一般周期信号的傅立叶变换.

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周期信号的傅里叶变换

信号与系统
第17讲周期信号的傅里叶变换
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信号，从傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引出频谱密度函数的概念
周期信号进行傅里叶变换的目的
f ( t )
F n . e j n 1t
n
根据傅里叶变换的线性和频移特性
F T [ f (t)] 2 Fn ( n1 )
n
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn( n1)
n
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在谐波频率点处,即无穷小的频带范围内取得了无穷大的频谱值。
1.复指数信号的傅里叶变换
因为
1 2 ()
对于复指数
f (t) e j0t
由频移特性，可知
e j0t 2 ( 0)
2. 余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
对于正弦和余弦信号，根据欧拉公式，并利用
e j0t 2 ( 0)
得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
sin0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F( j) 2 Fn ( n1)
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐
波频率 n1处，其强度为相应傅里叶级数系数
Fn 的 2 倍。
4、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t)
n
(t nT1)

周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换
周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。
复指数信号的傅里叶变换
对于复指数信号
f (t) e j 0t
如图 3-26 所示。
f (t)
(1)
．．．
．．．
2T T 0 T 2T
t
(a)
．．．
1 Fn T
．．．
2
02
(b)
图 3 - 26
四、一般周期信号的傅里叶变换
．．．
2
(c)
F(j ) ()
02
对于一般周期为 T 的周期信号 f (t) ，其指数型傅里叶级数展开式为
f (t)
Fn e jn t
n
式中
记为 PT (t) 。试求其频谱函数。
f (t) PT (t)
1
t T / 2 0 /2 T
(a)
F(j )
(b) 图 3 - 27
解由式 (3-26) 可知，图 3-27(a) 所示周期性矩形脉冲信号 f (t ) PT (t ) 的傅里叶系数
为
n
Fn
Sa( )
T
2
代入式 (3-82) ，得
F( j )
数 Fn 的 2 倍。
可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期
信号 f (t ) 的傅里叶变换 F ( j ) 不同于傅里叶系数 Fn ，它不是有限值，而是冲激函数，
这表明在无穷小的频带范围 ( 即谐频点 ) 取得了无穷大的频谱值。

傅里叶变换公式

连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。

信号课件第三章傅里叶变换

• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1

第4章_6周期信号的傅立叶变换

4.34
4.13bc 4.207
4.14e
4.23
4.41 4.45 4.48
上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函
数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信
号的各谐波角频率 n(n 0,1,2, )处，其强度
为各虚指数分量相应幅度 Fn 的 2 倍。
例4.6-1 求周期性矩形脉冲信号 PT (t) 的频谱函数。
pT t
1

解：
Fn
Sa( n
2
)
(

n)

n
2 s in(n
2 n
)
(
n)
ℱ[pT(t)]
-Ω 0 Ω
图 4.6-2 周期矩形脉冲的傅立叶变换 T 4
例4.6-2 求周期性单位冲激函数序列 T (t)的频谱。

T (t) (t mT ) ( m为整数) n T(t )
周期冲激序列的傅立叶变换
可见：时域中周期为 T 的单位冲激序列，在频域中是
周期为，强度为

的冲激序列。其中

2
T
方法二
设周期信号 fT (t)，从该信号中截取一个周期信号，
令其为 f0 (t) 。
fT (t) f0(t)T (t)
fT (t ) F0 ( j ) ( )
2
T

F0( jn) (
n
n)
Fn

1 T
F0 (
j ) n
可见，周期信号的傅里叶系数等于F0 ( j ) 在n处
的值乘上 1 。 T
傅里叶变换的许多性质也可适用于傅里叶级数，这提供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。

信号与系统第3章傅里叶变换

*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中

这里列出了信号与系统课程中常用的表格,以便大家随时查阅。

这里列出了信号与系统课程中常用的表格，以便大家随时查阅。

表2.1.1 与几种典型类型激励函数对应的特解激励函数)(t x 响应函数)(t y 的特解E (常数) Bp t 1121+-++++p p p p b t b t b t bat eat bet ωcost ωsint b t b ωωsin cos 21+)cos(t e t at p ω )sin(t e t atpωte d t d t d t e b t b t b atp p pat p p p ωωsin )(cos )(1111+++++++++注:表中B 、b 、d 是待定系数。

表3.2.1 常用周期信号的傅里叶级数系数表02T πω⎛⎫= ⎪⎝⎭01a π=02a π=a 02T πω⎛⎫= ⎪⎝⎭002sin 2n a Tn a n τωππ=⎛⎫⎪⎝⎭=()020202sin 440n a T n Ta nb τωπτπ=⎛⎫ ⎪⎝⎭==012a =表3.3.1 常用信号的傅里叶变换序号名称时间表示式()x t傅里叶变换(j )X ω矩形脉冲信号()()()22G t E u t u t τττ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦Sa 2E ωττ⎛⎫⎪⎝⎭单边指数信号()at e u t -，0a > 1a j ω+双边指数信号,0()a tea t ->-∞<<+∞222aa ω+三角脉冲信号21202t t t τττ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩2Sa 22τωτ⎛⎫⎪⎝⎭抽样脉冲信号0Sa()t ω000πωωωωω⎧<⎪⎨⎪>⎩钟形脉冲信号2t e τ⎛⎫- ⎪⎝⎭22eωτπτ⎛⎫- ⎪⎝⎭余弦脉冲信号cos 202t t t πτττ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩2cos221ωττπωτπ⎛⎫- ⎪⎝⎭升余弦脉冲信号121cos 2202t t t πτττ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩2Sa 2212ωττωτπ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭符号函数1sgn()1t t t >⎧==⎨-<⎩ 2j ω单位冲激函数 ()t δ1直流信号12()πδω单位阶跃函数()u t 1()j πδωω+冲激偶信号 ()t δ'j ω单位斜变信号()tu t21()j πδωω'-表3.4.1 傅里叶变换性质序号性质名称时域频域1线性性质()()ax t by t + ()()aX j bY j ωω+2 尺度变换特性()x at ，0a ≠1||X j a a ω⎛⎫ ⎪⎝⎭3奇偶虚实性()x t 为实函数()()X j X j ωω=-()()ϕωϕω=--()()R j R j ωω=- ()()I j I j ωω=--*()()X j X j ωω-=()()x t x t =-()()x t x t =--()()X j R j ωω=，()0I j ω= ()()X j jI j ωω=，()0R j ω=()x t 为虚函数()()X j X j ωω=-()()ϕωϕω=--()()R j R j ωω=- ()()I j I j ωω=--*()()X j X j ωω-=4 时移特性 0()x t t - 0()j t X j e ωω-5 频移特性 0()j t x t e ω0[()]X j ωω-6对偶性()X jt 2()x πω- 7 时域微分特性()x t '()j X j ωω()()n x t()()n j X j ωω8时域积分特性()d tx ττ-∞⎰1()(0)()X j X j ωπδωω+ 9 频域微分特性()jtx t -()dX j d ωω()nt x t()n nnd X j jd ωω 10 频域积分特性()(0)()x t x t jtπδ+- ()X j d ωττ-∞⎰11 时域卷积特性 ()()12x t x t * ()()12X j X j ωω⋅12 频域卷积特性 12()()x t x t ⋅121()()2X j X j ωωπ* 13帕塞瓦尔定理221|()||()|2x t dt X j d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰表3.5.1 常见周期信号的傅里叶变换序号信号名称时间函数()x t傅里叶变换()X j ω1 虚指数信号（一） 0j t e ω 02()πδωω-2 虚指数信号（二） 0j t e ω-02()πδωω+3 余弦信号 0cos t ω ()()00ππδωωδωω++- 4正弦信号0sin t ω()()00ππj j δωωδωω--++ 5 冲激序列()()T n t t nT δδ∞=-∞=-∑()()000n n ωδωωδωω∞=-∞=-∑，02T πω= 6 一般周期信号0jn tn n X eω∞=-∞∑()()000n n ωδωωδωω∞=-∞=-∑，02Tπω=表4.1.1 常用信号的拉氏变换序号单边信号()x t拉氏变换1 ()t δ12 ()()n t δ（n 是正整数）n s3 ()u t1s 4()t e u t α- 1s α+ 50j ()t e u t ω± 01s j ω6()n t u t （n 是正整数）1!n n s + 70sin ()tu t ω220s ωω+80cos ()tu t ω220ss ω+90sin ()tetu t αω-()022s ωαω++ 100cos ()tu t ω()22s s ααω+++11()tte u t α-()21s α+12()n t t e u t α-（n 是正整数）()1!n n s α++表4.2.1 拉普拉斯变换性质（定理）序号性质名称时域s 域1 线性 1122()()K x t K x t + 1122()()K X s K X s +2 时移特性 00()()x t t u t t --0()e st X s -3s 域平移特性()e αt x t -()X s α+4 时域微分特性d ()d x t t()(0)sX s x --d ()d n x t t11()0()(0)n nn r r r s X s s x ----=-∑5时域积分特性()d tx ττ-∞⎰()1(0)()x X s s s--+()()d ntx ττ-∞⎰()11(0)()in n n i i x X s s s ---+=+∑ 6s 域微分特性()tx td ()d X s s-()nt x td ()(1)d n nn X s s-7s 域积分特性()x t t ()d sX s s ∞⎰8尺度变换特性()x at1s X a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭9 初值定理 0lim ()(0)lim ()t s x t x sX s ++→→∞==10 终值定理 0lim ()lim ()t s x t sX s →∞→=11时域卷积定理12()()x t x t * 12()()X s X t ⋅12s 域卷积定理12()()x t x t ⋅121()()2jX s X s π*表4.6.1 极点分布与原函数波形对应（1）表4.6.2 极点分布与原函数波形对应（2）表6.4.1 几种典型的激励函数所对应的特解函数式序号激励函数)(n x强迫响应)(n y p 的形式1 0B (常数)1B (常数)2 n a n Ba3 )cos(n ω )cos(θω+n B4 )sin(n ω )sin(θω+n B5 n ωj e n B ωj e6 p n p p n B n B B +++ 10 7n p a n)(10p p n n B n B B a +++8*n a （a 是特征方程的一个p 重根）p n表7.1.1 序列的形式与z 变换收敛域的关系表7.1.2 常用序列的z 变换及其收敛域序列 z 变换收敛域 )(n δ1全部z)(n u 1111--=-z z z 1>z)1(--n u1111---=--z z z1<z )(n u a n 111--=-az a z zaz >)1(--n u a n111---=--az a z za z < )(n R N1111)1(1-----=--z z z z z NN N0>z)(n nu2112)1()1(---=-z z z z1>z )(n u na n 2112)1()(---=-az z a z z az >)1(--n u na n2112)1()(----=--az az a z az a z <)(0n u e jn Ω- 10011-Ω-Ω--=-z e e z z j j1>z )()sin(0n u n Ω20101cos 21sin ---+Ω-Ωz z z1>z)()cos(0n u n Ω20101cos 21cos 1---+Ω-Ω-z z z1>z)()sin(0n u n e an Ω-aa e z z e z 220101cos 21sin -----+Ω-Ωae z ->)()cos(0n u n eanΩ-a a e z z e z 220101cos 21cos -----+Ω-Ωa e z ->)()sin(0n u n θ+Ω1cos 2)sin(sin 0202+Ω--Ω+z z z z θθ1>z )()1(n u a n n+2122)1(1)(--=-az a z za z >)(!2)2)(1(n u a n n n++3133)1(1)(--=-az a z zaz >)(!)()2)(1(n u a m m n n n n+++)1(1)1()1()1(1)(+-++-=-m m m az a z zaz >表7.3.1 z 变换的主要性质1)(n x )(z X +-<<x x R z R 2)(n h)(z H+-<<h h R z R表7.5.1 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换)(n x()j X e Ω )(n y()j Y e Ω)()(n by n ax +()()j j aX e bY e ΩΩ+,a 、b 为常数3)()(n bh n ax + )()(z bH z aX +],min[],max[++--<<h x h x R R z R R 4)(m n x -)(z X z m -+-<<x x R z R 5 )(n x a n )(a zX +-<<x x R a z R a 6 )(n x n m )()(z X dzdz m -+-<<x x R z R 7 )(n x *)(**z X+-<<x x R z R8 )(n x -)1(z X -+<<x x R z R 119 )(n x -*)1(**z X-+<<x x R z R 1110 )]([n x R e)]()([21**+z X z X +-<<x x R z R 11)](Im[n x j)]()([21**-z X z X +-<<x x R z R12∑=nm m x 0)()(1z X z z- )(],1,max[n x R z x ->因果序列13)()(n h n x *)()(z H z X],min[],max[++--<<h x h x R R z R R14)()(n h n x ⎰-c dv v vz H v X j 1)()(21π ++--<<h x h x R R z R R15)(lim )0(z X x z ∞→=)(n x 为因果序列，->x R z16)()1(lim )(1z X z x z -=∞→)(n x 为因果序列，)(z X 的极点落于单位圆内部，最多在1=z 处有一极点。

一般周期的傅里叶级数

FFT具有高效性、稳定性和易于实现等优点，是数字信号处理领域的重要算法之一。
FFT广泛应用于语音识别、图像处理、频谱分析、雷达和声呐信号处理等领域。
小波变换（Wavelet Transform）
定义
小波变换是一种时频分析方法，它通过小波基函数的伸缩和平移来分析信号在不同尺度上的变化特性。小波变换能够提供信号在不同频率和时间尺度上的信息，具有多分辨率分析的特点。
周期函数的傅里叶级数展开可以通过傅里叶变换来实现，傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，提供了一种分析信号频率成分的有效方法。
非周期函数的展开
非周期函数的特性
非周期函数没有固定的重复模式，其波形不具有周期性。
非周期函数的近似展开
对于非周期函数，傅里叶级数展开式中的正弦和余弦函数具有连续的频率，这些频率覆盖了整个频域。通过选取一定数量的频率分量，可以对非周期函数进行近似展开。
三角恒等式
正弦和余弦函数的线性组合
对于任意的实数$a$和$b$，有$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$和$cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b$。
三角恒等式的应用
在傅里叶级数展开中，三角恒等式用于将一个复杂的周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。
其中，a0、an和bn为常数，n为整数，Σ表示求和符号，x为自变量。
傅里叶级数的一般形式为：f(x) = a0 + Σ[(an * cos(nx)) + (bn * sin(nx))]
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数的起源可以追溯到18世纪初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫· 傅里叶在研究热传导问题时提出了该理论。

傅里叶变换(周期和非周期信号)

f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
例1 已知周期信号f(t)如下，画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解：将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0

常见信号的傅里叶变换

常见信号的傅里叶变换信号处理领域中，傅里叶变换是一种非常重要且常见的数学工具，用来分析信号的频谱特性。

在这篇文章中，我们将介绍几种常见信号的傅里叶变换，包括方波信号、三角波信号、和正弦信号。

方波信号是一种周期性的信号，其波形呈现为由两个值交替组成的矩形波形。

对方波信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱是一系列的奇次谐波分量。

这是因为方波信号的波形是对称的，只包含奇次谐波成分。

这种频谱特性在频域滤波和频率分析中具有重要意义。

三角波信号是一种周期性的信号，其波形呈现为由线性递增或递减的三角形波形。

对三角波信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱是一系列的奇次和偶次谐波分量。

与方波信号不同的是，三角波信号的波形是非对称的，同时包含奇次和偶次谐波成分。

这种频谱特性在频域滤波和信号合成中也有广泛的应用。

正弦信号是一种最简单的周期性信号，其波形呈现为正弦曲线。

对正弦信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱是一个单一的谐波分量。

这是因为正弦信号的波形是最简单的周期性波形，只包含一个频率的谐波成分。

正弦信号的频谱特性在频域滤波、频率调制和解调等领域具有重要意义。

除了这三种常见信号外，还有许多其他类型的信号可以进行傅里叶变换分析，如方波信号的卷积、正弦信号的调幅调频等。

通过对信号的傅里叶变换分析，我们可以更深入地了解信号的频谱特性，进而实现信号的处理和分析。

总的来说，傅里叶变换是信号处理领域中一种非常重要的数学工具，对于分析各种类型的信号具有重要意义。

通过对常见信号的傅里叶变换分析，我们可以更好地理解信号的频谱特性，为信号处理和分析提供更加深入的理论基础。

希望本文对读者有所启发，让大家对傅里叶变换有更深入的理解和应用。

傅里叶变换(周期和非周期信号)

例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周期矩形脉冲
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
A
F0 T
Back
非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f ( t ) F( ) : F( ) f ( t )e jtdt
F( ) f (t ):
F -1F( ) f ( t ) 1 F( )e jtd
1、三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即

傅里叶变换基础知识

傅里叶变换基础知识1•傅里叶级数展幵最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。

1.1周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号双/）只要满足狄利克雷（dmclilet）条件，都可以展开成傅里叶级数。

1・1・1狄利克雷（duichlet）条件狄利克雷（duichlet）条件为：（1）信号双/）在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；（2 ）信号/ （t）在一周期内只有有限个极人值和极小值；（3 ）信号在一个周期内是绝对可积分的，即应为有限值。

1.1.2间断点在非连续函数y二f{・x）中某点处心处有中断现彖，那么，兀就称为函数的不连续点。

（1）第一类间断点（有限型间断点）：a.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（兀令分母为零时等情况）；b.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（y = lxl/x°在点x = 0处等情况）。

（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。

1.13傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为X X0=仇+乞（①cos“q/ +加• • •J1-1式中：心为信号的常值分量；色为信号的余弦信号幅值：你为信号的正弦信号幅值。

％、心、》分别表示为：==J ：） cosncootdtx{ t ）sinncootdt式中：7；为信号的周期；。

为信号的基频，即角频率，$=2龙/7；「=1,2,3...。

合并同频项也可表示为X （t）二％ + 艺 A cos （gf + q）H-l式中：信号的幅值人和初相位q分别为人=虫+丐2 =arcnm （・b” /心）1.1.4频谱的相矢概念（1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化矢系，即信号的结构，是（或&・/）和q 厂3 （或2・/）的统称；（2）信号的幅频谱：周期信号幅值人随e （或/）的变化尖系，用（或A ・/>表示；（3）信号的相频谱：周期信号相位仇随e （或f ）的变化矢系，用0,弋。

傅里叶变换常用公式推导

傅里叶变换常用公式推导傅里叶变换是一种将信号从时域（时序）转换到频域（频率）的数学技术。

它将任意周期函数或有限时间信号分解成一组不同频率的正弦和余弦函数的和。

傅里叶变换的常用公式包括（但不限于）傅里叶级数、傅里叶变换、傅里叶逆变换等。

傅里叶级数是将周期函数分解成一组正弦和余弦函数的和。

设周期为T的连续信号x(t)，其傅里叶级数公式为：x(t) = Σ[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]= a₀/2 + Σ[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]其中，a₀、aₙ、bₙ为系数，通过以下推导可得出它们的表达式：1.对于周期为T的函数x(t)，其傅里叶级数展开为：x(t) = A₀ + Σ[Aₙcos(nω₀t + φₙ)]其中，A₀、Aₙ、φₙ是系数。

2.将x(t)在一个周期内积分得到：∫[0,T]x(t)dt = A₀T + Σ[Aₙ/Tsin(φₙ)]3.由于x(t)在一个周期内的平方和等于其乘以自身的积分值，即：∫[0,T]，x(t)，²dt = ，A₀，²T + Σ[(Aₙ/T)²]4. 根据Dirichlet条件，对于x(t)在一个周期内可积，即：∫[0,T]，x(t)，²dt < ∞5.根据以上两个公式，可得：(A₀T)²+Σ[(Aₙ/T)²]<∞由于正弦函数和余弦函数的平方和有界，所以以上公式成立。

6.将傅里叶级数展开的表达式带入公式(5)，可得：(A₀T)²+Σ[(Aₙ/T)²]<∞7.假设T=2π/ω₀，则ω₀T=2π，进一步有：(A₀(2π/ω₀))²+Σ[(Aₙ/(2π/ω₀))²]<∞8.将公式(7)整理，可得：(1/2π)Σ[A₀²+(2π/ω₀)²(Aₙ²+Bₙ²)]<∞根据以上推导，我们可以求解出傅里叶级数中的系数a₀、aₙ、bₙ。

傅里叶变换

第三章傅里叶变换一.周期信号的傅里叶级数知识要点1、周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。

(1)三角函数形式的傅里叶级数 0111()[cos()sin()]nn n f t a an t b n t ωω∞==++∑式中112T πω=，n 为正整数。

直流分量010011()t T t a f t dt T +=⎰ 余弦分量的幅度010112()cos()t T t a f t n t dt T ω+=⎰正弦分量的幅度01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()nn n f t c cn t ωϕ∞==++∑频谱：离散性、谐波性、收敛性或011()sin()nn n f t d dn t ωϑ∞==++∑以上几种表示形式中各个量之间的关系为000a c d ==n n c d ==cos sin n n n n n a c d ϕϑ== sin cos n n n n n b c d ϕϑ=-=tan nn n a b ϑ=tan nn na b ϕ=-(1,2,)n =,,n n n a c d 为1n ω的偶函数，,,n n n b ϕϑ为1n ω的奇函数。

（2）指数形式的傅里叶级数11()()jn tn f t F n eωω∞=-∞=∑式中，n 为从-∞到+∞的整数。

复数频谱0110111()()t T jn tn t F F n f t e dt T ωω+-==⎰n F 与其他系数之间的关系为 0000F c d a ===1()2n j n n n n F F c a jb ϕ==-1()2n j n n n n F F c a jb ϕ---==+1122n n n n F F c d -====n n n F F a -+=n n n F F c -+=()n n n b j F F -=-n F 是1n ω的偶函数。

周期信号的傅里叶变换

x( t )
1 Xn T
n T1 2 T 1 1 2 jn 1 t X e n

x( t )e jn 1t dt
4
单周期信号的傅里叶变换
X d ( ) xd ( t )e j tdt Nhomakorabeadt
1 Xn T1

T1 2 T 1 2
x( t )e jn 1t dt
x(t)
xs(t) x( t ) T xs(t)
0
t
0
T
2T
3T
t
11
调制信号x(t)
抽样
xs(t)
数字信号量化编码载波信号
这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特例。三、周期信号与单周期信号频谱间的关系周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号 xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：
X ( )
n
0
T1
t
jn1t e
X

n
2 ( n 1 )

n 1 E 1 Sa ( n 1 ) 2 n
9
x0(t) E
E
X0() 2/
0
t E/T1 x(t) E Xn

2/
2.3.4 周期信号的傅里叶变换
前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱密度函数的概念。本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数 ,即求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶变换的特例的结论。周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再求任意周期信号的傅里叶变换。

周期信号的傅里叶变换

Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数取决于抽样脉冲序列的形状.
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
2
2sin
4 (4 2e j )
f (t) f1(t) T (t) T 2
T (t) ( )
2
T
F()
4sin n 4 [2 (1)n ] ( n )
n
n
例题5 :已知f (t) F (),求下列信号的FT :
(1) d f (at b) dt
(2) f 2 (t) sin 0t
理想抽样
:
Fs ( )
1 Ts
F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
f1 (t )
1
1
n
f
(t
nT1)
时域抽样定理
| | m
fs
2 fm或Ts
1 2 fm
频域抽样定理
|t
|
tm
Ts
2tm或f s
1 2tm
例题1:
已知周期信号f1(t)和f2 (t)如图,且
f1(t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过程,必然导致时域中的周期函数。

3.2 周期信号的傅里叶级数分析

n=1
1
∞
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t), n为正整数
n=1
∞
1 直流分量： a 0 = T1
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ) dt
2 t0 +T1 余弦分量的幅度：n = ∫ a f (t ) cos(nω1t )dt T1 t0
2 正弦分量的幅度： bn = T1
sin(ω1t )
4 T1 a1 = ∫ 2 f (t) cos(ω1t)dt T 0 1
4 T1 b = ∫ 2 f (t) sin( ω1t)dt 1 T 0 1
cos(2ω1t )
sin(2ω1t )
∞
令：Fn = Fn e
∞
jϕn
1 − jϕn 1 = (an − jbn ) F−n = F−n e = (an + jbn ) 2 2
jnwt 1
f (t) = F0 + ∑Fne
n=1
+ ∑F−ne
n=1
∞
− jnwt 1
= ∑Fne
n=0
∞
jnwt 1
+ ∑Fne jnw1t
n=−∞
−1
周期函数: f (t) =
7
周期信号的复数频谱 F0
complex frequency spectrum
F = Fn n − F = c0 0
1 = cn 2
8
周期信号的功率特性
1 t0 +T1 2 周期信号f (t )的平均功率 : P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2

第三章傅里叶变换90页PPT

• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。

§3-6 周期信号的的傅里叶变换

∞ 2π ∞ X T ( jΩ ) = ∑ X ( jΩ)δ(Ω − kΩ1 ) = Ω1 k∑ X ( jΩ)δ(Ω − kΩ1 ) T k = −∞ = −∞
二、周期性单位冲激序列的傅里叶变换周期性单位冲激序列可表示为：
∞
δT (t )
(1)
δ T (t ) =
n = −∞
∑ δ(t − nT )
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》信号与系统》
第三章
连续时间信号与系统的傅里叶分析
̇ = 1 Ak T
所以
T 2
−T 2
δ (t ) e − jk Ω1t dt = ∫
∞
1 T
(Ω1 )
{δT (t )}
1 δ T (t ) = T
k = −∞
∑e
∞
jkΩ1t
− 2Ω1
− Ω1
0
Ω1
以上傅里叶变换的图形如下：
《Signals & systems》 systems》大连海事大学信息科学技术学院
∞
《信号与系统》信号与系统》
第三章
连续时间信号与系统的傅里叶分析
̇ Ak
τ T
XT ( jΩ)
(τΩ 1 )
− Ω1
Ω1
Ω
− Ω1
Ω1
2Ω1
Ω
τ τ τ k πτ ̇ A k = Sa ( k Ω 1 ) = Sa ( ) T 2 T T
2Ω1
Ω
根据傅里叶变换的移频特性，其傅里叶变换
1 {δT (t )} = T
1 jkΩ1t ∑ {e } = T k = −∞
∞
k = −∞
∑ 2 πδ (Ω − kΩ )