黑龙江省哈师大附中高一数学上学期期末考试 新人教版
黑龙江省哈师大附中高一数学上学期期末考试新人教版【会员独享】
哈师大附中2009—2010学年度高一上学期期末考试数 学 试 卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．16sin3π的值为（ ）A ．12 B ．1-2C D ．2．设集合{}2|4M x x =>，{}|3N x x =<，则以下各式正确的是（ ） A ．{}|3M N x x =< B ．{}|2||3M N x x =<< C ．{}|23MN x x =<< D ．MN R =3.函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π4.函数()()112g x f x x +=-的定义域为（ ）A ．()1,-+∞ C ．()(),22,-∞+∞C ．()()1,22,-+∞ D ．()2,+∞5.设()()1,2,3,4,a b c =-=-=()3,2，则()2a b c +⋅=（ ）A.()15,2-B.0C.3-D.11- 6.若1x y >>，则（ ）A.33X Y< B.3311x y og og > C.4411xy og og < D.1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.函数()1221x x f x og =-的零点所在的区间为（ ）A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,28.函数2142115y og x og =-在区间[]2,4上的最小值是（ ）A.4B.8C.234D.2549.如图：△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°.直线l与AB相交.且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y.点A到直线l的距离为x.则()y f x=的图像大致为（）10.已知()f x是[]1,1-上的偶函数，当[]0,1x∈时，()()11xf x og+=则（）A.sin cos66f fππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.sin cos33f fππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.22sin cos33f fππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.55sin cos66f fππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：（每小题4分，共20分）11.函数3sin2y x=的图像向左平移6π个单位，得到函数的图像。
黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师大附中2022年数学高一上期末达标检测模拟试题含解析
19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型 与 可供选择
（2）6月
【解析】（1）根据指数函数和幂函数的性质可得合适的函数的模型.
（2）根据选择的函数模型可求最小月份.
小问1详解】
指数函数 随着自变量的增大其函数的增长速度越大，幂函数 随着自变量的增大其函数的增长速度越小，因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选择 较为合适.
故 ，故 ， .
所以 .
【小问2详解】
21．定义在 上 奇函数 ，已知当 时，
求实数a的值；
求 在 上的解析式；
若存在 时，使不等式 成立，求实数m的取值范围
22．计算：（1） .
（2） （ 是自然对数的底数）.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
【解析】设AB边上的高为h，则S△ABC＝ |AB|·h，根据两点的距离公式求得|AB|，而AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，由点到直线的距离公式可求得选项
，且 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
所以函数 在 上单调递增；
又 ，
所以 ，即 .
故答案为：单调递增； .
14、
【解析】由幂函数所过的点求 的解析式，进而求 即可.
【详解】由题设，若 ，则 ，可得 ，
∴ ，故 .
故答案为：
15、
【解析】设出幂函数的函数表达，然后代点计算即可.
【详解】设 ，因为 ，所以 ，所以函数的解析式是
黑龙江省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．集合，全集，则的所有子集个数（ ） {}{}N |38,6,7,8A x x B =∈<<=U A B =⋃()U A B ⋂ðA ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C【分析】根据给定的条件，用列举法表示集合A ，再求出即可作答.()U A B ⋂ð【详解】依题意，，而，则，，因此{4,5,6,7}A ={}6,7,8B ={4,5,6,7,8}U ={6,7}A B ⋂=，(){4,5,8}U A B = ð所以的所有子集个数是.()U A B ⋂ð328=故选：C2．已知角的终边经过点，则（ ）α(-()tan cos 2ππαα⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭A ． BC ．D ．12-12【答案】A【分析】根据三角函数的定义式可得各三角函数值，再利用诱导公式进行化简求值. 【详解】由已知角的终边经过点，α(-得sinα=tan α==又由诱导公式得，()tan cos tan sin 2ππαααα⎛⎫-++-=+== ⎪⎝⎭故选：A.3．若，则（ ） 01,1a b c <<<>A ． B ．C ．D ．()0a b c ->c c a b <c ca b<log log c c a b >【答案】B【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】A ，，，则，即，故A 错误； 01a b <<<1c >0a b -<()0a b c -<B ，，则，故B 正确； 01,1a b c <<<>c c a b <C ，，则，又，所以，故C 错误； 01a b <<<11a b >1c >c c a b>D ，由，则为增函数，由，所以，故D 错误. 1c >log c y x =01a b <<<log log c c a b <故选：B4．函数在上的值域为（ ）()πsin(2)3f x x =+ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ． (]0,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．D ．⎛⎤⎥⎝⎦[]1,1-【答案】C【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.【详解】当时，，当时，即 时，取ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ππ232x +=π12x =()πsin(23f x x =+最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为 ππ233x +=-π3x =-()πsin(2)3f x x =+⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：C5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数的解析式可判断其在区间的图象大致1cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[],ππ-为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.【详解】当时，令，得或，[],x ππ∈-1cos 0y x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2x π=-2x π=且时，；时，，故排除选项B.0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 0y x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1cos 0y x x x ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，故排除选项C ；cos y x =1y x x =+1cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为时，函数无意义，故排除选项D ；0x =1cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A.6．已知函数是定义域为R 的偶函数，当时，，如果关于x()f x 0x ≥()221,0245,21x x x f x x x x ⎧-++≤≤⎪=⎨->⎪+⎩的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（ ） ()()210m f x nf x ++=⎡⎤⎣⎦m n -A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1【答案】A【分析】画出偶函数在R 上的图象，数形结合得到的解得情()221,0245,21x x x f x x x x ⎧-++≤≤⎪=⎨->⎪+⎩()f x t =况，从而确定关于的方程要有两个不同的解，且，由韦达定理得到t 210mt nt ++=122,1t t ==,m n 的值，进而求出的值. m n -【详解】当时，， 2x >()()4194594111x x f x x x x +--===-+++且当时，， 2x =4511x x -=+又为R 上的偶函数，则函数图象如下所示：()f x当时，有2个解， 2t >()f x t =当时，有4个解， 2t =()f x t =当时，有6个解， ()1,2t ∈()f x t =当时，有3个解， 1t =()f x t =当时，无解，1t <()f x t =要想关于x 的方程恰有7个根，()()210m f x nf x ++=⎡⎤⎣⎦则关于的方程要有两个不同的解，设出， t 210mt nt ++=12,t t 则，由韦达定理得：，， 122,1t t ==12nm +=-112m⨯=解得：，13,22m n ==-故. 13222m n ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭故选：A7．已知，则的大小关系为（ ）3142342,3,log 4,log 5a b c d ====a b c d ,,,A ． B ． C ． D ．b a dc >>>b c ad >>>b a c d >>>a b d c >>>【答案】C【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得314222)a ==y =[0,)+∞934<<，即，112232)32<<32b a >>函数在单调递增，并且有， 4log y x =(0,)+∞44log30,log 50>>则44442log 16log 15log 3log 5=>=+=2+>于是得，即，则，44log 3log 51⨯<4341log 5log 4log 3<=c d >又函数在单调递增，且， 3log y x =(0,)+∞4<333log 4log 2<=所以. 32b acd >>>>故选：C【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较，如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.8．已知函数的定义域为,图象恒过点,对任意,都有则不等式()f x R ()1,112x x <()()12121f x f x x x ->--的解集为（ ）()()22log 212log 21x xf ⎡⎤-<--⎣⎦A ． B ． C ． D ．()0,∞+()2,log 3-∞()()2,00,log 3-∞ ()20,log 3【答案】D【解析】判断出是增函数，又()()R x f x x =+()()()2222log 1log 12(1)1x xf f -+-<=+，求得，从而求得的范围。
哈尔滨师范大学附属中学数学高一上期末基础练习(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．(0分)[ID ：12086]已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．(0分)[ID ：12124]已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ） A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－154．(0分)[ID ：12102]已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<5．(0分)[ID ：12101]若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．(0分)[ID ：12083]已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2787．(0分)[ID ：12081]设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B C ．14，2 D ．14，4 9．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．(0分)[ID ：12032]函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)11．(0分)[ID ：12070]定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7- C ．()()2,02,-+∞D ．[)(]7,22,7--12．(0分)[ID ：12047]偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：12038]曲线1(22)y x -≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 14．(0分)[ID ：12098]下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y =cosxB ．y =sinxC ．y =lnxD ．y =x 2+115．(0分)[ID ：12042]若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题16．(0分)[ID ：12225]若155325a b c ===，则111a b c+-=__________．17．(0分)[ID ：12219]若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m的取值范围是__________．18．(0分)[ID ：12193]定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________19．(0分)[ID ：12179]已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________. 20．(0分)[ID ：12165]已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 21．(0分)[ID ：12159]函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 22．(0分)[ID ：12149]若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log x a f x a t =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.23．(0分)[ID ：12145]已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______.24．(0分)[ID ：12130]已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．25．(0分)[ID ：12212]设A,B 是两个非空集合，定义运算A ×B ={x|x ∈A ∪B,且x ∉A ∩B}．已知A ={x|y =√2x −x 2}，B ={y|y =2x ,x >0}，则A ×B =________.三、解答题26．(0分)[ID ：12317]已知函数()2log f x x = （1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.27．(0分)[ID ：12307]已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.28．(0分)[ID ：12302]已知函数22()21x xa f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥;(3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f txf x +->恒成立，求实数t 的取值范围.29．(0分)[ID ：12301]对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，总存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点． （1）当1a =，3b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有关于参数1两个不动点，求a 的取值范围； （3）当1a =，5b =时，函数()f x 在(]0,4x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围．30．(0分)[ID ：12282]已知函数2,,()lg 1,,x x m f x x x m ⎧⎪=⎨+>⎪⎩其中01m <.（Ⅰ）当0m =时，求函数()2y f x =-的零点个数；（Ⅱ）当函数2()3()y f x f x =-的零点恰有3个时，求实数m 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B7．B8．A9．C10．A11．B12．D13．A14．A15．C二、填空题16．1【解析】故答案为17．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根18．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式19．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值20．【解析】【分析】由题意可得f（x）g（x）的图象均过（﹣11）分别讨论a＞0a＜0时f （x）＞g（x）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题21．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考22．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【23．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时24．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点25．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B=三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小．【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<，c a b ∴<<．故选：C ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．3．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根，即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <，解得15a =-，故选：A.【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x x x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()23141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值范围． 【详解】 由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数，则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <； 且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322ff18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--；再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数； 当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题7．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．8．A解析：A【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ． 考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．9．C解析：C【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．A解析：A【解析】【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.11．B解析：B【解析】【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃． 【详解】当07x <≤时，()26x f x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．12．D解析：D【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．13．A解析：A【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法14．A解析：A【解析】由选项可知，B,C 项均不是偶函数，故排除B,C ，A,D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.15．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立， 即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,1 2)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,1 2〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-. 故选C. 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题16．1【解析】故答案为解析：1【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 17．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]【解析】【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围．【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增， ∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数，∴001212m m >⎧⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]．故答案为(0,3]．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．18．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式 解析：13- 【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果.【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-， 当10m +=时，x R ∈；当10m +>时，12m x -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 19．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解.【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦，当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞，此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同，故a 的取值范围为(]0,1.故答案为:(]0,1.【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题. 20．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题 解析：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2a x =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题． 21．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考 解析：4【解析】【分析】设()2sin 1x g x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++x y x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】 ∵函数2sin 21=+++x y x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1x g x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数，设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -，又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-，∴max min 224y y M M +=++-=，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1x g x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题. 22．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【 解析：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知可构造()2log x a at x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】 ()2()log x a f x a t =+为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log x a f x a t =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解，整理得：20x x a a t -+=，令,0xm a m => ， 20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可， 解得104t <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题. 23．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时 解析：5【解析】【分析】 将2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x x x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，可得答案.【详解】 解：由2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x x x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩ 设4()()x f x g x =，8,01,1()8,12,418,23,16x x x x g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得，当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =，当12x <≤时，21848x ⨯=，253x =， 当23x <≤时，318816x ⨯=，373x =， 此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=，故答案为：5.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.24．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点 解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围．【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++， ()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥， 解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>， 则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．25．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A∪B=x|x≥0A∩B=解析：[0,1]∪(2,+∞)【解析】【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解A ×B 即可.【详解】求解函数y =√2x −x 2的定义域可得：A ={x|0≤x ≤2},求解函数y =2x ,x >0的值域可得B ={x|x >1}，则A ∪B ={x|x ≥0}，A ∩B ={x|1<x ≤2}结合新定义的运算可知：A ×B = {x|0≤x ≤1或x >2}，表示为区间形式即[0,1]∪(2,+∞).【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题26．（1）{}1|0x x <<；（2）12k =-. 【解析】【分析】【详解】试题分析：()1由题意得()()()221log 1log f x f x x x +-=+-，然后解不等式即可(2) 图象关于y 轴对称即为偶函数，即：()()22log 21log 21x x kx kx -+-=++成立，从而求得结果解析：（1）因为()()11f x f x +->，所以()22log 1log 1x x +->，即：21log 1x x +>，所以12x x+>，由题意，0x >，解得01x <<，所以解集为{}1|0x x <<.（2）()()21x g x f kx =++ ()2log 21x kx =++，由题意，()g x 是偶函数，所以x R ∀∈，有()()g x g x -=，即：()()22log 21log 21x x kx kx -+-=++成立，所以 ()()22log 21log 212xx kx -+-+=，即：221log 221x x kx -+=+，所以2log 22x kx -=， 所以2x kx -=，()210k x +=，所以12k =-. 27．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案； （2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(lg f x x -=-+，所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，u x =，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证u x =在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.28．(1)2a =;(2)}{20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)由奇函数的性质得出a 的值；(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32021x x -≥-，解不等式即可得出答案； (3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()2(1)0f tx f x +->化为21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.【详解】(1)根据题意，函数222222()()211212x x x x x x a a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=--- ∴2a =. (2)222()421x x f x ⋅+=≥-，即21221x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()32210210x x x ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤. (3)22222244()2212121x x x x x f x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-即21tx x <-，221111124t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭ 又(1,3]x ∈，11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <- 综上1,4t ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.29．（1）4或1-；（2）()0,1；（3）(]10,11．【解析】【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）当1a =，5b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求．【详解】解：（1）当1a =，3b =-时，2()24f x x x =--，由题意可得，224x x x --=即2340x x --=，解可得4x =或1x =-，故()f x 关于参数1的不动点为4或1-；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠， 则210ax bx b ++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，所以△24(1)0b a b =-->恒成立，即2440b ab a -+>恒成立，∴216160a a ∆=-<，则01a <<，∴a 的取值范围是()0,1；（3）1a =，5b =时，2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解， 即46m x x-=+在(0，4]上有两个不同实数解， 令4()h x x x=+，04x <≤， 结合对勾函数的性质可知，465m <-≤，解可得，1011m <≤．故m 的范围为(]10,11．【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的灵活应用，属于中档题．30．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（I ）当0m =时，由()20f x -=，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出()2y f x =-的零点的个数.（II ）令2()3()0f x f x -=，解得()0f x =（根据分段函数解析式可知()0f x >，故舍去.）或()3f x =.结合分段函数解析式，求得()3f x =的根，结合分段函数()f x 的分段点，求得m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0m =时，2,0,()lg 1,0.x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩令()20y f x =-=，得()2f x =，则|lg |12x +=或||22x =.解|lg |12x +=，得10x =或110， 解||22x =，得1x =-或1x =（舍）. 所以当0m =时，函数()2y f x =-的零点为1-，110，10，共3个. （Ⅱ）令2()3()0f x f x -=，得()0f x =或()3f x =.由题易知()0f x >恒成立.所以()3f x =必须有3个实根，即|lg |13x +=和||23x =共有3个根.①解||23x =，得2log 3x =-或2log 31x =>（舍），故有1个根.②解|lg |13x +=，得100x =或1100x =， 要使得两根都满足题意，则有1100m <. 又01m <，所以10100m <. 所以实数m 的取值范围为10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.。
哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
（2）当 为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.
21．如图，在扇形OAB中，半径OA=1，圆心角 C是扇形弧上的动点，矩形CDEF内接于扇形，且OE=OF.记∠AOC=θ，求当角θ为何值时，矩形CDEF的面积S最大?并求出这个最大的面积.
参考答案
12、
【解析】由题意得
13、
【解析】∵ 在x∈（0,+∞）上是减函数，f(1)=0，
∴0<3－x<1，解得2<x<3.
14、
【解析】先确定函数 单调性，再根据单调性化简不等式 ，最后解一元二次不等式得结果.
【详解】 在 上单调递增， 在 上单调递增，且
在R上单调递增
因此由 得
故答案为：
【点睛】本题考查根据函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.
如图所示，一个周期内的最低点和最高点分别记作 ，
分别作在 轴上的射影，记作 ,
根据 的对称性可得 的横坐标分别为 ,
∴ 是函数f(x)的一个单调增区间，
∴函数 的单调增区间是 ,
故答案为： ,
【点睛】本题关键在于掌握函数图象的对称性和周期性.一般往往先从函数的图象确定函数中的各个参数的值，再利用函数的解析式和正弦函数的性质求得单调区间，但是直接由图象得到函数的周期，并根据函数的图象的性质求得一个单调增区间，进而写出所有的增区间，更为简洁.
1．一名篮球运动员在最近6场 比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出现了污点，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污点2处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均数为17，则污点1，2处的数字分别为
A.5，7B.5，6
2025届黑龙江省哈尔滨师范大学附中高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
【解析】由题意可知，直线 l ' 应与直线 x 3y 1 0 平行，可设直线方程为 x 3y m 0m 1 ，由于两条至直线
故选：A 10、A 【解析】首先设出新农村建设前的经济收入为 M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为 2M，之后从图中各项 收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M， 则新农村建设前种植收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确； 新农村建设前其他收入我 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确；
A. a b 0
B. ac bc
C. a2 b2
D. 1 1 ab
5．已知
a
3 5
1
3
，
b
3 5
1 2
，
c
log
3 5
2
，则
a，b，c
三个数的大小关系是（）
A. c a b c
D. b a c
6．已知函数 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x(1 3 x ) ，则当 x 0 时， f (x) 表达式是
若 g x f x x在 R 上严格递增，不妨取 f x 1 x ，
2
则函数 g x f x x 1 x 在 R 上严格递增，但函数 f x 1 x 在 R 上严格递减，
2
2
所以，“ f x 在 R 上严格递增” “ g x f x x 在 R 上严格递增”.
黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2024届高一上数学期末考试试题含解析
黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2024届高一上数学期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是()A.tan 2y x =B.sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.sin y x = D.3cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B.若l α⊥，//l m ，则m α⊥C.若//l α，m α⊂，则//l mD.若//l α，//m α，则//l m3．已知函数2()ln ||f x x x =+，若()1.12a f =，()1b f =-，()2log 3c f =，则实数a 、b 、c 的大小关系为（） A.a b c << B.a c b <<C.c b a <<D.b c a <<4．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是 A.1433AD AB AC =-+ B.1433AD AB AC =- C.4133AD AB AC =+ D.4133AD AB AC -=5．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－16．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 37．下列四个式子中是恒等式的是（ ）A.sin +=sin +sin αβαβ（）B.cos+=cos cos +sin sin αβαβαβ（） C.tan tan tan =1tan tan αβαβαβ---（） D.()()22sin +sin sin sin αβαβαβ-=- 8．函数()2log 10f x x x =+-的零点所在区间为( )A.()5,6B.()6,7C.()7,8D.()8,99．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝2，则xy （）A.有最大值为1B.有最小值为1C.有最大值为12 D.有最小值为12 10．直线在轴上的截距是 A. B.C.D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
黑龙江高一上学期期末数学试题(解析版)
数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上．2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区城内，写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，集合，则（ ）{}1,0,1,2,3A =-{}1,0,2,4B =-A B = A. B.C.D.{}1,0,2-{}1,0-{}1,2-{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，. {}1,0,2A B =- 故选：A2. 命题“”的否定是（ ） 2,0x x ∃∈<R A. B. 2,0x x ∀∈<R 2,0x x ∃∈≥R C. D.2,0x x ∀∈>R 2,0x x ∀∈≥R 【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题， 其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以D 选项正确. 故选：D3. 是的（ ） 38x >0x >A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由不等式性质及充分必要条件判断即可．【详解】由不等式性质可知：，而， 382x x >⇔>20x x >⇒>反之，不能推出成立， 0x >2x >所以是的充分不必要条件， 38x >0x >故选：B4. 不等式的解集为（ ） 23210x x --+<A. B. 1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 或D. 或 {|1x x <-13x ⎫>⎬⎭1|3x x ⎧<-⎨⎩}1x >【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】不等式，即， 23210x x --+<23210x x +->即，解得或， ()()1310x x +->1x <-13x >所以不等式的解集为或. 23210x x --+<{|1x x <-13x ⎫>⎬⎭故选：C5. 计算：（ ）151lg 4lg 22-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A. 0B. 6C.D.1-103【答案】C 【解析】【分析】根据对数与指数运算得出答案.【详解】，1515lg 4lg lg 42lg102121222-⎛⎫⎛⎫+-=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.6. 若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）()4,2P ()f x ()f xA. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案． 【详解】设幂函数，将点代入，得，解得， ()a f x x =()4,2P 42a =12a =所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B ， 12()f x x =[0,)+∞故选：B ．7. 函数的最小值为（ ） ()()1411f x x x x =+>-A. 12 B. 10C. 8D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，1,10x x >->， ()()1414481f x x x =-++≥=-当且仅当时等号成立. ()1341,12x x x -==-故选：C8. 关于函数，给出以下四个命题：①当时，严格单调递减且没有最值；②()1x f x x =-0x >()y f x =方程一定有解；③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；④()()0f x kx b k =+≠()f x k =()y f x =是偶函数且有最小值，其中真命题是（ ） A. ②③ B. ②④C. ①③D. ③④【答案】B 【解析】【分析】分类讨论，特别是时，由函数的单调性判断①，判断函数的奇偶性，确定函数的单调01x <<性，并确定函数的变化趋势后判断②，结合偶函数的性质及的值，判断③，由函数的单调性，奇偶(0)f 性判断④．【详解】时，，时，是减函数，时，0x >()1x f x x =-1x >1()111x f x x x ==+--01x <<是增函数，无最值，①错； 1()111x f x x x =-=----的定义域是，，是偶函数，()f x {|1}x x ≠±()()11x x f x f x x x --===---()f x 时，，时，，1x →()f x →+∞x →+∞()1f x →时，直线与的图象在第一象限内一定有交点，0k >y kx b =+()y f x =由偶函数的对称性，时，直线与的图象在第二象限内一定有交点， 0k <y kx b =+()y f x =所以方程一定有解，②正确；()(0)f x kx b k =+≠是偶函数，且，所以时，函数的图象与直线只有一个公共点，所以方()f x (0)0f =0k =()y f x =y k =程只有一个解，③错；()f x k =是偶函数，时，，时，是增函数，是最()f x 1x>1()111f x x =+>-01x ≤<1()11f x x =---(0)0f =小值，所以在上，的最小值是，④正确．R ()f x (0)0f =故选：B ．【点睛】难点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查方程根的个数问题，难点在于含有多个绝对值，可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断函数的单调性，确定函数的变化趋势，然后根据函数的性质可得结论．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知，则下列计算正确的是（ ） ()1sin π2α+=-A. B. ()1sin 5π2α-=πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭C. D. 3π1cos 22α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πtan 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】依题意，， ()11sin πsin ,sin 22ααα+=-=-=所以，cos α==所以，A 选项正确； ()1sin 5πsin 2αα-==，B 选项错误；πsin cos 2αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，C 选项正确.3π1cos sin 22αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭D 选项错误.πsin π2tan π2cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭故选：AC10. 已知函数下列叙述正确的是（ ）()222,38,3x x x f x x x ⎧-+≤=⎨-+>⎩A. ()35f =B. 的零点有3个 ()()12g x f x =-C. 的解集为或()2f x <{|02x x <<}6x >D. 若a ，b ，c 互不相等，且，则的取值范围是 ()()()f a f b f c ==a b c ++()5,9【答案】ACD 【解析】【分析】根据分段函数值、零点、不等式、图象等知识确定正确答案.【详解】A 选项，，A 选项正确.()2332325f =-⨯+=B 选项，当时，方程的， 3x ≤2213222022x x x x -+-=-+=344202∆=-⨯=-<无实数根；当时，由解得， 3x >1158022x x -+-=-+=152x =所以的零点有个，B 选项错误. ()()12g x f x =-1C 选项，当时，由得，解得； 3x ≤2222x x -+<()2220x x x x -=-<02x <<当时，由得，3x >82x -+<6x >所以的解集为或，C 选项正确. ()2f x <{|02x x <<}6x >D 选项，画出的图象如下图所示， ()f x 不妨设，则，a b c <<212a b +=⨯=，由解得，()2222111x x x -+=-+≥81x -+=7x =所以，所以，D 选项正确. 37c <<()5,9a b c ++∈故选：ACD11. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移()cos f x x =12个单位长度后得到函数的图象，则下列叙述正确的是（ ） π12()g x A. 函数是偶函数 B. 函数的一个对称中心是 ()f x ()f x ()π,0C. 若，则 D. 函数的一个对称中心是 12π6x x +=()()12g x g x =()g x π,06⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数图象变换的知识求得，根据函数的奇偶性、对称性等知识求得正确答案.()g x【详解】函数，所以是偶函数，A 选项正确.()cos f x x =()f x ，所以B 选项错误.()πcos π1f ==-函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的， ()cos f x x =12再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数， π12()ππcos 2cos 2126g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，πππcos 2666g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()ππcos 2cos 266x x g x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 选项正确.，所以D 选项正确. ππcos 062g ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：ACD12. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实根，221,0()43,0x x f x x x +<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩x ()(2)0f x f x m +--=则的值可以是（ ） m A. B.C. D. 02-1-12-【答案】BC 【解析】【分析】由题设求的解析式，进而可得的解析式，并画出其函数图象，将问题(2)-f x ()(2)f x f x +-转化为与有4个交点，应用数形结合判断的范围，即知的可能值.()(2)f x f x +-y m =m m 【详解】由题设，，2221,0()1,027,2x x f x x x x x +<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩∴，2252,2(2)34,0243,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪-=-+-≤<⎨⎪--<⎩∴，可得函数图象如下：22222,0()(2)242,0222,2x x x f x f x x x x x x x ⎧--≥⎪+-=-+-≤<⎨⎪--≥⎩要使有四个不相等的实根，即与有4个交点， ()(2)f x f x m +-=()(2)f x f x +-y m =由图知：. 20m -<<故选：BC三、填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分．13. _________． 2sin3π=【答案】【解析】【详解】试题分析：．考点：三角函数14. 函数的定义域为__________． ()3()log 3f x x =+-【答案】 (3,4]【解析】【分析】根据对数函数的定义域和二次根式的定义列出不等式组，求解即可． 【详解】由题意得，，82030x x -≥⎧⎨->⎩解得，即函数定义域为， 34x <≤(3,4]故答案为：．(3,4]15. 已知定义在R 上的函数满足，设，()f x ()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦30.3220.3,log 0.3,2a b c ===则的大小顺序是__________．（用“>”号连接） ()()(),,f a f b f c 【答案】 ()()()f c f a f b >>【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数在R 上为增函数，又由，分()f x 01b a c <<<<析可得答案.【详解】定义在R 上的函数满足，则函数在R 上为增函数， ()f x ()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x 又由，，，即，，， 30200.30.31<<=22log 0.3log 10<=0.30221>=01a <<0b <1c >则有，则. b a c <<()()()f c f a f b >>故答案为：．()()()f c f a f b >>16. 已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短sin cos y a x b x c =++11π,16⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原来的，再将所得图象向左平移1个单位得到的图象，又的所有根从小到大依次3π()y f x =()1f x =相差3个单位，则的解析式为_________． ()f x ()f x =【答案】ππ2sin 133x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的最值、图象变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式. ()f x 【详解】，()sin cos y a x b x c x c ϕ=++=++其中sinϕϕ==由于图象上有一最低点，()y x c ϕ=++11π,16⎛⎫--⎪⎝⎭所以，， 11ππ2π,621k k Z c ϕ⎧-+=-∈⎪⎨⎪+=-⎩4π2π,31k k Z c ϕ⎧=+∈⎪=+根据三角函数图象变换的知识可知()()π13f x x c ϕ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ππ33x cϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭ππ4π2π333x k c⎛⎫=++++⎪⎝⎭π5π33x c⎛⎫=++⎪⎝⎭，ππ33x c⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最小正周期为，()f x2π6π3T==的所有根从小到大依次相差3个单位，即半周期，()1f x=所以，10,1c c-==12c=+=所以.()ππ2sin133f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭故答案为：ππ2sin133x⎛⎫-+⎪⎝⎭【点睛】对于的化简，主要利用的是两角与差的正弦、余弦公式，化为sin cosy a x b=+，也可以化为，可根据题意选择合适的一个来对问题进()y xϕ=+()y xϕ=+行求解.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知，为第二象限角．4sin5θ=θ（1）求的值；sin2θ（2）求的值．πcos6θ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】（1）2425-（2【解析】【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；cosθ（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.【小问1详解】，为第二象限角， 4sin 5θ= θ， 3cos 5θ∴===-则； 4324sin 22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭【小问2详解】. πππ341cos cos cos sin sin 666552θθθ⎛⎫-=+=-+⨯= ⎪⎝⎭18. 已知关于的不等式．x 240ax ax --<（1）若不等式的解集为，求的值；{}12x x -<<a （2）若不等式的解集为，求的取值范围．R a 【答案】（1）2（2）(]16,0-【解析】【分析】（1）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据一元二次0a =a 0a =4<0-0a ≠不等式解集与一元二次方程韦达定理列式即可解出答案；（2）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据已知得出一元二次0a =0a ≠0a =4<0-0a ≠不等式在上恒成立，即可列式解出答案.R 【小问1详解】当时，为，不满足题意；0a =240ax ax --<4<0-当时，若的解集为，0a ≠240ax ax --<{}12x x -<<即的两个解为与，240ax ax --=1-2则，解得； 412a--⨯=2a =【小问2详解】当时，为，在上恒成立，满足题意，0a =240ax ax --<4<0-R当时，的解集为，0a ≠240ax ax --<R 即在上恒成立，240ax ax --<R 则，解得， ()()20Δ440a a a <⎧⎪⎨=--⨯-<⎪⎩160a -<<综上：，160a -<≤故的取值范围.a (]16,0-19. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定x 162x 宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可5x a 能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）当该商品改革后的销售量10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投a 入之和，此时该商品的每件定价为30元【解析】【分析】（1）设每件定价为元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收t 2580.21t --⨯入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，25x >21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+25x >有解，利用基本不等式，可以求得结论． 1501165a x x ≥++【小问1详解】 解：设每件定价为t 元，依题意得， 25(80.2)2581t t --⨯≥⨯整理得 ，26510000t t -+≤解得.2540t ≤≤所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.【小问2详解】解：依题意，时，25x >不等式有解 21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+等价于时，有解 25x >1501165a xx ≥++（当且仅当时，等号成立） 1501106x x +≥=x =30．此时该商品的每件定价为30元10.2a ∴≥当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，∴a 此时该商品的每件定价为30元．20. 已知函数上满足，其中为实数 ()21log 1ax f x x +=-()31f =a （1）求的值，判断函数的奇偶性并证明；a ()f x （2）若函数，求在上的值域．()()()()2log 17g x f x x x =+--⎡⎤⎣⎦()g x [)2,7【答案】（1），函数为奇函数，证明见解析1a =()f x （2）(],4∞-【解析】【分析】（1）根据已知代入函数根据对数运算解出，即可得出函数解析式，根据解析式得出其()31f =a 定义域判断是否关于原点对称，根据函数解析式得出，再根据奇偶性的定义判断其奇偶()()f x f x -=-性；（2）根据已知结合对数运算得出函数的解析式，即可根据复合函数值域的求法结合二次函数与对数()g x 函数在区间上的值域得出答案.【小问1详解】 ，()31f =Q ，解得：， ()2313log 131a f +∴==-1a =则，定义域为，解得或，关于原点对称， ()21log 1x f x x +=-10101x x x -≠⎧⎪+⎨>⎪-⎩1x <-1x >则， ()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-则函数为奇函数，()f x 【小问2详解】当时，，，，[)2,7x ∈10x +>10x ->70x ->则， ()()()()()()22221log log 17log 1log 17g x f x x x x x x x =+--=-+-⎡⎤⎣+-⎦+，()()()()2222log 1log 1log l 7og 1x x x x =+-+--+-，()()22log og 17l x x +=-+，()()2log 17x x =+-⎡⎤⎣⎦，()22log 67x x =-++当时，， [)2,7x ∈(]2670,16x x -++∈则， ()(]22log 67,4x x -++∈-∞则在上的值域为.()g x [)2,7(],4∞-21. 已知函数对任意的x ，，都有，且当时． ()f x y ∈R ()()()f x y f x f y +=+0x >()0f x <（1）求的值，判断并证明函数的奇偶性；()0f ()f x （2）试判断函数在上的单调性并证明；()f x (,)-∞+∞（3）解不等式．()()2140f x f x ++->【答案】（1），是奇函数，证明见解析()00f =()f x （2）在上单调递减，证明见解析()f x (),-∞+∞（3）(),1-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性.()0f ()f x （2）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性.()f x (,)-∞+∞（3）根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.()f x ()()2140f x f x ++->【小问1详解】依题意，函数对任意的x ，，都有，()f x y ∈R ()()()f x y f x f y +=+令，得，0x y ==()()()()000,00f f f f =+=是奇函数，证明如下：()f x 用代替，得，则，x -y ()()()f x x f x f x -=+-()()f x f x -=-所以是奇函数.()f x 【小问2详解】在上单调递减，证明如下：()f x (),-∞+∞任取， 12x x <()()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-，()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦由于，所以，210x x ->()210f x x -<所以，()()()()12120,f x f x f x f x ->>所以在上单调递减.()f x (),-∞+∞【小问3详解】，，()()2140f x f x ++->()()()2144f x f x f x -->=+-由于在上单调递减，()f x (),-∞+∞所以，214,33,1x x x x +<-<<所以不等式的解集是.()()2140f x f x ++->(),1-∞22. 设函数是偶函数．()()()212R x x f x k x -=+-⋅∈（1）当时，解关于的不等式 x ∈R x ()112x a f x a +>-+（2）设函数，若不等式对任意的恒成立求实数()()()1222x g x n f x f x -⎡⎤=---⎣⎦()0g x <()1,x ∈+∞的取值n （3）设，当时，讨论关于的方程()()2log h x f x =R m ∈x 的根的个数． ()()211420h x m h x m m m -+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣++=⎦【答案】（1）当时，；当时，；0a ≤x ∈R 0a >2log x a >（2） 4n <（3），当时，方程无实数根；当时，方程有1个根；当或40,17m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0m =()1,0,2m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程有4个根； 417m =12m =41,172m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值，再将原不等式转化为k 解的范围即可；()()()22122210x x x x a a a --⋅-=-+>x （2）原不等式可转化为在上恒成立，即求的最小值即可；()2222222x x x x n --++<-()1,x ∈+∞()2222222x x x x --++-（3）利用换元法令，，将原问题转化为关于的一元二次方程的解的个数()1p h x =-0p ≥p ()0F p =即可.【小问1详解】由偶函数的定义可得，解得，()()()212x x f x k f x --=+-⋅=2k =所以，()22x x f x -=+所以由得，即()112xa f x a +>-+()221121x x a a +>-⋅++()()()22122210x x x x a a a --⋅-=-+>， 当时，由解得， 0a ≤()()2210x x a-+>x ∈R 当时，由解得， 0a >()()2210x x a-+>2log x a >【小问2详解】 由（1）可得， ()()()()1222222222222222x x x x x x x x x g x n n -----=+----=--+-因为当时，()1,x ∈+∞220x x -->则条件等价于在上恒成立， ()2222222x x x x n --++<-()1,x ∈+∞所以小于的最小值即可，n ()2222222x x x x --++-因为 ， ()()222222224422222222x x x x x x x x x x x x ------++-+==-+---令，因为单调递增，单调递减，所以在上单调递增，则， 22x x t -=-2x 2x -t ()1,x ∈+∞32t >由对勾函数的性质可得在处取得最小值，最小值为， 4t t+2t =4所以的最小值为，()2222222x x x x --++-4所以.4n <【小问3详解】令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 2x u =0u >1u =1u u +2所以，则，()222x x f x -=+≥()()2log 1h x f x =≥令，，由对勾函数的图象和性质可得当时，关于的方程有1个解，当()1p h x =-0p ≥0p =x ()1h x -时，关于的方程有2个解，0p >x ()1h x -则原问题转化为关于的方程的根的个数，p ()()22242320p m p m m m p mp m m +-++=--+=令，表示开口向上的抛物线，()2232F p p mp m m =--+()F p ， ()()2223412174m m m m m ∆=--⨯⨯-+=-当，即时，无解， Δ0<4017m <<()0F p =当时，由解得，关于的方程有1个解； 0m =()20F p p ==0p =x 当时，，的对称轴， 417m =Δ0=()2232F p p mp m m =--+302m p =>所以有唯一解，且，关于的方程有2个解；()0F p =p 0p >x 当时，有两不等实根，0m <()2232F p p mp m m =--+12,p p 因为的对称轴，且， ()F p 302m p =<21220p p m m =-+<所以有1个正数解，关于的方程有2个解；()0F p =x当时，有两不等实根， 417m >()2232F p p mp m m =--+34,p p 因为的对称轴， ()F p 302m p =>所以当，即时，有两不相等的正数解，此时关于的方程有23420p p m m =-+>41172m <<()0F p =x 4个解；当，即时，有一个零解，一个正数解，此时关于的方程有3个23420p p m m =-+=12m =()0F p =x 解； 当，即时，有一个正数解，此时关于的方程有2个解； 23420p p m m =-+<12m >()0F p =x 综上所述，当时，方程无实数根；当时，方程有1个根；当或40,17m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0m =()1,0,2m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程有4个根； 417m =12m =41,172m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】思路点睛：本题的难点在于需利用换元法将复杂的问题转化为一元二次函数的形式，第（3）问注意换元后关于的方程需有非负根，可利用对称轴和韦达定理分析根的符号情p 22320p mp m m --+=况，降低计算难度.。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附中高一上学期期末数学试题
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附中高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=,则集合A B =I （ ） A ．0 B ．{}0C ．φD ．{}1,0,1-【答案】B【解析】分别求出集合A 和集合B ,再求交集即可.解: 2{|0}{0,1}A x x x =-==2{|0}{0,1}B x x x =+==-,所以{}0A B I = 故选:B本题考查集合的交集运算,是基础题.2．若2y x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,24y x =,51y x =+,()21y x =-,y x =,(1)x y a a =>上述函数是幂函数的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C【解析】由幂函数的定义直接进行判断所给的函数中是幂函数的是2y x =和y x =.解: 形如()y x R aa =?的函数是幂函数,幂函数的系数为1,指数α是常数,所以2y x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,24y x =,51y x =+,()21y x =-,y x =,(1)x y a a =>七个函数中,是幂函数的是2y x =和y x =.故选:C本题考查幂函数的定义,解题时要熟练掌握幂函数的概念. 3．若α第二象限角,则2α在第几象限（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、四象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】A【解析】先求出α在第二象限时的表示,再求出2α的表示,最后讨论k 偶数和奇数的情况,即可得出结论.解:由题可知,α第二象限角所以22,2k k k απ+π<<π+π∈Z , 所以,422k k k αππ+π<<+π∈Z ,当为k 偶数时,2α在第一象限； 当为k 奇数时,2α在第三象限.故选:A本题主要考查任意角所在的象限,是基础题.4．已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数单调性得到a ，b ，c 的取值范围，即得到它们的大小关系．解：由对数和指数的性质可知，0.10 1.302log 0.3022100.20.21a b c a c b =<=>=<=<=∴<<Q ，，，故选：D ．本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来． 5．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+【答案】A【解析】根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求.由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=， 因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 6．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增,则满足(21)(1)f x f -<的x 取值范围是（ ） A ．1x < B ．1x >C ．01x <<D ．0x <【答案】C【解析】由()f x 为偶函数且在[)0,+∞上单调递增,便可由(21)(1)f x f -<得211x -<,解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围.解：因为()f x 为偶函数,所以由(21)(1)f x f -<得(21)(1)f x f -<; 又()f x 在[)0,+∞上单调递增;211x ∴-<解得01x <<；x \的取值范围是01x <<.故选:C本题考查函数的单调性解不等式,是基础题. 8．如果函数3sin(2)6y x πϕ=++的图象关于直线x π=对称,那么ϕ取最小值时ϕ的值为（ ） A ．6πB ．3π-C ．3π D ．6π-【答案】A【解析】根据三角函数的对称性可得262k πππϕπ++=+,整理得162k πϕπ-=+,结合ϕ取最小值时,即可得出ϕ的值.解: 函数3sin(2)6y x πϕ=++的图象关于直线x π=对称,所以262k πππϕπ++=+,即162k πϕπ-=+, ϕ取最小值时6π=ϕ.故选:A本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的对称性是解决本题的关键.9．已知锐角α的终边上一点(1cos 40,sin 40)P +o o，则锐角α=（ ）A ．80oB ．70oC ．20oD ．10o【答案】C【解析】试题分析：sin 4040tan tan tan 20,201cos 402αα====+o oo o o. 【考点】三角函数概念. 10．已知函数12()sin ,,sin 63f x x x x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,则函数()f x 最小值为（ ）A ．52B ．12C D ．2【答案】D【解析】先根据定义域求出sin x 的取值范围,再用基本不等式求最小值,最后验证取等的情况.解: 12()sin ,,sin 63f x x x x Q ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦, 1sin 12x ∴≤≤,1()sin 2sin f x x x ∴=+≥=, 当且仅当1sin sin =x x,即sin 1x =时等号成立. 所以()f x 最小值为2. 故选:D本题考查基本不等式求函数的极小值,要注意”一正二定三相等”.11．对实数m ,n ,定义运算“*”:,(1),(1)m m n m n n m n -≤⎧*=⎨->⎩,设函数()2()3*(2),f x x x x R =--∈.若函数()y f x c =+的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是（ ） A ．(3,1)-B ．(3,1]-C ．(3,2](0,1]--UD ．[2,3)[1,0)-U【答案】D【解析】由()23(2)1x x ---≤,解得12x -≤≤；由()23(2)1x x --->,解得2x >或1x <-.分别画出函数()y f x =与y c =-的图象,由图象即可以得到.解：由()23(2)1x x ---≤,化为220x x --≤,解得12x -≤≤； 由()23(2)1x x --->,解得2x >或1x <-. 画出函数()y f x =与y c =-的图象,由图象可以得到:当且仅当32c -<-?或01c <-?,即23c ≤<或10c -?<时,两个函数()y f x =与y c =-的图象由两个交点, 即函数()y f x c =+的图象与x 轴恰有两个公共点. 故选:D本题考查了新定义、通过画出函数的图象的交点求出函数零点的个数,考查了数形结合的思想方法属于中档题.12．如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg 21x af x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]3,+∞【答案】B【解析】根据条件将问题转化为方程0021213(21)x x a a +=++在0x R ∈上有解的问题即可得解．解：()21x af x lg=+Q ,0x R a ∴∈>Q 函数()21x af x lg=+为“可拆分函数”， ∴存在实数0x ，使00021321213(21)x x x a a a a lg lg lg lg +=+=+++成立，∴方程0021213(21)x x a a +=++在0x R ∈上有解，即000113(21)331222121x x x a +++==+++g在0x R ∈上有解， 0x R ∈Q ，∴011(0,1)21x +∈+，3,32a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，a ∴的取值范围为：3,32⎛⎫⎪⎝⎭． 故选B本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．二、填空题13．化简：tan(3)cos(4)sin()2cos()sin(5)ππαπαααππα-+-=----________．【答案】1 ；【解析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系化简求解即可.解: tan(3)cos(4)sin()2cos()sin(5)ππαπαααππα-+----- tan()cos cos tan cos cos cos()sin()cos sin πααααααπαπααα--==+---sin cos cos 1sin αααα== 故答案为: 1本题考查诱导公式,和同角三角函数商的关系,考查运算能力.14．已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=，若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，则m 的取值范围是__________．【答案】．【解析】试题分析：设f （x ）=x 2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f （x ）=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m 的范围．解：设f （x ）=x 2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f （x ）=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，则，解得﹣＜m ＜﹣，故m 的范围是，故答案为．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．15． 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)和燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 【答案】61e -【解析】由题意可得12000=2000ln(1)M m +，ln(1)M m +=6，解得6110Mm+=，所以6101Mm=-，填610 1.- 本题易错在没有注意单位，函数关系式中速度v 的单位是(米/秒)，问题当中的单位是火箭的最大速度可达12千米/秒，所以需要统一单位为(米/秒)，再利用对数式与指数式互化．16．定义:关于x 的两个不等式()0f x <和()0<g x 的解集分别为(,)a b 和11(,)b a,则称这两个不等式为对偶不等式,如果不等式243sin 20x x θ-+<与不等式224cos 10x x θ++<为对偶不等式,且(,)2πθπ∈,则θ=_______.【答案】56π【解析】根据对偶不等式的定义,以及不等式的解集和方程之间的关系,即可得到结论.解:设不等式2sin 20x θ-+<的解集为(,)a b , 由题意不等式224cos 10x x θ++<的解集为11(,)b a, 即,x a x b ==是方程2sin 20x θ-+=的两根,11,x x b a==是方程224cos 10x x θ++=的两根.由一元二次方程与不等式的关系可知211-2cos a b ab a b b aab θθ⎧⎪+=⎪=⎨⎪+⎪+==⎩ ,整理可得:sin cos q q =-即tan 3θ=-. 又因为(,)2πθπ∈所以56πθ=. 故答案为:56π本题以新定义为载体,考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系方程的根与系数的关系是一道综合性比较好的试题.三、解答题 17．已知tan22α=，求（1）tan()4πα+的值；（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值.【答案】（1）17-；（2）76.【解析】（1）∵tan 2α=2, ∴22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---； 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； （2）由（1），tan α=－, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=．18．设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．【答案】（Ⅰ）32；（Ⅱ）227[,]()34312k k k Z ππππ++∈ 【解析】(1)f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋sin2ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋22sin 24x πω⎛⎫⎪⎝⎭＋＋2， 依题意得2223ππω＝，故ω的值为32. (2)依题意得g(x)2sin 324x ππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦－＋＋22sin 53x 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2， 由2k π－2π≤3x －54π≤2k π＋2π(k ∈Z)，得23k π＋4π≤x ≤23k π＋712π(k ∈Z)， 故y ＝g(x)的单调增区间为227,34312k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)19．在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C 的大小；（2）若三角形的外接圆半径为2,求+a b 最大值.【答案】（1）3π;（2）【解析】（1）由三角形的内角和公式及二倍角公式整理可得()21cos 742cos 122CC +?-=,解方程可求cos C ,进而求角C .（2）由（1）得23A B π+=,代入化简可得sin sin 6A A B π⎛++=⎫ ⎪⎝⎭,利用正弦函数的性质可求出sin sin A B +的最大值,最后利用正弦定理求得+a b 最大值.解: （1）,,A B C Q 为三角形的内角.A B C π∴++=,274sin cos222A B C +-=Q , 274cos cos222C C \-= ()21cos 742cos 122CC +\?-= 即212cos 2cos 02C C -+=,1cos 2C ∴=, 0C π<<Q , 3C π∴=（2）由（1）得23A B π+=, 又因为三角形的外接圆半径为2R =,所以()2sin sin a b R A B +=+,2sin si in 3s n n si A A B A π⎛⎫+-= ⎝+⎪⎭3sin 226A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当62A ππ+=,时即3A π=,sin sin A B +.此时22a b +=⨯所以+a b 的最大值为本题主要考查了利用二倍角公式对三角函数式进行化简、求值还考查了辅助角公式的应用及正弦函数的性质、正弦定理的应用,属于基础知识的简单综合运用,属于中档试题.20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B b C a c=-+．（1）求B 的大小；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）23B π=（2）1sin 2ABC S ac B ∆== 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出3ac =，再利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）由cos cos 2B b C a c =-+ cos sin cos 2sin sin B B C A C⇒=-+ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=-2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒=--()2sin cos sin A B B C ⇒=-+ 2sin cos sin A B A ⇒=- 1cos 2B ⇒=-又0πB <<，所以2π3B =. （Ⅱ）由余弦定理有()22222π2cos 22cos3b a c ac B a c ac ac =+-=+-- ，解得3ac =，所以1sin 2ABC S ac B V ==点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的 ()22222π2cos 22cos 3b ac ac B a c ac ac =+-=+--. 21．已知函数2()21(0)f x x ax a =-+>,在区间[]0,2上的值域为[]0,1. （1）求a 的值；（2）若不等式(2)4x xf m ≥⋅对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =;（2）14m ≤ 【解析】（1）先求函数()f x 的开口和对称轴,根据对称轴结合” 函数在区间[]0,2上的值域为[]0,1”分情况讨论, 即可得a 的值.（2）将（1）中的a 代入函数()f x ,结合(2)4x x f m ≥⋅,分离常数()()22221444x x x x xm ≤-+,设新函数()m g x ≤,利用二次函数的性质求出()min g x ,从而从求得m 的取值范围.解: （1）已知函数2()21(0)f x x ax a =-+>,开口向上,对称轴2022b a x a a -=-=-=>, 有因为()f x 在区间[]0,2上的值域为[]0,1.①当01a <≤时, ()()22221022411f a a a f a ì=-+=ïíï=-+=î,解得1a =, ②当12a <<时, ()()222210002011f a a a f a ì=-+=ïíï=-?=î,解得1a =不符舍去, ③当2a ≥,()()22222210002011f a f a ì=-?=ïíï=-?=î,解得54a =不符舍去, 综上所述: 1a =.（2）由（1）得1a =,所以2()21f x x x =-+,不等式(2)4x x f m ≥⋅,即()()222214x x x m -+≥⋅.()()22221444x x x x xm ≤-+, 设()m g x ≤,()()()()()22222222114444x x x x x x x x g x -+=-+=, 令22x t =≥,则()222211111211g t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 2≥Q t ,1102t <∴≤, 则11112t -<-≤-,即211114t ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭, 所以()min 14g t =, 所以()()min min 14g x g t ==()min 14m g x ≤=, 故m 的取值范围为14m ≤. 本题考查利用一元二次函数的定义域和值域求参数,考查换元法求不等式的最值,是一般的综合题.22．已知x ∈R ,定义:()f x 表示不超过x 的最大整数,例如:1=f ,(0.5)1f -=-.（1）若()2020f x =,写出实数x 的取值范围；（2）若0x >,且()12()(7)21x f x f x f +=++,求实数x 的取值范围； （3）设()()f x g x x k x =+⋅,()21log 32h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若对于任意的[)123,,7,9x x x ∈,都有()()()123g x h x h x >-,求实数k 的取值范围.【答案】（1）20202021x ≤< （2）532x ≤<；（3）6k >- 【解析】（1）由()f x 表示不超过x 的最大整数,可得x 的取值范围为20202021x ≤<； （2）由指数函数的单调性,可得110212x <<+,则1(7)721x f +=+,即有72()8x f x ≤+<,考虑23x <<,解不等式即可得到所求范围；（3）化简得()h x 在[)7,8单调递减,在[)8,9单调递增.求得()h x 的最值,可得所以()11g x >在[)7,9恒成立,讨论当[)7,8x Î时,当[)8,9x Î时,由新定义和二次函数的最值求法,即可得到所求k 的范围.解:（1）若()2020f x =,则x 表示不超过20201+的最大整数,所以202020201x ?+,故x 的取值范围为20202021x ≤<；（2）若0x >,可得110212x <<+, ()12()(7)721x f x f x f ∴+=+=+, 则()2()7f x f x +=,72()8x f x ≤+<,72()82x f x x -≤<-,当1x =时,()5f x =,不符合.当2x =时,()3f x =,不符合.则3x =时,()1f x =,不符合.当23x <<时()2f x =,所以72282x x -≤<-,解得532x ≤<. 所以实数x 的取值范围为532x ≤<； （3）()2221log 3,7821log 321log 3,892x x h x x x x ⎧⎛⎫--≤< ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫=-=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩Q ()h x ∴在[)7,8单调递减,在[)8,9单调递增.可得()()max 71h x h ==,()()min 80h x h ==,则()()()()23781h x h x h h -=-=,所以()11g x >在[)7,9恒成立,即()1f x x k x+⋅>,整理得()2k f x x x ⋅>-在[)7,9恒成立, 当[)7,8x Î时, 27k x x >-在[)7,8恒成立,即6k >-,当[)8,9x Î时, 28k x x >-在[)8,9恒成立,即7k >-,综上可得: 实数k 的取值范围为6k >-.本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.。
黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2022-2023学年高一上数学期末教学质量检测试题含解析
【小问2详解】
由题意知 在 上恒成立，
则 ，又因为 ，所以 ，
则 ．令 ，则 ，
可得 ，
又因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，即a的取值范围是
21、（1）证明见解析
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据函数单调性的定义，准确运算，即可求解；
（2）根据函数奇偶性的定义，准确化简，即可求解；
则
所以 ，即 为奇函数.
设 ，由上可知 为奇函数.
当 时， ， 均为增函数，则 在 上为增函数.
所以 在 上为增函数.
又 为奇函数，则 在 上为增函数，且
所以 在 上为增函数.
所以 在 上为增函数.
由 ，即
所以 对任意实数x恒成立
即 ，由
当且仅当 ，即 时得到等号.
所以
故选：C
9、C
【解析】根据特称命题 否定是全称命题即可得解.
故选：A
11、C
【解析】①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断.
【详解】①若 ， ，则 或 相交，故错误；
②若 ， ，则可得 ，故正确；
③若 ， ，则 ，故错误；
④若 ， ， ，当 时， ，故错误.
故选：C
12、D
【解析】根据圆心在直线 上，设圆心坐标为 ，然后根据圆C与直线 及 都相切，由 求解.
由 ，解得 或 ，
由，解得 ，
所以 或 ，
不等式 的解集为 或 .
19、（1）1， ，
（2） 时， 有最大值 ； 时， 有最小值 .
【解析】（1）将 化简为 ，解不等式 ， ，即可得函数的单调递增区间；
2023届黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学高一数学第一学期期末预测试题含解析
【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析
二、填空题（本大题共 5 小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、{1, 2} ##{2,1}
【解析】根据集合元素属性特征进行求解即可.
【详解】因为 8 N ，所以 3 x 1,2,4,8 ，可得 x 2,1, 1, 5，因为 x N ，所以 x 1, 2 ，集合 A {1, 2} 3 x
故答案为：{1, 2} 12、①②④ 【解析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可 【详解】对于①，由题意可知， 的横、纵坐标分别为第 1 名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可知 的横
坐标小于纵坐标，所以该天上午第 1 名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，所以①正确， 对于②，由题意可知， 的纵坐标为第 1 名艺人下午创作的乙作品数， 的纵坐标为第 2 名艺人下午创作的乙作品数，
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A. 25
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共 10 小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
2019-2020学年人教A版黑龙江省哈师大附中高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设A＝{x|x2﹣x＝0}，B＝{x|x2+x＝0}，则A∩B等于（）A．0 B．{0} C．∅D．{﹣1，0，1} 2．若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5+1，y＝（x﹣1）2，y＝x，y＝a x（a＞1）上述函数是幂函数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．若α第二象限角，则在第几象限（）A．第一、三象限B．第一、四象限C．第二、三象限D．第二、四象限4．已知a＝log20.3，b＝20.1，c＝0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b5．函数y＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．y＝﹣4sin（）B．y＝4sin（）C．y＝﹣4sin（）D．y＝4sin（）6．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（﹣1，1）8．如果函数的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时φ的值为（）A．B．C．D．9．已知锐角α的终边上一点P（1+cos40°，sin40°），则锐角α＝（）A．80°B．70°C．20°D．10°10．已知函数，则函数f（x）最小值为（）A．B．C．D．211．对实数m、n，定义运算“*”：m*n＝，设函数f（x）＝（x2﹣3）*（x ﹣2），x∈R．若函数y＝f（x）+c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，1]C．（﹣3，﹣2]∪（0，1] D．[2，3）∪[﹣1，0）12．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞]二、填空题（本大题共4个小题）13．化简：＝．14．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1＝0，若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，m的范围是．15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg、火箭（除燃料外）的质量mkg的函数关系是v＝2000ln（1+）．当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达 12000m/s．（要求填写准确值）16．定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（），则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4x cosθ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（，π），则θ＝．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知tan＝2，求（1）的值；（2）的值．18．设函数f（x）＝（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g（x）的单调增区间．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若三角形的外接圆半径为2，求a+b最大值．20．在△ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）b＝，a+c＝4，且a＞c，求△ABC的面积．21．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1（a＞0）在区间[0，2]上的值域为[0，1]．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若不等式f（2x）≥m•4x对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．22．已知x∈R，定义：f（x）表示不超过x的最大整数，例如：，f（﹣0.5）＝﹣1．（Ⅰ）若f（x）＝2020，写出实数x的取值范围；（Ⅱ）若x＞0，且，求实数x的取值范围；（Ⅲ）设，，若对于任意的x1，x2，x3∈[7，9），都有g（x1）＞|h（x2）﹣h（x3）|，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题）1．设A＝{x|x2﹣x＝0}，B＝{x|x2+x＝0}，则A∩B等于（）A．0 B．{0} C．∅D．{﹣1，0，1} 解：∵A＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，B＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，则A∩B＝{0 }，故选：B．2．若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5+1，y＝（x﹣1）2，y＝x，y＝a x（a＞1）上述函数是幂函数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解：由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5+1，y＝（x﹣1）2，y＝x，y＝a x（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选：C．3．若α第二象限角，则在第几象限（）A．第一、三象限B．第一、四象限C．第二、三象限D．第二、四象限解：∵α是第二象限的角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈z，∴kπ+＜＜kπ+，k∈z，故是第一、三象限角，故选：A．4．已知a＝log20.3，b＝20.1，c＝0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b解：由对数和指数的性质可知，∵a＝log20.3＜0b＝20.1＞20＝10＜c＝0.21.3 ＜0.20＝1，∴a＜c＜b故选：D．5．函数y＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．y＝﹣4sin（）B．y＝4sin（）C．y＝﹣4sin（）D．y＝4sin（）解：由图象得A＝±4，＝8，∴T＝16，∵ω＞0，∴ω＝＝，①若A＞0时，y＝4sin（x+φ），当x＝6时，φ＝2kπ，φ＝2kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，∴φ∈∅；②若A＜0时，y＝﹣4sin（x+φ），当x＝﹣2时，φ＝2kπ，φ＝2kπ+，k∈z；又|φ|＜，∴φ＝．综合①②该函数解析式为y＝﹣4sin（）．故选：A．6．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：法1°：∵cos（﹣α）＝，∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，法2°：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，∴（1+sin2α）＝，∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，故选：D．7．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（﹣1，1）解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（2x﹣1）＜f（1）⇒f（|2x﹣1|）＜f（1），又由函数在区间[0，+∞）上单调递增，则f（|2x﹣1|）＜f（1）⇒|2x﹣1|＜1，解可得：0＜x＜1，故选：B．8．如果函数的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时φ的值为（）A．B．C．D．【解答】函数的图象关于直线x＝π对称，所以π+2φ+＝k，所以φ＝，当k＝1时，|φ|取最小值为，故选：A．9．已知锐角α的终边上一点P（1+cos40°，sin40°），则锐角α＝（）A．80°B．70°C．20°D．10°解：∵tanα＝＝＝tan20°，∴锐角α＝20°，故选：C．10．已知函数，则函数f（x）最小值为（）A．B．C．D．2解：令t＝sin x，由可得t，又y＝t+≥2，当且仅当t＝即t＝1时取等号，故选：D．11．对实数m、n，定义运算“*”：m*n＝，设函数f（x）＝（x2﹣3）*（x ﹣2），x∈R．若函数y＝f（x）+c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，1]C．（﹣3，﹣2]∪（0，1] D．[2，3）∪[﹣1，0）解：由（x2﹣3）﹣（x﹣2）≤1，化为x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2；由（x2﹣3）﹣（x﹣2）＞1，解得x＞2或x＜﹣1．∴f（x）＝．画出函数y＝f（x）与y＝﹣c的图象，由图象可以得到：当且仅当﹣3＜﹣c≤﹣2或0＜﹣c≤1，即2≤c≤3或﹣1≤c＜0时，两个函数y＝f（x），y＝﹣c的图象由两个交点，即函数y＝f（x）+c的图象与x轴恰有两个公共点．故选：D．12．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞] 解：因为函数f（x）＝lg为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得lg＝lg+lg，即＝×，且a＞0，所以a＝，令t＝2x0，则t＞0，所以，a＝＝+，由t＞0得＜a＜3，即a的取值范围是（，3）．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．化简：＝ 1 ．解：＝＝1．故答案为：1．14．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1＝0，若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，m的范围是．解：设f（x）＝x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）＝x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，则，解得﹣＜m＜﹣，故m的范围是，故答案为．15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg、火箭（除燃料外）的质量mkg的函数关系是v＝2000ln（1+）．当燃料质量是火箭质量的e6﹣1 倍时，火箭的最大速度可达 12000m/s．（要求填写准确值）解：由题意可得2000ln（1+）＝12000，∴ln（1+）＝6，∴1+＝e6，∴＝e6﹣1故答案为：e6﹣116．定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（），则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4x cosθ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（，π），则θ＝．解：设方程x2﹣4 x sinθ+2＝0的两根为a、b，则a+b＝4 sinθ，ab＝2，又方程2x2+4x cosθ+1＝0的两根为，，所以+＝﹣2cosθ，所以+＝＝＝2sinθ＝﹣2cosθ，即tanθ＝﹣，因为θ∈（0，π），所以θ＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知tan＝2，求（1）的值；（2）的值．解：（1）tan＝2，可得tanα＝＝﹣．所以：＝＝＝＝﹣．（2）由（1）tanα＝﹣．＝＝＝．18．设函数f（x）＝（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g（x）的单调增区间．解：（Ⅰ）f（x）＝（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx＝sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx＝依题意得，故ω的值为．（Ⅱ）依题意得：由解得故y＝g（x）的单调增区间为：．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若三角形的外接圆半径为2，求a+b最大值．解：（I）．∴2（1﹣cos（A+B））﹣cos2C＝，∴2+2cos C﹣（2cos2C﹣1）＝，化为：4cos2C﹣4cos C+1＝0，解得cos C＝，C∈（0，π），解得C＝．（Ⅱ）三角形的外接圆半径为2，∴＝2×2，解得c＝2．由余弦定理可得：12＝a2+b2﹣2ab cos＝（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣3，∴（a+b）2≤48，a+b最大值为4．当且仅当a＝b＝2时取等号．20．在△ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）b＝，a+c＝4，且a＞c，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得：＝﹣，整理得：2sin A cos B+sin C cos B+cos C sin B＝0，即2sin A cos B＝﹣sin（B+C）＝﹣sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝﹣，∵B为三角形内角，∴B＝120°；（Ⅱ）∵b＝，cos B＝﹣，a+c＝4，∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即13＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac＝16﹣ac，∴ac＝3，则S△ABC＝ac sin B＝×3×＝．21．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1（a＞0）在区间[0，2]上的值域为[0，1]．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若不等式f（2x）≥m•4x对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2﹣2ax+1（a＞0）在区间[0，2]上的值域为[0，1]，∵f（0）＝1，其对称轴方程为x＝a，∴f（a）＝0，即﹣a2+1＝0，又a＞0，∴a＝1；（Ⅱ）∵a＝1，∴f（2x）＝（2x）2﹣2•2x+1，若不等式f（2x）≥m•4x对任意的x∈[1，+∞）恒成立，即（2x）2﹣2•2x+1≥m•4x对任意的x∈[1，+∞）恒成立，令t＝2x（t≥2），上式可化为：t2﹣2t+1≥mt2（t≥2），则m≤1﹣+＝（﹣1）2，∵0＜≤，∴当＝时，y＝（﹣1）2取到最小值，∴m≤．即实数m的取值范围为（﹣∞，]．22．已知x∈R，定义：f（x）表示不超过x的最大整数，例如：，f（﹣0.5）＝﹣1．（Ⅰ）若f（x）＝2020，写出实数x的取值范围；（Ⅱ）若x＞0，且，求实数x的取值范围；（Ⅲ）设，，若对于任意的x1，x2，x3∈[7，9），都有g（x1）＞|h（x2）﹣h（x3）|，求实数k的取值范围．解：（Ⅰ）∵f（x）表示不超过x的最大整数，∴若f（x）＝2020，实数x的取值范围为[2020，2021）；（Ⅱ）∵x＞0，∴，∴，又，∴f（2x+f（x））＝7，∴7≤2x+f（x）＜8，∴7﹣2x≤f（x）＜8﹣2x，当x＝1时，f（x）＝5，不符合题意，当x＝2时，f（x）＝3，不符合题意，当x＝3时，f（x）＝1，不符合题意，当1＜x＜2时，f（x）＝1，∴7﹣2x≤1＜8﹣2x，∴，又∵1＜x＜2，故不符合题意，当2＜x＜3时，f（x）＝2，∴7﹣2x≤2＜8﹣2x，∴，符合题意，综上所述，实数x的取值范围为：；（Ⅲ）∵函数y＝log2（）在[7，9）上单调递增，∴，∵，∴在[7，9）上的最大值为1，最小值为0，∴|h（x2）﹣h（x3）|≤1﹣0＝1，依题意可得g（x1）＞1在[7，9）上恒成立，即有：k•f（x）＞﹣x2+x在[7，9）上恒成立，①当x∈[7，8）时，f（x）＝7，∴7k＞﹣x2+x在[7，8）上恒成立，又∵函数y＝﹣x2+x在[7，8）上单调递减，∴（﹣x2+x）max＝﹣42，∴7k＞﹣42，∴k＞﹣6，②当x∈[8，9）时，f（x）＝8，∴8k＞﹣x2+x在[8，9）上恒成立，又∵函数y＝﹣x2+x在[8，9）上单调递减，∴（﹣x2+x）max＝﹣56，∴8k＞﹣56，∴k＞﹣7，综上可得，k＞﹣6．。
黑龙江省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}N |04A x x =∈≤<{}1,0,1,2,3B =-A B = A ． B ．C ．D ．{}0,1,2{}1,2,3{}0,1,2,3{}1,0,1,2-【答案】C【分析】确定集合A 中元素，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得集合，， {}N |04{0,1,2,3}A x x =∈≤<={}1,0,1,2,3B =-故， {0,1,2,3}A B = 故选:C. 2．已知：，：，则是的（ ）条件 p 11a<q 1a >p q A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【分析】求出命题对应的的取值范围，根据集合包含关系即可求出. p a 【详解】由可得，即，解得或，所以命题对应的的取值范围为11a<110a -<10a a ->a<01a >p a ，()(),01,-∞⋃+∞因为 ， ()1,+∞()(),01,-∞⋃+∞所以是的必要不充分条件. p q 故选：B.3．已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． (tan ,cos )M αα-αA ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】由点M 所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. α【详解】因为点在第三象限，所以，， ()tan ,cos M αα-t an 0α<cos 0α>所以的终边在第四象限. α故选：D.4．在流行病学中，把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本传染数为，0R1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么N ()0N R ≥N V VN1个感染者可传染的新感染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数()0R N V N-02log R =了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ） A ．30% B ．40%C ．50%D ．60%【答案】D【分析】由题意列不等式，即可求出结果 0R ()1N V N-≤【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1人，只需要， 0()1R N V N-≤所以，即， 0()1N V R N -⨯≤011V R N ⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭52022log log 2 2.5R === ，解得2.511V N ⎛⎫∴⨯-≤ ⎪⎝⎭0.660%V N ≥=则该地疫苗的接种率至少为60% 故选：D5．若不等式的解集为，则不等式解集为（ ） 20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+A ．B ．(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．D ．43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】利用二次不等式解集的性质，结合韦达定理将不等式化简为，从而得0ax c cx b +≥+3034x x +≥-解.【详解】因为由不等式的解集为， 20ax bx c ++≥[]1,3所以，方程的两根为1和3， a<020ax bx c ++=由根与系数的关系得，则，134,133b c a a-=+==⨯=4,3b ca a =-=所以不等式可化为，即， 0ax c cx b +≥+0cx a c b x a a +≥+3034x x +≥-所以且，解得或， ()()3340x x +-≥340x -≠3x ≤-43x >所以解集为. 0ax c cx b +≥+(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭故选：B ．6．已知函数，图象向左平移个单位后关于直线对称，则下列()sin(2)1f x x ϕ=++||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭3π0x =说法正确的是（ ）A ．在区间上有一个零点B ．关于对称4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．在区间上单调递增D ．在区间上的最大值为25,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】通过函数的平移变换后图象关于直线对称可求得值，从而可求出函数解析()f x 0x =ϕ式，然后使用换元法画出函数图象，再逐项判断即可.【详解】函数，图象向左平移个单位后的图象对应的解析式为：()sin(2)1f x x ϕ=++||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭3π；2()sin 21sin 2133f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦而图象关于直线对称，且，于是，； ()f x 0x =||2ϕπ<232ππϕ+=2236ππϕπ=-=- ；∴()sin(2)16f x x π=-+ ，所以不关于对称，故B 错误；012f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ ()f x ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，则，令，则，此时函数图象如图:433x ππ≤≤62225x πππ≤-≤26t x π=-()sin 1f t t =+结合图象可知，当时，即，与坐标轴只有一个交点，即只25226t x πππ=-≤≤433x ππ≤≤()f t ()f x 有一个零点，故A 正确； 当时，则，结合图象可知，此时有增有减，故C 错误；51212ππx ≤≤20263x ππ≤-≤()f t 当时，则，结合图象可知，此时单调递增，所以，当时，即124x ππ≤≤0326x ππ-≤≤()f t 4x π=，函数取最大值，，故D 错误； 3t π=()sin 1133f t f ππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭故选：A.7．已知，给出下述四个结论:()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x①是偶函数; ②在上为减函数; ()y f x =()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭③在上为增函数; ④的最大值为. ()y f x =(,2)ππ()y f x =其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③④C ．①②③D ．①④【答案】D【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化()f x 简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断 0x ≥【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，()f x R 因为()()()sin |||sin |cos |||cos |sin |||sin |cos |||cos |f x x x x x x x x x -=-+-+-+-=+-++，所以是偶函数，故正确；()sin |||sin |cos |||cos |x x x x f x =+++=()y f x =对于②和③，因为， 55555sin |||sin |cos |||cos |044444f πππππ⎛⎫=+++==⎪⎝⎭， 7777711sin sin cos cos 06666622f πππππ⎛⎫=+++=-+= ⎪⎝⎭且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错753642ππππ<<<()y f x =3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭(,2)ππ误；对于④，当时，22,N 2k x k k πππ≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x，()sin sin cos cos 2sin cos 4x x x x x x x π⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭因为，所以， 22,N 2k x k k πππ≤<+∈322,N 444k x k k πππππ+≤+<+∈，所以； sin 14x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()2f x ≤≤当时，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2sin x x x x x =++-=因为，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以； 0sin 1x <≤0()2f x <≤当时，322,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ；sin sin cos cos 0x x x x =-+-=当时，3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2cos x x x x x =-++=因为， 3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以，0cos 1x ≤<0()2f x ≤<所以，综上所述，当时，的最大值为为偶函数，所以当时，的0x ≥()f x ()f x 0x <()f x最大值也为的最大值为④正确； ()y f x =故选：D【点睛】方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用()y f x =三角函数的性质进行求解值域8．已知函数（a >0，且a ≠1）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，若函数21log 2,1()(1)4,1a x x f x x a x ⎧+-≤=⎨-+>⎩y =|f （x ）|﹣x ﹣2有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦1[,1)41313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭1113,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【答案】C【分析】首先根据函数f （x ）的单调性求得a 的大致范围，然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再作出函数图象，利用数形结合思想求解即可.【详解】解：∵函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，且当x >1时，f （x ）=（x ﹣1）2+4a 在（1，+∞）上单调递增，∴，解得，011004a a<<⎧⎨+≤+⎩114a ≤<又函数y =|f （x ）|﹣x ﹣2有两个不同的零点等价于|f （x ）|=x +2有两个不同的实数根， ∴函数y =|f （x ）|的图象与直线y =x +2有两个不同的交点， 作出函数y =|f （x ）|与直线y =x +2的图象，当x ≤1时，由1+log a |x ﹣2|=0得，易知函数y =|f （x ）|与直线y =x +2的图象在（﹣∞，1]上有121x a=-<唯一交点，则函数y =|f （x ）|与直线y =x +2的图象在（1，+∞）上有唯一交点，故4a ≤3或（x ﹣1）2+4a =x +2，即x 2﹣3x +4a ﹣1=0有唯一解，∴或△=9﹣4（4a ﹣1）=0， 34a ≤∴或， 34a ≤1316a =综上，实数a 的取值范围为.1313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的零点问题，解题的关键是将问题转化为函数y =|f （x ）|的图象与直线y =x +2有两个不同的交点，然后画出函数图象，根据图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题二、多选题9．下列等式成立的是（ ）A ．πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．cos73cos28sin73sin28︒︒+︒︒C ．tan152︒=D ．1sin40sin702︒︒︒=【答案】ABC【分析】根据诱导公式可判断A ；根据两角差的余弦公式可判断B ；根据两角差的正156045︒=︒-︒切公式可判断C ；根据两角和的正弦公式可判断D.【详解】，故A 正确；πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确； ()cos73cos28sin73sin28cos 732c 8os 45=︒-︒=︒︒+︒︒︒=C 正确； ()tan15tan 60452︒=︒-︒==1sin40sin40cos 60cos40sin 602︒︒=︒︒+︒︒，故D 错误. ()sin 4060sin100sin 80=︒+︒=︒=︒故选:ABC.10．下列命题中正确的是（ ） A ．若，则 B ．若且，则 0x <12x x+≤-x ∈R 0x ≠12x x+≥CD ． 2≥22111x x +≥+【答案】ABD【分析】将时，化为，利用均值不等式可判断A;利用，利0x <1x x +1[()(x x--+-11||||x x x x +=+用均值不等式可判断B C ；利用，结合均值不等式判断D. 2222111111x x x x ++=+-++【详解】当时，，则， 0x <0x ->11[()()]2x x x x +=--+≤-≤--当且仅当时取等号，故A 正确； =1x -若且，则， x ∈R 0x ≠11||||2x x x x +=+≥≥当或时取等号，B 正确； 1x ==1x -，0>2==≥等号取不到，C 错误；=21,1x =∴=-2≥，当且仅当时取等号，D 正确， 222211111111x x x x +=+-≥-≥+++0x =故选：.ABD 11．若定义在R 上的减函数y ＝f （x ﹣2）的图像关于点（2，0）对称，且g （x ）＝f （x ）+1，则下列结论一定成立的是（ ）A．g（2）＝1B．g（0）＝1C．不等式f（x+1）+f（2x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）D．g（﹣1）+g（2）＜2【答案】BCD【分析】由于y＝f（x﹣2）的图像关于点（2，0）对称，可得f（x）为奇函数，从而由奇函数的性质可判断AB，对于C，利用函数为奇函数将f（x+1）+f（2x﹣1）＞0化为f（x+1）＞f（1﹣2x），再利用其单调性可得答案，对于D，由于g（﹣1）+g（2）＝f（﹣1）+f（2）+2＝﹣f（1）+f（2）+2，再利用函数的奇偶性和单调性可判断【详解】解：∵定义在R上的减函数y＝f（x﹣2）的图像关于点（2，0）对称，∴f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，∵g（x）＝f（x）+1，∴g（0）＝f（0）+1，∴g（0）＝1，故A选项错误，B选项正确，∵y＝f（x﹣2）为减函数，∴f（x）为减函数，∴g（x）＝f（x）+1为减函数，∵f（x+1）+f（2x+1）＞0，即f（x+1）＞﹣f（2x+1），∵f（x）为奇函数，∴f（x+1）＞f（1﹣2x），∵f（x）为减函数，∴x+1＜1﹣2x，即x＜0，故C选项正确.g（﹣1）+g（2）＝f（﹣1）+f（2）+2＝﹣f（1）+f（2）+2，∵f（1）＞f（2），∴g（﹣1）+g（2）＜2，故D选项正确.故选：BCD.12．已知函数的定义域为，且满足下列条件： ()f x []0,1①对于任意，总有，且；[]0,1x ∈()3f x ≥()14f =②若，则有. 12120,0,1x x x x ≥≥+≤()()()12123f x x f x f x +≥+-给出下列命题，其中正确的有（ ） A ．可能为区间内的任意值； ()0f []3,4B ．函数的最大值是4；()f x C ．函数是符合上述条件的一个函数；()[]e 3e 4,0,1e 1x g x x +-=∈-D ．当时，211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()33f x x <+【答案】BCD【分析】根据所给性质取特殊值求出判断A ，根据所给性质可推断出函数的单调性判断B ，对(0)f 所给函数验证性质判断C ，利用性质②推理可判断D.【详解】令，得，结合①知，故A 错误； 120x x ==()()()()0003,03f f f f ≥+-∴≤()03f =任取，则， []1212,0,1,x x x x ∈<()()()()212113f x f x f x x f x ≥+--≥所以在上单调递增，所以， ()f x []0,1()(1)4f x f ≤=即函数故的最大值为4，故B 正确； ()f x 易知，，()()03,14g g ==()e 3e 4e 13e 1e 1x x g x +--==+--所以任意，总有.[]0,1x ∈()3g x ≥，()1212e 13e 1x x g x x +-+=+-，()()121212e 1e 1e 1e 133333e 1e 1e 1e 1x x x x g x g x ----+-=+++-=++----则()()()12121212e 1e 1e 1333e 1e 1e 1x x x x g x x g x g x +⎡⎤---⎡⎤+-+-=+-++⎢⎥⎣⎦---⎣⎦， ()()1212121212e 1e 1e 1e 1e 1e e e 10e 1e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x x x ++--⎛⎫-----+=-+==≥ ⎪-----⎝⎭故是符合条件的函数，故C 正确；()g x 因为， ()1211113633333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+-≥++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，当时，， ()111163333f f ⎛⎫⎡⎤≤+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2113333333x +>⋅+=+所以当时，，故D 正确.211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()1133333f x f x ⎛⎫≤≤+<+ ⎪⎝⎭故选：BCD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）3ππ【答案】##32π32π【分析】首先根据弧长公式求半径，再根据扇形面积公式，即可求解. 【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径，33lr ππα===此扇形的面积.1133222s lr ππ==⨯⨯=故答案为：32π14．函数的值域为__________.()5πππ2,,1236f x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(【分析】根据求出，进而利用正弦函数图像即可求出结果.ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5ππ3π2,1244x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭【详解】因为，所以，ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5ππ3π2,1244x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭则由正弦函数图像可知，5πsin 212x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以. ()(f x ∈-故答案为：.(15．若函数在区间上为减函数，则a 的取值范围是________.()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】24(0,](1,)33⋃【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，2()2t x x ax =-1a >01a <<解得即可.【详解】解：令，则，2()2t x x ax =-()0t x >当时，是增函数，由在区间上为减函数，1a >log a y x =()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦则在上为减函数，故，即，解得；2()2t x x ax =-31,2⎛⎤⎥⎝⎦113021a t a ⎧≤⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1193041a a a ⎧≤⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩413a <<当时，是减函数，由在区间上为减函数，01a <<log a y x =()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦则在上为增函数，故，即，解得，2()2t x x ax =-31,2⎛⎤⎥⎝⎦()1321001a t a ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪<<⎪⎩1322001a a a ⎧≥⎪⎪-≥⎨⎪<<⎪⎩203a <≤综上，的取值范围是..a 24(0,](1,)33⋃故答案为：24(0,](1,)33⋃16．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是a R ∈3()f x ax x =-t R ∈2|(2)()|3f t f t +-≤a ____.【答案】 max 43a =【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-2364[1,)m t t =++∈+∞绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=∙[++++-=++-使得令，则原不等式转化为存在， 2364[1,)m t t =++∈+∞11,|1|3m am ≥-≤由折线函数，如图只需，即，即的最大值是11133a -≤-≤2433a ≤≤a 43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.四、解答题17．已知()()21R 21x x f x x -=∈+(1)判断函数的单调性，并用定义证明之．()f x (2)解关于t 的不等式．()()2320f t f t -+<【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 ()f x R (2) {}31t t -<<【分析】（1）由题意可知，对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可； （2）根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解．【详解】（1）由题意，函数在上是增函数， ()21212121x x xf x -==-++()21x h x =+R 所以函数在上是增函数． ()f x R 证明如下：在上任取且，R 12,x x 12x x <所以 ()()()()()121212122222211,21212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由可知，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即． ()()120f x f x -<()()12f x f x <即在上单调递增．()f x R （2）易知，所以函数为奇函数；()()21122112x xx x f x f x -----===-++()f x 由（1）知，函数是上的增函数，()f x R 由可得，()()2320f t f t -+<()()()2322f t f t f t -<-=-所以，即，解得，232t t -<-2230t t +-<31t -<<即关于t 的不等式的解集为()()2320f t f t -+<{}31t t -<<18．（1）已知角终边所在直线经过点，求的值； α()1,2-sin()3sin()232cos()cos()2παπαπαπα+-+---（2）已知求的值. 233sin cos 3252ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，()sin αβ+【答案】（1）；（21-【分析】（1）利用诱导公式化简即可求解； （2）利用同角三角关系与和差公式即可求解. 【详解】（1）角终边所在直线经过点，α()1,2-，，.∴sinα=cos α=tan 2α=- ∴sin()3sin()232cos()cos()2παπαπαπα+-+---cos 3sin 2sin cos αααα+=-+13tan 2tan 1αα+=-+()()132221+⨯-=-⨯-+.1=-（2） 233sin cos 3252ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，∴cos α=4sin 5β=-∴()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ 234355⎛⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=19．设函数，．()22sin cos f x x x x =-x ∈R (1)求的最小正周期； ()f x (2)若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上的单调递()f x π6()g x ()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦增区间． 【答案】(1) π(2) ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简解析式即可求出最小正周期； ()f x (2)根据图像平移求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求解.()g x【详解】（1），()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭故函数的最小正周期； 2ππ2T ==（2）将函数的图象左移个单位得到的图象，()y f x =6π()y g x =则，()ππ2sin 22sin263g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ππ2ππ,2,3432x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当即时，单调递增，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ∴在上的单调递增区间为：()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．1.已知数，函数. ()()22log log 28xf x x =⋅()1423x xg x +=--(1)求函数的值域；()f x (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数x 的取值. ()()0f x g a -≤[]0,2a ∈【答案】(1) [)4,-+∞(2)2【分析】（1）利用对数运算，把化为关于的二次函数，配方后求出的值域；（2）()f x 2log x ()f x 不等式对任意实数恒成立，只需，利用换元法求出，令()()f x g a ≤[]0,2a ∈()()min f x g a ≤()min g a ，求出实数x 的值为2.()4f x ≤-【详解】（1）， ()()()()()2222222log 3log 1log 2log 3log 144f x x x x x x =-+=--=--≥-即的值域为.()f x [)4,-+∞（2）∵不等式对任意实数恒成立，∴.()()f x g a ≤[]0,2a ∈()()min f x g a ≤， ()()()2214232223214a a a a a g a +=--=-⨯-=--令，∵，∴，2a t =[]0,2a ∈[]1,4t ∈设，，当时，取得最小值，即，()()214h t t =--[]1,4t ∈1t =()h t 4-()min 4g a =-∴，即，∴实数x 的值为2.()4f x ≤-()22log 144x --≤-21．已知二次函数.()()21,R f x x a x a a =-++∈(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；x ()1f x ≤-(]2,3x ∀∈a (2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范()1g x x =-[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥a 围.【答案】(1) 72a ≥(2)或 {1aa ≤-∣3}a ≥【分析】（1）分离参数得对恒成立，只需，利用对勾函数211x x a x -+≥-(]2,3x ∀∈2max 11x x a x ⎛⎫-+≥ ⎪-⎝⎭单调性求最大值即可；（2）由，，使不等式成立可得 ，是一元二1[0,1]x ∀∈2[1,2]x ∃∈-12()()g x f x ≥min min ()()g x f x ≥()f x 次函数，利用对称轴位置分类讨论求最小值即可.【详解】（1）因为二次函数，()()21,R f x x a x a a =-++∈所以关于的不等式对恒成立，x ()1f x ≤-(]2,3x ∀∈转化为对恒成立，()211a x x x -≥-+(2,3]x ∀∈即对恒成立，211x x a x -+≥-(]2,3x ∀∈令，记，因为，所以，()22(1)111111111x x x x y x x x x -+-+-+===-++---1t x =-(]2,3x ∈(]1,2t ∈则，因为在上单调递增，11,(1,2]y t t t =++∈11y t t =++(1,2]t ∈所以，，所以； 2t =max 72y =72a ≥（2）对，使不等式成立， [][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥转化为 min ()g x min ()f x ≥， ()[]1,0,1g x x x =-∈ 在上单调递增，()g x ∴[]0,1，()min ()01g x g ∴==-， ()()[]2221211,1,224a a a f x x a x a x x +-+-⎛⎫=-++=-+∈- ⎪⎝⎭ ①当，即时，在上单调递增， 112a +≤-3a ≤-()f x []1,2-，()min ()122f x f a ∴=-=+此时，且，解得； 122a -≥+3a ≤-3a ≤-②当，即时，在上单调递减， 122a +≥3a ≥()f x []1,2-()min ()22,f x f a ∴==-此时，且，解得； 12a -≥-3a ≥3a ≥③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 1122a +-<<33a -<<()f x 11,2a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2min121(),24a a a f x f +-+-⎛⎫∴==⎪⎝⎭此时，且，解得，22114a a -+--≥33a -<<31a -<≤-综上所述，实数的取值范围为或. a {1aa ≤-∣3}a ≥22．已知为偶函数，为奇函数，且满足.()f x ()g x ()()12xf xg x --=(1)求函数､的解析式； ()f x ()g x (2)已知函数，，求函数的值域； ()()()g x h x f x =[]0,1x ∈()h x (3)若关于的方程在内恰有两个不等实根，求实数的取值范围.x ()()()23g x f x λ+=⎡⎤⎣⎦()1,1-λ【答案】(1) ()()2222x x x x f x g x --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(2) 30,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3) 17,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）结合奇偶函数性质，令，两式联立可求､的解析式； x x =-()f x ()g x （2）化简得，结合单调性可求的值域； ()22121x h x =-+()h x （3）易得，令，结合奇偶性与单调性确定的取值()22222223x x x xλ---⋅+++=22x x t -=-()t x t范围，原方程等价为，分离参数得，令，结合单调性可()243t t λ++=234t t λ=--()234h t t t =--求的取值范围.λ【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，()f x ()g x ()()12xf xg x +---=即，所以，，解得； ()()12xf xg x ++=()()()()1122x x f x g x f x g x -+⎧-=⎪⎨+=⎪⎩()()2222x x x x f x g x --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（2）由题意，，因为单调递增， ()222222121222121x x x x x x xh x ----===-+++()h x ，所以值域为；()()300,15h h ==()h x 30,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由题知方程在区间内恰有两个不等实根.()22222223x x x xλ---⋅+++=()1,1-显然不是该方程的根，令，则原方程可变形为，0x =22x xt -=-()243t t λ++=由，所以为偶函数，()()()2222x x x xt x t x t x --=-⇒-=-=()t x 当时，单调递增，所以，()0,1x ∈()212x xt x =-30,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则题意转化为方程在区间内有唯一实根（因为每一个在区间内234t t λ=--30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭30,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,1-恰有两个值与之对应）.x 设，显然在区间内单调递减，()234h t t t =--()h t 30,2⎛⎫⎪⎝⎭又时，，当时，，所以.0t →()h t →+∞32t →()174h t →-174λ>-综上所述，所求常数的取值范围是.λ17,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭。
黑龙江省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一学年数学试题答题时间：120分钟 满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合，，则（ ）{}1,2,3A ={}0,1,2B =A B = A. B.C.D.{}0,1{}2,3{}0,3{}1,2【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义，即得解 【详解】由题意，利用交集的定义，A B = {}1,2故选：D2. 设，则“”是“”的（ ） R a ∈2a <6a <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】，则当时，必有，222a a <⇔-<<2a <6a <反之当时，不一定成立，如，满足，而不满足， 6a <2a <3a =6a <2a <所以“”是“”的充分不必要条件. 2a <6a <故选：A3. 已知函数，若，则（ ）()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩()21f f =⎡⎤⎣⎦=a A. B. C. D.2-7-15【答案】B 【解析】【分析】先计算出，然后得出，即可求出实数的值.()23f =-()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦a【详解】，，()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()21233f -∴=-=-则，得，解得. ()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦92a +=7a =-故选：B.【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.4. 已知角终边上一点，则的值为 α(2,3)P -cos()sin()2cos()sin(3)παπαπαπα++--A.B. C.D. 3232-2323-【答案】A 【解析】【详解】角终边上一点，所以. α()2,3P -32tan α=-.故选A. ()()()()()cos sin 32cos sin 32sin sin tan cos sin παπααααπαπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-=---5. 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的,x y 2x y xy +=,x y 228x y m m +<+m 取值范围是（ ） A.B.()1,9-()9,1-C. D.()(),91,∞∞--⋃+()(),19,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后,x y 211x y+=2x y +解不等式即可.【详解】由得， 2x y xy +=211x y+=，()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，3x y ==则使不等式有解，只需满足即可， 228x y m m +<+289m m +>解得. ()(),91,m ∞∞∈--⋃+故选：C. 6. 函数的定义域为（ ）y =A. B.C. D.[)1,+∞3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎛⎤⎥⎝⎦30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域.【详解】解：函数，解得，y =()0.534304log 4301x x x x ⎧->⎧>⎪⇒⎨⎨-≥⎩⎪≤⎩314x <≤故函数定义域为.3,14⎛⎤⎥⎝⎦故选：C.7. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同角60︒600︒C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角D. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 10π3【答案】D 【解析】【分析】举反例说明A 错误；由终边相同角的概念说明B 错误；由三角形的内角的范围说明C 错误；求出分针转过的角的弧度数说明D 正确．【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A 错误； A 120︒420︒120420︒<︒对于B ，，与终边不同，故B 错误；600360240︒=︒+︒60︒对于C ，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C 错误； y 对于D ，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转，602π钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D 正确． ∴101π2π63⨯=故选:D ．8. 设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足()f x [1,1]-(1)1f -=-[1,1]x ∈-[1,1]m ∈-，则t 的取值范围是（ ）2()21f x t mt ≤-+A.B. [2,2]-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.D.11,,{0}22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭(,2][2,){0}-∞-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由奇函数在上是增函数，且得最大值为1，则有对任意()f x [1,1]-(1)1f -=-()f x 220t mt -≥的成立，将m 看成变量，得出不等式组，解之可得结果． [1,1]m ∈-【详解】因为奇函数在上是增函数，且， ()f x [1,1]-(1)1f -=-所以的最大值为1． ()f x 所以只需2211t mt -+≥即对任意的恒成立即可， 220t mt -≥[1,1]m ∈-令，2()2g m t mt =-则，即 (1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩解得或或． 2t ≥2t ≤-0=t 故选：D ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则B. 若，则 0b a >>0m >a m ab m b+>+22a b c c >a b >C. 若，，则 D. 若，，则a b >c d <a c b d ->-22a b >0ab >11a b<【答案】ABC 【解析】【分析】利用作差法可判断A ，再根据不等式的性质判断BC ，举反例判断D 即可.【详解】对A ，若，，则，故A 正确； 0b a >>0m >()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++对B ，因为，故，故，故B 正确； 22a b c c>20c >a b >对C ，若，，则，则，故C 正确； a b >c d <c d ->-a c b d ->-对D ，若，则，，但，故D 错误； 2,1a b =-=-22a b >0ab >11a b>故选：ABC10. 已知，则下列不等式成立的有（ ） e e a b >A.B. C.D.11a b<31a b ->20212021a b >lg()1a b -<【答案】BC 【解析】【分析】先由，得，再根据不等式的性质，指数函数、幂函数的单调性及特殊值法即可判e e a b >a b >断．【详解】由，得．当，时，，故选项A 不正确； e e a b >a b >2a =1b =-11112a b=>-=，，又在上单调递增，，故选项B 正确；a b > 0a b ∴->3x y =R 0331a b -∴>=在上单调递增，，，故选项C 正确； 2021y x = R a b >20212021a b ∴>当，时，，故选项D 不正确． 101a =1b =lg()21a b -=>故选：BC11. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 76π-B. 若，则tan 2α=sin cos 3sin cos αααα+=-C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为3ππ32πD. 终边经过点的角的集合是()(),0m m m >2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BCD 【解析】【分析】直接利用象限角的定义，同角三角函数关系式，扇形面积公式的计算来判断各选项的结论．【详解】，是第二象限角，故A 错误； 766πππ-=--若，则，故B 正确；tan 2α=sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++==--圆心角为的扇形的弧长为，扇形的半径为，面积为，故C 正确；3ππ33ππ=13322ππ⨯⨯=终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故()(),0m m m >2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D 正确； 故选：BCD12. 已知函数，方程有四个不同的实数根，从小()212,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()220(0)f x f x m m +-=>到大依次是则下列说法正确的有（ ） 1234,,,,x x x x A. B.C.D. 可以取到313x <-122x x +<-342x x =m 【答案】BD 【解析】【分析】由分段函数对应区间上指对数函数的性质画出函数图象，根据已知方程知两个零点、1()f x 分别在的两侧，结合图象及原方程根的个数确定、的范围，进而得到2()f x ()1f x =-1()f x 2()f x 的范围，即可确定答案.1234,,,x x x x 【详解】由题设，，其函数图象如下：2222,0()log ,01log ,1x x f xx x x x -⎧-≤⎪=-<<⎨⎪≥⎩而的对称轴为且，即，2()2()y f x f x m =+-()1f x =-440m ∆=+>1m >-所以必有两个零点、分别在的两侧， 0y =1()f x 2()f x ()1f x =-由上图知：且，满足原方程有四个实根， 10()1f x <≤23()2f x -≤<-故，则，D 正确； 123()()0f x f x m -≤=-<03m <≤所以：；且；13222x --≤-<-21log 52x -≤<-210x -<≤：；且：.；230log 1x <-≤3112x <≤240log 1x <≤412x <≤所以且，则， 212341log 5210122x x x x -≤<-<-<≤<≤<<≤341x x =122x x +<-故A 、C 错误，B 正确. 故选：BD【点睛】关键点点睛：根据分段函数上指对数函数的性质画出函数图象，由方程判断、的分1()f x 2()f x 布并结合函数图象确定它们的范围，进而确定根的范围.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为________．()222()1mmf x m m x+=--m 【答案】-1 【解析】【分析】根据函数是幂函数，由求得m ，再图象不经过原点确定. ()()2221m mf x m m x+=--211m m --=【详解】因为函数是幂函数，()()2221mmf x m m x+=--所以，解得或；211m m --=1m =-2m =当时，，图象不经过原点，满足题意；1m =-()1f x x -=当时，，图象经过原点，不满足题意；2m =()8f x x =所以. 1m =-故答案为：.1-14. 若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是____．2000R,22x x x m ∃∈++=m 【答案】 [)1,+∞【解析】【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题，再利用存在量词命2000R,22x x x m ∃∈++=题为真得关于x 的方程有实根，最后利用判别式计算得结论． 2220x x m ++-=【详解】因为“”的否定是假命题， 2000R,22x x x m ∃∈++=所以“”是真命题， 2000R,22x x x m ∃∈++=因此关于x 的方程有实根， 2220x x m ++-=所以，解得． 2241(2)0m ∆=-⨯⨯-≥1m ≥因此实数m 的取值范围是． 1m ≥故答案为：．[)1,+∞15. 已知函数是定义在上的偶函数，且()()2231f x ax b a x b =+--+23,2a a ⎡⎤-⎣⎦，则m 的取值范围的集合是______.()()2113f m f m -<+【答案】或. {|0m m >2}m <-【解析】【分析】利用已知求出，再利用函数的奇偶性和单调性得到，解不等式()25f x x =-|21||13|m m -<+即得解.【详解】解：由题得. 22320,132a a a a a⎧-+=∴=⎨-<⎩所以，()()2231f x x b x b =+--+因为函数是偶函数，所以.()()()22(),231231,2f x f x x b x b x b x b b -=∴---+-++=-∴=所以.()25f x x =-所以函数在单调递减，在单调递增. (,0)-∞(0,)+∞因为，所以， ()()2113f m f m -<+|21||13|m m -<+平方得或.220,0m m m +>∴>2m <-所以m 的取值范围的集合是或.{|0m m >2}m <-故答案为：或.{|0m m >2}m <-16. 已知，函数，，若0a ≠()2cos 2cos 1f x x x x a =+--()()2log 32g x a x =+-，，有，则实数a 的取值范围是______．1π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦[]21,5x ∀∈()()12f x g x =【答案】 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，由三角函数的性质求得，由题意得()f x ()[]11,2f x a a ∈---的值域是的子集，结合的单调性分类讨论求解即可．()[]15,,g x x ∈[]1,2a a ---()g x 【详解】，()2cos 2cos 12cos22sin 26f x x x x a x x a x a π⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭∵，∴，∴，∴． 1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]11,2f x a a ∈---∵，，有，1π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦[]21,5x ∀∈()()12f x g x =∴的值域是的子集．()[]15,,g x x ∈[]1,2a a ---①当时，，则，此时，解得；0a >[]1,5x ∈()[]22,32g x a a ∈--1223220a a a a a --≤-⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩113a ≤≤②当时，，则，此时，无解．0a <[]1,5x ∈()[]32,22g x a a ∈--1322220a a a a a --≤-⎧⎪-≤-⎨⎪<⎩综合①②，． 1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 化简与求值． （1）若, 3π2π2α<<．（2）已知,求. 1tan 3α=-22sin cos cos ααα⋅-【答案】（1） 2sin α-（2） 32-【解析】 【分析】(1)根据,判断的正负,将原式进行化简,去绝对值即可; 3π2π2α<<sin α(2)将原式分母看为,分子分母同除以,原式即可化为关于的式子,将22sin cos αα+2cos αtan α1tan 3α=-代入即可求值. 【小问1详解】 解:由题知, 3π2π,sin 02αα<<∴<原式 ∴=+=1cos 1cos sin sin αααα-+=+1cos 1cos sin sin αααα-+=--; 2sin α=-【小问2详解】 由题知, 1tan 3α=-故原式 22222sin cos cos 2sin cos cos sin cos αααααααα⋅-⋅-=+22tan 1tan 1αα-=+ 53109-=.32=-18. 已知函数 ()2sin 23x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期()f x （2）求函数的对称轴方程和对称中心 ()f x （3）求的单调递增区间 ()f x 【答案】（1）T π=（2）对称轴方程为：，，对称中心为， 212k x π5π=+Z k ∈,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈（3） ， 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【解析】【分析】（1）化简得，利用正弦函数的周期公式，计算可得答()2sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭案；（2）根据正弦函数对称轴方程和对称中心的公式，直接计算可得答案； （3）根据复合函数的单调性，得到，计算可得函数的单调递增区间. 32k 22k 232x πππππ+≤-≤+()f x 【小问1详解】由题意知：()2sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得函数的最小正周期为： 22T ππ==【小问2详解】 由得函数的对称轴方程为：， 232x k πππ-=+212k x π5π=+Z k ∈由得，∴对称中心为， 23x k ππ-=26k x ππ=+,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈【小问3详解】 由得，32k 22k 232x πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ+≤≤+Z k ∈∴函数的单调递增区间为： ， ()f x 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈19. 已知函数． 21()cos cos 2f x x x x =+-（1）解不等式，其中． 1()2f x ≥ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）在锐角中，，求的取值范围． ABC A π3A =()()f B f C +【答案】（1） ,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦（2） 1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据得到()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式，可得求解即可；ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+ππ5π2266x <+≤（2）利用已知条件求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简得出，利B ()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. ()()f B f C +【小问1详解】()1cos 211π22cos 2sin 22226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭，ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，即，1()2f x ≥sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，解得 ππ5π2266x ∴<+≤ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式的解集为. 1()2f x ≥ππ,63⎛⎤⎥⎝⎦【小问2详解】由题意可得且，可得，π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩π3A =ππ62B <<∵， π,π3A ABC =++=∴， 2π3C B =-πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭，πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，则， ππ62B <<ππ5π2666B <-<∴． 1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故的取值范围为. ()()f B f C +1,12⎛⎤⎥⎝⎦20. 已知. π0,,sin 2cos 2ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭（1）求的值；2sin24cos 2tan ααα-+（2）若，且，求的值. ()0,πβ∈πsin 4β⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ+【答案】（1） 2425-（2）π4【解析】【分析】（1）利用换元法及同角三角函数的平方关系，结合二倍角的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；（2）利用两角差的正弦公式及换元法，结合同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】令则由于所以，cos ,t α=π0,,2α⎛⎫∈⎪⎝⎭(0,1)t∈sin α=从而，即于是有，即2t =2t =22154,t t-=+-2540t -+=解得 22)0,-=t ==所以，cos αα==所以，， 4sin 22sin cos 25ααα=⋅==sin 1tan cos 2ααα==所以. 244124sin 24cos 24555152tan 25222ααα-⨯-==-=-++【小问2详解】πsin cos )4βββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭从而，所以，从而，sin cos ββ-=sin cos ββ<π0,,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+令，则， sin t β=cos t β⎛=∈⎝从而，于是有，t =t +=22215t t ++=-即，即， 23205t +-=21030,Δ40410(3)160t +-==-⨯⨯-=从而（舍），t ===t ==即， sin ββ==所以. cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-==因为，所以. 3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+π4αβ+=21. 已知函数. ()222sin 14f x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（1）当，且的最大值为，求的值；5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭32m （2）方程在上的两解分别为、，求的值. ()32f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x ()12cos x x -【答案】（1）；（2）. 12m =()123cos 4x x -=【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，令()y f x =()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得，再令，可将问题转化为二次函数26s x π=-()22sin 4sin 1g x s m s =-++[]sin 0,1t s =∈在上的最大值为，利用二次函数的基本性质可求出实数的值；2241y t mt =-++[]0,1t ∈32m （2）设，由题意求得，12x x <123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的值，求出的取值范围，进而2cos 26x π⎛⎫-=⎪⎝⎭()12cos 22x x -12x x -利用二倍角余弦公式可求出的值. ()12cos x x -【详解】（1）()222sin 14f x x x π⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭， 1cos 21cos 22212cos 22sin 2226x x x x x ππ⎛⎫-+ ⎪-⎛⎫⎝⎭=+⨯-=-=- ⎪⎝⎭当时，令，则，则.5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦220,63s x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦26x s π=+[]sin 0,1s ∈，()24sin sin 2cos 24sin 2sin 4sin 12g x m s s s m s s m s π⎛⎫∴=++=+=-++ ⎪⎝⎭令，令，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线. []sin 0,1t s =∈2241y t mt =-++t m =①当时，二次函数在区间上单调递减， 0m ≤2241y t mt =-++[]0,1则，不合乎题意； max 312y =≠②当时，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则01m <<2241y t mt =-++[]0,m [],1m ，解得或（舍）；2max 3212y m =+=12m =12m =-③当时，二次函数在区间上单调递增， m 1≥2241y t mt =-++[]0,1则，解得（舍）. max 3412y m =-=58m =综上所述，； 12m =（2）设，，则， 12x x <0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， sin y x =,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由，得， ()32sin 262f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为方程在上的两解分别为、， ()32f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 则，必有，， 123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10262x ππ<-<252266x πππ<-<所以，，同理 1cos 26x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭2cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()1212cos 22cos 2266x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2121231cos 2cos 2sin 2sin 2666648x x x x ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝由于，且，，则，102x π≤≤202x π≤≤12x x <1202x x π∴-≤-<()12cos 0x x -≥由，可得.()()21212cos 222cos1x x x x -=--()123cos 4x x -==【点睛】本题考查利用二次型正弦函数的最值求参数，同时也考查了由正弦型函数的解求三角函数值，考查计算能力，属于中等题.22. 已知指数函数满足． ()f x ()()112f f --=（1）求的解析式；()f x （2）设函数，若方程有4个不相等的实数解()()()2g x f x kf x =+()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x ．（i ）求实数的取值范围；k （i i ）证明：． 12344x x x x +++<【答案】（1）())1xf x =+（2）（i ）；（i i ）证明详见解析 (6,--【解析】【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式.()f x （2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以k 及放缩法证得. 12344x x x x +++<【小问1详解】设（且），()xf x a =0a >1a ≠由于，所以， ()()112f f --=212,210a a a a -=--=由于且，所以解得，0a >1a ≠1a =+所以.())1xf x =+【小问2详解】（i ），()()()))2211xxg x f x kf x k=+=+++方程有4个不相等的实数解．()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x即①有4个不相等的实数解．))))221111100xx x xkk --+++++=1234,,,x x x x令，则， ))11xxt -=++))222112x xt -=++++，))112x x t -=+++≥=当且仅当时等号成立.))11,0xxx -+==所以①化为②， 2221080t kt t kt -++=++=对于函数，，()))11xxh x -=++()))()11xxh x h x --=+++=所以是偶函数，图象关于轴对称，()h x y 当时，令，，，0x >)1xv =+1v >()1m v v v=+任取，， 121v v <<()()()()121212121212111v v v v m v m v v v v v v v ---=+--=其中，()()121212120,1,10,0v v v v v v m v m v -<>->-<，所以在上递增，()()12m v m v <()m v ()1,+∞根据复合函数单调性同增异减可知在上递增； ()h x ()0,∞+由于是偶函数，所以在上递减. ()h x ()h x (),0∞-所以的最小值是.()h x ()02h =所以方程②在上有两个不同的实数根，()2,+∞所以，解得22Δ320222280k k k ⎧=->⎪⎪->⎨⎪++>⎪⎩6k -<<-所以的取值范围是.k (6,--（i i ）由于是偶函数，图象关于轴对称， ()h x y 所以不妨设， 31420,0x x x x =->=->所以要证明， 12344x x x x +++<即证明，即证明.()3424x x +<342x x +<设方程②的两个不同的实数根为，则，12,t t 1212,8t t k t t +=-⋅=，()2222121212216t t t t t t k +=+-=-由整理得，))()110xxt x -=++>))()211100xxt x +-⋅++=>解得，)1x+=34,x x 所以，1x =则， 3411x x+=+ 1⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎣⎦1=⎣⎦1=⎣⎦ 1<⎣⎦ 1=⎣⎦1=，1=由于，()2632,36k k -<<-∈所以11<，()2111312==+==即，所以．342x x +<12344x x x x +++<【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形：，右侧部分还可变形为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭a b +≤。
哈师大高一期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. √4B. -√9C. πD. 0.52. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(-3) = f(1)，则x的值为（）A. -4B. -2C. 2D. 43. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^44. 在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积S为（）A. 6B. 8C. 10D. 125. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列{an}的第10项为（）A. 19B. 20C. 21D. 226. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，S20 = 165，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列方程中，无实数解的是（）A. x^2 - 4x + 3 = 0B. x^2 + 4x + 3 = 0C. x^2 - 2x - 3 = 0D. x^2 + 2x - 3 = 08. 已知复数z = 3 + 4i，若|z - 2i| = |z + 2i|，则z的值为（）A. 1 + 2iB. 1 - 2iC. -1 + 2iD. -1 - 2i9. 在平面直角坐标系中，点A(-2, 3)，点B(4, 1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 2)D. (2, 3)10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(-2)的值为（）A. 0B. 4C. 8D. 12二、填空题（每题5分，共50分）11. 若方程x^2 - 2ax + b = 0有两个实数根，则判别式Δ = _______。
12. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。
13. 若复数z = a + bi（a，b为实数），则|z| = _______。
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２００９______２０１０高一期末数学答案
一。
选择题：（每题３分）DDBCC DBCCC
二。
填空题：（每题４分） 11. 3sin(2)3y x π
=+ １２. 2-
１３.
26
-
１４. (2,)+∞ １５. 3- 三．解答题： １６.解：由已知：21(sin cos ),25A A +=解得：242sin cos 025A A =-<２分 在ABC ∆中：(0,)A π∈ sin 0,cos 0A A ∴><
故有：7sin cos 5A A -== ４分 又1sin cos 5A A += 解得：4sin 53cos 5A A ==- ５分
c o s (3)s i n ()c o s s i n c o s s i n s i n ()s i n ()2
A A A A A A A A πππ-+---=-++-７分 3415534755
-==-- ８分 １７.
解：由已知：()2cos 22sin(2)6
f x x x x π=-=-３分 （１）当2262x k k Z πππ-=+∈即：sin(2)16x π-=时：()f x 取最大值2． 此时x 的集合为：{}3x x k k Z ππ=+∈６分 （２）由222262k x k k Z πππππ-
≤-≤+∈得增区间为： [,]63k k k Z ππ
ππ-+∈ １０分 １８.解：（１）()f x 是非奇非偶函数．
由已知：(1)2,(1)6f f =-=-．
(1)(1)f f ∴≠-且(1)(1)f f ≠--
()f x ∴ 既不是偶函数也不是奇函数 ４分
（２）由已知：2245(1)()43(1)x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨+-<⎪⎩ ５分
当1x ≥时：2()(2)11f x x =-+≥（当且仅当2x =时取＂＝＂号）7分
当1x <时：2()(2)77f x x =+-≥-（当且仅当2x =-时取＂＝＂号）
9分 综上：当2x =-时：()f x 取最小值7- 10分 19.解：由已知：222AB AC BC =+ 故：CA CB ⊥ 0
CA CB ∴∙=1分 B 为EF 中点 11,22BF EF BE EF ∴==- 2分
()()A F C E A C C B B F C B B E
∙=++∙+ 4分 11()()22
CA CB EF CB EF =-++
∙- 111()()222
CA CB CA EF CB EF CB EF =-∙+∙++∙- 222111144cos 9412424
CA EF CB EF θ=∙+-=⨯⨯+-⨯= 解得：1cos 2
θ=- 8分 又(0,)θπ∈ 故：23πθ=为所求CA 与EF 的夹角。
10 分 20.解：（1）由已知：
(8)(26)(26)(4)(4)f f f f f =+=-=-= (22)(22)(0)0f f f =+=-==
4分 （2）()f x 在定义域R 上恒有：(2)(2)f x f x +=-
()(4)f x x ∴=-对x R ∈恒成立。
又()()f x f x =-对x R ∈恒成立。
故有：()(4)f x f x -=-对对x R ∈恒成立。
即：4是()f x 的一个周期。
8分 [0,4)x ∈时：()0f x =的根为0x =
()0f x ∴=在R 上的根为：4x k
k Z =∈ 10分 由042010k k Z ≤≤∈得： 0502.5k k Z ≤≤∈
()f x ∴在[0,2010]内的零点共有503个。
12分。