第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式

第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A 组
1．若cos α＝－35，α∈(π2
，π)，则tan α＝________. 解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sinαcosα＝－43
. 答案：－43
2．(2009年高考北京卷)若sin θ＝－45
，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35
. 答案：－35
3．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3
－α)＝________. 解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：35
4．(2010年合肥质检)已知sin x ＝2cos x ，则5sinx －cosx 2sinx ＋cosx
＝______. 解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sinx －cosx 2sinx ＋cosx ＝5tanx －12tanx ＋1＝95
. 答案：95
5．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.
解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12
，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32
.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或3或－ 3 6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2
)，求cos α，sin α的值． 解：由题意，得2sin αcos α＝120169
.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169
. 又∵α∈(π4，π2
)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝713
，④ ③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝513
. B 组
1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.
解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋cos2x sin2x ＋cos2x ＝2tan2x ＋1tan2x ＋1＝95
.答案：95 2．(2010年南京调研)cos 10π3
＝________. 解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－12
3．(2010年西安调研)已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α
的值等于________．
解析：cos α＝－1－sin2α＝－45， sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2×35－45
＝－32. 答案：－32
4．(2010年南昌质检)若tan α＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα
＋cos 2α＝_________________. 解析：sinα＋cosαsinα－cosα＋cos 2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝tanα＋1tanα－1＋1tan2α＋1＝165
.答案：165 5．(2010年苏州调研)已知tan x ＝sin(x ＋π2
)，则sin x ＝___________________. 解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12.答案：5－12
6．若θ∈[0，π)，且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________.
解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ＝0或sin θ－cos θ
＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π4
7．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12
)的值等于________． 解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13. 答案：－13
8．(2008年高考浙江卷改编)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.
解析：由⎩⎨⎧
cosα＋2sinα＝－5， ①sin2α＋cos2α＝1， ②
将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2. 答案：2
9．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3
)的值为________． 解析：∵f (α)＝sinα·cosα·cotα－cosα＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－12 10．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3
)(n ∈Z )的值． 解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3
] ＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34
. (2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32
×(－12)＝－34
. 11．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三内角． 解：由已知，得⎩⎨⎧
sinA ＝2sinB ， ①3cosA ＝2cosB ， ②
①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.
(1)当cos A＝
2
2时，cos B＝
3
2，又A、B是三角形内角，∴A＝
π
4，B＝
π
6，∴C＝π－(A＋B)＝
7
12
π.(2)当
cos A＝－
2
2时，cos B＝－
3
2.又A、B是三角形内角，∴A＝
3
4
π，B＝
5
6
π，不合题意．综上知，A＝
π
4，B＝
π
6，
C＝7
12
π.
12．已知向量a＝(3，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．
(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，
求cos(
π
2－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α)的值．
解：(1)∵a∥b，∴3cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－3cosα＝2sin(α－
π
3)．又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－
π
3)＝－1时，m min＝－2.
此时α－
π
3＝
3
2
π，即α＝
11
6
π.
(2)∵a⊥b，且m＝0，∴3sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－
3
3.
∴
cos(
π
2－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α)
＝
sinα·(－sin2α)
－cosα
＝tanα·2sinα·cosα
＝tanα·
2sinα·cosα
sin2α＋cos2α
＝tanα·
2tanα
1＋tan2α
＝
1
2
.。