一般周期信号的傅立叶变换.

五、周期矩形脉冲的FS和FT
f0 (t)
E
FT
F0 ( j)
E
t
周 202
期
重
f (t)
复E
FS
2 0 2
Fn E
T1
F ( j)
FT
t
E 1
T1
T1
§4.6周期信号的傅立叶变换
周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
Fn
1 T1
T1
2 T1 2
f (t ).e jn1t dt
T1
F0 ( j)
(续)傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系
▪ 由FS
Fn
1 T1
T1
2 T1 2
f (t ).e jn1t dt
▪ 取f(t)的一个周期 f0(t) ，其FT为 F0()
T1
▪
所以
F0 ( j)
Fn
1 T1
F0 (
2
T1 2
f0 (t).e jt dt
j) n1
§4.6周期信号的傅立叶变换
f (t)
Fn .e jn1t
n
FT[ f (t)] 2 Fn ( n1)
n
▪ 由一些冲激组成离散频谱
▪ 位于信号的谐频处(0,1,21,)
▪ 大小不是有限值，而是无穷小频带内 有无穷大的频谱值
§4.6周期信号的傅立叶变换
周期信号的傅立叶变换存在条件
▪ 周期信号不满足绝对可积条件 ▪ 引入冲击信号后，冲击函数的积分是有意
lim
f0 (t)
FT[c
os1t
]
lim
2
Sa(
1
)
2
2
Sa(
1
)
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
() lim Sa( )
FT[cos1t] [ ( 1) ( 1)]
§4.6周期信号的傅立叶变换
f0 (t)
1
F0 ( j)
2
2
2
1
( 0 )
F ( j)
1
(
0) 1
1
1
§4.6周期信号的傅立叶变换
§4.6周期信号的傅立叶变换
FT[cos1 t] [ ( 1) ( 1)]
( 0 )
F ( j)
( 0 )
1 0
1
FT[sin 1 t] j[ ( 1) ( 1)]
( 0 )
jF( j)
1 0
1
( 0 )
§4.6周期信号的傅立叶变换
三、正余弦信号的傅立叶变换——用极限 方法
n
1
e jnt
T1 n
FT [
f
(t)]
2
1 T1
n
(
n1 )
F( j) FT[T (t)] 1 ( n1) n
(t)
(1)
§4.6周期信号的傅立叶变换
1 F0 ( j)
0
T (t)
T1
FT
t
FS
t
F ( j) 1
1 0 Fn
T1
1 0 1 21
21 1 0 1 21
§4.6周期信号的傅立叶变换
四、周期单位冲激序列的FS
T (t)
(t nT1) Fn .e jn1t
n
n
Fn
1 T1
T1
2
T1 2
T
(t ).e
jn1t dt
1 T1
T
(t)
1 T1
e
n
jnt
§4.6周期信号的傅立叶变换
(续)周期单位冲激序列的FT
T (t)
n
(t nT1) Fn.e jn1t
§4.6周期信号的傅立叶变换
▪ 一般周期信号的傅立叶变换 ▪ 傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变
换FT的关系 ▪ 正余弦信号的傅立叶变换FT ▪ 周期单位冲激序列的FS和 FT ▪ 周期矩形脉冲的FS和FT ▪ 周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
§4.6周期信号的傅立叶变换
一、一般周期信号的傅立叶变换
1
(
n1 )
§4.6周期信号的傅立叶变换
小结——单脉冲和周期信号的傅立叶变换的 比较
▪ 单脉冲的频谱 F0( j) 是连续谱，它 的大小是有限值；
▪ 周期信号的谱 F( j) 是离散谱，含
谱密度概念，它的大小用冲激表
示；
▪ F0( j) 是 F( j) 的包络线
1
1
。
▪ 有限长余弦 f0(t) 看成矩形 G(t) 乘cos1t
▪ 有限长余弦求极限，得到无限长余弦
f0 (t) G(t) cos1t G(t)(e j1t e j1t ) / 2
F0 (
j )
1 [G(
2
1)
G(
1)]
2
Sa[(
1 )
2
]
2
Sa[(
1 )
2
]
§4.6周期信号的傅立叶变换
cos1t
2
T1 2
f0 (t).e jt dt
Fn
1 T1
F0 (
j)
n1
F0 ( j)
ESa
2
§4.6周期信号的傅立叶变换
由单脉冲联想FS的Fn
Fn
1 T1
F0 ()
n1
E
T1
Sa( n1
2
)
FS
f (t) E Sa n1 .e jn1
T1 n 2
FT
F (
j)
E1
n
Sa
n1
2
三、正余弦信号的傅立叶变换——用频移特性
F0 ( ) FT [1] 2 ( ) FT[ f0 (t).e j1t ] F0 ( 1)
FT[cos1 t]
FT[
1 2
(e j1t
e
j1t )]
[ ( 1) ( 1)]
FT[sin
1 t]
FT
[
1 2j
(e j1t
e j1t )]
j[ ( 1) ( 1)]
义的 ▪ 在以上意义下，周期信号的傅立叶 变换是
存在的
▪ 周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅立叶变换是一系列冲击函数
§4.6周期信号的傅立叶变换
二、傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的
关系
f (t)
Fn
1 T1
F0 (
j )
f0 (t)
Fn
1 T1
F0 (
j)
n1
F0 ( j)
§4.6周期信号的傅立叶变换