，故选：C．6．如图，A是反比例函数图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积为2，则k的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|＝2，再根据图象所在的象限，得出k的值．【解答】解：由反比例函数k的几何意义可得，|k|＝2，∴k＝±4，又∵图象在第二象限，即k＜0，∴k＝﹣4，故选：A．7．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH的长为（）A．0.95里B．1.05里C．2.05里D．2.15里【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【解答】解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴F A∥EG，EA∥FH，∴∠HF A＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝，∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴F A＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，解得：FH＝1.05里．故选：B．8．已知关于x的函数的图象如图所示，根据探究函数图象的经验，可以推断常数a，b的值满足（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞0【分析】由图象可知，当x＞0时，y＜0，可知a＜0；x＝﹣b时，函数值不存在，则b ＞0．【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＜0，∴a＜0；x＝﹣b时，函数值不存在，∴﹣b＜0，∴b＞0；故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若，则＝．【分析】根据比例的性质得出＝，再把要求的式子化成1﹣，然后代值计算即可得出答案．【解答】解：∵，∴＝，∴＝1﹣＝1﹣＝．故答案为：．10．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式y＝x2+2，答案不唯一．．【分析】对称轴是y轴，即直线x＝＝0，所以b＝0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y＝x2+2，答案不唯一．11．两个相似三角形的对应边的比为3：2，则这两个相似三角形周长的比为3：2，面积的比为9：4．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为3：2，∴它们对应周长的比为3：2；对应面积的比是（3：2）2＝9：4．故答案为：3：2；9：4．12．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．（写出一个即可）【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．【解答】解：∵∠A＝∠A，∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝时，△ACP∽△ABC，故答案为：∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．13．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ．【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案．【解答】解：延长AO、BO、CO、DO分别到Q、P、M、N，则四边形NPMQ是四边形ABCD的位似图形，故答案为：四边形NPMQ．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，请你确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣1，x2＝3．【分析】根据二次函数的图象可以得到它的对称轴和与x轴的两个交点，从而可以得到y ＝0时对应的x的值，然后即可得到一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解．【解答】解：由图象可得，该函数图象的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点为（﹣1，0），即当y＝0时，0＝ax2+bx+c，可得x＝3或x＝﹣1，故一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣1，x2＝3，故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．15．二次函数y＝kx2﹣2x﹣3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是k≥且k≠0．【分析】根据判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△≥0，∴4+12k≥0，∴k≥﹣，∵k≠0，∴k≥且k≠0，故答案为：k≥且k≠0．16．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T m（m为1～8的整数）函数的图象为曲线L．（1）若L过点T1，则k＝﹣16；（2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有7个．【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；（2）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），∵L过点T1，∴k＝﹣16×1＝﹣16，故答案为：﹣16；（2）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，若曲线L过点T3（﹣12，3），T6（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36，若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴﹣36＜k＜﹣28，∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，故答案为：7．三、解答题：（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）17．（5分）若x：3＝5：（x+2），求x的值．【分析】直接利用比例的性质将已知变形，再解一元二次方程得出答案．【解答】解：∵x：3＝5：（x+2），∴＝，则x2+2x﹣15＝0，（x+5）（x﹣3）＝0，解得：x＝﹣5或3．18．（5分）已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）．（2）在坐标系中画出此抛物线．【分析】（1）根据抛物线的解析式，可以求得它与x轴交点的坐标、与y轴交点的坐标以及顶点坐标；（2）根据（1）中的结果，可以画出相应的抛物线．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1），∴该抛物的顶点坐标为（2，﹣1），当y＝0时，x1＝3，x2＝1，当x＝0时，y＝3，∴它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；（2）由（1）知，它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），且过点（4，3），抛物线如右图所示．19．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：（1）则∠ABC＝135°，BC＝2；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由．【分析】（1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可．（2）结论：△ABC∽△DEF．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【解答】解：（1）观察图象可知，∠ABC＝135°，BC＝＝2．（2）结论：△ABC∽△DEF．理由：∵AB＝2，BC＝2，DE＝，EF＝2，∴＝＝，∵∠ABC＝∠DEF，∴△ABC∽△DEF．20．（5分）已知某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…020…求这个二次函数的表达式．【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，然后把（0，3）代入求出a即可．【解答】解：∵抛物线经过点（1，0），（﹣2，），（0，），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入得a（1+1）2+2＝0，解得a＝﹣，∴这个二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+2．21．（5分）已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若∠A＝45°，∠C＝60°，求∠ADE的度数．【分析】（1）根据两组对应边成比例和其夹角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形的对应角相等解答．【解答】（1）证明：∵，∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB；（2）∵∠A＝45°，∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣45°﹣60°＝75°．∵△AED∽△ACB，∴∠ADE＝∠B＝75°．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x＜1时，反比例函数的函数值y的取值范围是y＞3或y＜0．【分析】（1）把点A（1，m）代入y＝x+2求得m的值，得到A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）根据图象即可求得．【解答】解：（1）把点A（1，m）代入y＝x+2得，m＝1+2＝3．∴A（1，3），∵反比例函数的图象经过点A（1，3）．∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）由图象可知，当x＜1时，反比例函数的函数值y的取值范围是y＞3或y＜0，故答案为y＞3或y＜0．23．（6分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，若AB＝6，BC ＝4，求DF的长．【分析】直接利用矩形的性质结合相似三角形的判定方法得出△ADF∽△EAB，再利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE+∠DAE＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，又∵∠AFD＝∠B＝90°，∴△ADF∽△EAB，∴＝，∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∴AE＝＝2，∴＝，解得：DF＝．24．（6分）数学学习小组根据函数学习的经验，对一个新函数的图象和性质进行了如下探究：（1）列表，下表是函数y与自变量x的几组对应值：x…﹣3﹣2﹣11234…y…﹣4﹣6﹣10620m…请直接写出自变量x的取值范围x≠0，a＝2，m＝1；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出函数的图象；（3）观察所画出的函数图象，写出该函数的性质当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．（写出一条性质即可）【分析】（1）利用函数解析式结合表格利用待定系数法进行计算即可；（2）根据表格中所给数据描点画图即可；（3）利用图象可得答案．【解答】解：（1）自变量x的取值范围x≠0，把x＝1，y＝2代入函数得：2＝|1﹣2|，解得：a＝2，当x＝4时，y＝|4﹣2|＝×2＝1，故答案为：x≠0，2，1；（2）如图所示；（3）当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．25．（6分）某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形ABCD的边AB＝x 米，面积为S平方米．（1）求活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．【分析】（1）由总长度﹣垂直于墙的两边的长度＝平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围；（2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝x米，∴BC＝（40﹣2x）米，∵墙长为22米，∴0＜40﹣2x≤22，∴9≤x＜20，∴S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，即S＝﹣2x2+40x（9≤x＜20）；（2）设矩形的面积为SS＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，由（1）知，9≤x＜20，∴当x＝10时，S有最大值200，即当AB为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B．（1）直接写出点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，2）；（2）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．【分析】（1）根据关系式可求出抛物线与y轴的交点坐标，即点A的坐标，再根据平移可得点B坐标；（2）分四种情形情形：m＜0，m＝0，m＞0，分别求解即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1，因此点A的坐标为（0，1），将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B，因此点B坐标为（4，2），故答案为：（0，1），（4，2）；（2）抛物线y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，抛物线恒过点A（0，1），当函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，就是抛物线与线段AB除点A 以外没有其它的公共点，当m＜0时，满足条件，m＝0时，有两个交点，不满足条件，当m＞0时，x＝4时，16﹣8m+1＜2时满足条件，即m＞综上所述，当m＜0或m＞时，函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点．。
2020-2021学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，在它的三视图中是中心对称图形的是()A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 左视图和俯视图2.将抛物线y=3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为()A. (4,−5)B. (4,5)C. (−4,5)D. (−4,−5)3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=62°，则∠BCE等于()A. 28°B. 31°C. 62°D. 118°4.已知二次函数y=ax2−bx−2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(−1,0)，给出下列叙述：①b2>8a；②a−b−2<0；③当a−b为整数时，ab的值为1；④存在实数k，满足x<k时，函数y的值都随x的值增大而增大；其中正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.如图，在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0,a)，等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE=2，则△BOD与△AOE的面积之差为()A. 2B. 3C. 4D. 56.某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西55°，把这枚指针按逆时针方向旋转80°，则结果指针的指向()A. 南偏东35°B. 北偏西35°C. 南偏东25°D. 北偏西25°7.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形进行研究．如图所示，已知∠A=90°，BD=3，BC=13，则正方形ADOF的面积为()A. 6B. 5C. 4D. 38.两个斜边长为2的全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个△ABC的直角顶点A重合，若△ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边BC交于点E，F，设BF=x，CE=y，则y关于x的函数图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如果抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m=______ ．10.在坐标系中，点A(2,5)与点B关于原点对称，则点B的坐标是______ ．11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，将△ABC绕C点旋转一个角度到△DEC，直线AD、EB交于F点，在旋转过程中，△ABF的面积的最大值是______．12.下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：如图．①过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；②过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；③连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是______(写出两条)．13.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n(m<n)，方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p，q(p<q)，则m，n，p，q的大小关系用“<”连接为______ ．14.在△ABC中，∠ABC=60°，AD是BC边上的高，AD=4√3，CD=1，则△ABC的面积为______ ．15.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=______ cm．16.七年级(2)班座位有七排8列，张艳的座位在2排4列，简记为(2,4)，班级座次表上写着王刚(5,8)，那么王刚的座位在______ ．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点AAM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的和点M为圆心，大于12垂线l交直线GH于点P.根据以上操作，完成下列问题．探究：(1)线段PA与PM的数量关系为______，其理由为：______．(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…(−2,0)(0,0)(2,0)(4,0)…P的坐标…______ (0,−1)(2,−2)______ …猜想：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：(5)如图3，点B(−1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．18.已知：抛物线y1=x2+bx+3与x轴分别交于点A(−3,0)，B(m,0).将y1向右平移4个单位得到y2．(1)求b的值；(2)求抛物线y2的表达式；(3)抛物线y2与y轴交于点D，与x轴交于点E、F(点E在点F的左侧)，记抛物线在D、F之间的部分为图象G(包含D、F两点)，若直线y=kx+k−1与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线y=kx+k−1与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．19.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF，与直线CD交于点G．求证：(1)∠ACD=∠F；(2)AC2=AG⋅AF．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,2)，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称．(1)在平面直角坐标系xOy中分别画出点A、B、C；(2)点B的坐标是______；点C的坐标是______；(3)设D为虚线格点(不包括坐标轴)，如果△ACD是以AC斜边的直角三角形，那么点D的坐标是______(只需写出两个符合条件的点的坐标)．。
人教版2020---2021学年度九年级数学(上)期中考试卷及答案(含五套题)
密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020—2021学年度上学期九年级数学（上）期中测试卷及答案（满分：120分 时间： 100分钟）一、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1．关于x 的方程（m ﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，则m= ．2．设x 1、x 2是方程3x 2+4x ﹣5=0的两根，则= ，x 12+x 22= ．3．若抛物线y=x 2﹣6x+c 的顶点在x 轴，则c= ． 4．点P （2，3）绕着原点逆时针方向旋转90°与点P ′重合，则P ′的坐标为 ．5．抛物线y 1=x 2﹣2x+1与直线y 2=﹣x+1在同一坐标系中相交，当y 1＞y 2时自变量x 的取值范围是 ．6．如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．7．如图，EF 过平行四边形的对角线的交点O ，若四边形ABFE 绕O 点旋转一定的角度后能与四边形 CDEF 重合，AB=3，BC=4，OE=1.5，则四边形EFCD 的周长是 ．8．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），若2a+b=0，且当x=﹣1时，y=3，那么当x=3时，y= ．二、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．如图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．10．方程（x+1）（x ﹣3）=5的解是（ ）A ．x 1=1，x 2=﹣3B ．x 1=4，x 2=﹣2C ．x 1=﹣1，x 2=3D ．x 1=﹣4，x 2=211．已知a 、b 满足a+b=5且ab=6，以a 、b 为根的一元二次方程为（ ）题号一 二 三 总分 得分密封线A．x2+5x+6=0 B．x2﹣5x+6=0 C．x2﹣5x﹣6=0 D．x2+5x﹣6=012．若A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y313．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°14．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，y＜0时自变量x的取值范围是（）A.﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞515．已知函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，那么y=ax2+bx+1的图象大致为（）A． B． C． D．16．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90∠B=30°，AC=1，则BB′的长为（）A．4 B．C．D．17．若1人患流感，经过两轮传染后共有121照这样的传染速度，则经过第三轮传染后共有（感．A．1210 B．1000 C．1100 D．133118．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b﹣1：2：3．其中正确的是（）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④三、解答题 （本大题共7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分8分,每小题4分）解方程（1）（x ﹣2）2=（2x+5）2（2）=．20．（本小题满分7分）已知关于x 的方程x 2﹣2（1﹣m ）x+m 2=0的两实数根为x 1，x 2．是否存在这样的实数m 使方程的两实根的平方和为14？21．（本小题满分8分）在下图中，把△ABC 向右平移5个方格，再绕点B 的对应点顺时针方向旋转90度．（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母； （2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．22．（本小题满分9分）如图所示，某小区规划在一个长40m ，宽26m 的矩形场地ABCD 上修建三条相同宽度的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余6块部分种草，使每块草坪面积都是144m 2，求甬路宽度．23．（本小题满分9分）如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P ′AB ．（1）求点P 与点P ′之间的距离； （2）求∠APB 的度数．24．（本小题满分12分）为了落实中央的惠农政策，积极推进农业机械化，某市某县政府制定了农户投资购买农机设备的补贴办法，其中购买A 型、B 型农机设备所投资的金额x （万元）与政府补贴的金额y 1（万元）、y 2（万元）的函数关系如图所示（图中OA 段是抛物线，A 是抛物线的顶点）．（1）分别写出y 1、y 2与x 的函数关系式；封线内不得答题（2）现有一农户计划同时对A型、B型两种农机设备共投资10万元，设其共获得的政府补贴金额为y万元，求y与其购买B型设备投资金额x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．25．（本小题满分13分）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（﹣6，0）和点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求▱OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、填空题（24分）1．解：∵方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，∴m2﹣1=1或m﹣=0．解得m=或m=．故答案为：或．2．解：根据题意得x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，所以===，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣）2﹣2×（﹣）=．故答案为，．3．解：根据题意，顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，即，解得c=9．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题4．解：∵P （2，3），∴P ′的坐标为（﹣3，2）．5．解：由题意得：x 2﹣2x+1﹣（﹣x+1）＞0， 即x 2﹣x=x （x ﹣）＞0， 解得：x ＜0或x ＞． 故答案为：x ＜0或x ＞． 6．解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米． 故答案为：120．7．解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB=CD=3，AD=BC=4，OA=OC ，OB=OD ，∵四边形ABFE 绕O 点旋转180度后能与四边形 CDEF 重合， ∴AE=CF ，OE=OF=1.5，∴四边形EFCD 的周长=DE+CF+OE+OF+CD=BC+2OE+CD =4+3+3 =10． 故答案为10．8．解：∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ；又当x=﹣1时，y=3，∴3=a ﹣b+c=3a+c ，即3a+c=3； ∴当x=3时， y=9a+3b+c =9a ﹣6a+c =3a+c =3；故答案为：3． 二、选择题（30分）9．解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； C 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选B ．得 答 题10．解：（x+1）（x ﹣3）=5， x 2﹣2x ﹣3﹣5=0， x 2﹣2x ﹣8=0，化为（x ﹣4）（x+2）=0， ∴x 1=4，x 2=﹣2． 故选：B ．11．解：∵a+b=5，ab=6，∴以a ，b 为根的一元二次方程可以为x 2﹣5x+6=0． 故选B ．12．解：∵二次函数y=﹣x 2﹣4x+5中a=﹣1＜0 ∴抛物线开口向下，对称轴为x=﹣=﹣=﹣2∵B （﹣1，y 2），C （，y 3）中横坐标均大于﹣2 ∴它们在对称轴的右侧y 3＜y 2，A （﹣，y 1）中横坐标小于﹣2，∵它在对称轴的左侧，它关于x=﹣2的对称点为2×（﹣2）﹣（﹣）=﹣，＞﹣＞﹣1∵a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小∴y 3＜y 1＜y 2． 故选C ．13．解：∵△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B B ′位置，A 点落在A ′位置 ∴∠BCB ′=∠ACA ′=20° ∵AC ⊥A ′B ′，∴∠BAC=∠A ′=90°﹣20°=70°． 故选C ．14．解：由图象可知，抛物线与x 轴的交点坐标分别为（﹣0）和（5，0），∴y ＜0时，x 的取值范围为x ＜﹣1或x ＞5． 故选C ．15．解：∵函数y=ax+b 的图象经过二、三、四象限， ∴a ＜0，b ＜0， ∴x=﹣＜0，即二次函数y=ax 2+bx+1的图象开口向下，对称轴位于y 故选：C ．16．解：∵在Rt △ABC 中，∠B=30°，AC=1，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴AB=2AC=2，∴BB ′=2AB=4． 故选A ．17．解：设平均一人传染了x 人，根据题意，得：x+1+（x+1）x=121 解得：x 1=10，x 2=﹣12（不符合题意舍去）∴经过三轮传染后患上流感的人数为：121+10×121=1331（人）． 故选：D ．18．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，选项①正确； 又对称轴为直线x=1，即﹣=1，可得2a+b=0（i ），选项②错误； ∵﹣2对应的函数值为负数，∴当x=﹣2时，y=4a ﹣2b+c ＜0，选项③错误； ∵﹣1对应的函数值为0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c=0（ii ）， 联立（i ）（ii ）可得：b=﹣2a ，c=﹣3a ，∴a ：b ：c=a ：（﹣2a ）：（﹣3a ）=﹣1：2：3，选项④正确， 则正确的选项有：①④． 故选D三、解答题（共66分）19．解：（1）（x ﹣2）2=（2x+5）2， 直接开平方得，x ﹣2=±（2x+5）， x ﹣2=2x+5，或x ﹣2=﹣（2x+5）， 所以x 1=﹣7，x 2=﹣1； （2）=，方程整理得：x 2+x+6=0， 这里a=1，b=1，c=6， ∵△=1﹣24=﹣23＜0， ∴原方程无解．20．解：存在．理由如下：根据题意得△=4（1﹣m ）2﹣4m 2≥0，解得m ≤， 由根与系数的关系得到x 1+x 2=2（1﹣m ），x 1x 2=m 2， ∵x 12+x 22=14，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=14， ∴4（1﹣m ）2﹣2m 2=14，整理得m 2﹣4m ﹣5=0，解得m 1=5，m 2=﹣1， 而m ≤， ∴m=﹣1．21．解：（1）平移和旋转后的图形如图所示：内 不得 答（2）能，将△ABC 绕CB 、C ″B ″延长线的交点顺时针旋转90度．22．解：设甬路宽度为x 米，依题意可列方程（40﹣2x ）（26﹣x ）=144×6， 整理得x 2﹣46x+88=0， 解得x 1=2，x 2=44（舍去） 答：甬路宽度为2米．23．解：（1）连接PP ′，由题意可知BP ′=PC=10，AP ′=AP ， ∠PAC=∠P ′AB ，而∠PAC+∠BAP=60°， 所以∠PAP ′=60度．故△APP ′为等边三角形， 所以PP ′=AP=AP ′=6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP ′2+BP 2=BP ′2，所以△BPP ′为直角三角形，且∠BPP ′=90°可求∠APB=90°+60°=150°．24．解：：（1）当0≤x ≤4时设y 1=kx ，将（4，1.61.6=4k ，解得：k=0.4，当k ＞4时，设y 1=kx+b ，将点（4，1.6）（8.2.4）代入得：解得：k=0.2，b=0.8 故y 1=∵顶点A 的坐标为（4，3.2）， ∴设y 2=a （x ﹣4）2+3.2， ∵经过点（0，0） ∴0=a （0﹣4）2+3.2 解得a=﹣0.2，∴y 2=﹣0.2（x ﹣4）2+3.2=﹣0.2x 2+1.6x （0≤x ≤4） 当x ＞4时，y 2=3.2；密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）假设投资购买B 型用x 万元、A 型为（10﹣x ）万元，当0≤x ≤4时：y=y 1+y 2=0.2（10﹣x ）+0.8﹣0.2x 2+1.6x ； =﹣0.2x 2+1.4x+2.8=﹣0.2（x ﹣3.5）2+3.4125，当4＜x ＜6时：y=y 1+y 2=0.2（10﹣x ）+0.8+3.2=﹣0.2x+6；当x ≥6时：y=y 1+y 2=0.4（10﹣x ）+3.2=﹣0.4x+7.2；（3）当0≤x ＜4时：y=﹣0.2x 2+1.4x+2.8=﹣0.2（x ﹣3.5）2+5.25，当4≤x ＜6时：y=y 1+y 2=0.2（10﹣x ）+0.8+3.2=﹣0.2x+6； ∵k ＜0，∴当x 取得最小值时有最大值， ∴当x=4时有最大值5.25万元；当x ≥6时：y=y 1+y 2=0.4（10﹣x ）+3.2=﹣0.4x+7.2； ∵k ＜0，∴当x 取得最小值时有最大值， ∴当x=6时有最大值4.8万元；∴当投资B 型机械4万元，A 型机械6万元能获得最大补贴，最大补贴金额为5.25万元．25．解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x+）2+k （k ≠0）， 则依题意得：a+k=0，a+k=4，解之得：a=， k=﹣即：y=（x+）2﹣，顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）∵点E （x ，y ）在抛物线上，且位于第三象限． ∴S=2S △OAE =2××0A ×（﹣y ） =﹣6y=﹣4（x+）2+25 （﹣6＜x ＜﹣1）； ①当S=24时，即﹣4（x+）2+25=24， 解之得：x 1=﹣3，x 2=﹣4∴点E 为（﹣3，﹣4）或（﹣4，﹣4）当点E 为（﹣3，﹣4）时，满足OE=AE ，故▱OEAF 是菱形； 当点E 为（﹣4，﹣4）时，不满足OE=AE ，故▱OEAF 不是菱形． ②不存在．当0E ⊥AE 且OE=AE 时，▱OEAF 是正方形，此时点E 的坐标为（﹣3，﹣3），而点E 不在抛物线上，故不存在点E ，使▱OEAF 为正方形．密 封线 人教版2020—2021学年度上学期九年级数学（上）期中测试卷及答案（满分：120分 时间： 100分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ．cm B ．8cm C ．6cm D ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c 的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16四边形ABCD 的面积最大值是（ ）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．64B ．16C ．24D ．3210．已知二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a ≠0），且a 2+ab+ac ＜0，下列说法： ①b 2﹣4ac ＜0；②ab+ac ＜0；③方程ax 2+bx+c=0有两个不同根x 1、x 2，且（x 1﹣1）（1﹣x 2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点， 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是_________． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为_________．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离_________．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是_________．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分） 17．(6分)解方程：x 2+x ﹣2=0．18．(8分)已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y 轴的交点是（0，﹣4），求这个二次函数的解析式． 19．(8分)已知x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根 （1）求x 1+x 2，x 1x 2的值；密封线内不得（2）求2x12+6x2﹣2015的值．20．(10分)如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的图形；（3）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为_________．21．(11分)如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB+∠AOB=60°（1）求∠AOB的度数；（2）若AE=1，求BC的长．22．(11分)飞机着陆后滑行的距离S（单位：m间t（单位：s）的函数解析式是：S=60t﹣1.5t2（1）直接指出飞机着陆时的速度；（2）直接指出t的取值范围；（3）画出函数S的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停下来？23．(14分)如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点DB点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时： ①求∠AFC 的度数；②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．(14分)定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．解：∵3x 2﹣4x ﹣1=0，∴方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣4； 故选B ．2．解：y=x 2﹣2x+2的顶点横坐标是﹣=1，纵坐标是=1，y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（1，1）． 故选：A ．3．解：如图，△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则∠A 1OA=50°，OA=OA 1，OB=OB 1，AB=A 1B 1． 设直线AB 与直线A 1B 1交于点M ． 由SSS 易得△OAB ≌△OA 1B 1， ∴∠OAB=∠OA 1B 1， ∴∠OAM=∠OA 1M ， 设A 1M 与OA 交于点D ， 在△OA 1D 与△MAD 中，题∵∠DAM=∠DA 1O ，∠ODA 1=∠MDA ， ∴∠M=∠A 1OD=50°． 故选B ．4．解：∵x 2+6x+4=0， ∴x 2+6x=﹣4，∴x 2+6x+9=5，即（x+3）2=5． 故选：C ．5．解：A 、x 2﹣x ﹣1=0，△=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=9＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；B 、x 2+3x+2=0，△=32﹣4×2=1＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；C 、2015x 2+11x ﹣20=0，△=112﹣4×2015×（﹣20）＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；D 、x 2+x+2=0，△=12﹣4×2=﹣7＜0正确； 故选D ．6．解：点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3故选：D ．7．解：如图所示，连接OA ．⊙O 的直径CD=10cm ， 则⊙O 的半径为5cm ， 即OA=OC=5，又∵OM ：OC=3：5， 所以OM=3，∵AB ⊥CD ，垂足为M ， ∴AM=BM ， 在Rt △AOM 中，AM==4，∴AB=2AM=2×4=8． 故选B ．8密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，a 确定抛物线的形状与开口方向；若将抛物线C 沿y 轴平移，顶点发生了变化，对称轴没有变化，a 的值不变，则﹣不变，所以b 的值不变；若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 的值不变， 故选D ．9．解：设AC=x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD=16﹣x ， 则：S=AC •BD=x （16﹣x ）=﹣（x ﹣8）2+32， 当x=8时，S 最大=32；所以AC=BD=8时，四边形ABCD 的面积最大， 故选D ．10．解：当a ＞0时， ∵a 2+ab+ac ＜0， ∴a+b+c ＜0， ∴b+c ＜0， 如图1，∴b 2﹣4ac ＞0，故①错误； a （b+c ）＜0，故②正确；∴方程ax 2+bx+c=0有两个不同根x 1、x 2，且x 1＜1，x 2＞1， ∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）＜0，即（x 1﹣1）（1﹣x 2）＞0，故③正确；∴二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，故④正确； 故选C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．解：对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣，即直线x=﹣故答案为：直线x=﹣． 12．解：∵x=（b 2﹣4c ＞0），∴x 2+bx+c =（）2+b+c=++c == =0．故答案为：0．13．解：作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，题∵AB ∥CD ， ∴OF ⊥CD ，∴AE=BE=AB=12，CF=DF=CD=5， 在Rt △OAE 中，∵OA=13，AE=12， ∴OE==5，在Rt △OCF 中，∵OC=13，CF=5， ∴OF==12，当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF=OF+OE=12+5=17； 当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF=OF ﹣OE=12﹣5=7； 即AB 和CD 之间的距离为7cn 或17cm ． 故答案为7cn 或17cm ．14．解：设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ， ∵AC 2=BC •AB ， ∴x 2=1﹣x ， 解得：x 1=，x 2=（不合题意，舍去），∴AC=，∵AD 2=CD •AC ，∴AD=×=，∵AE 2=DE •AD ， ∴AE=×=﹣2；故答案为：﹣2．15．解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为x=1与x 轴一个交点的坐标为（﹣1，0），由抛物线的对称性可知：抛物线与x 轴的另一个交点坐标为0）． ∵y ＜0，∴x ＞3或x ＜﹣1．故答案为：x ＞3或x ＜﹣1．16．解：当B 、D 重合或C 、E 重合时DE 长度最大，如图1∵∠BAE=30°，∠AEB=90°， ∴DE=AB=a ，当∠BAD=∠CAE=15°时，DE 长度最小，如图2， 作AF ⊥BC ，且AF=AB ，连接DF 、CF ， ∵AF ⊥BC ，∴∠BAF=∠CAF=30°， ∵∠BAD=∠CAE=15°， ∴∠DAH=∠EAH=15°，密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴∠BAD=∠DAH ，在△ADB 和△ADF 中，，∴△ABD ≌△ADF ， ∴∠B=∠AFD ，BD=DF ， ∵∠AHB=∠DHF=90°，∴△ABH ∽△DFH ， AB ：AH=DF ：DH ， ∴=， ∴=，∴DH=，其中BD+DH=a 、AH=a ，∴DH==a∴DE=（2﹣3）a ，故DE 长度的取值范围是（2﹣3）a ≤DE ≤a ．三、解答题（共8小题，共72分） 17．解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0， 解得：x 1=1，x 2=﹣2．18．解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19．解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20．解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作；密（2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21．解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2，解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．22．解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题23．解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG 于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ， ∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，内不答题则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，BH=BG•sin∠BGH=BG•sin60°=y，GH=BG•cos∠BGH=BG•cos60°=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=（y）2+（x﹣y）2=x2﹣xy+y2．∴==1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6．∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BE•cosB=BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sinB=6×=3；当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C．∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．24．解：（1）设抛物线上有一点（x，y），由定义知：x2+（y﹣）2=|y+|2，解得y=ax2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2个单位所得，∴其焦点为A（0，﹣n2），准线为y=﹣﹣n2，密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ，∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2，∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2）， 设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 不 人教版2020—2021学年度上学期九年级数学（上）期中测试卷及答案（满分：120分 时间： 100分钟）一、选择题（共15题，每题3分，共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ） A ．11 B ．13 C ．11或13 D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A ．﹣4 B ．﹣1 C ．1 D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ） A ．12 B ．6 C ．9 D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ） A ．y=2（x+1）2+3 B ．y=2（x ﹣1）2﹣3 C ．y=2（x+1）2﹣3 D ．y=2（x ﹣1）2+310．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题x ﹣1 0 1 2 3 y51﹣1﹣11则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x=13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．(4分)解方程：x 2﹣4x+2=0．17．(5分)已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．(6分)如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．（1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．(6分)一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时，y= ； （2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．(9分)如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A 点为旋转中心，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得△AB 1C 1，画出△AB 1C 1．（2）作出△ABC 关于坐标原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2． （3）作出点C 关于x 轴的对称点P ．若点P 向右平移x （x 取整数）个单位长度后落在△A 2B 2C 2的内部，请直接写出x 的值．21．(10分)已知关于x 的一元二次方程． （1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．(11分)某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2018年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2020年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2022年初完工并还清银行贷款），售，开发总面积为5购买土地费用的5%，工程完工后不再上交土地管理费．若房价定位每平方米3000米上涨100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长个月．该房地产开发商预计售房净利润为8660万． （1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2商不再出售，准备作为商业用房对外出租）平方米多少元？23．(12分)正方形ABCD 点A 重合，一条直角边与边BC 交于点E （点E 不与点B 重合），另一条直角边与边CD 的延长线交于点F ． （1）如图①，求证：AE=AF ；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD 交于G ，且点G 是斜边MN 的中点，连接EG EG=BE+DG ；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G 是否一定是边CD 的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．(12分)如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．解：∵选项A 中的图形旋转180°后不能与原图形重合， ∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，∴选项A 不正确；∵选项B 中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形， ∴选项B 正确；∵选项C 中的图形旋转180°后不能与原图形重合， ∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形， ∴选项C 不正确；∵选项D 中的图形旋转180°后能与原图形重合， ∴此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形， ∴选项D 不正确．故选：B ．2．解：x 2﹣3x=0， x （x ﹣3）=0， x=0或x ﹣3=0， 所以x 1=0，x 2=3．故选C ． 3．解：方程x 2﹣6x+8=0， 分解因式得：（x ﹣2）（x ﹣4）=0，可得x ﹣2=0或x ﹣4=0，解得：x 1=2，x 2=4，当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13． 故选B ．4．解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ． 5．解：∵a 为方程x 2+x ﹣5=0的解， ∴a 2+a ﹣5=0，∴a2+a=5 则a2+a+1=5+1=6．故选：B．6．解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个不相等的实根，∴△=（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故选A．7．解：∵在等腰直角△ABC中，∠B=90°，∴∠BAC=45°，∵将△ABC绕点 A逆时针旋转60°后得到的△AB′C′，∴∠BAB′=60°，∠B′AC′=∠BAC=45°，∴∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°，故选A．8．解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2．故选D．9．解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．故选A．10．解：因为y=（x+2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选B．11．解：∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x2+4x+4﹣4+3）=﹣（x+2）2+1 ∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选B．12．解：∵x=1和2时的函数值都是﹣1，∴对称轴为直线x==．故选：D．13．解：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，又∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，所以A正确．故选A．14．解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线应经过二、四象限，故A可排除；B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在ya、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b故B可排除；C、由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b三象限，故C可排除；正确的只有D．故选：D．15．解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x又∵0≤x≤，∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．故选：C．二、解答题（本大题共9小题，共75分）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题16．解：x 2﹣4x=﹣2x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4，∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形． ∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19．解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元； 20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求； （2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求； （3）x 的值为6或7．21．解：（1）所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2，原方程为x2﹣5x+6=0⇒x1=2，x2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2．则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x2﹣4x+4=0⇒x1=x2=2即，等腰三角形的三边为2，2，3．则周长为7，面积为22．解：（1）15×100=1500万，1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万，1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万．答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x个100元，依题意有（5﹣0.1x）=8660+7300，解得x1=12，x2=8，又因为当x1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，舍去；当x2=8时，卖房时间为20个月；则房价为3000+8×100=3800元．答：房价应定为每平方米3800元．23．解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．在△ABE和△ADF 中，∴△ABE≌△ADF（ASA）∴AE=AF；（2）如图②，连接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ，∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ， ∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24．解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，密 封 线 内 不答 题∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0． ∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ． ∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2， 又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0①由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。
北京市东城区第五中学分校2020-2021学年九年级上册期中考试数学试题 解析版
2020-2021学年北京五中分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．70°3．当x＜0时，函数y＝的图象位于（）A．第三象限B．第一、二、三象限C．第二、四象限D．第二象限4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣35．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是（）A．4B．8C．6D．106．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC ＝6，则AC的长为（）A．4B．C．D．7．如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜48．已知O⊙，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是．10．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝．11．小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，其中A（﹣2，3），则A'的坐标是．13．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是．14．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB绕点O顺时针旋转α（α＜180°）角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α＝．15．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB 的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为m．16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是．三、解答题（本题共68分）17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O 的半径的长．19．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；的长．（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P Ax…﹣3﹣2﹣101……44m…y＝ax2+bx+c根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c，m的值；（2）求此二次函数的解析式．21．（5分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．24．（6分）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润是元；（用含x的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为；（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线y＝mx2+2mx﹣3沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n的取值范围是．②若向右平移，则n的取值范围是．27．（7分）如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF 的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD∠NMD（填＞，＜或＝）；②设BC＝2，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O 的近距点．（1）在点P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距点是；（2）若直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；（3）若点P在直线y＝x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标x P的取值范围．2020-2021学年北京五中分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．70°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°，故选：A．3．当x＜0时，函数y＝的图象位于（）A．第三象限B．第一、二、三象限C．第二、四象限D．第二象限【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数y＝的图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点判断出x＜0时函数图象所在的象限即可．【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝5＞0，∴此函数的图象位于一、三象限，∴当x＜0时函数的图象在第三象限．故选：A．4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣3【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴新抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，故选：B．5．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是（）A．4B．8C．6D．10【分析】连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB＝2AE，又CE＝2，OC＝5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BE＝AB，∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3，在Rt△AOE中，AE＝＝＝4，∴AB＝2AE＝8，故选：B．6．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC ＝6，则AC的长为（）A．4B．C．D．【分析】如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径＝2；然后在等边△AOD中得到AD＝OA ＝2；最后通过解直角△ACD来求AC的长度．【解答】解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．∵P A、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴OA⊥AP，∠APO＝∠APB＝30°．∴OP＝2OA，∠AOP＝60°，∴PC＝2OA+OC＝3r＝6，则r＝2，易证△AOD是等边三角形，则AD＝OA＝2，又∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD＝30°，∴AC＝AD•cot30°＝2故选：C．7．如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由，解得或，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞2．故选：B．8．已知O⊙，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①连接OC，根据作图过程可得，再根据垂径定理即可判断；②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴＝，根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确；③方法一：∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，∴BC＝2CE．所以③正确．方法二：由△ACE∽△CBE，∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，∴BC＝2CE，所以③正确，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．【解答】解：点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5），故答案为：（﹣4，5）．10．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴sin A＝＝．故答案为：．11．小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得2250（1﹣x）2＝1000．【分析】直接利用一元二次方程中下降率求法得出方程即可．【解答】解：设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得：2250（1﹣x）2＝1000．故答案为：2250（1﹣x）2＝1000．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，其中A（﹣2，3），则A'的坐标是（3，2）．【分析】根据题意画出图形，即可解决问题．【解答】解：如图，观察图象可知，A′（3，2）．故答案为（3，2）．13．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是2．【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而利用直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半，求出即可．【解答】解：∵直径AB＝4，∠ACB＝90°，∵点C在⊙O上，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2，故答案为：2．14．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB绕点O顺时针旋转α（α＜180°）角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α＝60°．【分析】根据旋转的性质得出OA＝OA′，得出△OAA′是等边三角形．则∠AOA′＝60°，则可得出答案．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°．∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∴OA＝OA′．∴△OAA′是等边三角形．∴∠AOA′＝60°，即旋转角α的大小是60°．故答案为：60°．15．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB 的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为20m．【分析】证出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝20m．故答案为：20．16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是②③．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），而抛物线的对称轴为直线x＝，∴点（﹣2，0）关于直线x＝的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣2，x2＝3，所以③正确．由图象可知当﹣2＜x＜3时，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④错误；故答案为②③．三、解答题（本题共68分）17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．【分析】利用因式分解法把原方程化为x﹣2＝0或2x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝0，x﹣2＝0或2x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣．18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O 的半径的长．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝4，AC＝BC＝4，AB＝2BC，得出BC＝4，AB＝8，求出OA＝4即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，∠AHC＝90°，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝4，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝4，AB＝2BC，∴BC＝4，AB＝8，∴OA＝4，即⊙O的半径长是4．19．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P A的长2或5．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）分两种情形：当P A＝PB＝2时，易知PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE ＝90°，可得△PEF∽△EAD．当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，分别求解即可．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，∴∠AED＝∠P AF，∵PF⊥AE，∴∠D＝∠PF A＝90°，∴△P AF∽△AED．（2）解：当P A＝PB＝2时，∵DE＝EC，AP＝PB，∴PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，∴P A＝PE，∵PF⊥AE，∴AF＝FE，∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，∴AE ＝＝＝2，∴AF ＝，∵△P AF∽△AED，∴＝，∴＝，∴P A＝5，综上所述，满足条件的P A的值为2或5．20．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y＝…44m…ax2+bx+c根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c，m的值；（2）求此二次函数的解析式．【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得m的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：（1）根据图表可知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，4），（﹣2，4），∴对称轴为直线x＝＝﹣1，c＝4，∵（﹣3，）的对称点为（1，），∴m＝；（2）∵对称轴是直线x＝﹣1，∴顶点为（﹣1，），设y＝a（x+1）2+，将（0，4）代入y＝a（x+1）2+得，a+＝4，解得a＝﹣，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+．21．（5分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）满足条件的k的值为3，然后把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，解得k＜4且k≠2；（2）符合条件的最大整数k＝3，把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，解得m＝﹣．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝得到k的值；（2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；②先确定（﹣3，0），由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再结合图象可判断当n≥3+时，CD≥OB．【解答】解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），∴m＝1+3＝4，∵反比例函数的图象经过点A（1，4），∴k＝1×4＝4；（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），当y＝2时，2＝，解得x＝2，∴点C的坐标为（2，2），当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，2），∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）当y＝n时，n＝，解得x＝，∴点C的坐标为（，n），当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，∴点D的坐标为（n﹣3，n），当点C在点D的右侧时，若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），∴当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），∴当n≥3+时，CD≥OB，综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．【分析】（1）如图，连结OD，欲证DE是⊙O的切线，只需证得OD⊥ED；（2）求出AE，证△AED∽△DEB，求出DE，证△FOD∽△F AE，求得FD，由勾股定理求得FO，根据线段和差可求得CF．【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝OC，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，AB＝AC，∴AC＝AB＝2+2＝4，∵BE＝1，∴AE＝4﹣1＝3，过O作OH⊥AB于H，则四边形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝2，∴AH＝1，∴AH＝AO，∴∠AOH＝30°，∴∠BAC＝60°，∴AF＝2AE＝6，∴CF＝AF﹣AC＝2．∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠DAE＝∠BDE，∴△AED∽△DEB，∴＝，∴＝，解得：DE＝，∵OD∥AB，∴△FOD∽△F AE，∴＝，∴＝，解得：FD＝2，在Rt△FOD中，FO＝＝＝4，∴CF＝FO﹣OC＝4﹣2＝2．24．（6分）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润是（4+x）元；（用含x 的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？【分析】（1）根据题意列代数式即可得到结论；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润是（4+x）元；故答案为：（60﹣5x）；（4+x）；（2）根据题意得，（60﹣5x）（4+x）＝300，解得：x1＝6，x2＝2，答：销售单价应上涨2元或6元；（3）根据题意得，y＝（60﹣5x）（4+x）＝﹣5（x﹣12）（x+4）＝﹣5（x﹣4）2+320，答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是任意实数．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是①③．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3．【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根时，k 的取值范围．【解答】解：（1）∵函数y＝x2﹣4|x|+3，∴x的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数；（2）由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；（3）由图象可得，函数图象关于y轴对称，故①正确；函数有最小值，但没有最大值，故②错误；当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，故③正确；函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；故答案为：①③；（4）由图象可得，关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3，故答案为：﹣1＜k＜3．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0）；（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线y＝mx2+2mx﹣3沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4．②若向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣，可求解；（2）将点B坐标代入可求解；（3）设向左平移后的解析式为：y＝（x+1+n）2﹣4，设向右平移后的解析式为：y＝（x+1﹣n）2﹣4，利用特殊点代入可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3的对称轴为直线x＝＝﹣1，AB＝4，∴点A（﹣3，0），点B（1，0），故答案为：x＝﹣1，（﹣3，0）；（2）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3过点B（1，0），∴0＝m+2m﹣3，∴m＝1，∴抛物线的解析式：y＝x2+2x﹣3，（3）如图，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴设向左平移后的解析式为：y＝（x+1+n）2﹣4，把x＝﹣3，y＝0代入解析式可得：0＝（﹣3+1+n）2﹣4，∴n＝0（舍去），n＝4，∴向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4；设向右平移后的解析式为：y＝（x+1﹣n）2﹣4，把x＝0，y＝﹣3代入解析式可得：﹣3＝（1﹣n）2﹣4，∴n＝0（舍去），n＝2，∴向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2，故答案为：0＜n≤4；0＜n≤2．27．（7分）如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF 的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD＝∠NMD（填＞，＜或＝）；②设BC＝2，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是AM+MN＝CN．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．【分析】（1）①由“SAS”可证∴△BMD≌△CND，可得∠BMD＝∠DNC，由外角的性质和平行线的性质可证∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN；②由等腰三角形的性质可求BM＝BD＝＝NC，再求出AM＝2﹣，MN＝AM＝2﹣2，即可得结论；（2）在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，由“SAS”可证△AMD≌△CHD，可得MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，再由“SAS”可证△MDN≌△HDN，可得MN＝HN，可得结论．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，∴∠B＝∠C＝∠EDF＝45°，AB＝AC，BC＝AB，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝45°＝∠ANM＝∠C，∠DMN＝∠BDM，∴AM＝AN，∴BM＝CN，∵点D是BC中点，∴BD＝CD，在△BMD和△CND中，，∴△BMD≌△CND（SAS），∴∠BMD＝∠DNC，∵∠MDB＝∠C+∠DNC＝∠MDN+∠BDM，∴∠BDM＝∠CND，∴∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN，故答案为：＝；②∵BC＝2，BC＝AB，∴AB＝AC＝2，∵∠BMD＝∠CND＝∠BDM，∴BD＝BM＝BC＝，∴NC＝，∴AM＝2﹣，∵AM＝AN，∠A＝90°，∴MN＝AM＝2﹣2，∴AM+MN＝2﹣+2﹣2＝＝NC，故答案为：；AM+MN＝NC；（2）如图1，在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC中点，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ACD＝45°，AD⊥BC，又∵AM＝CH，∴△AMD≌△CHD（SAS），∴MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，∵∠ADM+∠ADN＝∠MDN＝45°，∴∠ADN+∠CDH＝45°，∴∠HDN＝45°＝∠MDN，在△MDN和△HDN中，，∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN＝HN，∴NC＝CH+NH＝AM+MN．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O 的近距点．（1）在点P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距点是P1；（2）若直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；（3）若点P在直线y＝x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标x P的取值范围．【分析】（1）按照新定义，利用构成三角形三边的关系，逐个验证即可求解；（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，进而求解；（3）直线y＝x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：OQ＝1，P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）的坐标知，点P2、P3都不在圆O外，故不符合题意；对于P1，OP1＝＝，则OP1﹣OQ＜P1Q＜OP1+OQ，即﹣1＜P1Q＜+1，故存在P1Q≤1，故点P1符合题意；同理可得OP4＝，则﹣1＜P4Q＜+1，故不存在P4Q≤1，故点P4符合题意；故答案为P1；（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，设直线l与圆切于点A，则△OAB为等腰直角三角形，则OB＝OA＝2＝b，同理当直线l处于l′的位置时，b＝﹣2，故b的取值范围为﹣2≤b≤2；（3）如图2，作半径为2的同心圆O，与直线y＝x+1交于点B、C，设直线y＝x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，设点B的坐标为（x，x+1），过点B作BH⊥y轴于点H，连接OB、OC，在Rt△OBH中，OB2＝BH2+OH2，即（x+1）2+x2＝22，解得x＝（舍去负值），故x＝＝x B，同理可得，x C＝﹣，故0＜x P≤或﹣≤x P＜﹣1．。
北京师范大学附属实验中学2020-2021学年上学期期中考试九年级数学试卷
2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣22．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定3．（2分）如果4x＝3y，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．x＝4，y＝3 4．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45B．60C．72D．1445．（2分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（）A．32°B．58°C．64°D．116°6．（2分）下列图形一定不是中心对称图形的是（）A．正六边形B．线段y＝﹣x+2（1≤x≤3）C．圆D．抛物线y＝x2+x7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（）A．ac＞0B．b+2a＜0C．b2﹣4ac＞0D．a﹣b+c＜0 8．（2分）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（）A．8min B．13min C．20min D．25min二、填空题（本题共16分，每小题2分）.9．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝．10．（2分）如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠C＝110°，则∠A＝°．11．（2分）将抛物线y＝x2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是．12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，面积为π，则扇形的半径是．13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a＝，b＝．14．（2分）抛物线y＝2x2﹣4x上三点分别为（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（用“＞”号连接）15．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC 的长为．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是，半径是．三、解答题（本题共68分，第17、19-23题，每小题5分，第18、24、25、26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x+1）2+（x+2）（x﹣2）的值．18．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）画出此函数的图象；（3）借助图象，判断若0＜x＜3，则y的取值范围是．19．（5分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？20．（5分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4＝0．（1）判断方程根的情况；（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．21．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若E是线段AD的中点，求的值．22．（5分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点π的⊙O的切线．小敏的作法如下：①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；③作直线P A，PB．所以直线P A，PB就是所求作的切线．根据小敏设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，∴∠OAP＝∠OBP＝°．（）（填推理的依据）∴P A⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB是⊙O的切线．（）（填推理的依据）23．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）24．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质．小东对函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是全体实数；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣2﹣10123456…y…m﹣24﹣600062460…①m＝；②若M（n，﹣720），N（11，720）为该函数图象上的两点，则n＝；（3）在平面直角坐标系xOy中，如图所示，点A（x1，y1）是该函数在2≤x≤3范围的图象上的最低点．①直线y＝﹣y1与该函数图象的交点个数是；②根据图象，直接写出不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解集．25．（6分）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED＝3，EF＝5，求⊙O的半径．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2nx+n2+n﹣3与y轴交于点C，与x 轴交于点A，B，点A在B的左边，x轴正半轴上一点D，满足OD＝OA+OB．（1）①当π＝2时，求点D的坐标和抛物线的顶点坐标；②当AB＝2BD时，求n的值；（2）过点D作x轴的垂线交抛物线于点P，作射线CP，若射线CP与x轴没有公共点，直接写出n的取值范围．27．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一动点（不与点A，C重合），连接BD，作AH⊥BD于点H，将线段AH绕点A逆时针旋转60°至线段AE，连接CE．（1）①补全图形；②判断线段BH与线段CE的数量关系，并证明；（2）已知AB＝4，点M在边AB上，且BM＝1，作直线HE．①是否存在一个定点P，使得对于任意的点D，点P总在直线HE上，若存在，请指出点P的位置，若不存在，请说明理由；②直接写出点M到直线HE的距离的最大值．28．（7分）对于给定的⨀M和点P，若存在边长为1的等边△PQR，满足点Q在⨀M上，且MP≥MR（当点R，M重合时，定义MR＝0），则称点P为⨀M的“等边远点”，此时，等边△PQR是点P关于⨀M的“关联三角形”，MR的长度为点P关于⨀M的“等边近距”．在平面直角坐标系xOy中，⨀O的半径为．（1）试判断点A（，1）是否是⨀O的“等边远点”，若是，请画出对应的“关联三角形”；若不是，请说明理由．（2）下列各点：B（0，3），C（﹣，0），D（，），E（0，1﹣）中，⨀O的“等边远点”有；（3）已知直线FG：y＝x+b（b＞0）分别交x，y轴于点F，G，且线段FG上存在⨀O 的“等边远点”，求b的取值范围；（4）直接写出⨀O的“等边远点”关于⨀O的“等边近距”d的取值范围是．2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是x＝h可得答案．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．2．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，5＜6，∴直线l与⊙O相离．故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．3．（2分）如果4x＝3y，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．x＝4，y＝3【分析】根据等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：A．若＝，等式两边同时乘以12得：4x＝3y，A项正确，B．若＝，等式两边同时乘以12得：3x＝4y，B项错误，C．若＝，等式两边同时乘以3y得：3x＝4y，C项错误，D．若x＝4，y＝3，则3x＝4y，D项错误，故选：A．【点评】本题考查等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．4．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45B．60C．72D．144【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．5．（2分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（）A．32°B．58°C．64°D．116°【分析】先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝58°，∴∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠BCD＝∠A＝32°．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．6．（2分）下列图形一定不是中心对称图形的是（）A．正六边形B．线段y＝﹣x+2（1≤x≤3）C．圆D．抛物线y＝x2+x【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、正六边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、线段y＝﹣x+2（1≤x≤3）是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、圆是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、抛物线y＝x2+x不是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（）A．ac＞0B．b+2a＜0C．b2﹣4ac＞0D．a﹣b+c＜0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、由函数图象可知二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，即a＞0，交于y轴的负半轴c＜0，ac＜0，故本选项错误；B、由函数图象可知对称轴x＝﹣＜1，所以﹣b＜2a，即2a+b＞0，故本选项错误；C、由函数图象可知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0．故本选项正确；D、由函数图象可知当x＝﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，故本选项错误．【点评】考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：二次函数的开口向上，a＞0；二次函数与y轴交于负半轴，c＜0；二次函数与x轴有2个交点，b2﹣4ac＞0；a﹣b+c 的符号用当x＝﹣1时，函数值的正负判断．8．（2分）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（）A．8min B．13min C．20min D．25min【分析】把点坐标：（0，43）、（20，55）、（30，31），代入函数s＝at2+bt+c，求出函数表达式，由a＝﹣，故函数有最大值，即：当t＝﹣＝13时，s有最大值．【解答】解：由题意得：函数过点（0，43）、（20，55）、（30，31），把以上三点坐标代入s＝at2+bt+c得：，解得：，则函数的表达式为：s＝﹣t2+t+43，∵a＝﹣，则函数有最大值，当t＝﹣＝13时，s有最大值，即学生接受能力最强，因此B正确；备注：本题为选择题，为此可用函数的对称性来解答，从图象看，函数的对称轴大概是在10到15之间的，所以答案是B，这样判断较为简便，可参考．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定已知点坐标，求出函数表达式，通常自变量在对称轴时，函数取得最值．二、填空题（本题共16分，每小题2分）.9．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝﹣2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2分）如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠C＝110°，则∠A＝70°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质；熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．11．（2分）将抛物线y＝x2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y＝（x+2）2+1．此时抛物线顶点坐标是（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，面积为π，则扇形的半径是．【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝即可求得．【解答】解：∵S扇形＝，∴r2＝＝＝3，∴r＝（负值舍去），故答案为．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S扇形＝．13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a＝1，b＝2．【分析】根据判别式的意义得到△＝b2﹣4a＝0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b的值．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点，∴△＝b2﹣4a＝0，若a＝1，则b可取2．故答案为1，2（答案不唯一）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．14．（2分）抛物线y＝2x2﹣4x上三点分别为（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2（用“＞”号连接）【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点A（﹣3，y1）到对称轴距离最远，点（0，y2）到对称轴的距离最近，∴y1＞y3＞y2．故答案为：y1＞y3＞y2．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．15．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC 的长为6．【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠A＝30°，再由垂径定理得CE＝DE＝CD ＝3，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，CE＝DE＝CD＝3，∴AC＝2CE＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及由含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是（5，2），半径是2．【分析】利用三角形的外心与三角形三个顶点的距离相等，确定出外心的位置，即可解决．【解答】解：∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，∴三角形的外心位置基本确定，只有（5，2）点到三角形三个顶点距离相等，∴（5，2）点是三角形的外接圆圆心．利用勾股定理可得半径为：2．故答案为：（5，2），2．【点评】此题主要考查了三角形的外心相关知识，以及结合平面坐标系确定特殊点，题目比较典型．三、解答题（本题共68分，第17、19-23题，每小题5分，第18、24、25、26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x+1）2+（x+2）（x﹣2）的值．【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，最后把已知代入得出答案．【解答】解：（x+1）2+（x+2）（x﹣2）＝x2+2x+1+x2﹣4＝2x2+2x﹣3，∵x2+x﹣5＝0，∴x2+x＝5，原式＝2（x2+x）﹣3＝2×5﹣3＝7．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）画出此函数的图象；（3）借助图象，判断若0＜x＜3，则y的取值范围是0＜y≤4．【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，然后用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k 的形式；（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．∴c＝3，﹣＝＝1，∴b＝2，∵二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x2+2x+3＝﹣x2+2x﹣1+4＝﹣（x﹣1）2+4；（2）画出函数图象如图：；（3）由图象可知，若0＜x＜3，则y的取值范围是0＜y≤4，故答案为0＜y≤4．【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键．19．（5分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？【分析】先过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，再设OB＝r，利用勾股定理求出r 的值即可得出答案．【解答】解：过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，设OB＝rcm，∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴AB＝4cm，∵刻度尺宽2cm，∴OA＝（r﹣2）cm，在Rt△OAB中，OA2+AB2＝OB2，即（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，则该光盘的直径是10cm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理及切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．（5分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4＝0．（1）判断方程根的情况；（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．【分析】（1）先求出△的值，再根据根的判别式即可得出方程根的情况；（2）根据方程有整数根，可知△是完全平方数，利用求根公式选择k＝4（答案不唯一），求出方程的根即可．【解答】解：（1）∵△＝（﹣k）2﹣12（k﹣4）＝k2﹣12k+48＝（k﹣6）2+12＞0，∴方程有两个不等的实数根；（2）当k＝4时，△＝16，方程化为3x2﹣4x＝0，解得x1＝0，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．21．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若E是线段AD的中点，求的值．【分析】（1）先由角平分线的定义得∠BAE＝∠CAD，再由等腰三角形的性质得∠BED ＝∠BDE，则∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）先由相似三角形的性质得＝＝，则BE＝CD，再由BE＝BD得BD＝CD，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD；（2）解：∵E是线段AD的中点，∴AE＝AD，∵△ABE∽△ACD，∴＝＝，∴BE＝CD，∵BE＝BD，∴BD＝CD，∴＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（5分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点π的⊙O的切线．小敏的作法如下：①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；③作直线P A，PB．所以直线P A，PB就是所求作的切线．根据小敏设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，∴∠OAP＝∠OBP＝90°．（直径所对的圆周角为直角）（填推理的依据）∴P A⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据圆周角定理的推论，由OP为直径得到∠OAP＝∠OBP＝90°，则P A⊥OA，PB⊥OB，然后根据切线的判定定理得到直线P A，PB是⊙O的切线．【解答】解：（1）如图，P A、PB为所作；（2）由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直径所对的圆周角为直角）∴P A⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线）故答案为90，直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．23．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式，然后令y ＝0，即可求得CD的长度．【解答】解：以DC所在直线为x轴，过点A作DC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如右图所示，则A（0，2），B（4，4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），∵A（0，2）在抛物线上，∴2＝a（0﹣4）2+4，解得，a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+4，将y＝0代入，得﹣（x﹣4）2+4＝0解得，x1＝4﹣4（舍去），x2＝4+4，∴DC＝4+4，答：该同学把实心球扔出（4+4）米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质．小东对函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是全体实数；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣2﹣10123456…y…m﹣24﹣600062460…①m＝﹣60；②若M（n，﹣720），N（11，720）为该函数图象上的两点，则n＝﹣7；（3）在平面直角坐标系xOy中，如图所示，点A（x1，y1）是该函数在2≤x≤3范围的图象上的最低点．①直线y＝﹣y1与该函数图象的交点个数是2；②根据图象，直接写出不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解集．【分析】（2）①把x＝﹣2代入函数解析式可求得m的值；②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点（2，0）对称，再根据点M、N 的坐标即可求出n值；（3）①根据图象即可求得；②根据图象的即可求得．【解答】解：（2）①当x＝﹣2时，m＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝﹣60．故答案为：﹣60．②观察表格中的数据可得出函数图象关于点（2，0）中心对称，∴＝2，解得：n＝﹣7．故答案为：﹣7．（3）①由图象可知直线y＝﹣y1与该函数图象的交点个数是3个，故答案为2．②由图象可知，不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解为1＜x＜2或x＞3．【点评】本题考查了多次函数的图象与性质，根据给定表格找出函数图象关于点（2，0）中心对称是解题的关键．25．（6分）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED＝3，EF＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD＝90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE＝BE，于是得到∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O 的切线；（2）CE＝BE＝DE＝3，于是得到CF＝CE+EF＝4，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连CB、OC，如图，∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵E为BD的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：CE＝BE＝DE＝3，∵EF＝5，∴CF＝CE+EF＝8，∵∠ABD＝90°，∴∠EBF＝90°，∵∠OCF＝90°，∴∠EBF＝∠OCF，∵∠F＝∠F，∴△EBF∽△OCF，∴，∴，∴OC＝6，即⊙O的半径为6．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2nx+n2+n﹣3与y轴交于点C，与x 轴交于点A，B，点A在B的左边，x轴正半轴上一点D，满足OD＝OA+OB．（1）①当π＝2时，求点D的坐标和抛物线的顶点坐标；②当AB＝2BD时，求n的值；（2）过点D作x轴的垂线交抛物线于点P，作射线CP，若射线CP与x轴没有公共点，直接写出n的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求出A，B，的坐标，即可解决问题．②分两种情形：A，B在y轴的两侧或A，B在y轴的右侧，分解构建方程求解即可．（2）如图1中，∵抛物线的得到（n，n﹣3），抛物线的顶点在直线y＝x﹣3上运动，利用图象法，分n＜0或n＞0，两种情形，分别构建不等式求解即可．【解答】解：（1）①n＝2时，抛物线的解析式y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标（2，﹣1），令y＝0，得到x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴OD＝OA+OB＝1+3＝4，∴D（4，0）．②∵OD＝OA+OB，AB＝2BD，∴有两种情形：A，B在y轴的两侧或A，B在y轴的右侧．当A，B在Y轴的两侧时，由题意OA＝OB＝BD，∴抛物线的对称轴是y轴，∴n＝0．当A，B在y轴的右侧时，由题意OA＝BD，AB＝2OA，∵抛物线的对称轴x＝n，∴A（n，0），把（n，0）代入y＝x2﹣2nx+n2+n﹣3，0＝（n）2﹣2n×n+n2+n﹣3，解得n＝2或﹣6（舍弃），综上所述，满足条件的n的值为0或2．（2）如图1中，∵抛物线的得到（n，n﹣3），∴抛物线的顶点在直线y＝x﹣3上运动，观察图象可知，当n＜0且n2+n﹣3＞0时，满足条件，解得：n＜．如图2中，当时，满足条件．解得：n＞，综上所述，满足条件的n的值为n＜或n＞．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建不等式解决问题，属于中考压轴题．27．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一动点（不与点A，C重合），连接BD，作AH⊥BD于点H，将线段AH绕点A逆时针旋转60°至线段AE，连接CE．（1）①补全图形；②判断线段BH与线段CE的数量关系，并证明；（2）已知AB＝4，点M在边AB上，且BM＝1，作直线HE．①是否存在一个定点P，使得对于任意的点D，点P总在直线HE上，若存在，请指出点P的位置，若不存在，请说明理由；②直接写出点M到直线HE的距离的最大值．【分析】（1）①依照题意画出图形；②由“SAS”可证△ABH≌△ACE，可得BH＝CE；（2）①如图2，设直线EH与BC的交点为P，过点C作CG∥BD，交EH的延长线于G，由“ASA”可证△BHP≌△CGP，可得BP＝PC，可得结论；②连接AP，可证点A，点B，点P，点H四点共圆，可得当AB∥PH时，点M到PE的距离最大，即可求解．【解答】解：（1）①由题意可得：②BH＝CE，理由如下：∵将线段Aπ绕点A逆时针旋转60°至线段AE，∴AH＝AE，∠HAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAH＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴BH＝CE；（2）①如图2，设直线EH与BC的交点为P，过点C作CG∥BD，交EH的延长线于G，∴∠PCG＝∠PBH，∠G＝∠BHP，∵△ABH≌△ACE，∴∠AHB＝∠AEC＝90°，∵AH＝AE，∠HAE＝60°，∴△AHE是等边三角形，∴∠AEH＝60°，∴∠HEC＝30°，∵∠ABC+∠ACB＝120°＝∠ABH+∠CBD+∠ACB，∴∠ACE+∠∠BCG+∠ACB＝120°＝∠GCE，。
2020-2021学年上学期九年级第一阶段考试数学试题及答案
2020-2021学年上学期九年级第一阶段考试数学试题（考试时间：100分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )。
A B C D2．用配方法解方程 x2－6x＋8＝0 时，方程可变形为 ( )A．(x－3)2＝1 B．(x－3)2＝－1 C．(x＋3)2＝1 D．(x＋3)2＝－13．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0(k为实数)根的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定4．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+35．平行于x轴的直线与抛物线y＝a(x－2)2的一个交点坐标是(－1，2)，则另一个交点的坐标是( ) A．(1，2) B．(1，－2) C．(5，2) D．(－1，4)6.在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为（） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y37.在平面直角坐标系中，把点A(3，4)绕原点逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为( )A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)8．如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠A C′C的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°10、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.给出下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（每小题3分，共18分）11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020=0有一个根为x=﹣1，则a+b= ．12．若二次函数y=（2﹣m）x|m|﹣3的图象开口向下，则m的值为．13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为．14．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是________．15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2；正确的有（填序号）三. 解答题（共75分）16．(8分)解方程：(1)x2＋3x＝1 (2)3x(x－2)＝2(x－2)．17.(9分）已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)等腰△ABC的一边是3，另两边是此方程的两个根，求△ABC的周长．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，1)、B(5，1)、C(4，4)(1) 将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1并写出三顶点的坐标。
人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案(含2套题)
密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。
2020—2021年北师大版九年级数学上册期中测试卷及答案【各版本】
2020—2021年北师大版九年级数学上册期中测试卷及答案【各版本】班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．2020的相反数是（ ）A ．2020B ．2020-C ．12020D ．12020- 2．已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩则a+b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．23．若x 是3的相反数，|y|=4，则x-y 的值是（ ）A ．-7B ．1C ．-1或7D ．1或-74．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2311546a b b c -=⎧⎨-=⎩C ．292x y x ⎧=⎨=⎩D ．284x y x y +=⎧⎨-=⎩ 5．如果分式||11x x -+的值为0，那么x 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-1或1 D ．1或06．若221m m +=，则2483m m +-的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b ≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤8．如图，⊙O 中，半径OC ⊥弦AB 于点D ，点E 在⊙O 上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB 等于（ ）A ．2B ．2C ．22D ．39．扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯ C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 10．直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为（ ）A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－52，0)D ．(－32，0) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．16的平方根是__________．2．分解因式：2242a a ++=___________．3．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．4．如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为__________．5．如图，抛物线y=﹣x 2+2x+3与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为__________．6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30,23A CD ︒∠==，则⊙O 的半径是__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：24111x x x =+--2．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？3．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.4．如图，点C 为△ABD 外接圆上的一动点（点C 不在BD 上，且不与点B ，D 重合），∠ACB=∠ABD=45°．（1）求证：BD 是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究222DM AM BM，，,三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．5．某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：（1）请将条形统计图补全；（2）获得一等奖的同学中有14来自七年级，有14来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.6．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、B3、D4、A5、B6、D7、A8、C9、D10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、±2．2、22(1)a +3、84、5、（2）或（12）．6、2三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x=3．2、（1）34m ≥-；（2）m 的值为3．3、（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小1；（3）12(4,5),(8,45)P P --4、（1）详略；（2）详略；（3）DM 2＝BM 2＋2MA 2,理由详略.5、（1）答案见解析；（2）13. 6、(1)5500y x =-+；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．。
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 6．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ） A ．2(2)3x += B ．2(2)5x += C ．2(2)3x -= D ．2(2)5x -= 7．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°8．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 9．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 10．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ）A ．-41B ．-35C ．39D ．45 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．18．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.22．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．23．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 3．A解析：A【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3可得：x≤﹣3．【详解】∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a取何值，x≤﹣3．故选D．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x2-4x-1=0，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.8．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．9．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键10．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．12．A 解析：A 【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．8【解析】【分析】连接AD 根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°故可得出AD=BD 再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形利用勾股定理求出AB 的长在Rt△ABC 中利用勾股定解析：8【解析】【分析】连接AD ，根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，∵∠ACB=90°，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴2．∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AB=22AD BD +=10．∵AC=6，∴BC=2222106AB AC -=-=8．故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．14．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．故答案为：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1-x ）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x ）（1-x ），即100（1-x ）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（1-x ）2元．根据题意，得100（1-x ）2=64，即（1-x ）2=0.64，解得x 1=1.8，x 2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°18．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：25(1)1y x =-+-【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可．【详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0），∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度，∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2），∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-．故答案为：()2511y x =-+-．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 19．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二解析：x 1=1, x 2=2.【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x-2)-(x-2)=0，()()120x x--=，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2，故答案为x1=1，x2=2.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.20．-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根代入可得9-3+c=0解得c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0即（x+2）（x-3）=0解得x=-2或x=3即可得方程的另一个根是x=解析：-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得，x=-2或x=3，即可得方程的另一个根是x=-2．三、解答题21．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【详解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得10 930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．23．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x＜3【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集．【详解】解：（1）∵（x+2）（x ﹣4）=0，∴x+2=0或x ﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x ﹣3（x ﹣２）＜1，得：x ＞52， 解不等式12x -＜1，得：x ＜3， ∴不等式组的解集为52＜x ＜3． 【点睛】 考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．24．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA；，；而，；而，；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。
2020-2021学年北京延庆区初三第一学期数学期中试卷及答案
2020-2021学年北京延庆区初三第一学期数学期中试卷及答案一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 抛物线的对称轴是（ ） ()231y x =--A. 直线x=3 B. 直线x=-3C. 直线x=1D. 直线x=-1 【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数的顶点式，对称轴为直线，得出即可． 2()y x h k =-+x h =【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 2(3)1y x =--3x =故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是要注意抛物线的对称轴是直线． 2. 已知2x=3y （xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ） A.B.C.D.23x y =23x y =32x y =32x y=【答案】C 【解析】【分析】根据比例的性质求解即可 【详解】解：A ．因为，所以，故A 不符合题意； 23x y =32x y =B ．因为，所以，故B 不符合题意； 23x y=32x y =C ．因为，所以，故C 符合题意； 32x y=23x y =D ．因为，所以，故D 不符合题意； 32x y=6xy =故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．3. 函数的图象如图所示，则该函数的最小值是（ ）2(0)y ax bx c a =++≠A. B. C. D.1-012【答案】A 【解析】【分析】直接根据函数的图象顶点坐标求出该函数的最小值即可． 【详解】解：观察图象得：此函数的顶点坐标为（1，-1）， ∵此抛物线开口向上，∴此函数有最小值，最小值为-1； 故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．4. 如图，中，点，分别在，上，，若，，则ABC D E AB AC //DE BC 1AD =2BD =与的面积之比为（ ）ADE ABCA. B. C. D.1:21:31:41:9【答案】D 【解析】【分析】由，易得，利用相似三角形的性质，//DE BC ~ADE ABC ∆∆2ADE ABC S AD S AB æöç÷=ç÷èø即可．【详解】，//DE BC ，，ADE B ∴∠=∠AED C ∠=∠， ~ADE ABC ∴∆∆， 2ADE ABC S AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△∴，1,2AD BD ∴==，123AB AD BD ∴=+=+=． 21139ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪∴== ⎪⎝⎭ 故选择：D ．【点睛】本题考查相似三角形的面积比问题，关键是掌握相似三角形的判定方法，会用方法证明两个三角形相似，掌握相似三角形的性质，会利用性质解决对应线段比、周长比，面积比等问题．5. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后2(2)4y x =-+所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C.D.2(4)3y x =-+23y x =+24()5y x =-+25y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】把抛物线向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：2(2)4y x =-+；再向下平移1个单位为：即，2(2+2)4y x =-+2(2+2)41y x =-+-23y x =+故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，如果AC=3，AB=6，那么AD 的值为（ ）A.B.3292【答案】A 【解析】【详解】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD ：AC ，∵AC=3，AB=6，∴AD=．故选A ． 32考点：相似三角形的判定与性质．7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）2y ax bx c =++A.B. C.D.0a <0a b c ++<0c > 240b ac ->【答案】B 【解析】【分析】依题意由图可知，抛物线开口向下；与y 轴的交于正半轴，；与x 轴有两个交点；将x=1代入函数解析式可知，对应的y 值；【详解】、如图，抛物线开口向下，所以，本选项结论正确；A 0a <、由图象知道当时，，即，故本选项结论错误；B 1x=0y >0a b c ++>、抛物线交轴的正半轴，所以，本选项结论正确；C y 0c >、抛物线与轴有两个交点，所以，故本选项结论正确；D x 240b ac ->故选：；B 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，关键在数形结合的方法理解二次函数与系数的关系；8. 已知是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ）()()111222,,,P x y P x y 24y ax ax =-A. 若，则 B. 若，则 12y y =12x x =1222x x ->-12y y <C. 若，则 D. 若，则1222x x ->-12y y >1222x x =--12y y =【答案】D 【解析】【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵， ()22424y ax ax a x a =-=--∴抛物线的对称轴为直线，2x =A 、若，则，故本选项错误，不符合题意；12y y =1222x x =--B 、当时，若，则，故本选项错误，不符合题意； 0a >1222x x ->-12y y >C 、当时，若，则，故本选项错误，不符合题意； 0a <1222x x ->-12y y <D 、若，则，故本选项正确，符合题意； 1222x x =--12y y =故选：D【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题 （共8个小题，每题2分，共16分）9. 请写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：___________．（只需写出一个符合题意的函数表达式即可） 【答案】（答案不唯一） 21y x =-【解析】【分析】根据题意，写出二次项系数为负，且满足当时，的二次函数表达式即0x =1y =-可求解．【详解】解：依题意，写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：，21y x =-故答案为：（答案不唯一）．21y x =-【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．10. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的一点，连接BD ，请你再添加一个条件_____，使得△ABD∽△ACB．【答案】∠ABD=∠C（答案不唯一） 【解析】【分析】两角分别相等的两个三角形相似，已知一个角相等，再添加一个角相等即可 【详解】∵在△ACB 和△ABD 中，∠BAD=∠CAB， ∴若∠ABD=∠C 即可证明△ABD∽△ACB， 故答案为：∠ABD=∠C（答案不唯一）．【点睛】本题考查相似三角形的判断，解题的关键是熟练掌握两角分别相等的两个三角形相似．11. 将二次函数化成的形式：____________． 223y x x =-+()2y a x h k =-+【答案】 ()212y x =-+【解析】【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【详解】解：． ()222312y x x x =-+=-+故答案为：()212y x =-+【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．12. 根据右面的两个三角形中所给的条件计算，那么的值是____________．y【答案】3 【解析】【分析】通过计算三角形内角得到两三角形相似，由角去确定对应边，再根据对应边成比例列式计算即可．【详解】解：计算两三角形内角都为： 306882︒︒︒、、∴两三角形相似 ∴26x yx =解得：y=3 故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，由对应角去确定对应边是解题关键． 13. 抛物线y ＝x 2﹣bx+1与x 轴只有一个交点，那么b ＝_____． 【答案】±2 【解析】【分析】根据二次函数y ＝x 2﹣bx+1的图象与x 轴只有一个公共点，可知y ＝0时，方程x 2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，从而可以求得b 的值．【详解】解：∵二次函数y ＝x 2﹣bx+1的图象与x 轴只有一个公共点， ∴y＝0时，方程y ＝x 2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根． ∴△＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0． 解得，b ＝±2， 故答案是：±2．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是明确二次函数的图象21y x bx =-+与x 轴只有一个公共点就是y=0时，方程有两个相等的实数根．21y x bx =-+14. 如图，小吴为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是1米和10米．已知小吴的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_____米．【答案】16 【解析】【分析】设楼房高度为x 米，根据同时同地的物高与影长成正比例列式求解即可． 【详解】解：设楼房高度为x 米， 由题意得，， 1.6101x =解得x ＝16． 故答案为：16．【点睛】本题考查了平行投影，利用同时同地的物高与影长成正比例列出比例式是解题的关键．15. 抛物线的部分图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x ＝-1，当时，则x 的取值范围是________．0y >【答案】x ＞1或x<-3【解析】【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y<0时，x 的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x ＝-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y>0时，x 的取值范围是x ＞1或x<-3． 故答案为：x ＞1或x<-3【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x 轴的另一个交点．16. 如图，正方形OABC 的顶点B 恰好在函数的图象上，若正方形OABC 的边()20y axa =>，且边OA 与x 轴的正半轴的夹角为15°，则的值为_________．a【解析】【分析】作BD⊥x 轴，连接OB ，根据正方形性质可知OA=OB ，∠A=90°可得∠BOD=60°，再由勾股定理即可得，将点B 代入即可求解；(1B ()20y ax a =>【详解】解：作BD⊥x 轴，连接OB ，根据正方形性质可知OA=AB ，∠A=90°， ∴∠AOB=45°，∵∠AOD=15°， ∴∠BOD=60°，∵2OB ===∴， 1cos 60212OD OB =︒⋅=⨯=sin 602BD BB =︒⋅==∴， (1B 将点B 代入得，()20y axa =>，21a =⋅解得：a =【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．三、解答题 （共68分）17. 如图，AC ，BD 相交于的点O ，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．【答案】见解析 【解析】【分析】利用对顶角相等得到∠AOB=∠COD，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解．【详解】证明：∵AC，BD 相交于的点O ， ∴∠AOB＝∠DOC， 又∵∠ABO＝∠C， ∴△AOB∽△DOC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解． 18. 已知：二次函数y ＝x 2﹣1．（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）画出它的图象．【答案】（1）抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．（2）图像见解析．【解析】【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．【小问1详解】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；【小问2详解】解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，再求出关于对称轴对称的两个点，将上述点列表如下：x -2 -1 0 1 2y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3描点可画出其图象如图所示：【点睛】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．19. 已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x 轴的交点坐标． 【答案】（1）2(1)4y x =--（2）此抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【解析】【分析】（1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a ，即可得到抛物线解2(1)4y a x =--析式．（2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可． 【小问1详解】解：设二次函数表达式为 2(1)4y a x =-- ∵ 图像经过（-2，5） ∴ 5= 94a -∴1a =2(1)4y x ∴=--【小问2详解】解：令y=0，即=0 2(1)4x --解得：x=3或x=-1故此抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质．20. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点E ．请写出一对相似三角形，并证明．【答案】△BEC∽△ADC（答案不唯一），见解析 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得∠ADC=∠BEC=90°，再由∠C=∠C，可证得△BEC∽△ADC．【详解】解：△BEC∽△ADC．证明如下： ∵AB=AC，AD 是BC 边上的中线， ∴AD⊥BC∴∠ADC=90° 又∵BE⊥AC∴∠BEC=90° ∴∠ADC=∠BEC=90° 又∵∠C=∠C ∴△BEC∽△ADC【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．21. 在二次函数中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表： 2(0)y ax bx c a =++≠x … 0 1 2 3 4 … y…3-1m…（1）求这个二次函数的表达式及m 的值；（2）利用所给的网格，建立平面直角坐标系，画出该函数图像；（不用列表）； （3）观察函数图像，当时，求的取值范围． 04x <≤y 【答案】（1）; 243y x x =-+3m =（2）作图见解析 （3） 13y -≤≤【解析】【分析】（1）根据表中点的坐标特征可设二次函数的解析式为，再把(1)(3)y a x x =--（2，-1）代入即可求得a 的值；再把x=4代入求出的解析式可求出m （2）用表格中点的坐标在平面直角坐标系中描点，再用光滑曲线连接即可 （3）通过图像结合直接求得的范围 04x <≤y 【小问1详解】解：可设二次函数的解析式为 (1)(3)y a x x =--∵点（2，-1）在函数图像上∴ 1a -=-解得：1a =()()21343y x x x x ∴=--=-+故二次函数解析式为 243y x x =-+把（4，m ）代入得 243y x x =-+3m =【小问2详解】 解：图像如下图所示【小问3详解】解：由（2）图像知，当时，04x <≤13y -≤≤【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，要根据表中点的坐标特征，灵活设二次函数解析式，再由图像求y 的取值范围，数形结合是解题关键． 22. 已知二次函数的图象如图所示，解决下列问题：2y x bx c =-++（1）关于的一元二次方程的解为 ； x 20x bx c -++=（2）求此抛物线的解析式．（3）若直线y ＝k 与抛物线没有交点，直接写出k 的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3） 11x =-23x =2y x 2x 3=-++4k >【解析】【分析】（1）先由二次函数的对称性求出二次函数与x 轴的另一个交点坐标，二次函数与x 轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解；（2）利用（1）求出的二次函数与x 轴的两个交点坐标，利用交点式即可得到答案；（3）联立得，二次函数与直线223y x x y k⎧=-++⎨=⎩2230x x k --+=2y x 2x 3=-++没有交点，即一元二次方程没有实数根，然后利用一元二次方程y k =2230x x k --+=根的判别式求解即可．【详解】解：（1）由函数图像可得，二次函数的对称轴为直线，与2y x bx c =-++1x =x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴二次函数与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0）， 2y x bx c =-++∴一元二次方程的解为，， 20x bx c -++=11x =-23x =故答案为：，；11x =-23x =（2）∵抛物线的对称轴为直线，与x 轴的交点坐标为（3，0），（-1，2y x bx c =-++1x =0），∴抛物线的解析式为；()()21323y x x x x =-+-=-++（3）联立得，223y x x y k⎧=-++⎨=⎩2230x x k --+=∵二次函数与直线没有交点， 2y x 2x 3=-++y k =∴一元二次方程没有实数根， 2230x x k --+=∴ ()()2242430b ac k ∆=-=---<∴．4k >【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系． 23. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB=∠EBC．（1）求证：△ABE∽△BEC； （2）若BE=2，求的值． AB CE ⋅【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到∠CEB=∠ABE，根据AA 可证AB CD ∥得△ABE∽△BEC，即可；（2）根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴ AB CD ∥∴∠CEB=∠ABE 又∵∠EAB=∠EBC ∴△ABE∽△BEC 【小问2详解】 解：∵ △ABE∽△BEC ∴， AB EBEB EC=∴ 2BE AB CE =⋅ ∵BE=2 ∴=4AB CE ⋅【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．24. 如图，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上两点，且CE=CF ，AB=4．（1）设CE=x ，△AEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式； （2）当x 取何值时，△AEF 面积最大？求出此时△AEF 的面积．【答案】（1） 2142y x x =-+（2）当时，△AEF 的面积最大，此时△AEF 的面积为8 4x =【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°，BE=DF=4-x ，从而得到，即可求解； ABE ADF CEF ABCD y S S S S ∆∆∆=---正方形（2）把函数关系式化为顶点式，即可求解． 【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC=CD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°， ∵CE=CF，CE=x ， ∴CF=x， ∴BE=DF=4-x，∴， ABE ADF CEF ABCD y S S S S ∆∆∆=---正方形∴， ()()2211144444222y x x x =-⨯⨯--⨯⨯--∴； ()214042y x x x =-+<≤【小问2详解】 解：， ()221144822y x x x =-+=--+∴当时，△AEF 的面积最大，此时△AEF 的面积为8．4x =【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键．25. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数2y x=的图象与性质，探究过程如下： （1）写出自变量x 的取值范围； （2）画函数图象；列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中____________；m =x … －3 －2 －1 12-121 2 3 …y …12442 m …描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________； ②____________．【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①当时，y 随x 的增大而减小，当0x ≠10x >0x <时，y 随x 的增大而增大，②无论x 取何值，函数值恒大于0 【解析】【分析】（1）根据分母不能为0，得出自变量的取值范围； （2）代入求值即可；经历描点、连线形成图象； （3）依据函数的增减性，函数值的大小等方面说明性质． 【详解】解：（1）自变量的取值范围为：； 0x ≠（2）把代入得，； 2x =2y x=1m =该函数的图象如下：（3）①当时，y 随x 的增大而减小，当时，y 随x 的增大而增大， 0x >0x <②无论x 取何值，函数值恒大于0.【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握函数图象的绘制方法是画出图象的关键，求出变量之间的对应值是画图象的前提．26. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？【答案】水管长为2.25m ． 【解析】【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a （x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．【详解】以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ， 则设抛物线的解析式为： y ＝a （x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 代入（3，0）求得：a ＝． 34-将a 值代入得到抛物线的解析式为： y ＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 34-令x ＝0，则y ＝＝2.25． 94故水管长为2.25m ．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．27. 在平面直角坐标系xOy 中， 过点（0，-3）且平行于x 轴的直线， 与直线y=x-6交于点A ， 点A 关于直线x=1的对称点为B ， 抛物线:经过点A ，B ．1C 2y x bx c =++（1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线的表达式及顶点坐标；1C （3）若抛物线C 2:与线段AB 恰有一个公共点．结合函数的图像，求a 的取2(0)y ax a =≠值范围．【答案】（1）A （3，-3），B （-1，-3） （2）y=x 2-2x-6，顶点坐标（1，-7）（3）133a -≤-<【解析】【分析】（1）点A 是直线y=-3与直线y=x-6的交点，构造方程组可确定点A 的坐标，根据点B 、A 关于x=1对称，可确定点B 坐标（2）把点A 、点B 的坐标代入抛物线:，可确定抛物线的表达式及顶点1C 2y x bx c =++1C 坐标（3）把A 、B 代入，求出a 的值，确定a 的取值范围 2y ax =【小问1详解】解：∵点A 是直线y=-3与直线y=x-6的交点， ∴ x-6=-3，解得x=3 ∴点A （3，-3）∵点A 点B 关于直线x=1对称 ∴ 点B （-1，-3） 【小问2详解】∵抛物线:经过点A 、B 1C 2y x bx c =++∴，93313b c b c ++=-⎧⎨-+=-⎩解得：26b c =-⎧⎨=-⎩∴函数表达式为： 2226(1)7y x x x =--=--∴该抛物线的顶点坐标为（1，-7） 【小问3详解】如图，当过点A 、B 时为临界，2C把点B （-1，-3）代入，得a=-32y ax =把点A （3，-3）代入，得9a=-3,解得：a=,2y ax =13-∴ a 的取值范围为133a -≤-<【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识，运用数形结合的方法是解题关键． 28. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，已知：Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 为边AB 上一点，连结DE ，过点D 作DE 的垂线与直线AC 交于点F ，连结EF ．求证：AF=BE ．探究过程：经过分析小明发现，△ADF≌△BED，然后根据全三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可以得到AF=BE ．请你根据小明的探究过程解决以下问题：（1）探索发现：如图2，若点E 为边AB 延长线上一点，其他条件不变，AF 与BE 还相等吗？请说明理由．（2）类比迁移：如图3，在等边△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 为边AB 上一点，连结DE ，以DE 为一边作∠EDF=60°，交直线AC 于点F ，且AE=2AF ．请你依据题意补全图形，若AB=4，求AF 的长．【答案】（1）AF 与BE 相等，见解析（2）AF 长为3-【解析】【分析】（1）结论：AF 与BE 相等．证明△DAF≌△DEB ，可得结论．（2）分两种情形；当点F 在线段AC 上时，当点F 在线段CA 的延长线上结合相似三角形的判定和性质，即可求解．【小问1详解】解：AF 与BE 相等，理由如下：∵Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠CBA=45°，∴∠CBE=135°；∵点D 是BC 的中点，∴AD⊥BC，AD=DB ，∠CAD=∠BAD=45°，∴∠ADB=90°，∠DAF=135°，∵DE⊥DF，∴∠FDE=90°，∴∠ADF=∠EDB，又∵∠CBE=∠DAF=135°,在△DAF 和△DBE 中DAF DBE AD DBADF BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAF≌△DEB,∴AF=BE;【小问2详解】解：分两种情况讨论:①如图1：当点F 在AC 边上时，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=4，∠CAD=∠BAD=30°，∴∠BED+∠BDE=120°，∵∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=120°，∴∠BED=∠CDF，∵∠B=∠C=60°，∴△CFD∽△BDE， ∴， =CF CD BD EB∵D 是BC 的中点，∴CD=BD=2，∵AE=2AF．∴， 442-=-AF CD BD AF∴，2660AF AF -+=此时，或（舍去）；3AF =-3AF =+②如图2，当点F 在AC 边延长线上时，∵等边三角形ABC ，D 为BC 中点，∴ DA⊥BC，CD=BD=2，∠B=∠C=60°，∴∠FAD=150°，∴∠F+∠ADF=30°，∵∠FDE=60°，∴∠BDE+∠ADF=30°，∴∠F=∠BDE，又∵ ∠B=∠C=60°，∴△CFD∽△BDE， ∴， =CF CD BD EB ∴， 442+=-AF CD BD AF ∴，2660AF AF +-=解得：或（舍去）， 1=-AF 1AF =-综上所述：AF 长为．3【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．。
北京市西城区三帆中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
北京市西城区三帆中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线()213y x =-+的顶点坐标为( ) A ．()1,3B ．()1,3-C ．()1,3--D ．()3,12．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的大小为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°3．下面列图案中既是轴对称图形．．．．．又是中心对称图形．．．．．．的是（ ） A ． B ． C ． D ．4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B 等于（ ）A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°5．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y=2x 2 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ） A ．22(+3)4y x =- B ．22(3)4y x =-- C ．22(+3)4y x =+D ．22(3)+4y x =-6．已知二次函数22y x x =-，若点1(1,)A y -，2(2,)B y ，是它图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定7．如图，数轴上有A 、B 、C 三点，点A ，C 关于点B 对称，以原点O 为圆心作圆，若点A ，B ，C 分别在O 外，O 内，O 上，则原点O 的位置应该在( )A ．点A 与点B 之间靠近A 点 B ．点A 与点B 之间靠近B 点C ．点B 与点C 之间靠近B 点D ．点B 与点C 之间靠近C 点8．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2 B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞4二、填空题9．点(2,1)P 关于原点对称的点的坐标为_____________.10．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②图象过原点.此二次函数的解析式可以是______11．如图所示，P 是等边△ABC 内一点，△BCM 是由△BAP 旋转所得，则∠PBM ＝_____________．12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝8，EB ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．若抛物线2+6y x x m =-与x 轴有且只有．．．．一个公共点，则m 的值为________. 14．如图，在一块长12m,宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为60m 2，设道路的宽为x m ，则根据题意,可列方程为________.15．如图所示的网格是正方形网格，线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，则α的值为_____．16．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴的一个交点为A （－1，0），对称轴为直线x =1，与y ．轴．的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列四个结论中，①当x ＞3时，y ＜0；② 3a +b ＜0；③－1≤a ≤23-；④4ac －b 2＞ 8a ；所有正确结论的序号是_______________ .三、解答题17．解方程：22410x x --=18．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：根据小芸设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明： 证明：连接OA ，OB ，OC ，由作图可知 OA=OB=OC （ ）（填推理的依据） ∴⊙O 为△ABC 的外接圆； ∵点C ，P 在⊙O 上，AB AB =∴∠APB =∠ACB ．（ ）（填推理的依据） 19．已知抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧． （1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积． 20．如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B不重合)，连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE ．1（）求证：ACD ≌BCE ；2（）当AD BF =时，求BEF ∠的度数．21．已知二次函数y =x 2 + 4x + 3．（1）将二次函数的表达式化为y = a (x -h )2 + k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy 中，用描点法画出这个二次函数的图象；（3）观察图象，直接写出当30x -≤≤时y 的取值范围； （4）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．22．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分. 一名运动员起跳后，他的飞行路线如右图所示，当他的水平距离为15m 时，达到飞行的最高点C 处，此时的竖直高度为45m ，他落地时的水平距离（即OA 的长）为60m ，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB 的长）.23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在⊙O的切线CM上取一点P，使得∠CPB=∠COA．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若CD=6，∠AOC=60°，求PB的长．24．如图，点P是AB上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0；当点P与点B重合时，y1的值为0，y2的值为6）．小智根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小智的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；经测量m的值是（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为cm（保留一位小数）．25．关于x 的一元二次方程a x2+ bx + c = 0（a>0）有两个不相等且非零的实数根，探究a，b，c满足的条件．小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华的探究过程：第一步：设一元二次方程ax2+bx+c = 0（a>0）对应的二次函数为y = ax2+bx +c（a>0）；第二步：借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次方程中a，b，c满足的条件，列表如下：（1）请帮助小华将上述表格补充完整；（2）参考小华的做法，解决问题：若关于x的一元二次方程()2520-+-=x m x m有一个负实根和一个正实根，且负实根大于－1，求实数m的取值范围．26．已知抛物线24y x x n=-++，将抛物线在y轴左侧部分沿x轴翻折，翻折后的部．．．．．分．和抛物线与y轴交点以及y轴右侧部分组成图形G，已知19(,1),(,1)22M N-（1）求抛物线24y x x n=-++的对称轴;（2）当0n=时，①若点(1,)A m-在图形G上，求m的值;②直接写出线段MN与图形G的公共点个数;（3）当n＜0时，若线段MN与图形G恰有．．两个公共点，直接写出n的取值范围. 27．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．（1）如图1，当∠BAC ＜45°时， ①求证：DF ⊥AC ； ②求∠DFB 的度数；（2）如图2，当∠BAC ＞45°时， ①请依题意补全图2；②用等式表示线段FC ，FB ，FE 之间的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线． （1）当⊙O 的半径为1时，①分别判断在点D （12，14），E （0），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有 ；②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P 与点O 的距离d 满足范围___________________时，点P 是⊙O 的相邻点； ④点P 在直线y=﹣x+3上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标x 的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=﹣3x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．参考答案1．A【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h ，此题考查了学生的应用能力．2．B【解析】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝12∠BOC＝50°．故选B．3．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可.【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，所以本选项正确.故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，掌握概念是关键. 4．B【解析】试题分析：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B=∠ADE=120°．故选B ．考点：圆内接四边形的性质．5．A【解析】【分析】把抛物线y=2x 2的顶点（0，0）先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为（-3，-4），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．【详解】解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为（-3，-4），所以平移后所得的抛物线的解析式为y=2（x+3）2-4．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：先把二次函数解析式配成顶点式y=a （x-h ）2+k ，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题6．A【分析】把A 、B 两点代入函数解析式，求出12,y y 的值即得答案.【详解】解：把1(1,)A y -，2(2,)B y 代入22y x x =-得：()()211213y =--⨯-=，222220y =-⨯=，所以12y y >.故选A.【点睛】本题考查了二次函数的性质和求值，属于基础题型，掌握比较的方法是关键.7．C【解析】【分析】分析A ，B ，C 离原点的远近，画出图象，利用图象法即可解决问题；【详解】由题意知,点A 离原点最远，点C 次之，点B 离原点最近，如图，观察图象可知，原点O 的位置应该在点B 与点C 之间靠近B 点，故选：C ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 8．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，从而得到当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围．【详解】∵当x=0时，y 1=y 2=0；当x=4时，y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，∴当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是x ＜-1或x ＞4．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．9．(2,1)--【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标均互为相反数进行求解.【详解】解：点(2,1)P 关于原点对称的点的坐标为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.【点睛】本题考查了坐标系中点的对称性，难度不大，熟知一个点关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标特征是解题的关键.10．2y x =-等【分析】根据题意，只要二次函数的解析式满足：二次项系数为负，常数项为0即可.【详解】解：符合题意的二次函数可以是：2y x =-等（答案不唯一）.故答案为：2y x =-等.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的性质是关键. 11．60°【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质即可求得答案.【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =60°，∵△BCM 是由△BAP 旋转所得，∴旋转中心是点B ，旋转角为∠ABC =60°，∴∠PBM=∠ABC =60°. 故答案为：60°. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和旋转的性质，难度不大，掌握相关性质是解题的关键. 12．5【分析】连接OC ，设⊙O 的半径为R ，根据垂径定理求出CE ，根据勾股定理列式计算，得到答案．【详解】连接OC ，设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R ﹣2，∵CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD ＝4， 由勾股定理得，OC 2＝OE 2+CE 2，即R 2＝（R ﹣2）2+42，解得，R ＝5，则⊙O 的半径为5，故答案为5．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 13．-9【分析】根据2+60x x m -=的判别式△=0求解即可.【详解】解：因为抛物线2+6y x x m =-与x 轴有且只有．．．．一个公共点，所以对应的方程2+60x x m -=的判别式△=0，即()2640m -⨯-=，解得：9m =-. 故答案为：－9.【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，难度不大，熟练掌握二次函数和对应的一元二次方程的关系是求解的关键.14．(12)(8)60x x --=【分析】利用平移的思想把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个矩形，根据矩形面积公式列出方程即可.【详解】解：因为道路的宽为x m ，所以根据题意可得：(12)(8)60x x --=.故答案为：(12)(8)60x x --=.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，是典型的利用平移思想求解的问题，解题的关键正确理解题意、掌握方法列出方程.15．60°或120 °【解析】【分析】线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′=30°，从而得到∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，则∠BAB″=120°．【详解】线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，在Rt △OAC′中，∵OC′=1，OA=2，∴∠OAC′=30°，∴∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，∴∠BAB″=120°，综上所述，α的值为60°或120°．故答案为60°或120°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．16．①②③【分析】由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴另一个交点的坐标，据此可判断①；根据抛物线的对称轴为直线x =1可得a 与b 的关系式，再结合a 为负数即而可判断②；设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-，根据抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间可得关于a 的不等式，解不等式即可判断③；根据抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，可得c 的取值范围，再假设④正确，则可推出c 的相应范围，由此可判断④.【详解】解：由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴另一个交点的坐标为（3，0），所以当x ＞3时，y ＜0，故①正确；因为抛物线开口向下，所以a ＜0，∵2b x a=-=1，∴2a +b =0，∴300a b a a +=+=＜，故②正确；设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-，则223y ax ax a =--，令x =0，得：3y a =-， ∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤，解得：213a -≤≤-，故③正确；∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c ≤3， 若248ac b a -＞，则248ac a b -＞，∵a ＜0，∴224b c a -＜，∴20c -＜，∴c ＜2，与2≤c ≤3矛盾，故④错误．故答案为：①②③.【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数与其系数的关系，属于中考常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.17．1211x x ==+ 【解析】试题分析：方程22410x x --=的()()24421240∆=--⨯⨯-=>，所以方程22410x x --=有两个实数根，由求根公式x =解得()1414x ---==()2414x --==+考点：一元二次方程点评：本题考查一元二次方程，要求考生会利用判别式判断一元二次方程根的情况，会用求根公式求一元二次方程的解18．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据作图语言画出对应的几何图形即可；（2）根据线段垂直平分线的性质填写；根据圆周角定理的推论即得答案.【详解】解：（1）符合题意的图形如图所示：（2）证明：连接OA ，OB ，OC ，由作图可知 OA=OB=OC （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）， ∴⊙O 为△ABC 的外接圆；∵点C ，P 在⊙O 上，AB AB =，∴∠APB =∠ACB （同弧所对的圆周角相等）．故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；同弧所对的圆周角相等.【点睛】本题考查了尺规作三角形的外接圆、线段垂直平分线的性质和圆周角定理的推论等知识，正确把作图语言转化为符号语言、弄清作图的理由和根据是解题的关键.19．（1）A 的坐标是(－1,0)，B 的坐标是(3,0)；x=1; （2）16.【解析】【分析】(1)令y ＝0解方程即可求得A 和B 的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；(2)首先求得D 的坐标，然后利用面积公式即可求解.【详解】(1)令y ＝0，则2230x x -++=，解得121,3x x =-=，则A 的坐标是(－1,0)，B 的坐标是(3,0)，∴()222314y x x x =-++=--+，则对称轴是1x =，顶点C 的坐标是(1,4)；(2)由题意，D 的坐标是(1,－4)，AB ＝3－(－1)＝4，CD ＝4－(－4)＝8，则四边形ACBD 的面积是1148=1622AB CD ⨯=⨯⨯，故本题⑴1x =，⑵四边形ACBD 的面积是16. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标,正确求得A 和B 的坐标是解决本题的关键.20．()1证明见解析；()2BEF 67.5∠=.【解析】【分析】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，由于ACB 90∠=，从而可得ACD BCE ∠∠=，根据SAS 即可证明ACD ≌BCE ；()2由ACD ≌()BCE SAS 可知：A CBE 45∠∠==，BE BF =，从而可求出BEF ∠的度数．【详解】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，ACB 90∠=，ACD ACB DCB ∠∠∠∴=-，BCE DCE DCB ∠∠∠=-，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 与BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD ∴≌()BCE SAS ；()2ACB 90∠=，AC BC =，A 45∠∴=，由()1可知：A CBE 45∠∠==，AD BF =，BE BF ∴=，BEF 67.5∠∴=.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．21．（1）y =(x +2)2 -1；（2）详见解析；（3）－1≤y ≤3；（4）答案不唯一，如：①当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小，②当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大.③抛物线关于直线x=-2对称【分析】（1）利用配方法解答即可；（2）根据列表、描点、画图的步骤即可画出函数图象；（3）根据图象进行解答；（4）根据二次函数的性质作答即可.【详解】解：（1）y = x 2 + 4x + 3= (x +2)2 －1；（2）列表：（3）当30x -≤≤时y 的取值范围是：－1≤y ≤3；（4）答案不唯一，如：①当x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；②当x ＞－2时，y 随x 的增大而增大；③抛物线关于直线x=-2对称. 【点睛】本题考查了二次函数的解析式之间的转化、二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的基本知识是关键.22．这名运动员起跳时的竖直高度为40m. 【分析】根据顶点式利用待定系数法求出二次函数的解析式即可解决问题. 【详解】解：由题意可知抛物线的顶点为C （15, 45）， ∴设抛物线的解析式为2(15)45y a x =-+（a ≠0），∵y =0时，x =60，∴20(6015)45a =-+，∴145a =-， ∴21(15)4545y x =--+， ∴x =0时，21(015)455454045y =--+=-+=，即OB =40. 答：这名运动员起跳时的竖直高度为40m. 【点睛】本题是二次函数的实际应用题，主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，弄清题意，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题的关键. 23．（1）详见解析；（2）6 【分析】（1）根据切线的性质和四边形的内角和即可得出∠PBO =90°，进而证得结论；（2）解法1：连接OP ，先根据垂径定理和30°的直角三角形的性质求出半径OC 的长，即为OB 的长，再利用四边形的内角和和切线长定理求出∠BPO 的度数，进一步即可求出PB 的长；解法2：连接BC ，先证明△PBC 是等边三角形，再在直角△BCE 中求出BC 的长即可. 【详解】（1）证明： ∵ PC 与⊙O 相切于点C ，∴ OC ⊥PC ，∴ ∠OCP =90°． ∵ ∠AOC =∠CPB ，∠AOC +∠BOC =180°，∴∠BOC+∠CPB=180°．在四边形PBOC中，∠PBO=360°－∠CPB－∠BOC－∠PCO=90°．∴半径OB⊥PB，∴PB是⊙O的切线；（2）解法1：连接OP，如图．∵∠AOC=60°，∴∠BOC=120°．∵∠OCP=∠OBP=90°，∴∠BPC=360°－120°－2×90°=60°．∵PB，PC都是⊙O的切线，∴PO平分∠BPC，∴∠CPO=∠BPO=30°．∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，CD=6，∴132CE DE CD===，∵∠AOC=60°，CD⊥AB，∴∠ACO=30°，OC=OB．∴PB= OB．解法2：连接BC，如图．∵∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，∵∠OCP=∠OBP=90°，∴∠BPC=360°－120°－2×90°=60°，∵PB，PC都是⊙O的切线，∴PB=PC，∴△PBC为等边三角形，∴PB=BC．∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，CD=6，∴132CE DE CD===，∵∠AOC=60°，CD⊥AB，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE=6，∴PB= BC= 6．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质、四边形的内角和、等边三角形的判定和性质、垂径定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点虽多，但难度不大，熟练掌握圆的有关性质和切线的判定与性质、灵活应用解直角三角形的知识是解题的关键. 24．（1）2.7(±0.2)；（2）详见解析；（3）2.3或4.2 (±0.2) 【分析】（1）通过测量即可得出答案； （2）描点、连线即可画出函数图象；（3）分AC=PC 、AP=PC 两种情况结合图象解答即可. 【详解】解：（1）经测量：m =2.7(±0.2)； （2）描点、连线后，画出图象如图；（3）当AC=PC 时，即12y y ，从图象可以看出：x =4.2 (±0.2)； 当AP=PC 时，画出函数y=x 的图象，图象与1y 的交点处x 的值约为2.3(±0.2)；故答案为：2.3或4.2 (±0.2).【点睛】本题以圆为载体，主要研究函数y随自变量x的变化而变化的规律，掌握研究函数的方法是解题的关键.25．（1）①方程有一个负实根，一个正实根；②详见解析；③20,40,0,20.ab acbac>⎧⎪∆=->⎪⎪⎨->⎪⎪>⎪⎩；（2）06m<<【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系和二次函数与系数的关系作答即可；（2）根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可.【详解】解：(1)补全表格如下：②故答案为： ①方程有一个负实根，一个正实根；②；③2040020a b ac b a c >⎧⎪∆=->⎪⎪⎨->⎪⎪>⎪⎩；（2）解：设一元二次方程()2520-+-=x m x m 对应的二次函数为：()252=-+-y x m x m ，∵一元二次方程()2520-+-=x m x m 有一个负实根，一个正实根，且负实根大于－1，∴()2201(5)(1)20m m m -<⎧⎪⎨--+⋅-->⎪⎩，解得06m <<． ∴m 的取值范围是06m <<． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象与其系数的关系以及解不等式组等知识，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键. 26．（1）2x =；（2）①5；②3；3）3-1n -<≤ 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可；（2）①可先求出点A 关于x 轴的对称点，再代入已知的抛物线求解；②画出函数图象，结合函数图象即得答案；（3）根据图象找出线段MN 与图形G 恰有两个公共点和恰有一个公共点时对应的n 的值，问题即得解决. 【详解】解：（1）抛物线的对称轴是：直线422(1)x =-=⨯-；（2）①当n =0时，24y x x =-+，∵A （－1，m ）在图形G 上，∴A （－1，m ）关于x 轴的对称点（―1，―m ）在24y x x =-+图象上，∴14m -=--，解得：m =5.② ∵y 轴左侧部分的解析式是24y x x =-，当12x =-时，211941224y ⎛⎫⎛⎫=--⨯-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴线段MN 与图形G 的公共点个数是3个，如图.：（3）当线段MN 与图形G 恰有两个公共点时，如图1，此时1n =-，当线段MN 与图形G 恰有一个公共点时，即24y x x =-+的顶点在线段MN 上，如图2，此时3n =-，∴n 的取值范围是：31n -<≤-.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，灵活应用二次函数性质和数形结合的思想方法是解题的关键，其中第（3）小题误认为n=－1时有三个交点，是易错点.27．（1）①详见解析；②45°；（2）①见解析②FC－FE FB【分析】（1）①根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，再根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明；②证法一：先证明A，D，B，F四点均在以AB为直径的圆上，再连接AD，证明△ABD是等腰直角三角形即可；证法二：在DE上截取DG=AF，连接BG，根据SAS可证△ABF≌△DBG，再利用全等三角形的性质证明△GBF是等腰直角三角形，问题即得解决；（2）在CF上截取CG=EF，连接BG，利用SAS可证△BCG≌△BFE，再利用全等三角形的性质证明△GBF是等腰直角三角形，进一步即可得出结论.【详解】（1）①证明：如图1，∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得△DBE，由旋转性质得，△ABC≌△DBE，∴∠1＝∠2，AB=DB，∠ABC=∠DBE=90°，∵∠1＋∠C＝90°，∴∠2＋∠C＝90°，∴∠DFC＝90°，即DF⊥AC；②解法一：如图3，连接AD，∵DF⊥AC，∠DBE=90°，∴∠DF A=90°，∴A，D，B，F四点均在以AB为直径的圆上，∵AB=DB ，∠DBE=90°，∴∠DAB=45°，∴∠DFB＝∠DAB＝45°；解法二：如图3，在DE 上截取DG=AF ，连接BG ，在△ABF 和△DBG 中，12AB DB AF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DBG ，∴BF ＝BG ，∠ABF ＝∠DBG ， ∵∠DBA ＝90°，∴∠GBF ＝90°， ∴△GBF 是等腰直角三角形， ∴∠DFB ＝45°；（2）补全图2，如图4；FC －FEFB ． 证明：如图，在CF 上截取CG=EF ，连接BG ，在△BCG 和△BFE 中，BC BEC E CG EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCG ≌△BFE ，∴BF ＝BG ，∠CBG ＝∠EBF , ∵∠ABC ＝90°，∴∠GBF ＝90°， ∴△GBF 是等腰直角三角形， ∴FG =，∴ FC －FE ＝FC －CG=FG =.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质与作图、等腰直角三角形的判定和性质以及四点共圆等知识，正确作出辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 28．（1）①D、E ② 证明见解析；③ 0≤d≤3且d≠1 ④0≤x≤3；(2) 0≤x≤9【解析】试题分析：（1）由相邻点的定义可知：在圆C内的点必为相邻点，在圆C外的点必须满足，2AB2=PC2-1，其中A为PB的中点，且AB≤2，所以若半径为1的圆C有相邻点P，则PC 的长必须满足0≤PC≤3且PC≠1，分别求出D、E、F到⊙O的距离即可判断．求出直线y=-x+3与坐标轴的交点坐标分别为（0，3）和（3，0），根据（1）问中结论可知，P的横坐标的取值范围是：0≤x≤3；（2）根据（1）问中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因为点P在线段MN上移动，所以点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，再根据点C在x轴上，即可得出C的横坐标取值范围．试题解析：（1）由定义可知，当点P在⊙C内时，由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，此时，0≤PC＜1；当点P在⊙C外时，设点A是PB的中点，连接PC交⊙C于点M，延长PC交⊙C于点N，连接AM，BN，∵∠AMP+∠NMA=180°，∠B+∠NMA=180°，∴∠AMP=∠B，∵∠P=∠P，∴△AMP∽△NBP，∴PA PN PM PB，∴PA•PB=PM•PN，∵点A是PB的中点，∴AB=PA，又∵⊙C的半径为1，∴2AB2=（PC-CM）（PC+CN），∴2AB2=PC2-1，又∵AB是⊙C的弦，∴AB≤2，∴2AB2≤8，∴PC2-1≤8，∴PC2≤9，∴PC≤3，∵点P在⊙C外，∴PC＞1，∴1＜PC≤3，当点P在⊙C上时，此时PC=1，但不符合题意，综上所述，半径为1的⊙C，当点P与圆心C的距离满足：0≤PC≤3，且PC≠1时，点P为⊙C 的相邻点；①∵D（12，14），∴4=，∵E（0，，∴∵F（4，0），∴OF=4，∴D和E是⊙O的相邻点；②连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于A、B两点；③令x=0代入y=-x+3，∴y=3，令y=0代入y=-x+3，∴x=3，∴y=-x+3与坐标轴的交点为（0，3）和（3，0）∵由于点P在直线y=-x+3上，且点P是⊙O的相邻点，∴0≤PO≤3，且PO≠1又∵点P在⊙O外，∴1＜PO≤3，∴p的横坐标范围为：0≤x≤3；（2）令x=0代入，∴，∴N（0，），令y=0代入∴x=6，∴M（6，0），∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，∴0≤PC≤3且PC≠1，∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，∵点C在x轴上，∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京课改版九年级上学期期中检测题班级_______姓名________学号______成绩__________试题说明：1.本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2.请将全部的答案填在答题纸上. 一．选择题（每小题4分，共32分）1．某商店购进一种商品，进价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --= 2. 如图，AC 是电线杆AB 的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC 的长为( ) A.︒526sin 米 B. ︒526tan 米C. 6·cos52°米D.︒526cos 米 3.已知二次函数y=k x +--2)13（的图象上有三点A(2，1y )，B(2， 2y )， C(5，3y )，则1y 、2y 、3y 的大小关系为( )A.1y >2y >3yB.2y >1y >3yC.3y >1y >2yD.3y >2y >1y 4．在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2+1不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A ．y ＝2(x －2)2+ 3 B ．y ＝2(x －2)2－1C ．y ＝2(x + 2)2－1D ．y ＝2(x + 2)2 + 35．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；③0x ≤时，y 随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tanCBE ∠的值是（A ．247B C ．724 D ．136 8 CE ABD7.如图，AB 是⊙O 的直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆， 自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A.到CD 的距离保持不变B.位置不变C. 随C 点的移动而移动D. 等分 ⌒DB8.如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心， OB 为半径的圆上运动，PA 的中点为Q.当点Q 也落在⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（ ）.A ．12B ．13 C ．14 D ．23二．填空题：（每小题4分，共32分）9.若3,34221+-=+-=x y x x y ，则使21y y ≤成立的x 的取值范围是________ 10.化简：|1'2332cos |)'3757sin 1(2--- ＝________11.下面是两位同学的一段对话： 甲：我站在此处看塔顶仰角为60乙：我站在此处看塔顶仰角为30 甲：我们的身高都是1.5m 乙：我们相距20m请你根据两位同学的对话计算塔的高度（精确到1米）是______．12.如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为______13. 在ABC ∆中，33,3,30==︒=∠AB BC A ，则______=∠B 14.有4个命题：① 直径相等的两个圆是等圆； ② 长度相等的两条弧是等弧； ③ 圆中最大的弦是通过圆心的弦；④ 在同圆或等圆中,相等的两条弦所对的弧是等弧．其中真命题是__________________15.如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是____________16.若βα、是一元二次方程07)1(2=-+--m x m mx 的实根，且满足,10,01<<<<-βα则m 的取值范围是________初 三 数 学 答 题 纸班级_______姓名________学号______成绩__________一．选择题：（每小题4分，共32分）17.计算： 30cos 330sin 206tan 45tan 345sin 22+-︒+︒18.今年北京市大规模加固中小学校舍,房山某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡度i=1:3，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼,还对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米.（结果保留根号）19. 已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于B A 、两点，若B A 、两点的横坐标分别是一元二次方程0322=--x x 的两个实数根，与y 轴交于点C （0，3），（1）求抛物线的解析式；（2）在此抛物线上求点P ，使8=∆ABP S .20.已知在四边形ABCD 中，7,33,3,90,120===︒=∠︒=∠BD BC AD ABC A （1）求AB 的长；（2）求CD 的长.21.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A （0，-3）为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于点D 、E 两点． （1）如果一个二次函数图象经过B 、C 、D 三点，求这个二次函数的解析式；（2）设点P 的坐标为（m,0）(m>5),过点P 作⊥PQ x 轴ODxCA .B交（1）中的抛物线于点Q ，当以D C O 、、为顶点的三角形与PCQ 相似时，求点P 的坐标．22. 如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形， 即： ABC S △=12AB ·CD ， E在Rt ACD ∆中，ACCDA =sin ， A b CD sin =∴∴ABC S△=12bc ·sin ∠A ． ① 即 三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半． 如图（2），在∆ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD=α， ∠∵ ABC ADC BDC S S S =+△△△， 由公式①，得12AC ·BC ·sin(α+β)= 12AC ·CD ·sin α+12BC ·CD ·sin β， 即 AC ·BC ·sin(α+β)= AC ·CD ·sin α+BC ·CD ·sin β． ②请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC 、BC 、CD ，只用、、βα∠∠βα∠+∠的正弦或余弦函数表示（直接写出结果）． (1)______________________________________________________________ (2)利用这个结果计算:︒75sin =_________________________（23题7分，24、25题各8分）23. 已知A ∠是ABC ∆的一个内角,抛物线21682cos2+-=x x A y 的顶点在x轴上.(1)求A ∠的度数;(2) 若.31sin ,24==∆B S ABC 求:AB 边的长.24. 已知：如图，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b=-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）求ABC △的面积．（2）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？25.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；轴．于点P，且以点E、F、P为顶点的三（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半．．角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．初 三 数 学 答 案一．选择题：17.1 18. 20320-;19. (1) y ＝-x 2+2x+3 (2) )41);4,221();4,221(321，（P P P ---+ 20. (1) 5 ;(2) 7.21. (1)2812+-=x y ;(2))0,12(P22. (1) sin （α+β）=sin α•cos β+cos α•sin β． (2) 426+ 23. (1).90︒=∠A (2)AB=2424. (1)512)2(532292+--=t S ）；（; .51225.(1)E(3,1);F(1,2); (2)2)1(22+-=x y ; (3)存在,是55+.。