第2章-有限差分法基础

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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（4/4）
将 f ( x x) 与
f ( x x) 的Taylor展开式相加可得
f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 f ( x ) O (( x ) ) 2 x
这说明二阶中心差商的精度也为二阶
dy dx
是函数对自变量的导数，又称微商； 分别称为函数及自变量的差分，
y x
y 、x
为函数对自变量的差商。
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）
向前差分 向后差分 中心差分
y f ( x x) f ( x)
y f ( x) f ( x x)
y f ( x
当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）
以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。 如一阶向前差商为
f f ( x x, y, ) f ( x, y, ) , x x
f f ( x, y y,) f ( x, y,) , y y
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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1/4） 2．逼近误差
由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到 导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数 的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量） 的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。 一阶向前差商为
y f ( x x) f ( x) x x
一阶向后差商为
y f ( x) f ( x x) x x
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）
现将函数 在x的 邻域作Taylor展开：
(x) 2 (x)3 (x) 4 IV f ( x x) f ( x) x f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) O((x)5 ) 2! 3! 4!
f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x) f IV ( x) 2 f ( x) x (x) (x)3 O((x) 4 ) x 2! 3! 4! f ( x) O(x)
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。 例如n 阶前差分为
n y (n 1 y ) [(n 2 y )] { [(y )]} { [( f ( x x) f ( x)]}
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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/4）
(x) 2 (x)3 (x) 4 IV f ( x x) f ( x) x f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) O((x)5 ), 2! 3! 4! f ( x) f ( x x) f ( x) O(x) x
x
O
xi 2
x i 1
xi
x i 1
xi2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一阶中心差商
非均匀步长差分
f ( xi xi ) f ( xi xi 1 ) xi xi 1
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第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）
主要内容
1、差分原理及逼近误差 2、差分方程，截断误差和相容性 3、收敛性与稳定性 4、Lax等价定理
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）
1．差分原理 设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为
dy y f ( x x) f ( x) lim lim dx x 0 x x 0 x
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第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3） 3．非均匀步长
在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的
xi 2 xi 1
xi 和xi 1 ，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。
一阶向后差商
x i 2 x i 1 xi 1
x i
f ( xi ) f ( xi xi 1 ) xi 1
一阶中心差商为
1 1 f ( x x) f ( x x) y 2 2 x x
或
y f ( x x) f ( x x) x 2x
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）
二阶差商多取中心式，即
2 y f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 x (x) 2
x
1 1 x) f ( x x) 2 2
〉0
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）
上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一 阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 2 y 。 以向前差分为例，有
2 y (y ) [ f ( x x) f ( x)] f ( x x) f ( x) [ f ( x 2x) f ( x x)] [ f ( x x) f ( x)] f ( x 2x) 2 f ( x x) f ( x)
一阶向后差商也具有一阶精度。
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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（3/4）
将 f ( x x) 与 f ( x x) 的Taylor展开式相减可得
f ( x x) f ( x x) f ( x) O(( x) 2 ) 2x
可见一阶中心差商具有二阶精度。