控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
合集下载
控制工程基础第二章 控制系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数框图的简化
• 等效变换原则是：变换前后前向通道中的传递 函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘 积应保持不变。即变换前后整个系统的输入输 出传递函数保持不变。
• 1、串联环节的等效变换规则 • 前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式
称为环节的串联。当各环节之间不存在（或可 忽略）负载效应时，则串联联接后的传递函数 为：
时间 内并无输出，在 后，输出就完全等于从一开
始起的输入，且不再有其他滞后过程；即输出等于输
入，只是在时间上延迟了一段时间间隔 。
第二章 控制系统的数学模型
• 2.4 传递函数框图及其简化
• 传递函数方框图是控制系统的动态数学模型的 图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节 间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传 递、变换过程。
数学模型动 静态 态模 模型 型
• 静态模型：一般是不含时间变量t的代数 方程，描述系统的静态特性，即平衡状 态下各变量间的对应关系。
• 动态模型：描述系统的动态特性，即在 运动过程中随时间变化的各变量间的相 互关系，数学表达式是含时间变量t的微 分方程、传递函数或频率特性。
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数求解示例 • 之前例1中求得机械位移系统的微分方程为
• 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
T 2 s2 X (s ) 2T(s) X X (s ) k(s F )
• 按照定义，系统的传递函数为：
G(s)X F((ss))T2s2k2T s1
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
G (s)X X o i((s s))X X 1 i( (s s) )X X 1 o((s s))G 1(s)G 2(s)
控制工程基础_课后答案
控制工程基础习题解答第一章1-5．图1-10为张力控制系统。
当送料速度在短时间内突然变化时，试说明该控制系统的作用情况。
画出该控制系统的框图。
由图可知，通过张紧轮将张力转为角位移，通过测量角位移即可获得当前张力的大小。
当送料速度发生变化时，使系统张力发生改变，角位移相应变化，通过测量元件获得当前实际的角位移，和标准张力时角位移的给定值进行比较，得到它们的偏差。
根据偏差的大小调节电动机的转速，使偏差减小达到张力控制的目的。
框图如图所示。
1-8．图1-13为自动防空火力随动控制系统示意图及原理图。
试说明该控制系统的作用情况。
题1-5 框图电动机给定值角位移误差张力-转速位移张紧轮滚轮输送带转速测量轮测量元件角位移角位移（电压等）放大电压测量 元件>电动机角位移给定值电动机图1-10 题1-5图该系统由两个自动控制系统串联而成：跟踪控制系统和瞄准控制系统，由跟踪控制系统获得目标的方位角和仰角，经过计算机进行弹道计算后给出火炮瞄准命令作为瞄准系统的给定值，瞄准系统控制火炮的水平旋转和垂直旋转实现瞄准。
跟踪控制系统根据敏感元件的输出获得对目标的跟踪误差，由此调整视线方向，保持敏感元件的最大输出，使视线始终对准目标，实现自动跟踪的功能。
瞄准系统分别由仰角伺服控制系统和方向角伺服控制系统并联组成，根据计算机给出的火炮瞄准命令，和仰角测量装置或水平方向角测量装置获得的火炮实际方位角比较，获得瞄准误差，通过定位伺服机构调整火炮瞄准的角度，实现火炮自动瞄准的功能。
控制工程基础习题解答第二章2-2．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。
(3). ()t et f t10cos 5.0-=解：()[][]()1005.05.010cos 25.0+++==-s s t e L t f L t(5). ()⎪⎭⎫⎝⎛+=35sin πt t f 图1-13 题1-8图敏感 元件定位伺服机构 （方位和仰角）计算机指挥仪目标 方向跟踪环路跟踪 误差瞄准环路火炮方向火炮瞄准命令--视线瞄准 误差伺服机构（控制绕垂直轴转动）伺服机构（控制仰角）视线敏感元件计算机指挥仪解：()[]()252355cos 235sin 2135sin 2++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=s s t t L t L t f L π2-6．试求下列函数的拉氏反变换。
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
27
例2.1：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc u r dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' L[ ] s 2U c ( s ) sU c (0) U c (0) dt 2 s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 L[
2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：
J (t ) M (t )
3）化简 4) 标准化
J
d 2 (t ) dt 2
d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt
d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt
电气系统的微分方程
进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出 量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
F ( s ) f (t )e dt
st 0
2)单位斜坡函数
t
0
t
0, f t t ,
t0 t0
L f t L[t ]
0
te
st
1 dt 2 s
几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
eat f t
df t dt
F(s)
F s a
sF s f 0
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础-第三章时间响应分析第一二节
2020年11月4日星期三2时17分22秒
9
机械工程控制基础
昆明理工大学机电学院
➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
上面分析的是一个特殊的简单的例子，主要目的是 为下面的一般情况的分析作引子。
对于一般情况（线性常微分方程的输入函数没有导 数项，只有一次项），设系统的动力学方程为：
an
y (n)
如图所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统
在外力(即输入)Fcosωt的作用下，系统的动力学方程用
常微分方程表示为：
my(t) ky(t) F cost
由高等数学知识可知这一 非齐次常微分方程的完全解 由两部分组成：
y(t) y1(t) y2 (t)
式中：yl(t)是齐次微分方程的通解； y2(t)是其一个特解。
的关系和0型、I型、Ⅱ型系统的稳态偏差。 6、单位脉冲函数及单位脉冲响应函数的重要意义。
2020年11月4日星期三2时17分22秒
2
机械工程控制基础
昆明理工大学机电学院
➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
时间响应及其组成的含义： 时间响应：是指系统的响应（输出）在时域里的表现形
式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解
将系数A、B代入整理得方程的最终解为：
自由响应 强迫响应
y(t) y(0n ) sinnt y(0) cosnt Fk 112 cosntFk 112cost
零输入响应
零状态响应
2020年11月4日星期三2时17分22秒
7
机械工程控制基础
昆明理工大学机电学院
➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
《控制工程基础》课件第2章
第2章 系统的数学模型
二、建立系统微分方程的一般步骤
（1） 分析系统和组成系统的各元件（环节）的性质、
第2章 系统的数学模型
（2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，列写系统 各组成元件（环节）的微分方程。对于复杂的系统，不能直 接写出输入量和输出量之间的关系式时，可以引入中间变量， 依据支配系统工作的基本规律，如力学中的牛顿定律、电学 中的克希荷夫定律等，逐个列写出各元件（环节）的微分方 程。另外，在列写各元件（环节）微分方程时，应注意元件
第2章 系统的数学模型
但是，由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成 熟，因此对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进 行线性化处理，以简化分析。线性化是指将非线性微分方程 在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。一般的线性 化方法是在工作点附近用切线来代替，即将非线性函数在工 作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，可得近似 的线性差分方程。上述线性化是以变量偏离预定工作点很小 的假定条件为基础的，即偏差为微量，所以有时也把上述线 性化称之为小偏差线性化。小偏差线性化的几何意义是：在 预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
J
f
(2-18)
式中，J为等效转动惯量，f为摩擦系数。将式(2-17)、(2-18)
代入式(2-16)，得
Ua
La Ki
ddt(J
f )
Ra (J
Ki
f )
Kb
即
La J La f Ra(J f ) KbKi KiUa
(2-19)
测量环节：
第2章 系统的数学模型
U f Kn
(2-20)
第2章 系统的数学模型
线性系统满足叠加原理。叠加原理说明，两个不同的输 入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之 和。因此，线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个 一个地处理，然后对响应结果进行叠加。也就是说，当有几 个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输 出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。另外， 线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的 数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出 量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有 关，与输入量数值的大小是无关的。
第二章控制工程基础
(S - Z1)( S Z 2 )......(S Z m ) G(S) k (S - P1)( S P2 )......(S Pn )
的形式，则 Z1 , Z 2 , Z 3 Z m和 P 1 , P2 , P 3 Pn 为G(S)的零点和极点。
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
Xi
变化曲线
0
Xo
t
方框图
Xi(s)
K
Xo(s)
二、惯性环节
微分方程
o xo Kxi Tx
传递函数
K G( s ) Ts 1
变化曲线
x0
0
方框图
Xi(s)
t
Xo(s)
K Ts+1Biblioteka 三、微分环节 微分方程
i xo Tx
传递函数
G ( s ) Ts
第二章 控制系统数学模型
§2-1 系统数学模型 §2-2 微分方程 §2-3 传递函数 §2-4 典型环节传递函数 §2-5 系统方框图
§2-1 系统数学模型
控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压 的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关 系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统 的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系 统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的 基本定律。
四、拉普拉斯变换
定义
Fs Lf t f t e st dt
0
f ( t )：像原 F(s)：像
的形式，则 Z1 , Z 2 , Z 3 Z m和 P 1 , P2 , P 3 Pn 为G(S)的零点和极点。
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
Xi
变化曲线
0
Xo
t
方框图
Xi(s)
K
Xo(s)
二、惯性环节
微分方程
o xo Kxi Tx
传递函数
K G( s ) Ts 1
变化曲线
x0
0
方框图
Xi(s)
t
Xo(s)
K Ts+1Biblioteka 三、微分环节 微分方程
i xo Tx
传递函数
G ( s ) Ts
第二章 控制系统数学模型
§2-1 系统数学模型 §2-2 微分方程 §2-3 传递函数 §2-4 典型环节传递函数 §2-5 系统方框图
§2-1 系统数学模型
控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压 的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关 系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统 的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系 统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的 基本定律。
四、拉普拉斯变换
定义
Fs Lf t f t e st dt
0
f ( t )：像原 F(s)：像
控制工程基础 概述微分方程
(1) 确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些 中间变量。 (2) 根据物理或电气定律，列出微分方程。（牛顿和基尔 霍夫定律） (3) 消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量) 关系的微分方程（标准形式）。
输入量在等号的右边，输出量在等号的左边，均按降次排列
机械系统的微分方程可用牛顿第二定律推 导。用公式可表示为：
d x dx m 2 f k x f t dt dt
2
f (t )
m
k
式中 m ─ 物体的运动质量，kg； x─ 运动物体m的运动位移，m； N s m 1 f─ 粘性阻尼系数， K─ 弹簧刚度，N m 1 ；
f t ─ 外力，N。
B
x
机械移动系统
p p0
p p0
设x0=0,p0=0(即在零位)时，q(x0,p0)=0，则 式中
q Kq 为流量增益，表示由阀芯位移引起的流量变化； x x x0 q Kc p
p p0
为流量-压力系数，表示由压力变化引起的流量 变化，因随负载压力增大，负载流量变小，故 有一负号。
d 2x m 2 Fi dt
f
大小：F f f v f
f
dy dt
k
大小：Fk k y
m
f — 粘滞摩擦系数
k— 弹簧系数
实例1：平移系统
试列写下图所示机械移动系统的微分方程。给定外力 f(t)为输入量，位移x为输出量。 解： 应用牛顿第二定律，列写系 统的运动微分方程为：
第一节 概 述
u基本概念——数学模型 定义：系统输入、输出变量以及内部各变量之间相互关 系的数学表达式——揭示的是结构、参数与性能之间的 内在关系。 意义：通过数学模型，在理论上掌握系统在一定的输入 作用下的运动规律以及稳定情况和动态过程，从而进行 定性和定量分析。 ①微分方程 （时间域） 形式 ②传递函数 （复数域） ③频率特性 （频率域）
《控制工程基础》第二章系统的数学模型PPT课件
n2
n
k , c
m
2 mk
c
x
例2 旋转运动的J-c-k系统
M
c
J
k
J c k M
s
1
G(s) M (s) Js2 cs kLeabharlann 例3 L-R-C电路L
a i (t)
L
u (t) i
i (t) R
R
b
c
uo(t) i (t)
C
d
G(s)
LCs 2
1 L
s 1
R
6. 延时环节
动力学方程：xo (t) xi (t )
传递函数： G(s) es
Xi (s) e s
特点：输出滞后于输入，但不失真 延时环节与惯性环节和比例环节有区别
x(t)
xi(t)
x(t)
xi(t)
x(t)
xo(t)
xo(t)
X o (s)
xi(t) xo(t)
0
t
0
t
惯性环节
比例环节
例：轧钢厂钢板厚度检测
h2 h1(t )
G(s) e s
六、系统传递函数方框图
传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示， 并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。 传递函数方框图三要素
传递函数方框
相加点
分支点
建立传递函数方框图的步骤
(1) 列写各元件微分方程 (2) 在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换
(3) 按因果关系，绘制各环节框图
A
0
t
延时环节
h+h1 h+h2
v
B
L
典型环节传递函数小结
《控制工程基础》课件第二章数学模型
➢ 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微 分方程进行处理。
非线性系统数学模型的线性化 ➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
x
x0
(x
x0
)3
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K
df (x) dx x x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。
y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线
Raia t
La
dia t
dt
em t
电磁感应定律
em t
Ke
do t
dt
LaJo (t) LaD RaJ o (t) RaD KT Ke o (t) KTei (t)
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程 可简化为
Ra Jo (t) Ra D KT K e o (t) KT ei (t)
b0
dm dt m
xi (t) b1
d m1 dt m1
非线性系统数学模型的线性化 ➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
x
x0
(x
x0
)3
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K
df (x) dx x x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。
y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线
Raia t
La
dia t
dt
em t
电磁感应定律
em t
Ke
do t
dt
LaJo (t) LaD RaJ o (t) RaD KT Ke o (t) KTei (t)
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程 可简化为
Ra Jo (t) Ra D KT K e o (t) KT ei (t)
b0
dm dt m
xi (t) b1
d m1 dt m1
控制工程基础第2章 控制系统的动态数学模型
LCuo (t ) RCuo (t ) uo (t ) ui (t )
u1 (t ) u2 (t ) Ri
u1 (t) C u2 (t)
i (t)
i (t)
u1 (t ) u2 (t )
1 idt C
ui (t) i1 (t)
R1
u1 (t)
R2
uo (t)
X s
s p1 s p1
r1
b0 s m b1s m1 bm1s bm
rl
r2
s p1 s c1s d1 s c1s d1
2 k1 2
kg
其中，
r1 r2 rl 2k1 k2 k g n
θo(t) l
ml2 (t ) mglo (t ) Ti (t ) o
mg
Ti(t)
2.3 拉氏变换及反变换
Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、 时不变系统的重要工具！ 2.3.1 拉氏变换定义 定义
拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏 变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了 时域和复频域间的联系。
简写为：
xt L X s
1
在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式：
b0 s b1s bm1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an
m
m 1
其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。 则有：
对于这类分式可通过部分分式展开法求其反变换
1. 只含不同单极点的情况
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an b0 s m b1s m 1 bm 1s bm s p1 s p2 s pn an 1 an a1 a2 s p1 s p2 s pn 1 s pn
u1 (t ) u2 (t ) Ri
u1 (t) C u2 (t)
i (t)
i (t)
u1 (t ) u2 (t )
1 idt C
ui (t) i1 (t)
R1
u1 (t)
R2
uo (t)
X s
s p1 s p1
r1
b0 s m b1s m1 bm1s bm
rl
r2
s p1 s c1s d1 s c1s d1
2 k1 2
kg
其中，
r1 r2 rl 2k1 k2 k g n
θo(t) l
ml2 (t ) mglo (t ) Ti (t ) o
mg
Ti(t)
2.3 拉氏变换及反变换
Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、 时不变系统的重要工具！ 2.3.1 拉氏变换定义 定义
拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏 变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了 时域和复频域间的联系。
简写为：
xt L X s
1
在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式：
b0 s b1s bm1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an
m
m 1
其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。 则有：
对于这类分式可通过部分分式展开法求其反变换
1. 只含不同单极点的情况
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an b0 s m b1s m 1 bm 1s bm s p1 s p2 s pn an 1 an a1 a2 s p1 s p2 s pn 1 s pn
控制工程基础第二章
若：f 0 f 0 f n 2 0 f n1 0 0 d n f t n L s F s n dt
证明
df t df t L e st dt 0 dt dt 利用分部积分法，则令 df t st u e , dv dt dt df t st st 则L e f t 0 s 0 f t e dt sF s f 0 dt
yo(t)
工件
例2 无源电路网络
u
i
C i 1 t R1
根据基尔霍夫定律和欧 姆定律，有
u
R2
o
i t
2
ui t uo t R1 i 2 t 1 i1 t dt R1i2 t c uo t R2 i t
i1 t i 2 t i t
d t2 dt
实际系统一般都有非线性现象：
第二节 线性微分方程式的建立 一．列写系统微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入
及输出信号，每个环节列写一个方程； 2. 根据物理定律或通过实验得出的物理 规律列写各环节的原始方程，并适当 简化，线性化； 3. 将各环节方程式联立，削去中间变量， 最后得到只含有输入、输出变量以及 参量的系统方程式。
0
1 st 1 dt e 0 s s
2.单位斜坡的拉氏变换
0 例2－3 求单位斜坡函数f (t)=t的 f (t ) 拉氏变换。单位斜坡函数如图所示，定 t 义为
f (t) ) t e st dt F
控制工程第二章_控制系统的数学基础和数学模型
第二章控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。
2.了解数学模型的基本概念。
能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。
3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。
4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。
6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。
7.了解相似原理的概念。
本章重点1.拉氏变换定理。
2.列写系统的微分方程。
3.传递函数的概念、特点及求法。
4.典型环节的传递函数。
5.系统的方框图及其化简。
本章难点1.列写系统微分方程。
2.系统的方框图及其化简。
∞ 2.1 拉普拉斯(L a p l a c e )变换2.1.1 拉氏变换概述1.拉氏变换的定义F (s ) = L [ f (t )] = ⎰0f (t )e -std tf (t )：原函数（实域、时间域） F (s )：象函数（s 域、复数域） s ：复变量，s=σ+j ωe - st: 拉氏算子j ω[s]σδ ( t )e -atsin ωtcos ωt2.基本函数的拉氏变换1tkttttu ( t ) r ( t )x i ( t ) k 序号原函数 f (t ) 象函数F (s )1 单位脉冲函数 δ (t ) 12单位阶跃函数 1(t ) 1 s 3 K常数k s4t 单位斜坡函数1 s2 5 tnn ! s n +16 e- at1 s + a7sin ωtω s 2 + ω 28cos ωts s 2 + ω 22.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.3拉氏反变换定义:f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s 域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
1
预备知识
• 复变函数：Laplace变换（拉氏变换）, Z变换
• 常微分方程解法：Laplace变换和反变换 • 电路理论 • 基本的电子学和力学知识
2
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 系统的微分方程：时域模型，微分方程的建立及线性化。
进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出 量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
F ( s ) f (t )e dt
st 0
消去 中间 变 量
化处理
IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程 V. 对微分方程进行标准化处理：与输出量相 关的各项置于等号左侧，而与输入量相关 的置于等号右边；等号左右各项均按降幂 排列；将各项系数归化为具有一定物理意
标准形式
整理
微分方程
图2-1 建立系统或元件微分方程 的 步骤
L 1H , C 1F , R 1 uc (0) 0.1v i ( 0 ) 0 .1 A u r 1v
原式化为： s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 sU c ( s ) 0.1 U c ( s ) U r ( s ) ( s 2 s 1)U c ( s ) U r ( s ) 0.1s 0.2 U c (s) 1 0.1s 0.2 U r (s) 2 s2 s 1 s s 1 1 1 0.1s 0.2 2 2 s s 1 s s s 1
t 0 s
(6) 位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其 e s 象函数应乘以
L[ f (t )] e F (s)
s
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应 e at 乘以 ，即
L[e at f (t )] F (s a)
2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：
J (t ) M (t )
3）化简 4) 标准化
J
d 2 (t ) dt 2
d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt
d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt
电气系统的微分方程
例4：电阻-电感-电容串联系统，如图2-1所 示。列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的 网络微分方程式。
L R
ur
i
C
uc
图2-2RLC电路系统
ur
•解：按照列写微分方程式的一般步骤有： 1）确定输入量、输出量、中间变量i（t）； 2）忽略输出端负载效应； 3）由基尔霍夫定律写原始方程：
28
duc dt
t 0
i ( 0) 0 .1 C
' u c ( 0 ) 0 .1
3 2 3 ) ( s 0.5) 2 ( ) 2 2 2 1 1 3 2 0 . 5 0. 5 t 3 L1[ 2 ] 1 e 0.5t cos t e sin t s s 1 s 2 2 3 2 1 1.15e 0.5t sin(0.866 t ) 3 ( s 0.5) 2 ( 0.1( s 0.5) 0.15 3 3 ( s 0.5) 2 ( ) 2 ( s 0.5) 2 ( ) 2 2 2 0.1s 0.2 L1[ 2 ] 0.2e 0.5t sin(0.866 t ) s s 1 6 uc (t ) 1 1.15e 0.5t sin(0.866 t 0.1s 0.2 s2 s 1
27
例2.1：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc u r dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' L[ ] s 2U c ( s ) sU c (0) U c (0) dt 2 s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 L[
输入u(t)
被控 对象
输出y(t)
微分方程及其解法的理论是整个控制 理论的基础。
2.1.1. 建立系统或元件微分方程的步骤
I. 确定元件输入量和输出量 程 III.在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方
确定输入 输出量 列写相应微 分方程
1 st 1 F ( s ) e dt e 0 s s 0
st
22
• 单位脉冲函数 t
(t )
0
1 0
0 t t 0或t
0
• 单位脉冲函数的拉氏变换为
F ( s ) t e dt 1
st
23
弹簧阻尼系统 机械系统 电系统 电压u 电感L 电阻R 电容的倒数 1/C 电荷q 电流I 力F 转矩T 质量m 转动惯量J 黏性摩擦系数 黏性摩擦系数 f f 弹簧系数k 扭转系数k 位移x 角位移 速度v 角速度
表2-1 相似系统中的相似变量
拉普拉斯变换
求解方法：经典法、拉氏变换法。
拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别
例3: RC电路
R
(1) 确定输入量和输出量 微分方程中只能留下
输入、输出变量，及系统的 输入量： u r 一些常数。 u 输出量：
c
+
+ C
ur
-
i
uc
-
(2) 建立初始微分方程组 duc RC dt + uc= ur 根据基尔霍夫定律得：
ur= Ri + uc duc i = C dt (3) 消除中间变量，使式子标准化 RC电路是一阶常系数线性微分方程。
2)单位斜坡函数
t
0
t
0, f t t ,
t0 t0
L f t L[t ]
0
te
st
1 dt 2 s
几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
eat f t
df t dt
F(s)
F s a
sF s f 0
系的数学表达式。
建立数学模型的目的 • 是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。
• 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，
然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型 来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研 究其内在的共性运动规律。
建立合理的数学模型
X s L x t x e s d
0
例如：
s 1 i
(2) f(t)是实函数，且满足：
当 t 0 时，有 f t 0
• 单位阶跃函数1(t)
1(t ) A0 1t 0 t 00
t
• 单位阶跃函数的拉氏变换为
义的形式
机械系统微分方程
例1：弹簧-质量-阻尼器串联系统，如图2-1所示。 列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移x(t)为输 出量的运动方程式。
F(t)
K
m f
x(t)
图 2 1 机 械 系 统
-
解：按照列写微分方程式的一般步骤有： 1）确定输入量、输出量，作用于质量m的力还有弹 性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t) ，均作为中间变量； 2）假设当无外力作用时，系统处于平衡状态；
函数f(t)的拉氏变换
拉氏积分运算符
F s L f t f t e dt 0