弹性力学广义变分原理

E ( ) f 0 E (n) p
内 B2 上
(2) 自变函数为位移 u 和应变 ，但把式(4.1.1) 、(4.1.2) 看成约束条件。这样，把原问题 视为在约束条件(4.1.1) 、(4.1.2) 下，使得下列总势能
( u) U ( )d f T ud pT udB
(u - u ) E (n) A dB [ E (n) A p]T udB
B1 B2
U ( ) T ( A )T * 0 2 令 ,根据变分引理得到(用应变表示的应力 )
E T ( )u
E ( ) A f E ( ) f 0 u=u E (n) A E (n) p
p udB E (n) A (u - u )dB
T T B2 B1
(4.1.4)
这是关于位移和应变（两类变量）的广义势能（泛函） 。 在该泛函中位移和应变是独立的自 变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件， 从而使得与变分原理相对应的数值计 算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。 两类变量的广义势能原理(位移和应变) 弹性力学的精确解应该使得广义势能
内 内 内 B1 上 B1 上 B2 上
E ( n) 0 ，
u-u 0，
E ( n) p 0 ，
由此得到 Lagrange 乘子 满足
T
Lagrange 乘子 为
U ( ) ， U ( )
T
内
E ( n) E ( n)
T T T T T T * 2 E ( ) u E ( )u a f u d
pT udB E (n) udB E (n) (u - u )dB
T T B2 B1 B1
在恒等式(3.2.1)中取 ， u 得到
( )

T
E T ( ) d [ E (n) ]T dB [ E ( ) ]T d
B
因此
*
B
V ( ) d [ E (n) ]T udB ( )T E T ( ) d B1
pT (u - u )dB [ E (n) p]T udB
B1 B2
令
* 0 2 ,根据变分引理得到 a E T ( )u E ( ) f 0 u=u E (n) p 内 内 B1 上 B2 上
也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件，再结合本构关系，就是弹性力 学的所有方程。
B2
[ E ( )u]d T (u u )dB
T T B1
在新泛函中, u, ,
, 都是独立的自变函数， 也就是说位移 u 不需要事先满足边界约束条
件（4.1.1）, 位移 u 和应变 之间也不需要满足变形协调条件（4.1.2） 。 新泛函所对应的变分为
T T [ E (n) p]T udB (u - u ) [ E (n) ] u dB B2 B1
由 * 0 可以得到
U ( ) T 0 ， E ( ) f 0 ， ε E T ( )u 0 ，
* 2（
2
）的泛函取驻值。 下面我们分析一下从该变分原理中能得到什么？计算
T T T T * 2 E ( ) u A d AE ( ) f ud T
pT udB E (n) A udB (u - u )T E (n) A dB
B2 B1
U ( ) T E (n)(u - u )dB
(4.1.3)
U ( ) T A U ( ) A 对于线弹性体有 , ,从而
1 2 T T T T T 1 * 2 2 A d f ud AE ( ) ud
B2
[ E (n) ]T dB [ E (n) ]T dB [ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
T
p udB E (n) A udB (u - u ) E (n) A dB
T T B2 B1 B1
[ E (n) A ]T udB
B T E ( )u A d E ( ) A f ud T T
*

V ( ) d [ E (n) ]T udB [ E ( ) ]T d [ E (n) ]T dB B1 B2
B2
[ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
U U ( ) U ( E T ( )u)
用位移表示的应力
T
U ( ) T ( u)
在此条件下，弹性力学的精确解应该使下面的总势能取到最小值
(u) U ( E T ( )u)d f T ud pT udB
B2
这样，由最小势能原理可以得到应力表示的平衡方程和应力边界条件
(4.1.5)
这是关于位移和应力(包括边界 B1 上的约束力 p )的两类变量广义势能泛函。上述泛函称为 Hellinger-Reissner 泛函，是 Hellinger 和 Reissner 分别于 1953 年和 1954 年提出来。 用位移和应力表示两类变量的广义势能原理（Hellinger-Reissner 两类变量广义变分原 理） 弹性力学的精确解，应使上述广义势能的泛函（4.1.5）取驻值。 下面我们分析一下从该变分原理中能得到什么
B1 B
T (u u )dB T udB [ E (n) ]T udB [ E ( ) ]T ud U ( ) T T E ( ) f u T [ E T ( )u] d
在恒等式（3.2.1）中取 ， u u 得到


T
E T ( ) ud [ E (n) ]T udB [ E ( ) ]T ud
B
因此有
T T T T T * 2 [ E ( ) ] u E ( )u a f u d
1 2 T
T


T
a d f T ud T [a E T ( )u]d
T
p udB E (n) (u - u )dB
B2 B1 T T T T T 1 E ( )u 2 a f u d p udB E (n) (u - u )dB T B2 B1
B2
最小的问题。注意这里总势能表达式 ( , u) 与最小势能原理中势能 ( u) 的差异。 为了解除最小势能原理中这两个约束条件，引进两个 Lagrange 乘子函数(向量)
( x) R 6 ， ( x) R 3 ，
来构造一个新泛函
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内 B1 上
*( , u, , ) U ( )d f T ud pT udB
*
B2
U ( ) f T u T [ E T ( )u] T [ E T ( ) u] d
B1 B1
pT udB T (u u )dB T udB
T B2 B1 B1
在恒等式(3.2.1)中取 A ， u u 得到


T
AE T ( ) ud [ E (n) A ]T udB [ E ( ) A ]T ud
B T
因此有
T * 2 E ( ) u A d E ( ) A f ud
在恒等式(3.2.1)中取 ， u u 得到


T
E T ( ) ud [ E (n) ]T udB [ E ( ) ]T ud
B
因此有
*
B1
U ( ) f T u T [ E T ( )u] T d pT udB B2
第 4 章 弹性力学广义变分原理
4.1 两类变量的广义势能原理
根据前面的介绍,对于最小势能原理,我们可以有以下两种理解: (1) 自变函数为位移 u 。要求 u 事先满足位移边界条件
u= u， ε E T ( )u ，
这样可得到用位移表示的应变能密度函数
B1 上 内
(4.1.1)
同时要求 u 具有足够的连续（可微）性，从而可以由下式求得应变 (4.1.2)
4.2 两类变量的广义余能原理
从前面介绍中我们知道，最小余能原理要求自变函数 事先满足
E ( ) f 0 ，
内
E (n) p ，
B2 上
在此条件下，弹性力学的精确解使得下面的总余能取极小值
( ) V ( )d [ E (n) ]T udB

因为要寻找满足平衡方程和应力边界条件的自变函数存在一定困难，对自变函数 的 约束条件使得与之相对应的数值计算变得十分麻烦。 为了消除最小余能定义中应力约束条件 的影响，我们引进入 Lagrange 乘子函数
学的所有方程。
内 内 B1 上 B2 上
也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件。再加上本构关系，就是弹性力
U ( ) A 如果用应力 来替换泛函(5.1.4)中的自变函数 ( a )，得到
* (u, ) 2
B1
R 3 ， R 3 ，
来构造一个新的泛函
*
内 B2 上
* ( , , ) V ( )d [ E (n) ]T udB
B1
[ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
B2
在新泛函中 , , 都是独立的自变函数。新泛函的变分为
广义势能为
B1 上
得到 Lagrange 乘子函数后, 把它们再代入新泛函的表达式中,得到两类变量(位移和应变)的
2 ( u) U ( )d f T ud

U ( ) [ E T ( )u]d
pT udB