动量守恒定律和能量守恒定律解析

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
概述：
1、牛顿第二定律描述了力对物体作用的瞬间关系，物体瞬间获得响应的加速度，物体的运动状态已经开始发生变化，要使物体的运动状态继续变化，需要力的作用有一个过程。

本章从力的空间累积效应和时间累积效应出发，用动量和能量对机械运动进行分析。

2、由对一个质点的研究过渡到质点系的研究。

3、守恒定律是完美、和谐的自然界的体现。

动量守恒和能量守恒源于牛顿力学，但在牛顿定律不适用的领域，例如微观粒子及高能物理领域仍然适用，故它是自然界的一条基本定律。

3-1质点和质点系的动量定理
一、 冲量 质点的动量定理
牛顿第二定律的微分形式
d d t =
p
F d d t =F p 22
1
1
2121d t d t t m m ==-⎰
⎰p p F p p p =υ-υ
1.冲量：力对时间的积分，常以I 表示，并称
⎰=2
1
d t t t F I
为在1t ～2t 时间内、力F 对质点的冲量，或简单说成F 的冲量。

说明：
（1）.冲量,是一个矢量，大小为2
1d t t t =⎰I F ，方向是速度或动量的变化方向。

（2）.由于冲量是作用力的时间积分，必须知道力在这段时间中的全部情况，才能求出冲量。

实际上要知道力的大小和方向随时间变化是很困难的，必须采取近似处理。

F 为恒力（方向也不变）时，t =∆I F ；
（高中的冲量定义） F 作用时间很短时，可用力的平均值F 来代替。

2
1
1d t t t t =∆⎰F F ，21t t t ∆=-
2.动量（p ）是描述物体运动状态的物理量，有大小和方向，是一个矢量。

方向和运动速度的方向相同。

单位：㎏·ｍ/ｓ量纲：MLT －１。

3.质点的动量定理：在给定的时间间隔内，质点所受合力的冲量，等于该质点动量的增量。

22
1
1
2121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ
在直角坐标系中，质点的动量定理的分量形式：
2121
21212121---t x x x x
t t y y y y t t z z
z z
t I F dt m υm υ
I F dt m υm υI F dt m υm υ
⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪
⎪==⎪⎩⎰⎰⎰
动量定理在打击和碰撞等情形中特别有用。

一般而言，冲力大小随时间而变化的情况比较复杂，所以很难把每一时刻的冲力测量出来．但若我们能够知道两物体在碰撞前、后的动量，那么根据动量定理，就可得出物体所受的冲量；若我们还能测出碰撞时间，那么也可以从冲量算出在碰撞时间
内的平均冲力为
21
m m t ∆υ-υF =。

二、质点系的动量定理
质点系内质点之间相互作用力是内力。

考虑由n 个不同质点组成的质点系，设第i 个质点受外力ex i F 和内力in i F 作用时，由动量定理有：
()0
0d t
ex
in i
i i i t t +=-⎰F
F p p
对质点系内所有质点求和：
()000111001
1
d d d n
n n
t t t ex in ex in i i i i t t t i i i n n
i i i i t t t =====⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭
-=-=∆∑∑∑⎰⎰⎰∑∑F F F F =p p p p p
因为对质点系的内力有1
0n
in i i ==∑F ，则
001d n t
ex i t i t =⎛⎫
=-=∆ ⎪⎝⎭
∑⎰F p p p
质点系的动量定理：系统所受的合外力的冲量等于系统动量的增量。

说明：
1. 内力只能在系统内各个物体之间传递动量，对整个质点系的总动量的改变不起作用的。

2. 对于无限小的时间间隔内，质点系的动量定理可写成
d d ex t =F p 或d d ex t
=
p
F 。

表明作用系的合外力等于质点系的动能随时间的变化率。

3-2 动量守恒定律
若系统所受的合外力为零，即01=∑=n
i i F ，有
i i 1
n
i m ===∑p υ常矢量。

这就是动量守恒定律，它的表述为：一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。

注意：
1、动量是矢量，系统的动量是指系统内所有质点的动量之矢量和，而一般不指代数和。

系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。

2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。

3、动量守恒可在某一方向上成立，即分动量守恒。

4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。

5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。

6、动量守恒定律只适用于惯性系。

3-4 动能定理
一、功
1、恒力的功
如图所示，一个质点M 在恒力F 的作用下，沿直线从a 点运动到b 点，位移为s ，力F 与位移ｓ之间的夹角为θ。

则在这个过程中，力F 在位移s 上的功W 等于力的大小
F 、质点位移s 的大小以及力与位移之间夹角余
弦cos θ的乘积。

根据矢量标积的定义，功的定义可以改写为：
cos W Fs θ=⋅F s =
注意：功是过程量，上面对功定义仅适合于（1）沿直线运动的质点,（2）作用力为恒力。

2、变力作用下的曲线运动的功
元功： d d W =⋅F r
总功： d d cos d B
B
A
A
W W F r θ==⋅=⎰⎰⎰F r
在直角坐标系中，F 和d r 可以分别写成
x y z F F F ++F =i j k ，d d d d x y z ++r =i j k
d d d d x y z W F x F y F z ++=
d d d B
x y z A
W F x F y F z ++⎰=
若质点同时受几个力1F ，2F ，…，n F 作用，质点在这些力作用下由a 点沿任意曲线运动到b 点，则
()()
()
()()()
121212d d d d d n
b
b
b
n a L a L a L b
n a L b
he a L W W W W ++
+=⋅+
⋅++
⋅=+++⋅=
⋅⎰
⎰
⎰
⎰⎰
=F r F r F r
F F F r
F r
结论：当几个力同时作用在一个质点上，这些力在这个过程中对质点所作的功的总和，等于这些力的合力在同一过程中对质点所作的功。

3、功率（P ）：
功随时间的变化率叫做功率，用P 表示，则有
d d W
P t
=
说明：
（1） 功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W ，且1kW =103W 。

（2） d d d d W P t t
=
=⋅=⋅r
F F υ。

例题1：物体在水平面上运动，摩擦力做的功。

解：这是一个物体沿曲线运动但力的大小不变的例子，摩擦力的大小为
s
mg ds mg w s
μμ-=-=⎰0
μmg f =，方向与位移相反，故：
整个过程所作的功为：
即摩擦力作功与路程有关。

力对物体作功，是力的空间累积效应，物体的运动状态发生变化，二者之间有何关系？
二、质点的动能定理
d d d cos W F r θ=⋅F r =
cos t F F θ=
d d t t υF ma m
t
== d d d d d υ
W m
r m υυt
== 222111
d d 22B
A
W W m υυm υm υ===-⎰⎰
定义： 2
12
k E m υ=
叫做质点的动能。

则 21k k W E E =-
质点的动能定理：物体动能的增量数值上等于合外力对物体所做的功。

注意：
（1）功与动能的区别和联系。

功是力的空间累积效应是一个过程量，而动能是一个状态量，但功是动能变化的量度。

（2）动能定理仅适用惯性系。

例1：质量为1.0 kg 的小球用1.0m 的细绳悬挂在O 点，起始时与垂直线呈0
30角释放，求0
10角时小球的速率。

解：由题知合外力的功为：由动能定理有：得
s
d P s d F s d F dW T
⋅+⋅=⋅=0
=⋅s d F T ds P ds P s d P θϕsin cos ==⋅
θθθd mgl dW ld ds sin -=-=()
0cos cos sin 0
θθθθθ
θ-=-
=⎰mgl d mgl W ()202121cos cos mv mv mgl W -=-=θθ()1
5312-⋅=-=s m gl v .cos cos θ
θds
mg r d F dw μ-=⋅=
P
小结：
1、注意当力不是一维时，应用动量定理要用其分量式。

即先求分量，再合成求总量（这是将矢量运算化为标量运算的常用方法）。

若直接用矢量式，一定注意是矢量合成。

2、对一个系统用动量守恒时，要判断守恒条件是否满足。

3、计算变力作功时，d W 应是过程中任意位置附近的元功。

3-5保守力与非保守力 势能
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点
1、重力的功
重力的功只与始、末位置有关，而与质点所经的路径无关。

2、万有引力的功
以m '为参考系，m 的位置矢量为r ，m '对m 的万有引力为
m 由A 点移到B 点时F
所作的功为：
万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，而与所经过的路径无关。

3、弹性力作功
z
mg r P W B
A
z z B
A
d d ⎰⎰
-=⋅= )
(A B mgz mgz --=r
r m m G F
3'-=r
r r r r r d cos d d ==⋅ϕ ⎰-=
B
A
r r r r
m
m G
W d '2⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡----=)'()'(A B r m m G r m m G W
⎰⎰⋅-=⋅=B A
r
r r m m G r F W
d 'd 3
弹性力作功只由起始和终了位置决定，与过程无关。

二、保守力和非保守力 保守力作功的数学表达式
保守力:力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置. 保守力作功特点的数学表述：物体沿闭合路径运动一周时,保守力对它所作
的功等于零 .非保守力:力所作的功与路径有关.（例如摩擦力）
1.势能
势能：与物体间相互作用及相对位置有关的能量。

保守力作功与势能改变量的关系：
保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。

三种常用的势能： 重力势能
引力势能
弹性势能
注意：
（1）势能是状态的函数。

（2）势能的相对性。

以上三种势能函数各有确定的势能零点。

用时要注意。

（3）势能属于系统。

3-6 功能原理 机械能守恒定律
一、质点系的动能定理
如图为一个质点系，对第i 个质点运用动能
定理，有：
d =⋅⎰l
r F
mgz E =p r
m m G
E 'p -=1
m 2
m i
m ex
i F
in
i F 0
k k in ex i i i i E E W W -=+P
1p 2p )(E E E W ∆-=--=2p 2
1kx E =
其中ex
i W 表示外力功，in
i W 表示内力功。

对质点系有：
质点系动能定理：作用于质点系的力所作的功，等于质点系的动能增量。

二、质点系的功能原理
作用与质点系的内力可分为保守内力和非保守内力，即：
根据保守内力作功与势能增量的关系有：
代入质点系的动能定理，整理有：
动能与势能统称为机械能，用E 表示： 上式可写为：
质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和 .
三 、机械能守恒定律
如果满足：
0ex W =，0in
nc
W = 则： 机械能守恒定律：只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变。

3-7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
k k 0k k in ex
E E E E W W
i
i i
i i
i i
i
-=-=+∑∑∑∑0
k k in ex E E W W -=+in
nc
in c in in W W W W i
i +==∑0
p p 0p p in c )(E E E E W i
i i
i -=--=∑∑)
()(0p 0k p k in
nc ex E E E E W W +-+=+p k E E E +=0
E E =0
in
nc ex E E W W -=+
碰撞：两物体互相接触时间极短而互作用力较大的相互作用。

在碰撞过程中，因为物体间相互作用的内力远大于外力，故可认为满足动量守恒。

碰撞的分类：
1. 完全弹性碰撞：两物体碰撞之后，它们的动能之和不变。

2. 非弹性碰撞：由于非保守力的作用，两物体碰撞后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式的能量。

3. 完全非弹性碰撞：两物体碰撞后,以同一速度运动。

小结：
1.从保守力作功的特点引入势能，并根据保守力作功与势能增量的关系，将保守力的功用势能的增量代替，简化了计算。

2.将对一个质点的动能定理扩展到对一个质点系，得出的功能原理。

3.从功能原理中得出只有保守内力作功，机械能守恒。

使用以上定理（律）时，先考虑能否用守恒，因为守恒是最简洁的解决方法。

4.注意用机械能守恒时，要划定好系统。