高考名校联考信息优化卷(一)

高考名校联考信息优化卷（一）

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 已知全集，集合，，则下列关系正确的是

A. B.

C. D.

2. 已知为虚数单位，，，若，则

A. B. C. D.

3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. B. C. D.

4. 已知，则

A. B. C. D.

5. 巳知函数，若，则实数的取值范围为

A. B. C. D.

6. 现有个数，它们能构成一个以为首项，为公比的等比数列，若从这个数中随机抽取

一个数，则它小于的概率是

A. B. C. D.

7. 执行如图所示的程序框图，输出的值为

A. B. C. D.

8. 如图，在半径为，圆心角为的直角扇形中，为上一点，点在扇形内（含边界），且，则的最大值为

A. B. C. D.

9. 在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，沿，，翻折

成一个三棱锥，使，，重合于点，则三棱锥的外接球的表面积为

A. B. C. D.

10. 函数的图象可能是

A. B.

C. D.

11. 已知、分别为双曲线的左、右顶点，点为双曲线在第一

象限的任意一点，点为坐标原点，若双曲线的离心率为，，，的斜率分别为，，，则的取值范围为

A. B. C. D.

12. 已知函数和是两个定义在区间上的函数，若对任意的，存在常数，

使得，，且，则称与在区间上是“相似函数”.若与在上是“相似函数”，则函数在区间上的最大值为

A. B. C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 在的展开式中，含的项的系数是______．（用数

字作答）

14. 若点是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式

恒成立，则实数的取值范围是______．

15. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，

则的面积为______．

16. 已知点是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、

右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是______．

三、解答题（共8小题；共104分）

17. 已知在各项均为正数的等比数列中，， .

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和 .

18. 某中学举行教师网球比赛，分四个阶段，只有上一阶段的胜利者，才能继续参加下一阶段的比

赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积分为分，否则为分.甲、乙两名教师参加了这次比赛，已知甲教师每个阶段取胜的概率均为，乙教师每个阶段取胜的概率均为 .

（1）求甲、乙两名教师最后积分之和为分的概率；

（2）设甲教师的最后积分为，求的分布列和数学期望．

19. 如图，四边形和为直角梯形，平面平面，且，，

，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

20. 已知点，点为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且

.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设点的轨迹与轴交于点，点，是轨迹上异于点的不同的两点，且满足，求的取值范围．

21. 已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

22. 如图，，是圆的两条平行弦，，交于点，交圆于点，过点的切线

交的延长线于点，， .

（1）求的长；

（2）求证： .

23. 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度

单位为长度单位建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的

极坐标方程为 .

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于，两点，求 .

24. 已知函数， .

（1）若当时，，求实数的取值范围；

（2）当时，求证： .

答案

第一部分

1. C

2. B

3. C

4. D

5. A

6. C

7. B

8. D

9. B 10. C

11. C 12. C

第二部分

13.

14.

15.

16.

第三部分

17. （1）设等比数列的公比为，由已知得，

又，，故 .

所以 .

（2）由（1）知，

则，

，

两式相减得，

所以 .

18. （1）设“甲、乙两名教师最后积分之和为分”为事件，“甲教师最后积分分，乙教师最后积分分”为事件，“甲教师最后积分分，乙教师最后积分分”为事件，“甲教师最后积分分，乙教师最后积分分’’为事件 .

则，

，

，

因为，，是互斥的，

所以 .

（2）的所有可能取值为，，，， .

，

，

，

，

.

所以的分布列为所以的数学期望

.

19. （1）在底面中，易知，所以 .

所以平面平面，平面，平面平面，，

所以平面 .

因为平面，

所以 .

因为，

所以平面 .

因为平面，

所以平面平面 .

（2）因为平面平面，平面，

平面平面，，所以平面 .

因为平面，所以 .

以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，，

平面的一个法向量为 .

设平面的法向量为，

由，得，

令，则，，

所以为平面的一个法向量.

所以，

由图可知，二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为 .

20. （1）设，则，

因为，，