二次函数与三角形相似问题 专题

二次函数与三角形相似问题

例1、如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．

求得抛物线的解析式为x x 4

1y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

【答案】解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x (a y 2+-= ∵抛物线过原点， ∴1)20(a 02+-= ∴4

1a -=.

抛物线的解析式为1)2x (4

1y 2+--=,即x x 4

1y 2+-=

⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥

＝OB, 由1)2x (4

102+--=得4x ,0x 21==,

∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6

将x ＝6代入1)2x (4

1y 2+--=,得y ＝－3,

∴D(6,－3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(－2,－3),

当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A 点,此时D 点的坐标为(2,1)

⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP

的解析式为x 2

1y -=

由x x 4

1x 2

12+-=-, 得6x ,0x 21== .∴P(6,－3)

过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, ∴PB ＝

13≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠

BPO,

∴△PBO 与△BAO 不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P ,使得△BOP 与△AOB 相似.

例2、已知抛物线2y ax bx c =++

经过0P E ⎫

⎪⎪⎝⎭

及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．

得抛物线的解析式为223y x x =-）

（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△的关系？为什么？

【答案】解：（1）由已知可得：

3375

04

20a a c ⎧+=⎪

⎪+=⎨

⎪=⎪⎩

解之得，203a b c =-==，．

因而得，抛物线的解析式为：2233

y x x =-+． （2）存在．

设Q 点的坐标为()m n ，

，则223

3

n m m =-+， 要使,

BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△

3m =

，即2233m m +=

解之得，12m m =．

当1m =时，2n =，即为Q

点，所以得Q 要使,

BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△

，则有33n -=

，即223333m m

+-=

解之得，12m m =

m =P 点，

当1m =3n =-

，所以得3)Q -． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．

Q

点的坐标为3)-．

（3）在Rt OCP △

中，因为tan 3

CP COP OC ∠=

=．所以30COP ∠=o ． 当Q

点的坐标为时，30BPQ COP ∠=∠=o ． 所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠=o ．

因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形． 又在Rt OAQ △

中，因为tan QA QOA AO ∠=

=30QOA ∠=o ． 即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠=o ． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠=o ， 所以OQA OQP △≌△．

例3、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D

处。已知折叠CE =3

tan 4

EDA ∠=。 （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；

（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。