桥梁结构几何非线性计算理论
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计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解，用解 析法解决非线性工程问题仍显得无能为力。
二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程
中的非线性问题逐步得以解决
1.概述(续)
非线性问题及其分类
固体力学中有三组基本方程，即：本构方程、几何运动方
程和平衡方程。
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
平面桁架单元的切线刚度矩阵；平面柔索单元的切线刚度矩阵；平面 梁单元的切线刚度矩阵。
桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论
稳定函数与几何刚度阵；弯矩对轴向刚度的影响；活载几何非线性； 桥梁结构几何非线性调值计算。
非线性方程的求解
概 述；Newton-Raphson法；收敛准则。
小 结
第十一章
t t
2.4 T.L列式与U.L列式的异同及适用范围 T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理
论导出的不同方法，但是，它们在相同的荷载增量步 内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到 多个实际例题的证明。
从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性
分析，但一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转 角和小应变的几何非线性问题，而U.L列式除了适应于 上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、 徐变分析。可以追踪变形过程的应力变化。
求得的位移状态下，新的抗力与总外荷载之间有一差量， 即失衡力，结构必须产生相对位移以改变结构的抗力来消 除这个失衡力。
在计算中，一般通过迭代法来求解。
2.3 更新的拉格朗日列式法(U.L列式)
在建立t+t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参
照构形不是未变形状态t=0时的构形，而是最后一个已 知平衡状态，即以本增量步起始时的t时刻构形为参照 构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列 式) 。
在初始构形的体积域内进 在变形后的 t 时刻体积域内 U.L 列式必须保留各节点 保留了刚度阵中所有线性 忽略了高阶非线性项
用初始时刻各单元结构总 用变形后 t 时刻单元在结构 U.L 列式中组集载向量也 体座标系中的方向余弦形 总体座标中的方向余弦形 必须注意方向余弦的改 成转换阵，计算过程中不 成转换阵， 计算过程中不断 变 变 关系不易引入 改变 性本构关系 分析 在大应变时，非线性本构 比较容易引入大应变非线 U.L 方法更适用于砼徐变
图中有一物体，在 t=0t 时，
物体有初始构形 0A 。物体中 一点 0P 的坐标为 (0x1 ， 0x2 ， 0x ），在t=nt时，物体运动 3 有构形nA，点0 P运动到n P， 在t==nt+△t时，物体运动有 构形n+1A，点0P运动到n+1P。
2.1 变形体的运动描述(续)
变形体及其上质点的运动状态，随不同坐
1.概述(续)
现代桥梁工程的发展和跨径的增大，使得结构越来越柔，
越来越复杂，结构分析中梁柱效应、索的伸长、结构水平 位移及后期荷载的二阶影响变得不可忽略，对各种复杂结 构，建立挠度理论的平衡微分方程及其求解也越来越困难 。为此，工程界渴望出现更精确、方便的理论和方法。
六十年代初，M.J.Turner、Brotton等开始发表求解结构大
第十一章
桥梁结构几何非线性计算理论
(同济大学博士、硕士研究生课程)
肖 汝 诚
(同济大学桥梁工程系)
第十一章
桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要内容
概 述 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法
变形体的运动描述；总体拉格朗日列式法；更新的拉格朗日列式法； T.L列式与U.L列式的异同及适用范围。
桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵
的尺寸、形状变化，得 构变形后的位置上，结 的恒、活载计算问 方程，由此造成基本控 初始构形有关外，与受 分析问题。
1.概述(续)
几何非线性问题
可知，几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置
上。
事实上，任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，
才是真实意义上平衡的。
一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变。线性理论
3)用杆单元近似模拟索类构件，由索垂度引起的
单元刚度变化。
1.概述(续)
目前，有限位移理论一般用有限元方法通过计算机程序来求解。程
序的编制也应看成是非线性计算理论和方法不可分割的一部分。
七十年代未，国外相继推出了ADINA, ANSYS, MARC, NASTRAN,
ASKA, NON-SAP 等结构分析综合程序。它们可用于桥梁结构的部分 非线性计算和局部应力分析。但由于缺少许多必备的功能，它们无 法完整地完成桥梁设计计算。
巨大贡献。
1.概述(续)
挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的。 Timoshenko于1928年提出了三角级数解
Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线性
挠度理论
我国李国豪教授于 1941年提出了用于悬索桥分析的等代
梁法，将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯 矩减小系数，揭示了悬索桥受力的本质。
国内学者根据规范要求和实际情况，开发了桥梁通用程序，如同济
大学桥梁系开发的BAP系统、交通部公规院开发的QJS系统，有的已 具备非线性计算功能。
计算机的发展，使桥梁结构分析软件也得到了迅速发展，经历了从
单一化结构分析到将数据管理、用户接口、图形加工与管理、面向 对象的软件设计和可视化技术融为一体的发展过程。
将各单元切线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增 量刚度方程，即有：
0
[ K ( )] T d { } d { P }
(11－
式中：0[K()] T为结构切线刚度矩阵，可以由单元切线刚度矩 阵按常规方法进行组集形成;d{P}为荷载增量。
荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式，结构在
由于采用了U.L列式，平衡方程式(11－5)中的积分须
在t时刻单元体积内进行，且t[k]L的积分式是t[k]0的 一阶或二阶小量(此点在下一节将作进一步说明)。因 此，代表[k]L的积分式可以略去。这是U.L列式与T.L 列式的一个重要区别。最后增量形式的U.L列式平衡方 程可写成:
( [k ]0 [k ] )d{} d{ f }
位移、初应力问题的研究成果，Poskitti、Saffan等也在 此领域里作出了贡献。这些理论方法都可归入几何非线性 力学的有限位移理论。在建立以杆系结构有限位移理论为 基础的大跨径桥梁结构几何非线性分析平衡方程时，一般 考虑了三方面因素的几何非线性效应。
1.概述(续)
1)单元初内力对单元刚度矩阵的影响。 2)大位移对建立结构平衡方程的影响。
2.桥梁几何非线性分析的有限元方法
本节以杆系结构为对象，讨论拉格朗日列式的大 跨度桥梁几何非线性有限元方法。
2.1变形体的运动描述 变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形
状简称为构形，物体在问题求解开始时的构形称为初始构形，在 任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动。在下面 讨论中，字母的左上标表示构形所处时刻。
论，在考虑主缆拉力二阶影响的基础上将悬索桥的平衡方程建立 在变形后的位置上，但忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁 剪切变形的影响。
挠度理论从 1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大大
节省了工程造价，充分显示了它的优越性。
此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作出了
标选取有以下几种描述方法：
(1)物质描述：
(2)参照描述：
(3)相关描述： (4)空间描述：
2.2 总体拉格朗日列式法 (Total Lagrangian Formulation)
在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考
位形保持不变，这种列式称为总体拉格朗日列式。
对于任意应力－应变关系与几何运动方程，杆系单元
方程成为线性。
只要研究对象不能满足线性问题基本假定中任何一个时，
就转化为各种非线性问题。
表11.1给出了非线性问题的分类及基本特点
1.概述(续)
非线性问题的分类及基本特点 非线性问题 定 义 由材料的非线性应 材料非线性 力、应变关系引起基本 材料不满足虎克定 控制方程的非线性问 题。 放弃小位移假设，从几 几何运动方程为非线 何上严格分析单元体 几何非线性 到非线性的几何运动 制方程的非线性问 题。 不满足理想约束假定 接触问题 而引起的边界约束方 程的非线性问题。 柔性结构的恒载状态 性。平衡方程建立在结 确定问题，柔性结构 构刚度除了与材料及 载后的应力、位移整体 也有关。 受力后的边界条件在 求解前未知。 悬索桥主缆与鞍座的 接触状态；支架上预 应力梁张拉后的部分 落架现象。 题；桥梁结构的稳定 律。 特 点 表 11.1 桥梁工程中 的典型问题 砼徐变、收缩和弹塑 性问题。
的平衡方程可由虚功原理推导得到。
最后可表达为：
( 0 [ k ]0 0 [ k ] L 0 [ k ] ) d { } 0 [ k ]T d { } d { f }
看看推导吧！
上式就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。
2.2 总体拉格朗日列式法(续) (Total Lagrangian Formulation)
肖汝诚：桥梁结构线性、非线性综合程序系统，公路工程计算机应用
1994.4
1.概述
Oden(固体和结构非线性有限元的先驱)说过“ 我们生活在
一个非线性世界里”。
早在十九世纪未，科学家就发现:固体力学线性理论在许多
情况下并不适用，开始了对非线性力学问题的研究。
二十世纪中，科学家奠定了非线性力学的理论基础。但由于
目前，国内使用的桥梁非线性分析程序，一般都采用
U.L列式方法。
2.4 T.L列式与U.L列式的异同及适用范围(续)
T.L 列式与 U.L 列式的不同点 比较内容 计算单刚 的积分域 精度 单刚组集 成总刚 本构关系 的处理 行 与非线性项 T.L 列式 进行 U.L 列式 座标值 U.L 列式的荷载增量不能 过大 表 11－2 注意点
才得以广泛应用。
有些结构会因变形使平衡状态发生明显改变，以图11.1所
示结构为例:
1.概述(续)
A
P
B P B’ C
按线性理论求解就无法找到平衡位置，按几何非线性分析方
法求解，可以找到平衡位置B’ ， 即为B点位移的解。可见 ，受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性 方法进行分析。
桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要参考文献
李国豪，<<桥梁与结构理论研究>>, 上海科技文献出版社 1983
李国豪，<<桥梁结构稳定与振动>>，中国铁道出版社，1992
何君毅、林祥都，<<工程结构非线性问题的数值解法>>，国防工业出
版社1994
小西一郎，<<钢桥>>,戴振蕃译,中国铁道出版社 K.J.Bathe: Finite Element Procedures in Engineering
几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论
和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种
桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。
1.概述(续)
桥梁结构中的几何非线性研究
几何非线性分析理论在桥梁工程中的发展，起因于桥跨的长大化
和柔性结构的应用。
1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了几何非线性的挠度理
Analysis. Prentice-Hall Inc, 1982
K.M.Hsiao, C.M.Tsay: A Motion Process for Large Displacement
Analysis of Spatial Frames, International Journal of Space Structures, Vol.6, No.2,133-139.1991
二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程
中的非线性问题逐步得以解决
1.概述(续)
非线性问题及其分类
固体力学中有三组基本方程，即：本构方程、几何运动方
程和平衡方程。
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
平面桁架单元的切线刚度矩阵；平面柔索单元的切线刚度矩阵；平面 梁单元的切线刚度矩阵。
桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论
稳定函数与几何刚度阵；弯矩对轴向刚度的影响；活载几何非线性； 桥梁结构几何非线性调值计算。
非线性方程的求解
概 述；Newton-Raphson法；收敛准则。
小 结
第十一章
t t
2.4 T.L列式与U.L列式的异同及适用范围 T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理
论导出的不同方法，但是，它们在相同的荷载增量步 内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到 多个实际例题的证明。
从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性
分析，但一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转 角和小应变的几何非线性问题，而U.L列式除了适应于 上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、 徐变分析。可以追踪变形过程的应力变化。
求得的位移状态下，新的抗力与总外荷载之间有一差量， 即失衡力，结构必须产生相对位移以改变结构的抗力来消 除这个失衡力。
在计算中，一般通过迭代法来求解。
2.3 更新的拉格朗日列式法(U.L列式)
在建立t+t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参
照构形不是未变形状态t=0时的构形，而是最后一个已 知平衡状态，即以本增量步起始时的t时刻构形为参照 构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列 式) 。
在初始构形的体积域内进 在变形后的 t 时刻体积域内 U.L 列式必须保留各节点 保留了刚度阵中所有线性 忽略了高阶非线性项
用初始时刻各单元结构总 用变形后 t 时刻单元在结构 U.L 列式中组集载向量也 体座标系中的方向余弦形 总体座标中的方向余弦形 必须注意方向余弦的改 成转换阵，计算过程中不 成转换阵， 计算过程中不断 变 变 关系不易引入 改变 性本构关系 分析 在大应变时，非线性本构 比较容易引入大应变非线 U.L 方法更适用于砼徐变
图中有一物体，在 t=0t 时，
物体有初始构形 0A 。物体中 一点 0P 的坐标为 (0x1 ， 0x2 ， 0x ），在t=nt时，物体运动 3 有构形nA，点0 P运动到n P， 在t==nt+△t时，物体运动有 构形n+1A，点0P运动到n+1P。
2.1 变形体的运动描述(续)
变形体及其上质点的运动状态，随不同坐
1.概述(续)
现代桥梁工程的发展和跨径的增大，使得结构越来越柔，
越来越复杂，结构分析中梁柱效应、索的伸长、结构水平 位移及后期荷载的二阶影响变得不可忽略，对各种复杂结 构，建立挠度理论的平衡微分方程及其求解也越来越困难 。为此，工程界渴望出现更精确、方便的理论和方法。
六十年代初，M.J.Turner、Brotton等开始发表求解结构大
第十一章
桥梁结构几何非线性计算理论
(同济大学博士、硕士研究生课程)
肖 汝 诚
(同济大学桥梁工程系)
第十一章
桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要内容
概 述 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法
变形体的运动描述；总体拉格朗日列式法；更新的拉格朗日列式法； T.L列式与U.L列式的异同及适用范围。
桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵
的尺寸、形状变化，得 构变形后的位置上，结 的恒、活载计算问 方程，由此造成基本控 初始构形有关外，与受 分析问题。
1.概述(续)
几何非线性问题
可知，几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置
上。
事实上，任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，
才是真实意义上平衡的。
一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变。线性理论
3)用杆单元近似模拟索类构件，由索垂度引起的
单元刚度变化。
1.概述(续)
目前，有限位移理论一般用有限元方法通过计算机程序来求解。程
序的编制也应看成是非线性计算理论和方法不可分割的一部分。
七十年代未，国外相继推出了ADINA, ANSYS, MARC, NASTRAN,
ASKA, NON-SAP 等结构分析综合程序。它们可用于桥梁结构的部分 非线性计算和局部应力分析。但由于缺少许多必备的功能，它们无 法完整地完成桥梁设计计算。
巨大贡献。
1.概述(续)
挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的。 Timoshenko于1928年提出了三角级数解
Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线性
挠度理论
我国李国豪教授于 1941年提出了用于悬索桥分析的等代
梁法，将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯 矩减小系数，揭示了悬索桥受力的本质。
国内学者根据规范要求和实际情况，开发了桥梁通用程序，如同济
大学桥梁系开发的BAP系统、交通部公规院开发的QJS系统，有的已 具备非线性计算功能。
计算机的发展，使桥梁结构分析软件也得到了迅速发展，经历了从
单一化结构分析到将数据管理、用户接口、图形加工与管理、面向 对象的软件设计和可视化技术融为一体的发展过程。
将各单元切线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增 量刚度方程，即有：
0
[ K ( )] T d { } d { P }
(11－
式中：0[K()] T为结构切线刚度矩阵，可以由单元切线刚度矩 阵按常规方法进行组集形成;d{P}为荷载增量。
荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式，结构在
由于采用了U.L列式，平衡方程式(11－5)中的积分须
在t时刻单元体积内进行，且t[k]L的积分式是t[k]0的 一阶或二阶小量(此点在下一节将作进一步说明)。因 此，代表[k]L的积分式可以略去。这是U.L列式与T.L 列式的一个重要区别。最后增量形式的U.L列式平衡方 程可写成:
( [k ]0 [k ] )d{} d{ f }
位移、初应力问题的研究成果，Poskitti、Saffan等也在 此领域里作出了贡献。这些理论方法都可归入几何非线性 力学的有限位移理论。在建立以杆系结构有限位移理论为 基础的大跨径桥梁结构几何非线性分析平衡方程时，一般 考虑了三方面因素的几何非线性效应。
1.概述(续)
1)单元初内力对单元刚度矩阵的影响。 2)大位移对建立结构平衡方程的影响。
2.桥梁几何非线性分析的有限元方法
本节以杆系结构为对象，讨论拉格朗日列式的大 跨度桥梁几何非线性有限元方法。
2.1变形体的运动描述 变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形
状简称为构形，物体在问题求解开始时的构形称为初始构形，在 任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动。在下面 讨论中，字母的左上标表示构形所处时刻。
论，在考虑主缆拉力二阶影响的基础上将悬索桥的平衡方程建立 在变形后的位置上，但忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁 剪切变形的影响。
挠度理论从 1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大大
节省了工程造价，充分显示了它的优越性。
此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作出了
标选取有以下几种描述方法：
(1)物质描述：
(2)参照描述：
(3)相关描述： (4)空间描述：
2.2 总体拉格朗日列式法 (Total Lagrangian Formulation)
在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考
位形保持不变，这种列式称为总体拉格朗日列式。
对于任意应力－应变关系与几何运动方程，杆系单元
方程成为线性。
只要研究对象不能满足线性问题基本假定中任何一个时，
就转化为各种非线性问题。
表11.1给出了非线性问题的分类及基本特点
1.概述(续)
非线性问题的分类及基本特点 非线性问题 定 义 由材料的非线性应 材料非线性 力、应变关系引起基本 材料不满足虎克定 控制方程的非线性问 题。 放弃小位移假设，从几 几何运动方程为非线 何上严格分析单元体 几何非线性 到非线性的几何运动 制方程的非线性问 题。 不满足理想约束假定 接触问题 而引起的边界约束方 程的非线性问题。 柔性结构的恒载状态 性。平衡方程建立在结 确定问题，柔性结构 构刚度除了与材料及 载后的应力、位移整体 也有关。 受力后的边界条件在 求解前未知。 悬索桥主缆与鞍座的 接触状态；支架上预 应力梁张拉后的部分 落架现象。 题；桥梁结构的稳定 律。 特 点 表 11.1 桥梁工程中 的典型问题 砼徐变、收缩和弹塑 性问题。
的平衡方程可由虚功原理推导得到。
最后可表达为：
( 0 [ k ]0 0 [ k ] L 0 [ k ] ) d { } 0 [ k ]T d { } d { f }
看看推导吧！
上式就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。
2.2 总体拉格朗日列式法(续) (Total Lagrangian Formulation)
肖汝诚：桥梁结构线性、非线性综合程序系统，公路工程计算机应用
1994.4
1.概述
Oden(固体和结构非线性有限元的先驱)说过“ 我们生活在
一个非线性世界里”。
早在十九世纪未，科学家就发现:固体力学线性理论在许多
情况下并不适用，开始了对非线性力学问题的研究。
二十世纪中，科学家奠定了非线性力学的理论基础。但由于
目前，国内使用的桥梁非线性分析程序，一般都采用
U.L列式方法。
2.4 T.L列式与U.L列式的异同及适用范围(续)
T.L 列式与 U.L 列式的不同点 比较内容 计算单刚 的积分域 精度 单刚组集 成总刚 本构关系 的处理 行 与非线性项 T.L 列式 进行 U.L 列式 座标值 U.L 列式的荷载增量不能 过大 表 11－2 注意点
才得以广泛应用。
有些结构会因变形使平衡状态发生明显改变，以图11.1所
示结构为例:
1.概述(续)
A
P
B P B’ C
按线性理论求解就无法找到平衡位置，按几何非线性分析方
法求解，可以找到平衡位置B’ ， 即为B点位移的解。可见 ，受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性 方法进行分析。
桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要参考文献
李国豪，<<桥梁与结构理论研究>>, 上海科技文献出版社 1983
李国豪，<<桥梁结构稳定与振动>>，中国铁道出版社，1992
何君毅、林祥都，<<工程结构非线性问题的数值解法>>，国防工业出
版社1994
小西一郎，<<钢桥>>,戴振蕃译,中国铁道出版社 K.J.Bathe: Finite Element Procedures in Engineering
几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论
和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种
桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。
1.概述(续)
桥梁结构中的几何非线性研究
几何非线性分析理论在桥梁工程中的发展，起因于桥跨的长大化
和柔性结构的应用。
1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了几何非线性的挠度理
Analysis. Prentice-Hall Inc, 1982
K.M.Hsiao, C.M.Tsay: A Motion Process for Large Displacement
Analysis of Spatial Frames, International Journal of Space Structures, Vol.6, No.2,133-139.1991