烟台市 高一上期末数学试题(有答案)
2020-2021学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x33．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．98．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为．15．函数y＝的定义域为．16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．解：sin17°cos13°+sin73°cos77°＝sin17°cos13°+cos17°sin13°＝sin（17°+13°）＝，故选：B．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x3解：y＝tan x在定义域上不具备单调性，不满足条件．y＝3x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y＝的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y＝x3是增函数，是奇函数，满足条件．故选：D．3．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解：∵log0.33＜log0.31＝0，，log23＞log22＝1，∴c＞b＞a．故选：A．4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x3+3x﹣2是连续函数且单调递增，∵f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝+﹣2＝＞0∴f（）f（）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（，）．故选：C．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．解：令x+3＝0，求得x＝﹣3，y＝4，函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα＝＝﹣，故选：B．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知M＝，＝8﹣5＝3，即T＝12，则，得ω＝，则y＝sin（x+φ），由函数过B（5，），得sin（×5+φ）＝，得sin（+φ）＝1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ﹣，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，则y＝sin（x﹣），（4≤x≤8），排除B，D，当x＝4时，y＝sin（×4﹣）＝sin＝×＝2，即A（4，2），y＝log a（x+b）过（0，0），则log a b＝0，则b＝1，则y＝log a（4+1）＝log a5＝2，得a＝，则y＝log（x+1），（0≤x＜4），排除A，故选：C．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9解：设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6×100（1﹣10%）t＜20，即3×，即t×，所以t，所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos[2（x+φ）﹣]＝cos（2x+2φ﹣），若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，则f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1或f（x1）＝﹣1，g（x2）＝1，不妨设f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1，则2x1﹣＝2k1π，2x2+2φ﹣＝2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π+，2x2+＝2k2π+π﹣2φ+，两式作差得2（x1﹣x2）＝2（k1﹣k2）π+2φ﹣π，即（x1﹣x2）＝（k1﹣k2）π+φ﹣，∵|x1﹣x2|的最小值为，∴当k1﹣k2＝0时，最小，此时|φ﹣|＝，∵0＜φ＜，∴φ﹣＝﹣，得φ＝﹣＝，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数解：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度，不是﹣2π弧度，所以A错；对于B，由sinθ＞0，cosθ＜0，可知θ为第二象限角，所以B对；对于C，sinθ+cosθ＞1⇒sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＞1⇒2sinθcosθ＞0，又sinθ+cosθ＝1＞0，所以sinθ＞0，cosθ＞0，即θ为第一象限角，所以C对；对于D，函数y＝sin|x|是偶函数，但不以π周期，如f（）＝1，f（π+）＝﹣1，二者不等，所以D错；故选：BC．10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值解：函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当x∈（，π）上，x+∈（，），故f（x）在上单调递减，故A 正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）图象关于点对称，故B正确；f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为＝π，故C正确；当x＝+2kπ，k∈Z时，f（x）＝，为最大值，故D错误．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称解：函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），对于选项A，令x＞0且a﹣x＞0，解得0＜x＜a，故函数f（x）的定义域为（0，a），故选项A正确；对于选项B，f（x）＝log a x+log a（a﹣x）＝log a[（a﹣x）x]＝log a（﹣x2+ax），因为y＝﹣x2+ax图象开口向下，故y有最大值，但若0＜a＜1时，函数y＝log a x单调递减，此时f（x）无最大值，故选项B错误；对于选项C，若f（x）在（0，2）上单调递增，①当0＜a＜1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递减，故，解得a≤0，故不符合题意；②当a＞1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递增，故，解得a≥4，故选项C错误；对于选项D，f（x）＝log a x+log a（a﹣x），则f（a﹣x）＝log a（a﹣x）+log a x＝f（x），所以f（x）图象关于直线对称，故选项D正确．故选：AD．12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）解：对于A，由题意a⊗a＝log2（2a+2a）＝a+1，故A错误；对于B，（a⊗b）⊗c＝[log2（2a+2b）]⊗c＝log2[2+2c]＝log2（2a+2b+2c]，a⊗（b⊗c）＝a⊗[log2（2b+2c）]＝log2[2a+2]＝log2（2a+2b+2c]＝（a⊗b）⊗c，故正确；对于C，a⊗b＝log2（2a+2b），2a+2b≥2≥2＝2+1，所以log2（2a+2b）≥log22+1，即，故正确；对于D，（a⊗b）﹣c＝log2（2a+2b）﹣c（a﹣c）⊗（b﹣c）＝log2（2a﹣c+2b﹣c）＝log22＝log22﹣c+log2（2a+2b）＝﹣c+log2（2a+2b），故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，即方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不等实根，故△＝（﹣2）2﹣4×（﹣a）＞0⇒a＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为﹣1．解：由函数是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，图象不经过原点，满足题意；当m＝2时，f（x）＝x8，图象经过原点，不满足题意；所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．函数y＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．解：要使函数有意义，则sin x+≥0，及sin x≥﹣，及2kπ﹣≤x≤2kπ+，即函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．解：可以分为三步，每步走60°，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，第一步：r＝2，L1＝，第二步：r＝，L2＝，第三步：r＝1，L3＝，所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为L1+L3+L3＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．解：（1）原式＝＝＝．（2）由于tanα＝﹣2，原式＝＝＝＝﹣1．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．解：若选①：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）因为f（x）图象过点，所以，即，）又因为，所以，故．（2）由已知得，于是，解得，故g（x）的单调递增区间为．若选②：（1）由已知得，，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于直线对称，所以，即又因为，所以，故．（2）由已知得．由，）即．故g（x）的单调递增区间为．若选③：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于点对称，所以，即，又因为，所以，故．（2）由已知得，由，k∈Z，即故g（x）的单调递增区间为．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．解：（1）解：令t＝log2x，由于，则t∈[﹣1，1]．于是原函数变为，由于y（t）图象为开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，y取最小值；当t＝1时，y取最大值2．所以原函数的值域为．（2）解：当a＞1时，原不等式可化为：，解得．故a＞1时，原不等式的解集为．当0＜a＜1时，原不等式可化为：，即，解得﹣1＜x＜1．故0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．综上可得，a＞1时，原不等式的解集为．0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．解：（1）＝＝＝，∵，所以2x+∈[﹣，]，故当，即时，函数f（x）取得最小值1；当，即时，函数f（x）取得最大值．（2）由，得．于是＝＝．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．解：（1）如图，PM＝40﹣30cosθ，PN＝40﹣30sinθ，于是S＝（40﹣30sinθ）（40﹣30cosθ）＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，其中，，故S关于θ的函数关系式为S＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，（0≤θ≤）；（2）令t＝sinθ+cosθ，则，又，当时，，所以，于是＝450t2﹣1200t+1150，S（t）为开口向上的抛物线，对称轴，又，故当t＝1时，S取得最大值为400 m2，此时，θ＝0或．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知f（x）+g（x）＝2e x，①可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2e﹣x，由f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+g（x）＝2e﹣x，②于是①+②可得2g（x）＝2 e x+2 e﹣x，即g（x）＝e x+e﹣x，所以f（x）＝e x﹣e﹣x；（2）由已知f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x2+3）＞f（ax﹣1）在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以x2+3＞ax﹣1在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，所以．因为，当且仅当，即x＝2时取等号．所以a＜4；（3）设h（x）＝e﹣|x﹣m|，f（x）在[m，+∞）上的最小值为f（x）min，h（x）在[0，1]上的最小值为h（x）min，由题意，只需f（x）min≤h（x）min，因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以．当m≥0时，因为h（x）在（﹣∞，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减，所以当x∈[0，1]时，h（x）min＝min{h（0），h（1）}．于是，由h（0）＝e﹣|m|≥e m﹣e﹣m得e m≤2 e﹣m，即e2m≤2，解得．考虑到，故h（1）＝e﹣11﹣m|＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m，即，解得．因为，所以．当m＜0时，h（x）在[0，1]单调递减，所以．又e m﹣1＞0，e m﹣e ﹣m＜0，所以对任意m＜0，恒有h（1）＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m＝f（x）min恒成立．综上，实数m的取值范围为．。
山东省烟台市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷
2021～2022学年度第一学期期末学业水平诊断高一数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin 210=A.12−B.12C.2−2.函数ln(4)y x =−的定义域为A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.[0,4]3.下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是DB4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 A.2xy = B.sin y x = C.3y x=D.ln y x =5.已知 1.13a =，0.23b =，2log 0.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A.b a c << B.b c a <<C.c a b<< D.c b a <<6.已知函数(1),1()1(),1ex f x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，则(1ln 5)f −+的值为A.15B.5C.e 5D.5e7.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示.设水车的直径为8m ，其中心O 到水面的距离为2m ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是120s .当水车上的一个水筒A 从水中（0A 处）浮现时开始计时，经过t （单位：s ）后水筒A 距离水面的高度为()f t （在水面下高度为负数），则(140)f = A.3mB.4mC.5mD.6m8.设,a b ∈R ，定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最小值为 A.1−B.2−C.12−D.0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市高一上学期期末数学试题(解析版)
【答案】B
B. 1024 1011
1011
C.
1024
1024 D.
1011
【解析】
【分析】由奇函数 f x 满足 f 2 x f (x) ，推导出 f 2 x f x 2 ，得到函数的周期为 4，由
log
2
2022
10
log2
2022 1024
(0,1)
，
结
f (x) 0 有 1 个实数根；
当 2 m„ 0 时，方程 ex 1 0(x… m) 有 1 个实数根 x 0 ；方程 x2 4x 4 0(x m) 有 1 个实数根
x 2 ，所以方程 f (x) 0 有 2 个不同的实数根； 当 m„ 2 时，方程 ex 1 0(x… m) 有 1 个实数根 x 0 ；方程 x2 4x 4 0(x m) 没有实数根，所
所以 sin cos 2 1 2sin cos 4 ，所以 sin cos 2 3 ，
3
3
故选：A. 【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用
sin cos 2 1 2sin cos 计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
7.
已知函数
f
x
lg x
22a
tan
6
sin 0 ， cos 0 ，再由 sin cos 2 1 2sin cos 可计算出 sin cos 的值.
【详解】因为 tan 1 sin cos sin2 cos2 6 ，所以 sin cos 1 ，
tan cos sin sin cos
6
Q 0, ，则 sin 0 ， cos 0 ，sin cos 0 .
山东省烟台市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 ( word版含答案)
2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜02．函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．3．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．4．若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或45．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10D．11+6．直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2 7．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．14．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．15．已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．16．定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．18．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD ⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．21．某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22．已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜0【考点】直线的一般式方程．【分析】根据题意，分析可得直线的斜率k为正，在y轴上的截距为正，即有﹣＞0，＜0，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象，则直线的斜率k 为正，在y轴上的截距为正，如图：则必有﹣＞0，＜0，分析可得：m＞0，n＜0，故应选：C．2．函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．3．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，两条直线同垂直一平面，此两直线平行；B，由三垂线定理判定；C，由线面平行的判定定理判定；D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交；【解答】解：对于A，两条直线同垂直于一平面，此两直线平行，故正确；对于B，若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥n，由三垂线定理知正确；对于C，若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α，由线面平行的判定知正确；对于D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交，故错；故选：D4．若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0互相垂直，∴（k﹣3）×（k+1）+（k+4）×2（k﹣3）=0，即k2﹣9=0，解得k=3或k=﹣3，故选：A．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10D．11+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，求出几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图知：原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为S==12+．故选A．6．直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2【考点】直线的斜截式方程．【分析】根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，由直线的一般式方程分析可得：直线=0的斜率k=，倾斜角为60°，结合题意可得直线l的倾斜角为120°，进而可得其斜率，又由其在y轴上的截距是﹣1，可得直线l的方程，结合直线的方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，另一直线的方程为=0，变形可得y=（x﹣3），其斜率k=，则其倾斜角为60°，而直线l的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120°，且斜率k=tan120°=﹣，又由l在y轴上的截距是﹣1，则其方程为y=﹣x﹣1；又由其一般式方程为mx+y﹣1=0，分析可得：m=﹣，n=﹣2；故选：A．7．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．【解答】解：∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，120°=，∴侧面展开图的弧长为：1×=，弧长=底面周长=2πr，∴r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥体积V=×π×r2×h=π．故选：A．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由题意画出图形，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，则B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，可得B1G⊥BN，即异面直线C1M 与BN所成角为90°．【解答】解：如图，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，∴B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由题意可得Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，∴B1G⊥BN，即异面直线C1M与BN所成角为90°．故选：C．9．已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二次函数的性质；点到直线的距离公式．【分析】考虑a2+b2的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y﹣20=0的距离即可．【解答】解：∵点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的几何意义是点M（a，b）到原点的距离，而原点到直线的距离d==4，则的最小值为：4．故选：B．10．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，∴由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．如图所示：过B点作BO⊥底面ACD，垂足为O，则点O是底面的中心，AO==．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴三棱锥D﹣ABC的体积V===．故选：D．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D 点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选C12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，该多面体的体积V ABCDEF=V BCF﹣GHE +V E﹣AGHD，由此能求出结果．法二：连接BE、CE，求出四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD=6，由整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积，能求出结果．【解答】解法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，∵在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，∴该多面体的体积：V ABCDEF=V BCF﹣GHE +V E﹣AGHD=S△BCF×EF+=+=．故选：D．解法二：如下图所示，连接BE、CE则四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD=×3×3×2=6，又∵整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积，∴所求几何体的体积V ABCDEF＞V E﹣ABCD，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】求出m，转化为直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离．【解答】解：由题意，m=8，直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离是=，故答案为：．14．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】画出分段函数的图象，由题意可得f（x）=k有两个不等的实根，数形结合得答案．【解答】解：由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．15．已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n 的值，得到答案．【解答】解：根据题意，得到折痕为A（0，2），B（4，0）的对称轴；也是C （6，3），D（m，n）的对称轴，AB的斜率为k AB=﹣，其中点为（2，1），所以图纸的折痕所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣2）所以k CD==﹣，①CD的中点为（，），所以﹣1=2（﹣2）②由①②解得m=，n=，所以m+n=．故答案为：．16．定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据有向距离的定义，及点P（x0，y0）与Ax1+By1+C的符号，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．【解答】解：对于①，若d1﹣d2=0，则若d1=d2，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴①错误．对于②，由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴②错误．对于③，若d1•d2＞0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，∴点P1，P2分别位于直线l的同侧，∴直线P1P2与直线l相交或平行，∴③正确；对于④，若d1•d2＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴④正确．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积和圆柱的体积，由，能求出剩余部分几何体的体积V．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，∴△ABC是直角边长为3cm，4cm的直角三角形，∴．…设圆柱底面圆的半径为r，则，…．…所以．…18．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程．【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分．设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD ⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明AC⊥平面PCD，即可证明AC⊥PD；（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．利用已知条件，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．【解答】证明：（1）连接AC，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，…∵PD⊂平面PCD，所以AC⊥PD．…（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．…证明如下：分别取AP，PD的中点E，F，连接BE，EF，CF．则EF为△PAD的中位线，所以EF∥AD，且，又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC=EF，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BE∥CF，…又因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD所以BE∥平面PCD．…20．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）由，得顶点A．利用直线AB的斜率计算公式可得k AB，x轴是∠BAC的平分线，可得直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程．直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，可得直线BC 方程为．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，利用点到直线的距离公式可得：A到直线BC的距离d，即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）由，得顶点A（﹣2，0）．…又直线AB的斜率，x轴是∠BAC的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程为y=﹣x﹣2①直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，直线BC方程为y﹣3=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+6．②…联立方程①②，得顶点C的坐标为（4，﹣6）．…（2），…又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，所以A到直线BC的距离，…所以△ABC的面积=．…21．某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过，化简，求出x=4．得到一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．（2）设t=log25（x+1），设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，得到，利用分段函数，函数的单调性最值求解即可．【解答】解：（1）因为，则．…当f（x）=2时，，得，即x=4．所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．…（2）设t=log25（x+1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1．设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，则，…显然g（t）在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，则f（x）max=max{g（0），g（1）}，…因为g（0）=3a+1，g（1）=a+2，则有，解得，…又a∈（0，1），故调节参数a应控制在内．…22．已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．【考点】直线与平面垂直的判定；球内接多面体；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（I）连接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=BC=AC，可得PA⊥PC①，由已知易证AB⊥面PCF，从而可得AB ⊥PC，利用线面垂直的判定定理可证（II）：（法一定义法）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC为所求的二面角，由（I）可得△PEF为直角三角形，Rt△PEF中，求解即可（法二：三垂线法）作出P在平面ABC内的射影为O，即作PO⊥平面ABC，由已知可得O为等边三角形ABC的中心，由PF⊥AB，结合三垂线定理可得AB⊥OF，∠PFO为所求的二面角，在Rt△PFO中求解∠PFO（III）由题意可求PABC的外接球的半径R=，（法一）PC⊥平面PAB，PA⊥PB，可得PA⊥PB⊥PC，所以P﹣ABC的外接求即以PAPBPC为棱的正方体的外接球，从而有，代入可得PA，从而可求（法二）延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．即PD=2，在直角三角形PFO中由tan⇒PO=，而OA=，利用OA2=OP•OD，代入可求【解答】解（Ⅰ）证明：连接CF．∵PE=EF=BC=AC∴AP⊥PC．∵CF⊥AB，PF⊥AB，∴AB⊥平面PCF．∵PC⊂平面PCF，∴PC⊥AB，∴PC⊥平面PAB．（Ⅱ）解法一：∵AB⊥PF，AB⊥CF，∴∠PFC为所求二面角的平面角．设AB=a，则AB=a，则PF=EF=，CF=a．∴cos∠PFC==．解法二：设P在平面ABC内的射影为O．∵△PAF≌△PAE，∴△PAB≌△PAC．得PA=PB=PC．于是O是△ABC的中心．∴∠PFO为所求二面角的平面角．设AB=a，则PF=，OF=•a．∴cos∠PFO==．（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R．∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴x=2R．∵4πR2=12π，∴R=．得x=2．∴△ABC的边长为2．解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．连接OA、AD，可知△PAD 为直角三角形．设AB=x，球半径为R．∵4πR2=12π，∴PD=2．∵PO=OFtan∠PFO=x，OA=•x，∴=x（2﹣x）．于是x=2．∴△ABC的边长为2．2017年2月28日。
山东省烟台市第一中学高一数学理上学期期末试卷含解析
山东省烟台市第一中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意实数都有，当时，函数零点的个数为A.4B.5C.6D.7参考答案：C函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，满足对任意实数x都有，不妨设，则，即，则有，所以..当时，函数零点，即为，即的根.令，作出两函数图象如图所示，两函数共有6个交点.故选C.2. 若函数f（x）一asinx+bcosx（ab≠0）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是奇数，则直线ax-by+c=0的斜率为 A． B． C．一 D．一参考答案：D3. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．参考答案：D略4. 已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：B记向量与向量的夹角为，在上的投影为．在上的投影为，，，．故选：B．5. 已知x，y∈R*，且x+y++=5，则x+y的最大值是（）C6. 若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形参考答案：D解析：元素的互异性；7. 设，为平面内一组基向量，为平面内任意一点，关于点的对称点为，关于点的对称点为，则可以表示为（）Ａ． B．Ｃ．Ｄ．参考答案：B略8. 将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位,得到的函数图像的一个对称中心为( )A．B． C. D．参考答案：D将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，可得函数的图象，向右平移个单位，得到函数的图象，令，可得，故所得函数的对称中心为，令，可得函数图象的一个对称中心为，故选D.9. 已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是( )A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β)C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)<f(cos β)参考答案：B10. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用秦九韶算法计算多项式的值时，当x=5时，求的值为__参考答案：-36512. 已知函数f（x）=，则f（x）的值域是．参考答案：[﹣2，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】先分析内函数y=3+2x﹣x2的图象和性质，进而得到最大值，再由外函数是减函数，得到答案．【解答】解：∵函数y=3+2x﹣x2的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，函数取最大值4，故当x=1时，函数f（x）=取最小值﹣2，无最大值，故f（x）的值域是[﹣2，+∞），故答案为：[﹣2，+∞）．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性，难度中档．13. 已知全集U=R，集合A={x|x﹣a≤0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，且A∪?U B=R，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥2【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】由全集R及B，求出B的补集，根据A与B补集的并集为R，确定出a的范围即可．【解答】解：∵全集U=R，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴?U B={x|x＜1或x＞2}．∵A={x|x﹣a≤0}={x|x≤a}，A∪（?U B）=R，∴a≥2，则a的取值范围为a≥2．故答案为：a≥2．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题．14. 已知集合，，若，则实数=参考答案：略15. 若,则m 的值为______________。
山东省烟台市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题答案
2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高一数学参考答案一、单项选择题1.B2.D3.A4.C5.B6.C7. B8. D二、多项选择题9.BC 10.ABC 11.AD 12.BCD三、填空题13. 1a >−14. 1− 15. 7{|22,}66x k x k k ππππ−≤≤+∈Z 16.(1π 四、解答题 17.解：原式222224()1log log 333=++− ……………………3分 2411+log 92=+ …………………4分 49= ……………………5分 （2）解：原式2sin cos cos sin αααα+=− ……………………7分 2tan 11tan αα+=− . ……………………9分1=− ……………………10分18.解：若选①：（1）由已知得 22T ππω==，则1ω=， ………………………2分 于是()2sin()f x x ϕ=+因为()f x 图象过点(,1)2π，所以1sin()22πϕ+=，即1cos 2ϕ=， …………4分 又因为02πϕ−<<，所以3πϕ=−，故()2sin()3f x x π=−. ……………6分（2）由已知得 ()2sin(2)4g x x π=−， ……………………9分 于是 222242k x k πππππ−≤−≤+， ………………10分 解得 388k x k ππππ−≤≤+， 故()g x 的单调递增区间为3[,]()88k k k ππππ−+∈Z . ……………………12分若选②：（1）由已知得，22T ππω==，则1ω=， ………………………2分于是()2sin()f x x ϕ=+.因为()f x 图象关于直线23x π=对称， 所以2,32k ππϕπ+=+ ……………4分 即()6k k πϕπ=−∈Z 又因为02πϕ−<<，所以6πϕ=−，故()2sin()6f x x π=−. ………………………6分（2）由已知得 ()2sin(2)12g x x π=−. ………………………9分2222122k x k πππππ−≤−≤+， ………………………10分 即572424k x k ππππ−≤≤+. 故()g x 的单调递增区间为57[,]()2424k k k ππππ−+∈Z . ………………………12分 若选③：（1）由已知得 22T ππω==，则1ω=， ………………………2分 于是()2sin()f x x ϕ=+.因为()f x 图象关于点(,0)6π对称，所以,6k πϕπ+= ………………………4分 即()6k k πϕπ=−∈Z ，又因为02πϕ−<<， 所以6πϕ=−，故()2sin()6f x x π=−. ………………………6分 （2）由已知得 ()2sin(2)12g x x π=−. ………………………9分2222122k x k πππππ−≤−≤+，即572424k x k ππππ−≤≤+ 故()g x 的单调递增区间为57[,]()2424k k k ππππ−+∈Z . ……………………12分 19.解：（1）解：令2log t x =，由于1[,2]2x ∈ ，则[1,1]t ∈−. …………2分于是原函数变为 2211()24y t t t =+=+−， ()y t 图象为开口向上的抛物线，对称轴12t =−,且11()(1)1()22−−−<−−, ……4分 故当12t =−，y 取最小值14−；当1t =时，y 取最大值2. ………………5分 所以原函数的值域为1[,2]4−. ……………………………………6分（2）解：当1a >时，原不等式可化为：223013x x x⎧−>⎨+>−⎩ ， ……………………………………………7分即12x x x ⎧<<⎪⎨><−⎪⎩或解得1x <<. 故1a >时，原不等式的解集为{1x x <<. ………………………9分 当01a <<时，原不等式可化为：21013x x x +>⎧⎨+<−⎩， ……………………………………………10分 即121x x >−⎧⎨−<<⎩,解得11x −<<. 故01a <<时，原不等式的解集为{11}x x −<<. ………………………12分20.解：1()2(cos )cos 122f x x x x =++2cos cos 1x x x =+ ……………………1分1cos 2sin 2122x x +=++ . …………………………2分3sin(2)62x π=++…………………………………………3分 因为[,]63x ππ∈−，所以52[,]666x πππ+∈−， 故当266x ππ+=−，即6x π=−时，函数()f x 取得最小值1； …………………5分 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值52； ……………………7分 （2）由3311()sin[2()]sin(2)121262326f ππππααα+=+++=++= 得 1sin(2)33πα+=. ……………………9分 于是73cos(2)cos[(2)]623πππαα−=−+sin(2)3πα=−+ ………………………………11分13=−. …………………………………12分21.解：（1）如图，4030cos PM θ=−,4030sin PN θ=−, ……………………2分于是(4030sin )(4030cos )S θθ=−−1200(sin cos )900sin cos 1600θθθθ=−+++ ……………………4分 其中,02πθ≤≤. ………………………………………………5分（2）令sin cos t θθ=+，则22(sin cos )11sin cos .22t θθθθ+−−== …………7分又sin cos )4t πθθθ=+=+，且当02πθ≤≤时，3444πππθ≤+≤，所以t ∈. ……………………8分 于是211200900+16002t S t −=−+⨯ 24501200+1150t t =−. …………………………9分()S t 为开口向下的抛物线，对称轴43t =44133<−， 故当1t =时，S 取得最大值为2400m . ………………………10分 此时, 0θ=或2π. ……………………………12分 22.解：（1）由题意知 ()()2e ,()()2e x x f x g x f x g x −+=−+=. …………………1分 于是2()2e 2e x x g x −=+，解得()e e x xg x −=+； ………………………2分 2()2e 2e x x f x −=−，解得()e e x x f x −=−. ………………………3分 （2）由已知 2(3)(1)0f x f ax ++−>在(0,)+∞上恒成立.因为()f x 为R 上的奇函数，所以2(3)(1)f x f ax +>−在(0,)+∞上恒成立. ………………………4分 又因为()e e x xf x −=−为R 上的增函数所以231x ax +>−在(0,)+∞上恒成立 ………………………5分 即4a x x<+在(0,)+∞上恒成立 所以min 4()a x x <+ ………………………6分因为44x x +≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号. 所以4a <. ………………………7分 （3）设||()e x m h x −−=，()f x 在[,)m +∞上的最小值为min ()f x ,()h x 在[0,1]上的最小值为min ()h x ,由题意,只需min min ()()f x h x ≤. ………………………8分 因为()e e x x f x −=−为R 上的增函数，所以min ()f x =e e m m −−.当0m ≥时，因为()h x 在(,)m −∞单调递增，在(,)m +∞单调递减,所以当[0,1]x ∈时， min ()min{(0),(1)}h x h h =.于是|||1|(0)e e e (1)ee e m m mm m m h h −−−−−⎧=≥−⎨=≥−⎩ 由||(0)ee e m m m h −−=≥−得e 2e m m −≤，即2e 2m ≤, 解得 1ln 22m ≤. ………………………9分 考虑到1ln 212m ≤<,故|1|1(1)e e e e m m m m h −−−−==≥−，即2e e e 1m ≤−， 解得1e ln 2e 1m ≤−. 因为e 2e 1<−，所以1e 0ln 2e 1m ≤≤− . ………………………10分 当0m <时，()h x 在[0,1]单调递减，所以1min ()(1)e m h x h −==.又1e 0m −>， e e 0m m −−<，所以对任意0m <，恒有1min (1)e e e ()m m m h f x −−=≥−=恒成立. ………………………11分 综上，实数m 的取值范围为1e (,ln ]2e 1−∞−. ………………………12分。
2017-2018学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若直线经过两点A（m，2），B（m，2m-1），且倾斜角为45°，则m的值为（）A. 2B. 1C.D.2.x）D.3.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是（）'A. B. C. D.4.如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④6.已知集合A={（x，y）|3x+5y+16=0，-2≤x≤3}，B={（x，y）|kx-y+1-k=0}，若A∩B≠Ø，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.7.若点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（-3，3），则直线y=kx+b在y轴上的截距是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若两平行直线l1：x-2y+m＝0(m＞0)与l2：2x+ny-6＝0之间的距离是，则m+n＝（）A. 0B. 1C.D.9.设点E，F分别是空间四边形的边AB，CD的中点，且EF=5，BC=6，AD=8，则异面直线AD与EF所成角的正弦值是（）A. B. C. D.10.若方程|lg x|-（）x+a=0有两个不相等的实数根，则实根a的取值范围是（）A. B. C. D.11.各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥P-ABC的侧棱长为a，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）=x2+a[x]x-a在（0，2）上仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若直线l经过点（-2，0），且与斜率为-的直线垂直，则直线l的方程为______．14.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是______．15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面BB1D1D所成角的正弦值为______．16.已知a，b，c为直角三角形的三边长，c为斜边长，若点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l1：（2m+1）x+（m-2）y+3-4m=0，无论m为何实数，直线l1恒过一定点M．（1）求点M的坐标；（2）若直线l2过点M，且与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）若AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AA1=1，AC=BC=，求二面角B1-CD-B的大小．19.已知△ABC的顶点A（4，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为x-2y+2=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y-2=0．（1）求点C的坐标；（2）求BC所在直线的方程．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥平面ABCD，E是AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAB；（2）棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面PDE？若存在，确定F的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．21.如图所示，一块形状为四棱柱的木料，E，F分别为A1D1，AD的中点．（1）要经过E和FC将木料锯开，在木料上底面A1B1C1D1内应怎样画线？请说明理由；（2）若底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AA1⊥平面ABCD，且AA1=，求几何体CFA1B1C1D1的体积．22.某市郊区有一加油站，2018年初汽油的存储量为50吨，计划从年初起每周初均购进汽油m吨，以满足城区内和城外汽车用油需求，已知城外汽车用油每周5吨；城区内汽车用油前x个周需求量y吨与x的函数关系式为y=a（1≤x≤16，x∈N*），a为常数，且前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨．（1）试写出第x个周结束时，汽油存储量M（吨）与x的函数关系式；（2）要使16个周内每周按计划购进汽油之后，加油站总能满足城区内和城外的需求，且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨，试确定m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：经过两点A（m，2），B（m，2m-1）的直线的斜率为k=，又直线的倾斜角为45°，∴=tan45°=1，即m=2．故选：A．由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得m的值．本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】C【解析】解：令f（x）=e x-x-2，由图表知，f（1）=2.72-3=-0.28＜0，f（2）=7.39-4=3.39＞0，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2），故选：C．令f（x）=e x-x-2，方程e x-x-2=0的根即函数f（x）=e x-x-2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2）．本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件．3.【答案】B【解析】解：由已知作出梯形ABCD是直角梯形，如右图：∵按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，∴直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=A′D′=2，BC=B′C′=4，AB=2A′B′=2，过D作DE⊥BC，交BC于E，则DE=AB=2，EC=BC-AD=4-2=2，∴直角梯形DC边的长度为：=2．故选：B．由已知直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=A′D′=2，BC=B′C′=4，AB=2A′B′=2，由此能求出直角梯形DC边的长度．本题考查直角梯形中斜边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜二测画法的合理运用．4.【答案】B【解析】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B．化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．5.【答案】D【解析】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．6.【答案】A【解析】解：集合A={（x，y）|3x+5y+16=0，-2≤x≤3}，B={（x，y）|kx-y+1-k=0}，如图，把集合转化为函数图象，集合A表示（-2，-2）到（3，-5）的线段，集合B表示过定点（1，1）的直线，∵A∩B≠Ø，∴（-2，-2）到（3，-5）的线段和过定点（1，1）的直线有交点，∴实数k的取值范围是（-∞，-3][1，+∞）．故选：A．集合A表示（-2，-2）到（3，-5）的线段，集合B表示过定点（1，1）的直线，A∩B≠Ø，说明（-2，-2）到（3，-5）的线段和过定点（1，1）的直线有交点，由此能求出实数k的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（-3，3），由中点坐标公式得AB的中点坐标为（，）=（-1，2），代入y=kx+b得2=-k+b，①直线AB得斜率为=-，则k=2．代入①得，b=k+2=4．∴直线y=kx+b在y轴上的截距是4．故选：D．由中点坐标公式求出AB中点的坐标，代入直线方程，再由AB的斜率与直线y=kx+b的斜率互为负倒数求得k，即可求出b的值．本题考查了点关于直线的对称点的求法，关键是掌握该类问题的解决方法，是基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意，解得n=-4，即直线l2：x-2y-3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=-2，故选：C．化简直线l2，利用两直线之间的距离为d=，求出m，即可得出结论．本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：如图所示，取AC的中点M，连接EM，FM．则EM∥BC，FM∥AD，EM=BC=3，FM=AD=4，∴∠EFM或其补角即为异面直线AD与EF所成角．在△MEF中，EM2+FM2=3=EF2，∴∠EMF=90°．∴异面直线AD与EF所成角的正弦值为，故选：C．取AC的中点M，连接EM，FM．利用三角形中位线定理，可得∠EFM或其补角即为异面直线AD与EF所成角，求解三角形得答案．本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵有两个不相等的实数根等价于有两个不等的实数根等价于函数y=|lgx|与函数的图象有两个不同的交点，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象：（如图）要使两个函数的图象有两个交点，必须有，解得：a＜，故选：B．将方程的根的个数问题转化为两个函数的图象的交点的个数问题，在画图解决．本题考查了函数的零点、指数函数、对数函数的图象、以及数形结合思想．属难题．11.【答案】D【解析】解：∵侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：a；∴球的表面积为：4π（）2=3πa2．故选：D．侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，三棱锥扩展为正方体是本题的关键，考查正方体的对角线是外接球的直径，是基础题．12.【答案】C【解析】解：由[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）=x2+a[x]x-a（a≠0）在（0，2）上仅有一个零点，由x∈（0，2），讨论[x]=0，即0＜x＜1，可得x2+a[x]x-a=x2-a，由f（x）=0可得a=x2，求得a∈（0，1）；若[x]=1，即1≤x＜2，x=1时，方程无解，x∈（1，2）时，可得x2+a[x]x-a=x2+ax-a，a===∈（-∞，-4），则a的取值范围是（-∞，-4）（0，1）．故选：C．由题意可得x∈（0，2），讨论若[x]=0，即0＜x＜1，若[x]=1，即1≤x＜2，令f（x）=0，分离参数后运用函数的值域即可得到所求a的范围．本题考查函数方程的转化思想，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3x-2y+6=0【解析】解：∵直线l与斜率为-的直线垂直，∴直线l的斜率k=，∴直线l的方程为：y-0=（x+2），化为：3x-2y+6=0，故答案为：3x-2y+6=0．直线l与斜率为-的直线垂直，可得直线l的斜率k=，再利用点斜式即可得出．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA=，OB=1所以旋转体的体积：故答案为：如图，大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，结合题意计算可得答案．本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为1，则A1（1，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（-1，1，-1），=（1，1，0），=（0，0，1），设平面BB1D1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），设直线A1C与平面BB1D1D所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===．∴直线A1C与平面BB1D1D所成角的正弦值为．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1C与平面BB1D1D所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.【答案】4【解析】解：∵a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，∴c=，又∵点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，∴m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方，∴m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方，由点到直线的距离公式可得d==2，∴m2+n2的最小值为d2=4，故答案为：4由题意可得m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方，由点到直线的距离公式可得．本题考查了点到直线的距离，数形结合是解决问题的关键，属基础题．17.【答案】解：（1）将直线l1：（2m+1）x+（m-2）y+3-4m=0的方程整理为：m（2x+y-4）+（x-2y+3）=0，解方程组，得x=1，y=2．∴定点M的坐标为（1，2）；（2）由题意直线l2的斜率存在，设为k（k＜0），于是l2：y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，令y=0，得；令x=0，得y=2-k，于是，解得k=-2．∴直线l2的方程为y=-2x+2-（-2），即2x+y-4=0．【解析】（1）将直线l1：（2m+1）x+（m-2）y+3-4m=0的方程整理为：m（2x+y-4）+（x-2y+3）=0，解方程组，即可求出点M的坐标；（2）由题知直线l2的斜率k＜0，设直线l2：y-2=k（x-1），求出与坐标轴的交点，然后由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查了三角形面积计算公式、直线方程、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）连接BC1，交B1C于点E，连接ED．因为ABC-A1B1C1是三棱柱，所有四边形BCC1B1为平行四边形．所以E是BC1的中点．因为点D是AB的中点，所以ED是△ABC1的中位线，所以ED∥AC1，又ED⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1．解：（2）∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角．事实上，因为AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，所以AA1⊥CD．在△ABC中，AC=BC，D是底边AB的中点，所以CD⊥AB．因为CD⊥AB，CD⊥AA1，AB∩AA1=A，所以CD⊥平面ABB1A1，因为DB1⊂平面ABB1A1，DB⊂平面ABB1A1，所以DB1⊥CD，DB⊥CD，所以∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角．在直角三角形B1DB中，BB1=1，，所以△B1DB为等腰直角三角形，所以∠BDB1=45°．故二面角B1-CD-B的大小为45°．【解析】（1）连接BC1，交B1C于点E，连接ED．推导出四边形BCC1B1为平行四边形，从而E是BC1的中点，由点D是AB的中点，得ED∥AC1，由此能证明AC1∥平面CDB1．（2）由AA1⊥面ABC，得AA1⊥CD，再求出CD⊥AB．从而CD⊥平面ABB1A1，进而DB1⊥CD，DB⊥CD，∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角．由此能求出二面角B1-CD-B的大小．本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）因为AC⊥BH，BH的方程为2x+3y-2=0，不妨设直线AC的方程为3x-2y+m=0，将A（4，1）代入得12-2+m=0，解得m=-10，所以直线AC的方程为3x-2y-10=0，联立直线AC，CM的方程，即，解得点C的坐标为（6，4）．（2）设B（x0，y0），则，，因为点B在BH上，点M在CM上，所以，解得B（-2，2），所以，所以直线BC的方程为，整理得x-4y+10=0．【解析】（1）不妨设直线AC的方程为3x-2y+m=0，将A（4，1）代入得12-2+m=0，求出m的值，可得直线方程，再解方程组，可得C的坐标．（2）设B（x0，y0），则，求出点B的坐标，即可求出直线BC的斜率，再根据点斜式方程即可求出．本题主要考查两条直线垂直的性质，用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于基础题．20.【答案】解：（1）连接BD，因为底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，所以△ABD为正三角形；因为E是AB的中点，所以DE⊥AB，因为PA⊥面ABCD，DE⊂面ABCD，∴DE⊥PA，因为DE⊥AB，DE⊥PA，AB∩PA=A，所以DE⊥面PAB．又DE⊂面PDE，所以面PDE⊥面PAB．（2）当点F为PC的中点时，BF∥面PDE．事实上，取PC的中点F，PD的中点G，连结FG，GE，∵FG为三角形PCD的中位线，∴FG∥CD且，又在菱形ABCD中，E为AB的中点，∴BE∥CD且，∴FG∥BE且FG=BE，所以四边形BEGF为平行四边形．所以BF∥GE，又GE⊂面PDE，BF⊄面PDE，∴BF∥面PDE，结论得证．【解析】（1）连接BD，由题意知△ABD为正三角形，得出DE⊥AB，DE⊥PA，证明DE⊥平面PAB，从而证明平面PDE⊥平面PAB；（2）当点F为PC的中点时，BF∥平面PDE；证明F为PC的中点时，BF∥平面PDE即可．本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了逻辑思维与空间想象能力，是中档题．21.【答案】解：（1）连接EC1，则EC1就是应画的线；事实上，连接EF，在四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，因为E，F分别为A1D1，AD的中点，所以D1E∥DF，D1E=DF，所以D1EFD为平行四边形，所以EF∥DD1，又在ABCD-A1B1C1D1四棱柱中CC1∥DD1，所以EF∥CC1，所以点E，F，C，C1共面，又EC1⊂面A1B1C1D1，所以EC1就是应画线．（2）几何体CFA1B1C1D1是由三棱锥F-B1C1C和四棱锥F-A1B1C1D1组成．因为底面A1B1C1D1是边长为2的菱形，∠B1A1D1=60°，AA1⊥平面A1B1C1D1，连接FB，FB即为三棱锥F-B1C1C的高，又，所以△ ，连接FE，FE为四棱锥F-A1B1C1D1的高，又，所以，所以几何体CFA1B1C1D1的体积为3．【解析】（1）连接EC1，则EC1就是应画的线．连接EF，推导出D1EFD为平行四边形，从而EF∥DD1，由EF∥CC1，得点E，F，C，C1共面，从而EC1就是应画线．（2）几何体CFA1B1C1D1是由三棱锥F-B1C1C和四棱锥F-A1B1C1D1组成．连接FB，FB即为三棱锥F-B1C1C的高，，连接FE，FE为四棱锥F-A1B1C1D1的高，所以，由此能求出几何体CFA1B1C1D1的体积．本题考查在木料上底面A1B1C1D1内应怎样画线的判断与证明，考查几何的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：（1）由已知条件得，解得a=50．∴，∈，则，∈；（2）由题意，0≤M≤150，∴ （1≤x≤16，x∈N*）恒成立，即（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．设，则，∴ （）恒成立，由（）恒成立，得（当，即x=4时取等号）；由（）恒成立，得（当t=，即x=16时取等号），∴m的取值范围是，．【解析】（1）由已知条件得，解得a=50，可得y与x的关系，进一步得到M与x的函数关系式；（2）由题意，0≤M≤150，可得（1≤x≤16，x∈N*）恒成立，分离参数m，换元后分别利用配方法求得m的范围，取交集得答案．本题考查根据实际问题性质函数类型，考查简单的数学建模思想方法，理解题意是关键，是中档题．。
山东省烟台市新元中学高一数学理上学期期末试题含解析
山东省烟台市新元中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则的子集个数为（）A.2B.3C.4D.16参考答案：C2. 若角的终边经过点且，则m的值为（）A． B. C. D.参考答案：B3. 下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x参考答案：C略4. 下列函数在(0,+ ∞)上是增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据函数的单调性的定义，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】根据指数函数的性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意；根据一次函数的性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意；根据对数函数的性质，可得函数在为单调递增函数，符合题意；根据反比例函数的性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定，其中解答中熟记初等函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.5. 若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．当b=0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有 ac2≥bc2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．6. 已知集合A＝{－1,0，a}，B＝{x|0<x<1}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是() A．{1}B．(－∞，0)C．(1，＋∞)D．(0,1)参考答案：D7. 已知直线ax+y+2=0及两点P（-2，1）、Q（3，2），若直线与线段PQ相交，则a的取值范围是（）A、a≤-或a≥B、a≤-或a≥C、-≤a≤D、-≤a≤参考答案：A8. 已知，，且，，成等比数列，则（）、有最大值、有最大值、有最小值、有最小值参考答案：C略9. 已知幂函数f（x）=（m﹣3）x m，则下列关于f（x）的说法不正确的是（）A．f（x）的图象过原点B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于y轴对称D．f（x）=x4参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义求出f（x）的解析式，判断四个选项是否正确即可．【解答】解：∵f（x）=（m﹣3）x m是幂函数，∴m﹣3=1，解得m=4，∴函数解析式是f（x）=x4，且当x=0时，y=f（0）=0，即函数f（x）的图象过原点，又函数f（x）的图象关于y轴对称；∴选项A、C、D正确，B错误．故选：B．【点评】本题考查了幂函数的定义以及幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．10. 1920°转化为弧度数为（）A. B. C. D.参考答案：D已知180°对应弧度，则1920°转化为弧度数为.本题选择D选项二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：-2略12. 已知数列{a n}满足,则数列{a n}的通项公式a n =，数列{a n}的n 项和S n =.参考答案：因为，所以，可得数列是以2为首项，以3为公差的等差数列，所以数列的n项和,13. 已知，则_______.参考答案：3略14. 函数f (x) =是定义在(–1，1)上的奇函数，且f =，则a = ，b = ．参考答案：a = 1 ，b = 015. 已知函数对于满足的任意，，给出下列结论：①②③④其中正确的是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④参考答案：C略16. 函数的定义域是_________．参考答案：略17. 设函数y=，则函数的值域为．参考答案：[﹣2，]【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】函数解析式变形后【解答】解：函数y===3﹣，∵﹣1≤sinx≤1，∴1≤sinx+2≤3，即≤≤1，∴﹣2≤y≤，则函数的值域为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题及答案
D．b c a
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。
9．已知函数
f
(x)
=
cos
x
+
6
，则（
）
A． 2 为 f ( x) 的一个周期
B． y = f ( x) 的图象关于直线 x = 4 对称
B．略有提高
C．相等
D．无法确定
6．若 0 x ，则 1+ cos 2x + 1− cos 2x = （ ）
2
cos x
sin x
A． 2 2
B． −2 2
C． 0
D． 2
7．如图，某港口一天中 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y = 3sin (x + ) + k ，据此可知，这
22．已知函数 f ( x) = ln kx −1 为奇函数．
x +1 （1）求实数 k 的值；
（2）判断并证明函数 f ( x) 的单调性；
（3）若存在,
(1, +)
，使得函数
f
(x)
在区间
,
上的值域为
ln
m
−
m 2
,
ln
m
−
m 2
上单调递增，则实数 m 的最小值等于______．（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16．在角1 、2 、3 、…、30 的终边上分别有一点 P1 、 P2 、 P3 、…、 P30 ，如果点 Pk 的坐标为
2019-2020学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．tan15︒=（ ） A．2B．2 C1 D1【答案】B【解析】将所求式子中的角15︒变形为4530︒-︒然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值. 【详解】()1tan 45tan 3012tan15tan 453021tan 45tan 306︒-︒-︒=︒-︒=====-+︒︒. 故选：B. 【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题. 2．方程3log 5x x =-的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】D【解析】构造函数()3log 5f x x x =+-，分析函数在定义域上的单调性，然后利用零点存在定理可判断出该函数零点所在的区间. 【详解】构造函数()3log 5f x x x =+-，则该函数在()0,∞+上为增函数， 所以，函数()3log 5f x x x =+-至多只有一个零点，()140f =-<，()32log 230f =-<，()310f =-<，()34log 410f =->，由零点存在定理可知，方程3log 5x x =-的根所在的区间为()3,4.故选：D. 【点睛】本题是一道判断方程的根所在区间的题目，一般利用零点存在定理来进行判断，考查推理能力，属于基础题. 3．已知a 是第一象限角，那么2a是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角【答案】D【解析】根据象限角写出2a 的取值范围，讨论即可知2a 在第一或第三象限角 【详解】依题意得22()2k a k k Z πππ<<+∈，则()24a k k k Z πππ<<+∈， 当2k n n Z =∈，时，2a是第一象限角当2+1k n n Z =∈， 时，2a是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题．4．一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案. 【详解】设扇形所在圆的半径为r ，由扇形的弧长为6，面积为6，可得26162l r S r αα==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得3α=，即扇形的圆心角为3rad .故选C. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ） A ．略有降低 B ．略有提高 C ．相等 D ．无法确定【答案】A【解析】先阅读题意，再列出现价，然后再比较大小即可. 【详解】设现价为b ，原价为a ，则()()()222110%110%10.01b a a a =+-=-<， 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是函数的实际应用问题，重点考查的是阅读能力，考查学生的分析问题，解决问题的能力，是基础题.6．若02x π<<=（ ）A ．B ．-C ．0D ．2【答案】A【解析】根据半角公式化简原式，再根据x 的范围即可求得. 【详解】由半角公式可得：221cos 22cos ,1cos 22sin x x x x +=-=， 又02x π<<知，sin 0,cos 0x x >>，原式+==故选：A . 【点睛】本题主要考查的是二倍角余弦公式的应用，以及三角函数在给定的范围内的正负问题，要求学生熟练掌握半角公式，考查学生的计算能力，是基础题.7．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象可知当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，进而即可求出k 的值；接下来根据正弦函数的性质可得当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 有最大值，据此进行解答即可 【详解】由图像可知：当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，5k ∴=， 当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max 538y =+=. 故选：C. 【点睛】本题是一道关于三角函数图象应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握正弦函数的图象与性质，是基础题. 8．已知函数()3f x x x =+，()2log g x x x =+，()2x h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案. 【详解】函数3()f x x x =+的零点为函数3y x =与y x =-的图象交点的横坐标，函数2()log g x x x =+的零点为函数2log y x =与y x =-的图象交点的横坐标，函数()2x h x x =+的零点为函数2x y =与y x =-的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系内作出函数3y x =，2log y x =，2x y =与y x =-的图象如图所示：由图可知：0,0,0a b c =><，c a b ∴<<， 故选：B. 【点睛】本题主要考查的是函数零点存在性定理，考查指数函数，对数函数，幂函数的图象的应用，数形结合思想的应用，是基础题.二、多选题 9．已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】利用余弦函数的周期性，对称性，单调性和诱导公式直接求解即可. 【详解】 根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；()76f x cos x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：AD .【点睛】本题主要考查的是三角函数的周期，三角函数的对称性，函数零点的概念，三角函数的单调性，熟练掌握余弦函数的图象和性质是解决本题的关键. 10．若0a b >>，01c <<，则（ ） A ．log log c c a b < B ．a b c c > C ．c ca b >D ．()log 0c a b +>【答案】AC【解析】利用指数与指数函数，对数和对数函数的图象和性质即可判断. 【详解】A 项，因为01c <<，所以log c y x =为单调递减函数，由0a b >>得log log c c a b <，故A 正确；B 项，因为01c <<，所以xy c=为单调递减函数，由0a b >>，得a b c c <，故B 错误；C 项，因为0a b >> ，01c <<，所以1ca b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以c ca b >，故C 正确； D 项，取1,22c a b =+=，则()12log log 210c a b +==-<，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】本题主要考查对数与对数函数的图象和性质、指数与指数函数的图象和性质以及不等关系与不等式，考查学生的分析能力，是基础题.11．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A．经过10min点P距离地面10mB．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的1倍2C．第17min和第43min时P点距离地面的高度相同D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70m的min时间为203【答案】ACD【解析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点P上升的高度，求出点P离地面的高度，再一一判断即可.【详解】由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP 垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设出时间为t，由题意：(),50P t h -，40A =，20T =可得20210ππω==，故点P 离地面的高度40sin 50102h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 即t 时刻点P 离地面的高度40sin 50102h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得40cos5010h t π=+；当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =,则其周期变为原来的2倍,故B 错误；第17min P 点距离地面的高度为()1731740cos5040501010h cos ππ=+=+， 第20min P 点距离地面的高度为()4334340cos5040cos 501010h ππ=+=+， 第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即1040cos5070t π+≥， 即1cos 102t π≥，020t ≤≤，得0210t ππ≤≤，0103t ππ∴≤≤或52310tπππ≤≤，解得1003t ≤≤或50203t ≤≤，共20min 3，故D 正确. 故选：ACD . 【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立符合条件的坐标系，得出相应的函数模型,作出正确的示意图，然后由三角函数中的相关知识进行求解，是中档题.12．已知函数()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“M 函数”．下列所给出的函数中是“M 函数”的有（ ） A ．2yxB ．1y x =C ．12x y -=D ．()ln 1y x =+【答案】BD【解析】根据M 函数”的定义，逐一判断各函数是否为“M 函数”即可. 【详解】由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值()f x 与y 所对应的函数值()f y 互为相反数，即()()f y f x =-，故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“M 函数”的条件.对于A 中函数的值域为[)0,+∞，值域不关于原点对称，故A 不符合题意；对于B 中函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞，值域关于原点对称，故B 符合题意；对于C 中函数的值域为()0,∞+，值域不关于原点对称，故C 不符合题意；对于D 中函数的值域为R ,值域关于原点对称，故D 符合题意. 故选：BD . 【点睛】本题主要考查的是函数的性质，考查学生对新定义的理解，以及会求给定的函数的值域，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.三、填空题13．函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14．已知tan 3α=，则2sin sin 2αα-=______． 【答案】310【解析】利用二倍角公式将sin 2α化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得.【详解】tan 3α=，22sin sin 2sin 2cos sin ααααα-=-222sin 2cos sin cos sin ααααα-=+22tan 2tan tan 1ααα-=+9691-=+310=. 故答案为：310.【点睛】本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.15．已知函数()()3x af x a +=∈R 满足()()2f x f x =-，则实数a 的值为______；若()f x 在[),m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于______．（本题第一空2分，第二空3分） 【答案】1- 1【解析】根据题意取0x =，再利用指数函数性质即可求得实数a 的值；将函数()f x 用分段函数表示，根据()f x 的单调性即可得出实数m 的最小值. 【详解】 （1）()()2f x f x =-,取0x =得，()()02f f =，233aa+∴=，即2a a =+，解得：1a =-； （2）由（1）知()1113,133,1x x x x f x x ---⎧≥==⎨<⎩， ()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增.()f x 在[),m +∞上单调递增，1m ∴≥，m 的最小值为：1.故答案为：1-；1. 【点睛】本题主要考查的是函数的概念和性质，考查学生对分段函数的理解和应用以及对函数性质的应用，考查学生的理解能力，是中档题.16．在角1θ、2θ、3θ、…、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、…、30P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．【解析】利用诱导公式将点k P 的坐标变为()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒-，然后根据三角函数定义可得()cos sin 15k k θ=︒-，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果. 【详解】k P ()()()15,75sin k sin k ︒-︒︒+︒，即()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒︒-︒由三角函数定义知()cos sin 15k k θ=︒-︒12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=()()sin14sin13sin 14sin 15︒+︒++-︒+-︒sin14sin13sin14sin15=︒+︒+-︒-︒sin15=-︒ ()sin 4530=-︒-︒cos45sin30sin 45cos30=︒︒-︒︒4=【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.四、解答题17．求下列各式的值： （1）31log 493232log 2log 9+- （2）()1433101227--⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 【答案】（1）94；（2）2【解析】（1）利用对数的运算性质即可求得； （2）利用分数指数幂的运算性质即可求得. 【详解】 （1）原式331219224944log log ⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭； （2）原式=14333324311212344--⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【点睛】本题主要考查的是分数指数幂的运算性质以及对数运算的性质，考查学生的计算能力，熟练掌握并应用公式是解决本题的关键，是基础题.18．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点⎝⎭． （1）求()()23cos 22sin cos 222cos sin 22ππαπααπααπ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值； （2）已知02πβ-<<，且sin β=，求()cos αβ-的值．【答案】（1）3；（2）10【解析】（1）利用任意角三角函数的定义求得tan α，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可求得要求的式子的值；（2）利用任意角三角函数的定义求得sin ,cos αα，再利用同角三角函数基本关系式求得cos β，再利用两角差的余弦公式即可求得()cos αβ-的值. 【详解】（1）依题意2tan α=， 原式()2222222sin sin sin sin cos sin sin sin sin sin cos ααααααααααα--+==--1123121cos sin tan sin cos tan αααααα+++====---；（2）因为α是第一象限角，且终边过点⎝⎭，所以sin cos αα==，因为02πβ-<<，且sin β=所以cos β==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+51051010⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查的是三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、正余弦的诱导公式以及两角差的余弦公式的应用，熟练掌握这些公式是解决本题的关键，是基础题. 19．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%． （1）现有三个奖励函数模型：①()0.038f x x =+，②()0.8200x f x =+，③()20100log 50f x x =+，[]3000,9000x ∈．试分析这三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到8000万元 【解析】（1）根据公司要求知函数()f x 为增函数，同时应满足()100f x ≥且()5xf x ≤，一一验证所给的函数模型即可； （2）由2010050350log x +≥，解不等式即可. 【详解】（1）由题意符合公司要求的函数()f x 在[]3000,9000为增函数，在且对[]3000,9000x ∀∈，恒有()100f x ≥且()5x f x ≤． ①对于函数()0.038f x x =+，当3000x =时，()300098100f =<，不符合要求；②对于函数()0.8200x f x =+为减函数，不符合要求； ③对于函数()2010050f x log x =+在[]3000,10000， 显然()f x 为增函数，且当3000x =时，()2030001002050100f log >+≥；又因为()()2020900010090005010016000050450f x f log log ≤=+<+=；而300060055x ≥=，所以当[]3000,9000x ∈时，()5max minx f x ⎛⎫≤⎪⎝⎭． 所以()5xf x ≥恒成立；因此，()2010050f x log x =+为满足条件的函数模型． （2）由2010050350log x +≥得：203log x ≥，所以8000x ≥， 所以公司的投资收益至少要达到8000万元． 【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力. 20．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的表达式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()()0f x g x a +-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）3,23⎡⎣ 【解析】(1)利用函数的图象得到,A T ，求出ω，利用函数图象经过的特殊点，求出ϕ，即可求出函数()f x 的解析式； （2）根据函数平移关系求出函数()g x 的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可. 【详解】（1）由题图可知2A =，11521212T ππ=-，所以T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()22f x sin x ϕ=+， 得()5262k k Z ππϕπ+=+∈，即()23k k Z πϕπ=-∈， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()223f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． （2）依题意()222263g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，方程()()0f x g x a +-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，即方程()()f x g x a +=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解．令()22223223h x sin x sin x sin x x π⎛⎫=-+=⎪⎝⎭12222sin x cos x ⎫=-⎪⎪⎭26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()h x 的值域为⎡⎣，所以实数a 的取值范围为⎡⎣．【点睛】本题主要考查的是三角函数的解析式的求法、三角函数图象变换以及正弦三角函数图象和性质的应用，方程根的存在性，体现了转化的数学思想，考查学生的计算能力，是中档题.21．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．22cos 15cos 15sin15︒︒︒+︒；()()22cos 80cos 50sin 50︒+-︒︒-︒； ()()22cos 170cos 140sin 140︒+-︒︒-︒．（1）求出这个常数；（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．【答案】（1）74；（2）见解析【解析】（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解. （2）根据30αβ+=︒将β用α表示，再利用两角差的余弦、正弦展开化简即可证明.【详解】（1）2215151515cos cos sin ︒+︒︒︒2221515cos =︒-︒)130130cos cos =+︒-︒7112224=+--=⎝⎭；（2）推广：当30αβ+=︒时，2274cos cos sin αβαβ+-=． 证明：∵30αβ+=︒，∴30βα=︒-，22cos cos sin αβαβ+()()223030cos cos sin αααα=+︒-︒-22112222cos sin cos sin αααααα⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222313442cos cos sin sin sin sin αααααααα=+++22777444cos sin αα=+=． 【点睛】本题主要考查的是二倍角公式，两角差的正弦、余弦公式，以及特殊角的三角函数值，归纳推理，考查的是学生的计算能力，要求学生熟练应用三角恒等变换，是中档题. 22．已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m <<【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明； （3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为,22m m ln m ln m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+∞上递增，程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，可得m 的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=， 即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln 1x f x x -=+的定义域关于原点对称． 所以1k =为满足题意的值．（2）结论：()f x 在(),1-∞，()1,+∞上均为增函数． 证明：由（1）知()1ln 1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-+∞，任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()()()()()11212222111111ln 111ln 1ln x x x x f x f x x x x x --+=+--=++--，因为()()()()()121212111120x x x x x x -+-+-=-<，又()()12110x x +->， 所以()()()()1212110111x x x x -+<<+-，所以()()()()()()12121211ln 011x x f x f x x x -+-=<+-， 即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上为增函数．同理，()f x 在(),1-∞上为增函数．（3）由（2）知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩， 即,αβ是方程112x m mx x -=-+的两实根， 问题等价于方程211022m m mxx ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根， 令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =- 则()201112414102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩， 即0205229m m m m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎩或，解得209m <<．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.。
2020-2021学年山东省烟台市高一上期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年山东省烟台市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣3，5]B．[3，5]C．（﹣∞，5]D．[0，3]2．设函数f（x）的定义域为R，已知p：f（x）为R上的减函数，q：∃x1＜x2，f（x1）＞f （x2），则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：小时）的变化关系为C（t）＝（a，b为常数，t≥0），经过1小时池水中药品的浓度为4mg/L，则池水中药品达到最大浓度需要（）A．2小时B．3小时C．4小时D．5小时4．已知a＝0.50.5，b＝2﹣1.5，c＝1.50.5，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜a＜c5．《九章算术》第九章“勾股”问题十二：今有门不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出（邪：指门的对角线）．问门的高、广分别为（）A．10尺，8尺B．10尺，6尺C．8尺，6尺D．12尺，10尺6．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣17．要得到函数的图象只需将函数的图象（）A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度B．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度C．.先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度D．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度8．已知函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ在处取得最小值，则函数f（x）的一个单减区间为（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若，则下列不等式中正确的是（）A．a+b＜ab B．C．ab＞b2D．a2＞b210．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝﹣x3C．f（x）＝x﹣D．f（x）＝11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（）B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈ZD．f（x）的递减区间为[]，k∈Z12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．14．设函数f（x）对x≠0的一切实数都有f（x）+2f（）＝3x，则f（x）＝．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值．16．将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin（x﹣），则f（）＝．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0，a＞1}，（1）若a＝2，求集合B；（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝80+log0.8（x+a）图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知函数f（x）＝2cos x sin（x﹣）+sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（α）＝且0＜α＜，求cos2α的值．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．2020-2021学年山东省烟台市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣3，5]B．[3，5]C．（﹣∞，5]D．[0，3]【解答】解：∵A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∪B＝（﹣3，5]．故选：A．2．设函数f（x）的定义域为R，已知p：f（x）为R上的减函数，q：∃x1＜x2，f（x1）＞f （x2），则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据单调性的定义，如果f（x）为R上的减函数，那么∃x1＜x2，f（x1）＞f（x2）；反之，∃x1＜x2，f（x1）＞f（x2），则f（x）未必为R上的减函数；故p⇒q，但q 推不出p，故p是q充分不必要条件．故选：A．3．为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：小时）的变化关系为C（t）＝（a，b为常数，t≥0），经过1小时池水中药品的浓度为4mg/L，则池水中药品达到最大浓度需要（）A．2小时B．3小时C．4小时D．5小时【解答】解：C（t）＝（a，b为常数，t≥0），由C（1）＝，可得a＝4b﹣16，即a，b满足a＝4b﹣16时符合，赋值计算，取a＝0，b＝4，则C（t）＝，∴C（t）＝，当且仅当t＝，即t＝2时上式等号成立．故池水中药品达到最大浓度需要2小时．故选：A．4．已知a＝0.50.5，b＝2﹣1.5，c＝1.50.5，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜a＜c【解答】解：由于y＝x0.5在（0，+∞）为增函数，故a＜c，由于y＝0.5x为减函数，则0.50.5＞0.51.5＝2﹣1.5，即a＞b，∴b＜a＜c，故选：D．5．《九章算术》第九章“勾股”问题十二：今有门不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出（邪：指门的对角线）．问门的高、广分别为（）A．10尺，8尺B．10尺，6尺C．8尺，6尺D．12尺，10尺【解答】解：设门的对角线为x尺2，则门高（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．故选：C．6．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣1【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，B，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除D，故选：C．7．要得到函数的图象只需将函数的图象（）A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度B．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度C．.先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度D．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度【解答】解：由函数＝sin2（x+）+2，所以函数＝sin2x的图象，先向左平移个单位长度，得y＝sin2（x+）＝sin（2x+）的图象，再向上平移2个单位长度，得y＝sin（2x+）+2的图象．故选：B．8．已知函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ在处取得最小值，则函数f（x）的一个单减区间为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ＝cos2x•cosφ﹣sin2x•sinφ＝cos （2x+φ），由f（x）在处取得最小值，可得cos（+φ）＝﹣1，即+φ＝2kπ+π，k∈Z，可得φ＝2kπ+，k∈Z，则f（x）＝cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，当k＝0时，﹣≤x≤，可得函数f（x）的一个单减区间为[﹣，]，故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若，则下列不等式中正确的是（）A．a+b＜ab B．C．ab＞b2D．a2＞b2【解答】解：∵，∴b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，即选项A正确；∵b＜a＜0，∴ab＜b2，a2＜b2，即选项C和D错误；由于＞0，＞0，且a≠b，∴+＞2＝2，即选项B正确．故选：AB．10．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝﹣x3C．f（x）＝x﹣D．f（x）＝【解答】解：根据题意，若f（x）满足对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，若对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则f（x）在其定义域上为减函数，若函数f（x）为“理想函数”，则f（x）在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，依次分析选项：对于A，f（x）＝x2，为偶函数，不是奇函数，不符合题意，对于B，f（x）＝﹣x3，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，对于C，f（x）＝x﹣，在其定义域上不是减函数，不符合题意，对于D，f（x）＝，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，故选：BD．11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（）B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈ZD．f（x）的递减区间为[]，k∈Z【解答】解：由函数的图象可得A＝，T＝•＝﹣，求得ω＝2再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故函数f（x）＝sin（2x+）＝cos（﹣2x），故A、B正确，令2x+＝k，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，可得f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故C错误，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故D错误．故选：AB．12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0【解答】解：要使log a3＜log b3成立，只要＜，∴＜，∴0＞lga＞lgb，或lga＜0，lgb＞0．求得1＞a＞b＞0，或b＞1＞a＞0，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．【解答】解：∵x2﹣xy+9y2＝1，∴x2+9y2＝1+xy≥＝6xy，即xy≤，当且仅当x＝3y，即，y＝时，等号成立，∴（x+3y）2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy≤1+7×＝，∴≤x+3y≤，∴x+3y的最大值为．故答案为：．14．设函数f（x）对x≠0的一切实数都有f（x）+2f（）＝3x，则f（x）＝．【解答】解：∵函数f（x）对x≠0的一切实数都有f（x）+2f（）＝3x，∴消去，可得．故答案为：．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值8．【解答】解：由已知定点P坐标为（﹣2，﹣1），由点P在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+＝（2m+n）（+）＝4++≥4+2＝4+4＝8当且仅当m＝，n＝取等号．故答案为：8．16．将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin（x﹣），则f（）＝．【解答】解：将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin（x﹣），故把y＝sin（x﹣）的图象，横坐标伸长到原来的倍，再把它的图象左移个单位，可得f（x）＝sin2x的图象，则f（）＝sin＝，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0，a＞1}，（1）若a＝2，求集合B；（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，x2﹣6x+8≤0，即（x﹣2）（x﹣4）≤0，解得2≤x≤4，故B＝[2，4]；（2）p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}＝[2，3]，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0}＝[a，a2]，如果q是p的必要条件，则A⊆B，∴，解得≤a≤2，故a的取值范围为[，2]．18．已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），则（a+1）（﹣x）2+（a﹣1）（﹣x）+（a2﹣1）＝﹣（a+1）x2﹣（a﹣1）x﹣（a2﹣1），所以，解得a＝﹣1．（2）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣2x，为减函数，不符合题意；当a≠﹣1时，函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1）的对称轴为x＝﹣，因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以，解得a．综上，实数a的取值范围是．19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝80+log0.8（x+a）图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【解答】解：（1）当x∈（0，16]时，设f（x）＝b（x﹣12）2+84（b＜0），∵f（16）＝b（16﹣12）2+84＝80，∴b＝﹣，∴．当x∈（16，40]时，f（x）＝log0.8（x+a）+80，由f（16）＝log0.8（16+a）+80＝80，解得a＝﹣15，∴f（x）＝log0.8（x﹣15）+80．综上，；（2）当x∈（0，16]时，令，得x∈[0，4]，当x∈（16，40]时，令f（x）＝log0.8（x﹣15）+80＜68，得x≥15+0.8﹣12≈29.6，∴x∈[30，40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4﹣0+40﹣30＝14分钟．20．已知函数f（x）＝2cos x sin（x﹣）+sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（α）＝且0＜α＜，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2cos x sin（x﹣）+sin2x+sin x cos x＝2cos x（sin x•﹣cos x•）+sin2x+sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）∵f（α）＝2sin（2α﹣）＝，∴sin（2α﹣）＝，∵0＜α＜，∴2α﹣为锐角，cos（2α﹣）＝＝，∴cos2α＝cos[（2α﹣）+]＝cos（2α﹣）cos﹣sin（2α﹣）sin＝﹣＝．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．【解答】解：（Ⅰ）由＝，由，得sin（α+）＝0，又α∈[0，2π]，得或．（Ⅱ）由题知，，由g（x）≤2，得，∴，∵，，∴，或，∴，或，即所求x的集合为，或．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．【解答】解：（1）依题意，a＝2，y＝，要使y≥0.4，则f（x）≥2．当0≤x≤2时，，得1≤x≤2；当2＜x≤7时，7﹣x≥2，得2＜x≤5．∴1≤x≤5，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）设再次投放m亿元消费券x天，则，，0≤x≤2，由≥0.4，得m≥，令t＝3+x，t∈[3，5]，t∈N*，则m≥＝，而＝，当且仅当，即t＝2，即x＝时，上式等号成立，∴m的最小值为20﹣．。
2023-2024学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos960°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√322．在同一平面直角坐标系中，函数y＝e x与y＝lnx的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝﹣x对称3．函数f(x)=lnx−6x+1的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为π6rad/s，起点为射线y=√33x(x≤0)与单位圆的交点，20s后点P的纵坐标为（）A．−12B．12C．−√32D．√325．设a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a6．已知f(x)={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，则f（log23）＝（）A．−43B．−14C．13D．27．函数f（x）＝cos（sin x）的单调递减区间为（）A．[2kπ，2kπ+π2](k∈Z)B．[kπ，kπ+π2](k∈Z)C．[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)D．[kπ−π2，kπ+π2](k∈Z)8．对于函数f（x），若存在实数a，b（a＜b），使{f（x）|x∈[a，b]}＝[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”，下列函数中为“M函数”的是（）A．y＝sin x B．y＝tan xC．y=−14x2−1D．y＝e x﹣1﹣1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若实数m ＞n ＞0，则（ ） A ．m ﹣1＜n ﹣1B ．lgm ＞lgnC ．2﹣m＞2﹣nD ．sin m ＞n10．若角α是第二象限角，则下列说法正确的有（ ） A ．sin α2＞0B ．tan α2＞0C ．sin2α＜0D ．cos2α＜011．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=π4B ．f （x ）在区间[8，10]上单调递减C ．f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称D ．f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+⋯+f 2（2024）＝202412．切比雪夫多项式是以递归方式定义的一元多项式序列，在计算数学中应用广泛．已知某类切比雪夫多项式f n （x ）满足f n （cos x ）＝cos nx ，n ∈N ，则（ ） A ．f n （0）＝1B ．f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗C ．当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数D ．若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝0三、填空题：本题共4小题，每小蒝5分，共20分．13．已知某扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则该扇形的周长为 ． 14．已知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)的值为 ．15．若函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则实数m 的值为 ．16．已知f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，若x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根，则实数t 的取值范围为 ，x 1x 2x 3的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）求值：413×213+log 45×log 252−e ln2；（2）化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα，其中α为第三象限角．18．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x−π3)．（1）用五点法画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）求不等式f（x）≥1的解集．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω＞0)，且其图象相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递增区间．20．（12分）某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为f(x)=log2√x+1+mx+n，x≥0，B生产线找的利润g（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+p，0≤x＜32．假定f（0）＝g（0）＝0且f（3）＝4．（1）求实数m，n，p的值；（2）该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=√3，P，Q分别是线段AD，AB上的动点，且∠PCQ=π4，设∠PCD＝α．（1）用α表示△PCQ的面积；（2）当α为何值时，△PCQ面积取得最小值？并求出最小值．22．（12分）已知函数f（x）满足：对∀x、y∈R，f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），且f（1）＝0．（1）求f（0）的值；（2）若∀x∈R，y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos960°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√32解：cos960°＝cos（720°+240°）＝cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°=−1 2．故选：C．2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝e x与y＝lnx的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝﹣x对称解：因为函数y＝e x与y＝lnx互为反函数，所以两者的图象关于直线y＝x对称．故选：C．3．函数f(x)=lnx−6x+1的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由题设，y＝lnx，y=−6x在（0，+∞）为递增函数，f（x）是定义域在（0，+∞）上连续不断的递增函数，又f（2）＝ln2﹣3+1＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3﹣2+1＝ln3﹣1＞0，f（2）f（3）＜0，由零点存在定理可知，零点所在区间为（2，3）．故选：C．4．质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为π6rad/s，起点为射线y=√33x(x≤0)与单位圆的交点，20s后点P的纵坐标为（）A．−12B．12C．−√32D．√32解：射线y=√33x(x≤0)为角7π6的终边，20s后，点P在角7π6−π6×20=−13π6的终边上，则20s后点P的纵坐标为sin(−13π6)=−sin13π6=−sin(2π+π6)=−sinπ6=−12．故选：A．5．设a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 解：∵a＝log30.2＜0，b＝30.2＞1，0＜c＝0.23＜1，∴a＜c＜b．故选：B．6．已知f(x)={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，则f（log23）＝（）A．−43B．−14C．13D．2解：由题意得log23＞1＞0，故f(log23)=f(log23−1)=f(log232)=f(log232−1)=f(log234)=2−log234−1=43−1=13．故选：C．7．函数f（x）＝cos（sin x）的单调递减区间为（）A．[2kπ，2kπ+π2](k∈Z)B．[kπ，kπ+π2](k∈Z)C．[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)D．[kπ−π2，kπ+π2](k∈Z)解：设μ＝sin x，则μ∈[﹣1，1]；函数y＝cosμ，μ∈[﹣1，1]，在[﹣1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减．又μ＝sin x在[2kπ，2kπ+π2]，k∈Z上单调递增且μ∈[0，1]；在[2kπ+π2，2kπ+π]，k∈Z上单调递减且μ∈[0，1]；在[2kπ+π，2kπ+3π2]，k∈Z上单调递减且μ∈[﹣1，0]；在[2kπ+3π2，2kπ+2π]，k∈Z上单调递增且μ∈[﹣1，0]．根据复合函数的单调性可得y＝cos（sin x）的单调减区间为[2kπ，2kπ+π2]或[2kπ+π，2kπ+3π2]，k∈Z．即减区间为[kπ，kπ+π2]，k∈Z．故选：B．8．对于函数f（x），若存在实数a，b（a＜b），使{f（x）|x∈[a，b]}＝[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”，下列函数中为“M函数”的是（）A．y＝sin x B．y＝tan xC．y=−14x2−1D．y＝e x﹣1﹣1解：对于A，由于y＝sin x为周期函数，考查其在一个周期内的情况即可；先考虑在递增区间[−π2，π2]内的情况，此时若函数为“M 函数”，则满足存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 即sin a ＝a ，sin b ＝b ，即在[−π2，π2]内，sin x ＝x 需有两不同实数解；当x ＝0时，y ＝sin0＝0，当0＜x ≤π2时，0＜sin x ≤1，且sin x ＜x ，当−π2≤x ＜0时，﹣1≤sin x ＜0，结合y ＝sin x 以及y ＝x 的对称性知sin x ＞x ， 即不能满足sin x ＝x 有两不同实数解；故此时不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]； 结合y ＝sin x 的对称性知在单调递减区间[π2，3π2]内，不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，A 错误；对于B ，考查y ＝tan x 在一个周期内的情况，即在单调递增区间(−π2，π2)内的情况，此时若函数为“M 函数”，则满足存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 即tan a ＝a ，tan b ＝b ，即在(−π2，π2)内，tan x ＝x 需有两不同实数解；当x ＝0时，y ＝tan0＝0，当0＜x ＜π2时，0＜tan x ＜x ，当−π2＜x ＜0时，x ＜tan x ＜0，即不能满足tan x ＝x 有两不同实数解；即不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，B 错误；对于C ，函数y =−14x 2−1在（﹣∞，0]上单调递增，在0，+∞）上单调递减，由于y =−14x 2−1的图象关于x ＝0对称，且y =−14x 2−1≤−1，x ＝0时取等号，故只需考虑函数在（﹣∞，﹣l ]上的情况；假设y =−14x 2−1为“M 函数”，则在（﹣∞，﹣1]上−14x 2−1=x 需有两个不同实数根，而−14x 2−1=x ，即x 2+4x +4＝0，∴x ＝﹣2，不符合要求，即此时不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，C 错误； 对于D ，假设y ＝e x ﹣1﹣1为“M 函数”，由于y ＝e x ﹣1﹣1在R 上单调递增，则存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 则e x ﹣1﹣1＝x ，即e x ﹣1＝x +1需有两不同实数解，作出函数y ＝e x﹣1的图象和直线y ＝x +1，结合二者图象可知，函数y＝e x﹣1的图象和直线y＝x+1有两个不同交点，即e x﹣1﹣1＝x，也即e x﹣1＝x+1有两不同实数解，假设成立，即y＝e x﹣1﹣1为“M函数”，D正确，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若实数m＞n＞0，则（）A．m﹣1＜n﹣1B．lgm＞lgn C．2﹣m＞2﹣n D．sin m＞n解：对于A，因为m＞n＞0，所以m﹣1＜n﹣1，故A正确；对于B，因为y＝lgx是增函数，且m＞n＞0，所以lgm＞lgn，故B正确；对于C，因为y=(12)x是减函数，且m＞n＞0，所以(12)m＜(12)n，即2﹣m＜2﹣n，故C不正确；对于D，因为π2＞π3，sinπ2=1＜π3，所以D不正确．故选：AB．10．若角α是第二象限角，则下列说法正确的有（）A．sinα2＞0B．tanα2＞0C．sin2α＜0D．cos2α＜0解：由题意2kπ+π2＜α＜π+2kπ，k∈Z，所以kπ+π4＜α2＜π2+kπ，k∈Z，4kπ+π＜2α＜2π+4kπ，k∈Z，所以α2为第一或第三象限角，2α为第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴，故BC正确，AD错误．故选：BC．11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（）A ．φ=π4B ．f （x ）在区间[8，10]上单调递减C ．f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称D ．f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+⋯+f 2（2024）＝2024解：对于A ，由图可知A =√2，T 2=1−(−3)=4=2π2ω，解得T ＝8，ω=π4，且1×π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π4+2kπ，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以只能k ＝0，φ=π4，故A 正确；对于B ，f(x)=√2sin(π4x +π4)，当x ∈[8，10]时，π4x +π4∈[94π，114π]，所以f （x ）在区间[8，10]上不单调，故B 错误；对于C ，f(−5)=√2sin(−π)=0，即f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称，故C 正确； 对于D ，f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+…+f 2（8）＝2+1+0+1+2+1+0+1＝8， 又周期T ＝8，所以f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+…+f 2（2024）＝8×20248=2024，故D 正确． 故选：ACD ．12．切比雪夫多项式是以递归方式定义的一元多项式序列，在计算数学中应用广泛．已知某类切比雪夫多项式f n （x ）满足f n （cos x ）＝cos nx ，n ∈N ，则（ ） A ．f n （0）＝1B ．f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗C ．当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数D ．若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝0解：对于A ，取n =1，x =π2，则f 1(cos π2)=f 1(0)=cos π2=0，故A 错误；对于B ，∀x ∈[﹣1，1]，存在t ∈[0，2π）使得x ＝cos t ，所以当n ∈N *时，f n +1（x ）＝cos （nt +t ）＝cos （nt ）cos t ﹣sin （nt ）sin t=cos(nt)cost −12[cos(n −1)t −cos(n +1)t]=xf n (x)−12[f n−1(x)−f n+1(x)]，解得f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗，故B 正确；对于C ，由f 0（cos x ）＝cos0＝1是偶函数， 由f 1（cos x ）＝cos x ，得f 1（x ）＝x 是奇函数，所以由f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗得， f 2(x)=2xf 1(x)−f 0(x)=2x 2−1是偶函数，f 3(x)=2xf 2(x)−f 1(x)=2x(2x 2−1)−x =4x 3−3x 是奇函数，f 4(x)=2xf 3(x)−f 2(x)=2x(4x 3−3x)−(2x 2−1)=8x 4−8x 2+1是偶函数， f 5（x ）＝2xf 4（x ）﹣f 3（x ）是奇函数，……，所以归纳可得当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数，故C 正确； 对于D ，若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则4x 3−3x −12=4(x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)， 左边的二次项系数为0，展开后右边的二次项系数为﹣4（x 1+x 2+x 3）， 所以﹣4（x 1+x 2+x 3）＝0，即x 1+x 2+x 3＝0，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小蒝5分，共20分．13．已知某扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则该扇形的周长为 20 ． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 因为扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则{S =12lr =25l =2r，解得{r =5l =10，所以该扇形的周长为l +2r ＝10+10＝20． 故答案为：20．14．已知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)的值为 −13 ．解：由题意知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)=sinα−cosα−cosα−sinα=tanα−1−1−tanα=2−1−1−2=−13． 故答案为：−13．15．若函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则实数m 的值为 1 ． 解：函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则有f （﹣x ）＝f （x ）， 即log 2(4x +m)−x −1=log 2(4−x +m)+x −1， 得log 2(4x +m)−log 2(4−x +m)=2x ，则有log 24x +m 4−x +m =2x =log 222x =log 24x，得4x +m 4−x +m=4x ，即（m ﹣1）（1﹣4x ）＝0，解得m ＝1，f(x)=log 2(4x +1)−x −1，函数定义域为R ，符合题意．所以实数m 的值为1． 故答案为：1．16．已知f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，若x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根，则实数t 的取值范围为 （0，1） ，x 1x 2x 3的取值范围为 （16，8+8√2） ． 解：∵f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，∴作出其图象如下：∵x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根， ∴y ＝f （x ）与y ＝t 有三个交点， ∴数形结合可得t ∈（0，1）；不妨设x 1＜x 2＜x 3，令−14x 2+x +1=0，x ＞4，可得x =2+2√2，∴x 1∈（1，2），x 2∈（2，4），x 3∈(4，2+2√2)， 又f （x 1）＝f （x 2），∴|log 2x 1﹣1|＝|log 2x 2﹣1|， ∴1﹣log 2x 1＝log 2x 2﹣1，∴log 2（x 1x 2）＝2， ∴x 1x 2＝4，∴x 1x 2x 3的＝4x 3∈（16，8+8√2）． 故答案为：（0，1）；(16，8+8√2)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）求值：413×213+log 45×log 252−e ln2；（2）化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα，其中α为第三象限角．解：（1）原式=223⋅213+lg5lg4⋅lg2lg25−e ln2=2+lg52lg2⋅lg22lg5−2 =14． （2）原式=√(1+sinα)21−sin 2α−√(1−sinα)21−sin 2α=√(1+sinα)2cos 2α−√(1−sinα)2cos 2α．因为α为第三象限角，所以1+sin α＞0，1﹣sin α＞0，cos α＜0， 即上式=1+sinα−cosα−1−sinα−cosα=2sinα−cosα=−2tan α．18．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x −π3)．（1）用五点法画出函数f （x ）在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）求不等式f （x ）≥1的解集． 解：（1）由题意函数f(x)=2sin(2x −π3)，列表如下：描点，连线，可得f(x)=2sin(2x −π3)的图象如下：（2）由题意f （x ）≥1，可得sin(2x −π3)≥12，令π6+2kπ≤2x −π3≤5π6+2kπ，k ∈Z ，解得π4+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ， 所以不等式f （x ）≥1的解集为{x|π4+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z}．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω＞0)，且其图象相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递增区间．解：（1）由题知，f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx，所以，f(x)=√32sin2ωx+12cos2ωx=sin(2ωx+π6)．因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以函数f（x）的周期T=π=2π2ω，所以ω＝1，f(x)=sin(2x+π6 )．令2x+π6=π2+kπ，解得x=π6+kπ2，k∈Z，函数f（x）图象的对称轴所在直线的方程为x=π6+kπ2，k∈Z．（2）由题知，将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(2(x−π6)+π6)=sin(2x−π6)，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)=sin(x−π6 )．所以，当x−π6∈[−π2+2kπ，π2+2kπ]，即x∈[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z时，g（x）单调递增，所以函数g（x）的单调递增区间为[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z．20．（12分）某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为f(x)=log2√x+1+mx+n，x≥0，B生产线找的利润g（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+p，0≤x＜32．假定f（0）＝g（0）＝0且f（3）＝4．（1）求实数m，n，p的值；（2）该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．解：（1）因为f（0）＝0，所以n＝0．又因为f（3）＝4，即f(3)=log2√3+1+3m=4，所以m＝1．又因为g（0）＝0，即0﹣log232+p＝0，解得p＝5．（2）由（1）知，f(x)=log2√x+1+x，x≥0，g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+5，0≤x＜32．设企业所获利润为h（x），投入A生产线x万元，则投入B生产线（22﹣x）万元，所以h（x）＝f（x）+g（22﹣x），0≤x≤22，即ℎ(x)=log2√x+1+x+22−x−log2(10+x)+5，0≤x≤22，整理得ℎ(x)=log2√x+110+x+27，0≤x≤22，令√x+1=t，t∈[1，√23]，则x＝t2﹣1，所以u(t)=log2t9+t2+27=log219t+t+27，t∈[1，√23]，因为t+9t≥6，当且仅当t=9t，即t＝3时等号成立，此时x＝8．最大利润为27+log216=26−log23．所以投入A生产线8万元、B生产线14万元时，该企业获得最大利润为（26﹣log23）万元．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=√3，P，Q分别是线段AD，AB上的动点，且∠PCQ=π4，设∠PCD＝α．（1）用α表示△PCQ的面积；（2）当α为何值时，△PCQ面积取得最小值？并求出最小值．解：（1）因为AB=3，BC=√3，∠PCQ=π4，所以在直角△PCD中，PD＝3tanα，则AP=√3−3tanα，在△QBC中，QB=√3tan(π4−α)，所以AQ=3−√3tan(π4−α)，所以S△CPQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ﹣S△CPD﹣S△BCQ=3√3−12(√3−3tanα)(3−√3tan(π4−α))−92tanα−32tan(π4−α)，0≤α≤π6，整理得S△CPQ=3√32−3√32tanαtan(π4−α)，0≤α≤π6；（2）由（1）知，S△CPQ=3√32−3√32tanαtan(π4−α)，0≤α≤π6，所以S△CPQ=3√32(1−sinαsin(π4−α)cosαcos(π4−α))=3√32×[1sinα(√22cosα−√22sinα)cosα(22cosα+22sinα)]=3√32×1cos2α+sinαcosα=3√32×112cos2α+12sin2α+12=3√32sin(2α+π4)+1，因为0≤α≤π6，所以2α+π4∈[π4，7π12]，所以当2α+π4=π2，即α=π8时，√2sin(2α+π4)取得最大值√2，所以△CPQ面积的最小值为3√6−3√3．22．（12分）已知函数f（x）满足：对∀x、y∈R，f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），且f（1）＝0．（1）求f（0）的值；（2）若∀x∈R，y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．解：（1）因为f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），令x＝1，y＝0，所以f（1）﹣f（0）＝2，因为f（1）＝0，所以f（0）＝﹣2．（2）由（1）知，f（0）＝﹣2，令y＝0，得f（x）﹣f（0）＝x2+x，所以f（x）＝x2+x﹣2．所以f(sinx)+14=sin2x+sinx−74，令sin x＝t，其中﹣1≤t≤1，则y=t2+t−7 4，所以当t=−12时，y=t2+t−74取得最小值y min=14−12−74=−2．又因为∀x∈R，∀y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)，所以，∀y∈（﹣∞，﹣1），log a（1﹣y）＜﹣2恒成立．当a＞1时，u＝log a（1﹣y）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，因为1﹣y＞2，则u＝log a（1﹣y）＞log a2，则log a（1﹣y）＜﹣2不可能恒成立，舍去；当0＜a＜1时，u＝log a（1﹣y）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，所以要使log a（1﹣y）＜﹣2在（﹣∞，﹣1）上恒成立，只需log a2≤−2=log a 1a2，可得1a2≤2，解得√22≤a＜1．综上，a的取值范围为[√22，1)．。
烟台市 高一上期末数学试题(有答案)-精选
2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（ ）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 （2）若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A ．0B ．1C ．2D ．32．如果两条直线l 1：ax+2y+6=0与l 2：x+（a ﹣1）y+3=0平行，那么实数a 等于（ ）A ．﹣1B ．2C ．2或﹣1D ． 3．函数f （x ）=e x +2x ﹣3的零点所在的一个区间是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若函数f （x ）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＜﹣1或a ＞1D ．﹣1＜a ＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y 元 90 51 90根据上表数据，当a ≠0时，下列函数：①y=ax +k ；②y=ax 2+bx+c ；③y=alog m x 中能恰当的描述该商品的市场价y 与上市时间x 的变化关系的是（只需写出序号即可） ．12．如图所示，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m 被两条平行直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：2x ﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m 的倾斜角等于 ．14．已知函数f （x ）对任意的x ∈R 满足f （﹣x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1，若f （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC 中，给出如下三个命题：①异面直线AB 与SC 所成角为60°；②BC 与平面SAB 所成角的余弦值为；③二面角S ﹣BC ﹣A 的余弦值为，其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AA 1=AB=2．（1）求证：平面AA 1C ⊥平面BA 1C ； （2）若AC=BC ，求几何体A 1﹣ABC 的体积V ．17．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点．（1）求证：A 1C ∥平面BDE ；（2）求二面角E ﹣BD ﹣A 的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f （x ）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x 的范围； （3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC 中，A （2，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为3x+2y+1=0．角B 的平分线所在直线BT 的方程为x ﹣y+2=0． （1）求顶点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C ．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l 1：ax+2y+6=0与l 2：x+（a ﹣1）y+3=0平行，那么实数a 等于（ ）A ．﹣1B ．2C ．2或﹣1D ．【分析】两条直线l 1：ax+2y+6=0与l 2：x+（a ﹣1）y+3=0平行，直线l 1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l 1：ax+2y+6=0与l 2：x+（a ﹣1）y+3=0平行，直线l 1的斜率存在，分别化为：y=﹣x ﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f （x ）=e x +2x ﹣3的零点所在的一个区间是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S=4πR2，球截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），（1﹣x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，∴中间的一个根满足log2解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y （单位：圆）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天 4 10 36 市场价y 元905190根据上表数据，当a ≠0时，下列函数：①y=ax +k ；②y=ax 2+bx+c ；③y=alog m x 中能恰当的描述该商品的市场价y 与上市时间x 的变化关系的是（只需写出序号即可） ② ． 【分析】随着时间x 的增加，y 的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k 和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax 2+bx+c ．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件 AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A 1C ⊥B 1D 1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD 为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A 1C ⊥B 1D 1，由四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，AA 1⊥B 1D 1，易得B 1D 1⊥平面AA 1BB 1， 则A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ， 则四边形ABCD 为菱形，故答案为：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m 被两条平行直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：2x ﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m 的倾斜角等于 135° ．【分析】由两平行线间的距离，得直线m 和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m 的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m 被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°， 故直线m 的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f （x ）对任意的x ∈R 满足f （﹣x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1，若f （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围是 （4，+∞） ．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x ）有4个零点，只需当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x ∈R 满足f （﹣x ）=f （x ），∴函数为偶函数， 若f （x ）有4个零点，∴当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a ﹣4＞0， ∴a ＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC 中，给出如下三个命题：①异面直线AB 与SC 所成角为60°；②BC 与平面SAB 所成角的余弦值为；③二面角S ﹣BC ﹣A 的余弦值为，其中所有正确命题的序号为 ②③ ．【分析】①根据线面垂直性质可判断； ②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可； ③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB 中点M ，易证AB 垂直平面SMC ，可得AB 垂直SC ，故错误；②易知BC 在平面上的射影为∠ABC 的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°， ∴cosθ=，故正确；③取BC 中点N ，∴二面角为∠ANC ，不妨设棱长为1，∴cos ∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AA 1=AB=2．（1）求证：平面AA 1C ⊥平面BA 1C ； （2）若AC=BC ，求几何体A 1﹣ABC 的体积V ．【分析】（1）证明BC ⊥平面AA 1C ，即可证明平面AA 1C ⊥平面BA 1C ；（2）求出AC ，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径，所以AC ⊥BC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC ，而AC∩AA 1=A ，所以BC ⊥平面AA 1C ．又BC ⊂平面BA 1C ，所以平面AA 1C ⊥平面BA 1C ．…（6分）（2）解：在Rt △ABC 中，AB=2，则由AB 2=AC 2+BC 2且AC=BC ，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A 1﹣ABC 的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点．（1）求证：A 1C ∥平面BDE ；（2）求二面角E ﹣BD ﹣A 的正切值．【分析】（1）连AC ，设AC 与BD 交于点O ，连EO ，则A 1C ∥EO ，由此能证明A 1C ∥平面BDE ．（2）由BD ⊥AC ，BD ⊥EO ，得∠AOE 是二面角E ﹣BD ﹣A 的平面角，由此能求出二面角E ﹣BD ﹣A 的正切值．【解答】证明：（1）连AC ，设AC 与BD 交于点O ，连EO ，∵E 是AA 1的中点，O 是BD 的中点，∴A 1C ∥EO ，又EO ⊂面BDE ，AA 1⊄面BDE ，所以A 1C ∥平面BDE ．…（6分）解：（2）由（1）知，BD ⊥AC ，BD ⊥EO ， ∴∠AOE 是二面角E ﹣BD ﹣A 的平面角，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE==．∴二面角E ﹣BD ﹣A 的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f （x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x ＞5时，由f （x ）=8.2﹣x ＞0，得5＜x ＜8.2． ∴要使工厂有盈利，求产量x 的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f （x ）=，∴当x ＞5时，函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．…（10分） 当0≤x ≤5时，函数f （x ）=﹣0.4（x ﹣4）2+3.6， 当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC 中，A （2，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为3x+2y+1=0．角B 的平分线所在直线BT 的方程为x ﹣y+2=0． （1）求顶点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程．【分析】（1）设B （x 0，y 0），利用中点坐标公式可得：AB 的中点M ，代入直线CM ．又点B 在直线BT 上，联立即可得出．（2）设点A （2，﹣1）关于直线BT 的对称点的坐标为A′（a ，b ），则点A′在直线BC 上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 在直线CM 上，所以+1=0，即3x 0+2y 0+6=0 ①…（2分）又点B 在直线BT 上，所以x 0﹣y 0+2=0 ②…（4分） 由①②得：x 0=﹣2，y 0=0，即顶点B （﹣2，0）．…（6分）（2）设点A （2，﹣1）关于直线BT 的对称点的坐标为A′（a ，b ），则点A′在直线BC 上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）===﹣4，…（11分）因为kBC所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集=[﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．可得：a＜﹣1．利用S△AOB【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为：+=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．=|a﹣2|||==3+≥∴S△AOB3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}24A x x =<<，{}260B x x x =--≤，则()U A B ∩等于（ ）A ．(]2,3B ．()3,4C ．[)2,4-D ．()(),23,4-∞-【答案】B【解析】化简集合B ，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.【详解】{}260B x x x =--≤{|23}x x =-≤≤，{|2UB x x =<-或3}x >，所以()U A B ∩{|34}x x =<<. 故选：B2．命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A ．0x ∀≥，sin x x > B ．00x ∃<，00sin x x > C ．00x ∃≥，00sin x x > D ．00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C【解析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是 00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 【详解】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角，故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．4．已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2A ，1sin ,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()sin1,C n ，则m 与n 的大小关系为（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．不等确定【答案】B【分析】根据给定条件求出幂函数的解析式，再借助()f x 的单调性即可判断作答.【详解】依题意，设()f x x α=，由()42f =得：42α=，解得12α=，则有()f x x =，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，又sin y x =在(0,)2π上单调递增，即10sin sin12<<，因此有1sin sin12<，则m n <，B 正确.故选：B 5．函数lg 1()x x f x x-=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求函数定义域得()()(),00,11,x ∈-∞+∞，再根据定义域分0x <，01x <<，1x >三种情况分别讨论即可得答案.【详解】解：函数的定义域为：()()(),00,11,-∞+∞， 当0x <时，11x -+>函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===--+<-，故排除CD 选项； 当01x <<时，011x <-+<，故函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===-+<，故排除B 选项； 当1x >时，函数()()lg 1lg 1()lg 1x x x x f x x x x--===-，该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到. 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．在ABC 中，3cos 5A =且5cos 13B =，则cos C 等于（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365-D ．6365【答案】B【分析】在ABC 中， ()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.【详解】解：∵在ABC 中，A B C π++=， ∴()C A B π=-+，又3cos 5A =，5cos 13B =，∴4sin 5A =，12sin 13B =， ∴()()cos cos cosC A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B =-+ 354123351351365⎛⎫=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭. 故选：B .【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【解析】令[]sin 21,3t x =+∈，可得出()44f x t t =+-，令()44g t t t =+-，证明出函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，由此可求得函数()g t 在区间[]1,3上的最大值，即为所求.【详解】令[]sin 21,3t x =+∈，则sin 2x t =-，则()()222sin 44sin 2t x f x t x t t-===+-+，令()44g t t t =+-，下面证明函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，任取1t 、[)21,2t ∈且12t t <，则()()()()()21121212121212124444444t t g t g t t t t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212124t t t t t t --=，1212t t ≤<<，则120t t -<，1214t t <<，()()120g t g t ∴->，()()12g t g t ∴>，所以，函数()44g t t t =+-在区间[)1,2上为减函数，同理可证函数()44g t t t =+-在区间(]2,3上为增函数，()11g =，()133g =，()max 1g t ∴=.因此，函数()f x 的最大值为1. 故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下： （1）判断或证明函数在区间上的单调性； （2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.8．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,]5∪(5，＋∞)B ． 1(0,)5∪[5,)+∞C ． 11(,)75∪(5，7)D ． 11(,)75∪[5，7)【答案】A【详解】由f(x ＋1)＝－f(x)得f(x ＋1)＝－f(x ＋2)，因此f(x)＝f(x ＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点可转化成y ＝f(x)与h(x)＝log a |x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a ＞1，则h(5)＝log a 5＜1，即a ＞5.若0＜a ＜1，则h(－5)＝log a 5≥－1，即0＜a ≤15.所以a 的取值范围是10,5⎛⎤⎥⎝⎦∪(5，＋∞)．故选A .点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、多选题9．以下四个选项表述正确的有（ ） A ．0∈∅ B ．{}0∅⊆ C ．{}{},,a b b a ⊆ D ．{}0∅∈【答案】BC【解析】利用元素集合的关系判断得,A D 错误，,B C 正确. 【详解】,A 0∉∅，所以该选项错误； ,B 空集是任何集合的子集，所以该选项正确；,C 由子集的定义得{}{},,a b b a ⊆，所以该选项正确；,D ∅是一个集合，它和{0}之间不能用∈连接，所以该选项错误.故选：BC10．下列不等式中正确的是（ ） A ．已知a b <，则有2a ba b +<< B ．已知0a b <<，0c d >>，0m >，则m ma cb d<-- C ．已知0a b >>，则22ac bc > D ．已知0a >，0b >，则2aba b≤+【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式即可较易得出判断. 【详解】因为a b <，所以有：2a a b <+，所以：2a ba +<，又：2a b b +<，所以：2a b b +<，所以：2a ba b +<<，所以A 正确； 因为0c d >>，所以有：0c d -<-<，所以：0a c b d -<-<，所以：110a c b d>>--，又0m >，所以：m ma cb d>--，所以B 错误； 因为2c ≥0，0a b >>，当20c >时，22ac bc >成立，当2c =0时，220ac bc ==，所以C 错误； 因为0a >，0b >，所以有：0a b +≥，10a b>+，所以()11a b a b a b +≥⋅++即：01<≤2ab a b ≤+D 正确. 故选：AD.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A ．()1f x x =+B ．()1f x x x=-，0x > C ．()23f x x x =-+D ．()12log f x x =【答案】BD【解析】对于ABC ：通过解方程()00f x x =可得答案；对于D ，通过作出两个函数的图象可得答案. 【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的， 对于A ：当001x x +=时，该方程无解，故A 不满足； 对于B ：当0001x x x -=，00x >时，解得02x =B 满足；对于C ：当20003x x x -+=，即()20120x -+=时，无实数根，故C 不满足；对于D ；画出()12log f x x =与y x =的图象显然有交点，即存在一个点0x ，使得()00f x x =，故D 满足；综上，BD 均满足. 故选：BD【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.12．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =，记()()sin cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为3个D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ⋅⋅⋅，则1273x x π<+< 【答案】ABD【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A ；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B ；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C ；由0x >时，lg y x =-和tan y x =的图象，结合正切函数的性质，可判断D.【详解】因为()()()()()()sin cos sin cos g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-， 所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；假设cos 0x =，即2x k π=+π，Z k ∈时， ()sin cos sin cos 02x f x x k k πππ⎛⎫+⋅=+=≠ ⎪⎝⎭，所以当2x k π=+π，Z k ∈时，()0g x ≠， 当2x k ππ≠+，Z k ∈时，()()sin cos 0tan x f x x x f x +⋅=⇔=-，当00x <，00x ->，则()()()000lg f x f x x =--=--，由于()g x 的一个零点为0x ，则()()()00000tan lg lg tan 0x f x x x x =-=-⇒--=，故B 正确；如图：当0x >时，令1tan y x =，2lg y x =-，则()g x 大于0的零点为1tan y x =，2lg y x =-，的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且()()0sin00cos00g f =+⋅=，所以函数在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C错误；由图可知，()g x 大于1的零点，134x ππ<<，2322x ππ<<，所以12934x x ππ<+<， 而974π>，故推出1273x x π<+<，故D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．若tan 2α=，则2cos 2sin 22αα+-=______．【答案】15-【分析】由于22222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2222sin cos tan 1ααααααααα+++-=-=-++，然后代值计算即可 【详解】因为tan 2α=，所以22222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2222sin cos tan 1ααααααααα+++-=-=-++ 214212215+⨯=-=-+，故答案为：15-14．已知,x y ∈R +,且24,x y +=则(1)(21)x y ++的最大值为_______. 【答案】9【解析】将(1)(21)x y ++展开化为221x y x y ⋅+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】24,x y +=且,x y ∈R +,∴ 22(1)(21)2212192x y x y x y x y x y +⎛⎫++=⋅+++≤+++= ⎪⎝⎭， 当且仅当2,1x y ==时取等号，故(1)(21)x y ++的最大值为9. 故答案为：9【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.15．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.【答案】12【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α，直角三角形POB 中， tan PB r α=， POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12. 点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论.四、双空题16．已知函数22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，则f (6)=________；若方程()f x x a =+在区间[4,8]-有三个不等实根，实数a 的取值范围为________.【答案】 8 {2}(4,0)⋃-【解析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解．（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a 的取值范围．【详解】解：因为22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩()()()()62222242228f f f ∴==⨯-=--+=作出函数()f x 在区间[4,8]-上的图象如图：设直线y x a =+，要使()f x x a =+在区间[4,8]-上有3个不等实根， 即函数y x a =+与()y f x =在区间[4,8]-上有3个交点， 由图象可知40a 或2a = 所以实数a 的取值范围是(){}4,02- 故答案为：8；(){}4,02-．【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题．五、解答题 17．求值： (1)1030.256341782(23)86；(2)2552lg4lg log 5log 48++⋅.【答案】(1)112 (2)3【分析】（1）依据幂的运算性质即可解决； （2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决. 【详解】（1）1030.256341782(23)861113110.25336233424432122(23)2223112（2）22555lg5lg 42lg 4lglog 5log 4lg 4lg 88lg 2lg525lg 42lg 2lg 4lg101238lg 2lg 218．已知函数()224x a f x x a =-+-的定义域是[]2,3-.（1）当2a =时，求函数()f x 的值域；（2）设:p a M ∈，[]:2,2q x ∀∈-，都有()0f x ≤，若p 是q 的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M 并说明理由.【答案】（1）[]1,8-；（2）[)4,+∞(答案不唯一)，理由见解析. 【解析】（1）利用二次函数的知识求出答案即可；（2）求出[]:2,2q x ∀∈-，都有()0f x ≤的充要条件，然后可得答案. 【详解】当2a =时，()()211f x x =--， 所以()()min 11f x f ==-，()()max 28f x f =-= 所以值域是[]1,8-.（2）据题意使“[]2,2x ∀∈-，都有()0f x ≤”为真命题的充要条件是()max 0f x ≤，即有()()2222802280f a a f a a ⎧-=-++≤⎪⎨=--+≤⎪⎩，其解集是(][),44,-∞-⋃+∞， 故使p 是q 的充分不必要条件的集合M 可以是[)4,+∞. 19．已知函数2()21xf x a =-+为奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性；(3)若22(4)()0f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)()f x 在R 上是增函数 (3)2k >【分析】（1）根据奇函数性质可得，()()0f x f x -+=，代入即可得到a 的值； （2）利用单调性的定义证明，任取12,R x x ∈，设12x x <，然后()()12f x f x -()()()12122222121x x x x -=+⋅+，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在R 上恒成立的问题，求解即可. 【详解】（1）函数定义域为R .因为函数2()21x f x a =-+为奇函数， 所以有()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 又222()2121xx x f x a a -⋅-=-=-++， 则()()2222121x xx f x f x a a ⋅-+=-+-++222222021x x a a ⋅+=-=-=+， 所以，1a =.（2）由（1）知，2()121xf x =-+. 任取12,R x x ∈，不妨设12x x < ，()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()12122222121x x x x -=+⋅+， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<.又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. （3）因为，函数2()121x f x =-+为奇函数， 所以22(4)()0f x x f x k -++--<等价于()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，∵()f x 是R 上的单调增函数，∴224x x x k -+<+，即2240x x k -+>恒成立， ∴()()2442820k k ∆=--⨯=--<， 解得2k >.20．已知函数()()πsin 03f x x m ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知． 条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()f x 的最大值与最小值之和为0； 条件③：()02f =． (1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若函数()f x 在区间[]0,a 上是增函数，求实数a 的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)5π12【分析】（1）先由三个条件得出结果，再选择条件即可求出； （2）根据正弦函数的单调性即可列出式子求解. 【详解】（1）若选择条件①，则2ππω=，故可得2ω=；若选择条件②，则110m m ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，故可得m =若选择条件③，则πsin 23m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故可得2m =； 根据题意，只能选择①②或①③作为已知条件． 若选择①②，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时ππ1sin 462f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；若选择①③，则()πsin 223x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）根据（1）中所求，不论选择①②还是①③，()πsin 23f x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 又其单调性与()πsin 23h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭相同，故函数()f x 在区间[]0,a 上是增函数，可转化为()h x 在[]0,a 上是增函数． 又当[]0,x a ∈，πππ2,2333x a ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要满足题意，只需ππ232a -≤，故可得50π12a <≤，即实数a 的最大值为5π12．21．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得6k =，然后由()(1640)W xR x x =-+，将()R x 代入即可.（2）当040x <时利用二次函数的性质求解；当40x >时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以4002440216704k ⨯---⨯=，解得6k =，当040x <时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-， 当40x >时， 40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+. 所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩（2）①当040x <时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==； ②当40x >时， 40000167360x W x --=+，由于40000400001621600x x x+=， 当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元. 【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 22．已知函数()2lgxf x ax b =+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围；（3）若方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2()lg1xf x x =+，()(),10,-∞-+∞；（2）()()0,22,+∞；（3）018m ≤<．【分析】（1）由已知中函数()2lgxf x ax b=+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，我们可以构造一个关于,a b 方程组，解方程组求出,a b 的值，进而得到()f x 的表达式； （2）转化为21x t x =+，解得2tx t =-，可求出满足条件的实数t 的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于x 的分式方程组，进而根据方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当0x >时，()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．22lglg lg xxx a ax b b x -=++，即22lglg lg x x ax b a bx-=++， 即2lg lg 2x a bx x ax b+⎛⎫⋅= ⎪+⎝⎭，22x a bx x ax b +⋅=+． 整理得()()20a b x a b x ---=恒成立，∴a b =，又()10f =，即2a b +=，从而1a b ==． ∴2()lg 1xf x x =+， ∵201xx >+，∴1x <-，或0x >， ∴()f x 的定义域为()(),10,-∞-+∞．（2）方程()lg f x t =有解，即2lg lg 1xt x =+， ∴21x t x =+，∴()2x t t -=，∴2tx t =-，∴12t t<--，或02tt >-，解得2t >或02t <<， ∴实数t 的取值范围()()0,22,+∞．（3）方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅， ∴()2lglg 81x x m x =++，∴281xx m x =++， ∴()2860x m x m +++=，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程()2860x m x m +++=无解，即∆<0，得218m <<，②方程()2860x m x m +++=有解，两根均在[]1,0-内，()()286g x x m x m =+++，则()()010*******g g m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪≥⎨⎪--⎪-≤≤⎪⎩解得02m ≤≤．综合①②得实数m 的取值范围是018m ≤<．【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.。
山东省烟台市重点名校2023届高一上数学期末检测试题含解析
求 的值；
求 的值.
19．已知 .
（1）化简 ；
（2）若 ，求 .
20．设全集 ， ， .求 ， ， ，
21．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图
11、
【解析】根据题意，设满足题意得格点为 ，这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和为 ，故 ，再分别求 和 的最小值时的 即可得答案.
【详解】解：设满足题意得格点为 ，这6个回收点沿街道到回收站之间路程 和为 ，
则 ，
令 ，由于其去掉绝对值为一次函数，故其最小值在区间端点值，
所以代入 得 ，
所以当 时， 取得最小值，
【详解】 ， ， ，
则 或 ，则
，则 或
21、（1） ;20；
（2） 分,76.67分
（3）
【解析】（1）根据频率之和为1，可求得a的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的人数；
（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；
（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.
所以
17、（1）
（2）
【解析】（1）当 时， ，当 时，函数 的值最小，求解即可；
（2）由于 ，分 ， ， 三种情况讨论，再结合题意，可得实数 的值
【小问1详解】
解：依题意得
2021-2022学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 求值sin210°=( )A. √32B. −√32C. 12D. −122. 函数y =ln(4−x)+√x 的定义域为( )A. (0,4)B. (0,4]C. [0,4)D. [0,4]3. 下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )A.B.C.D.4. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =x 3B. y =lnxC. y =sinxD. y =2x5. 已知a =31.1，b =30.2，c =log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <a <cB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a6. 已知函数f(x)={f(x +1),x <1(1e )x ,x ≥1，则f(−1+ln5)的值为( )A. 15B. 5C. e5D. 5e7. 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示．设水车的直径为8m ，其中心O 到水面的距离为2m ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是120s.当水车上的一个水筒A 从水中(A 0处)浮现时开始计时，经过t(单位：s)后水筒A 距离水面的高度为f(t)(在水面下高度为负数)，则f(140)=( )A. 3mB. 4mC. 5mD. 6m8. 设a ，b ∈R ，定义运算a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b，则函数f(x)=sinx ⊗cosx 的最小值为( )A. −1B. −√22C. −12D. 0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知α是第三象限角，则α2可能是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角10. 下列说法正确的有( )A. 函数y =x −1的图象不经过第四象限B. 函数y =tanx 在其定义域上为增函数C. 函数y =2x 与y =2−x 的图象关于y 轴对称D. 函数y =2x 与y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称11. 已知函数f(x)=cosx +cos(πx)，则下列结论正确的有( )A. f(x)是偶函数B. 2π是f(x)的一个周期C. f(x)的最大值为2D. f(x)的最小值为−212. 设函数f(x)的定义域为D ，如果对任意的x 1∈D ，存在x 2∈D ，使得f(x 1)+f(x 2)2=c(c为常数)，则称函数y =f(x)在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的有( )A. y =x 3B. y =tanxC. y =2sinxD. y =√4−x 2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若2a =3b =√6，则1a +1b 的值为______．14. 已知扇形的圆心角为π3，弧长为1，则其面积为______．15. 已知函数f(x)={(1−a)x +2a,x <03x−1,x ≥0的值域为R ，则实数a 的取值范围为______．16. 已知函数f(x)={|log 2x|,0<x ≤28x −2−1,x >2，若存在实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)，则ab 的值为______，c 的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简求值：(1)(√8)−23−√43×213+(35)0；(2)log 23×log 34+lg2+lg5．18. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边经过点A(a,3)，cosα=−45． (1)求a 和tanα的值； (2)求sin(−α)+2sin(π2+α)3sin(3π2+α)+sin(π−α)值．19. 已知函数f(x)=sin(2x −π3)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x ∈[−π2,π2]时，求不等式f(x)≥12的解集．20. 已知函数f(x)=2sin 2x +cosx −2．(1)求函数f(x)的零点； (2)当x ∈[α,2π3]时，函数f(x)的最小值为−1，求α的取值范围．21.直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示，咨询答疑、导购销售的新型营销模式．据统计，某职业主播的粉丝量不低于2万人时，其货物销售利润y(单位：万元)随粉丝量x(单位：万人)的变化情况如表所示：(1)根据表中数据，分别用模型y=log a(x+m)+b和y=c√x+n+d建立y关于x的函数解析式；(2)已知该主播的粉丝量为9万人时，货物销售利润为3.3万元，你认为(1)中哪个函数模型更合理？说明理由．(参考数据；√57≈7.55)22.已知函数f(x)=4log2x+1，g(x)=m⋅4x+2x+1−m，m<0．log2x(1)求函数f(x)在区间(1,+∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1,2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)+g(x2)>7成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用，属于基础题． 通过诱导公式得sin 210°=−sin(210°−180°)=−sin30°得出答案． 【解答】解：∵sin 210°=−sin(210°−180°)=−sin30°=−12． 故选D ．2.【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则{4−x >0x ≥0，解得0≤x <4．∴函数y =ln(4−x)+√x 的定义域为[0,4)． 故选：C ．由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由图象可知，B 中图象的零点是不变号零点， 其它图象中零点都是变号零点， 故B 不能用二分法求零点近似值． 故选：B ．根据变号零点能用二分法求近似值，不变号零点不能用二分法求零点近似值求解． 本题主要考查二分法的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：A.y =x 3是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确； B .对数函数y =lnx 的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误； C .正弦函数y =sinx 在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误；D .指数函数y =2x 的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误． 故选：A ．根据奇函数、增函数的定义，奇函数图象的对称性，正弦函数的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．考查奇函数和增函数的定义，以及奇函数图象的对称性，正弦函数的单调性，并熟悉指数函数、对数函数的图象，以及y =x 3的图象．5.【答案】D【解析】解：∵a =31.1>30.2=b >0，c =log 20.3<log 21=0，∴a >b >c ． 故选：D ．根据指对函数单调性可解决此题．本题考查指对函数单调性应用，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={f(x +1),x <1(1e )x ,x ≥1，−1+ln5>0，∴f(−1+ln5)=(1e )−1+ln5=(1e )−1×(1e )ln5=e ×15=e5．故选：C ．由−1+ln5>0，得f(−1+ln5)=(1e )−1+ln5，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题设，水车的角速度为2π120=π60/s ， 又水车的直径8m ，中心O 到水面的距离2m ，∴∠HOA 0=π3，故t(单位：s)后水筒A 距离水面的高度为f(t)=2−4cos(π3+πt60)m ， ∴f(140)=2−4cos(π3+140π60)=4m ．故选：B ．由题设可得三角函数模型f(t)=2−4cos(π3+πt60)，将t =140代入求值即可． 本题考查了数学建模思想及三角函数的运算，难点在于求出f(t)=2−4cos(π3+πt60)，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：定义运算a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b ，则函数f(x)=sinx ⊗cosx ={sinx (sinx ≥cosx)cosx(sinx <cosx)；由于函数的最小正周期为2π， 根据函数的图象：故：函数的最大值为1，函数的最小值为−√22；故选：B ．直接利用函数的图象的应用求出函数的最小值本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】BD【解析】解：因为α是第三象限角，所以2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴kπ+π2<α2<kπ+3π4，k∈Z，当k为偶数时，α2是第二象限角；当k为奇数时，α2是第四象限角，故选：BD．因为α是第三象限角，所以2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴kπ+π2<α2<kπ+3π4，k∈Z，再讨论k的奇偶可得．本题考查了象限角，轴线角，属基础题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A，函数y=x−1的图象在一三象限内，不经过第四象限，选项A正确；对于B，函数y=tanx在每一个区间(−π2+kπ,π2+kπ)，k∈Z上单调递增，但在整个定义域内不是增函数，选项B错误；对于C，因为函数y=2x与y=2−x的图象关于y轴对称，所以选项C正确；对于D，因为函数y=2x与y=log2x互为反函数，所以两函数的图象关于直线y=x对称，选项D正确；故选：ACD．根据图象关于y轴对称、关于y=x对称，以及函数图象所在的象限和单调性，对照选项判断即可．本题主要考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题的真假判断问题，是基础题．11.【答案】AC【解析】解：A：∵f(−x)=cos(−x)+cos(−πx)=cosx+cos(πx)=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴A正确，B ：∵f(0)=cos0+cos0=2，f(2π)=cos2π+cos(2π2)=1+cos(2π2)，∴f(0)≠f(2π)，∴B 错误，C ：当x =0时，则f(0)=cos0+cos0=2，又∵cosx ∈[−1,1]，cosπx ∈[−1,1]，∴f(x)的最大值为2，∴C 正确，D ：∵f(x)=cosx +cos(πx)≥−1−1=−2，当且仅当x =(2k 1+1)π，k 1∈Z 时，cosx =−1，x =2k 2+1，k 2∈Z 时，cos(πx)=−1等号成立， 故(2k 1+1)π=2k 2+1，∴π=2k 2+12k1+1，∵π为无理数，2k 2+12k 1+1为有理数，∴等号取不到，∴f(x)的最小值不为2，∴D 错误， 故选：AC ．利用三角函数的图象与性质判断即可． 本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x 3，其定义域为R ，值域为R ，对任意的x 1∈R ，方程f(x 1)+f(x 2)2=1，即x 23=2−x 13必定有解，则f(x)在其定义域上的均值为1，符合题意； 对于B ，y =tanx ，其值域为R ，对任意的x 1∈R ，方程f(x 1)+f(x 2)2=1，即tanx 1+tanx 2=2必定有解，则f(x)在其定义域上的均值为1，符合题意；对于C ，y =2sinx ，其定义域为R ，值域为[−2,2]，当x 1=−π2时，sinx 1=−1，若f(x 1)+f(x 2)2=1，解可得sinx 2=3，方程无解，不符合题意；对于D ，y =√4−x 2，其值域为[0,2]，对任意的x 1∈R ，方程f(x 1)+f(x 2)2=1必定有解，则f(x)在其定义域上的均值为1，符合题意； 故选：ABD ．根据题意，依次分析选项中函数是否为均值为1的函数，即可得答案． 本题考查函数与方程的关系，涉及函数的值域，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：∵2a =3b =√6，∴a =log 2√6，b =log 3√6， ∴1a+1b =log √6log √6=log √62+log √63=log √66=2，故答案为：2．先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解即可．本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．14.【答案】32π【解析】解：扇形的弧长l =αr ，所以扇形的半径r =lα=1π3=3π， 扇形的面积S =12lr =12×1×3π=32π． 故答案为：32π．先利用扇形的弧长公式l =αr ，求得半径r ，再由扇形的面积公式S =12lr ，即可得解 本题考查扇形面积的求法，牢记扇形的面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】[16,1)【解析】解：根据题意得{1−a >0(1−a)×0+2a ≥30−1，解得a ∈[16,1)． 故答案为：[16,1)．结合函数单调性及值域可解决此题．本题考查函数单调性及值域，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．16.【答案】1 (2,2√2)【解析】解：函数f(x)的图象如图所示，因为存在实数a，b，c(a<b<c)满足f(a)=f(b)=f(c)，所以−log2a=log2b，即log2a+log2b=0，∴log2ba=0，所以ab=1，当x>2时，y=8x−2−1，由8x−2−1=0，得x=2√2，所以2<c<2√2，故答案为：1，(2,2√2).画出f(x)的图象，由图可知−log2a=log2b，化简可求出ab的值，然后求出函数y=8x−2−1与x轴的交点坐标，从而可求出c的取值范围本题考查了对数函数的性质、幂函数的零点及数形结合思想，作出图象是解答本题的难点，也是关键点，属于基础题．17.【答案】解：(1)原式=232×(−23)−223×213+1=12−2+1=−12．(2)原式=log24+lg(2×5)=2+lg10=2+1=3．【解析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解．(2)利用对数的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为角α的终边经过点A(a,3)，cosα=−45=√a2+32<0，两边平方，可得a2=16，所以a=−4，或4(舍去)，所以tanα=−34．(2)sin(−α)+2sin(π2+α)3sin(3π2+α)+sin(π−α)=−sinα+2cosα−3cosα+sinα=−tanα+2−3+tanα=−(−34)+2−3+(−34)=−1115．【解析】(1)利用任意角的三角函数的定义即可求解． (2)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(1)令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ， 故f(x)的单调递增区间[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)． (2)因为f(x)≥12，所以sin(2x −π3)≥12， 则2kπ+π6≤2x −π3≤2kπ+5π6，k ∈Z ，解得kπ+π4≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ， 当k =0时，π4≤x ≤7π12，又x ∈[−π2,π2]，所以π4≤x ≤π2， 当k =−1时，−3π4≤x ≤−5π12，又x ∈[−π2,π2]，所以−π2≤x ≤−5π12， 所以不等式f(x)≥12的解集为：{x|−π2≤x ≤−5π12，或π4≤x ≤π2}.【解析】(1)利用正弦函数的单调性即可求解；(2)由题意可得sin(2x −π3)≥12，利用正弦函数的性质可得2kπ+π6≤2x −π3≤2kπ+5π6，k ∈Z ，解得kπ+π4≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ，分类讨论即可求解．本题考查正弦函数的单调性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是灵活解决问题的关键，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=2sin 2x +cosx −2=−2(cosx −14)2+18，当cosx −14=±14时，即cosx =0或12时，函数f(x)=0； 即x =kπ+π2或x =2kπ+π3时，函数f(x)的值为0， 故函数的零点为{x|x =kπ+π2或x =2kπ+π3}(k ∈Z)． (2)由于f(x)≥−1，故−2(cosx −14)2+18≥−1， 整理得−12≤cosx ≤1，由于x ∈[α,2π3]， 故α∈[−2π3,2π3)．故α的取值范围[−2π3,2π3)．【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换和二次函数的求出函数的零点； (2)直接利用三角函数的不等式的应用求出α的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，二次函数的，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)若用模型y =log a (x +m)+b ，则{ 14=log a (2+m)+b 54=log a (3+m)+b 94=log a (5+m)+b ，解得a =2，m =−1，b =14，所以用模型y =log a (x +m)+b 建立y 关于x 的函数解析式为y =log 2(x −1)+14， 若用模型y =c √x +n +d ，则，解得c =√2，n =−158，d =−14， 所以用模型y =c √x +n +d 建立y 关于x 的函数解析式为y =√2⋅√x −158−14．(2)在模型y =log 2(x −1)+14中，当x =9时，y =log 2(9−1)+14=134=3.25万元； 在模型y =√2⋅√x −158−14中，当x =9时，y =√2⋅√9−158−14=√572−14≈7.552−14=3.525万元，由于3.25万元更接近销售利润3.3万元，所以模型y =log 2(x −1)+14更合理．【解析】(1)将表格中已知的三组数据(x,y)分别代入两个函数模型中，解方程组，求出参数，即可；(2)分别令(1)中得到的两个函数模型中的x =9，求出相应的y 值，并比较与销售利润3.3万元的接近程度，即可得解．本题考查函数模型的实际应用，熟练掌握指数幂、对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=4log 2x +1log 2x ，x ∈(1,+∞)．令log 2x =t ∈(0,+∞)，f(x)=4t +1t =ℎ(t)，t ∈(0,+∞)，ℎ′(t)=4−1t 2=4(t+12)(t−12)t 2=0，解得t =12∴函数ℎ(t)在t ∈(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增． ∴t =12时，函数ℎ(t)取得极小值即最小值，ℎ(12)=4． 即log 2x =t =12，x =√2时，函数f(x)取得最小值4．(2)g(x)=m ⋅4x +2x+1−m =m(2x +1m )2−m −1m ，m <0． ∵x ∈[1,2]，∴2x ∈[2,4]． m ∈[−14,0)时，−1m∈[4,+∞)，此时函数g(x)单调递增，x =2时取得最大值，g(2)=15m +8．m ∈(−12,−14)时，−1m ∈(2,4)，此时函数g(x)在[1,log 2(−1m ))上单调递增，在(log 2(−1m),2]上单调递减．∴x =log 2(−1m )时取得最大值，g(log 2(−1m ))=−m −1m．m ∈(−∞,−12]时，−1m ∈(0,2]，此时函数g(x)单调递减，x =1时取得最大值，g(1)=3m +4．(3)对∀x 1∈(1,+∞)，∃x 2∈[1,2]，使得f(x 1)+g(x 2)>7成立⇔f(x 1)min >[7−g(x 2)]min =7−g(x 2)max ，∀x 1∈(1,+∞)，∃x 2∈[1,2]．①m ∈[−14,0)时，g(x)在x ∈[1,2]上的最大值g(2)=15m +8，∴4>7−(15m +8)，解得m >−13，∴−14≤m <0．②m ∈(−12,−14)时，g(x)在x ∈[1,2]上的最大值为g(log 2(−1m ))=−m −1m ，∴4>7−(−m −1m )，解得：m <−3−√52，或m >√5−32，又m ∈(−12,−14)，∴√5−32<m <−14．③m ∈(−∞,−12]时，g(x)在x ∈[1,2]上的最大值为g(1)=3m +4，∴4>7−(3m +4)，解得m >−13，不满足m ∈(−∞,−12]，舍去．综上可得实数m的取值范围是(√5−32,0)．【解析】(1)函数f(x)=4log2x+1log2x，x∈(1,+∞).令log2x=t∈(0,+∞)，f(x)=4t+1t=ℎ(t)，t∈(0,+∞)，利用导数研究函数ℎ(t)的单调性极值与最值，即可得出结论．(2)g(x)=m⋅4x+2x+1−m=m(2x+1m )2−m−1m，m<0.x∈[1,2]，2x∈[2,4].对m分类讨论，结合二次函数的单调性即可得出结论．(3)对∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)+g(x2)>7成立⇔f(x1)min>[7−g(x2)]min=7−g(x2)max，∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[1,2].结合(1)，(2)即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省烟台市开发区高级中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析
山东省烟台市开发区高级中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，为△的外心，为钝角，是边的中点，则的值 ( ).A. 4B. 5C. 7D. 6参考答案：A2. 设是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B解；由题意可得任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，∴有m+m+1＞m+2，∴m＞1．再由m+1＜m+m+2可得m＜3．综上，1＜m＜3，故选B．3. 阅读如图给出的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S为A．-1007 B．1007C．1008 D．-3022 参考答案：A略4. 若存在正实数b，使得，则（）A. 实数a的最大值为B. 实数a的最小值为C. 实数a的最大值为D. 实数a的最小值为参考答案：C【分析】将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.【详解】由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5. 法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A的概率存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则=（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由几何概型中的角度型得：，得解．【详解】设固定弦的一个端点为，则另一个端点在圆周上劣弧上随机选取即可满足题意，则（A），故选：B．【点睛】本题考查了几何概型中的角度型，属于基础题．6. 已知，那么cosα=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】诱导公式的作用．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．7. 已知，，若，则的值为（）A、 B、 C、 D、参考答案：C8. 已知0＜a＜b＜1，则( )A．3b＜3a B．log a3＞log b3 C．（lga）2＜（lgb）2 D．（）a＜（）b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】常规题型；综合题．【分析】因为是选择题，所以可利用排除法去做．根据指数函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，排除A，D，根据对数函数y=lgx为（0，+∞）上的增函数，就可得到正确选项．【解答】解：∵y=3x为增函数，排除A，∵y=（）x为减函数，排除D∵y=lgx为（0，+∞）上的增函数，∴lga＜lgb＜0，排除C故选B【点评】本题主要考查指数函数与对数函数单调性的判断，另外对于选择题，解答时可利用排除法去做．9. 已知圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A．B．C．D．参考答案：A10. 已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=lg|x|在区间[﹣10，10]上的解的个数是（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为4，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数． 【解答】解：函数f （x ）是R 上的偶函数，可得f （﹣x ）=f （x ）， 又f （2﹣x ）=f （2+x ），可得f （4﹣x ）=f （x ），故可得f （﹣x ）=f （4﹣x ），即f （x ）=f （x+4），即函数的周期是4，又x ∈[0，2]时，f （x ）=1﹣x ，要研究方程f （x ）=lg|x|在区间[﹣10，10]上解的个数， 可将问题转化为y=f （x ）与y=lg|x|在区间[﹣10，10]有几个交点． 如图：由图知，有10个交点． 故选D ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理可以求旋转体的体积．如：设半圆方程为x 2+y 2=r 2(y ≥0,r ＞0)，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x =r ，y =r 交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与△OAP 绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等．类比这个方法，可得半椭圆(a ＞b ＞0, y ≥0)绕y轴旋转一周形成的几何体的体积是 ▲ ．参考答案：.12. 已知，则= .参考答案： -113. 定义：区间的长度为，已知函数定义域为，值域为[0，2]，则区间的长度的最大值为___________参考答案：略14. 给出下列结论：①已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （﹣1）=2，f （﹣3）=﹣1，则f （3）＜f （﹣1）； ②函数y=log （x 2﹣2x ）的单调递增减区间是（﹣∞，0）；③已知函数f （x ）是奇函数，当x≥0时，f （x ）=x 2，则当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2；④若函数y=f （x ）的图象与函数y=e x 的图象关于直线y=x 对称，则对任意实数x ，y 都有f （xy ）=f （x ）+f （y ）．则正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号填在横线上）．参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （﹣1）=2，f （﹣3）=﹣1，则f （3）=﹣f （﹣3）=1＜f （﹣1），正确； ②函数y=log（x 2﹣2x ）的单调递增减区间是（1，+∞），不正确；③已知函数f （x ）是奇函数，当x≥0时，f （x ）=x 2，则当x ＜0时，f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣x 2，正确；④若函数y=f （x ）的图象与函数y=e x 的图象关于直线y=x 对称，即f （x ）=lnx ，则对任意实数x ，y 都有f （xy ）=f （x ）+f （y ），正确．故答案为①③④．15. 下列四个结论： ①函数y=的值域是（0，+∞）；②直线2x+ay ﹣1=0与直线（a ﹣1）x ﹣ay ﹣1=0平行，则a=﹣1；③过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y=3；④若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的侧面积等于球的表面积．其中正确的结论序号为．参考答案：④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，，∴函数≠1；②，a=0时，直线2x+ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0也平行；③，过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线还有过原点的直线；④，利用公式求出圆柱的侧面积即可．【解答】解：对于①，∵，∴函数的值域是（0，1）∪（1，+∞），故错；对于②，直线2x+ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a=﹣1或0，故错；对于③，过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y=3或y=2x，故错；对于④，若圆柱的底面直径与高都等于球的直径2r，则圆柱的侧面积等于2πr?2r=4πr2等于球的表面积，故正确．故答案为：④【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．16. 函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围.参考答案：17. （5分）[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f（x）=x﹣[x]．则下列结论中正确的有①函数f（x）的值域为[0，1]；②方程f（x）=有无数个解③函数f（x）的图象是一条直线；④函数f（x）是R上的增函数．参考答案：②考点：命题的真假判断与应用；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的零点．专题：新定义．分析：在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可．解答：∵函数f（x）的定义域为R，又∵f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]=f（x），∴函数{x}=x﹣[x]是周期为1的函数，每隔一个单位重复一次，所以方程f（x）=有无数个解，故②正确；当0≤x＜1时，f（x）=x﹣[x]=x﹣0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），故①错误；函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，当然图象也不可能为一条直线，故③④错误．故答案为：②点评：本题考查分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a ≠0时，下列函数：①y=ax +k ；②y=ax 2+bx+c ；③y=alog m x 中能恰当的描述该商品的市场价y 与上市时间x 的变化关系的是（只需写出序号即可） ．12．如图所示，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m 被两条平行直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：2x ﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m 的倾斜角等于 ．14．已知函数f （x ）对任意的x ∈R 满足f （﹣x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣x+1，若f （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC 中，给出如下三个命题：①异面直线AB 与SC 所成角为60°；②BC 与平面SAB 所成角的余弦值为；③二面角S ﹣BC ﹣A 的余弦值为，其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AA 1=AB=2．（1）求证：平面AA 1C ⊥平面BA 1C ；（2）若AC=BC ，求几何体A 1﹣ABC 的体积V ．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S=4πR2，球截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），（1﹣x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，∴中间的一个根满足log2解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90x中能恰当的描述根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alogm该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k 和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax 2+bx+c ．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件 AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A 1C ⊥B 1D 1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD 为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A 1C ⊥B 1D 1，由四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，AA 1⊥B 1D 1，易得B 1D 1⊥平面AA 1BB 1， 则A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ， 则四边形ABCD 为菱形，故答案为：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m 被两条平行直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：2x ﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m 的倾斜角等于 135° ．【分析】由两平行线间的距离，得直线m 和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m 的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣A 的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x ＞5时，由函数f （x ）递减，知f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．当0≤x ≤5时，函数f （x ）=﹣0.4（x ﹣4）2+3.6，当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．…（2分）∵，…（4分）∴f （x ）=R （x ）﹣G （x ）=．…（6分）（2）∵f （x ）=，∴当0≤x ≤5时，由f （x ）=﹣0.4x 2+3.2x ﹣2.8＞0，得1＜x ≤5；．…（7分）当x ＞5时，由f （x ）=8.2﹣x ＞0，得5＜x ＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x 的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f （x ）=，∴当x ＞5时，函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．…（10分） 当0≤x ≤5时，函数f （x ）=﹣0.4（x ﹣4）2+3.6， 当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC 中，A （2，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为3x+2y+1=0．角B 的平分线所在直线BT 的方程为x ﹣y+2=0． （1）求顶点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程．【分析】（1）设B （x 0，y 0），利用中点坐标公式可得：AB 的中点M ，代入直线CM ．又点B 在直线BT 上，联立即可得出．（2）设点A （2，﹣1）关于直线BT 的对称点的坐标为A′（a ，b ），则点A′在直线BC 上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 在直线CM 上，所以+1=0，即3x 0+2y 0+6=0 ①…（2分）又点B 在直线BT 上，所以x 0﹣y 0+2=0 ②…（4分） 由①②得：x 0=﹣2，y 0=0，即顶点B （﹣2，0）．…（6分）（2）设点A （2，﹣1）关于直线BT 的对称点的坐标为A′（a ，b ），则点A′在直线BC 上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC ===﹣4，…（11分） 所以直线BC 的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1． （1）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥面DAF ；（2）求证：AF ⊥面CBF ．【分析】（1）先证明OM ∥AN ，根据线面平行的判定定理即可证明OM ∥面DAF ；（2）由题意可先证明AF ⊥CB ，由AB 为圆O 的直径，可证明AF ⊥BF ，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF ⊥面CBF ．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集可得：a＜﹣1．利用S= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．△AOB【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．=|a﹣2|||==3+≥∴S△AOB3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。