历年江苏高考数学试卷(1999-2012)(含详细答案)

2
值. 21.（本小题满分 12 分）
如图，已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 ，点 E 在棱 D1D 上，截面 EAC ∥ D1B ，
且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45 , AB a.
Ⅰ.求截面 EAC 的面积；
Ⅱ.求异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离；
Ⅲ.求三棱锥 B1 EAC 的体积.
所以 n
lg lg a
lg1 r0
.
因此，至少需要安装不小于
lg lg
在 B 中和它对应的元素是 a ，则集合 B 中元素的个数是
()
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
3. 若函数 y f x的反函数是 y gx, f a b, ab 0 ，则 gb等于 ( )
(A) a
(B) a 1
(C) b
(D) b1
4. 函 数 f x M s inx 0 在 区 间 a, b 上 是 增 函 数 ， 且
① 4x 2y 1 0 ② x2 y2 3 ③ x2 y2 1 ④ x2 y2 1
2
2
在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
()
(A) ①③
(B) ②④
(C) ①②③
(D) ②③④
14.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件
2
() ()
(A) , 2 4
(B) ,0 4
(C) 0, 4
(D) , 4 2
12.如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，
它们的侧面积的比为 1：2，那么 R=
()
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
13.已知两点 M 1, 5 , N 4, 5 , 给出下列曲线方程： 4 4
22.（本小题满分 12 分） 右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对 轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减 薄后输出.
Ⅰ.输入带钢的厚度为 ，输出带钢的厚度为 ，若每对轧辊的减薄率不超过 r0 .问冷
轧机至少需要安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率
输入该对的带钢厚度 从该对输出的带钢厚度 输入该对的带钢厚度
(A)
6
(B)
4
(C)
3
10.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边
长为 3 的正方形，EF∥AB，EF 3 ，EF 与面 AC 的距离 2
为 2，则该多面体的体积为
()
9
(A)
2
(B) 5
(C) 6
15
(D)
2
(D)
2
11.若 sin tg ctg , 则
2
因为 D1B1 ∥面 EAC，且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO
所以 D1B1 ∥EO
又 O 是 DB 的中点，
所以 E 是 D1D 的中点， D1B1 =2EO =2 a
所以 D1D D1B2 DB2 2a.
异面直线 A1B1 与 AC 间的距离为 2a.
Ⅲ. 解法一：如图，连结 D1B1
）
Ⅱ.已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊，所有轧辊周长均为 1600 mm.若第 k
对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距
为 Lk . 为了便于检修，请计算 L1 、 L2 、 L3 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且
不考虑损耗）.
轧锟序号 k
和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有
()
(A) 5 种
(B) 6 种
(C) 7 种
(D) 8 种
第 II 卷（非选择题共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.
15.设椭圆 x 2 a2
y2 b2
1a b 0的右焦点为 F1 ，右准线为 l1 ，若过 F1 且垂直于 x 轴的
()
(A) 6 3cm
(B) 6cm
(C) 23 18cm
(D) 33 12cm
8.若 2x 3 4 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 , 则 a0 a2 a4 2 a1 a3 2 的值
为
()
(A) 1
(B) －1
(C) 0
(D) 2
9.直线 3x y 2 3 0 截圆 x2 y2 4 得的劣弧所对的圆心角为
分
.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
新疆 王新敞
奎屯
1.如图，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴
影部分所表示的集合是
()
(A) （M∩P）∩S
(B) （M∩P）∪S
(C) （M∩P）∩ S
(D) （M∩P）∪ S
2.已知映射 f ： A B ，其中，集合
A 3,2,1,1,2,3,4, 集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且对任意的 a A,
17.若正数
a
、
b
满足
ab
a
b
3,
则
ab
的取值范围是______________
新疆 王新敞
奎屯
18. 、 是两个不同的平面， m 、 n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四
个论断：
①m⊥n
② ⊥
③n⊥
④m ⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一．个．命题：
________________________________
1
2
3
4
疵点间距 Lk （单位： mm ）
1600
23.（本小题满分 14 分）
已知函数 y f x的图像是自原点出发的一条折线，当 n y n 1 n 0,1,2, 时，
该图像是斜率为 bn 的线段（其中正常数 b 1 ），设数列 xn 由 f xn nn 1,2,定义.
Ⅰ.求 x1 、 x2 和 xn 的表达式；
Baidu Nhomakorabea
tg 2 tg
3
1 2 tg2
3
1
,
3 2tg
tg
因为 3 tg
2tg
2
6,
所以
1
6.
3 2tg 12
tg
当且仅当 3 tg
2tg 0 时，即tg
2
6 时，上式取等号. 2
所以当 arctg 6 时，函数 tgy 取得最大值 6 .
2
12
由 y arg z 得 y , . 由于在 , 内正切函数是递增函数，函数 y
1
15.
2
16. 12
17. 9,
18. m , n , m n 或 mn, m, n
三、解答题
19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考
查分类讨论的思想.
解：原不等式等价于
①
3loga x 2 0,
3 log a
x
2
2 loga
x
12 ,
6.在极坐标系中，曲线 4 sin 关于 3
(A) 直线 轴对称 3
(B) 直线 5 轴对称 6
(C) 点 2, 中心对称 3
(D) 极点中心对称
()
7.若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm ，若将这
些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
因为 D1D =DB= 2a.
所以 BDD1B1 是正方形，
连结 B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q
因为 B1D ⊥ D1B ，EO∥ D1B ，
所以 B1D ⊥EO
又 AC⊥EO，AC⊥ED
所以 AC⊥面 BDD1B1 ， 所以 B1D ⊥AC，
所以 B1D ⊥面 EAC.
所以 B1Q 是三棱锥 B1 EAC 的高.
2 loga x 1 0.
② ③
由①得 loga
x
2 3
,
由②得 loga
x
3 4
,或
loga
x
1，
由③得
loga
x
1 2
.
由此得
2 3
loga
x
3 4
,
或 loga x 1.
当 a 1时得所求的解是
x |
2
a3
x
3 a4
x
|
x
a；
当 0 a 1 时得所求的解是
x
|
a
3 4
x
2
a3
x
|0
1999 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟.
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 14 小题；第 1～10 题每小题 4 分，第 11～14 题每小题 5 分，共 60
x
a.
20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所
学数学知识解决问题的能力.
解：由 0 得 tg 0.
2
由 z 3cos i2sin 得 0 arg z 及
2
tgarg z 2 sin 2 tg.
3 cos 3
故
tgy tg arg z
f x M, f b M, 则函数 gx M cosx 在a, b上
()
(A) 是增函数
(B) 是减函数
(C) 可以取得最大值 M
(D) 可以取得最小值 M
5.若 f xsin x 是周期为 的奇函数，则 f x可以是
()
(A) sin x
(B) cos x
(C) sin 2x
(D) cos 2x
由
DQ=PQ，得
B1Q
3 4
B1D
3 2
a.
所以 VB1 EAC
1 3
2 a2 3 a 22
2 a3. 4
所以三棱锥 B1 EAC 的体积是
2 a3. 4
解法二：连结 B1O ，则VB1EAC 2VAEOB1
因为 AO⊥面 BDD1B1 ，
所以 AO 是三棱锥 A EOB1 的高，AO
1999 年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）参考解答
一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）. 1. C 2. A 3. A 4. C 5. B 6. B 7. B 8. A 9. C 10. D 11.B 12. D 13.D 14. C
二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.
弦长等于点
F1
到
l1
的距离，则椭圆的率心率是_____
新疆 王新敞
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16.在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一
垄，为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法共有
___________种（用数字作答）
新疆 王新敞
奎屯
新疆 王新敞
奎屯
三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分 10 分）
解不等式 3loga x 2 2 loga x 1 a 0, a 1
20.（本小题满分 12 分）
设复数 z 3cos i 2sin. 求函数 y arg z0 的最大值以及对应的
2 a. 2
在正方形 BDD1B1 中，E、O 分别是 D1D 、DB 的中点（如右图），则
S EOB1
3 a2. 4
V ∴ B1 EAC
2 1 3 a2 34
2a 2
2 a3. 4
所以三棱锥 B1 EAC 的体积是
2 a3. 4
22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法
解决实际问题的能力.
Ⅰ.解：厚度为 的带钢经过减薄率均为 r0 的 n 对轧辊后厚度为
a1 r0 n.
为使输出带钢的厚度不超过 ，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
a1 r0 n
即 1
r0 n
a
.
由于 1
r0 n
0,
a
0, 对比上式两端取对数，得
n
lg1
r0
lg
a
.
由于 lg1 r0 0,
Ⅱ.求 f x的表达式，并写出其定义域； Ⅲ.证明： y f x的图像与 y x 的图像没有横坐标大于 1 的交点.
24.（本小题满分 14 分）
如 图 ， 给 出 定 点 Aa,0a 0 和 直 线
l : x 1.B 是直线 l 上的动点，BOA 的角平分线 交 AB 于点 C .求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示 的曲线类型与 a 值的关系.
DO 2 a, AC 2a, EO 2 a sec 45 a.
2
2
故 SEAC
2 a2. 2
II. 解：由题设 ABCD A1B1C1D1 是正四棱柱，得 A1 A ⊥底面 AC， A1 A ⊥AC，
又 A1 A ⊥ A1B1,
所以 A1 A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线.
2 2
2 2
也取最大值 arctg 6 . 12
21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概 念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.
Ⅰ. 解：如图，连结 BD 交 AC 于 O，连结 EO 因为底面 ABCD 是正方形， 所以 DO⊥AC 又因为 ED⊥底面 AC， 因为 EO⊥AC 所以∠EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角. 所以 EOD 45 ，