抛物线焦点弦问题(附答案解析)

（难度3星）

1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2).

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）过点Q (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线l :x =−1上任意一点.证明：直线PM 、PQ 、PN 的斜率依次成等差数列.

【答案】（1）y 2=2x ；（2）证明见解析

【解析】

（1）因为抛物线C 关于x 轴对称,可设抛物线为y 2=2px ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2p ×2，得p =1，

故抛物线方程为y 2=2x ；

（2）设点P (−1,t )是直线l 上任意一点，

直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线MN 的斜率不等于0，

可设直线MN :x =my +1交抛物线于M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，

由{x =my +1y 2=2x

可得：y 2−2my −2=0 从而有y 1+y 2=2m,y 1y 2=−2,

k PM =y 1−t x 1+1，k PN =y 2−t x 2+1，k PQ =−t 2

且在直线上,所以有:x 1=my 1+1,x 2=my 2+1

k PM +k PN =

y 1−t x 1+1+y 2−t x 2+1=2my 1y 2+(2−tm )(y 1+y 2)−4t m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4 =−2tm 2−4t

2m 2+4=−t ，

而2k PQ =−t ，即证k PM +k PN =2k PQ .

得证直线PM ，PQ ，PN 的斜率成等差数列.

（难度2星）

2．（2020·河南高二期末（理））已知F 是抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点，M (1,t )是抛物线上一点，且|MF|=2.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4（O 为坐标原点），则直线l 是否会过某

个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.

【答案】(1)y 2=4x ；(2)是，N (2,0).

【解析】

（1）由抛物线的定义知|MF|=1+p 2=2,∴p =2,

∴抛物线C 的方程为：y 2=4x

（2）由题意知:可设AB 的方程为：x =my +n ,

代入y 2=4x 有y 2−4my −4n =0,

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

则y 1⋅y 2=−4n ,

∴x 1⋅x 2=(y 1⋅y 2)216=n 2,

∴OA

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=n 2−4n =−4 ∴n =2

∴AB 的方程为x =my +2,恒过点N (2,0).

所以直线l 过定点(2,0).

（难度2星）

3．（2020·江西高二期末（文））已知抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点F 为圆x 2+y 2−2x =0的圆心.

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线相交于AB 两点，且|AB |=5，求直线l 的方程.

【答案】（1）y 2=4x （2）y =2x −2或y =−2x +2

【解析】

（1）圆的标准方程为(x −1)2+y 2=1，圆心坐标为(1,0)，

即焦点坐标为F(1,0)，则p 2=1,p =2得到抛物线C 的方程y 2=4x

（2）设直线l 的方程为：x =my +1联立抛物线C 的方程y 2=4x 消y 整理得：

x 2−(4m 2+2)x +1=0 ∴x 1+x 2=4m 2+2

根据焦点弦的性质可知:|AB |=x 1+x 2+p =4m 2+4 又因为|AB |=5

∴4m 2+4=5解得m =±12

所以所求直线l 的方程为：y =2x −2或y =−2x +2

（难度2星）

4．（2019·四川高二期末（文））已知点A(−2,0)，B(3,0)，动点P(x,y)满足： PA

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6. （1）求动点P 的轨迹E ；

（2）已知点F (14,0)，若曲线E 上一点M 到x 轴的距离为12，求|MF|的值.

【答案】（1）焦点在x 轴，开口向右的抛物线y 2=x ；（2）12

【解析】

（1）P 点坐标为(x,y),则有:PA

⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x,−y) ∴PA

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x −6+y 2=x 2−6， 即：y 2=x ，∴点P 的轨迹为焦点在x 轴，开口向右的抛物线.

（2）由题意可得：y M =±12代入方程求得x M =14,所以M (14,±12),而F (14,0)

∴|MF |=√(14−14)2+(±12−0)2=12 ,即|MF |=12.