第二章 质点运动学

五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： r xi 直线运动中，用坐标x(代数量)可表 示质点的位置； 运动方程：x x(t )
P2
x2
P1
0
x1
x
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切向 和en法向为坐标轴，由此构成的 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
xi yj zk
讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不 r s 相等，即； dr ds c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时； r s



三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度
det d v ds v 2 式（2-2）中第二项为： v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为
v a n en （2-5） r
2
det
et
et d
大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除 以曲率半径 。
⑷
三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在 B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与 x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ 为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间 隔内的角位移。
y B , t t

O
A, t


P r y

y
x
x
图 1-2
2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运 动方程。 运动方程
矢量形式： r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
分量形式：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
四、相对加速度 由式（2-20）对时间求一阶导数有
aPE aPM aME
（2-21）
结论： P对 E的加速度等于 P对 M 的加速度与 M对E的加速度的矢量和。
y
A, t

1

B, t t

（见图1-4）
v (t t ) v (t ) v a t t
r1 （平移） r2
2
2
o
图 1-4
x
称为Δt时间间隔内质点的平 均加速度



2、瞬时加速度 为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加 速度。 v dv d 2 r 定义： a lim 2 t 0 t dt dt 称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。 结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢 对时间的二阶导数。 说明：一般情况下与 v 方向不同（如不计空气阻 力的斜上抛运动）。
d d 2 lim lim 定义： （2-13） t 0 t 0 t dt dt 2
（2-14
结论：角加速度等于角速度对时间的一 阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。 说明：角加速度是矢量，方向沿 d 方 向。 4、线量与角量的关系 a at 、 n、 把物理量 v 、 v 、a等称为线量， ， 等称为角量。 B, t dt ds （ 1） 、 v 与 关系 dr 如图2-7， dt 0 时，
r
A, t
dr ds rd
d

r x
图 1-12
有
dr
即 v r （2-15） （2） at 与 关系 式（2-15）两边对 求一阶导数 t
dv d r dt dt
d r dt dt
即
at r （2-16）
B, t dt ds dr A, t


et ds d
B, t dt
2、法向加速度
O
A,t r
式（2-2）中，第二项是由质点运 图 1-8 动方向改变引起的。 如图1-8，质点由A点运动到B点，有det=e’t-et, e’t与et夹角为d （见图1-8）当d 趋于0时 ，有 det 的大小等于 d 。因为det垂直et，所以由A 点指向圆心O，可有det= d en
C
et (切向）
e（法向） n
A ,t P
B 图 1-6
二、圆周运动的切向加速度及法向加速度
1、切向加速度 如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质 点速度 v e V=vet v为速率。 A,t
t
en
r
O
图 1-7
加速度为 a=dv/dt=dv/dtet+vdet/dt（2-2） 式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引 起的，方向与et共线，称该项为切向加速度， 记为 at= dv/dtet =atet（2-3） at为加速度的切向分量。 结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导 数。
v an r
2
图 1-9
3、总加速度
dv v 2 a at an at et an en et en dt r
大小：
（2-7） （2-8）
2 dv v 2 2 a at a n dt r
2
2
方向：a与et夹角（见图1-10）满足
a O

an
at
A,t
图 1-10
4、一般曲线运动 圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于 一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。 讨论：⑴如图1-10，a总是指向曲线的凹侧。 ⑵ an 0时，r ，质点做直线运动。此时
dv 0) 0, 加速直线运动（ dv at dv 0) 0, 减速直线运动（ dt dv 0) 0, 匀速直线运动（
3、角加速度 为了描述角速度变化的快慢，引进角加 速度概念。 （1）平均角加速度： 设在 t 内，质点角速度增量为 定义： （2-12） 称为时间间隔内质点的平均角加速度瞬 时角加速度：
t

称为 t 时刻质点的瞬时角加速度，简
称角加速度。
d d 2 2 dt dt
一、相对位矢
设有参照系E、M，其上固连的坐标系，如图1-13， 二坐标系相应坐标轴平行，M相对于E运动。 rPM ，相对位矢为： 质点P 相对E 、 M 的位矢分别为 、 r PE rPE rPM rO'E (2-18) 结论：P对E的位矢等于P对 y M M的位矢与 O ' 对E的位矢 y p 的矢量和。 r r
消去t 可得轨迹方程： f (x,y,z) = 0
3.位移
位移：质点一段时间内位置的改变；
r r (t t ) r (t ) ( xBi yB j zB k ) ( xAi y A j z Ak )
( xB x A )i ( y B y A ) j ( z B z A )k
z
参考系
o 坐标系
y
x
图 1-1
3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质 量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。 说明： ⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中 有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3） 无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研 究问题的性质和精确度而定.

结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时 间的一阶导数。
说明： （1）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量； 前者为标量，后者为矢量。 （2）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为 标量，后者为矢量。 （3）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速 率不等于速度的大小。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快 慢，从而引进加速度的概 念。 1、平均加速度 定义：平均加速度
A
r (t )
B B 3 B2B1B 4 B B6 5
r
r (t t )
vxi vy j vz k
0

2 2 2 大小： v v v v v x y z 方向： dr 的方向---轨道切线方向；
3、平均速率与瞬时速率 定义：平均速率=Δs/Δt 称为质点在Δt时间段内的平均速率。为了描述 运动细节，引进瞬时速率。 定义：v=ds/dt 称为t时刻质点的瞬时速率，简称速率.当Δt趋 于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬时速率=瞬时速度 的大小。
x
图 1-11
2、角速度 平均角速度：
定义： （2-9） 称为平均角速度。平均角速度粗略地描 述了物体的运动。为了描述运动细节， 需要引进瞬时角速度。
定义：
d lim lim t 0 t 0 t dt （2-10）
d dt
t
（2-11） 结论：角速度等于角坐标对时间的一阶 导数 说明：角速度是矢量,方向与角位移
第二章 质点运动学
运动学：只从几何观点研究物体的运动。 如位置、 力 学 速度、加速度等，而不涉及物体间的相互作用。
新乡学院物理系
§1-1 质点运动的描述
一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的 参考物体叫参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运 动，要选择一个与 参考系相 对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参考系、坐标系是任 意选择的，视处理问题方便 而定。