离散数学PowerPoint 演示文稿12

(2) (p→(q∨p)) ∨r
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 1 0 1 0 1 0 1 0
q∨p p→(q∨p) (p→(q∨p)) ∨r
0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
(3) l (p→q)
子命题用大写英文字母P，Q，R…及其
带下标的Pi，Qi，Ri，…表示。
例: p: 2是素数
; q :乌鸦是黑色的.
第二类是复合命题，它由原子命题、命 题联结词和圆括号组成。
２. 命题联结词
设P表示一个命题，由命题联 结词l和命题P连接成lP，称lP为P的 否定式复合命题， lP读“非P”。称l
定义1.1
例1.3 将下列命题符号化. (1)张路即聪明又用功. (2)张路不仅聪明,而且用功. (3)张路虽然不太聪明,但他很用功. (4)张路不是不聪明,而是不用功, 解 设 P:张路聪明,Q:张路用功. 则(1)到(4)分别符号化P∧Q， P∧Q lP∧Q ， l（lP）∧lQ
定义.1.3
设P和Q
为两个命题，由命题
定义１.６
以真或1、假或
0为其变域的变元，称为命
题变元；真或1、假或0称为 命题常元。
2.合式公式
通常把含有命题变元的断言称为命题公
式.但这没能指出命题公式的结构, 因为
不是所有由命题变元、联结词和括号所
组成的字符串都能成为命题公式。常使
用归纳定义命题公式，以便构成的公式
有规则可循。由这种规定产生的公式称
1.3
1.
定义1.10
等值演算
等价式定义
设A和B是两个命题公式，如 果A、B在其任意指派下，其真值都是相同 的，则称A和B是等价的，或逻辑相等，记 作AB，读作A等价B，称AB为等价式。
若公式A和B的真值表是相同的， 则A和B等价。因此，验证两公式 是否等价，只需做出它们的真值表 即可。 注意和的区别与联系 联系： A B当且仅当AB是 永真式． 有时也称A B是永真 双条件式。
每一种可能的真值指派，以及由它们
确定出的公式真值所列成的表，称为 该公式的真值表。
含n(n1)个命题变项的公式 A共 有
2 个赋值.
n
例1.7
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1
求下列命题公式的真值表
(1)
r 1 0 1 0 1 0 1 0
(p∧lq)→r
lq 1 1 0 0 1 1 0 0 p∧lq 0 0 0 0 1 1 0 0 (p∧lq)→r 1 1 1 1 1 0 1 1
主要内容
１.1 命题与联结词 １.2 命题公式与赋值 １.3 等值演算 １.4 析取范式与合取范式
１.5命题逻辑的推理理论
1.1 命题与联结词
１. 命题的概念
所谓命题，是指具有非真必假的陈述句。而 疑问句、祈使句和感叹句等因都不能判断其 真假，故都不是命题。命题仅有两种可能的 真值—真和假，且二者只能居其一真用1或T 表示，假用0或F表示。由于命题只有两种真 值，所以称这种逻辑为二值逻辑。命题的真 值是具有客观性质的，而不是由人的主观决 定的。
例1.４ 将下列命题符号化 (1)若3+3=6，则地球是运动的. (2)只要a是4的倍数 a就是2的倍数. (3) a是4的倍数,仅当a是2的倍数． (4)只有a是2的倍数 a才是4的倍数 解 设Ｐ 3+3=6 Ｑ 地球是运动的 Ｒ a是4的倍数 Ｓ a是2的倍数 则 (1)可符号化为P→Q (2)__ (4)可符号化为R→S
(2) 如果2+3>5当且仅当5是合数,则4和 7都是无理数． 解 设Ｐ:2+3>5 Ｑ: 5是合数， R: 4是无理数, S: 7是无理数 (2) 符号化为((P Q) →(R∧S)) 因为把个自的真值代入上式得 ((0 0)→(0∧0)) 计算其真值为0．
强调： 复合命题的真值只取决于各 原子命题的真值，而与它们 的内容、含义无关，与原子 命题之间是否有关系无关， 理解和掌握这一点是至关重 要的．

区别：
是逻辑联结词，
属于目标语言中的符号，它出现在
命题公式中；不是逻辑联结词，
表示两个命题公式的一种关系，不
属于这两个公式的任何一个公式中 的符号。
2.பைடு நூலகம்
序号 1
基本等价式——命题定律
定律名称 基本定律 双从否定律 AA
2
3 4 5
等幂律
交换律 结合律 分配律
A∧AA
,
A∨AA
A∧BB∧A,A∨BB∨A
(A∧B)∧CA∧(B∧C)， (A∨B)∨CA∨(B∨C)，
A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)
6 7 8
德·摩根律 (A∧B) A∨ B
(A∨B) A∧ B
吸收律 零 律
A∧(A∨B)A A∨(A∧B)A
例1.1 判断下列句子中哪些是命题.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 2是素数. x+y>9. 太阳从西方升起. 乌鸦是黑色的. 这个男孩多勇敢啊! 明年中秋节的晚上是晴天. 您贵姓? 请把门开开! 地球外的星球上也有生物
如果一陈述句再也不能分解成更为简单 的语句，由它构成的命题称为原子命题. 原子命题是命题逻辑的基本单位。 命题分为两类，第一类是原子命题，原
为合式公式。
定义１.６
合式公式是由下列规则
生成的公式： ①单个命题变项(或常项)是合式公式。 ②若A是一个合式公式，则(lA)也是一 个合式公式。 ③若A、B是合式公式,(A∧B)、(A∨B)、
(A→B)和(A B)都是合式公式。
④只有有限次使用①、②和③生成的公
式才是合式公式(也称公式)。
p
0 0 0 0 1
∧q∧r(记为A)
l (p→q) l (p→q) ∧q
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
q
0 0 1 1 0
r p→q
0 1 0 1 0 1 1 1 1 0
A
0 0 0 0 0
1
1 1
0
1 1
1
0 1
1
0 1
0
1 0
0
1 0
0
0 0
定义1.9
设Ａ为一命题公式
(１) 若Ａ在它的各种赋值下取值均为 真，则称Ａ为永真式（或重言式）； (２) 若Ａ在它的各种赋值下取值均为 假，则称Ａ为永假式（或矛盾式）； (３) 若Ａ不是永假式，则称Ａ是可满 足的；
符号集
↔
运算优级：
高 低
当合式公式比较复杂时，常常使用很 多圆括号，为了减少圆括号的使用量
可作以下约定：
①规定联结词的优先级由高到低的次序
为：l、∧、∨、→、
②相同的联结词按从左至右次序计算时，
圆括号可省略。
③最外层的圆括号可以省略。
2 lim(1 ) x x
练习与作业
１.求下列命题公式的真值表 (1) l (q→p) (2) lp∨q (3) l q→lp 思考：比较上述三题与 p→q 真值表 ２.将下列命题符号化 (1)王威是100米冠军,又是200米冠军. (2)虽然天气很冷，老王还是来了． (3)他一边吃饭,一边看电视. (4) 如果天下大雨,他就乘公共汽车上班 (5) 只有天下大雨,他才乘公共汽车上班 (6)除非天下大雨,否则他不乘公共汽车上班 (7)不经一事,不长一智.
2x
3. 命题赋值
定义１.7
设 p1 , p2 ,, pn 是出现在 公式A中的全部命题变项,给 p1 , p2 ,, pn 各指定一个真值, 称为对A的一个赋值 或解释. 若指定的一组值使A的值为1, 则称这组值为A的成真赋值.若使A的值 为0,则称这组值为A的成假赋值.


定义1.8
对于公式中命题变元的
定义1.1.4
→的定义 P→Q 1 1 0 1
自然语言中, “只要Ｐ就Ｑ”，“Ｐ仅 当Ｑ”，“只有Ｐ才Ｑ” 等都可以符 号化 为P→Q的形式． 自然语言中, “如果Ｐ则Ｑ”中的Ｐ与 Ｑ往往有某种内在的联系，而在数 理逻辑中，Ｐ与Ｑ不一定有联系． 在数学和其他自然科学中，“如果Ｐ 则Ｑ”表示的前件Ｐ为真，后件Ｑ为 真的推理关系，但数理逻辑中不同
为否定联结词 (否定联结词“l”的定义可
由表1.1.1表示之).
表 1.1.1 P 1 0
的定义 P 0 1
例: P:
10是素数
真值为F
真值为T 真值为T 真值为F
lp: 10不是素数
Q: 5是素数 lQ 5不是素数
由于“否定”修改了命题，它是对 单个命题进行操作，称它为一元联
定义1.2
设P和Q为
, ,
： ：
：
：
定义１.1.5
令P与Q是两个命
题，由命题联结词把P和Q连接
成P Q，称P Q为命题P和Q 的双条件式复合命题， 简称双 条件命题， P Q读做“P当 且仅当Q”，称为双条件联结词。
表 1.1.5 P Q 0 0 0 1 1 0 1 1
的定义 PQ 1 0 0 1
.
解 设Ｒ：谢丹生于1972年 S: 谢丹生于1973年 Q: 吕小洲学过德语 Ｍ：吕小洲学过法语 Ｎ：派老王到上海开会 Ｈ：派老李到上海开会 则: (1) 可符号化为R∨S ; (2)可符号化为Q∨M ; (3)可符号化为(N∧lH)∨(lN∧H)
设P和 Q为两个命题，由 命题联结词→把P 表 1.1.4 和Q连接成P→Q， P Q 称P→Q为命题P和 Q的条件式复 合命 0 0 题 , 简称条件命题 0 1 P→Q 读做 “P条 1 0 件Q”或者 “若P则 1 1 Q”。称→为条件联 结词
联结词∨把 P 和Q连
接成P∨Q，称P∨Q
为命题P和 Q 的析取
式复合命题，P∨Q 读做“P或Q”。称∨ 为析取联结词。
表 1.1.3 P Q 0 0 0 1 1 0 1 1
∨的定义 P ∨ Q 0 1 1 1
自然语言中的“或”有二义性，有时
具有相容性，有时具有排斥性，注意区 分．
例1.3 将下列命题符号化 (1)谢丹生于1972年或1973年. (2)吕小洲学过德语或法语． (3)派老王或老李中的一人到上海开会 分析: 上述例题(1) (3)的或为排斥 或,而(2)中的或为可兼或.
克拉玛依职业技术学院
制作人:卢自娟 2007年9月10日
第一部分 数理逻辑
引言
数理逻辑主要包括两部分的 内容,命题逻辑和一阶逻辑.命题逻 辑是研究由命题为基本单位构成的 前提和结论之间的可推导关系. 一 阶逻辑又称谓词逻辑.
案例 :
一个公安人员审查一件盗窃案,已 知下列事实: (1) 甲或乙盗窃了 DVD (2) 若甲盗窃了DVD,则作案时间不能发 生在午夜前; (3)若乙的证词正确,则午夜时灯光未灭; (4)若乙的证词不正确,则作案时间发生 在午夜前; (5)午夜时屋里灯灭了. 试问:盗窃DVD的是甲还是乙
例1.５ 将下列命题符号化 (1)2+3=5当且仅当８是有理数； 解 设Ｐ 2+3=5Ｑ ８是有理数 则(1)可符号化为P Q (2)A,B两角相等当且仅当他们是 同位角． 解 设Ｐ：A,B两角相等 Ｑ：A,B是同位角 则(2)可符号化为P Q
： ： ：
例1.6 将下列命题符号化,并 求其真值． (1) 如果３是合数则４是素数， 并且如果４是素数，则它不能 被２整除． 解 设Ｐ:３是合数 Ｑ: 4是素 数， R: 4能被2正整除． 则(1) 符号化为(P→Q)∧(Q→R) 因为(0→0)∧(0→1),其真值为1
1.２
命题公式与赋值
１. 命题变元
在命题逻辑中，命题又有命题常 元和命题变元之分。一个确定的 具体的命题，称为命题常元；一 个不确定的泛指的任意命题，称 为命题变元。
命题变元不是命题，只有用一 个特定的命题取代才能确定它 的真值：真或假。这时也说对 该命题变元指派真值。 命题常元和命题变元均可用字 母P等表示。由于在命题逻辑 中并不关心具体命题的涵义， 只关心其真值，因此，可以形 式地定义它们如下：
两个命题,由命题联 结词∧将P和Q连接 成P∧Q,称P∧Q为
命题P和Q的合取式
复合命题，P∧Q读
做“P与Q” , 或“P
且Q”。 称∧为合取
表 1.1.2 ∧的定义 P Q P∧Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
联结词.
自然语言中,既…又…,不但…而且… 虽然…但是… 等都可以符号化为∧
A∧FF，A∨TT
9 10 11
同一律 排中律 矛盾律
A∧TA，A∨FA A∨AT A∧AF
12
13
蕴涵 等值式 A→BA∨B
等价等值式
AB(A→B)∧ (B→A) (A∧B)∨(A∧B) A→BB→A AB AB