动量守恒定律和能量守恒定律解析

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律

概述：

1、牛顿第二定律描述了力对物体作用的瞬间关系，物体瞬间获得响应的加速度，物体的运动状态已经开始发生变化，要使物体的运动状态继续变化，需要力的作用有一个过程。本章从力的空间累积效应和时间累积效应出发，用动量和能量对机械运动进行分析。

2、由对一个质点的研究过渡到质点系的研究。

3、守恒定律是完美、和谐的自然界的体现。动量守恒和能量守恒源于牛顿力学，但在牛顿定律不适用的领域，例如微观粒子及高能物理领域仍然适用，故它是自然界的一条基本定律。

3-1质点和质点系的动量定理

一、 冲量 质点的动量定理

牛顿第二定律的微分形式

d d t =

p

F d d t =F p 22

1

1

2121d t d t t m m ==-⎰

⎰p p F p p p =υ-υ

1.冲量：力对时间的积分，常以I 表示，并称

⎰=2

1

d t t t F I

为在1t ～2t 时间内、力F 对质点的冲量，或简单说成F 的冲量。

说明：

（1）.冲量,是一个矢量，大小为2

1d t t t =⎰I F ，方向是速度或动量的变化方向。

（2）.由于冲量是作用力的时间积分，必须知道力在这段时间中的全部情况，才能求出冲量。实际上要知道力的大小和方向随时间变化是很困难的，必须采取近似处理。

F 为恒力（方向也不变）时，t =∆I F ；

（高中的冲量定义） F 作用时间很短时，可用力的平均值F 来代替。

2

1

1d t t t t =∆⎰F F ，21t t t ∆=-

2.动量（p ）是描述物体运动状态的物理量，有大小和方向，是一个矢量。方向和运动速度的方向相同。单位：㎏·ｍ/ｓ量纲：MLT －１。

3.质点的动量定理：在给定的时间间隔内，质点所受合力的冲量，等于该质点动量的增量。

22

1

1

2121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ

在直角坐标系中，质点的动量定理的分量形式：

2121

21212121---t x x x x

t t y y y y t t z z

z z

t I F dt m υm υ

I F dt m υm υI F dt m υm υ

⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪

⎪==⎪⎩⎰⎰⎰

动量定理在打击和碰撞等情形中特别有用。一般而言，冲力大小随时间而变化的情况比较复杂，所以很难把每一时刻的冲力测量出来．但若我们能够知道两物体在碰撞前、后的动量，那么根据动量定理，就可得出物体所受的冲量；若我们还能测出碰撞时间，那么也可以从冲量算出在碰撞时间

内的平均冲力为

21

m m t ∆υ-υF =

。

二、质点系的动量定理

质点系内质点之间相互作用力是内力。

考虑由n 个不同质点组成的质点系，设第i 个质点受外力ex i F 和内力in i F 作用时，由动量定理有：

()0

0d t

ex

in i

i i i t t +=-⎰F

F p p

对质点系内所有质点求和：

()000111001

1

d d d n

n n

t t t ex in ex in i i i i t t t i i i n n

i i i i t t t =====⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭

-=-=∆∑∑∑⎰⎰⎰∑∑F F F F =p p p p p

因为对质点系的内力有1

0n

in i i ==∑F ，则

001d n t

ex i t i t =⎛⎫

=-=∆ ⎪⎝⎭

∑⎰F p p p

质点系的动量定理：系统所受的合外力的冲量等于系统动量的增量。 说明：

1. 内力只能在系统内各个物体之间传递动量，对整个质点系的总动量的改变不起作用的。

2. 对于无限小的时间间隔内，质点系的动量定理可写成

d d ex t =F p 或d d ex t

=

p

F 。 表明作用系的合外力等于质点系的动能随时间的变化率。

3-2 动量守恒定律

若系统所受的合外力为零，即01=∑=n

i i F ，有

i i 1

n

i m ===∑p υ常矢量。

这就是动量守恒定律，它的表述为：一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。

注意：

1、动量是矢量，系统的动量是指系统内所有质点的动量之矢量和，而一般不指代数和。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。

2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。

3、动量守恒可在某一方向上成立，即分动量守恒。

4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。

5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。

6、动量守恒定律只适用于惯性系。

3-4 动能定理

一、功

1、恒力的功

如图所示，一个质点M 在恒力F 的作用下，沿直线从a 点运动到b 点，位移为s ，力F 与位移ｓ之间的夹角为θ。则在这个过程中，力F 在位移s 上的功W 等于力的大小

F 、质点位移s 的大小以及力与位移之间夹角余