第五讲 风险决策模型

由于E(1 ) E(2 ) 甲车间的质量水平比乙车间高。
风险决策的数学模型
人们在作决策时，可能面临几种客观状态，到底哪种状态 出现是不确定的，因此决策就有风险，这种决策称为风险 决策。如果设法知道各种客观状态出现的概率，就可以采 用适当的方法进行科学决策，从可能的方案中选出一种， 获得在某种意义下最优的效果。

P{ xi }
x1
p1
x2
xn
pn
p2
则称
p1x1 p2 x2
pn xn
为随机变量 的数学期望，记作 E ( ) 或 ，即
E( ) p1x1 p2 x2
pn xn
例 某厂有甲、乙两车间生产同一产品.用 1 , 2 分别表示两车 间生产1000件产品中的次品数,经统计 1 , 2 的概率分布分别为
知识准备2：概率分布与数学期望
p1 10 p2 8 p3 6
已知此问题的概率分布表为

P
10 0.15
8 0.75
6 0.1
平均价格为 0.15×10+0.75×8+0.1×6=8.1. 由此可引出数学期望的概念。
知识准备2：概率分布与数学期望
定义 设随机变量 的概率分布为
P{ 10} 0.15, P{ 8} 0.75, P{ 6} 0.1.
或用表格表示为：

P
10 0.15
8 0.75
6 0.1
知识准备2：概率分布与数学期望
数学期望 例 有一大批产品,其中15%为一等品,75%为二等品,10%为三等品. 一、二、三等产品的单价分别为10元8元和6元.有人要采购一批 这种产品,但来不及检验,该如何定价? 假设采购数量为n,其中一、二、三等品的件数分别为 m1 , m2 , m3 那么这n件产品的平均价格为
, pn
aij ，我们可以列表如下
P F1 F2 Fm
p1
p2
Z2
pn
a1n a2 n
amn
Zn
a11 a12 a21 a22 am1
Z1
am 2
最大期望收益原则
现回到出海决策问题，分别用 1 , 2 表示方案1和方案2的 收益，它们是两个随机变量，它们的概率分布是：
1
P
5000 0.6
-2000 0.4
第五讲 风险决策
概率模型：风险决策
引言 知识准备1：随机事件与概率 知识准备2：概率分布与数学期望 风险决策的数学模型 最大期望收益原则与风险决策 多阶段决策
引言
在我们周围的现实世界中充满了机遇和风险，如何抓住机遇规 避风险不论对个人的成长、事业成功和社会发展都有重大意义。 所谓机遇与风险就是带有一定的不确定性或随机性的事物，概 率论就是数学中研究随机性的一门学科，用概率论可以帮助人 们抓住机遇、规避风险,做出正确的决策。 我们将介绍一些初等概率论的基本知识并将其用于解决风险 决策的实际问题。
2
-1000 0.6
-1000 0.4
P
由于两个方案的收益都是随机变量，我们可以用它们的数学期 望来判断优劣，数学期望大者为优。 E (1 ) 0.6 5000 0.4 (2000) 2200, E (2 ) 0.6 (1000) 0.4 (1000) 1000. 即方案1收益的期望大于方案2的期望收益，方案1更优，决策 者应选择方案1。我们可以直接在收益表上操作、得到结果。
知识准备1：随机事件与概率
随机事件的频率和概率 随机事件虽有不确定的一面，即一次的实验或观察，它可能 发生也可能不发生，但在长期或多次的观察或试验中人们还 是可以发现其中的规律。 随机事件发生的频率：若干次试验中该随机事件发生的比率。 作n次试验，该随机事件发生了m次，f=m/n即为该事件发生的 频率。

P{ xi }
x1
p1
x2
xn
pn
p2
其中
0 pi 1(i 1,
, n), p1 p2
pn 1.
概率分布与数学期望(例)
例 1）口袋中有两个大小重量相同的球，一个标记为1，另一标 记为2，在袋中随便摸一球有两种可能结果：摸到标号1的球； 摸到标号2的球。设摸到标号1的球对应于1；摸到标号2的球对 应于2。 显然，摸到1号球和2号球的概率均为0.5，从而概率分布为：
德摩根
布丰 皮尔逊 皮尔逊
2048
4040 12000 24000
1061
2048 6019 12012
0.5181
0.5069 0.5016 0.5005
随着试验次数的增加频率呈现出稳定性，反映了事件的固有 性质，即发生的可能性。
知识准备1：随机事件与概率
概率的定义 作n次重复试验，记m为事件A发生的次数，当n很大 时，若频率m/n稳定地在某一数值p附近摆动，则称p为随机事件 A发生的概率，记为
E(i ) p1ai1 p2 ai 2
pn ain
对 i 1, , m 计算各方案收益的数学期望，最大者就对 应于最优方案。
最大期望收益原则（例）
面包房进货问题 一家面包房，某种面包每天的需求量为100、150、200、250、
300的概率分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1。每个面包的进货价
P{A}=p
显然有
0 P{ A} 1
若分别将必然事件和不可能事件记为 和

则有
P{} 1, P{} 0.
知识准备2：概率分布与数学期望
随机变量 在一定条件下，随机试验的每一结果 唯一地对 应于一个实数 ( )则称 ( ) 为一个随机变量，简记为 例如：1）口袋中有两个大小重量相同的球，一个标记为1， 另一标记为2，在袋中随便摸一球有两种可能结果：摸到标 号1的球；摸到标号2的球。设摸到标号1的球对应于1；摸到 标号2的球对应于2。 2）有奖销售购物超过50元可摸奖一次。口袋中有大小重量 相同的红黄蓝黑球各一个，摸奖时任摸一球。 4 摸到红球
E
150 205 235 235 220
进货200或250为最优，期望利润为235元。
树形图和多阶段决策
出海决策问题可用树形图方法求解。
摸到黄球 摸到蓝球 摸到黑球
3 2
1
知识准备2：概率分布与数学期望
一般的若随机试验有n个结果 A1 , A2 ,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
An
, n.
且成立对应关系 ( Ai ) xi 那么 Ai { xi }, i 1,
随机变量的概率分布 设随机试验的结果 Ai 对应于随机变 pi 则称 P{ xi } pi (i 1, , n) ( Ai ) x，并已知其概率为 量 i 为该随机变量的概率分布。概率分布也可用表格表示：
知识准备1：随机事件与概率
随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件（简称事 件）。 例：某河6—8月最高水位超过3.2米；福利彩票开奖号码中有3 个8；从一批产品中任抽10件有一件为次品等。 必然事件在一定条件下一定发生的事件。 例：没有外力，匀速直线运动的物体继续作匀速直线运动。 不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件。 例：在标准大气压下，水加热到摄氏100度不沸腾。
最大期望收益原则
P 0.6
Z1
0.4
Z2 E
F1
F2
5000
-1000
-2000
-1000
2200
-1000
最大期望收益原则
对一般的风险决策问题，用 i 表示第i个方案的收益，它是 一个随机变量，其概率分布为：
P{i aij } p j ( j 1,
从而其数学期望为：
, n),
最大期望收益原则（例）
P 0.2 0.25 0.3 0.15 0.1
100
100 150 200 250 300 150 125 100 75 50
150
150 225 200 175 150
200
150 225 300 275 250
250
150 225 300 375 350
300
150 225 300 375 450
P F1 F2
0.6 Z1 5000 -1000
0.4 Z2 -2000 -1000
风险决策的数学模型
对一般的情形，设决策者有m个方案F1,F2, ….,Fm可供选择， 有n种客观状态Z1,Z2,…Zn可能出现，它们出现的概率为：
p1 , p2 ,
方案Fi遇到状态Zj决策者的收益为 （( aij )称为收益矩阵）
1 ( m1 10 m2 8 m3 6) n m m m 1 10 2 8 3 6 n n n
显然， 分别为一、二、三等品出现的频率，只 要n足够大，频率可用概率代替，设一、二、三等品出现的概率 p1 , p2 , p3 为 ，平均价格可表示为
m1 m2 m3 , , n n n
P{ 1} 0.5, P{ 2} 0.5.
或用表格表示为

P
1 0.5
2 0.5
概率分布与数学期望(例)
例 2）有奖销售购物超过50元可摸奖一次。口袋中有大小重量 相同的红黄各一个黑球2个，模奖时任模一球。摸到红球得4分 摸到黄球得2分，摸到黑球得1分。
4, 2,1 用 分别表示摸到红球、摸到黄球或摸到黑球。 显然它们的概率分别为0.25,0.25,0.5. 于是，概率分布为：
最大期望收益原则（例）
(4 2.5) X ( 2.5 2)( y X ) L (4 2.5) y 2 X 0.5 y 1.5 y X y Xy X y X y
例如，进货为100，需求为100时，利润为
L=1.5*100=150,
进货为150，需求为100时，利润为 L=2*100-0.5*150=125。 以此类推可得收益表：
概率分布与数学期望（例）
0 1 2 3 2 0.7 0.1 0.1 0.1 P 0 1 2 0.5 0.3 0.2
1
P
3 0
问那一车间的质量水平较高? 解质量高低可用它们的数学期望来比较：
E (1 ) 0.7 0 0.11 0.1 2 0.1 3 0.6, E (2 ) 0.5 0 0.3 1 0.2 2 0 3 0.7.
风险决策的数学模型
方案F1遇到状态Z1，即出海遇到好天，收益为5000元；方案 F1遇到状态Z2，即出海遇到天气变坏，收益为-2000元；方案 F2遇到状态Z1，即不出海遇到好天，收益为-1000元；方案F2 遇到状态Z2，即不出海遇到天气变坏，收益为-1000元。注意 到好天气的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，我们列表如下
为2.50元，销售价为4元，若当天不能售完，剩下的只能以每只2 元的价格处理。每天该进多少货？（进货量必须是50的倍数） 进货方案有进100、150、200、250、300五种方案；需求量也 有五种状态：需要100、150、200、250、300只。 我们首先计算各种方案遇到不同状态时的利润（收益），即不 同进货量遇到不同需求量时的利润。 设进货量为y,需求量为x,用L表示利润，有
抽取件数 n 合格件数 m 频率f 5 5 1 10 7 0.7 60 57 0.833 150 131 0.873 600 548 0.913 900 820 0.911 1200 1091 0.909 1800 1631 0.906
知识准备1：随机事件与概率
投掷一枚硬币正面朝上的频率
试验者 试验次数n 朝上次数m 频率f
P{ 4} 0.25, P{ 2} 0.25, P{ 1} 0.5.
或用表格表示为：

4
2
1 0.5
P
0.25 0.25
概率分布与数学期望(例)
例3）有一大批产品,其中15%为一等品,75%为二等品,10%为 三等品，一、二、三等产品的单价分别为10元、8元和6元。 任抽一件产品，随机变量 10,8, 6 分别表示抽到一等品、 二等品和三等品，那么，随机变量 的概率分布为：
例如，某船主要对下月渔船是否出海做出决策。如出海后 是好天，可得收益5000元，若出海后天气变坏，将损失 2000元；若不出海，无论天气好坏都将损失1000元。据预 测，下月好天的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，船主应 如何决策？
船主可选择的方案有两个：出海或不出海,记为F1，F2；面 临的客观状态也有两个：好天或天气变坏，记为Z1，Z2。