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思考二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
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引入新课
现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如
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例2 计算：
讲授新课
（1）（ 2+3）（ 2 -5）；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
解：（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）=（ 5）2 -（ 3）2
= 5-3= 2 ．
思考1：（2）中，每一步的依据是什么？
每一步的依据是：平方差公式．
讲授新课
请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．
步骤： “一化简、二判断、三合并”；
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则；
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
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讲授新课
例1 判断下列计算是否正确？为什么？（1） 8- 3= 8-3 ； × （2） 4+ 9= 4+9 ； ×
图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8
dm2和18 dm2的正方形木板？能截出两块正方形木
7.5 dm
5 dm
板的条件是什么？; 18
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讲授新课
8+ 18能否进一步计算？这是一种什么运算？

二次根式(第1课时)北师大数学八年级上册PPT课件

两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14；（2）81；（3） - 0.8；（4） -3x (x 0)
（5） m (m，n异号，n 0）（6） x2 ；4 （7） 3 15
n
分析：是否含二是被开方数是是二次
探究新知知识点 1
二次根式的概念
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b)(其中b 24, c 25) 121
这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
探究新知
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
提示：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ ”
巩固练习
变式训练
判断下列各式是否为最简二次根式？
（1） 12 （ ×）（3） 3 （ √ ） × （5） ab2 （）
（2） 4.5 （ × ） × （4） 1 （）
2
× （6） 2x2 8x 8（）
连接中考
1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ B ）
A． 1
2
B． 2 C． 4
D． 12
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
思考当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0，所以x＞1.
探究新知
（2） x 3
x 1
解：因为被开方数需大于或等于零，所以x+3≥0，即x≥-3. 因为分母不能等于零，所以x-1≠0，即x≠1. 所以x≥-3 且x≠1.

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◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三关）
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◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三关）
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◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三关）
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◆考点突破 ◆考前过三关（ ◎第一关 ◎第二关 ◎第三关力。 4.敬重卑微，使我把生命看得严肃，看得深刻，看得伟大而坚强。 5.我想到了抗洪战士，他们不顾危险，为了人民的生命财产，不怕苦，不怕累，日夜不停在抗洪最前线。他们为了集体的利益，完全不考虑自己，有自我牺牲的精神 6.通过分析案例人大常委与市政府的关系，了解加强宪法监督的原因，以及我国宪法监督的主要内容。 7.通过搜集观看宪法活动图片，理解加强宪法监督，需要增强公民的宪法意识。

《二次根式》PPT课件北师大版

探究新知
素养考点 1 识别最简二次根式例下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．
(1) 1 ;(2) x2 2;(3) 0.2;(4) 24x;(5) x3 6x2 9x;(6) 3 2 .
3
3 2
解：(1)不是，因为被开方数中含有分母．(2)是．
A． x 2
B． x
C． x2 2 D．x2 2
3.下列根式中，不是最简二次根式的是（ C ）
A．7
B． 3
1
C．2
D． 2
课堂检测
基础巩固题
4. 计算：
（1）（-144）（-169）; （2） 1 16a4 .
4
解：（1）（-144）（-169） 144 169
=12×13 =156;
(3)不是,因为被开方数是小数(即含有分母)．
(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含
有能开得尽方的因式．
(6)不是,因为分母中有二次根式．
探究新知
方法点拨判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断： (1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)； (2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备分母中不含二次根式的条件．
次根号
否不是非负数
否
不是二次根式
根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.

初中数学《二次根式》实用ppt北师大版1

6. 计算：
7. 计算：
重难易错
8. 计算：
三级检测练
一级基础巩固练
9. 已知
，
则x3y+xy3= 10 .
10. 计算：
=
.
二级能力提升练
三级拓展延伸练
谢谢！
●
1.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之一,是叙事作品中表现人物之间相互关系的一系列生活事件的发展过程。
●
2.它由一系列展示人物性格,反映人物与人物、人物与环境之间相互关系的具体事欣赏小说的基础,也是整体感知小说的起点。命题者在为小说命题时,也必定以情节为出发点,从整体上设置理解小说内容的试题。通常从情节梳理、情节作用两方面设题考查。
●
4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展、高潮和结局来划分文章层次,进而梳理情节。
●
5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。
●
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。
●
9.自信让我们充满激情。有了自信，我们才能怀着坚定的信心和希望，开始伟大而光荣的事业。自信的人有勇气交往与表达，有信心尝试与坚持，能够展现优势与才华，激发潜能与活力，获得更多的实践机会与创造可能。
感谢观看，欢迎指导！
●
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在于阅读并非是对作品的简单再现，而是一个积极主动的再创造过程，人生的经历与生活的经验都会参与进来。

北师大版八年级上册课件第二章2.7.2二次根式(共21张PPT)

〔3〕、原式 2 5 3 5 1 5 6 5
5
5
〔4〕、原式 1 2 5 2 4 2 28 5
3
3
〔5〕、原式 6 1 6 1 6 6 5 6
23
6
2. 计算
，结果正确的选项是〔B
〕
3. 计算：解：
4.一个直角三角形的两直角边分别是 5 cm和 45
cm，求这个三角形的面积。
〔2〕公式 a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）
bb
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用．
提高题： x 2 3, y 2 3,
求x2 xy y 2
解： x 2 3, y 2 3, x y (2 3) （2 3） 2 3
xy (2 3)（2 3） 1
第二章实数
§2.7.2 二次根式
第2课时
学习目标〔1分钟〕：
1.公式 a b a b〔a≥0，b≥0〕，
a a 〔a≥0,b＞0〕从右往左的运用． bb
2.了解二次根式的化简要求，利用化简对实数进行简单的乘除、加减运算．
知识回忆
〔1〕被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数、因式，那么需要化简；
5.一个长方形的长和宽分别是 2 1 cm和 2 1
cm。求它的面积S和它的对角线长。〔运用平方差公式〕
〔2〕两个公式
分别把下面两个式子 ab a b (a 0，b 0)， a a (a 0，b 0) bb
等号的左边与右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则 :
自学指导1：5分钟
自学课本P44的例题3；进一步熟悉公式，并解答下题
例1Байду номын сангаас计算：
解：

北师大版数学八年级上册二次根式第1课时二次根式(一)课件

须满足：含有二次根号“
”；被开方数a必须是__非__负__数___.
对点范例 1. 下列各式中，不是二次根式的是( B )
知识重点知识点二：二次根式的性质
=_________（a≥0，b≥0）；
=_________（a≥0，b＞0）.
对点范例 2. 计算：
36
4
9
知识重点知识点三：最简二次根式一般地，被开方数不含___分__母____，也不含能__开__得__尽__方____的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
典例精析【例5】化简：（1）
思路点拨：利用二次根式的性质正确化简即可.
举一反三 5. 化简: （1）
谢谢
对点范例 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ D ）
Байду номын сангаас
课堂演练典例精析【例1】下列式子中，二次根式有（ B ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
思路点拨：根据二次根式的定义判断即可.
D. 5个
举一反三 1. 下列各式中，不属于二次根式的是（ B ）
典例精析【例2】要使代数式 _________.
有意义，则x的取值范围是 x＞1
思路点拨：二次根式的被开方数必须是非负数；如果是分数，注意分母不能为0.
举一反三
2. 若式子 )B A. x≠2 C. x≤2
在实数范围内有意义，则x的取值范围是(
B. x≥2 D. x≠-2
典例精析【例3】下列各式计算正确的是（ D ）
思路点拨：利用二次根式的性质正确计算即可.
举一反三 3. 下列各式的化简：
y≥0），其中正确的是（ B ）
A. ①②

初中数学《二次根式》完整版【北师大版】1

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14. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题.
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（1）上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号________. （2）错误的原因是什么？（3）请你写出正确的解法.
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二级能力提升练 11. 能使等式是（ C ） A. x≠2 C. x>2
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成立的x的取值范围
B. x≥0 D. x≥2
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第二章实数
第7课二次根式
新课学习
知识点1.二次根式的定义一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根，a叫做被开方数.
1. （例1）下列式子不是二次根式的是（ D ）
2. 当1≤x<5时，
= 4.
知识点2.最简二次根式的定义一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
7. 已知 x-y2的值.

初中数学《二次根式》课件北师大版1

必须满足什么条件？
分析：要使式子 x 有1意义，必须x-1≥0，
即x≥1.
解: ∵被开方数 x-1≥0,
∴x≥1
练习
2.X是怎样的数时,下列各式在实数范围内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4x ;
(3) 5x ; (4) 2 x 1
(1)x 3;(2)x 1 ; 2
(3)x 0;(4)x 1
例3：化简
(1) 16 4
(2) (5)2 5
(3) (5)2 5
(4) 52
1 5
练习
3.计算 :
1. 0.32 0.3
2.
1 7
2
1 7
3. 2 4. 102 0.1
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看2 a
a≥0
a2
❖
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在于阅读并非是对作品的简单再现，而是一个积极主动的再创造过程，人生的经历与生活的经验都会参与进来。
❖
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理解力有所欠缺，所以在读书时往往容易只看其中一点或几点，对书中蕴含的丰富意义难以全面把握。
原式 b+c a (b c a) 0
8.( 2003年·河南省)实数p在数轴上的
位置如图所示，化简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1
9.已知：a b 6与 a b 8 互为相反数，求：a, b的值.
a 1,b 7
❖
1.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之一,是叙事作品中表现人物之间相互关系的一系列生活事件的发展过程。

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≥0（a a≥0）.
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练习一：下列哪些式子是二次根式，哪些不是二次根式？
（1） 4
（2） 3 10 （3） 3
（4） a2 1
（5） x2 (x为有理数)
解：二次根式有：不是二次根式的有：
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例2：计算
（1） ( 5)2 (2)(2 2)2
解：（1） ( 5)2 5 (2)(2 2)2 22 ( 2)2 42 8
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做一做：
由于22 4，因此 4 2，即 22 ——2—
由于32 9，因此
9 3，即
练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式在实数范围内有意义？
1
(1) x 6 ; (2) x 7 ; (3) 4 x ; (4)
.
x 1
解：
（1）由 x 6 0 得， x 6. 因此，当 x 6 时，二次根式 x 6在实数范围内有意义.
（2）由 x 7 0 得， x 7. 因此，当 x 7 时，二次根式 x 7 在实数范围内有意义.
观察第5小题，你猜想一下当a 0时, a2 __|a_| __
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例3：计算
（1） 22 ;(2) (1.2)2
解： (1) (2)2 22 2 (2) (1.2)2 1.22 1.2
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北师大版二次根式时课件

二次根式的混合运算
总结词
掌握二次根式的混合运算规则，理解其运算原理。
VS
详细描述
二次根式的混合运算包括加、减、乘、除等多种运算的组合。在进行二次根式的混合运算时，应先进行乘除运算，再进行加减运算。同时，应注意运算顺序和运算法则的正确应用。例如，$sqrt{a} + sqrt{b} times sqrt{c} = sqrt{a + b times c}$（$a geq 0$，$b geq 0$，$c geq 0$）。
的表现形式。
应用价值
分析二次根式在实际应用中的价值，以及其在解决实际问题中的
作用。
THANKS
感谢观看
01
02
03
近似计算方法
利用二次根式的性质和已知的近似值，通过四舍五入等方法计算出二次根式的近似值。
精度要求
根据实际需求和计算条件，选择合适的精度要求，以确保计算结果的准确性。
误差控制
在近似计算过程中，应控制误差范围，避免误差过大导致结果的失真。
二次根式的无理数形式
无理数表示
二次根式可以表示为无理数形式，如$sqrt{2}$、 $sqrt{3}$等。
二次根式在日常生活中的应用
建筑行业
在建筑行业中，二次根式常用于计算建筑物的承重、稳定性等。
物理科学
在物理科学中，二次根式常用于计算物理量，例如速度、加速度等。
日常生活计算
在日常生活中，我们经常需要计算一些量，例如物体的重量、长度等，二次根式可以提供方便的计算方法。
二次根式在数学竞赛中的应用
证明方法
通过数学证明，可以证明二次根式的无理数形式是正确的。
应用领域

北师大版ppt《二次根式》优秀PPT推荐1

50
1 2
32
45
1 1
3
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次根式前面的因式及符号无关．
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2, 1
2
C. 4ab , ab2 D. aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1, a 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( D )
1 2 3 5;
F
22 2 2 2; F
3 8 18 4 9 2 3 5 F
2
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式（3 2 2 2）（ 3 3 3）
22 3
强调：
(2) 8 18 12
先化简，
解：原式 4 2 9 2 43 再合并
2 2 3 2 2 3
2 80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3 9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算: 8 18 4 2
2 23 24 2
2 3 4 2
如何合并同类二次
9 2
根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变,
教学目标
1. 能够正确进行简单的二次根式加减运算。 2. 通过二次根式加减法运算培养学生运算能力。
教学重点
二次根式加减法的运算。
教学难点
探讨二次根式加减法运算的方法快速准确的进行二次根式加减法的运算。
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母或小数；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

北师大版数学课件《二次根式》优质教学PPT1

17.设等式 a (x a )a (y a )x a a y
在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求
3x2 xy y2 x2 xy y2
的值。
解：∵
a (x a )a (y a )x a a y
a 0 , x y, x y , 3 x x 2 2 x x y y y y 2 2 1 3
18.已知 y x3 3x2,求 y 3 x 的值。
解 x 3 0 且 3 x 0 , x 3 且 x 3 , 只 x 3 , 有 y 2 y3 x 29 3
19.已知xy 0 ，化简： x 2 y
解 x 0 y , 由 x 2 y 0 得 :x 0 ,y 0 , x 2 y xy
16.1 二次根式习题课
1.使式子
a a
2
有意义，
a的取值范围是（ D ）
A. a≠ 0
B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0
D.a a2 ≥-2且a≠ 0
a
2．下列式子一定是二次根式的是（ C. ）
x A． x 2 B．
C． x 2 2 D． x 2 2
3.要使式子 x x 有意义，那么x的取值范围是（ C ）
3.中国作家结识雨果已经近一百年。当伟大的雨果以其壮丽风采开辟着一个理想的正义世界的时候，当他以浪漫主义的狂飙之势席卷风云变幻的欧罗巴的时候，中国还是一只沉睡的雄狮，尚未向世界打开广泛的视听。
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚持的，是她的生命线。没有任何意义的散文诗，决非好作品。意义和审美是一体化的存在，只有在审美的前提下，在足以强化审美而不是削弱审美的前提下，才能实现意义的追求。

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北师大版-二次根式PPT课件完美1
问题：北师大版-二次根式PPT课件完美1
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板？
8 18
7.5dm
2 23 2（化成最简二次根式）

(23) 2 （分配律）
5dm
5 2
18dm
8dm
4
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注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 2 与 3 )不能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1 8 3 83; F
2 4 9 49; F
33 2 22 2
T
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如何合并同类二次
9 2
根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变,
总结二次根式加减运算的步骤
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二次根式加减法的步骤：
交流归纳（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
(2) 3,53,63,17 3,2 3 13
(3) 2, 8,518 , 32 , 1 2
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北师大版-二次根式PPT课件完美1
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
整式的加减的实质是合
解：
并同类项．
11 27 52353(25) 37 3
28 04 54535(43) 5 5
39a2a 5 3a5a(35) a8 a
先化简,后合并
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计算:
8 18 4 2
2 23 24 2
2 3 4 2
一化二找三合并
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2.计算：先化简,后合并
(1)2 7 6 7
(1) 4 7
(2) 80 20 5
(2)2 5 5
(3) 18( 98 27) (3)10 2 3 3
(4)( 24 0.5)( 1 6) 8
1 (4)3 6 2
B
2m
A
4m
解：根据勾股定理得：
D C
1m
A B A2 D B2 D 4 2 2 2 202 5
18 3 2 5 8 18 5 2 7.5
818 dm
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
思考:二次根式的加减的一般步骤.
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例3 要焊接一个如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1米）?
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例题解析
例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
12
48
18
50
23 43 32 52
1
32
2 2 42
2
45
35
11
23 3 3
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化
为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次
根式前面的因式及符号无关．
1 3 2 4 2
2 5 2
3 81 8 42
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例 1计算：（ 1） 12 75
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
（ 2） 80 45
二次根式的加减实质是
合并同类二次根式．
（ 3） 9 a 2 5 a
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(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两
列火车共运多少？2__x__+__3__x_=__5__x__吨
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两
列火车共运多少？_(__2_x___+__3_y__)_吨__
以下问题你能用同样的方法计算吗？
练习判断:下列计算是否正确?为什么?
1 2 3 5;
F
22 22 2; F
3 818 49235 F
2
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练习：计算
(1)23 32 233
解：（ 3 原 22式 2 ）（ 333 ）
22 3
强调：
(2)8 18 12
先化简，
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二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
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把下列各根式化简
(1) 12 (2) 48 (3)18 (4) 50
23 43 32 52
(5) 1 (6) 32 2
2 42 2
(7) 45 (8)11 3
35 23 3
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下列3组根式各有什么特征?
(1) 2 ， 32 ， 22 ， 15 2 ， 22 3
解：原 42 式 9243
再合并
2 23 22 3
5 22 3
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例 2计算：
(1)2 12 6 1 3 48 3
(2)( 12 20 ) ( 3 5 )
(3) 2 9 x 6 x 2 x 1
3
4
x
解：
132 ... 2321 192x 662 134x 320 x3 4 81x 5 2 4 x332 3 32 3 x 32 51 2 5 2 x33 3145 x 3
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1.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2, 12
B. 2 , 1
2
C. 4ab, ab2 D. a1, a1
2. 与 12 是同类二次根式的是( D ) A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
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3.如果最简二次根式 mn2 2与 m n 是同类二次根式,求m、n 的值.