正弦量的三要素
正弦量的三要素和有效值
如Im 、Um。
首页
2．角频率、周期、频率 正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T 表示，单位是秒。
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f 表示，单位是赫兹。
选零点为计时起点，则初相ψ =0，如图3-7所示是不同初相时
几种正弦电流的解析式和波形图。
首页
i
Im
i Im sint
0
t
a)
i i Im sin(t π 6)
i
i Im sin(t π 2)
0
t
b)
i i Im sin(t π 6)
0
t
0
t
π/6
π/6
首页
例3-3 两个同频率正弦电流的波形如图3-6所示，试写出 它们的解析式，并计算二者之间的相位差。
解 解析式
i/A 10 i1
i1
10 s in(314t
π )A 4
8
i2
i2
8 s in(314t Nhomakorabeaπ )A 4
0
4
4
0.02s
相位差
ωt/rad
i1
i2
π 4
(
c)
d)
图3-3 初相不同的几种正弦电流的波形图 a)初相为0; b)初相为π/2; c)初相为π/6; d)初相为-π/6
首页
注意：正弦量的初相、相位以及解析式都与参考方向有 关。改变参考方向，就是将正弦量的初相加上或减去π。
3-1正弦量的表示方法
已知： i = 141.4 sin( 314t +
u = 311.1sin(314t −
π
6
) A
π
3 求： i 、u 的相量表达式及相量图。
) V
i = 141.4 sin( 314t +
u = 311.1sin(314t −
解：
π
π
6
3
) A
) V
I
141.4 j 30 j 30 I= e = 100e = 100∠ 30 A 2
u = 5 2 sin(ω t − 126 ⋅ 9 )
b. 复数的四则运算
已知：
jθ 1 A1 = a1 + jb1 = A1e
jθ 2 A2 = a 2 + jb2 = Ae
±A = ( a ± a ) + j( b ± b ) 加减：A 1 2 1 2 1 2
乘除：
⋅A = A ⋅ A e j ( θ 1 +θ 2 ) A 1 2 1 2
Im = 2
同理
Um U= 2
Em E= 2
•相位和初相位
i
i = 2 I sin (ω t + ϕ )
ωt
ϕ
相位（相位角）： ωt + ϕ
单位：弧度（ rad）、度（ ）
初相位： t = 0 时的相位，即 ϕ
相位差 两个同频率正弦量间的相位差(初相差)
i1
ϕ2
i2
ϕ1
ωt
i1 = I m 1 sin(ω t + ϕ 1 )
30 60
311.1 − j 60 U= e = 220∠ − 60 V 2 相位哪一个超前？ 哪一个滞后？
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
正弦电流电路导论
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
5.1 正弦量电压和电流的基本概念
一 时变的电压和电流 ◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第五章
正弦电流电路
u(t )
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 和 i (t ) 表示。
2π u2 =100 2sin(100t )V 3
3
0
6
I1
解：
π I1 =50 A 6 π U1 =100 V 3 2π U 2 =100- V 3
2 3
U 2
相量图
第三章 正弦电流电路
四 用相量求正弦量的和与差
i1 (t ) 70.7 2 sin(ωt 45 )A i2 (t ) 42.4 2 sin(ωt 30 )A
③角频率ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)
第五章 正弦电流电路
三者间的关系：
1 f T
2 2 f T
* 电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz * 无线通信频率： 30 kHz ～ 30GMHz ◆ 相位和初相位 ①相位：正弦波的 (ωt ψ ) 。 ②初相位 ：t =0 时的相位。 ③规定：初相位的绝对值不超过π。
第五章 正弦电流电路
三 用相量表示正弦量
相量：表示正弦量的复数称为相量。
相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、
辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。
即：相量 Im （或 I ）
j
模用最大值表示时，为最 I ψ 大值相量，即 I m m
正弦量的瞬时值、幅值和有效值(精)
正弦量的瞬时值、幅值和有效值
3.2 正弦量的三要素
u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
其中u、i分别为电压和电流的瞬时值; Um、Im分别为 电压和电流的幅值（或最大值）; ω为角频率; φu, φi分别
为电压和电流的初相角, 如图所示。
注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
u ~
i
R
+ U _
I
R
பைடு நூலகம்
通入正弦交流电，T时 间内，电流热效应：
T
通入直流电，T时间内， 电流热效应：
Q = I2 RT
Q
2 i Rdt 0
则有： 同理：
I
Im 2
U U m 2
E
Em 2
1.瞬时值、最大值、有效值
i I m sin t
母u, i, e 表示 。 母带下标m表示, 如：Im, 有效值。以大写字母I、U、
瞬时值 : 描述正弦量在任一瞬间的值 ，以小写字 最大值 ：瞬时值中的最大数值，也称幅值 ,以大写字 Um, Em. 有效值 : 与交流热效应相等的直流定义为交流电的 E表示 。
7 正弦量与相量
C B
ϕb ϕb ϕa + ϕb A
C=A/B
+j
A
B
B jA A
-jB
+1 O C
+1
ϕ a- ϕ b
O 旋转因子示意 +1
O 复数的乘法
复数的除法
7.4 正弦量的相量表示法
一、正弦稳态电路的特点
1、角频率不变性：在线性电路中，如 角频率不变性：在线性电路中， 果电路的所有激励都是同频率的正弦量， 果电路的所有激励都是同频率的正弦量， 激励都是同频率的正弦量 则电路中各支路的稳态响应也为同频率 稳态响应也为 则电路中各支路的稳态响应也为同频率 的正弦量。 ( P208) 的正弦量。 2、计算的复杂性：在列写VCR、KCL、 计算的复杂性：在列写VCR、KCL、 KVL方程的时候会遇到微分、积分和 KVL方程的时候会遇到微分、积分和和 方程的时候会遇到微分 差化积的问题 的问题。 差化积的问题。
二、复数的四则运算
1、加减运算 1)定量运算 1)定量运算------用代数形式计算 定量运算------用代数形式计算
F1 ± F2 = (a1 + jb1 ) ± (a2 + jb2 ) = (a1 ± a2 ) + j (b1 ± b2 )
法则：实部加减,虚部加减。 法则：实部加减,虚部加减。
7 正弦量与相量
重点
1、正弦量的三要素 2、复数的几种表示形式的转换及计算 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示 KCL、 VCR的相量表示
难点
相量图的绘制
本章作业
P217 7.1 7.2 7.5 7.7 7.10 7.12
电路试题库(三)+答案
电路试题库（三）+答案一、填空题（建议较易填空每空0.5分，较难填空每空1分）1、正弦交流电的三要素是指正弦量的 最大值 、 角频率 和 初相 。
2、反映正弦交流电振荡幅度的量是它的 最大值 ；反映正弦量随时间变化快慢程度的量是它的 频率 ；确定正弦量计时始位置的是它的 初相 。
3、已知一正弦量A )30314sin(07.7︒-=t i ，则该正弦电流的最大值是 7.07 A ；有效值是 5 A ；角频率是 314 rad/s ；频率是 50 Hz ；周期是 0.02 s ；随时间的变化进程相位是 314t-30°电角 ；初相是 －30° ；合 －π/6 弧度。
4、正弦量的 有效 值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的 开方 ，所以 有效 值又称为方均根值。
也可以说，交流电的 有效 值等于与其 热效应 相同的直流电的数值。
5、两个 同频率 正弦量之间的相位之差称为相位差， 不同 频率的正弦量之间不存在相位差的概念。
6、实际应用的电表交流指示值和我们实验的交流测量值，都是交流电的 有效 值。
工程上所说的交流电压、交流电流的数值，通常也都是它们的 有效 值，此值与交流电最大值的数量关系为： 最大值是有效值的1.414倍 。
7、电阻元件上的电压、电流在相位上是 同相 关系；电感元件上的电压、电流相位存在 正交 关系，且电压 超前 电流；电容元件上的电压、电流相位存在 正交 关系，且电压 滞后 电流。
8、 同相 的电压和电流构成的是有功功率，用P 表示，单位为 W ； 正交 的电压和电流构成无功功率，用Q 表示，单位为 Var 。
9、能量转换中过程不可逆的功率称 有 功功率，能量转换中过程可逆的功率称 无 功功率。
能量转换过程不可逆的功率意味着不但 有交换 ，而且还有 消耗 ；能量转换过程可逆的功率则意味着只 交换 不 消耗 。
10、正弦交流电路中，电阻元件上的阻抗z = R ，与频率 无关 ；电感元件上的阻抗z = X L ，与频率 成正比 ；电容元件上的阻抗z = X C ，与频率 成反比 。
正弦交流电路习题课
0 由KCL， I1 I 2 I 3 j 2 1 2.263.4 A
U 40 在电压三角形中， arctg arctg 53.130 U2 30
I00 解：设 I
P 1 V1 I cos 1
Z1 Z1 1
240 171 4 cos 1
1 69.460 171 Z1 69.460 42.75 69.460 4 V V2 Z 2 2 60 2 Z1 Z 2 25 I I
提高功率因数的意义方法
• 提高功率因数能使电源设备的容量得到充 分利用； • 提高功率因数能减小线路功耗和电压损耗。 • 提高功率因数的方法通常是在感性负载 两端并联一个电容器，称之为补偿电容 器。补偿电容器的容量为：
正弦稳态电路的分析
• 用相量法分析电路时，线性电阻电路的 各种分析方法和电路定理可推广用于线 性电路的正弦稳态分析，差别仅在于所 得的电路方程是以相量形式表示的代数 方程以及用相量形式描述的电路定理， 而计算则为复数运算。
U I XC
U I XL
I CU
基尔霍夫定律的相量式
• 基尔霍夫定律的相量式与三种基本电路 元件伏安特性的相量形式，是分析正弦 交流电路的基础。 0 U
I 0
• 应用基尔霍夫定律及单一参数电路所得 出的结论，对R、L、C串联、并联电路 进行了分析，分别引出了阻抗Z和导纳Y 的概念。
正弦稳态电路的分析
习题总结课
正弦量及其三要素
1、随时间按正弦规律变化的电流、电压、 电动势等统称为正弦量。 2、正弦量的有效值（振幅）、频率（周期 或角频率）和初相是正弦量的三要素。 三要素是确定一个正弦量的充要条件。 3、直流电的大小和方向恒定不变，在直流 计算时只考虑其大小即可。而在交流电 的分析与计算时，除了考虑大小外，还 要考虑其相位。
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 相量形式（同频率的正弦量） ： I
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0
第五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
正弦电路的电压电流及相量表示
解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为
=（-180o）-（- 45o ）= -135o＜0
所以u（t）滞后i1（t）135o 。
电压u（t）与电流i2（t）的相位差为
= -180o - 60o = -240o 由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位 差应为 = -240o+360o = 120o＞0，因此u（t）超前 i2（t）120o 。
四、正弦量的有效值 有效值的提出： 正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正 弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个 周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上 产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压 u （t）的有效值。用大写字母“U”表示。 有效值的定义式：
1 U T
本讲作业
1、复习本讲内容；
2、预习下一讲内容——正弦电路的相量分析法； 3、书面作业：习题8-1，8-2，8-4，8-5。
8.2 正弦量的相量表示
一、相量表示法的提出 前面学过的解析式（三角函数表示法）和正弦量 的波形图（正弦曲线表示法）都不便于分析计算正弦 电路。为了解决这个问题，引入了正弦量的第三种表 示方法——相量表示法。 二、相量表示法采用的形式 相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。
三、相量表示方法 模等于正弦量的有效值（或振幅），幅角等于 正弦量的初相的复数，称为该正弦量的相量。相量 用该正弦量的符号上加一圆点“ · ”来表示，说明它 是时间的函数，以便与一般复数相区别。 振幅相量 相量的模为正弦量的振幅，称振幅相量，以 I m 、 Um 等表示。其振幅相量表达式为
将u3（t）的解析式整理如下： u3（t）= 5cos（100πt + 60o） = 5sin（100πt + 60o + 90o） = 5sin（100πt + 150o ）V 所以得到
电工学试题库
第二章 正弦交流电路 习题参考答案一、填空题：1. 表征正弦交流电振荡幅度的量是它的 最大值 ；表征正弦交流电随时间变化快慢程度的量是 角频率ω ；表征正弦交流电起始位置时的量称为它的 初相 。
三者称为正弦量的 三要素 。
2.电阻元件上任一瞬间的电压电流关系可表示为 u = iR；电感元件上任一瞬间的电压电流关由上述三个关系式可得， 电阻 元件为即时元件； 电感 和 电容 元件为动态元件。
3. 在RLC 串联电路中，已知电流为5A ，电阻为30Ω，感抗为40Ω，容抗为80Ω，那么电路的阻抗为 50Ω ，该电路为 容 性电路。
电路中吸收的有功功率为 450W ，吸收的无功功率又为 600var 。
二、 判断题：1. 正弦量的三要素是指最大值、角频率和相位。
（错）2. 电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率等于零。
（对）3. 因为正弦量可以用相量来表示，所以说相量就是正弦量。
（错）4. 电压三角形是相量图，阻抗三角形也是相量图。
（错）5. 正弦交流电路的视在功率等于有功功率和无功功率之和。
（错）6. 一个实际的电感线圈，在任何情况下呈现的电特性都是感性。
（错）7. 串接在正弦交流电路中的功率表，测量的是交流电路的有功功率。
（错）8. 正弦交流电路的频率越高，阻抗越大；频率越低，阻抗越小。
（错）三、选择题：1. 某正弦电压有效值为380V ，频率为50Hz ，计时始数值等于380V ，其瞬时值表达式为（ B ） A 、V ；B 、V ；C 、V 。
2. 一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。
把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P /2，则正弦交流电源电压的最大值为（ D ） A 、7.07V ； B 、5V ； C 、14V ； D 、10V 。
3. 提高供电电路的功率因数，下列说法正确的是（ D ）A 、减少了用电设备中无用的无功功率；B 、减少了用电设备的有功功率，提高了电源设备的容量；C 、可以节省电能；D 、可提高电源设备的利用率并减小输电线路中的功率损耗。
第3章 正弦交流电路
3.3.1 单一参数的正弦交流电路
1.纯电阻电路 (1) 电压与电流的关系
+
u iR
u
i I m sin t
_
u iR I m R sin t U m sin t
i R
对于正弦交流电路中的电阻电路(又称纯电阻 电路)，一般结论为：
1)电压、电流均为同频率的正弦量。
2)电压与电流初相位相同，即两者同相。
y
i
ω
Im
i1
ωt1 φ
Im
i0
90
o
x
o
ωt1
ωt
φ
t t1 i1 I m sin(t 1)
对于一个正弦量可以找到一个与其对应的旋转矢量，反之， 一个旋转矢量也都有一个对应的正弦量。
3.2.2 复数及复数的运算 1、复数
A a jb
A r cos r sin
e j cos j sin
作相量图时要注意： 只有同频率的正弦量才 能画在一个相量图上，不 同频率的正弦量不能画在 一个相量图上。
+j
U
Φu
o
Φi
+1
I
3.3正弦交流电路的简单分析与运算
电阻元件、电感元件与电容元件都是组成 电路模型的理想元件。
所谓理想元件，就是突出元件的主要电磁 性质，而忽略其次要因素。如电阻元件具 有消耗电能的性质（电阻性），其它的电 磁性质如电感性、电容性等忽略不计。。
f = 1/T T = 1/f
i
角频率是指交流电在1s内变化的电 Im
角度。正弦量每经过一个周期T，
o
对应的角度变化了2π弧度，所以
φ
ωt
T
2f 2
4-3电路定律的向量形式
I
u i
U
3）电阻的uR (t )的相位 iR (t ) 的相位同相；
4 ) 振幅关系 U Rm RI Rm
u (t )
i (t )
R
时域模型
例2：在正弦稳态电路中，
i ( t ) 2cos(100t 30 )A 流过10Ω电阻的电流
求： u (t )
10 2 cos(100t 30 )V
k 1 k
n
对于线性时不变的正弦稳态电路（单一频率激 励）各支路电压、电流为同频率的正弦量。 设：
n
jωt ik (t ) I km cos(ωt ik ) Re[ I km e ]
n
n jωt jωt ik (t ) Re[I km e ] Re I kme k 1 k 1 k 1
0 I
元件 电阻 电感 相量模型
I
0 U
伏安关系 相量图
R
U
I
jL
U
I
1 jC
电容
U
例 4：
u (t )
4H电感端电压 u (t ) 8 2cos(t 50 )V 100rad/s 求 i (t )
i(t )
解：1）画出电路的相量模型
i3
i1 i2
求：
i3 (t )
解：方法1）由KCL的时域形式： 1060
0
6.236.2
10 60 5 90 I3 I1 I 2
5 90
相量图
10 cos 60 10 j sin 60 j5
5 j3.66 6.236.2 A
正弦量的三要素
i
t
如果 u i 180o
称电压与电流反相。
例1:已知:i(t)=100sin(6280t-/4)mA （１）说明它的Ｉm，Ｉ，，f，T， （２）画出波形图。 解：（１） I m 100mA I 100 /
2 70.7mA
6280rad / s 6280 f 1000 Hz 2 2 3.14Fra bibliotek 45
o
i 2 30
o
i1 i 2 o o o 12 45 (30 ) 75
2. 正弦量的计时起点 ——初相位与相位差
对于已知的正弦量：
相位：称(ωt+ψi) 为正弦交流电流的相位角,简称相位。 在不同的时刻正弦量的相位也不同,交流电流的大小 和方向也不同。 初相位：称t = 0时的相位角ψ i为初相角,简称初相位。 初相位用来确定交流电初始瞬时状态。 i i O o i I m sin(t 90 ) i I m sin(t 90 )
Im 2 0.707 I m
0.707U m
T 1 T dt cos( 2t 2 )dt 0 2 2
I
同理
U
Um 2
Em E 0.707 Em 2
正弦交流电的有效值等于 它的最大值除以 2 , 而与 其频率及初相无关。 有效值与最大值之间的 2 关系不适用于其他非正 弦交流量
Im
i ( t )
i
t
t3
0
t1 t2
.
t4 t
i (t )
T
t
有效值:若有一交流电流 i 通过电阻R,在一个周期时 间内消耗的电能,与直流电流I在同样时间内通过同一 电阻所消耗的电能相等,则该直流电流I的数值称为该 交流电流 i 的有效值。 在工程中，正弦电压与电流的计量不是瞬时值也 不是幅值，而是有效值。
电工学 第二章正弦交流电路
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
正弦量基础
u
0
t
T
7.1 正弦量
正弦交流电路
由同频正弦激励、线性电阻、线性电容和线性 电感组成的的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电路特点：各支路产生的电流、电压均为
和激励同频变化的正弦交流电。
7.1 正弦量
正弦交流电运用非常 广泛，主要原因有以下几点：
1、可以利用变压器升高或降低，这种变换方式 既灵活又经济。 2、正弦量经过加、减、求导、积分等数学运算 后，仍为正弦量，这在电工技术上有重大意义。 3、正弦量变化平滑，在正常情况下不会引起过 电压而破坏电器的绝缘设备。
Im
0
i
t
I m ：电流幅值（最大值）
特征量:
：角频率（弧度/秒） ：初相角
7.1 正弦量
正弦量三要素之一 —— 振幅(amplitude)
i I m cos t
Im
为正弦电流的最大值
最大值
电量名称必须大写,下标加 m。 如：Um、Im
7.1 正弦量
正弦量三要素之二 —— 角频率(angular frequency)
] I m cos(t )
7.3
相量法的基本概念
Re[ I m e
j( t )
] I m cos( t )
j t
Re[ I m e e ] I m cos( t )
旋转因子——同一个电路中， 每个正弦量所对应的复指数函 数中的旋转因子均相同
1 I 0.707A 2
幅度： 频率：
I m 1A
1000 rad/s 1000
f 2π 2π
159 Hz
初相位：
30
正弦交流电路_习题参考答案[1]
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第二章 正弦交流电路 习题参考答案一、填空题：1. 表征正弦交流电振荡幅度的量是它的 最大值 ；表征正弦交流电随时间变化快慢程度的量是 角频率ω ；表征正弦交流电起始位置时的量称为它的 初相 。
三者称为正弦量的 三要素 。
2. 电阻元件上任一瞬间的电压电流关系可表示为 u = iR ；电感元件上任由上述三个关系式可得， 电阻 元件为即时元件； 电感 和 电容 元件为动态元件。
3. 在RLC 串联电路中，已知电流为5A ，电阻为30Ω，感抗为40Ω，容抗为80Ω，那么电路的阻抗为 50Ω ，该电路为 容 性电路。
电路中吸收的有功功率为 750W ，吸收的无功功率又为 1000var 。
二、 判断题：1. 正弦量的三要素是指最大值、角频率和相位。
（错）2. 电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率等于零。
（对）3. 因为正弦量可以用相量来表示，所以说相量就是正弦量。
（错）4. 电压三角形是相量图，阻抗三角形也是相量图。
（错）5. 正弦交流电路的视在功率等于有功功率和无功功率之和。
（错）6. 一个实际的电感线圈，在任何情况下呈现的电特性都是感性。
（错）7. 串接在正弦交流电路中的功率表，测量的是交流电路的有功功率。
（错）8. 正弦交流电路的频率越高，阻抗越大；频率越低，阻抗越小。
（错）三、选择题：1. 某正弦电压有效值为380V ，频率为50Hz ，计时始数值等于380V ，其瞬时值表达式为（ B ）A 、t u 314sin 380=V ；B 、)45314sin(537︒+=t u V ；C 、)90314sin(380︒+=t u V 。
2. 一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。
把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P /2，则正弦交流电源电压的最大值为（ D ）A 、；B 、5V ；C 、14V ；D 、10V 。
3. 提高供电电路的功率因数，下列说法正确的是（ D ）A 、减少了用电设备中无用的无功功率；B 、减少了用电设备的有功功率，提高了电源设备的容量；C 、可以节省电能；D 、可提高电源设备的利用率并减小输电线路中的功率损耗。
正弦量的三要素公式
正弦量的三要素
ⅈ=√2I sⅈn(ωt+φ)
正弦量的三要素分别是：振幅、角频率、初相位
1、最大值（峰值或幅值）[U m]
最大值是指最大瞬时值，在一个正弦周期内，必定出现一个最大和最小瞬时值；
2、角频率（ω）
在单位时间内正弦量变化的角度称为角频率，它反应了正弦量变化的快慢程度；
3、初相位或相位差
初相位就是正弦量在起始时间的相位。
在波形图上，初相位规定为正半波的起点与坐标原点之间的夹角。
当φ=0时，正半波起点正好落在原点O上；当φ＞0时，则正半波起点在原点O的左边；当φ＜0时，正半波起点在原点O的右边。
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设一交变电流i通过电阻R,在一个周期内该电阻消耗的 电能是:
W~ = ∫ i Rdt = R∫ i dt
2 2 0 0
T
T
i
R
如果有一个直流电流I通过同一电阻R,在同一时间T内 所消耗的电能为：
W = I RT
2
I
R
在一个周期时间内,W～=W—, 于是
R∫ i dt = I RT
2 2 0
T
1 T 2 I= ∫0 i dt T
最大值（幅值） 最大值（幅值）:在一个周期里 最大的瞬时值叫最大值, 最大的瞬时值叫最大值,它是交 流电的振幅,通常用大写字母并 流电的振幅, 加注下标m表示。 加注下标m表示。如Im、Um及Em。 可见， 可见，最大值实际上就是最大的 瞬时值，也是与时间有关的量。 瞬时值，也是与时间有关的量。
Im
ω
= 2πf
Um
ψu
e = Em sin( ωt +ψe )V
Em
ψe
相位差：两个同频率的正弦交流电在相位上的差值 定义位相位差,用φ表示。
ui = (ωt +ψu ) (ωt +ψi ) =ψu ψi
同频率的两个正弦交流电的相位差等于它们的 初相之差。 i, u i, u
ψi ψu
0
t
ψu 0
Im i t4 t
t3 0 t1 t2
.
每秒时间内重复变化的周期数称 T 为频率,用字母 表示,它的单位是赫 为频率 用字母 f 表示 它的单位是赫 简称赫,周期和频率互为倒数 兹(Hz),简称赫 周期和频率互为倒数 简称赫 周期和频率互为倒数, 1 2π 即有 f = ωT = 2π ω = = 2πf T T 的交流电(称为工频交流电),其角 例如频率 f =50Hz的交流电 称为工频交流电 其角 的交流电 称为工频交流电 频率和周期分别为： 频率和周期分别为 ω=2π f=314 rad/s T=0.02s
1. 周期与频率 周期与频率——变化的快慢 变化的快慢 交流电往复变化一周需要的时间 称为周期, 称为周期,它是波形再次重复出现所 需的最短时间间隔, 需的最短时间间隔,通常用字母 T 表示,如图所示,它的单位是秒(s) (s)。 表示,如图所示,它的单位是秒(s)。
i = Im sin( ωt)
2.1.2 正弦量的三要素 设正弦电流为：
正弦函数或余弦函数 （正弦量）
i = Im sin( ωt +ψ )
周期与频率 初相位
幅值与有效值
1. 正弦量的快慢——周期与频率 正弦量的快慢——周期与频率 2. 正弦量的大小 正弦量的大小——幅值与有效值 幅值与有效值 3. 正弦量的起点 正弦量的起点——初相位 初相位 任何一个正弦量都是由它的三个要素——频率、 频率、 任何一个正弦量都是由它的三个要素 频率 幅值与初相位完全确定，或者说，正弦量一经确定， 幅值与初相位完全确定，或者说，正弦量一经确定， 其三要素也就是唯一的，所以， 其三要素也就是唯一的，所以，可以通过理解三要 素来解决正弦量的表示与计算的问题。 素来解决正弦量的表示与计算的问题。
2. 正弦量的计时起点 ——初相位与相位差 初相位与相位差
对于已知的正弦量：
相位： 相位：称(ωt+ψi) 为正弦交流电流的相位角,简称相位。 在不同的时刻正弦量的相位也不同,交流电流的大小 和方向也不同。 初相位： 0时的相位角 为初相角,简称初相位。 时的相位角ψ 初相位：称t = 0时的相位角ψi为初相角,简称初相位。 初相位用来确定交流电初始瞬时状态。 初相位用来确定交流电初始瞬时状态。 i i o i = I m sin(ωt 90O ) i = I m sin(ωt + 90 )
ψi
t
如果 = ui =ψu ψi > 0
称电压超前电流φ角。
如果 = ui =ψu ψi < 0
称电压滞后电流φ角。
i, u t
i, u t
o
ψu 0 ψi
ψu
ψi 0
如 =ψu ψi = 0 果
称电压与电流同相。 i, u t
如果 =ψu ψi = 90
称电压与电流正交。
如果 =ψu ψi = 180o
i1
= 45
oБайду номын сангаас
ψi 2 = 30
o
ψ ∴ i1 >ψi 2 o o o 12 = 45 (30 ) = 75
在相位上，i1超前 i275o
2. 正弦量的大小 正弦量的大小——瞬时值、幅值与有效值 瞬时值、 瞬时值
i
t′
在t’时刻的 时刻的 值为i（ ） 值为 （t’） 正弦交流电流、电压和电动势的大小可表示如下: 正弦交流电流、电压和电动势的大小可表示如下:
i = Im sin( ωt +ψi ) A u = Um sin(在t’’时刻的 )V ωt时刻的 +ψu 值为i（ ） 值为 （t’’） e = Em sin( ωt +ψe )V
1 T = = 0.001s f
ψ = = 45o
4
π
（2）画出波形图。
i
Im
5π 4
0
π
4
3π 4
9π 7π 4 2π 4
ωt
T
例2：已知：i1=15sin(314t+45o)A, i2=10sin(314t-30o)A, （1）试问i1与i2的相位差是多少？ （2）在相位上i1与i2谁超前，谁滞后。 解（1）：∵ ψ
ψu
i = Im sin ωt +ψi ) A (
0
t
0
ψi
t
对一个正弦交流电量来说,如果知道它的角频率、初 相位以及振幅就可以把它唯一确定了。通常把这三个量 叫做交流电的三要素。 例如： 角频率 幅值 初相位
i = Im sin( ωt +ψi ) A
Im
ψi
u = Um sin( ωt +ψu )V
i(t′)
i
t′
t3 0 t1 t2
.
t4 t
i(t′′)
T
′ t′
有效值: 通过电阻R, R,在一个周期时 有效值:若有一交流电流 i 通过电阻R,在一个周期时 间内消耗的电能,与直流电流I 间内消耗的电能,与直流电流I在同样时间内通过同一 电阻所消耗的电能相等,则该直流电流I 电阻所消耗的电能相等,则该直流电流I的数值称为该 的有效值。 交流电流 i 的有效值。 在工程中， 在工程中，正弦电压与电流的计量不是瞬时值也 不是幅值，而是有效值。 不是幅值，而是有效值。
Im
i(t′)
t3 0 t1 t2
.
t4 t
i(t′′)
T
′ t′
瞬时值:任一时刻交流电量值的大小就叫瞬时值, 瞬时值 任一时刻交流电量值的大小就叫瞬时值,都用 任一时刻交流电量值的大小就叫瞬时值 小写拉丁字母表示, 它们都是时间的函数, 小写拉丁字母表示, i、u、e它们都是时间的函数,不 它们都是时间的函数 同时刻其量值也不同。 同时刻其量值也不同。
ψu
0
ψi
称电压与电流反相。
例1:已知:i(t)=100sin(6280t-π/4)mA （１）说明它的Ｉm，Ｉ，ω，f，T，ψ （２）画出波形图。 解：（１） Im = 100mA I = 100/
2 = 70.7mA
ω = 6280rad / s 6280 ω f= = =1000Hz 2π 2×3.14
1 T 2 同 ： 压u的 效 U = 理 电 有 值 ∫0 u dt T
对于正弦交流电流
i = Im sin( ωt +ψi ) A
1 T 2 1 T 2 I= i dt = Im sin 2 (ωt +ψ )dt 0 0 T∫ T∫
T 1 T ∫0 sin (ωt +ψ )dt =∫0 2dt ∫0cos(2ωt + 2ψ )dt = 2 Im 正弦交流电的有效值等于 I= = 0.707I m 2 它的最大值除以 2 , 而与 其频率及初相无关。 其频率及初相无关。 Um 同理 U= = 0.707Um 有效值与最大值之间的 2 2 关系不适用于其他非正 Em E= = 0.707Em 弦交流量 2 T 2 T