甘肃省白银市会宁县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)

甘肃省白银市会宁县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()RA B =（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞ D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,RA =-∞-⋃+∞,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,RA B =+∞.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.2.抛物线218y x =-的准线方程是（ ） A. 132x =- B. 12x =C. 2y =D. 4y =【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准式，直接求解即可． 【详解】解：抛物线218y x =-的标准方程为：28x y ，可得4p =，抛物线218y x =-的准线方程是：2y =． 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题． 3.下列命题的说法错误的是（ ）A. 对于命题p ：∀x∈R，x 2+x+1＞0，则¬p：∃x 0∈R，x 02+x 0+1≤0． B. “x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件． C. “ac 2＜bc 2“是“a＜b“的必要不充分条件．D. 命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】【详解】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题； 故选C.4.已知函数31()(,)3f x x ax b a b R =++∈在2x =处取得极小值43-，则,a b 的值分别为（ ） A. -4,4 B. 4，-4C. 4,4D. -4，-4【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数()f x 在2x =处取得极小值43-，得到()423f =-且()20f '=，得到方程组，解得. 【详解】解：31()3f x x ax b =++2()f x x a '∴=+因为函数()f x 在2x =处取得极小值43-()()20423f f ⎧=⎪∴⎨=-'⎪⎩即2320142233a a b ⎧+=⎪⎨⨯++=-⎪⎩解得44a b =-⎧⎨=⎩ 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,16S S ==，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9项和9T 为 ( ) A. 20 B. 80C. 166D. 180【答案】D 【解析】【详解】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=4,S 4=16，可得11244616a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得d =2,a 1=1,a n =2n −1，b n =a n +a n +1=4n .数列{b n }的前9和991041802T ⨯=⨯=. 本题选择D 选项.6.已知斐波那契数列的前七项为：1,1,2,3,5,8,13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】 【分析】一朵该种玫瑰花的花瓣数为33，计算斐波那契数列的前n 项和，观察前几项和为33即得． 【详解】由题设知，斐波那契数列的前6项和为20，前7项和为33，由此可推测该种玫瑰花最可能有7层， 故选：C ．【点睛】本题考查数列的前n 项和，掌握数列和的概念是解题基础． 7.若110a b <<,则下列不等式:①11a b ab <+;②|a|+b>0;③11a b a b->-;④lna 2>lnb 2中,正确的是( ) A. ①④ B. ②③C. ①③D. ②④【答案】C【解析】【详解】先由<<0得到a 与b 的大小关系,再根据不等式的性质,对各个不等式进行逐一判断. 由<<0,可知b<a<0. ①中,a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正确.②中,∵b<a<0,∴-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误. ③中,∵b<a<0,即0>a>b, 又∵<<0,∴->->0, ∴a ->b-,故③正确.④中,∵b<a<0,根据y=x 2在(-∞,0)上单调递减函数,可得b 2>a 2>0,而y=lnx 在定义域上为增函数.∴lnb 2>lna 2,故④错,综上分析,②④错误,①③正确.8.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是 A. (0,1][9,)+∞ B. 3][9,)+∞ C. (0,1][4,)+∞ D. 3][4,)+∞【答案】A 【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=即33m≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=，即33m≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ．点睛:本题设置是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定,a b 的关系，求解时充分借助题设条件120AMB ∠=转化为tan603ab≥=，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．9.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据()f x的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 10.设等差数列{}{},n na b的前n项和分别为,n nS T，若3333nnS nT n+=+，则使nnaZb∈的n的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】先由题意，根据等差数列前n 项和的性质，得到21211231--==++n n n n a S b T n ，再由n na Zb ∈，得到121∈+Z n ，从而即可求出结果. 【详解】因为等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，所以1212112121()2()2n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+， 又3333n n S n T n +=+，所以21213(21)336303151232132211---+++=====+-++++n n n n a S n n n b T n n n n ，为使nn a Z b ∈，只需121∈+Z n ，又n ∈+N ，所以1n +可能取的值为：2,3,4,6,12， 因此n 可能取的值为：1,2,3,5,11. 故选C【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的应用，熟记等差数列前n 项和的公式与性质即可，属于常考题型.11.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ） A. [6,8) B. [6,8]C. [4,6)D. (4,6]【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得3sin A π+=（），结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =- ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵ sin 6A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，12sinA sinA ∴+-=，可得：3sin A π+=（）， 40333A A ππππ∈+∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=， ∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥ ，得04bc ≤＜， ∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．12.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ）．B. 2+C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n m n >>，代入双曲线和圆的方程，根据正方形关系，求解离心率.【详解】设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n m n >>，22221m n a b-=，222m n c += 以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则m n =代入可得：2222122c c a b -=，22222122()c c a c a -=- 22222222()2()c a c a c a c a --=-4224420c a c a -+=，两边同时除以4a 得：42420e e -+=，22e ==±，双曲线离心率21,1e e >>22e =所以e =故选：D【点睛】此题考查通过双曲线上的点的关系求解离心率，关键在于将题目所给条件转化成代数关系求解，构造齐次式解方程.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.13.已知椭圆2212516x y +=与双曲线2215x y m -=有共同的焦点12,F F ,则m =_________【答案】 4 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的焦距求m 的值.【详解】由题得椭圆的焦点为（-3,0）和（3,0）,所以m=4. 故答案为4【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________． 【答案】22y x =- 【解析】 【分析】 求导2()f x x'=，可得斜率(1)2k f '==，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由()2ln y f x x ==，得2()f x x'=， 则曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2k f '==， 则所求切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.15.双曲线22143y x -=的渐近线方程为____________________.【答案】y = 【解析】【详解】试题分析：由题，得2a =，b =，∴双曲线22143y x -=的渐近线方程为y =． 考点：双曲线方程及几何性质．16.设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>，若()f x 在(0,1]上的最大值为12，则a =________.【答案】12a = 【解析】 【分析】求出函数的导数，由()22()2x f x a x x -'=+-在(0,1]上()0f x '>，可得()f x 在(0,1]上单调递增，则函数最大值为()112f =，即可求出参数的值. 【详解】解：()ln ln(2)f x x x ax =+-+定义域为()0,2()1122()22x f x a a x x x x -'∴=++=+-- (0,1]x ∈，0a >()22()02x f x a x x -'∴=+>-()f x ∴在(0,1]上单调递增，故()f x 在(0,1]上的最大值为1(1)2f a == 故答案为：12【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题. 三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17.已知m R ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存在[]1,1x ∈-，使得1()12xm ≤-成立.(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围. 【答案】(1)[]1,2；(2)()(],11,2-∞【解析】 【分析】（1）由题得223m m -≥-，解不等式即得解；（2）先由题得max 1[()1]12xm ≤-=， 由题得p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解. 【详解】(1)对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立，当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知当0x =时，()2y log 12x =+-的最小值为2-，223m m ∴-≥-，解得12m ≤≤.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.(2)存在[]1,1x ∈-，使得1()12xm ≤-成立，max 1[()1]12xm ∴≤-=.命题q 为真时，1m ，p 且q 为假，p 或q 为真，p ∴，q 中一个是真命题，一个是假命题.当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩解得12m <≤；当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <.综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞.【点睛】本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且2,cos 3sin .32,B C b A π=== （1）求边AB 的长；（2）若点D 是边BC 上的一点，且ACD ∆的面积为33，求ADC ∠的正弦值. 【答案】(1)2;(2)27sin ADC ∠=. 【解析】 试题分析：（1）由22,,cos 3sin 3b A B C π===可得，cos 3sin cos 3sin 3B C C C π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭化简可得3tan ,36C C B C π===，由等腰三角形的性质可得结果；（2）由三角形面积得33=CD ，在ACD ∆中，由余弦定理得7AD =，在ACD ∆中，由正弦定理得27sin sin sin AD AC ADC C ADC =⇒∠=∠. 试题解析：（1）cos 3sin cos 3sin 3B C C C π⎛⎫=⇒-=⎪⎝⎭133cos sin 3sin tan ,2236C C C C C π⇒+=⇒== 2B C b c =⇒==（2）1=sin 26ACD S b CD π∆⨯⨯⨯=解得=2CD在ACD ∆中，由余弦定理得2227=2+(22cos 2264AD π-⨯⨯=AD =在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin sin AD AC ADC C ADC =⇒∠=∠. 19.已知函数2()21f x x mx =+-，m 为实数.（1）若函数()f x 在区间[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若[]11x ∈-，，求函数()f x 的最小值.【答案】（1）m ≥﹣4或m ≤﹣12（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由函数f （x ）在区间[1，3]上是单调函数，可得14m -≤或34m-≥； （2）讨论对称轴与已知区间[﹣1，1]的三种位置关系即可求解． 【详解】解：f （x ）＝2x 2+mx ﹣1开口向上，对称轴x 4m =-， （1）∵函数f （x ）在区间[1，3]上是单调函数， ∴14m -≤或34m-≥， 解可得，m ≥﹣4或m ≤﹣12； （2）①若14m-≤-即m ≥4时，函数()f x 单调递增， ∴f （x ）min ＝f （﹣1）＝1﹣m ， ②若14m-≥即m ≤﹣4时，函数()f x 单调递减， ∴f （x ）min ＝f （1）＝1+m ，③若﹣114m -＜＜即﹣4＜m ＜4时，f （x ）min ＝f （4m -）＝﹣128m -． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称性及闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用20.已知函数()()()2222ln 0f x x a x a x a =-++>.（Ⅰ）当1a =时，证明：()f x 有且只有一个零点； （Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）当01a <<时，极大值为222ln a a a a --+，极小值为12a --；当1a =时，无极值；当1a >时，极大值为12a --，极小值为222ln a a a a --+. 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证； （2）求导，对a 分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，()242ln x x x x f =-+，定义域为()0,∞+，∴()212422'x x x x x f ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭22212(1)20x x x x x-+-=⋅=≥，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴()f x 至多有一个零点. 又()114030f =-+=-<，()416162ln 42ln 40f =-+=>， 则()()140f f ⋅<，∴()f x 在()0,∞+上有且只有一个零点. （Ⅱ）由题意得，()0,x ∈+∞，()()()()212'222x x a a f x x a x x--=-++=， 当01a <<时，当()0,x a ∈时，()'0f x >，当(),1x a ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >， ∴函数()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减，∴极大值为()()22222ln 22ln a a a a a a a a a f a =-++=--+，极小值为()112212f a a =--=--；当1a =时，()()221'0x f x x-=≥，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值；当1a >时，当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()1,x a ∈时，()'0f x <， 当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，∴函数()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减， ∴极大值()112f a =--，极小值为()222ln a a f a a a =--+.【点睛】本题考查导数在函数中的应用，涉及到函数的单调性，零点的存在性，以及极值，属于中档题.21.等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式； （2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= .（2）6m =. 【解析】分析：（1）列出方程，解出q 可得；（2）求出前n 项和，解方程可得m ．详解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123nnS --=．由63m S =得()2188m-=-，此方程没有正整数解． 若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．22.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为22.（l ）求椭圆C 的标准方程；（2）若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．【答案】(1) 2212x y += (2)见解析【解析】 分析：(1)根据椭经过点41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为22222a b c =+ ，，列出关于a 、b 的方程组，求出a 、b ，即可得椭圆C 的标准方程； (2)可设直线RS 的方程为2y x m =-+，联立22212y x mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x mx m -+-=，设点()()()112200,,,,,R x y S x y P x y ，根据韦达定理可得0014y x =，所以点P 在直线14y x =上，又点()410,0,,33O M ⎛⎫⎪⎝⎭也在直线14y x =上，进而得结果.详解：（1）因为点M 到椭圆的两焦点的距离之和为22所以2a =，解得a =又椭圆C 经过点41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以222241331a b⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. 所以21b =.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.证明：（2）因为线段RS 的中垂线l 的斜率为12， 所以直线RS 的斜率为-2.所以可设直线RS 的方程为2y x m =-+.据222,1,2y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x mx m -+-=. 设点()11,R x y ，()22,S x y ，()00,P x y .所以1289mx x +=，()121212222y y x m x m x x +=-+-+=-+ 8222299m mm m +=-⋅+=.所以120429x x m x +==，12029y y my +==. 因为0014y x =，所以0014y x =. 所以点P 在直线14y x =上. 又点()0,0O ，41,33M ⎛⎫⎪⎝⎭也在直线14y x =上，所以,,P O M 三点共线. 点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x yb a+=()0a b>>；③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.。