选修4-7优选法与试验设计初步 第一讲 优选法 一什么叫优选
学习总结报告-苏教版选修4-7优选法与试验设计初步教案
学习总结报告 - 苏教版选修4-7 优选法与试验设计初步教案学习背景近期，我参与了苏教版高中选修4-7课程的学习。
本阶段的学习重点是优选法与试验设计初步。
通过本阶段的学习，我深入了解并学习了如下知识点：•优选法原理；•试验设计基础；•因素水平实验设计。
在学习的过程中，我结合了个人实际情况，较好地掌握了相关知识，也收获颇丰。
本篇文档对专业知识进行了总结，旨在加深我的学习体会，同时也可供他人学习参考。
优选法原理什么是优选法？优选法是指一类在确定性可控制的条件下，通过断续检测对大量传输对象进行自动优选的方法。
优选法的基本原理优选法的基本原则是利用超出正常范围的特征并排除其他特征来识别异常对象。
优选法所依据的环境条件通常是暂时稳定的，并且在这个环境条件中，需要优选的对象与其他对象之间的区别也必须维持稳定。
优选法的优点优选法通过优选特殊的条件下的异常对象，相较其它选材方法有如下优点：1.高效畅通当可以明确区分优选对象时，优选法的效率非常高。
2.较低输入成本优选法的工作量明显低于其它方法，例如采用检查员进行质检，时间与人力成本都更高。
3.防止人为因素因为优选法系统主要决策方式是基于内部计算，减少了外部因素的干扰，因此其结果具有一定的可靠性。
试验设计基础实验是什么？实验是利用控制、观测和测量来检验某一特定假设的过程。
实验是科学方法中十分重要的一步，可以通过实验来证明研究者的假设是否成立。
试验方法种类试验方法大体分为两种：概念试验和定量试验。
•概念试验概念试验又可称为理论试验，目的是从理论上预测或验证某种假设，在该假设下，新颖的概念、模型或理论对象的演变路径被探究，并不合需具有定量试验的可操作性条件。
概念试验具体叫法还有“纸面演练”“设计分析”。
•定量试验定量试验又称实际试验，主要是通过实际的场景，对某种具体条件或因素进行测量及对比，从而证明研究者的想法是否成立。
定量试验具体分为多个类型，包括因素水平实验设计、响应面实验设计等等。
选修4-7
栏目导引
判断下列函数在[1,6]上哪些是单峰函数： 上哪些是单峰函数： 判断下列函数在 上哪些是单峰函数 1 (1)y＝ ； ＝ x (2)y＝－ 2＋4x－3； ＝－x ＝－ － ； (3)y＝sin x； ＝ ； (4)y＝ x. ＝
选修4－7 优选法与试验设计初步
栏目导引
解析： 由基本初等函数的图象知： 解析： 由基本初等函数的图象知： 1 (1)y＝ 在 [1,6]上是单调递减的， 上是单调递减的， ＝ 上是单调递减的 x 1 上是单峰函数． 所以函数 y＝ 在 [1,6]上是单峰函数． ＝ 上是单峰函数 x 2 2 (2)y＝－ ＋4x－3＝－ －2) ＋ 1. ＝－x ＝－(x－ ＝－ － ＝－ 2 上是单调增加， ∴函数 y＝－x ＋4x－ 3 在[1,2]上是单调增加 ， ＝ － 上是单调增加 上是单调减少． 在 [2,6]上是单调减少． 上是单调减少 ＝－x 上是单峰函数． ∴函数 y＝－ 2＋4x－ 3 在[1,6]上是单峰函数 ． ＝－ － 上是单峰函数
选修4－7 优选法与试验设计初步
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(3)y＝ sin x ＝
π π 在1， 上是单调增加，在 ，6 ， 上是单调增加， 2 2
上单调性不确定． 上单调性不确定． 上不是单峰函数． ∴ y＝ sin x 在 [1,6]上不是单峰函数． ＝ 上不是单峰函数 (4)y＝ x在 [1,6]上是单调增加的， 上是单调增加的， ＝ 在 上是单调增加的 ∴ y＝ x在 [1,6]上是单峰函数． ＝ 在 上是单峰函数． 上是单峰函数
选修4－7 优选法与试验设计初步
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单峰函数
单峰函数是研究优选问题的最基本的函数． 单峰函数是研究优选问题的最基本的函数．能 够从定义的角度判断函数是否为单峰函数， 够从定义的角度判断函数是否为单峰函数，为 进一步学习单峰函数的优选法作下铺垫． 进一步学习单峰函数的优选法作下铺垫．
人教版高中选修4-7一什么叫优选法教学设计
人教版高中选修4-7一什么叫优选法教学设计概述在人教版高中选修4-7中，优选法是一种常见的教学设计方法。
所谓优选法，即从诸多方法和途径中进行“优选”，选出最适合教学内容和学生的方法和途径。
优选法教学设计主要是针对教师如何选择合适的教学方法和途径，以达到教学目标。
优选法教学设计的特点根据内容和学生情况进行选择优选法教学设计的主要特点就是具有针对性，即针对教学的内容和学生的情况，选择最适合的教学方法和途径。
这也是优选法教学设计与其他教学设计方法的最大区别。
灵活性和可调整性因为优选法教学设计是根据内容和学生情况进行选择，所以相对于其他教学设计方法，它具有更大的灵活性和可调整性。
教师可以根据学生的反应和教学效果，适时进行调整和改进，以达到更好的教学效果。
多样性和综合性教师在进行优选法教学设计时，可以选择多种教学方法和途径，如讲授、讨论、实验、案例等，以丰富教学内容和方法，让学生从多个方面进行学习，达到更好的教学效果。
重视学生积极参与与互动优选法教学设计注重学生的积极参与和互动，要求教师创造更多的机会和环境，让学生更多地参与教学过程，发挥学生的主体性和创造性，激发学生的学习兴趣和热情。
优选法教学设计应该注意的问题理解教学内容和学生情况优选法教学设计的前提是对教学内容和学生情况的充分理解。
教师在进行教学设计时，要对教学内容进行深入的分析和研究，了解学生的认知水平、个性差异等情况，才能更好地选择适合的教学方法和途径。
对教学方法和途径的熟悉和掌握优选法教学设计要求教师对各种教学方法和途径不仅要有一定的了解，还要熟悉其特点和应用范围，以便在教学过程中灵活选择和应用。
注意教学方法的多样性和综合性优选法教学设计要求教师在选择教学方法和途径时，要尽量考虑多样性和综合性。
教师应该尝试用不同的教学方法和途径来引导学生，在教学过程中给学生一个更丰富、更多样的学习体验。
注重学生的积极参与和互动优选法教学设计特别重视学生的积极参与和互动。
高中数学第一讲优穴一什么叫优穴课件新人教A版选修4_7
2 400 (2)f′(x)＝6－ ，令 f′(x)＝0， （3x＋5）2 2 400 25 即 ＝6，解得 x＝5，x＝－ 3 (舍去). （3x＋5）2 当 0＜x＜5 时，f′(x)＜0；当 5＜x＜10 时，f′(x)＞0. 故 x＝5 是 f(x)的最小值点， 800 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元.
解
(1)给①号锁找钥匙，
试一次就打开了锁， 则最少次数是 1 次， 若一共试了 n－1 次还没有打开①号锁， 则最后一片钥匙就是①号锁， 故最多次数是 n－1 次. (2)由(1)知，若按①，②，…， 顺序给钥匙编号， 则①号钥匙最多要 n－1 次； 从 n－1 片钥匙中找②号锁， 最多要 n－2 次；…； 从 2 片钥匙中找最后两把锁，要 1 次. n （n － 1 ） 故最多需要试的次数是：(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋0＝ (次). 2 要点三 优选法思想应用
解
(1)需要化验 200 次.
(2)由发病率为 0.01， 估计 200 人大约有 2 人的血样呈阳性. 当 k＝10 时，则共有 20 组. 第一次，对这 20 组进行化验，化验的次数为 20 次； 第二次，对第一次化验呈阳性的组逐个化验， 最多共化验 2×10＝20 次. ∴最多共需 20＋20＝40 次.
要点一 例1
优选问题 ( )
下列生活常识，与优选法有关的为 ④生煤炉对炉门的关闭程度. B.①③ D.①②③④
①商品价格竞猜； ②蒸馒头放碱； ③营养师调配饮料时，选 取合适的口感； A.①② C.②③④
解析
以上四个现象均与优选法有关，所以答案选 D.
答案 D
规律方法
人教版高中选修4-7一什么叫优选法课程设计
人教版高中选修4-7：什么叫优选法课程设计什么是优选法课程设计优选法课程设计，是指按照学科特点、教材内容、教学目标、学生特点等多个方面综合考虑，采用排除法筛选出最优的教学内容、方法和手段，有利于提高学生的学业水平和整体素养。
在教育教学实践中，教师需要使用优选法课程设计，因为：•一方面，优选法是一种科学的教学设计方法，能够确保学生能够掌握必要的知识和技能，提高他们的学习效果；•另一方面，通过优选法课程设计，教师可以更好地理解学生的需求和兴趣，从而更加有针对性地进行教学，增强学习的主动性和积极性。
因此，优选法课程设计正逐渐成为广大教师在课堂教学中发挥重要作用的一种方法。
如何进行优选法课程设计第一步：明确教学目标优选法课程设计的第一步，是明确教学目标。
教师要确定自己的教学目标，包括知识目标、能力目标和情感目标，以便有目标地选择教材和设计教学方法。
例如，在教授数学知识时，教师可以明确学生需要掌握哪些基本数学概念、原理和方法，以及需要具备哪些数学运算能力，这样可以有针对性地挑选最为重要的知识点进行教学。
第二步：筛选教材在明确教学目标之后，教师需要筛选出最优的教材。
选择教材时，需要综合考虑以下因素：•教材内容是否丰富、准确、权威；•教材的难易程度是否与教学目标一致；•教材的形式和风格是否符合学生的认知规律和兴趣爱好。
通过综合考虑这些因素，教师可以选择适合的教材，为后续的教学活动打下坚实的基础。
第三步：确定教学方法在选择教材之后，教师需要确定具体的教学方法，包括课堂教学、课外拓展、实践活动等。
此时，教师需要从以下方面考虑：•教学方法是否与教学目标和教材内容一致；•教学方法是否符合学生认知规律、个性差异和年龄特点；•教学方法是否能够调动学生的积极性、主动性和创造性。
在确定教学方法时，教师要注意根据学生的实际情况调整教学策略，从而尽可能地提高学生的学业水平和整体素质。
第四步：制定教学计划在确定了教学方法之后，教师需要制定具体的教学计划，包括教学进度、教学内容、教学方法和评价方式等。
“4-7 优选法与试验设计初步”简介
“4-7 优选法与试验设计初步”简介人民教育出版社张唯一在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目标，需要对有关因素的最佳组合（简称最佳点）进行选择，关于最佳组合（最佳点）的选择问题，称为优选问题．在实践中的许多情况下，试验结果与因素的关系，要么很难用数学形式来表达，要么表达式很复杂，优选法与试验设计是解决这类问题的常用数学方法．简单地说，优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法．试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案．20世纪60年代，著名数学家华罗庚亲自组织推广了优选法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取得了可喜的成果．本专题将结合具体实例，初步地介绍单因素、双因素的优选方法和多因素的正交试验设计方法，并对方法给予简单的说明，帮助学生理解这些方法的基本思想，并能思考和解决一些简单的实际问题．一、内容与要求1.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受到现实生活中存在着大量的优选问题．2.分析和解决具体实际问题，使学生掌握分数法、0.618法及其适用范围，可以利用计算机（或计算器）进行试验，并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法．3.了解斐波那契数列，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道和黄金分割的关系．4.通过一些具体的实例，使学生知道对分数法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法．5. 通过丰富的实例，了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选的思想方法．6.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受到现实生活中存在着大量的试验设计问题．7.通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4）的分析，理解与运用正交试验设计方法解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题．二、内容安排及说明1. 课时安排本专题教学时间约为18课时，具体分配如下（供参考）：第一讲优选法约10课时一什么叫优选法1课时二单峰函数1课时三黄金分割法—0.618法2课时四分数法2课时五其他几种常用的优选方法2课时六多因素方法 2课时第二讲试验设计初步约6 课时一正交试验设计方法 4 课时二正交试验的应用 2 课时学习总结报告约2 课时2. 本专题知识框图3. 对内容安排的说明本专题是分优选法与试验设计两讲来介绍的．优选法主要对单因素问题和双因素问题，而试验设计主要就是对多因素问题。
数学4.7优选法教案(人教A版选修)
第一讲优选法一、优选法和单峰函数教学目标：1．通过丰富的生活、生产案例，使学生感受到生活中存在着大量的优选问题；2．了解优选法和单峰函数的概念。
教学重点：单峰函数的概念教学难点：单峰函数的概念的理解教学过程一、什么叫优选法？人们经常会遇到这样的问题：选取"合适"的配方；寻找"合适"的操作和工艺条件；给出产品的"合理"设计参数；把仪器调节器试到"合适"的程度；等等。
所谓"合适"、"合理"，数学上叫最优。
例如如何使产品质量最好、产量最高，或在一定质量要求下如何使成本最低、消耗原材料最少、生产周期最短等等"最优"性问题，都常常引起人们的关心。
怎样才能达到"最优"呢？举个最简单的例子，比如蒸馒头；要想蒸得好吃、不酸不黄，就要使碱适量。
假如我们现在还没有掌握使碱量的规律，而要通过直接实践的方法去摸索这个规律，怎样才能用最少的实验次数就找到最理想的结果呢？换句话说，用什么方法指导我们进行实验才能最快地找到最优方案呢？这个方法就叫作优选法。
优选法的用途很广。
上面以蒸馒头问题为例，是考虑到了它通俗易懂，而且能说明选优的问题处处有、常常见。
有许多例子说明优选法有许多更重要的用处。
例如，某仪器表研究所在制造某种仪表时，为了找到一种能去除金属表面氧化皮的酸洗液，在未掌握优选法时，在两年的时间中做了无数次试验，勉强找到了一个配方，配洗效果仍不理想；酸洗时间半小时，然后还要用刷子刷。
当掌握了优选法后，克服了盲目性，用了不到一天的时间，只做了十四次试验就找到了一种新的酸洗液配方。
按照新配方，只需三分钟，氧化皮就自然剥落，而且材料表面光滑，既不需用刷子刷，又没有腐蚀痕迹。
（1）最佳点：（2）优选问题：（3）优选法：优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法。
高中数学第1讲优选法一什么叫优选法练习新人教A版选修4-7(2021年整理)
2017-2018版高中数学第1讲优选法一什么叫优选法练习新人教A版选修4-7编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018版高中数学第1讲优选法一什么叫优选法练习新人教A版选修4-7）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一什么叫优选法一、基础达标1.下列问题是优选问题的有( )①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；②炸酱面如何配料使口感更好；③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐做出后不老不嫩.A.①③B.②③C。
①②③ D.①解析以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题.答案C2.下列各试验中，与优选方法无关的是( ）A。
女孩子在日常生活中总爱穿高跟鞋B.在学校举行的诗歌朗诵大赛中，文艺班长先从班级中选出一名优秀队员C。
景泰蓝生产过程中,寻找“合适”的操作和工艺条件D。
篮球比赛中，上下半场交换比赛场地解析A中“爱穿高跟鞋”、B中“优秀队员”、C中“合适的操作和工艺条件"都需要通过试验得到最佳效果，有优选法的思想,D只是交换场地，是比赛规则，不需要试验。
答案D3。
下列有关优选法的说法中正确的个数为( )①优选法就是利用数学原理合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法②优选法的目的就是减少试验的次数③试验中如果安排不合理，会使得试验的次数很多④优选法是纯数学问题，实验性不大.A。
1个 B.2个C。
1.1单因素优选问题及其处理方法-北师大版选修4-7优选法与试验设计初步教案
1.1 单因素优选问题及其处理方法-北师大版选修4-7 优选法与试验设计初步教案本教案旨在介绍单因素优选问题，包括常见的处理方法和相关试验设计方法，为选修4-7《优选法与试验设计初步》课程的学习提供帮助。
一、什么是单因素优选问题？单因素优选问题是指在研究某个变量的影响时，其他变量的影响被忽略，只有一个因素在变化。
通常情况下，我们希望找到最优的因素水平，使某个响应变量的性能得到最大或最小的提高。
例如，在生产制造过程中，我们希望了解某种原材料的最佳使用量，保证产品质量并减少成本。
在这个场景中，原材料的使用量就是唯一的变量因素，相应的响应变量是产品的质量和生产成本。
二、单因素优选问题的处理方法为了解决单因素优选问题，通常有以下几种处理方法：方法一：经验法经验法是通过实践经验进行试验设计和优化的方法。
通常情况下，这种方法适用于经验丰富、对试验因素十分熟悉的专家，主要目的是根据经验确定最佳的变量因素水平。
例如，在确定某种原材料的最佳使用量时，工厂经理或工艺师根据工作经验和对原材料的熟悉程度进行优选。
方法二：单因素试验单因素试验是通过对变量因素进行逐个测试，得到不同因素水平下的响应变量值，根据响应变量值的变化趋势确定最佳水平值的方法。
主要优点是简单易行，适用于初步探索因素影响的情况下。
例如，在确定某种原材料的最佳使用量时，可以进行试验，分别以不同的使用量作为变量因素，得到对应的产品质量和成本数据，根据数据的变化趋势确定最佳使用量。
方法三：数学模型数学模型是通过建立各种统计模型，预测影响因素对响应变量的影响，并通过模型求解求出最优水平值的方法。
主要优点是精度高，预测能力强。
例如，在确定某种原材料的最佳使用量时，可以建立相应的数学模型，根据模型参数预测最优使用量。
三、单因素试验设计方法在单因素试验中，为了确定最优水平值，我们需要进行试验，得到不同水平值下的响应变量值。
常见的试验设计方法有以下几种：方法一：全区间试验设计全区间试验设计是对因素水平区间的每一段都进行试验，以全面探索因素的影响情况，并寻找最佳水平值的方法。
引言-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
引言-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案本文档将对《物理》人教A版选修4-7中的优选法与试验设计进行初步教案的介绍。
通过本教案，学生将了解到什么是优选法与试验设计，它们的意义和作用，以及如何进行优选和设计一项实验。
一、优化方法优选法是指在已有条件下，寻找出最优解的方法。
在解决实际问题时，不仅要求解问题，还要求得出最佳方案。
优选法可以分为以下几种不同的类型：1.参数优选：在优选的过程中对指定参数或参数组合进行评价和选择。
2.权重优选：在优选的过程中，对不同权重的指标进行评价、计算和综合。
3.工程优选：在设计或优化某种工程系统时，利用优选法确定最优的设计方案。
在学习过程中，引导学生理解并掌握上述方法的具体应用。
二、试验设计试验设计是指通过科学和系统的方法来安排设计实验。
它能够有效地分析数据、提高试验的质量和提高物质的利用率。
试验设计包括以下步骤：1.问题分析：明确问题、目的和要求。
2.方案制定：根据问题制定方案和实验的步骤。
3.实验执行：按照方案执行实验。
4.数据分析：分析数据并得出结论。
5.报告撰写：撰写实验报告并说明结论。
在学习过程中，要引导学生进行实践操作，让其学会通过设计和实验来解决问题。
三、教学设计1.教学目标：通过这节课的学习，学生应该能够：（1）理解优选法和试验设计的基本概念和过程。
（2）掌握参数优选、权重优选、工程优选的基本方法。
（3）掌握试验设计的基本步骤和方法，包括问题分析、方案制定、实验执行、数据分析和报告撰写。
2.教学内容：（1）优选法的概念和分类。
（2）试验设计的概念和步骤。
（3）实践操作，并分析和总结结果。
3.教学方法：（1）理论讲解，并启发式提出问题进行讨论。
（2）引导学生进行小组实践操作。
（3）课堂总结和思考。
4.教学步骤：（1）导入：通过引导式提出问题启发学生思考，并引出课堂话题。
（2）理论讲解：按照实验设计的基本步骤，分别讲解其概念和步骤。
（3）实践操作：针对不同的类型，引导学生设计实验。
学习总结报告-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
学习总结报告-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案1. 概述在学习人教版选修4-7课程中，优选法与试验设计是这四门课的一项重要的内容。
通过学习本教案，我们可以初步了解到优选法与试验设计的基本概念、方法和应用，进而实现在实际生活中，对于不同的问题，按照科学的方法寻找优选方案的目的。
2. 优选法优选法是指在具有多种选择的情况下，采用科学的方法加以评估和比较，从而选择最优方案的方法。
优选法常用于工程设计、运筹学、决策分析等领域。
优选法有多种分类方法，其中核心思想是以总分为依据作出决策。
2.1 等级法等级法是一种优选法，是通过对比各种选择中不同项目满足某些标准的程度，进行等级评定，最后通过总分计算，选出最优方案。
等级法适用于复杂的毒剂选优方案，具体流程如下：•确定评价标准；•根据评价标准及其权重，对所有方案进行分级；•对每一个方案的每个层级，按照标准给出分值；•加权求和，得到总分。
2.2 加权平均法加权平均法是一种优选法，是通过将各项指标按照一定的权重进行加权平均，得到总分数来比较优选方案。
加权平均法适用于简单的毒剂选优方案，具体流程如下：•确定评价指标；•根据评价指标及其权重，给出各个方案的得分；•加权平均，得到每个方案的总得分；•比较各个方案的总得分，选出最优方案。
3. 试验设计初步试验设计是指通过科学的方法，对研究对象进行有计划的实验，以获取科学数据，从而更好地认识和研究研究对象的方法。
通过本教案，我们可以初步了解到试验设计的基本概念、方法和应用，进而实现通过实验手段来检验和验证科学理论。
3.1 正交试验设计正交试验设计是判断影响因素的实验设计方式，本质上是通过合理的设计，使各个因素对试验结果独立影响，实验数据更可靠。
正交试验设计的思路是将实验各因素的不同变化水平“正交”在一起，实现多因素的同时比较。
因为确定试验因素和因素水平对试验结果的影响是十分重要的，所以我们在设计实验时，选择恰当的试验因素、确定不同的水平和均分误差很重要。
选修4-7 第一节 优选法
2.判断下列函数在区间 －1,5]上哪些是单峰函数： 判断下列函数在区间[－ 上哪些是单峰函数： 判断下列函数在区间 上哪些是单峰函数 (1)y＝ex ＝ (2)y＝－x2＋3x＋1 ＝ ＋ (3)y＝x3 ＝ (4)y＝cosx ＝
由初等函数的图象可知 可知： 解：由初等函数的图象可知： (1)y＝ex 在[－1,5]上单调递增，故为单峰函数． ＝ 上单调递增， － 上单调递增 故为单峰函数． 3 3 (2)y＝－ ＋3x＋1 在[－1， ]上单调增加，在[ ，5]上单调 ＝－x 上单调增加， ＝－ ＋ － ， 上单调增加 上单调 2 2
3．黄金分割法——0.618法 ．黄金分割法 法 (1)定义：利用 黄金分割点 确定试点的方法叫做黄金分割法， 定义： 确定试点的方法叫做黄金分割法， 定义 法 又叫做 0.618法 ；它是最常用的 单因素单峰目标函数 的 优选法之一． 优选法之一． (2)确定试点的方法 确定试点的方法 ×大 确定第一个试点x 的方法x 确定第一个试点 1的方法 1＝ 小＋0.618×(大－小) ；确定 第二个试点x 的方法x 第二个试点 2的方法 2＝ 小＋大－x1 ，可概括为 加两头， 加两头，减中间 ． 确定第n个试点 的方法x 确定第 个试点xn的方法 n＝ 小＋大－xm . 个试点
次试验 中的最优试验点． 最佳点就是 n次试验 中的最优试验点． ②在目标函数为单峰的情形，只有按照 分数法 安排 在目标函数为单峰的情形， 试验，才能通过 次试验保证从 试验，才能通过n次试验保证从 (Fn＋1－1) ＋ 找出最佳点． 找出最佳点． 个试点中
5．其他几种常见的优选法包括 对分法 、盲人爬山法 、 ． 分批试验法 ． 6．多因素方法有纵横对折法 、平行线法 、从好点出发 ． 法 、 双因素盲人爬山法 等． 7．目标函数为多峰情况的处理方法 ． (1)先不管它是“单峰”还是“多峰”，用前面介绍的处理 先不管它是“单峰”还是“多峰” 先不管它是 单峰 的方法去做，找到一个“ 的方法去做，找到一个“峰”后，如果达到预先要求， 如果达到预先要求， 就先用于生产，以后再找其他更高的“ 就先用于生产，以后再找其他更高的“峰”(即分区寻 即分区寻 找)． ．
选修4-7优选法与试验设计初步 第一讲 优选法 一什么叫优选
2.蒸馒头是日常生活中常做的事情， 为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如 果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放 多了，馒头就会发黄且有碱味.如果你没 有做馒头的经验，也没有人可以请教， 就要用数学的方法迅速找出合适的碱量 标准.
3.在实践中的许多最优化问题，试 验结果与因素的关系，有些很难用数学 形式来表达，有些表达式很复杂，这需 要我们学习解决这类问题的数学方法.
1 3 2 2 f ( x) x 2ax 3a x 2 3
例3
已知函数
4 (, 0] U[ , ) 3
小结作业
1.如果影响试验的某个因素（记为x） 处于某种状态（记为x＝x0）时，试验结 果最好，那么这种状态（x＝x0）就是这 个因素（x）的最佳点.
2.具有单峰性的试验是优选法研究的 最简单的试验，在这样的试验中，试验 结果可以表示为实验因素的单峰函数.
y y
y
O a
b x O a
b x O a
b x
规定：区间[a，b]上的单调函数是单峰 函数. 单峰函数不一定是连续函数.
探究（三）：因素与试点
思考1：在炮弹发射试验中，除发射角外， 客观上还会因哪些原因影响炮弹的射程？
初速度，空气阻力，地理位置等.
思考2：一般地，把影响试验目标的诸多 原因称为因素.由于全面考虑试验中的各 种因素往往非常困难，常假设其中的某 些因素保持不变，或忽略某些影响较小 的因素，而把关注点集中在感兴趣的某 个因素上.如果在一个试验过程中，只有 （或主要有）一个因素在变化，则称这 类问题为单因素问题. 炮弹发射试验是 否为单因素问题？认为哪些因素保持不 变？忽略了哪些因素？ 认为初速度保持不变，忽略了空气阻力.
探究（一）：优选法
思考1：有一种商品价格竞猜游戏，参与 者在只知道售价范围的前提下，对一件 商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估 价不正确时，主持人以“高了”或“低 了”作为提示语，再让竞猜者继续估价， 在规定时间或次数内猜对了即可获得相 应奖品.如果你参与这项活动，每次会怎 么给出估价？
优选法与试验
（五）其他几种常见的优选法
1.对分法 • 案例1 查找输电线路故障
A C E D B
• 类比二分法 • 教学中应结合具体案例，强调这种操作 比较简单，选试点的方法是单一的选取 中点。这一类试验问题的特点是有已知 的试验标准，且能根据一次试验的结果 确定下次试验的选择方向。
（五）其他几种常见的优选法
（四）分数法
• 案例1 在配置某种清洗液时，需要加入 某中材料。经验表明，加入量大于130ml 肯定不好。用150ml的锥形量杯计量加入 量，该量杯的量程分为15格，每个代表 10ml。用试验法找出这种材料的最优加 入量。 • 两个目的：
–0.618法不能用于一切优选问题； –结合具体问题介绍分数法。
说明与建议：
1.本专题要求学生掌握一些优选的方法， 尽管没有给予严格的数学证明，目的是 让学生理解这些方法的思想和实质。 2.作为一门应用课程，有条件的地方应让 学生用所学的方法亲自做一些试验，以 便更好地掌握这些方法。 3.使学生认识到，应根据问题的具体情况 讨论采用何种方法更为有效，并要与具 体问题的专业知识相结合。同时，要能 比较不同方法的利弊和适用范围。
内容与要求
6.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实 生活中存在着大量的试验设计问题。 7.通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4） 的分析，理解运用正交试验设计方法解决简单问 题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运 用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。 8.完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内 容：（1）知识的总结。对本专题的整体结构和内 容的理解，对试验设计方法及其意义的认识。（2 ）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、 独立思考，对某些内容、某些结果和应用进行拓 展和深入。（3）对本专题的感受、体会、看法。
3.2常见试验设计方案-北师大版选修4-7优选法与试验设计初步教案
3.2 常见试验设计方案-北师大版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、引言试验设计是科学研究中重要的一个环节，是根据科学问题，利用合理的方法和手段进行探究的过程。
在试验设计中，如何选择合适的方案，以达到准确、可靠的数据分析结果，是最重要的一个问题。
本文将重点介绍常见的试验设计方案之一——优选法。
二、优选法的基本概念优选法也称为优化设计，是一种系列试验设计方法，旨在最大化试验效率和结果的可靠性，同时最小化实验成本和时间。
它在一定条件下，如建模准确性、变异性程度、响应表面和因子水平的特点等，通过选择最优的设计方案，来达到研究结论准确性的目标。
优选法主要优化的是研究方案的设计，而非控制变量。
由于人工智能、机器学习等技术的发展，优选法在近年来的应用范围越来越广，成为了许多领域的重要工具。
三、优选法的设计原则优选法的设计需要遵循以下原则：1.设计方案简洁明了，避免浪费和不必要的成本；2.考虑因素对在研究过程中产生的变异性程度；3.确保因子之间不会相互干扰或混淆；4.筛选控制变量的数量，保证结果的有效性。
四、优选法的应用领域优选法的应用范围非常广泛，常用于以下领域：1.化学工程2.材料研发3.医学研究4.生产流程优化5.信息技术研究6.统计学和数学研究五、优选法的设计步骤优选法的设计步骤如下：1.确定试验目标和限制条件2.确定因子类型和水平3.建立试验模型4.选择设计方案5.进行试验6.数据分析和结果解释六、常见的试验设计方案在优选法的设计中，常见的试验设计方案有：1.二水平设计2.三水平设计3.四水平设计4.中心组合设计5.多因素试验设计七、优选法的实现软件优选法的实现需要依赖一些专业的软件，在不同领域中也有不同的软件选择，比如：1.化学工程领域：Design-Expert、JMP等2.生物医学领域：DoseLab、MedCalc等3.统计学领域：R、MATLAB、SAS等八、结束语优选法作为一种试验设计方法，通过筛选最优的设计方案，提高了试验效率，减少试验成本，并且在许多领域发挥着重要作用。
1.2.优选方案-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案
1.2.优选方案-人教B版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、教学目标本节课程主要目标是让学生了解优选法的基本概念和流程，了解实验设计的基本步骤，以及掌握常用的实验设计方法，为后续深入学习实验设计打下基础。
二、教学重点和难点本节课程的教学重点是优选法以及实验设计的基本步骤，难点在于要求学生对优选法和实验设计进行深入理解，并能运用所学知识解决实际问题。
三、教学内容3.1 优选法3.1.1 基本概念优选法是一种根据试验数据进行多目标优化的方法，目的是在多个因素的影响下寻找最佳实验参数组合。
3.1.2 流程1.确定优选对象和优选指标2.确定优选因素和考虑水平3.制定试验方案4.进行试验5.数据处理，建立模型6.优选结果分析和评价3.1.3 常用方法1.正交试验设计法2.全因子试验设计法3.响应面试验设计法3.2 实验设计3.2.1 实验设计的基本步骤1.确定实验目的和要求2.选择试验对象和实验因素3.制定试验方案4.进行试验5.结果分析和评价3.2.2 常用实验设计方法1.单因素设计法2.多因素设计法3.方差分析法四、课堂练习1.根据课程中介绍的优选法流程，尝试设计一个包装制造企业生产线的优选方案。
2.以汽车发动机调试试验为例，说明如何设计一套合理的实验方案。
3.通过数据分析得出结论：在南方夏季旱季，适宜的室内温度为25℃左右，同时需要适当湿度，否则容易引起冷气病；请尝试运用你所学的知识，设计一份针对此问题的实验方案。
五、课后作业1.阅读相关实验设计论文，了解更多实验设计的方法和应用场景，并写一份读书笔记。
2.组织小组讨论，探讨如何运用课程中所学知识，优化你身边的生活环境。
3.根据课程中介绍的优选法流程，尝试设计一个产品设计优选方案，并对设计结果进行测试分析。
湖南长沙一中高二文科数学选修4-7教案设计《第一讲-优选法》
第一讲 优选法一 什么叫优选法二 单峰函数1. 有一种商品价格竞猜游戏，参与者在知道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以“高了”“低了”作为提示语，再让竞猜者继续估价，在规定的时间或次数内猜对的，即可获得这件商品.如果参加类似的游戏，每次你将怎么给出估价呢？2. 蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱.如果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放多了，蒸出的馒头就发黄且有碱味.对于一定量的面粉来说，放多少碱最合适呢？如果你没有做馒头的经验，也没有人可以请教，如何迅速地找出合适的碱量？3. 一个农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件，如果可以掌握的因素是:种植密度、施化肥量、施化肥时间，如何迅速地找出高产栽培的条件？如何找出其中对玉米的产量影响比较大的因素呢？一、优选法优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.二、单峰函数..,这是一个优选问题大时炮弹的射程最远经常要考虑发射角度多在军事训练中.|,|,cos 21tan ,.,,),20(,,222为重力加速度其中则有如果忽略空气阻力离地面的高度为离为炮弹距发射点的水平距在时刻发射角度为设炮弹的初速度为如图g v v x v g x y y x t v =-=≤≤θθπθθ .2sin ,.2sin ,0,02221θθg v g v x x y 炮弹的射程为因此得令=== 如果函数f (x )在区间[a , b ]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C ，而在最大值点(或最小 值点)C 的左侧，函数单调增加(减少)；在点C 的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数 为区间[a , b ]上的单峰函数.例如，图中的两个函数f (x )，g (x )就是单峰函数.我们规定，区间[a , b在炮弹发射试验中，除发射角外，初速度、空气阻力等也会影响炮弹的射程，我们把影响试验目标的初速度、发射角、空气阻力等称为因素.在一个试验过程中，只有（或主要有）一个因素在变化的问题，称为单因素问题.射程（目标）可以表示为发射角（因素）的函数.像这样表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数.若函数f (x )在区间[a ,b ]上是单峰函数,C 是最佳点，如果在区间[a , b ]上任取x 1，x 2，如果在试验中效果较好的点是x 1，则必有C 和x 1在x 2的同侧，若以x 2为分界点,含x 1点的区间范围是函数的一个存优范围.练习.判断下列函数在区间[－1,5]上哪些是单峰函数：(1) y ＝3x 2－5x ＋2; (2) y ＝－x 2－3x ＋1;(3) y ＝cos x ; (4) y ＝ex ;(5) y ＝x 3.课后作业1.阅读教材P. 2-P.10；2.《学案》P.32-P.34.三、黄金分割法——0.618法一、黄金分割常数对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？假设因素区间为[0, 1]，取两个试点102、101 ，那么对峰值在)101,0(中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为54的区间(图1)；但对于峰值在)1,102(的函数，只能去掉长度为101的区间(图2)，试验效率就不理想了.怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？在安排试点时，最好使两个试点关于[a ,b ]的中心 2b a + 对称. 为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同. 黄金分割常数：251+-，用ω表示. 试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法.由于215-是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值0.618.相应地，也把黄金分割法叫做0.618法.二、黄金分割法——0.618法例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g 到2000g 之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为原始的因素范围次试验后的存优范围n n =δ 用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ一般地，给定精度δ，为了达到这个精度，所要做的试验次数n 满足,1618.01<≤-δn 即.0lg 618.0lg )1(<≤-δn 所以.1618.0lg lg +≥δn 黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.课后作业1.阅读教材P. 5-P.10；2.《学案》第一讲第三课时.四、分数法一、复习黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ二、新课案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.斐波那契数列和黄金分割每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列., , ,138 ,85 ,53 ,32 ,211+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用65138 F F = 来代替0.618，那么我们有80)0130(13801=-⨯+=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x 在存优范围50~130ml 内：10=11=22=33=54=85=136=F 4F 5F 6F 502=x 801=x 130003F 4F 6F 1003=x 801=x 130500继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果.优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K Ω，1K Ω，1.3K Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用85 代替0.618. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的 nn n n F F F F 21 --和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验.(2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决.先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数...328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素nn n n n n F F F F F F ---=分数法的最优性在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n +1－1)个试点中找出最佳点.综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.课后作业1.阅读教材P. 11-P.17；2.《学案》第一讲 第四课时.五、其他几种常用的优选法复习1. 0.618法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ2. 斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34,…,55,34,21,13,8,5,3,2,1,198********==========F F F F F F F F F F3.黄金分割常数ω的近似分数列3. 分数法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的黄金分割近似分数处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.4. 0.618法和分数法的区别0.618法:适合[a ,b ]区间上的实数试点问题分数法:适合[a ,b ]区间上的有限试点问题5. 分数法的最优性2次试验可以最多处理2个试点问题3次试验可以最多处理4个试点问题4次试验可以最多处理7个试点问题5次试验可以最多处理12个试点问题6次试验可以最多处理20个试点问题…n 次试验可以最多处理(F n +1－1)个试点问题新课一、对分法案例1 有一条10km 长的输电线路出现了故障，在线路的一端A 处有电，在另一端B 处没有电，要迅速查出故障所在位置.0.618法和分数法都是先做两个试验，然后再通过比较，确定存优范围，不断地将试验范围缩小，最后找到最佳点.现在找输电线路故障所在位置，我们只需在AB 之间的任意点C 做检查，就能根据点C 是否有电，判断出故障在哪一段，从而缩小故障范围，而不需要做两个试验进行比较.那么，如何选取每次的检查点才能迅速找出故障位置呢？第一个检查点C 安排在线路中间，如果有电，说明故障不在AC 而在CB 段，接着在CB 中点D 检查，如果没有电，说明故障在CD 部分，再在CD 中点E 检查，如此类推，很快就能找出故障的位置.这个方法的要点是每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，所以这种方法就称为对分法.用这种方法做试验的效果较0.618法好，每次可以去掉一半.那么是不是所有的问题都可以用对分法呢？不是的.如果每做一次试验，根据结果，可以决定下次试验的方向，就可以用对分法.例如案例1中，根据有没有电就可以判断是哪段线路有故障，下次就在有故障的一段 C B A E D , , ,138 ,85 ,53 ,32 ,211+n n F F检查.决定下次试验方向，只要满足以下两个条件就可以：一是要有一个标准，对分法每 次只有一个试验结果，如果没有一个标准，就无法鉴别试验结果的好坏，案例1中的标准 是有没有电；二是要预知该因素对指标的影响规律，也就是说，能够从一个试验的结果直接分析出该因素的值是取大了还是取小了，案例1中，根据检查点是否有电，知道下一个应该离A 点更近些还是更远些.如果没有这一条件就不能确定下一次应该在哪个因素范围进行试验.案例2 在商品价格竞猜游戏中,每一次试猜时，如何给出商品估价就可以最迅速地猜出真实价格？因为每次给出估价都会得到“高了”或“低了”的提示语，于是，我们可以根据提示语确定下一次该往高还是往低估.这说明可以用对分法给出商品估价，每次给出的估价都是存优区间的中点.每给一次估价，可以使价格范围缩小21 ，迅速猜中商品价格. 可以发现对分法和0.618法及分数法，在确定下一个试点时，比较的对象是不同的.后两种方法是两个试点上的试验结果的比较，而对分法是一个试点上的试验结果与已知标准（或要求）的比较.所以在满足目标函数为单峰的假设下，使用对分法还需要满足具有已知标准这个条件.从效果上看，对分法比0.618法及分数法好，每一次试验可以去掉一半的因素范围.相对于0.618法及分数法，对分法更简单，易操作.思考分别用0.618法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法会更有效呢？为什么？二、盲人爬山法在实际的生产实践和科学试验中，某些因素不允许大幅度调整.例如，设备正在运行中，如果坏一次损失会很大；某些成分含量的多少对结果影响很大，甚至由于该成分的 过量破坏了试验装置的清洁度，而影响下一次试验结果的正确性.这些试验用0.618法、分 数法或对分法就不很合适.这种限制要求我们在原有生产条件的基础上逐步探索，逐步提 高，就像盲人爬山一样，在立足处，对前后两个方向进行试探，如果前面高了就向前走 一步，否则试探后面，如果前后都比某点低，就说明达到山顶了.盲人爬山法的操作步骤是：先找一个起点A (可以根据经验或估计)，在A 点做试验后可以向该因素的减少方向找一点B'做试验.如果好，就继续减少；如果不好，就往增加方 向找一点C 做试验.如果C 点好就继续增加，这样一步一步地提高.如果增加到E 点，再增加到F 点时反而坏了，这时可以从E 点减少增加的步长，如果还是没有E 点好，则E 就是该因素的最佳点.这就是单因素问题的盲人爬山法.盲人爬山法的效果快慢与起点关系很大，起点选得好可以省好多次试验.所以对爬山来说，试验范围的正确与否很重要.另外，每步间隔的大小，对试验效果关系也很大.在实践中往往采取“两头小，中间大”的办法.也就是说，先在各个方向上用小步试探一下，找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后，再根据具体情况跨大步，快接近最佳点时再改为小步.如果由于估计不正确，大步跨过最佳点，这时可退回一步，在这一步内改用小步进行.一般说来，越接近最佳点的时候，效果随因素的变化越缓慢.这个方法还可以应用在某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上.像改变气体和液体的流速、温度；仪器调试中的可变电容、可变电阻；等等，采用爬山法比较合适.试验中，可以边调整边检查，调到最佳点时就固定下来.一般在大生产中爬山法较常用.三、分批试验法(1)均分分批试验法(2)比例分割分批试验法从效果上看，比例分割法比均匀法好.但是比例分割法每批中的试验点挨得太近，如果试验效果差别不显著的话，就不好鉴别.因此，这种方法比较适用于小的因素变动就能引起结果的显著变化的情形.究竟一批安排几个试验合适呢？这要根据具体的情况而定.如果做一次试验很方便，消耗很少，时间很短；或检验很麻烦，时间又长；或代价很大，而且每次检验可以有好多样品同时进行，在这种情况下每批试验可多做几个，即将试验范围分得细一些；否则就少做几个.四、多峰的情形一般可以采用以下两种方法.(1)先不管它是“单峰”还是“多峰”，用前面介绍的处理单峰的方法去做，找到一个“峰”后，如果达到预先要求，就先应用于生产，以后再找其他更高的“峰”(即分区寻找).(2)先做一批分布得比较均匀的试验，看它是否有“多峰”现象.如果有，则分区寻找，在每个可能出现“高峰”的范围内做试验，把这些“峰”找出来.第一批分布均匀的试点最好以下述比例分：α：β＝0.618：0.382..(图1)这样有峰值的范围总是成(α,β) 或(β, α)形式(图2).课后作业 1.阅读教材P. 18-P.22； 2.《学案》第一讲 第五课时.六、多因素方法知识与技能：通过本节内容的学习，结合具体实例了解多因素方法.对于多因素问题，应抓住主要因素，略去次要因素，当剩下的因素不能再略去时，就只能用多因素方法了，处理双因素问题的方法有纵横对这法，从好点出发法，平行线法，平行线加速法、双因素盲人爬山法.情感、态度、价值：通过本部分的学习，可以培养学生的应用能力，同时通过例题的分析与比较，提升思维的比较迁移能力.教学过程;一、纵横对折法用x ，y 表示两个因素的取值，z =f (x ,y )表示目标函数(并不需要z =f (x ,y )的真正表达式).双因素的优选问题，就是迅速地找到二元目标函数z =f (x ,y )的最大值(或最小值)及其对应的(x ,y )点的问题.假设函数z =f (x , y )在某一区域内单峰，其几何意义是把曲面z =f (x ,y )看作一座山，顶峰只有一个.双因素的优选问题就是找出曲面z =f (x ,y )的最高峰.把试验范围中z =f (x ,y )取同一值的曲线叫作等高线，就如山上同一高度的点的连线在水平面上的投影.等高线一圈套一圈，越高越在里边.所以双因素问题就是通过试验、比较的方法来寻找比较靠里边的等高线，直到找到最里边的一圈等高线(即最佳点)为止.以横坐标表示因素I ，纵坐标表示因素II.假设因素I 的试验范围为[a 1,b 1]，因素II 的试验范围为[a 2, b 2].先将因素I 固定在试验范围的中点c 1，即)(2111b a +处，对因素II 进行单因素优选，得到最佳点A 1.同样将因素II 固定在中点c 2，即)(2122b a +处，对因素I 进行单因素优选，得到最佳点B 1.比较A 1和B 1的试验结果，如果B 1比A 1好，则沿坏点A 1所在的线，丢弃不包括好点B 1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：a 1≤I≤c 1,a 2≤II≤b 2.然后再在因素I 的新范围即(c 1，b 1]的中点d 1，用单因素方法优选因素II ，如果最佳点为A 2，而且A 2比B 1好，则沿坏点B 1所在的线，丢弃不包括好点βαβαβαβα图1图2A2所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：c1≤I b1，a2≤II≤c2.如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直到找到满意的结果为止.这个方法称为纵横对折法.思考是否每次都要固定在该因素试验的中点？还有没有改进的余地?不一定．实践证明，用以下的方法更好.二、从好点出发法先固定因素I于原生产点(或0.618点)c1，用单因素方法优选因素II，得到最佳点为A1(c1,c2),然后把因素II固定在c2，用单因素法优选因素I,得到最佳点B1(d1，c2)，则去掉A1右边的平面区域，试验范围缩小到a1≤I＜c11，a2≤II≤b2.再将因素I固定在d1，优选因素II，得到最佳点A2 (d1，d2)，则去掉B1以上部分，试验范围缩小到：a1≤I＜c1，a2≤II＜c2再将因素II固定在d2，用单因素方法在[a1,c1)范围内优选因素I，这样继续下去，就能找到所需要的最佳点.这个方法的要点是：对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上(除第一次外)，所以称为从好点出发法.案例1 阿托品是一种抗胆碱药.为了提高产量、降低成本，利用优选法选择合适的脂化工艺条件.根据分析，主要因素为温度与时间，定出其试验范围为温度：55℃~75℃，时间：30min~210min.用从好点出发法对工艺条件进行优选:(1) 参照生产条件，先固定温度为55℃,用单因素法优选时间，得最优时间为150min，其产率为41.6%.(2) 固定时间为150min，用单因素法优选温度，得最优温度为67℃，其产率为51.59%.(3) 固定温度为67℃，用单因素法再优选时间，得最优时间为80min，其产率为56.9%.(4) 再固定时间为80min，又对温度进行优选，结果还是67℃好.试验到此结束，可以认为最好的工艺条件为温度：67℃，时间：80min(图).实际中采用这个工艺进行生产，平均产率提高了15%.三、平行线法设影响某试验结果的因素有I、II两个，而因素II难以调整.首先把难以调整的因素II固定在0.618处，用单因素方法对另一个因素I的进行优选，例如最佳点在A1处．然后再把因素II 固定在0.618的对称点0.382处，再用单因素方法对因素I进行优选，例如最佳点在A2处.比较A2和A1两点上的试验结果，如果A1比A2好，则去掉A2以下的部分(图中阴影部分)，即好点不会在因素II的0~0.382之间(如果A2比A1好，则去掉A1以上的部分，即好点不会在因素II的0.618~1之间).然后按0.618法找出因素II的第三点0.764.第三次试验时，将因素II固定在0.764，用单因素优选方法对因素I进行优选，例如最佳点在A3处.比较A3和A1，如果仍然是A1好，则去掉0.764以上部分(图).如此继续下去，直到找到满意的结果为止.这个方法的特点是，每次试验都是在相互平行的直线上做，因此叫做平行线法.因素II上的取点方法是否一定要按0.618法？不一定，也可以用其他方法，例如可以固定在原有生产水平上，这样可以少做试验.在用平行线法处理两因素问题时，不能保证下一条平行线上的最佳点一定优于以前各条平行线上的最佳点，因此,有时为了较快地得到满意的结果，常常采用平行线加速法.所谓“平行线加速”是在求得两条平行直线l1与l2上的最佳点A1与A2后，比较A1与A2两点上的试验结果，若A1优于A2，则去掉下面一块.然后在剩下的范围内过A2，A1作直线L1，在L1上用单因素法找到最佳点，设为A3.显然A3优于A1.如果对A3的试验结果还不满意，则再过A3作l1的平行线l3，在如l3上用单因素法求得最佳点A4.显然A4优于A3(若A4与A3重合，则可以认为A4即为最佳点)，因此可去掉图的下边一块.若A4的试验结果还不满意，则在剩下的试验范围内过A1，A4作直线L2，在L2上用单因素法进行优选.依次进行，直到结果满意为止.对于A2优于A1的情况也可以类似地讨论.案例2“除草醚”配方试验中，所用原料为硝基氯化苯，2.4一二氯苯酚和碱,试验目的是寻找2.4一二氯苯酚和碱的最佳配比，使其质量稳定、产量高.碱的变化范围：1.1~1.6(克分子比)；酚的变化范围：1.1~1.42(克分子比).首先固定酚的用量1.30(即0.618处)，对碱的用量进行优选，得最优用量为1.30，即图上的点A1.再固定酚的用量1.22 (即0.382处)，对碱的用量进行优选，得碱的最优用量为1.22，即图上的点A2.过A1，A2作直线L(直线L上的点是酚:碱=1:1)，在直线L上用单因素法进行优选(因为A2优于A1,所以酚的用量低于1.22时就不必做了)，最佳点为A3，即酚与碱的用量均为1.27.四、双因素盲人爬山法是否一定要找出第一个因素的最佳点，然后再找另一个因素的最佳点呢？不一定，在双因素寻找最佳点的过程，就像盲人爬山可以朝前后左右四个方向前进一样.盲人在山上某点，想要爬到山顶，怎么办？从立足处用明杖向前一试，觉得高些，就往前一步；如果前面不高，向左一试，高就向左一步；不高再试后面，高就退后一步；不高再试右面，高就向右走一步；四面都不高，就原地不动.总之，某个方向高了就朝这个方向走一步，否则试其他方向，这样一步一步地走，就一定能走上山顶.在寻找最佳点时也可以以起点为中心，向四周探索一下，找出有利于寻找目标的方向，在这个方向上跨一步，然后再探索.这样边探索边前进，直到找到最佳点为止.这就是双因素问题的盲人爬山法.案例3 对某种物品镀银时，要选择氯化银和氰化钠的用量，使得镀银速度快，质量好.为此采用爬山法选择最佳点.起点：氰化钠85g/ml，氯化银55g/ml，步长：氰化钠10g/ml，氯化银5g/m1.试验过程如图所示.从起点1开始，向右试探，结果2比1好，继续向右试探，结果3比2好，再向右试探，结果4不如3好，回到3再向上试探，5比3好，继续向上试探，6比5好，再继续试探,直到其他三个方向不如6号，并且6的结果满足生产条件，即可以停止试验.课后作业1.阅读教材P. 23-P.28；2.《学案》第一讲第六课时.。
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思考2：假设因素区间为[0，1]，取两个 试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内 的单峰函数，两次试验存优范围缩小到 了什么区间？对峰值在(0.2，1)内的单 峰函数，两次试验存优范围缩小到了什 么区间？
y y f( x) f( x ) O 0.1 0.2 1 x O 0.1 0.2 1
x
思考4：对于那些试验结果和相关因素的 关系不易用数学形式表达或数学表达很 复杂的优选问题，人们往往通过做试验 的办法来寻找各种因素的最佳点.通过试 验方法来求最佳点时，如果不合理安排， 就可能面临什么问题？ 面临大量试验.
花费大量人力、财力和时间. 有时可能不具有操作性.
思考5：利用数学原理，合理安排试验， 以最少的实验次数迅速找到最佳点的科 学试验方法称为优选法.那么使用优选法 的目的是什么？需要进一步探究的问题 是什么？
选修4－7优选法与试验设计初步
第一讲
优选法
一.什么叫优选法 二.单峰函数
问题提出
1 5730 p 2
t
1.利用线性规划原理，可以解决在线 性约束条件下，求线性目标函数的最大 值或最小值问题，同时还可以求得使目 标函数取得最大或最小值的最优解.其中 在可行域内寻找最优解，体现了一种优 选法思想.
2.蒸馒头是日常生活中常做的事情， 为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如 果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放 多了，馒头就会发黄且有碱味.如果你没 有做馒头的经验，也没有人可以请教， 就要用数学的方法迅速找出合适的碱量 标准.
3.在实践中的许多最优化问题，试 验结果与因素的关系，有些很难用数学 形式来表达，有些表达式很复杂，这需 要我们学习解决这类问题的数学方法.
1 3 2 2 f ( x) x 2ax 3a x 2 3
例3
已知函数
4 (, 0] U[ , ) 3
小结作业
1.如果影响试验的某个因素（记为x） 处于某种状态（记为x＝x0）时，试验结 果最好，那么这种状态（x＝x0）就是这 个因素（x）的最佳点.
2.具有单峰性的试验是优选法研究的 最简单的试验，在这样的试验中，试验 结果可以表示为实验因素的单峰函数.
t
1.优选法的含意是什么？
利用数学原理，合理安排试验，以最少 的实验次数迅速找到最佳点的科学试验 方法. 2.区间[a，b]上的单峰函数的基本特 点是什么？ 函数在区间[a，b]上只有唯一的最大(小) 值点C，且在点C的两侧单调，并具有相 反的单调性.
3.好点、差点和单峰函数存优范围的 含义分别是什么？
a
两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间 的比例数.
x1 a 思考10：设 t ，有什么办法求出 ba
t的值吗？
5 1 t 2
探究（二）：黄金分割法
思考1： 示，ω ≈0.618.试验方法中，利用黄金 分割常数确定试点的方法叫做黄金分割 法，也叫做0.618法.一般地，利用这个 方法寻找单峰函数在因素区间[a，b]内 的最佳点，具体如何操作？ 在存优范围内取黄金分割点为试点.
a a
x2 x1 x3 x2 x1
b
b x1 x1 x2 ba x1 a
思考9：将上面的等式可得,
如何理解这个等式两边的实际意义？
a
b x1 x1 x2 x1 a x2 a 1 1 ,即 ba x1 a b a x1 a
x2 x1
x3 x2 x1 b
a x2 x1 b 存优范围是[a，x1] 取一个试点
思考7：在存优范围[a，x1]内取第三个 试点x3，则点x2与x3的相对位置关系如何？ 舍去的区间长度为多少？
a x3 x2 x1
关于区间[a，x1]的中心对称，且点x3在 点x2左侧，舍去的区间长度为x1－x2.
思考8：根据按比例舍去原则，可得什么 等式？
(0，0.2)
(0.1，1)
思考3：上述结果表明，如果试点选取是 随意的，则对寻找单峰函数最佳点的效 率会产生一定的影响.由于在试验之前无 法预知哪个试点是好点，为了克服盲目 性和侥幸心理，在每次选取两个试点时， 你认为这两个试点应具有什么相对位置 关系为好？ a b
关于区间中点对称
思考4：在一个区间内关于中点对称的两 点有无数对，实践表明，两个试点离中 点太近或太远，都不利于很快接近最佳 点.我们设想：每次舍去的区间长度与舍 去前的区间长度之比为常数.对单峰函数， 若两个试点的试验结果一样，应如何舍 去区间？
思考3：把试验中可以人为调控的因素叫 做可控因素，不能人为调控的因素叫做 不可控因素，炮弹发射试验中哪些是可 控因素，哪些是不可控因素？一般地， 在试验中我们感兴趣的因素是哪种因素？ 发射角是可控因素，空气阻力是不可控 因素，感兴趣的是可控因素.
思考4：表示试验目标与因素之间对应关 系的函数称为目标函数，常用x表示因素， f(x)表示目标函数，包含最佳点的因素 范围下限用a表示，上限用b表示. 炮弹 发射试验的目标函数，因素范围上、下 限分别是什么？
目的：减少试验次数.
问题：优选法如何实施.
探究（二）：单峰函数
思考1：在军事训练中，发射炮弹要考虑 发射角多大时炮弹的射程最远，这是一 个优选问题，能否用数学形式表达炮弹 的射程与发射角之间的关系？
能
思考2：设炮弹的初速度为v，发射角为 θ(0°≤θ ≤90°)，在时刻t炮弹距发射 点的水平距离为x，离地面的高度为y， 空气阻力忽略不计，则在下面的直角坐 标系中，炮弹飞行轨迹的参数方程和普 通方程分别是什么？ y x tv cos (t 为参数 ) 1 2 θ y tv sin gt
例2 已知函数f(x)为区间[0，1]上的 单峰函数，且f(x)在x＝a时取最大值， 并称a为峰点，包含峰点的区间叫做含峰 区间.证明：对任意x1，x2∈(0，1)， x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含 峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x1，1)为 含峰区间.
若f(x)是[0，4]上的单峰函数，求a的取 值范围.
思考7：若目标函数为单峰函数，则最佳 点，好点，差点的相对位置关系如何？
y f( x) y f( x)
O
a
C
b x
O
a
C
b
x
最佳点与好点必在差点的同侧. 思考8：以差点为分界点，把因素范围分 成两部分，其中好点所在部分称为存优 范围.据此，你能设计一个找最佳点的方 法吗？ 不断缩小存优范围
理论迁移 例1 据医学统计，人群中带有某种传染病毒的 人所占的比例为0.25%.某市在一次高考体检中有1 万名考生待检，为了查清这些考生中哪些人携带 此病毒，医院采取一种叫“群试”的方法，通过 血液化验进行排查.即把从每位考生身上抽取的血 样分成两部分，一份保存备用，一份与其他若干 人的血样混合在一起化验．若某组混合血样中含 此病毒，说明这组人中有该病毒携带者，然后利 用备用血样逐个化验排查；若某组混合血样中不 含此病毒，说明这组人中没有该病毒携带者，这 样就可以减少化验的次数．若将这1万名考生平均 分成200组进行群试化验排查，那么至多做多少次 化验，就一定能找出所有该病毒携带者. 1424次
思考6：设x1和x2是因素范围[a，b]内的 任意两个试点，C为最佳点，把两个试点 中效果较好的点称为好点，效果较差的 点为差点.若目标函数为单峰函数，则 好点与差点哪个更接近最佳点？
y O a f( x) y f( x)
C
b
x
O
a
C
b
x
若好点和差点在最佳点同侧，则好点比 差点更接近最佳点；否则，不好说.
同时舍去两个试点外侧的区间.
思考5：在因素区间[a，b]内选取两个试 点x1和x2，且x1＞x2，由点x1和x2关于区 间[a，b]的中心对称，可得什么关系？ 舍去的区间长度为多少？ a x2 x1 b
x2 － a＝ b－ x1
思考6：不妨设x2是好点，x1是差点，则 舍去的区间是什么？存优范围是什么？ 再在存优范围内[a，x1]内做试验要取几 个试点？ 舍去(x1，b]
好点：两个试点中效果较好的点；
差点：两个试点中效果较差的点； 存优范围：以差点为分界点，把因素范 围分成两部分，好点所在 部分对应的范围.
4.优选法的基本原则是以最少的实验 次数迅速找到最佳点，在实际问题中， 应采取什么办法贯彻这个原则？对具有 单峰性的试验，如何安排试点才能迅速 找到最佳点？这才是优选法的核心内容， 也是我们必须解决的问题.
3.目标函数并不需要f(x)的真正表 达式，因素范围可以用a到b的线段来表 示. 不断缩小存优范围是寻找最佳点的 一个有效办法.
作业： P3习题1.1：1，2.
P5习题1.2：1，2.
选修4－7优选法与试验设计初步
第一讲
优选法
三.黄金分割法——0.618法
问题提出
1 5730 p 2
探究（一）：黄金分割常数
思考1：对于单峰函数，最佳点与好点必 在差点的同侧，从而可以通过不断缩小 存优范围来寻找最佳点，具体如何操作？
先在因素范围[a，b]内任选两点各做一 次试验，根据试验结果确定好点与差点， 在差点处把[a，b]分成两段，截掉不含 好点的一段，留下存优范围[a1，b1]再 在[a1，b1]内重复上述工作，„.
思考5：下图中的两个函数称为区间 [a，b]上的单峰函数，那么单峰函数的 定义特征是什么？
y f( x) C b y g(x) x O a C b x
O a
函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最 大(小)值点C，且在点C的两侧单调，并 具有相反的单调性.
思考6：下列各图中的函数是区间[a，b] 上的单峰函数吗？单峰函数一定是连续 函数吗？
探究（一）：优选法
思考1：有一种商品价格竞猜游戏，参与 者在只知道售价范围的前提下，对一件 商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估 价不正确时，主持人以“高了”或“低 了”作为提示语，再让竞猜者继续估价， 在规定时间或次数内猜对了即可获得相 应奖品.如果你参与这项活动，每次会怎 么给出估价？