数列求和的几种方法(1)

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
【裂项求和法】{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝
1 ，则 Sn= nn＋1
练习：
指出下列求和的方法：
1 1 1 1.求 , , , 的和 1 4 4 7 (3n-2)(3n+1)
1 1 1 用裂项求和法.a n ( ) 3 3n 2 3n 1
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
a5 a6 9, 求 log3 a1 log3 a2 log3 a10 的值.
并项法求和 例 求和：
(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1· n2.
解析：∵Sn＝1· 21＋2· 22＋3· 23＋„
＋ n· 2n
①
∴ 2Sn＝
1· 22＋2· 23＋3· 24＋„＋(n－1)· 2n＋n· 2n+1②
n 2 1 － 2 2 3 n n +1 ① －②得－ S ＝ 2＋ 2 ＋ 2 ＋ „＋ 2 － n· 2 ＝ － n· 2n+1 n 1－ 2
[解]原式=
1 x 1 x
n1

n( n1) (x≠1) 2
n(n+3)/2
(x=1)
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。 而求此类数列的和，一般是把数列的每一 项分成两项，再分别利用等差和等比数列 的求和公式求解。此方法称为分组求和 法。
A+G 分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减． 【分组求和法】数列{(－1)n· n}的前n项和Sn=？
我们把这种类型的数列称为“A G”型。 此类方法类似于等比数列求和的公式的 推导方法，叫做错位相减法。
A*G 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求. 【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn，an＝n· 2n，则Sn＝
.
倒序相加
例1：求值 sin 1 sin 2 sin 3 sin 89
2 2 2 2
cos1 sin89 sin 1 sin 89 1
2 2
令 S sin 1 sin 2 sin 3 sin 89
2 2 2 2
Sn 2 p 5 p 2 8 p 3 3( n 1) 1 p n 1 (3n 1) p n pS n 2 p 2 5 p 3 3( n 1) 1 p n (3n 1) p n 1
合并项求和
•
特殊的数列，在求数列 的和时，可将一些项放在一 起先求和，然后再求Sn.
Sn a(bn 1) (a 0, b 0且b 1)
基本方法---公式法 常用的公式有：
(1)等差数列{an}的前n项和 n(n 1) n(a1 an ) d . Sn=① =② na1+ (2)等比数列{an}的前n项和
2 2
a1 an q a1 (1 q n ) Sn=③ =④ 1 q (q≠1). 1 q 1 2 2 2 2 (3)1 +2 +3 +…+n =⑤ n(n+1)(2n+1) 6 1 2 2 3 3 3 3 n ( n +1) (4)1 +2 +3 +…+n =⑥ 4 .
S sin 89 sin 88 sin 87 sin 1
2 2 2 2
2S 89

89 S 2
例题1. 求和 2 n1 (1) 2 ( x 2) ( x 3) ( x n)(x 0)
0 1 2 n ( x x x x ) 分析:原式=(1+2+3+…+n)+
＝2n+1－2－n· 2n+1
∴Sn＝(n－1)· 2n+1＋2
1 “ 型” 的数列如何来求和呢？ A B
1 “ 型” 的数列多为分母是两项乘积，分 A B
子相同的数列求和。求解时，一般把通项 分裂成两项差的形式，再通过求和达到 前后抵消的目的。此种求和的方法称为 裂项法求和。
1 A B
裂项相消法
（2）乘公比,错位相减(对“A· G”型); （3）裂通项,交替相消
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
２、设法消去中间项:
2.求 1 1+ 2 , 1 2 3 , 1 3 4 + + 1 n n1 的前n项和Sn
用裂项求和法.a n n 1 n
3.求1 2,2 3, ,n (n+1)的和
用分项求和法.a n n n
2
4.已知数列{a n }的通项公式为a n =(3n-1) p n， 求它的前n项之和Sn。 用错位相减法.
一．复习提问： 1、等差数列求和公式： n( n 1) n( a1 an ) d Sn= na1 Sn= 2 2
Sn an bn
2
(a, b R)
2、等比数列求和公式: na1 (当q=1时) Sn= a1 (1 q n ) a1 anq n Sn ( 当 q≠1 时 ) 1 q 1 q
数列求和的方法
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过 对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
1、转化成等差、等比数列求和 (1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+…+（3n-2）
n(2n 1 3n 2) 5 2 3 = = n - 2 n, 2 2 5 2 2 2 3 2 所以Sn= 2 (1 +2 +3 +…+n )2 1 = n(n+Βιβλιοθήκη Baidu)(5n-2)(n∈N*). 6
(1+2+…+n)
(2)当n是偶数时，
Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］ =-3-7-…-(2n-1)= 当n是奇数时， Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］ =1+5+9+…+(2n-1)=
2 n(n 1) . 2
zxxkw
n(n 1) 2
.
故Sn=(-1)n-1 n(n 1) (n∈N*).