高思数学_4年级下第十二讲分段计算的行程问题
高斯小学奥数四年级下册含答案第12讲_直线形面积计算综合提高
第十二讲直线形面积计算综合提高我们已经学过了基本直线形面积计算公式及其反求、等积变形、格点图形面积、割补法巧算面积等几何知识，本讲就是在之前学习的基础上，加强对基本公式、一些常见模型的掌握以及对画辅助线解决几何问题的过程深刻理解，并在此基础上学习勾股定理．1. 面积计算公式2. 常见模型在计算一些不规则图形的面积时，往往需要利用一些技巧把不规则图形变成规则图形来求解．常用的技巧有割补和平移，在割补和平移的同时往往需要连辅助线，画辅助线巧妙的解决问题是几何学习中的重点、也是一大难点．我们在之前学过的“等积变形”一讲中已经学习过了这一模块中的基本知识点，如下图所示：上面两个图形中，阴影部分面积都是其所在平行四边形面积的一半．一些特殊的平行四边形（如长方形、正方形）中存在这样的基本模型．AD三角形面积=底×高÷2阴影部分面积是长方形面积的一半 阴影部分面积是长方形（平行四边形）面积的一半正方形面积=对角线的平方÷2阴影部分面积是大正方形面积的一半2S ah =÷三角形 2S a =22S b =÷ 正方形 a 等腰直角三角形22=÷S a24=÷S b例题1如图，正方形ABCD 面积为20，E 是BC 上任意一点，DF 与AE 垂直．已知AE 长5，求DF 长度．「分析」已知正方形面积，我们可以计算出哪一块图形的面积呢？练习1如图，长方形ABCD 的长BC 为15，AE =6，DF =10．那么AB 长多少？例题2如图，在长方形ABCD 中，三角形ADE 的面积为20平方厘米，三角形BEF 的面积为12平方厘米．求三角形CDF 的面积． 「分析」你能找出图中哪些图形面积是长方形的一半吗？哪些与题目所给的20、12以及△CDF 有关系呢？ 练习2如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 两条边上的点．已知△AFM 面积为12，△BNF 面积为8，△CEN 面积为11．那么△DEM 的面积是多少？128 11ABCDEF MN勾股定理如右图所示的直角三角形ABC 中，∠A =90°，直角边AC 与直角边AB长度的平方和等于斜边BC 长度的平方．即：反之，若三角形三边符合上述等式，则此三角形为直角三角形，BC 为斜边． 勾股图与弦图勾股图法：如上左图，小正方形内接于大正方形中，所截得的4个全等直角三角形的边长均已标出．大正方形的面积为()2a b +，小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个全等直角三角形的面积．因此有：()22224222aba b a ab b ab c +-=++-=，所以222c a b =+． 弦图法：如上右图，将大正方形分成4个全等的直角三角形和1个小正方形，各边长均已在图中标出．小正方形的面积加上4个全等的直角三角形的面积就等于大正方形的面积．因此有：()22224222aba b a ab b ab c -+=-++=，所以222c a b =+．aabCB例题3（1）如右上图所示，直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，已知AB =5cm ，BC =12cm ，求AC 的长度．（2）如右下图所示，直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，已知BC =40cm ，AC =50cm ，求AB 的长度．「分析」直接应用勾股定理公式进行计算吧！注意：是2次方而不是乘2哦！练习3如图所示，其中AC 的长为12，BC 的长为16，BD 的长是15，那么AD 的长是多少？例题4如图，请根据所给出的条件，计算出大梯形的面积．（单位：厘米）「分析」要求梯形面积，就必须知道梯形的高，好好思考一下，能根据直角三角形的两条直角边计算出梯形的高吗？梯形的高与直角三角形有什么关系呢？ 练习4如图，请根据给出的数据，求出直角三角形的斜边上的高的长度．A B512D3 4接下来我们看两道比较复杂的题目，要解决它们，我们需要灵活应用前面所学的模型与方法，有时甚至需要我们自己画辅助线构造如上模型． 例题5如图，四边形ABCD 和AEFG 分别是长方形和正方形．已知正方形的边长是10，△DFG 的面积是18．求长方形ABCD 的面积．「分析」你能从这个复杂的图中找出基本的“一半”关系吗？ 例题6如图，四边形ABCD 各边的边长均已标在图中，其中∠A = 90°，求四边形ABCD 的面积．「分析」有90°直角，能否应用勾股定理呢？这个图中有直角三角形吗？ 课堂内外勾股定理勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰：“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五．既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五．两矩共长二十有五，是谓积矩．”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”．在公元前7至6世纪一中国学者陈子，24 C曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日．”在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”．在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．作业1.如图，ABCD是长方形，EF与宽平行，GH与长平行，AB的长是8厘米，BC的长是6厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米．？2.如图，已知平行四边形面积为60平方厘米，那么长方形面积是多少平方厘米？3.已知甲、乙从同一位置出发，甲往西走了5米，乙往南走了12米，这时甲、乙相距多少米？4. 如下图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12，BC =5，AM =AC ，BN =BC ，则MN 的长多少？5. 如图，已知大梯形的下底为35，根据图中给出的条件，请求出大梯形的面积．CBNMA第十二讲 直线形面积计算综合提高1. 例题1答案：3.2详解：正方形边长为4，面积为16；三角形ADE 面积是正方形的一半，为8．三角形面积等于2AE DF ⨯÷，所以DF 长为825 3.2⨯÷=．2. 例题2答案：32平方厘米详解：ADE BEF DEF ++面积和是长方形的一半；CDF DEF +面积和是长方形的一半；比较可得，CDF 面积恰好等于ADE 与BEF 面积和，为201232+=平方厘米． 3. 例题3答案：13厘米；30厘米详解：（1）222512AC +=，AC =13；（2）2224050AB +=，AB =30． 4. 例题4答案：60平方厘米详解：画如图虚线，原图中的直角三角形直角边分别是6、8，所以斜边是10，即梯形上底为10；梯形的高即为直角三角形的高，如图虚线，高为6810 4.8⨯÷=厘米；梯形面积为()1015 4.8260+⨯÷=平方厘米．5. 例题5答案：64详解：如图，连接DE ．首先，三角形ADE 与DFG 的面积和为正方形AEFG 的一半，等于50；其中DFG 面积为18，所以ADE 面积为32；而三角形ADE 面积为长方形ABCD 的一半，所以长方形面积为64．E6. 例题6答案：96详解：如图，连接BD ．ABD 中，BD 为10．BCD 中，三边分别为10、24、26，有222102426+=，所以BCD 为直角三角形．三角形BCD 面积为10242120⨯÷=，三角形ABD 面积为68224⨯÷=，所以ABCD 面积为1202496-=． 7. 练习1答案：4详解：三角形AED 面积为610230⨯÷=，则长方形面积为60，长为15，所以宽AB 为60154÷=.8. 练习2答案：9详解：AMF BNF MENF ++面积和是长方形的一半；DME CNE MENF ++面积和是长方形的一半；比较可得，AMF BNF +面积恰好等于DME CNE +，所以DME 面积为128119+-=平方厘米．9. 练习3答案：25 简答：2221216AB +=，AB =20；2222015AD +=，AD =25．10. 练习4答案：2.4简答：直角三角形直角边分别是3、4，所以斜边是5，高为345 2.4⨯÷=厘米．11. 作业1答案：24 简答：四个阴影三角形面积分别等于各自所在的长方形面积的一半，所以阴影部分总面积即为大长方形ABCD 的一半，为68224⨯÷=平方厘米．12. 作业2答案：60简答：长方形和平行四边形面积都等于直角三角形的两倍，所以他们面积相等．24 C13.作业3答案：13简答：甲往西走了5米，乙往南走了12米，两个人的方向垂直，所以此时两人的距离即为两条直角边长分别为5和12的直角三角形的斜边长度，等于13．14.作业4答案：4简答：AC=12，BC=5，所以斜边AB=13；AM=AC=12，所以BM=1；而BN=BC=5，所以514=-=-=．MN BN BM15.作业5答案：360简答：直角三角形两条直角边分别是15、20，根据勾股定理可得斜边（即梯形上底）为25，因此斜边上的高（即梯形的高）为20152512⨯÷=．而梯形面积为()+⨯÷=．2535122360。
四年级高思奥数之行程问题二含答案
第14讲行程问题二内容概述参与运动的某些对象自身具有长度的行程问题．涉及多个对象的行程问题，一般需要从其中两个对象入手进行分析，并把所得的结论与其他对象联系起来．1．(1)费叔叔沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走60米，迎面开过来一列长300米的火车．从火车头与费叔叔相遇到火车尾离开他共用了20秒．求火车的速度．(2)小悦沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒2米．这时从小悦背后开来一列火车，从车头追上她到车尾离开她共用了18秒．已知火车速度是每秒17米，求火车的长度．2．(1)一列火车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米的大桥，需要多长时间?(2)一列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥，共用21秒，这列火车长多少米?3．一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米．两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间?4. 甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？5．许三多所在的钢七连队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间?然后从队头返回队尾，又需要多长时间?6．甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米．坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用13秒, 问：乙车全长多少米?7．现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车．如果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车．请问：快车和慢车的车长分别是多少米?8．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米. A、B两地相距2700米．甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B 地出发去追赶乙．请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇?又过了多少分钟丙才追上乙?9．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米. 如果甲从A地，乙和丙从B地，三人同时出发相向而行．甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇．求A、B两地的距离．10．东、西两城相距75千米．小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西走，每小时行15千米．三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑，……这样往返，直到三人在途中相遇为止．请问：小辉共骑了多少千米?拓展篇1．(1)一列火车长400米，以每分钟800米的速度通过一条长2800米的隧道，需要多长时间?(2)一列火车长720米，每秒行驶15米，全车通过一个山洞用了64秒．这个山洞长多少米?2．一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．你知道火车有多长吗?它的速度是多少?3．有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米．试问：如果两车相向而行，它们从相遇到错开需要多长时间?如果两车同向而行，客车赶超货车(从追上到完全超过)需要多长时间?4．一列客车和一列货车同向而行，货车在前，客车在后．已知客车通过460米长的隧道用30秒，通过410米长的隧道用28秒．又已知货车长160米，每小时行驶54千米．请问：客车从追上到离开这列货车需要多少秒?5．与铁路平行的一条小路上，有一个行人与一个骑车人同时向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米．这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟．请问：这列火车的车身总长是多少米?6．人大附小组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒2米，宋老师以每秒4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟．请问：队伍的总长是多少米?7．阿奇在一条与铁路平行的小路上行走，有一列客车迎面开来，40秒后经过阿奇. 如果这列客车从阿奇的背后开来，60秒后经过阿奇．试问：如果阿奇站着不动，客车多长时间可以经过阿奇?8．一列货车和一列客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小明在客车内沿着客车前进的方向向前走，小明发现货车用140秒就超过了他．已知小明在客车内行走的速度为每秒l米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米．求货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．9．甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少?10．甲、乙两人同时从A地出发向B地前进，甲骑车，乙步行．与此同时，丙从B地出发向A地前进．甲骑9千米后与丙相遇，而乙走6千米后就与丙相遇．如果甲骑车的速度是乙步行速度的3倍，求A、B两地的距离．11．甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍．现在甲从A地向B地行进，乙、丙两人从B地向A地行进．三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又重新改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：三人之中谁最先到达目的地?谁最后到达目的地?12．A、B两城相距56千米，甲、乙、丙三人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进．甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点?超越篇1．米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8：00货车追上了米老鼠，又过了30秒，货车超过了它；’另有一列客车迎面驶来，9：30客车和米老鼠相遇，又过了12秒客车离开了它．如果客车的长度是货车的2倍，客车的速度是货车的3倍．请问：客车和货车什么时间相遇?两车错车需要多长时间?2．货车和客车相向而行，两车在A点迎面相遇，在B点错开，A点和B两点之间的距离为150米．已知客车的长度为450米，速度为每小时108公里，货车的速度为每小时72公里．如果货车比客车长，那么货车的长度是多少?3．铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去．14时10分追上向北行走的一位工人，15秒后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生．请问：工人与学生将在何时相遇?4．A、B两地相距120千米，甲、乙两人分别骑车从A、B两地同时相向出发，甲速度为每小时50千米，出发后1小时30分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇6分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在c地追上乙．若甲以每小时44千米的速度，乙以每小时比原速度快6千米的车速，两人同时分别从A、B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少?5．快、中、慢三辆车同时从甲地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，求慢车每小时行多少千米．6．快、中、慢三辆车同时从甲地出发开往乙地，与此同时冬冬以每分钟100米的速度沿公路走向甲地．已知快车出发30分钟后在途中遇上冬冬，中车出发35分钟后遇上冬冬．三辆车到达乙地的时候分别用了100分钟、120分钟、150分钟．请问：慢车出发多长时间后可以遇上冬冬?7. 铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人早上同时从A城出发向南前进，行人速度为每小时7．2千米，骑车人速度为每小时18千米．途中，有一列火车从他们背后开过来，9点10分恰好追上行人，而且从行人身边通过用了20秒钟；9点18分恰好追上骑车人，从骑车人身边通过用26秒钟．请问：这列火车的车身总长是多少米?行人与骑车人早上何时从A城出发?他们出发时，火车头离A城还有多少千米?8. 铁路货运调度站有A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车，它们的车长正好构成一个等差数列，其中乙车的车长居中. 最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着B信号灯的方向，乙车的车尾则位于B信号灯处，车头则冲着A的方向. 现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇. 再过15秒，甲车恰好完全超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开. 请问：甲、乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？第14讲行程问题二内容概述参与运动的某些对象自身具有长度的行程问题．涉及多个对象的行程问题，一般需要从其中两个对象入手进行分析，并把所得的结论与其他对象联系起来．1．(1)费叔叔沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走60米，迎面开过来一列长300米的火车．从火车头与费叔叔相遇到火车尾离开他共用了20秒．求火车的速度．(2)小悦沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒2米．这时从小悦背后开来一列火车，从车头追上她到车尾离开她共用了18秒．已知火车速度是每秒17米，求火车的长度．答案：14米/秒270米解析：（1）相遇问题，60米/分=1米/秒300−20=15 15-1=14（2）追击问题，（17-2）⨯18=270米2．(1)一列火车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米的大桥，需要多长时间?(2)一列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥，共用21秒，这列火车长多少米?答案：25秒220米解析：（1）火车过桥（320+180）−20=25秒（2）20⨯21-200=220米3．一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米．两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间?答案：10秒解析：火车相遇，路程为两车路程之和（180+200）÷（20+18）=10秒4. 甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？答案：120秒解析：火车追击，路程为两车路程之和（370+350）÷（21-15）=120秒5．许三多所在的钢七连队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间?然后从队头返回队尾，又需要多长时间?答案：300秒100秒解析：队尾到对头是追击问题450÷（3-1.5）=300秒对头到队尾是相遇问题450÷（3+1.5）=100秒6．甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米．坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用13秒, 问：乙车全长多少米?答案：390米解析：相遇问题，从相遇到离开单位不统一60+48=108千米每时=30千米每秒30⨯13=390米7．现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车．如果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车．请问：快车和慢车的车长分别是多少米?答案：快96米慢72米解析：齐头并进多走的是一个快车的车长（18-10）⨯12=96米车尾对齐多走的是一个慢车的车长（18-10）⨯9=72米8．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米. A、B两地相距2700米．甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B 地出发去追赶乙．请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇?又过了多少分钟丙才追上乙?答案：6分钟54分钟解析：甲乙相遇时2700÷（40+50）=30分钟这时丙走了15分钟走了15⨯60=900米乙走了50⨯30=1500米，甲丙相距1500-900=600米600÷（40+60）=6分钟（600+50⨯6-60⨯6）÷（60-50）=54分钟9．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米. 如果甲从A地，乙和丙从B地，三人同时出发相向而行．甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇．求A、B两地的距离．答案：16500米解析：甲丙相遇的路程是乙比丙多走的路程（60+40）⨯15=1500米1500÷（50-40）=150分钟150⨯（60+50）=16500米10．东、西两城相距75千米．小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西走，每小时行15千米．三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑，……这样往返，直到三人在途中相遇为止．请问：小辉共骑了多少千米?答案：90千米解析：小辉行走的时间和两人从出发到相遇的时间是一样的75÷（6.5+6）=6小时6⨯15=90千米拓展篇1．(1)一列火车长400米，以每分钟800米的速度通过一条长2800米的隧道，需要多长时间?(2)一列火车长720米，每秒行驶15米，全车通过一个山洞用了64秒．这个山洞长多少米?答案：4分钟240米解析：（1）火车过桥（2800+400）÷800=4分钟（2）15⨯64-720=240米2．一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．你知道火车有多长吗?它的速度是多少?答案：200米10米/秒解析：从火车车头上桥，到车尾离开桥所走路程是：车长+桥长火车完全在桥上所走路程是：桥长-2个车长所以行走一个车长的距离用（120-80）÷2=20秒行走桥长用的时间是120-20=100秒1000÷100=10米/秒车长为200米3．有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米．试问：如果两车相向而行，它们从相遇到错开需要多长时间?如果两车同向而行，客车赶超货车(从追上到完全超过)需要多长时间?答案：40秒120秒解析：（800+400）÷（20+10）=40秒（800+400）÷（20-10）=120秒4．一列客车和一列货车同向而行，货车在前，客车在后．已知客车通过460米长的隧道用30秒，通过410米长的隧道用28秒．又已知货车长160米，每小时行驶54千米．请问：客车从追上到离开这列货车需要多少秒?答案：45秒解析：通过隧道走的路程都是：车长+桥长460-410=50 30-28=2 速度为50÷2=25米每秒车长为：25⨯30-460=290米54千米每时=15米每秒（290+160）÷（25-15）=45秒5．与铁路平行的一条小路上，有一个行人与一个骑车人同时向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米．这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟．请问：这列火车的车身总长是多少米?答案：286米解析：3.6千米每时=1米每秒10.8千米每时=3米每秒（26⨯3-22）÷（26-22）=14 22⨯（14-1）=286米6．人大附小组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒2米，宋老师以每秒4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟．请问：队伍的总长是多少米?答案：540米解析：两次跑的路程是一样的，两次速度分别为2米每秒6米每秒所以去的时候的时间是回来时的三倍6分钟=360秒360÷4⨯6=540米7．阿奇在一条与铁路平行的小路上行走，有一列客车迎面开来，40秒后经过阿奇. 如果这列客车从阿奇的背后开来，60秒后经过阿奇．试问：如果阿奇站着不动，客车多长时间可以经过阿奇?答案：48秒解析：迎面开来是路程和速度和背后开来是路程差速度差40（车速+人速）=60（车速-人速）车速=5人速路程为240人速240÷5=488．一列货车和一列客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小明在客车内沿着客车前进的方向向前走，小明发现货车用140秒就超过了他．已知小明在客车内行走的速度为每秒l米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米．求货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．答案：210秒解析：小明发现货车用140秒就超过了他，所走路程为货车车长280÷140=2米每秒货车速度为2+20+1=23米每秒（350+280）÷（23-20）=210秒9．甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少?答案：32千米每时解析：从甲车和卡车相遇开始计时，乙车和卡车相遇用了一个小时路程和为甲乙两车行走6小时的路程差（52-40）6=72千米72÷1=72千米每时72-40=32千米每时10．甲、乙两人同时从A地出发向B地前进，甲骑车，乙步行．与此同时，丙从B地出发向A地前进．甲骑9千米后与丙相遇，而乙走6千米后就与丙相遇．如果甲骑车的速度是乙步行速度的3倍，求A、B两地的距离．答案：12千米解析：从甲丙相遇时开始计时，再过一段时间乙丙相遇甲的速度是乙速度的三倍所以相同时间内甲走的路程是乙路程的三倍当甲走9千米时乙走3千米所以乙丙速度相同所以甲走9千米时丙走3千米路程为12千米11．甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍．现在甲从A地向B地行进，乙、丙两人从B地向A地行进．三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又重新改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：三人之中谁最先到达目的地?谁最后到达目的地?答案：丙最先到达，甲最后到达解析：画线段图总路程为四份，丙两份时间到达，甲四份时间到达乙不到四份时间12．A、B两城相距56千米，甲、乙、丙三人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进．甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点?答案：7小时解析：由分析知乙正好在甲丙中点上时一定是甲丙相遇后的时间，相同时间内，甲走6份路程，乙走5份路程，丙走4份路程甲乙相差1份所以乙丙也相差一份根据容斥原理知道这一份为9份-56=1份所以一份路程为7 时间为7小时超越篇1．米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8：00货车追上了米老鼠，又过了30秒，货车超过了它；’另有一列客车迎面驶来，9：30客车和米老鼠相遇，又过了12秒客车离开了它．如果客车的长度是货车的2倍，客车的速度是货车的3倍．请问：客车和货车什么时间相遇?两车错车需要多长时间?答案：9:15 15秒米代表米老鼠客代表客车货代表货车解析：在速度上：30（货-米）=12（客+米）÷2 客=3货客=9米货=3米货车长度30（货-米）=30（3米-米）=60米客车车上12（客+米）=120米9:30相遇时米老鼠走了一份路程客车走了9份路程两人共走了10份路程走1:30时米老鼠路程为90米客车路程为810米货车路程为270米全程为900米900÷（270÷90+810÷90）=75分钟 8:00+00:75=9:15分（60+120）÷（9+3）=15秒2．货车和客车相向而行，两车在A 点迎面相遇，在B 点错开，A 点和B 两点之间的距离为150米．已知客车的长度为450米，速度为每小时108公里，货车的速度为每小时72公里．如果货车比客车长，那么货车的长度是多少?答案：550米解析：108公里每时=30米每秒 72公里每时=20米每秒从相遇到错开客车走的路程为 150+450=600 600÷30=20秒20（30+20）-450=550米3．铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去．14时10分追上向北行走的一位工人，15秒后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生．请问：工人与学生将在何时相遇?答案：14时40分解析：碰到工人是追击问题 30÷3.6-110÷15=1米每秒=60米每分碰到学生是相遇问题 110÷12-30÷3.6=65米每秒=50米每分 火车速度为30千米每时=500米每分工人与学生的时间为6（500-60）÷（50+60）=24分钟14时16份+24分=14时40分4．A 、B 两地相距120千米，甲、乙两人分别骑车从A 、B 两地同时相向出发，甲速度为每小时50千米，出发后1小时30分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇6分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在c 地追上乙．若甲以每小时44千米的速度，乙以每小时比原速度快6千米的车速，两人同时分别从A 、B 出发相向而行，则甲、乙二人在C 点相遇，问丙的车速是多少?答案：70千米每时解析：第一次相遇可以求出乙的速度为 30千米每时 再过6分钟甲共走了80千米 第二次甲乙两人相遇时间为 120÷（44+36）=1.5时C 距离A 地66千米 追上乙，丙走了80-66=14千米 乙走了14-8=6千米 14÷（6÷30）=70千米每时5．快、中、慢三辆车同时从甲地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，求慢车每小时行多少千米． 答案：18.4千米每时解析：每次都是速度差，路程差都一样是开始时距离骑车人的距离求出骑车人速度为16千米每时，路程差为0.8千米 慢车速度为18.4千米每时6．快、中、慢三辆车同时从甲地出发开往乙地，与此同时冬冬以每分钟100米的速度沿公路走向甲地．已知快车出发30分钟后在途中遇上冬冬，中车出发35分钟后遇上冬冬．三辆车到达乙地的时候分别用了100分钟、120分钟、150分钟．请问：慢车出发多长时间后可以遇上冬冬?答案：42分钟解析：与上题类似，求出刚开始距离东东的距离即可。
奥数四年级行程问题
第三部分行程问题第一讲行程基础【专题知识点概述】行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。
行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。
行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度⨯时间，时间=距离÷速度，速度=距离÷时间。
在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。
掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。
在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。
一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度×时间=路程可简记为：s = vt（2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v（3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度=总路程÷总时间；总时间=总路程÷平均速度；总路程=平均速度⨯总时间。
【重点难点解析】1.行程三要素之间的关系2．平均速度的概念3．注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】1.注意观察运动过程中的不变量【习题精讲】【例1】（难度等级※）邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。
他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。
①邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。
高思数学_4年级下第十二讲分段计算的行程问题
行程问题主要有三组共9个基本公式，它们分别是：（1），，；（2），，；（3），，．对于运动过程较为复杂的行程问题，不仅要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间，还要学会分段、比较、从整体考虑等各种辅助手段．分析 要是能求出甲、乙两人的速度就好办了，你能求出他们的速度吗？练习1.甲车每小时行 40千米，乙车每小时行 60千米．甲车从 A 地、乙车从B 地同时出发相向而行，两车相遇后9小时，甲车到达B 地．请问A 、B 两地相距多少千米？分段比较，主要在速度相同、时间相同或路程相同的前提下进行，因而按时间流程来画线段图是非常重要的！有时候，我们还给相同时间点标上相同的记号，使线段图更加一目了然．分析 本题中甲、乙两人的行程过程较为复杂，不画出线段图实在很难想清楚．画出线段图，并注意在图中标出甲出发的时刻、乙出发的时刻、甲到达A 地的时刻、乙到达A 地的时刻．大家自己把已知条件在图中标出来，看看有什么发现． 5分钟后与乙相遇，这时乙距离甲出发A 地，此时甲距离起点ķ˖ ѻ ԅ ĸ˖ ѻ ԅĹ˖ ӾӒA ԙԅĺ˖ ӾӒA ԙԅ练习2.甲、乙分别从 A 、B 两地出发相向而行，甲比乙早出发10分钟，甲每分钟走 60米，乙每分钟走90米．两人相遇后，甲再走12分钟到B 地．请问A 、B 两地相距多少米？在路程、速度与时间这行程三要素中，有时我们只知道其中的一个量，这时我们就可以通过设份数来解决．此外，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的反倍数关系：时间长的速度慢，时间短的速度快．因此我们要仔细分析在同一段时间或者同一段路程中，不同运动对象的运动过程． 分析 大家试着自己画出线段图，并把关键时刻标注在线段图中，看看能不能算出自行车队12分钟经过的路程？能不能找到相同时间内，自行车队与摩托车经过的路程之间有什么关系？练习3.肖马虎步行去上学，从家出发5分钟后爸爸发现他没带文具盒，于是骑摩托车去追，在距离家600米的地方追上了他．肖马虎拿着文具盒继续向学校走去，爸爸返回家后发现他作业也没带，于是带上作业又骑摩托车去追，刚好在学校门口追上了他．已知家到学校门口的距离为1000米，请问肖马虎每分钟走多少米？距出发点发点后通信员又马上掉头去追自行车队，再次追上时恰好离出发点自行车队每分钟行多少千米？摩托车每分钟行多少千米？分析 大家先画出线段图，想想兔子睡觉的过程该怎么画．有时候逆向思维会带来意想不到的效果．我们可以不去考虑兔子睡觉的过程，而考虑兔子没睡觉时兔子和乌龟各跑了多远．练习4.乌龟与蜗牛进行100米赛跑，乌龟的速度是蜗牛的10倍．当它们从起点一起出发后，蜗牛不停地爬，乌龟爬到某一地点开始睡觉．乌龟醒来时发现蜗牛已经领先它20米，于是奋起直追．当蜗牛到达终点时，乌龟仍落后10米．请问：乌龟睡觉期间，蜗牛爬了多少米？ 龟兔赛跑 第一次比赛：兔子中途睡觉，结果乌龟赢了．第二次比赛：兔子不服气，要再赛一次，乌龟也答应了．枪声一响，兔子拼命往前跑．只差一步到终点时，兔子想回头看乌龟到哪了，它刚转过身，就听到乌龟在它后面笑着说：“老弟，我在这呐，你又输了．”因为，枪声一响，乌龟就一口咬住了兔子的尾巴．第三次比赛：兔子更不服气，还要再赛一次，乌龟同样答应了．枪声一响，兔子拼命往前跑，当它冲过终点时，发现乌龟已在终点等它了，原来乌龟这次叫了计程车．第四次比赛：兔子找到乌龟要再比一次，乌龟说：“好呀，地点我来定．”兔子快到终点时傻眼了，原来终点设在河心的小岛上，它实在没办法上去．第五次比赛：兔子找乌龟雪耻，乌龟说：“线路我选．”兔子说：“可以，但全要选山路．”乌龟说：“没问题，三天后比，全程跑完七座山．”比赛那天，兔子每跑到半山腰，都听见乌龟在山顶上喊：“兔子加油，我就在你前面．”兔子拼尽全力满怀希望跑到第七座山的山腰，还是那个声音“兔子加油，我就在你前面．”原来乌龟找了7个同伴来帮忙了．倍．当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉．兔子醒来时发现乌龟已经领先它终点时，兔子仍落后分析 我们既不知道两车速度的关系，也不知道有关的路程，只知道时间．所以应该搞清楚在每个时间阶段内，甲、乙各自的路程与速度之间的关系．我们知道，当路程一定时，速度的倍数关系与时间的倍数关系恰好相反．你能求出两车速度的倍数关系吗？练习5.甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，18小时后在C 地相遇．相遇后，两车并不停顿，继续前进．甲车在相遇后继续行驶12小时到达B 地．请问甲车到达B 地后乙车还要再开几小时才能到达A 地？时后在行驶经过每天早上7:30司机开车原速返回王经理家．一天早上，王经理想要锻炼一下，因此中途下车走到公司，结果理步行速度的多少倍？如果第二天，王经理仍然中途下车，但是下车地点比前一天距离公司要近一些，题本一、行程问题中的三个基本倍数关系： 1.当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；2.当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；3.当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的反倍数关系．二、按时间流程画线段图的方法．画线段图在求解行程问题中是至关重要的，画好线段图，能使题目条件一目了然，对解题颇有益处．三、分段与比较的想法．主要依据行程问题的三个基本倍数关系，来得到不同行程过程之间的关系．当按时间流程画出线段图后：1.同一个人的不同过程之间，速度相同，可以得到路程与时间之间的关系；2.两个时刻之间所经过的时间相同，可以得到不同对象之间路程与速度的关系；3.长度相同的线段，路程相同，可以得到速度与时间之间的关系．作业1.甲、乙同时从A、B两地出发相向而行．甲每小时走5千米，两人相遇后，乙再走50千米到A地，甲再走8小时到B地．请问乙每小时走多少千米？2.甲、乙两人从同一个地点出发同向而行，甲比乙先出发．甲走了2400米到达A地时，乙落后甲600米．又过了5分钟乙到达A地，此时乙还落后甲500米．请问乙比甲晚出发多少分钟？3.下午3点，小强放学了，从学校开始向家走．同时小强家的宠物狗大壮从家出发，迎接小强．小强与大壮在距离小强家2000米的地方相遇，相遇后大壮立即调头向家跑，跑到家之后再返回迎接小强，在距离小强家500米的地方再次与小强相遇．请问小强家到学校的距离为多少米？4.小高和小娅比赛骑自行车，赛程是2000米．小高骑自行车的速度是小娅的2倍，小娅从出发点很顺利行驶到达终点．而小高的车在中途爆胎了，小高停下来花了些时间换上备用轮胎．换完后，小娅已经骑到他前面200米处．于是小高奋起直追，终于在距离终点200米处追上了小娅，最终赢得了比赛的胜利．那么小高换轮胎期间，小娅骑了多远？如果小高换轮胎花了5分钟，那么小高每分钟骑多少米？5.快羊羊和慢羊羊分别从绵羊村的村东头和村西头同时出发，相向而行，30分钟后它们在途中某地相遇．相遇后两只羊并不停留，继续按原来方向前行，快羊羊又走了10分钟到达村西头．这时，快羊羊马上返回追慢羊羊，请问它追上慢羊羊还需要多少分钟？。
四年级下_行程问题(一)
华数思维训练导引四年级下行程问题（一）1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。
问他走后一半路程用了多少分钟？分析：解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟解法2：设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40分钟因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟答：他走后一半路程用了42.5分钟。
2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。
小明上学走两条路所用的时间一样多。
已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：解法1：设路程为180，则上坡和下坡均是90。
设走平路的速度是2，则下坡速度是3。
走下坡用时间90/3=30，走平路一共用时间180/2=90，所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。
解法2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75解法3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75答：上坡的速度是平路的0.75倍。
3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。
华数思维训练导引四年级下行程问题(二)
华数思维训练导引四年级下行程问题（二）1、某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。
一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？分析：从排尾到排头用的时间是450/（3-1.5）=300秒，从排头回排尾用的时间是450/（3+1.5）=100秒，一共用了300+100=400秒答：需要400秒。
2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米。
这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。
这列火车的车身总长是多少米？分析：设火车速度是每秒X米。
行人速度是每秒3.6*1000/60*60=1（米），骑车人速度是每秒1.8*1000/60*60=3（米）根据已知条件列方程：（X-1）*22=（X-3）*26，解得：X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米）分析２，骑车人速度是行人速度的10。
8/3。
6=3倍，22秒时火车通过行人（设行人这22秒所走的路程为1），车尾距骑车人还有2倍行人22秒所走的路程，即距离2；26秒（即又过4秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11，火车行2+6/11=28/11，火车与骑车人的速度比为28/11：6/11=14：3；火车速度=14*10.8/3=504千米/小时；火车车长=（50400-3600）*22/3600=286米。
答：这列火车的车身总长是286米。
3、一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。
已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。
求列车与华车从相遇到离开所用的时间。
分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，车身长=20*23-210=250米客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）答：客车与火车从相遇到离开的时间是190秒。
完整版)四年级数学行程问题
完整版)四年级数学行程问题四年级数学：行程问题1、强强用10秒跑完100米，旗鱼每小时能游120千米，哪个速度更快？2、XXX慢跑12分钟跑了3000米，慢跑米需要多少分钟？如果他每天以这个速度跑10分钟，一个月跑了多少千米？3、A、B两城相距240千米，汽车原计划用6小时从A城到B城，汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生故障，在途中停留了1小时，如果要按照原定的时间到达B城，汽车在后一半行程上每小时应该行驶多少千米？4、甲乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行300千米，乙每小时飞行340千米，4小时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用2小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？5、XXX一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶45千米，实际上由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶30千米，晚到两小时，XXX一家在路上实际花了几个小时？6、甲从A地出发去B地办事情，下午1点出发，晚上7点准时到达，如果他想下午两点出发，晚上7点准时到达，每小时就必须多行2千米，求AB两地之间的距离。
7、XXX家离学校1000米，平时他步行25分钟后准时到校。
有一天他晚出发10分钟，为避免迟到，XXX先乘公共汽车，然后步行，结果仍然准时到校，已知公共汽车的速度是XXX步行速度的6倍，XXX这天上学步行了多少米？8、甲乙两人分别从AB两地同时出发，6小时后相遇在中点，如果甲延迟1小时出发，乙每小时少走4千米，两人仍在中点相遇，甲乙两地相距多少千米？二、基本相遇问题：1、A、B两地相距4800米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，甲从A走到B需要多长时间？两人从出发地到相遇需要多长时间？2、在第4题中，如果甲乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两人同时同向出发，乙出发后多久可以追上甲？3、甲乙两地相距350千米，A车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地。
四年级下册数学讲义奥数导引24行程问题一全国通用
一、 基本公式与常用单位1、基本量与符号说明：速度——v ；时间——t ；路程——s ．2、基本公式：路程＝速度×时间（s vt =）；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间．3、相遇问题：路程和＝速度和×相遇时间．4、追及问题：路程差＝速度差×追及时间．5、常用单位：m （米）、km （千米、公里）、s （秒）、min （分）、h （时）、/m s （米/秒）、/km h （千米/时）（注：1/ 3.6/m s km h =）二、 其它说明（1）对于a b c ×=类型的公式，当知道其中两个量时，通常要主动求出第三个量．此外，若1a 与2a 、1b 与2b 、1c 与2c 中有两组的倍数关系已知，则可求出第三组的倍数关系．（2）画图是行程问题最重要的分析手段，要做到专人专线，必要时可在图中标清时刻． （3）注意比较，包括单人在不同时段间的比较、两人在相同时段内的比较、单人在不同方案间的比较等．（4）若题中只知道速度、时间、路程中的某一种，可考虑用设数法．（5）建议在过程中多用含下标的字母（如1v 、t 甲等），单位也多用字母少写汉字．第12讲 行程问题一知识点【例1】 萱萱、小高骑车从甲地同时出发，同向而行．萱萱的速度比小高的速度每小时快4千米，因此萱萱比小高早20分钟通过途中的乙地．当小高到达乙地时，萱萱又前进了8千米．求甲、乙两地之间的距离．【例2】 甲、乙两人分别从A ，B 两地同时出发，6小时后相遇在中点．如果甲延迟1小时出发，乙每小时少走4千米，两人仍在中点相遇．请问：甲、乙两地相距多少千米？【例3】 小高平时每天上学都是先步行10分钟后再跑步2分钟．某天他步行6分钟后就开始跑步，结果比平时早到了2分钟．请问：小高跑步的速度是步行速度的几倍？超越篇题目【例4】墨莫家离学校1000米，平时他步行25分钟后准时到校．有一天他晚出发10分钟，为避免迟到，墨莫先乘公共汽车，然后步行，结果仍然准时到校．已知公共汽车的速度是墨莫步行速度的6倍，请问：墨莫这天上学步行了多少米？【例5】甲、乙两车分别从A，B两站同时出发，相向而行．已知：甲车速度是乙车的2倍，甲、乙到达途中C站的时刻依次为5:00和17:00．问：两车是在几点相遇的？【例6】甲、乙两人分别由A，B两地同时出发．如果相向而行，1小时后两人相遇；如果同向而行，且乙先出发2小时，那么甲3小时后追上乙．请问：甲的速度是乙的几倍？【例7】 如下图所示，一条笔直的公路上有16个车站1A ，2A ，3A ， ，16A ，已知相邻两站之间的距离都相等，有一天，甲、乙、丙三人都要从第1站去第16站．甲先出发，当甲到达第2站时，乙出发．当乙到达第3站时丙出发．如果丙在第4站追上乙，甲和丙同时到达第16站，那么甲的速度是乙的速度的几倍？【例8】 甲、乙两人分别从相距24千米的A ，B 两地同时出发同向而行，一段时间后甲在C 点追上乙．如果甲每小时多走1千米，而乙每小时少走1千米，则甲追上乙的时间会少用2小时，且追上的地点与C 点相距12千米．试问：如果甲、乙两人以原速分别从A ，B 两地同时出发相向而行，需要几个小时相遇？【习题1】甲、乙两车同时从A 城市出发驶向距离300千米远的B 城市．已知甲车比乙车晚出发1个小时，但提前1个小时到达B 城市．那么，甲车在距离B 城市多少千米处追上乙车？【习题2】有一条直线上依次排列着A 、B 、C 、D 四个村庄，AB 、CD 分别长20千米与40千米．某天早上甲、乙分别从A 、B 同时开车匀速去D ，在C 地甲追上乙；如果甲、乙每小时都提速20千米，甲刚好在D 追上乙；如果甲速减少5千米/时，而乙速不变，甲也刚好在D 追上乙，求B 、C 之间的距离是多少千米？补充题目【习题3】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C地．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地D距C地10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地E距C地5千米，问甲原来的速度是每小时多少千米？【习题4】材料阅读题：已知光速为300000000/m s，而光年是一个长度单位，表示光在一年中移动的距离．宇宙中有A、B两个星球，相距3光年．小王与小温分别从A、B同时出发，开飞船相向而行，速度分别为2400000/minkm．那么多长km与2100000/min 时间后两飞船相遇？（每年按365天计算，答案请选择恰当的时间单位）。
四年级高思奥数之行程问题三含答案
四年级高思奥数之行程问题三含答案第18讲行程问题三内容概述运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律.典型问题兴趣篇1．莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校．如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米?2．小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟．求小燕往返都骑车所需的时间．3．一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到小悦家后才发现小悦已经走了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行260米．当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了? 4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点时培英学校派车去电视机厂接劳模来校作报告，往返需用1小时．实际上这位劳模在下午l点便提前离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，劳模便立刻上车去往学校，并在下午2点40分到达问：汽车行驶速度是劳模步行速度的几倍?5．快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过4小时在途中相遇．相遇后两车继续向前行驶．慢车到达甲地后停留1小时再返回乙地．快车到达乙地后停留2.5小时再返回甲地．已知慢车从乙地到甲地用了12小时，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多长时间?6．甲、乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇?(2)第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次相遇?(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?7．甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇?(2)第一次迎面相遇后又经过多长时问甲、乙两车第二次迎面相遇?(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次迎面相遇?8．A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行．在距甲站50千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进(保持原速)各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回．在距乙站30千米处两车第二次迎面相遇．问：甲、乙两站相距多远?若两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇?9．A、B两辆汽车同时从甲地出发，在甲、乙两地间不断往返行驶．第一次迎面相遇距离甲地40公里，第二次迎面相遇距离乙地10公里．求甲、乙两地之间的距离．10．A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米．请问：(1)如果小明从A地坐电车去B地，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来?(2)如果小明从B地步行走向A地，每小时行5千米，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来?每隔多长时间会有一辆电车从后面超过他?拓展篇1. 甲、乙两人从同一个地点出发同向而行，甲比乙先出发．甲出发6分钟到达A地．此时乙距离起点150米．又过了3分钟乙到达A地，此时甲距离起点900米．问：乙比甲晚出发多长时间?2．自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队．然后通信员立即返回出发点；到达出发点后通信员又马上掉头去追自行车队，再次追上时恰好离出发点18千米．自行车队每分钟行多少千米?摩托车每分钟行多少千米?3．乌龟与兔子进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍．当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉．兔子醒来时发现乌龟已经领先它5000米，于是奋起直追．当乌龟到达终点时，兔子仍落后100米．请问：兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米?4. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，12小时后在C地相遇．相遇后，两车并不停顿，继续前进．甲车在相遇后继续行驶4小时到达B地，然后立即掉头以相同的速度返回A地．请问：(1)当甲车再次到达C地的时候，乙车还要再开几小时才能到达A 地?(2)如果甲车从B地返回的时候不是原速返回，而是变慢了．而且当它经过C地的时候，乙车正好到达A地．甲车返回的速度是原来速度的多少倍?5．某科研单位每天派汽车早8点准时到工程师家接他上班．但今天早晨，工程师临时决定提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位．步行途中遇到了前来接他的汽车，他马上上车赶到单位，结果发现比平时早到了30分钟，问：工程师上车时是几点几分?6．甲、乙两车分别从相距900千米的A，B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：(1)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?(2)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?(3)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?7．甲、乙两车同时从A地出发，在相距900千米的A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：(1)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?(2)甲车在第一次从后面追上乙车之后又经过多长时间第二次从后面追上乙车?(3)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?8．A、B两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，并在两地间不断往返行驶．两车在距离甲地40公里处第一次迎面相遇，在距离甲地10公里处第二次迎面相遇．求甲、乙两地之问的距离．9．甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行走．当甲走了3个来回的时候，乙恰好走了5个来回．在甲、乙两人行进的过程中，两人一共相遇了多少次?(迎面碰到和追上都算相遇)10．小明和小刚的速度分别为每分钟90米和每分钟70米．早上8：00他们分别从A、B两站同时出发，相向而行，第一次相遇后两人继续前进，分别到达B、A后返回并在途中第二次相遇．第二次相遇地点距离A、B两站的中点450米．从两人同时出发到第二次相遇总共经历了多少分钟?A、B两站的距离为多少米?他们第一次相遇是几点几分?11.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇(两车同时到达同一地点即称为相遇)的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米．请问：两地之间的距离是多少千米?12．某人从甲地走往乙地．甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且两地发车的间隔都相等．他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆去乙地的公共汽车．问：公共汽车每隔多少分钟从各自的始发站发车?超越篇1．每天早上7：30王经理都从家出发，由司机开车前往公司，8：00准时到达．然后司机开车原速返回王经理家．一天早上，王经理想要锻炼一下，因此中途下车走到公司，结果9：00才到．而司机8：10就已经回到王经理家中．请问：车速是王经理步行速度的多少倍?如果第二天，王经理仍然中途下车，但是下车地点比前一天距离公司要近一些，结果8：30就赶到了公司．司机回到王经理家应该是几点几分?2．一辆大轿车与一辆小轿车从甲地驶往乙地．大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍．已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停留了5分钟，然后继续驶往乙地；小轿车出发后中途没有停留，直接驶往乙地．最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地．已知大轿车是上午10点从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间．3．A、B两地间相距950米．甲、乙两人同时由A地出发，并在A、B两地间往返行进．共行讲了40分钟．甲步行速度是每分钟40米，乙跑步速度是每分钟150米．那么甲、乙两人第几次迎面相遇时距B 地最近，距离是多少米?4．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间不断地往返行驶．甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米．已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米．问：A、B间的路程是多少千米?5．小明家在颐和园．如果他骑车到人大附中，每隔3分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果他步行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来．已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍．请问：如果小明坐332路汽车到人大附中，每隔多少分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来?6．甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行进．当甲第3次到达B地的时候，乙恰好第5次回到了B地．请问：在甲、乙两人在行进的过程中，一共相遇了多少次?(迎面碰到和追上都算相遇)7．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行．甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车．问：电车总站每隔多少分钟开出一辆电车?8．A、B两地相距22.4千米．有一支游行队伍从A地出发，向B 地匀速前进；当游行队伍队尾离开A地时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发．乙向A地步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，……，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时．甲恰好第一次到达B地，求此时乙离A地的距离．第18讲行程问题三内容概述运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律.典型问题兴趣篇1．莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校．如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米?答案：159详解：视从家到学校的路程为一个全程，由题意知道莎莎到校，再返回家，再到学校，一共走了三个全程，在同样时间内莉莉走了一个全程，即莎莎速度是莉莉的三倍53×3=1592．小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟．求小燕往返都骑车所需的时间．答案：30分钟详解：视从家到学校的路程为一个全程，往返情况：骑车+步行=50步行+步行=70得知一个全程骑车比步行多用20分钟70－2×20=30分钟3．一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到小悦家后才发现小悦已经走了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行260米．当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了?答案：差4分钟详解：表哥从自己家到小悦家的时间是4000/260=200/13分，在这段时间小悦行走了4000/260×60=12000/13米同时这个距离也是表哥要返回去追小悦时两个人之间的路程差，路程差÷速度差=追及时间，所以追及时间是4000/260×60/（260-60）=60/13分；追上小悦时距离小悦家的路程为60/13×260=1200米，这时距离表哥家还有4000－1200=2800米，走这2800米的速度为175米/分所以用的时间是2800÷175=16分，因此本题所用总时间分三部分从表哥家到小悦家的时间200/13，追及时间60/13，回去时间16，共200/13+60/13+16=36分钟20+36=56分。
高思奥数导引小学四年级含详解答案第12讲 复杂竖式
第12讲 复杂竖式兴趣篇1、图是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。
请把竖式用数字表示出 来。
2、在图中的各个方框内填入恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的5个数字从上向下看，恰好是图 中顺时针次序的连续5个数字，十位上的5个数字也有这样的性质。
请问：竖式中计算的结果是多少？＋80123456793、请把1至9这9个数字填在图的方框中（其中有3个数字已经填好），使得加法和乘法这两个算式都成 立。
367×＋4、图是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立。
84227543×835、如图，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？×116、如图，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？551×7、在图的方框内填入恰当的数字，可以得到一个正确的乘法竖式。
已知这样的填法有两种，这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？×153248、在图的方框内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案。
2112672029、请把图中的除法竖式补充完整。
22290410、请把图中的除法竖式补充完整。
这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？668592拓展篇1、在图的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。
已知个位向十位的进位为2，且E 是奇数，则A 、B 、C 、D 分别代表什么数字？A AB D E ＋A B E ECC D A C2、在图中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。
请给出两种使竖式成立的填法。
E S V YN E T E T E NF F II F F N Y E F T ＋O R T E3、在图所示的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。
十二个经典行程问题
十二个经典行程问题Matrix67是谭老师很钦佩的数学科普作家之一，他的作品《思考的乐趣》和《浴缸里的惊叹》都能给带给读者深入的思考，体会学习的乐趣。
本文适合学习小学奥数的同学和数学爱好者阅读，推荐给大家作者 - Matrix67来源 - Matrix67博客分类 - 数学学习无论是小学奥数，还是公务员考试，还是公司的笔试面试题，似乎都少不了行程问题——题目门槛低，人人都能看懂；但思路奇巧，的确会难住不少人。
平时看书上网与人聊天和最近与小学奥数打交道的过程中，我收集到很多简单有趣而又颇具启发性的行程问题，在这里整理成一篇文章，和大家一同分享。
这些题目都已经非常经典了，绝大多数可能大家都见过；希望这里能有至少一个你没见过的题目，也欢迎大家留言提供更多类似的问题。
让我们先从一些最经典最经典的问题说起吧。
01甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，乙的速度是 3 米每秒。
一只狗从 A 地出发，先以6 米每秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇。
问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了。
不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要 20 秒，在这 20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是 120 米。
说到这个经典问题，故事可就多了。
下面引用某个经典的数学家八卦帖子：John von Neumann （冯·诺依曼）曾被问起一个中国小学生都很熟的问题：两个人相向而行，中间一只狗跑来跑去，问两个人相遇后狗走了多少路。
诀窍无非是先求出相遇的时间再乘以狗的速度。
Neumann 当然瞬间给出了答案。
提问的人失望地说你以前一定听说过这个诀窍吧。
Neumann 惊讶道：“什么诀窍？我就是把狗每次跑的都算出来，然后计算无穷级数⋯⋯”02某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。
(完整版)四年级数学行程问题
行程问题一、基本简单行程及变速问题1、强强跑100米用10秒，旗鱼每小时能游120千米，请问：谁的速度更快？2、墨墨练习慢跑，12分钟跑了3000千，按照这个速度慢跑25000米需要多少分钟？如果他每天都以这个速度跑10分钟，连续跑一个月，他一共跑了多少千米？3、A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城到B城，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生故障，在途中停留了1小时，如果要按照原定的时间到达B城，汽车在后一半行程上每小时应该行驶多少千米？4、甲乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行300千米，乙每小时飞行340千米，4小时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用2小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？5、萱萱一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶45千米，实际上由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶30千米，这样就晚到两小时，问：萱萱一家在路上实际花了几个小时？6、甲从A地出发去B地办事情，下午1点出发，晚上7点准时到达，如果他想下午两点出发，晚上7点准时到达，每小时就必须多行2千米，求AB两地之间的距离。
7、小欣家离学校1000米，平时他步行25分钟后准时到校。
有一天他晚出发10分钟，为避免迟到，小欣先乘公共汽车，然后步行，结果仍然准时到校，已知公共汽车的速度是小欣步行速度的6倍，问：小欣这天上学步行了多少米？8、甲乙两人分别从AB两地同时出发，6小时后相遇在中点，如果甲延迟1小时出发，乙每小时少走4千米，两人仍在中点相遇，问：甲乙两地相距多少千米？二、基本相遇问题：1、A、B两地相距4800米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：（1）甲从A走到B需要多长时间？（2）两人从出发地到相遇需要多长时间？2、在第4题中，如果甲乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两人同时同向出发，问：乙出发后多久可以追上甲？3、甲乙两地相距350千米，A车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地。
小学四年级逻辑思维学习—行程基础
小学四年级逻辑思维学习—行程基础知识定位行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。
行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。
行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度X时间，时间=距离+速度，速度=距离+时间。
在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。
掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。
在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。
知识梳理一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间(t)、速度(V)和路程(s)这三个基本量，它们之间的关系如下：(1)速度x时间=路程可简记为：s=Vt(2)路程♦速度二时间可简记为：t=s4-v(3)路程♦时间二速度可简记为：v=s+t显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.二平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。
【重点难点解析】1.行程三要素之间的关系2．平均速度的概念3．注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】1.注意观察运动过程中的不变量例题精讲【题目】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。
他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【题目】甲、乙两地相距100千米。
下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.【题目】小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。
如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。
四年级上册数学奥数试题-第十二讲：行程问题(无答案)全国通用
第十二讲行程问题专题解析：行程问题来啦！行程问题可以用平均分去理解，总路程÷时间=速度，其实就是把路程平均分给时间，每个单位时间分得的路程，现在所学的公式都离不开我们对加减乘除四则运算的概念理解，回到初始，会发现大道至简，一起努力！知识回顾之行程问题：重点知识理解：行程问题的初始公式，将之完全理解，对今后的学习非常有帮助【经典例题】【例题1】小明骑车从学校回家，如果他每分钟骑100米，要骑10分钟，如果他每分钟骑200米，请问小明要多久回到家？思维点拨：两次的关键是路程不变，我们可以先把路程求出来随堂演练：有一司机从长沙开车去武汉，他估算了一下，如果每小时开70km，则需要8小时，他想提早一个小时达到武汉，那么他应该把速度提高到多少？此时速度提高了多少？【例题2】相遇问题两列火车同时从两地相对开出，甲列火车每小时行86千米，乙列火车每小时行102千米，经过5小时两车在途中相遇，求两地相距多少千米？思维点拨：这里的路程是两地的路程，时间也是确定的，但是这段路程是两列火车一起走的，应该用两列火车的路程加起来随堂演练：1.甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶69千米，经过18小时两车途中相遇，两地间的铁路长多少千米？【例题3】甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，经过2小时后两人相遇，问乙每小时行多少千米？思维点拨：两人一起走了20千米，甲走的如果知道了，那么乙是不是就能求出来呢？随堂演练：甲乙两列火车同时从相距700千米的两地开出，甲车每小时行75千米，经过5小时相遇，乙车每小时行多少千米【例题4】小丽和小红从400米长的环形跑道起点同时相背而行，小丽的速度是75米/分，小红的速度是65米/分。
3分钟后两人相距多少米？思维点拨：理解环形跑道和相背的概念，我俩的距离=你走的+我走的随堂演练：一艘轮船，从甲港驶往乙港，每小时行驶20千米，10小时到达。
小学数学四年级行程问题（三）追及问题教案例题+练习+作业+答案
小学数学四年级行程问题（三）追及问题教案例题+练习+作业+答案行程问题（三）知识点总结：1：路程差÷速度差=追及时间。
2：速度差×追及时间=路程差。
3：路程差÷追及时间=速度差。
【例题精讲】第一关1-1甲、乙两地相距300 千米，一列慢车从甲地出发，每小时行驶70 千米，同时一列快车从乙地出发，每小时行驶100 千米。
如果两车同向行驶，慢车在前，快车在后，经过多长时间快车可以追上慢车？【答案】300÷（100-70）=10小时【例题小结】追及时间=路程差÷速度差。
1-2 甲、乙两辆列车从相距150 千米的A、B 两地同时出发，向C 城驶去，乙车在前，甲车在后，行驶10 小时后甲车追上乙车，乙车每小时行驶45 千米，甲车每小时行驶多少千米？【答案】150÷10=15（千米/小时）45+15=60（千米/小时）【例题小结】速度差=路程差÷追及时间。
过关练习A1 甲、乙两人分别从相距24 千米的两地同时向东行驶，甲骑自行车每小时行驶13 千米，乙步行每小时走5 千米，几小时后甲可以追上乙？【答案】24÷（13-5）=3小时【解析】追及时间=路程差÷速度差。
A2 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一方向前进，摩托车在前，每小时行驶25 千米，汽车在后，每小时行驶60 千米，经过4 小时汽车追上摩托车。
求甲、乙两地相距多少千米？【答案】（60-25）×4=140千米【解析】追及路程=速度差×追及时间。
B1 甲地和乙地相距40 千米，旭旭和曼曼由甲地骑车去乙地，曼曼每小时行驶14 千米，旭旭每小时行驶17 千米，当曼曼走了6 千米后，旭旭才出发，当旭旭追上曼曼时，距乙地还有多少千米？【答案】6÷（17-14）=2小时，40-2×17=6千米【解析】可以先求出追及时间，总路程减去旭旭所走的路程就是距乙地的路程。
四年级下册数学试题-分段行程-最值问题-横式问题-归一归总问题-多人多次相遇(无答案)人教版
【新课内容提纲】知识点一：分段行程知识点二：最值问题知识点三：横式问题知识点四：归一归总问题知识点五：多人多次相遇【教学过程】知识点一：分段行程例题 1 高上学时步行，回家时骑车，路上共用了 24 分钟。
如果往返都骑车，则全程需要 14 分钟。
求小高往返都步行所需要的时间。
【变式练习】王阳每天都以固定的速度骑车去学校，需要 10 分钟。
一天，当行进到全程一半时，自行车坏了，王阳便把车锁在路边，步行去学校，结果一共用了 15 分钟。
如果自行车没办法修好，王阳每天都得步行，那么去学校需要多长时间？例题 2 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲出发 5 分钟后与乙相遇，这时乙走了 500 米。
乙又走了 400 米时，甲刚好到达 B 地，这时乙距离 A 地多少米？【变式练习】甲、乙两地相距 60 千米，快、慢两辆骑车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，30 分钟后两车相遇。
相遇后两车继续以原速度前进，又经过 20 分钟快车到达乙地。
此时，慢车距甲地还有多少千米？【随堂练习】甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 60 千米。
甲车从 A 地、乙车从 B 地同时出发相向而行，两车相遇后 9 小时，甲车到达 B 地，那么 A、B 两地相距多少千米？能力提升：小王和小张同时从学校出发前往少年宫参加科技比赛，小王步行，小张骑车。
当小张行进一半路程时，发现自己没带学生证，于是骑车回学校去拿，然后马上以原来的速度骑车前往少年宫，结果两人同时到达。
已知小张骑车每分钟行进 174 米，那么小王每分钟步行多少米？出题：根据这个知识点内容出一道题目，并解答。
三步一回头：知识点二：最值问题知识点：乘积最大：当两个数的和一定时，若它们相等，乘积最大；在它们不相等时，两数差距越大，乘积越小，两数差距越小，乘积越大。
例题 1 把14分解成两个自然数的和，使它们的乘积最大，求这个最大的乘积。
【变式练习】a和b都是自然数，并且a＋b=100，a和b相乘的积最大是多少？最小是多少？例题 2 用周长是74厘米的铁丝围成一个长方形框架（长、宽为整数厘米），围成的长方形框架的面积最大是多少平方厘米？【变式练习】用一段长48米的篱笆围成一个猪圈，要使猪圈的面积最大，那么这个猪圈最大是多少平方米？【随堂练习】1、a和b都是自然数，并且a×b=48，a和b相加的和最大是多少？最小是多少？2、计划用围墙围成一个面积是540平方米的长方形菜地，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形的围墙共有多少米？能力提升：比较下面两个乘积的大小：12345678×87654321 12345677×87654322出题：根据这个知识点内容出一道题目，并解答。
高斯寒假四年级培优奥数教材
目录目录 (1)第一讲行程基本要素 (2)第二讲相遇问题 (7)第三讲追及问题 (12)第四讲分段计算的行程问题 (17)第五讲行程中的倍数关系 (22)第六讲行程综合 (27)第七讲火车过桥 (33)第八讲解决问题(一) (38)第九讲年龄问题 (44)第十讲和差倍题 (50)第一讲行程基本要素知识要点1.比较物体运动的快慢，主要有两种方法：（1）相同时间比路程（2）相同路程比时间都不相同，无法直接比较，需将时间或路程统一成相同的，再比较。
2.用速度来衡量运动快慢，一般选用1个单位的时间内经过的路程的多少表示速度的大小。
速度的定义：速度就是单位时间内经过的路程。
3.行程问题是研究路程、时间和速度之间的关系，它们之间的关系如下：路程＝速度×时间速度＝路程÷时间时间＝路程÷速度例题精讲(★★)⑴30秒内，阿呆跑了240米，阿瓜跑了270米。
请问：谁跑的快？⑵阿衰和阿呆进行了100米比赛，阿衰跑完用了15秒，阿呆跑完用了12秒。
请问：谁跑得快？⑶阿傻和阿呆分别参加了100米和200米的比赛，阿傻跑完用了10秒，阿呆跑完用了40秒。
请问：谁跑得快？⑴汽车以每小时15千米的速度行驶，请问：5小时内，它行驶了多少千米？⑵长跑运动员每秒跑4米，如果按照这个速度跑完9600米，需要多少分钟？⑶一颗子弹射出后2秒钟，恰好击中1800米处的目标，请问：它的速度是每秒多少米？(★★★)熊大和熊二参加长跑比赛，熊大的速度是每秒跑6米，熊二的速度是每小时跑18千米，请问：谁的速度快？(★★★★)兔子和乌龟赛跑，从A地跑到B地，全程共6000米。
兔子计划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的少200米，请问兔子实际跑完全程用了多少秒？大显身手★即学即练1：阿呆和阿瓜分别参加了50米和200米的比赛，阿呆跑完用了10秒，阿瓜跑完用了20秒，请问：谁跑得快？★即学即练2：小高40秒钟跑了200米，请问：⑴他的速度是每秒多少米？⑵如果按照这个速度，100秒内，小高能跑多少米？⑶如果按照这个速度，恰好跑了300米，小高跑了多少秒？★即学即练3：试一试。
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行程问题主要有三组共9个基本公式，它们分别是：（1），，；
（2），，；（3），，．对于运动过程较为复杂的行程问题，不仅要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间，还要学会分段、比较、从整体考虑等各种辅助手段．
分析 要是能求出甲、乙两人的速度就好办了，你能求出他们的速度吗？
练习
1.甲车每小时行 40千米，乙车每小时行 60千米．甲车从 A 地、乙车从B 地同时出发相向而行，两车相遇后9小时，甲车到达B 地．请问A 、B 两地相距多少千米？
分段比较，主要在速度相同、时间相同或路程相同的前提下进行，因而按时间流程来画线段图是非常重要的！有时候，我们还给相同时间点标上相同的记号，使线段图更加一目了然．
分析 本题中甲、乙两人的行程过程较为复杂，不画出线段图实在很难想清楚．
画出线段图，并注意在图中标出甲出发的
时刻、乙出发的时刻、甲到达A 地的时刻、
乙到达A 地的时刻．大家自己把已知条
件在图中标出来，看看有什么发现． 5分钟后与乙相遇，
这时乙距离甲出发A 地，此时甲距离起点
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练习2.甲、乙分别从 A 、B 两地出发相向而行，甲比乙早出发10分钟，甲每分钟走 60米，乙每分钟走90米．两人相遇后，甲再走12分钟到B 地．请问A 、B 两地相距多少米？在路程、速度与时间这行程三要素中，有时我们只知道其中的一个量，这时我们就可以通过设份数来解决．此外，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；
当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的反倍数关系：时间长的速度慢，时间短的速度快．因此我们要仔细分析在同一段时间或者同一段路程中，不同运动对象的运动过程． 分析 大家试着自己画出线段图，并把关键时刻标注在线段图中，看看能不能算出自行车队12分钟经过的路程？能不能找到相同时间内，自行车队与摩托车经过的路程之间有什么关系？
练习
3.肖马虎步行去上学，
从家出发5分钟后爸爸发现他没带文具盒，于是骑摩托车去追，在距离家600米的地方追上了他．肖马虎拿着文具盒继续向学校走去，爸爸返回家后发现他作业也没带，于是带上作业又骑摩托车去追，刚好在学校门口追上了他．已知家到学校门口的距离为1000米，请问肖马虎每分钟走多少米？
距出发点发点后通信员又马上掉头去追自行车队，再次追上时恰好离出发点自行车队每分钟行多少千米？摩托车每分钟行多少千米？
分析 大家先画出线段图，想想兔子睡觉的过程该怎么画．
有时候逆向思维会带来意想不到的效果．我们可以不去考虑兔子睡觉的过程，而考虑兔子没睡觉时兔子和乌龟各跑了多远．
练习
4.乌龟与蜗牛进行100米赛跑，乌龟的速度是蜗牛的10倍．当它们从起点一起出发后，蜗牛不停地爬，乌龟爬到某一地点开始睡觉．乌龟醒来时发现蜗牛已经领先它20米，于是奋起直追．当蜗牛到达终点时，乌龟仍落后10米．请问：乌龟睡觉期间，蜗牛爬了多少米？
龟兔赛跑
第一次比赛：兔子中途睡觉，结果乌龟赢了．
第二次比赛：兔子不服气，要再赛一次，乌龟也答应了．枪声一响，兔子拼命往前跑．只差一步到终点时，兔子想回头看乌龟到哪了，它刚转过身，就听到乌龟在它后面笑着说：“老弟，我在这呐，你又输了．”因为，枪声一响，乌龟就一口咬住了兔子的尾巴．第三次比赛：兔子更不服气，还要再赛一次，乌龟同样答应了．枪声一响，兔子拼命往前跑，当它冲过终点时，发现乌龟已在终点等它了，原来乌龟这次叫了计程车．
第四次比赛：兔子找到乌龟要再比一次，乌龟说：“好呀，地点我来定．”兔子快到终点时傻眼了，原来终点设在河心的小岛上，它实在没办法上去．
第五次比赛：兔子找乌龟雪耻，乌龟说：“线路我选．”兔子说：“可以，但全要选山路．”乌龟说：“没问题，三天后比，全程跑完七座山．”比赛那天，兔子每跑到半山腰，都听见乌龟在山顶上喊：“兔子加油，我就在你前面．”兔子拼尽全力满怀希望跑到第七座山
的山腰，还是那个声音“兔子加油，我就在你前面．”原来乌龟找了7个同伴来帮忙了．倍．当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉．兔子醒来时发现乌龟已经领先它终点时，兔子仍落后
分析 我们既不知道两车速度的关系，也不知道有关的路程，只知道时间．所以应该搞清楚在每个时间阶段内，甲、乙各自的路程与速度之间的关系．我们知道，当路程一定时，速度的倍数关系与时间的倍数关系恰好相反．你能求出两车速度的倍数关系吗？
练习
5.甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，18小时后在C 地相遇．相遇后，两车并不停顿，继续前进．甲车在相遇后继续行驶12小时到达B 地．请问甲车到达B 地后乙车还要再开几小时才能到达A 地？时后在行驶经过每天早上7:30司机开车原速返回王经理家．一天早上，王经理想要锻炼一下，因此中途下车走到公司，结果理步行速度的多少倍？如果第二天，王经理仍然中途下车，但是下车地点比前一天距离公司要近一些，题
本
一、行程问题中的三个基本倍数关系： 1.当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；
2.当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；
3.当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的反倍数关系．
二、按时间流程画线段图的方法．画线段图在求解行程问题中是至关重要的，画好线段图，能使题目条件一目了然，对解题颇有益处．
三、分段与比较的想法．主要依据行程问题的三个基本倍数关系，来得到不同行程过程之间的关系．当按时间流程画出线段图后：
1.同一个人的不同过程之间，速度相同，可以得到路程与时间之间的关系；
2.两个时刻之间所经过的时间相同，可以得到不同对象之间路程与速度的关系；
3.长度相同的线段，路程相同，可以得到速度与时间之间的关系．
作业
1.甲、乙同时从A、B两地出发相向而行．甲每小时走5千米，两人相遇后，乙再走50千米到A地，甲再走8小时到B地．请问乙每小时走多少千米？
2.甲、乙两人从同一个地点出发同向而行，甲比乙先出发．甲走了2400米到达A地时，乙落后甲600米．又过了5分钟乙到达A地，此时乙还落后甲500米．请问乙比甲晚出发多少分钟？
3.下午3点，小强放学了，从学校开始向家走．同时小强家的宠物狗大壮从家出发，迎接小强．小强与大壮在距离小强家2000米的地方相遇，相遇后大壮立即调头向家跑，跑到家之后再返回迎接小强，在距离小强家500米的地方再次与小强相遇．请问小强家到学校的距离为多少米？
4.小高和小娅比赛骑自行车，赛程是2000米．小高骑自行车的速度是小娅的2倍，小娅从出发点很顺利行驶到达终点．而小高的车在中途爆胎了，小高停下来花了些时间换上备用轮胎．换完后，小娅已经骑到他前面200米处．于是小高奋起直追，终于在距离终点200米处追上了小娅，最终赢得了比赛的胜利．那么小高换轮胎期间，小娅骑了多远？如果小高换轮胎花了5分钟，那么小高每分钟骑多少米？
5.快羊羊和慢羊羊分别从绵羊村的村东头和村西头同时出发，相向而行，30分钟后它们在途中某地相遇．相遇后两只羊并不停留，继续按原来方向前行，快羊羊又走了10分钟到达村西头．这时，快羊羊马上返回追慢羊羊，请问它追上慢羊羊还需要多少分钟？。