(完整版)高中数学一元二次不等式及其解法-知识点剖析
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一元二次不等式及其解法-知识点剖析
一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
1．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： （1）ax 2+bx+c>0（a>0）； （2）ax 2+bx+c<0（a>0）.
上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax 2+bx+c=0的根确定.设Δ=b 2-4ac ，则： ①Δ>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的解x 1、x 2，则不等式（1）的解集为{x|x>x 2或x ②Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的解，即x 1=x 2，则不等式（1）的解集为{x|x≠x 1}，不等式（2）的解集为； ③Δ<0时，方程ax 2+bx+c=0无实数解，则不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解集为. 2．解一元二次不等式的一般步骤： 当a>0时，解形如ax 2+bx+c>0（≥0）或ax 2+bx+c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步： （1）确定对应方程ax 2+bx+c=0的解； （2）画出对应函数图象的简图； （3）由图象得出不等式的解集. 二、一元二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系 由下表可以看出ax 2+bx+c>0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨ ⎧<∆>， ，00a ax 2 +bx+c<0对一切x ∈R 都成立的 条件为⎩⎨⎧<∆<. 00a ， 判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax 2+bx+c （a>0） 的图象 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0） 的根 有两相异实根x 1，2=a ac b b 242-±- 有两相等实根 x 1=x 2=- a b 2 没有实根 一元二次不等式的解集 ax 2+bx+c >0（a>0） {x|x>x 2或x {x ∈R |x≠-a b 2} R ax 2+bx+c <0（a>0） {x|x 1 φ φ 三、简单的分式不等式的解法 分式不等式 同解不等式 四、简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f （x ）>0用穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是： （1）将f （x ）最高次项的系数化为正数； （2）将f （x ）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）； （4）根据曲线显现出的f （x ）值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例：解不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0. 解：原不等式变为（x+2）（x-1）（x-2）≤0或x=-1，各因式的根为-2，1，2，利用穿根法，原不等式的解集为{x|x≤-2或1≤x≤2或x=-1}. 知识探究 问题1：解一元二次不等式应该注意哪些问题? 探究：①要将二次项系数化为正，例如：解不等式-x 2-2x-1<0，需首先转化为x 2+2x+1>0求解. ②若一元二次不等式中二次项系数含字母，一般需要对二次项系数进行讨论，当两根的大小不确定时，还应对两根的大小进行讨论. 例如：解关于x 的不等式ax 2-（a+1）x+1<0. 首先对a 进行讨论，若a=0，原不等式⇔-x+1⇔{x|x>1}；