数学建模与数学技术应用介绍以及领域应用

数学技术的应用——差分方法建模
一、抵押贷款买房问题
谁都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这
相 就产生了贷款买房的问题。 关 下面是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告.
名流 背
景
花园 用薪金,买高品质住房
对于大多数工薪阶层的人士来说,想买房,简直是天方夜谭.现在有这 样一栋:自备款只需七万人民币,其余由银行贷款，分五年还清.相当 于每月只需付1200人民币。那么,这对于您还有什么问题呢?
数值计算中应避免
大小相近的同号数相减 乘数的绝对值很大 除数接近于零 量级级差很大的数直接相加减
数值算法的构造、算法的收敛性和稳定性
科学计算与数学软件系统的使用
常用算法
1) 蒙特卡罗算法: 该算法又称随机性模拟算法，是通过 计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以 来检验自己模型的正确性，是一种常用的方法.
2) 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法: 在实 际问题中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数 据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具.
3) 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划 类问题: 大多数问题属于最优化问题，很多时候这些 问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、 Lingo软件实现.
（3）误差的种类及其来源
误差的种类
➢模型误差 ➢观测误差 ➢截断误差 ➢舍入误差
误差分析
6
x 2 1
3 x 99 70 2
例1
x
2 2
1 1
x
6
1 2
1
x
1
99 70 2
2751.4
217121.41 66
号序
1 2 3 4
算式
6 21
9970 2
1 6
2 1
1 99 70 2
7) 网格算法和穷举法: 网格算法和穷举法都是暴力搜索 最优点的算法，在很多实际问题中有应用，当重点讨论 模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案， 最好使用一些高级语言作为编程工具.
8) 一些连续离散化方法: 很多实际问题的数据 可能是连续的，而计算机只认的是离散的数据， 因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代 替积分等思想是非常重要的.
计 算结 果
2 7/5
217/12
2
6
5
0.004096
5 6 12
0.005233
1
1 0.166667 6
5
6
12
0.005233
12296
0.005020
1 197
0.005076 12 0.005046 2378
按不同算式和近似值计算出的结果各不相同
初始误差和算法的选定对计算结果的精确度影响很大
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物,它集中反映了原型 中人们需要的那一部分特征。
数学模型是对客观事物的部分、方面或特性，根据其内在规律， 作出必要的简化、假设，运用数学符号、语言等数学工具描述 的作为原型替代物的一个数学结构。
数学建模是建立数学模型的全过程，包括对客观事物进行分析、 简化、假设、运用适合数学工具表述、求解、解释、检验等。
4) 图论算法: 这类算法可以分为很多种，包括最短路、 网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些 方法解决.
5) 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机 算法: 这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场 合都会用到.
6) 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网 络、遗传算法（是用来解决一些较困难的最优化问题的算 法，对于有些问题非常有帮助，但ຫໍສະໝຸດ Baidu算法的实现比较困难.
解的分析
求解模型
应用与推广
作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着 与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着数学以空前的广 度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展，数 学建模越来越受到人们的重视，数学建模在解决现实世界的实际 问题中有着重要意义。
➢在传统工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地
任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告上没有谈住房 面积、设施等，人们关心的是：
如果一次付款买这套房要多少钱呢？
银行贷款的利息是多少呢？ 为什么每个月要付1200元呢？ 是怎么算出来的？
数学建模与数学技术应用介绍 以及领域应用
提纲
数学模型与数学建模过程 科学计算与数学模型求解 科学计算与数学软件系统的使用 数学技术的应用——差分方法建模 掌握数学技术迎接时代发展的挑战 我们团队的应用数学研究之路
Mathematical Model & Mathematical Modeling
9) 数值分析算法: 数值分析中常用的算法比如 方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法.
10) 图象处理算法: 一些问题与图形有关，即使 与图形无关，图形如何展示以及如何处理就是需 要解决的问题，通常使用Matlab进行处理.
常用软件
Maple V 系统 MATLAB 系统 MathCAD 系统 Mathematica 系统 LINDO和LINGO SAS系统 SPSS系统
数学建模技术是数学建模的相关知识、方法和技巧。
科学计算和数学建模技术是数学技术的核心内容， 数学技术的应用依赖于计算机技术的发展。
科学计算与数学模型求解
(1) 科学计算与数学建模求解关系
求解方法
演绎法 数值法
解析解 数值解
(2) 模型的数值求解与误差
算法：是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化 成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出 问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性及其误差 进行分析、计算。
➢在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具
美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中 的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可 以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的 技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义”，而“计算 和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主 要途径”。
数学建模是应用数学技术解决是问题的关键步骤和核 心内容。
数学建模现实世界与数学世界联系的桥梁
表述
现 现实问题的信息
数学模型
数
实 世
验证
求解 ？
学 世
界
现实问题的解答
数学模型的解答 界
解释
实践 理论 实践
求解方法
演绎法 数值法
解析解 数值解
数学建模的一般步骤与意义
分析问题
提出假设
建立模型
检验和验证